B2 �
101
B2 � Utilizamagnitudesynúmerosreales
x=×
=× ×× ×
= × =330 100
22011 30 100
11 2 1015 10 150
Porlotanto,Pacoaumentóen150% – 100% = 50%elvalordelascamisetas.
1. Unapersonade1.60 mproyectaunasombrade2 m;¿quéalturatieneunárbolquealamismahoraproyectaunasombrade6m?
2.Simediadocenaderosascuesta$30,¿cuántocostarán5docenas?3.Untanquellenoa2/5desucapacidadcontiene500litros,¿cuántoslitroscontieneuntanquesimilarllenoa5/8desucapacidad?
4.CuandoSamuelfalleciódejó3/5partesdesupropiedadasuhijoJacobo,mientrasqueasuhijoIvánledejóelresto,queeran2,500m2.¿QuésuperficiedelapropiedadlecorrespondeaJacobo?
5.Unaguarniciónmilitarde1300soldadostienevíverespara4meses.Siserequierequelosvíveresduren10díasmás,¿cuántossoldadostendránqueabandonarlaguarnición?
6.Juantrdó8 1/3díasenrealizar5/12deunaobra.¿Encuantosdíasmáslaterminará?7.Unacuadrillade10obrerosacuerdarealizarunaobraen15días,peroaltérminode10díassólollevan 3/5delamisma.¿Cuántosobrerosmásdebencontratarparaqueterminenlaobraeneltiempoestipulado?
8.RobertoyMauriciocobraron$ 35,000poruntrabajorealizadoporambos.Robertotrabajódurante 20díasarazónde9horasdiariasycobró$ 15,000;¿cuántashorasdiariastrabajóMauriciosilaboró40días?
9.Seis hombres trabajando9 jornadas a razón de8 horas han hecho3/8 de unaobra.Siserefuerzancon4obrerosytrabajan6horasdiarias,¿encuántotiempoterminaránlaobra?
10. Una calle de 50 m de largo y 4 m de ancho se encuentra cubierta por 1000 adoquines;¿cuántosadoquinesseránnecesariosparacubrirotracalledeltripledelargoy3/4deanchodelaanterior?
11.Estebangana$12,000mensualesygasta30%encomida,20%enrenta,35%enserviciosyahorraelresto;¿cuántoahorraEsteban?
12. La temperatura de un horno aumenta uniformemente después de conectarlo.Alos6minutosalcanzalos65ºCyalos13minutos,96.5ºC;¿cuántosminutosapartirdelaconexiónseránnecesariosparaalcanzar191ºC?
13.Elaguadeldepósitodeunagranjasegastaalolargodelverano.Tenía3,000 litrosel20de julioy2,650 litrosel31delmismomes.Elgastodiariodeaguaescasiconstanteynosuelelloverenveranoenestacomarca;¿quedaráaguaeldía31 deagosto?
14.Secontrata12obrerosparahacerunaobrayalos15díashanterminadolatercerapartedel trabajo; ¿cuántosobrerosmáshacen faltapara terminar laobraen8días?
Actividad
102
B2 �B2 �15.Siunmillóndepesosproducen15,000en3 meses;¿cuántohayqueinvertirpara
obtener300,000en1año?16. Una empresa quiere distribuir $2,000,000 entre 3 organizaciones no
gubernamentales proporcionalmente a su número de proyectos. La primeraONGtiene20 proyectosenmarcha,lasegunda15 ylatercera12;¿cuántodinerolecorrespondeacadauna?
17.Undeportistaentrenandorecorre450 kmen 15días, 6horaspordía.Simarcha8horaspordía,¿cuántoskilómetrosrecorreráen20díasalamismavelocidad?
18.Ungrifollenaundepósitoen4horas,unsegundogrifolollenaen5horasyundesagüelovacíaen6horas.Siseabrenlostresdispositivosalavez;¿encuántotiemposellenaráeldepósito?
19.CincoamigosdecidenhacerleunregaloaBenitoyaportan $70cadauno.Unavezcompradoelregaloselesunen2amigosmás;¿cuáleselnuevoimportequedebepagarcadapersona?
20. Para poner la calificación de Educación Física, la profesora sigue el siguientecriterio: lapruebateóricaes40%de lanotatotaly lapruebaprácticael resto.Jorgehaobtenido6.3enlapruebateóricay7.2enlapráctica;¿cuálserásunotafinal?
1. En la palabraMURCIÉLAGO cada vocal vale 2 puntos y cada consonante -1.¿Cuántovalelasumadetodaslasletras?
2. Halladosnúmerosenterosconsecutivoscuyoproductosea9,900.3. ¿Quénúmeroesel3×106 + 5×106 + 2×106?4. ¿Quénúmeroesel3×107 + 5×106 + 2×105?5. Delos25primerosenterospositivos,¿cuántossonpares?Siquitamos5números,
todospares,¿quéporcentajedelosquequedansonpares?6. Seisgallinasponen100 huevosen8días.¿Cuántasgallinasharánfaltaparaponer
200huevosen4días?7. Unrelojdepulsera(de12 horas)seatrasa10minutoscadadía.Siloponemos
hoyenhora,¿dentrodecuántosdíassehabráatrasadounahoraentera?¿Dentrodecuántosdíasvolveráadarlahoraexacta?
8. Laescaladeunmapaes:3cm=10km.Siladistanciaentredosciudadesenelmapaes12cm,¿cuálesladistanciaenlarealidad?
9. Parafabricar1kgdemiel,lasabejashacen50,000viajesentrelacolmenaylasflores.Encadaviaje,unaabejatransportaportérminomedio 8mgdenéctar;¿cuántoskilogramosdenéctarsonnecesariosparaobtener1kgdemiel?
10. Juan se llevó lamitadde un trozode chocolate;Beatriz, un tercio; y el resto,20 gramos, fue paraCarlos. ¿Cuántos gramos pesaba el trozo de chocolate?,¿cuántosgramospesabanlostrozosdeBeatrizydeJuanrespectivamente?
Actividad
B2 �
103
B2 � Utilizamagnitudesynúmerosreales
11. Sofíacortóesterectánguloenlastrespiezasquesemuestranyconellasformóuntrapecioisósceles.DibujaeltrapecioqueformóSofíaydicuálessuperímetro.
12.Lafigurasiguienterepresentauncuadradoconotrocuadradomáspequeñoensuinterior.Elperímetrodelcuadradograndees36yeldelcuadradopequeño16 ¿Cuáleseláreadelaregiónsombreada?
13.Unaparcelarectangularde30 mpor40mestárodeadaporunpaseode 5 mdeancho;¿cuáleseláreadelpaseo?
14.EneldibujoAB=20yBC=18.HallaelperímetrodeABCDEF.(Todoslosángulos
sonrectos).(operaciones)
15.Hallaelperímetrodelafigura.(Todoslosángulossonrectos).
16.Alas 4delatarde,unpostede10mdealtoproduceunasombrade18mdelargo.Alamismahora,¿quélongitudtendrálasombraproducidaporunpostede5mdealto?(proporciones).
17.A las10de lamañanaunpostede 9mdealtoproyectaunasombrade6mdelongitud.¿Cuántomedirálasombradeotropostede3mdealtoalamismahora?
104
B2 �B2 �18.Elcuadradoexteriortieneunáreade100 ylosvérticesdelcuadradointeriorestán
enlospuntosmediosdelexterior;¿cuáleseláreadelcuadradopequeño?
19. Sihoyesmartes20 deseptiembrede2010ysonlas16 horas24minutos;¿quédíayhoraserádentrode 3,010minutos?
20. DoñaMartamandó a su hijo Juan a comprar 6/8 de kilo demargarinaSi en elalmacénsóloquedabanbarrasde1/4dekilo;¿cuántoscompró?
21.ParaprepararunpayJuanitanecesita2tazasdeharina.Sicadatazaequivalea1/4 dekiloyensucasasólohaypaquetesde1/2 kilodeharina,¿cuántosdeéstosocupará?
22.Pedro,elpastelero,estápreparando 6tortassimultáneamente.Sinecesita3/4dekilodemantequillayenellocalsólohaypanesde1/2 dekilo,¿cuántosdeéstosocuparáPedro?
23.JuanyJuanacompraron1bolsadedulcescadauno.Despuésde2horasaJuanlequeda 2/5delabolsayaJuana,4/9;¿aquiénlequedamás?
24.UncursodeberesolverunaguíadeejerciciosdurantelaclasedeMatemáticas.ElgrupodeAnaalcanzaaresolver 1/2delaguía,mientrasqueelgrupodeMartaresuelve1/3;¿quégruporesolviómásejercicios?
25. MiguelyRobertodebenleerunlibroparacastellano.Miguelhaleído1/2deltextoyRoberto 5/6;¿aquiénlefaltanmenospáginasporleer?
26. El profesor de deportes debemedir la resistencia de cada alumno. La pruebaconsisteentrotar15minutossindetenerse.Elalumnoquepareantesdetiempodeberetirarseyobtendráunanotadeacuerdoconeltiempoquecorrió.SiPatriciocorrió7/6deltiempoyJavier5/9;¿quiéntienemejorresistencia?
27. Undíadeverano,SofíayGabrielallegaronasucasaconmuchocalor.Cadaunapreparóunlitrodejugodesusaborpreferido,manzanaypiña,respectivamente.Sofíabebió4/7 desujarroyGabriela2/3delsuyo.¿Dequéjugosobrómás?
28. MaríayElenacompartenunpaquetedegalletasduranteelrecreo.SiMaríacome 3/8delpaqueteyElena 1/4,¿quiéncomemás?
29. DoñaMartahorneó2panquequesiguales.SuhijoJuancomió1/4delprimeroysuhijaLucía3/8delsegundo;¿cuántocomieronentreambos?
30.Martacompróuncortedegéneroparaconfeccionarunjuegodesábanas.Enlasábanadeabajoocupó3/5delcorte,enladearriba2/5yenlasfundas1/10.¿Quéfraccióndelcortedegéneroutilizó?
31. Luisacompró1/5kgdechocolateamargoy 7/15kgdechocolatedulce;¿cuántocompróentotal?
32. Ensutestamento,unamujerledejóasuesposo6/13desusbienesyasushijos11/26.¿Ledejóalgoaotraspersonas?
33. Dosamigosdecidieroncompartirunabotellade jugo.Elprimerotomó¼de labotella,elsegundo5/8deella.¿Quépartedelabotelladejugobebieron?
34. Juanllevóalcolegio5/8deunaresmadepapelcarta.Enelrecreo,suhermanaLucía sediocuentaquenecesitabapapelparahacerun trabajoypidió1/4deresma.¿ConcuántopapelsequedóJuan?
B2 �
105
B2 � Utilizamagnitudesynúmerosreales
35. Un camión de basura ha recogido suficientes desechos para copar 5/6 de sucapacidad.Sialdescargarlosmaterialesreciclables,elcamiónquedacon11/24desucapacidad,¿quéfraccióndelacapacidaddelcamiónestabaconstituidaporbasurareciclable?
36.Despuésdehaberpavimentado1/3deunacalle,sedescubreunacañeríadegasrotaporlocualdebenromperelpavimentode2/9delacalle.¿Quéfraccióndelacallequedapavimentada?
37.DoñaMartapreparó2panqueques.Juansecomió3/8delprimeroyLucía5/6 delsegundo.¿Comieronentreambosmásdeunpanqueque?
38.JavieryFranciscoteníanquellevararrozalcolegioparaunacampañadeayudasolidaria.Javierllevó2/3delunpaquetedekiloyFranciscollevóunkilo.¿Cuántosterciosdekilollevaronentrelosdos?
39. JuanyRamóntrabajanen turnosconsecutivosenuna fábricaque funcionasinparar.Juantrabajó2/3dedíayRamón2/5deldía.¿Quépartedeldíacubrieronentreambos?
40. Martaqueríatejerseunchaleco,paraellocompróunabolsadeovillosde lana.Cuando terminó el chaleco sólo había ocupado 1/2 bolsa. Decidió entoncestejerseungorro,enelqueocupó1/3 delabolsa.Comoaúnlesobraba,setejiótambiénunabufandaenlaqueocupó1/6másdelabolsa.¿Quéfraccióndelabolsadelanalequedó?
41.Lucascomiódosquintaspartesde¼dekilodecacahuate;¿quéfraccióndekilocomió?
42. Para prepararle lamamila a su bebé,Marcela ocupa los3/4 de capacidad delbiberón,queesde1/5delitro.¿QuéfraccióndelitrodelechepreparaMarcela?
43.Ricardopasa1/3deldíaenelcolegio,deesaparte,7/8estáenlasaladeclasesyelrestoestáenrecreo.¿QuéfraccióndeldíapasaRicardoenlasaladeclases?
44. Javierquiereserconcertista,élpermanecedespierto 3/4partesdeldíaydedica2/9deltiempoqueestádespiertoapracticarpiano.¿QuéfraccióndeldíatocapianoJavier?
45.Unpanaderoocupa3/10deunsacodeharinaaldía.Silos3/4delaharinalausaparaprepararpan,¿quéfraccióndelsacodeharinautilizaelpanaderoparahacerpandiariamente?
46.Danielatarda3/5dehoraenllegaralcolegio.Deestetiempo,1/4caminay3/4andaenautobús.¿QuéfraccióndehoracaminaDanieladesdesucasaalcolegio?
47. Nicolásquiererepartir4barrasdechocolateentrozosde1/8debarra.¿CuántostrozosalcanzaráatenerNicolás?
48. DonÁngeldecidiódividir15hectáreasdeterrenoensitiosde1/5 dehectáreacadauno.¿CuántossitiosobtendrádonÁngel?
49. Unvendedorquiererepartir2 1/2kilosdetornillosenpaquetesde1/4dekilo.¿Cuántospaquetesalcanzaráallenar?
50. Marianaquierevaciar¾ de litrode lecheenvasitosde1/10de litrocadauno.¿Cuántosvasitospodrállenar?
51.Tengo20 litrosdelimonada.¿Cuántasbotellasllenasde 1/3 litrospuedoobtener?Conloquesobra,¿quépartedeotrabotellapuedollenar?
52.Josétomó1/3deunabotelladebebidasde3/4 de litroyMauriciotomó3/5deunabotellade 1/2 litro.¿Quiéntomómásbebida?
106
B2 �B2 �
Iván es un fanático de la patineta. Visitó la tienda llamada SKATES para compararalgunosprecios.Enestatiendasepuedecomprarunapatinetaarmada,perotambiénsepuedecomprarlatabla,unjuegode4ruedas,unjuegode2ejesyunjuegodeaccesoriosparaarmarlaunomismo.Lospreciosdelosproductosenlatiendasonlossiguientes:
Producto Precio
Marca A Marca B Marca C
Patinetaarmada 410 620
Tabla 200 300 325
Unjuegode4ruedas 70 180
Unjuegodedosejes 80
Unjuegodeaccesorios 50 100
a) Ivánquierearmarsupropiapatineta.¿Cuáleselpreciomínimoymáximo,enestatienda,paralaspatinetasquearmaunomismo?
Preciomínimo:pesos.
Preciomáximo:pesos.
b) La tiendaofrece tres tablasdistintas, dos juegosde ruedasdiferentes ydos tiposdistintosdeaccesorios.Sólohayunaopciónparaeljuegodeejes.¿CuántostiposdepatinetapuedearmarIván?Explicaturespuesta.
Evaluación formativa
B2 �
107
B2 � Utilizamagnitudesynúmerosreales
c)Ivántiene600pesosparagastaryquierecomprarlapatinetamáscaraquepueda.¿CuántodineropuedegastarIvánencadaunadelas4 partes?Escribeturespuestaenelcuadrosiguiente.
Parte Monto
Tabla
Ruedas
Ejes
Accesorios
Total
d) Qué le conviene más a Iván: ¿armar su patineta o comprar la patineta más cara? Justifica tu respuesta.
Escala de Rango
Nombredelalumno:
Escaladevaloración:0Nulo1Deficiente2Aceptable3 Satisfactorio
Aspectos observables Sí No Estimación
Comprendiólasituación
Resolviólasoperacionesnecesariasdelproblemaa)
Resolviólasoperacionesnecesariasdelproblemab)
Explicólasoperacionesnecesariasdelproblemab)
Resolviólasoperacionesnecesariasdelproblemac)
Explicólarespuestadelproblemac)
Presentacióndelassoluciones
TOTAL:Cal
Total=
×=
1021
Observaciones:
Nombredequienrevisó:
BLO
QU
E
3 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores� � �
SUG
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AJE
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UN
IDA
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• Identificaeinterpretasucesionesyseriesaritméticas.
• Reconocetérminosdesucesionesaritméticas.• Ordenainformacióndeacuerdoconrelaciones
enseriesysucesionesaritméticas.• Reconocelaformaalgebraicadeltérmino
n-ésimodesucesionesaritméticasparticulares.• Identificagráficamenteeltipoderelación
variacionalenlafórmuladeln-ésimotérminodesucesionesaritméticasparticulares.
• Identificaeinterpretasucesionesyseriesgeométricas.
• Reconocetérminosdesucesionesgeométricas.• Ordenainformacióndeacuerdoconrelaciones
enseriesysucesionesgeométricas.• Reconocelaformaalgebraicadeltérmino
n-ésimodesucesionesgeométricasparticulares.
• Identificagráficamenteeltipoderelaciónvariacionalenlafórmuladeln-ésimotérminodesucesionesgeométricasparticulares.
Sumas y sucesiones de números
BLO
QU
E
3 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores� � �
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AJE
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PET
ENCI
A�Construyeeinterpretamodelos
aritméticos,algebraicosygráficosaplicandolaspropiedadesdelosnúmerosrealesyexpresionesaritméticasyalgebraicas,relacionandomagnitudesconstantesyvariables,yempleandolasliteralesparalarepresentaciónyresolucióndesituacionesy/oproblemasaritméticosyalgebraicos,concernientesasuvidacotidianayescolar,queleayudanaexplicarydescribirsurealidad.
Identificalascaracterísticaspresentesentablas,gráficas,mapas,diagramasotextos,provenientesdesituacionescotidianasylostraduceaunlenguajearitméticoy/oalgebraico.
• Identificasilostérminosdeunasucesiónmantienenunadiferenciaounarazónconstantes.
• Aplicalafórmuladeltérminogeneral,paraobtenerlaexpresióndeln-ésimotérminodeunasucesiónaritméticaogeométricaparticular.
• Utilizalafórmuladelasucesiónparticularparaobtenerelementosdesconocidosdeunasucesiónaritméticaogeométrica.
• Elaboragráficasdesucesionesaritméticasygeométricasydescribeconellaselcomportamientodecadatipoderelación.
• Utilizalasfórmulasdelassucesionesaritméticasogeométricasparamodelarysolucionarsituacionesdiversas.
• Aplicalasfórmulascorrespondientesparahallarelmodelodeln-ésimotérminoquecaracterizaaunasucesión,aritméticaogeométrica,particular.
• Escribetérminosdesucesionesaritméticasygeométricas.
• Aplicalasfórmulascorrespondientesparahallarelvalordeunaseriearitméticaygeométricafinitaoinfinitaconvergente.
• Obtienetérminosdesucesionesaritméticasogeométricasutilizandoladiferenciaorazóncomún,oaplicandolasfórmulas.
• Construyegráficasparaestablecerelcomportamientodesucesiones,aritméticasygeométricas,particulares.
• Determinaregularidadesypatronesdelassucesionesyseriesaritméticasogeométricas.
• Diseñayaplicamodelossencillosdeseriesysucesiones.
• Organizaideasyargumentosdemaneraclara,coherenteysintéticaconrelaciónaseriesysucesiones.
• Aprecialautilidaddeexpresarmatemáticamenteregularidadesypatrones.
• Aportapuntosdevistaconaperturayconsideralosdeotraspersonasdemanerareflexiva.
• Promueveeldiálogocomomecanismoparalasolucióndeconflictos.
110
B3 �B3 �INTRODUCCIÓN
Evaluación diagnóstica
Actividad introductoria
En este bloque analizaremos las características y el concepto de sucesión,quenospermitemodelarmuchos fenómenoso situacionesqueocurrenendistintoscontextos,tantoenlaescuelacomoennuestravidacotidiana.
1.Lasiguientetablamuestraelcostopordocenadenaranjas:
Docena 1 2 3 4 5
Costo 14.5 43.5 58
a)¿Cuántocuestan2docenasdenaranjas?,¿y5?
2.Anaseproponeahorraralolargodelasemana;siempiezaellunescon$10yahorracadadíaunpesomásqueeldíaanterior:a) ¿Cuántodebeahorrarelmiércoles?b)¿Cuántohabráahorradoparaelsiguientedomingo?
3.Encuentraelnúmerofaltanteencadaunadelassiguientesseries:
a) 1, 3, 5, ___, 9, ____, ____, 15, 17 b) -5, -1, 3, ____, 11, 15, ____, 23, 27 c) -4, 0, 4, ___, 12, 16, ___20 d) 20, 10, ____, 2.5, ____, 1.25, ______
Leedetenidamentelassiguientessituacionesyrealizaloqueseteindica.
1. Adela se propone ahorrar durante todo un año para comprarles regalos deNavidadasusfamiliaresyamigos.Empiezaenenerocon$100yplaneaahorrarmensualmenteunacantidadigualaloahorradoelmesanteriormás$50.Completalatablasiguienteyrespondeloquesetepide.
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Agos Sept Oct Nov Dic
100
B3 �
111
B3 �Sumasysucesionesdenúmeros
a)¿Cuántodebeahorrarenjunio?________________¿Yenseptiembre?______b)¿Cuántohabráahorradoalfindelaño?_________________________________c)Sidecidecomprarseunalaptopquecuesta$8000¿lefaltaráolesobrará?___d)¿Cómoexpresaríaslareglaparasaberloquedebeahorrarcualquiermes?____
2.Estebantambiéndecideahorrar,peroendólaresydelasiguientemanera:enenero 1 dólaryapartirdefebreroahorraeldobledelmesanterior.Completalatablayrespondeloquesetepide.
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Agos Sept Oct Nov Dic
1
a)¿Cuántodebeahorrarenmayo?_______________¿Yenagosto?___________b)¿Cuántohabráahorradoalfindelaño?_________________________________c) Si decide comprarse una laptop que cuesta $1000 dólares, ¿le faltará o lesobrará?__________________________________________________________
d)¿Cómoexpresaríaslareglaparasaberloquedebeahorrarcualquiermes?____
Lasactividadesqueacabasderealizarestánrelacionadasconelconceptodesucesión.
Una sucesión es un conjunto ordenado de números que sededucenunosdeotrosmedianteunaregladefinida.
Losnúmerosdelasucesiónrecibenelnombredetérminosdelasucesión.
Denotaremosaunasucesióndefinidaporlareglaancomoelconjunto:
S a a a a a a an n n={ }+ +1 2 3 4 1 2, , , , ... , , , ...
dondeanrepresentaelenésimotérminodelasucesión.
Enlossiguientesincisosserepresentanlasreglasquedefinenaunasucesión.
a)an=3(n-1)+2
b) a n nn =
+( )12
SUCESIONES Y SERIES
112
B3 �B3 �c) a n
nnn= −+
( )11,
d) an n=2
3,
e) a a a a a nn n n+ − −= + = = >2 2 1 1 21 1 2, , ,
Ejemplos
Hallarlosprimeros 8términosdecadaunadelasreglasindicadasanteriormente.
a)Para a nn = − +3 1 2( ) tenemosalsustituirlosvaloresdenenlaregla:
a1=3(1-1)+2=3(0)+2=2a2=3(2-1)+2=3(1)+2=5a3=3(3-1)+2=3(2)+2=8a4=3(4-1)+2=3(3)+2=11a5=3(5-1)+2=3(4)+2=14a6=3(6-1)+2=3(5)+2=17a7=3(7-1)+2=3(6)+2=20a8=3(8-1)+2=3(7)+2=23
Porlotanto:
s={ }2 5 8 1114 17 20 23, , , , , , ,
b)Para an n
n =+( )1
2tenemosalsustituirlosvaloresdenenlaregla:
a
a
a
1
2
3
11 12
1 22
22
1
2 2 12
2 32
62
3
3 3 12
3 42
=+= = =
=+= = =
=+=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )== =
=+= = =
=+= = =
=
122
6
4 4 12
4 52
202
10
5 5 12
5 62
302
15
6
4
5
6
a
a
a
( ) ( )
( ) ( )
(66 12
6 72
422
21
7 7 12
7 182
562
28
8 8 12
8 9
7
8
+= = =
=+= = =
=+=
) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a
a22
722
36= =
Por lo tanto:
s={ }1 3 6 10 15 21 28 36, , , , , , ,
B3 �
113
B3 �Sumasysucesionesdenúmeros
c)Para a nnn
n= -+
( )11tenemosalsustituirlosvaloresdenenlaregla:
a
a
a
11
22
33
11
1 11
12
12
12
2 11
23
23
13
3 1
= −+= − =−
= −+= =
= −+=
( ) ( )
( ) ( )
( ) (−− =−
= −+= =
= −+= − =−
=
134
34
14
4 11
45
45
15
5 11
56
56
44
55
6
)
( ) ( )
( ) ( )
(
a
a
a −−+= =
= −+= − =−
= −+=
16
6 11
67
67
17
7 11
78
78
18
8 11
8
6
77
88
) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a
a99
89
=
Porlotanto:
s= −
− − −
12
23
34
45
56
67
78
89
, , , , , , ,
d)Para an n=2
3 tenemosalsustituirlosvaloresdenenlaregla:
a
a
a
a
a
a
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
23
23
23
29
23
227
23
281
23
2243
23
27
= =
= =
= =
= =
= =
= =229
23
22187
23
26561
7 7
8 8
a
a
= =
= =
Porlotanto:
s=
23
29
227
281
2243
2729
22187
26561
, , , , , , ,
114
B3 �B3 �e)Paraa a a a a nn n n= + = = >- -2 1 1 2 1 2, , tenemosalsustituirlosvaloresdenenlaregla:
a a a
a a a
a a a
a a a
a
3 1 2
4 2 3
5 3 4
6 4 5
7
1 1 2
1 2 3
2 3 5
3 5 8
= + = + =
= + = + =
= + = + =
= + = + =
== + = + =
= + = + =
a a
a a a5 6
8 6 7
5 8 13
8 13 21
Porlotanto:
s={ }11 2 3 5 8 13 21, , , , , , ,
Elincisod)representaunejemplodeunasucesiónalternante,mientrasqueelincisoe)representaaunasucesiónrecurrenteorecursiva.
Unodelosprocesosmásimportantesesdeterminarlareglaquedefineunasucesiónapartirdelosprimerostérminos;porejemplo,determinalareglaquedeterminacadaunadelassiguientessucesiones:
a) s={ }1 3 5 7 9, , , , , .. .
b) s=
12
14
19
116
132
, , , , , ...
c) s= − − −{ }1 2 3 4 5 6, , , , , , .. .
d) s={ }7 3 17 5 27 7 37 9, , , , .. .
Solución
a)observaquelostérminosdelasucesiónsonnúmerosimpares,esdecir: a nn = -2 1
b)observaqueelnumeradordecadatérminoes1yqueeldenominadoresunapotenciade2,esdecir:
an n=1
2c) observa que la sucesión es alternante y aparece la sucesión de los númerosnaturales,esdecir:
a nnn= − +( )1 1
d)observaqueloscoeficientesdelosradicalesdelostérminosdelassucesionesson
delaforma 10n-3,mientrasquelosradicandossondelaforma2n+1;porlotanto,elenésimotérminoesdelaforma:
a n nn = − +( )10 3 2 1
Veamosahoraalgunassituacionesdondeaparecensucesiones.
Ejemplo
Imaginaqueerestestigodeunaccidenteyquedurantelaprimerahoraselocuentasasólotrespersonas,asuvezcadaunadeellasselocuentaatrespersonasenunahora.
a)Encuentralareglaquedefinelasucesión.
B3 �
115
B3 �Sumasysucesionesdenúmeros
b)¿Cuántaspersonasseenteraránalfinalizarlaquintahora?c)¿Cuántaspersonas,apartedeti,sabendelaccidentedespuésdecincohoras?
Solución
Alfinalizarlaprimerahora,losabrántrespersonasapartedeti.Comocadaunadeellaslocontaráatrespersonasalfinaldelasegundahorahabrá3x3personasenteradasyasísucesivamente;porlotanto,lareglaes:
ann= 3
ylosprimeros5términosdelasucesiónson
S ={ }3 9 27 81 243, , , , , ...
Esdecir,alfinaldelaquintahoraseenterarán243personas,yentotalhabrá:
3 9 27 81 243 363+ + + + = personas
Series
Unconceptorelacionadoconlassucesioneseseldeserie.
Unaserieeslasumadeloselementosdeunasucesión.
Esdecir,si: S a a a a a a an n n={ }+ +1 2 3 4 1 2, , , , ... , , , ... entonces
S =a , S =a +a , S =a +a +a ,..., S =a +a +...a1 1 2 1 2 3 1 2 3 n 1 2 n
Paraabreviarunaserieseutilizalanotación:
S an ni
n
==∑
1
I.Escribelosprimerosdieztérminosdecadaunadelassiguientessucesiones.
1. a nn = -10 3 5. a nnn= -( )1 2
2. a nn = -2 5 6. an
n n
n= - + +( )1 23
1 1
3. annn =-+
11
7. an n= −
13
11
10
4. ann
n
= −
1
1 8. a nnn= − −
1 1( )
Actividad
116
B3 �B3 �9. a a a nn n1 14 3 2= = ³, ,- 11. a a a a a nn n n1 2 1 21 3 3= = = + ³, , ,- -
10. a a a nn n1 312
21=− = ≥−, , 12. a a a a a nn n n1 2 1 21 3 3= = = + ³, , ,- -
II.Hallaunaexpresiónparaeltérminogeneralanyhallalossiguientesdostérminos.
13. S = {1, 5, 9, 13, 17,…} 19. S = {2, 3, 5, 7, 11, 13…}14. S = {34, 24, 14, 4, -6,…} 20. S = {3, 5, 9, 17, 33,…}15. S = {2, 12, 21, 29, 36,…} 21. S = {1, -2, 3, -4, 5,…}
16. S = {3, 5, 8, 12, 17,…} 22. S=
12
23
34
45
56
, , , , , ...
17. S = {1, 3, 4, 7, 11,…} 23. S=
25
310
417
526
637
, , , , , ...
18. S = {1, 2, 6, 24, 120,…} 24. S = {1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 8, 5, 16, 6, 32…}
III.Calcula:
1. ( )3 21
5
ji
−=∑ 4. ( )3 2
1
6i i−∑
2. ( )30 73
7
−=∑ ji
5. ( )11
1
6
+=∑ ii
3. ( )21
7i
i
i−=∑ 6. i
ii
ii +−−
=∑ 1
1
3
8
IV.Escribecadaserieusandolanotacióndesumatoria.
1. 3 + 8 + 13 + 18 + 23 + 28 + 33 3. 5∙2 + 5∙4 + 5∙8 + 5∙16 + 5∙32 + 5∙642. 24 + 17 + 10 + 3 – 4 -11 – 8 4. 1∙2 + 3∙4 + 5∙8 + 7∙16 + 9∙32 + 11∙64
V.Expresalarespuestaacadaunodelossiguientesejercicioscomounasucesiónounaserie.
1.Rubéncompróunautomóvilen$125,000ysedeprecia12%alaño.Expresalavariacióndelvalordelautomóvilenunperiododeseisaños.
2.Lapoblacióndeunaciudaden 2005eradecincomillonesycreceaunritmode 15%cadaaño.Expresalavariacióndepoblaciónhasta1912.
3.¿Cuálseríaelnúmerototaldepersonascontagiadasdeunaenfermedadalcabodeseishorassiinicialmenteunapersonapadecelaenfermedadycadaunaquelacontraeinfectaaotrascincoenunperiodode 1hora?
4.Roxanaadquirióunprogramadeejerciciosparabajardepesoelcualrecomiendahacer sentadillas en cada sesión: “Empiece con cinco sentadillas durante laprimerasemanayluegoaumentetresporsesióncadasemana”.
a) ¿Cuántas sentadillaspor sesiónpodríahacerdurante ladécima semanadeejercicios?
b)SiRoxanacontinúaduranteunañoejercitándosecuatrovecesporsemana,¿cuántassentadillasrealizaráeneseperiodo?
B3 �
117
B3 �Sumasysucesionesdenúmeros
5. DiceunacancióndeBarney: “ElprimerdíadeNavidadmiamadameobsequióungorrioncillo volador, el segundodíadeNavidadmi amadameobsequiódostortolitasyungorrioncillovolador,eltercerdíadeNavidad,miamadameobsequiótresavescanoras,dostortolitasyungorrioncillovolador…”
a)¿CuántosregalosleobsequióeldoceavodíadeNavidad?b)¿Cuántosregalosrecibióduranteelperiodode12días?
6. Edson invirtió $20,000 enunacuentadeahorroquepagaunatasaefectivade8.25% de interés compuesto anualmente. ¿Cuánto dinero hay en su cuenta alfinalizarelquintoaño?
7.Unestudiorevelaqueelvalordeunacasasedepreciaanualmentearazónde1/40 desuvalor.ElingenieroMendozacompróunacasaen$ 250,000pesos.
a)¿Cómovaríaelvalordesucasadurantelossiguientes8años?b)¿Cuántovaldrásucasadentrode8años?
8.Auryiniciaunacadenadee-mailssobreelcuidadodelaguaenviandounmensajeacincodesusamigos,indicándolesquelosreenvíenacincodesusamigos,distintosalosqueellaenvió.
a)Sinadieinterrumpelacadena,¿cuántaspersonashabránrecibidoele-maildeAurydespuésdeochoenvíos?
b)Si suredsocialacumula5,000socios,¿cuántasvecessetienequereenviarelmensajeparaquetodoslohayanrecibido?
9.Losprimeros4númerostriangularesson:
Hallaelveinteavonúmerotriangular
10.Hallarelnúmerototaldecuadradosdetodoslostamañosquepuedentrazarseenuntablerodeajedrez.
Dentro de los diferentes tipos de sucesión que analizaremos están lasprogresiones o sucesiones aritméticas y las progresiones o sucesionesgeométricas.
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
118
B3 �B3 �Unaprogresiónosucesiónaritméticaesunasucesióndondecadaunodelostérminos,posterioresalprimero,seobtieneodeducealañadirunnúmeroconstantellamadorazóndelaprogresión.
Porejemplo,elahorrodeAdelaformaunaprogresiónaritméticaderazón50:100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, …
Loselementosdeunasucesiónaritméticason:
a1=primertérminodelasucesiónd=razónaritméticaan=enésimotérminodelasucesiónn=númerodetérminosSn=sumadelosprimerosntérminos.
Loselementosanterioresserelacionanatravésdelosmodelosmatemáticos:
a a n dn = + -1 1( ) y
Sn
a an n= +2 1( )
Enesteejemplo:
a1 = 100an=loqueahorraencualquiermesa7=loqueahorraenjuliod=50an=100 +(n– 1)dn=elnúmerodemesSn=loquellevaahorradohastaelenésimomesS7=100 + 150 + 200 + 250 + 300 + 350 + 400 = 1,750
Obien:
S7
72
100 40072
5003500
21750= + = = =( ) ( )
Si se conocen los términos de una sucesión aritmética, la diferencia se obtiene alrestarelprimertérminodelsegundoyelsegundotérminodeltercero,paraverificarquedichadiferenciaseaconstante.
Silarazónaritméticaespositiva,sedicequelasucesiónescrecienteysiesnegativa,decreciente.
B3 �
119
B3 �Sumasysucesionesdenúmeros
Enesteejemplo:d=150 -100 = 200 – 150 = 50ylasucesiónescreciente.
Ejemplo
Enlasucesiónaritmética3, 5, 7, 9, …hallareltérminoqueocupaellugar12ylasumadeesosprimeros12términos.
Solución
Observemosquea1 = 3yqued=a2-a1 = 5– 3 = 2,porlotanto:
a a n d
a n nn
n
= + -= + - = + -
1 1
3 1 2 3 2 1
( )
( ) ( )
Donde:
a12 3 2 12 1 3 2 11 3 22 25= + - = + = + =( ) ( ) y
S12
122
3 25 6 28 168= + = =( ) ( )
Ejemplo
Antonioiniciasupreparaciónellunesparalacompetenciadeldomingo.Comienzaunrecorridode 12kilómetros,luegocorre 2kmmásdiariamente.
a)¿Cuántoskmrecorreráelsábado?b)¿Cuántoskmrecorreráantesdelacompetencia?
Solución
ObservamosquelosrecorridosporAntonioformanunasucesiónaritméticaderazón2,yqueelprimertérminodelasucesiónes12.Porlotanto:
a n nn = + - = + -12 1 2 12 2 1( ) ( )
porloqueelsábadoAntoniorecorrerá:
a6 12 2 6 1 12 2 5 12 10 22= + - = + = + =( ) ( ) km
yloskilómetrosrecorridosdurantesupreparaciónson:
S a a6 1 6
62
3 12 22 3 34 102= + = + = =( ) ( ) ( ) km
Porotraparte,acadaunodelostérminosentrelosextremosdeunasucesiónaritméticaselesllamamediosaritméticos.
Porejemplo,lostérminos5, 7, 9sontérminosaritméticosdelasucesión.
120
B3 �B3 �Enparticular,sedefinelamediaaritméticaentredosnúmerosaybcomo:
ma b= +
2
Así,lamediaaritméticade8 y 14es:
m = + = =8 142
222
11
I.Paracadaunadelassiguientessucesionesaritméticasencuentralaexpresióndeltérminogeneral,eltérminoylasumaindicada.
1. -5, -2, 1, 4, 7, …, a10, S10
2. 10, 6,2, -2, -6, …, a15, S15
3. 6, 8.5, 11, 13.5, 17, a20, S20
II.Hallalostérminosindicadosenlassiguientessucesionesaritméticas.1.Hallalosochoprimerostérminosde15, 19, 23,…2.Hallalosdiezprimerostérminosde31, 38, 45,…3.Hallalosprimerosdieztérminosde-10, -4, 2,…4.Hallalosprimerosdieztérminosde–5, -13, -21,…5. Hallalosprimerosdieztérminosde3/10, 2/5, 1/2,…6. Hallalosprimerosdieztérminosde-10, -4, -2, …7. Hallalosprimerosdieztérminosde-2, 1/4...8. Hallalasumadelostérminosdelassucesionesanteriores.9. ¿Cuántostérminostienelasucesión4, 6, 8,…,30?10. ¿Cuántostérminostienelasucesión5, 5 1/2,...,18?11. Elprimertérminodeunasucesiónaritméticaes 5.5 yelterceroes6.5,hallarel
términogeneral,a12yS12
12.Hallalasumadelosprimerosveintemúltiplosde7.13. Hallalasumadelosprimerosdiezmúltiplosde9mayoresque36.
III.Encuentralamediaaritméticadecadaunadelassiguientesparejasdenúmeros.
-9 y 31 -9/2 y 35/4 7 y 32 6/5 y 11/4 -3/8 y 7/4
IV.Resuelvelossiguientesproblemas.1. Considera lasucesióndenúmerosnaturalesS={1, 2, 3, 4,…}.Encuentrauna
expresiónparaanycalculaa200yS200.¿CómopuedeexpresarselafórmulaparaSn?
2. ConsideralasucesióndenúmerosimparesS={1, 3, 5, 7, 9,…}.Encuentraunaexpresiónparaanycalculaa50yS50.¿CómopuedeexpresarselafórmulaparaSn?
4.Unatiendadepartamentalofreceasusclienteslaposibilidaddepagarun
Actividad
B3 �
121
B3 �Sumasysucesionesdenúmeros
televisoren 42semanasdelasiguientemanera:laprimerasemanapaga$ 50;lasegunda,$80;latercera$110,yasísucesivamente.¿Cuántopagaunclienteporuntelevisorendichatienda?
5. El preciode la gasolina aumenta semanalmenteen$0.25. Si el primerodeenerocostaba$8.50ellitro,¿cuántocostaráel31 dediciembre?
6.Lasgananciasdeunescritordurantelosúltimos11añosestánenprogresiónaritmética.Sielprimerañoganó$11,800 yelúltimo$61,800,encuentra lasucesióndelasgananciasdedichoescritor.
7. Una computadora se deprecia en $500 cada mes. Si Jorge adquirió unacomputadoraen$12,500y laacabadevenderen$6000,¿cuántotiempolatuvoensupoder?
8.Lasgananciasdelaboutique“Ladamaderojo”estánenprogresiónaritmética.Elprimerañotuvounagananciade$125,000yelterceraño205,000.¿Cuálfuelagananciaenelsegundoaño?
9. Unapelota que sedeja caer desde la azoteadeun edificio recorre16 piesduranteelprimersegundo,ycadasegundorecorre32piesmásqueelsegundoanterior.Si lapelota tarda6 segundosencaeralpiso, ¿cuáles laalturadeledificio?
10. En cierta escuela se efectúa una rifa con el fin de obtener fondos para lagraduación de sus alumnos de la siguiente forma: se hacen 100 boletosnumeradosdel00al99 ycadaunodeellossemeteenunsobre.Lapersonaque desee comprar un boleto escoge un sobre, y el número impreso en elboletocorrespondealacantidaddedineroquetendráquepagar,enpesos.Porejemplo,sialabrirelsobreelboletomarcaelnúmero18,setendránquepagar$18 porél.Cuántodineroseobtendráalvendertodoslosboletos?
11.Enunafábricahayunmontóndetubosdeaceroacomodadosenformadepirámide,talcomosemuestraenlasiguientefigura.Sienlahilerainferiorhay60 tubos,¿cuántoshayentotal?
12.Alfinaldesuprimermesdetrabajo,Vickyahorra$200.Apartirdeentoncesguarda$100másqueelmesanterior.¿Cuántohabráahorradoaltérminodeunaño?
13.Anselmoincrementasulecturadiariaenunapágina.Sihoyes12dejunioyleyóochopáginas:a)¿Cuántasleeráeldía30?b)¿Cuántaspáginashabráleídoentotal?
14. Ernesto ahorra para comprar unamotocicleta. La primera semana guarda$40, lasegunda$60, latercera$80,yasísucesivamentepor 30semanas.Silamotocicleta le cuesta $16,500, ¿le alcanza para comprarla con el dineroahorrado?
122
B3 �B3 �
Porotraparte,existeuntipodesucesionescuyadiferencianoesconstante.
Unasucesiónoprogresióngeométricaesunasucesiónenlacualcada uno de los términos se deduce u obtiene del anterior almultiplicarloporunaconstantellamadarazóndelasucesión.
Porejemplo,losahorrosdeEsteban1, 2, 4, 8, 16, 32…formanunasucesióngeométricaderazón:
21
42
84
168
3218
2= = = = =
Loselementosdeunasucesióngeométricason:
a1 =primertérminodelasucesiónr=razóngeométricaan=enésimotérminodelasucesiónn=númerodetérminosSn=sumadelosprimerosntérminos
Loselementosanterioresserelacionanatravésdelosmodelosmatemáticos:
a a rnn= −
11( )
y
S
a rrn
n
=−−
1 11
( )
Enestecaso:
a1 = 1an=loqueahorraencualquiermesa7=loqueahorraenjulior=2
a77 1 61 2 2 64= = =-( ) ( )
n=elnúmerodemesSn=loquellevaahorradohastaelenésimomes
S7 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
B3 �
123
B3 �Sumasysucesionesdenúmeros
Obien
S7
71 2 12 1
128 11
127= --
= - =( )
Siseconocenlostérminosdeunasucesióngeométrica,larazónseobtienealdividirelsegundotérminoentreelprimero,yelterceroentreelsegundoparacomprobarquelarazónesconstante.
Silarazónespositiva,yesmayorque1,lasucesiónescreciente;ysiesmenorque1,decreciente.
Ennuestroejemplo:
r = = =21
42
2
Puestoquelarazónesmayorque1,lasucesiónescreciente
Ejemplo
Enlasucesión1/4, 1/2, 1, 2,hallaran,a12yS12
Solución
Aldividiraa
2
1
1214
2= = encontramoslarazóndelasucesión,porlotanto:
a a rnn n= =− −
11 11
42( ) ( )( ) ,dedonde
a1211
11
291
42
22
2 512= = = =( ) y
Sa r
r121
12 14
12 14 3
4
11
2 12 1
40951
1023=−−
=−−
= =( ) ( ) ( )
Ejemplo
Una competencia demaratón repartirá premios a los primerosocho competidoresquearribenalameta.Elprimerpremioesde20,000dólaresyelsegundolamitaddelprimero;el tercero lamitaddelsegundo,etc.¿Cuánto lecorrespondedepremioalquintolugar?¿Cuántodineroserepartiráenpremios?
Solución
Puestoquelarazónes1/2,elenésimotérminodelasucesióndepremioses:
¿Quéocurresilarazóndeunasucesióngeométricaesnegativa?
124
B3 �B3 �
an
n
=
−
20 00012
1
,
ylasucesiónes:
a2
2 1
20 00012
20 00012
20 0002
10 000= =
= =
−
, ,,
,
aa3
3 1 2
20 00012
20 00012
20 0004
5 00= =
= =
−
, ,,
, 00
20 00012
20 00012
20 0008
2 54
4 1 3
a = =
= =
−
, ,,
, 000
20 00012
20 00012
20 00016
15
5 1 4
a = =
= =
−
, ,,
,,
, ,,
250
20 00012
20 00012
20 000326
6 1 5
a = =
=
−
==
= =
=
−
625
20 00012
20 00012
20 000647
7 1 6
a , ,,
==
= =
=
−
312 5
20 00012
20 00012
20 0008
8 1 7
.
, ,,
a1128
156 25= .
S={20,000, 10,000, 5,000, 2,500, 1,250, 625, 312.5, 156.25}
Porloquealquintolugarlecorresponde1,250 dólares.
Lacantidadrepartidaenpremioses:
Sa r
r81
8
8
11
20 00012
1
12
1
20001
25=−−
=
−
−=
( ),
661
12
20 000255256
12
11258
255
18
−
−=
−
−
=−
−
,
( )S
22
1125 2554
= =( )
71,718.75
Además,acadaunodelostérminosentrelosextremosdeunasucesióngeométricaselellama“mediosgeométricos”.Así,lostérminosa2,a3,…,an-1deunasucesióngeo-métricasonmediosgeométricos.
Enparticular,sedefinelamediageométricadedosnúmeroscomo:
G ab=
Asípues,lamediageométricade 8y 18es
G= = × × = × = × =8 18 4 2 9 2 36 4 6 2 12( ) ( )( )
B3 �
125
B3 �Sumasysucesionesdenúmeros
I.Hallareltérminoindicadoencadaunadelassiguientessucesionesgeométricas.1.Elséptimotérminode6,12, 242.Eloctavotérminode 1/3, 1, 3, …3.Elsextotérminode1, 2/5, 4/25,…4.Elséptimotérminode 3, 2, 4/3,…5.Eloctavotérminode-3/5, 3/2, -15/4,…6.Eldécimotérminode-3/4, -1/4, -1/12,…
II.Resuelvelossiguientesproblemas.1.Lapoblacióndeunaciudaddeprovinciahacrecidoanualmenteenprogresión
geométrica.Sienelaño2000lapoblaciónerade59,049habitantesyen2005erade100,000:a)¿Cuáleslarazóndecrecimientoanual?b)¿Cuálfuelapoblaciónen2003?c)Silarazónsemantieneconstante,¿cuálserálapoblaciónen2010?
2.Elprimertérminodeunaprogresióngeométricaes375yelcuarto192.Hallalarazónylasumadeloscuatroprimerostérminos.
3.Lacantidaddebacteriasenciertocultivoesinicialmentede5000yseduplicacada24horas.¿Cuántasbacteriashabrádespuésde96horas?
4. Ladepreciaciónanualdeunamáquinaesde25% desuvalordeventa.Sielcostodeunamáquinafuede$ 40,000, ¿cuálessuvalordespuésde6años?
5.Unciertocultivodebacteriassereproduceen20%cadahora.Sioriginalmentesetienen1000 bacterias,¿cuántashabrádespuésde24horas?
6. Unabombadevacíoelimina lamitaddelairecontenidoenun recipienteencada ciclo. ¿Qué porcentaje de la cantidad original de aire permanece en elrecipientedespuésde5 ciclos?
7.Sicolocas$1enelprimercuadrodeuntablerodeajedrez,$2enelsegundocuadro,$4eneltercero,$8enelcuartoyasísucesivamente,doblandocadavezlacantidad,determinalosiguiente:a)Calculaelnúmerodepesoselcuadro10,ylacantidaddepesosquese
hanacumuladob)Calculaloindicadoanteriormenteenelcuadro17.
8.Lapoblacióndeciertaciudaderade3, 000,000dehabitantesenelaño1999.Silapoblaciónaumentacadaañoaunritmode3.2 %,determina:
a)Elnúmerodehabitantesparaelaño 2005b)Elnúmerodehabitantesparaelaño2009
9. El auditorio de un exitoso programa de televisión se ha incrementado 8%mensual;¿quéaudienciatendráahorasihacesietemesestenía10, 000,000?
Actividad
126
B3 �B3 �Series infinitas
Un caso interesante de las sucesiones geométricas es considerar las seriesinfinitasquedeellassedesprenden,enparticularaquéllascuyarazónseaenvalorabsolutomenorque1.
Sirecordamosqueunasucesióngeométricaesdelaforma:
S a a r a r a r a r a rn n={ }−1 1 1
21
31
11, , , , ..., , , ...
¿EsposiblecalcularlasumaS a a r a r a r a rnn= + + + + + -
1 1 12
13
11... cuandonesmuy
grande,esdecir,cuandonseaproximaalinfinito?
Larespuestaessí,cuando, r <1,encuyocaso:
S
ar
=-
1
1
Porejemplo,enlasucesión S=
112
14
18
116
, , , , , ... cuyarazónesr=1/2,lasumadetodoslostérminoses:
S
ar
=-
=-
= =1
11
112
112
2
Lasseries infinitasnospermitenexpresarnúmerosdecimalesperiódicosenformade número racional; por ejemplo, el número decimal 0.45 podemosexpresarlocomolaserie:
0 454545 0 45 0 0045 0 000045. ... . . . ...= + + +
dondea1=0.45
y r = =0 0045
0 450 01
..
. ,porlotanto:
S =-
= = = = =0 451 0 01
0 450 99
4510099
100
4599
9 59 11
511
..
.
.( )( )
Esdecir, 0 455
11. =
Ejemplo
Dadouncírculoderadio4,seconstruyeunsegundocírculocuyoradiosealamitaddelradiodelanterior,untercerocuyoradiosealamitaddelradiodelsegundoyasí
B3 �
127
B3 �Sumasysucesionesdenúmeros
sucesivamente.¿Cuálserálasumadelasáreasdetodosloscírculosasíformados?
Solución
Setratadesumartodoslostérminosdelaprogresióngeométricaqueformanlasáreasdeloscírculos.
A1 = À (4)2 = 16 À ; A2 = À (2)2 = 4 À ; A3 = À (1)2 = À ;
Observaquesetratadeunaprogresióngeométricadecrecientedondea1=16πycuyarazónes:
2
1
A 4π 1r
A 16π 4� � �
porloquelasumadetodaslasáreases:
1A 16π 64
S= = = π1 3 3
1-4 4
Interpolarquieredecir insertar términosmediosaritméticosogeométricosentredosnúmerosdados.Parainterpolaresnecesarioconocerlarazóndelasucesión,seaaritméticaogeométrica.
Si conocemos dos números y queremos interpolar términos entre ellos, elprimeroesa1yelsegundoesanylarazónaritméticaes:
d
a ann= --
1
1
INTERPOLACIÓN
128
B3 �B3 �Deformaanáloga,larazóngeométricaparainterpolares:
raa
nn= -
1
1
Dondeneselnúmerodetérminosquetendrálasucesión.
Ejemplo
Interpolarcincomediosaritméticosentre -9 y 15
Solución
Puestoquevamosa interpolar5mediosaritméticosentonces lasucesióntendrá7términos,porlotanto:
da a
nn= --
= - --
= =1
115 9
7 1246
4( )
Asípues:d=4
a n nn =- + - =- + -9 1 4 9 4 1( )( ) ( )
Porlotanto,loscincotérminosinterpoladosson: a
a
a
2
3
4
9 4 2 1 9 4 1 5
9 4 3 1 9 4 2 1
9 4 4 1
=- + - =- + =-=- + - =- + =-=- + -
( ) ( )
( ) ( )
( ) ==- + ==- + - =- + ==- + - =- + =
9 4 3 3
9 4 5 1 9 4 4 7
9 4 6 1 9 4 5 115
6
( )
( ) ( )
( ) ( )
a
a
Ylasucesiónqueda:
S={-9, -5, -1, 3, 7, 11, 15}
Ejemplo
Interpolar 4mediosgeométricosentre 96y3, yhallarlasumadetodoslostérminosdelasucesiónencontrada.
Solución
Puesto que queremos interpolar cuatro medios geométricos, el número total detérminosdeestasucesiónesseis,porlotanto:
raa
nn= = = =- -
1
1 6 1 53
961
3212
Actividad
B3 �
129
B3 �Sumasysucesionesdenúmeros
entonces:
an
n
=
−
9612
1
ylostérminosinterpoladossona
a
2
2 1
3
9612
9612
962
48
9612
= =
= =
=
−
= =
= =
=
−3 1 2
4
9612
9614
964
24
9612
a = =
= =
=
−4 1 3
5
9612
9618
968
12
9612
a = =
= =
−5 1 4
9612
961
169616
6
Porloquelasucesiónqueda:
96 48 24 12 6 3, , , , ,{ }Ylasuma:
Sa r
r61
6
6
11
9612
1
12
1
961
641
=−−
=
−
−=
−( )
−=
−
−=−
−=
12
966364
12
3 63212
189
( )
I.Interpolar:1.Tresmediosaritméticosentre 5 y 122.Sietemediosaritméticosentre19 y -5 3.Tresmediosaritméticosentre1 y 34.Cincomediosaritméticosentre-81 y -95.Cuatromediosaritméticosentre-42 y 636.Cincomediosaritméticosentre3/4 y 1/87.Ochomediosaritméticosentre1/2 y -7/168.Cincomediosaritméticosentre-8 y 109.Tresmediosgeométricosentre 5 y 312510.Sietemediosgeométricosentre8 y 1/3211.Seismediosgeométricosentre128 y 212.Cuatromediosgeométricosentre-224 y -713.Cuatromediosgeométricosentre16/21 y 41/2
Actividad
Elmásgrandeárbolnacedeunasemilla,unatorredenuevepisoscomienzaconunpuñadodetierrayuncaminodemilleguasiniciaconunpaso.
Proverbiochino
130
B3 �B3 �II.Encuentralosprimerostérminosdecadaunadelassiguientessucesiones.
1. a
nnn = +2 1
2. annn =-+
11
3. ann
n
= +
1
1
4. -( )+2 1n
5. an
n
n
=−( )+( )
+1
1
1
2
III.Encuentraeltérminoenésimodecadaunadelassucesionesaritméticasindicadasyeltérminoylasumaindicada.1. a1 = -5, d = 3; a20, S20 2. a1= -18, d = 5; a12, S12 3. a1 = 1/3, d =2/3; a10, S10
4. a1 = 1/6, a2 = ¼, a19, S19
5. a1 = -12, a40 = 22; S40
IV.Encuentraeltérminoenésimodecadaunadelassucesionesgeométricasindicadasyeltérminoylasumaindicada.1. a1 = -6, r = -1/2; a10, S10
2. a1 = 12, r = 2/3; a8, S8 3. a1 = 6, r = -2; a12, S12
4. a1 = 9, a4 = 8/3; S4
5. a1 = 1, a7 = 729; S7
V.Interpola:1. Cincomediosaritméticosentre12 y 602.Seismediosaritméticosentre40 y 903.Cuatromediosaritméticosentre -8 y 124.Cincomediosaritméticosentre-3/4 y 5/85. Seismediosaritméticosentre8 y -26.Cuatromediosgeométricosentre8 y 647.Tresmediosgeométricosentre5/6 y 25/128.Cincomediosgeométricosentre75 y 409.Seismediosgeométricosentre 4 y 4910.Cuatromediosgeométricosentre25/6 y 1/3
VI.Resuelvelossiguientesproblemas.1.Hallalasumadetodoslosnúmerosparescomprendidosentre98 y 1002.2.Elprimertérminodeunaprogresiónaritméticaes17,elúltimo12yladiferencia
-1/2.Averiguacuántostérminostieneestaprogresiónycuántovalesusuma.
B3 �
131
B3 �Sumasysucesionesdenúmeros
3.Elprimerodeunaprogresiónaritméticadeochotérminoses4/25 yelúltimo1/4.Hallalasumadelosochotérminos.
4. Elprimer términodeunaprogresiónaritméticaes1,el segundo2 y lasumadetodoses210.Averiguacuántostérminostieneestaprogresión.
5. Halla la suma de todos los múltiplos de cinco comprendidos entre 1 y 1000(incluido).
6. Interpolaseismediosaritméticosentre32 y 70.7.¿Cuántosnúmerosimparesconsecutivos,despuésdel7,suman153?8. Hallalasumadelosveinteprimerosmúltiplosde3.9. Unapersona,alnopoderpagardeunavezunadeudade€12,950,proponeasu
acreedor pagarle €600 al final del primermes y cadames€50más que elmesanterior.¿Encuántosmesessecancelaráladeudaycuálseráelimportedelúltimopago?
10. Hallaeltérminoqueocupaellugar100enlaprogresión − − − −
5133
113
3, , , , ... 11. Encontrar los cinco primeros términos de una progresión aritmética donde el
décimotérminovale60yladiferenciavale3.12.Hallalasumadetodoslosnúmerosimparescomprendidosentre100 y 200.13.Enunaprogresiónaritméticaelprimertérminovale 3yladiferenciaes2.Averigua
cuántostérminosdeestasucesiónhayquesumarparaqueelresultadosea10200.14. Demostrarquelasumadelosnprimerosnúmerosimparesesigualan2.15. Calculalasumadetodoslosmúltiplosde 13comprendidosentre 20 y 190.16.Uncoronelquemanda3003soldadosquiereformarlosentriángulo,demanera
quelaprimerafilatenga 1soldado,lasegunda2,latercera3yasísucesivamente.¿Cuántasfilastendrálaformación?
17. Calcularcuántosdíasestuvotrabajandouncamareroenunestablecimientosielprimerdíarecibióunagratificaciónde €10,ycadadíaquepasabarecibía3 €másdegratificación,llegandoacobrarelúltimodía€55.
18.MartínfuedevacacionesaEuropaygasta238 €elprimerdía;apartirdeahí,gastó€ 6 menoscadadía.Sipermaneciódevacacionesdurante40días,¿cuántodinerogastóensusvacaciones?
19.Elalquilerdeunabicicletacuesta$10laprimerahoray$5máscadanuevahora.a)Hallaunafórmulaquenosdéelpreciototaldealquilerdenhoras.b)¿Cuáleselpreciototaldealquilerde7horas?
20.Losángulosdeuntriánguloestánenprogresiónaritmética.Sielmenormide30º,¿cuántomidecadaunodelosotrosángulos?
21. Un carpintero desea construir una escalera con 10 peldaños cuyas longitudesdecrecendemanerauniforme,de32pulgadasenlabasea18pulgadasenlapartesuperior.Determinalalongituddemaderanecesariaparatodoslospeldaños.
22.Unapilatiene24troncosenlabase, 22enlasegundacapa,20enlatercera,etc.Silacapasuperiortiene10 troncos,encuentralacantidaddeéstosenlapila.
23. Unciclista avanza cuesta abajopor unapendiente1.5mel primer segundo, ycadasegundosucesivodesciende2mmásqueelsegundoanterior.Siélterminalacuestaen11 segundos,¿quédistanciadescendió?
24.Calcula a qué altura sobre el suelo se encuentra una persona que vive en unoctavopiso,silaplantabajadeledificiotieneunaalturade 4mycadadospisosconsecutivoshayundesnivelde2.8m.
25. Unapersonaconsigueunpréstamode$ 20 000enunbanco,latasadeinteréses
132
B3 �B3 �de 3.8 %mensual.Calculalacantidadtotaldedineroquevaapagaren6meses.26. Una sustancia duplica su volumen cada minuto. A las 10 de la mañana, una
pequeñacantidaddelamismaescolocadaenunrecipiente,yalas10horas30minutos,elrecipienteestálleno.¿Aquéhoraestabaelrecipienteauncuartodesucapacidad?
27. Unamáquina costó inicialmente$10,480.Al cabode unos años se vendió a lamitad de su precio. Pasados unos años, volvió a venderse por lamitad, y asísucesivamente.¿Cuántolecostólamáquinaalquintopropietario?
28. Sieltotaldepropietarioshasido7,¿cuáleslasumatotalpagadaporesamáquina?29.Hallalasumadelas12primeraspotenciasde2.30.Hallalasumadelossieteprimerostérminosdelaprogresióncuyostresprimerostérminosson:
2 33 2
2, ,
31.Elprimertérminodeunaprogresióngeométricailimitadaderazónmenorque1es2/3,yellímitedelasumadetodossustérminoses 1.Calculalarazóndelaprogresión.
32. En una bodega hay dos enormes depósitos de vino A y B. Todos los días sesacan ciertas cantidades de vino de cada uno de los depósitos. Del depósitoA se extrajeron cinco litros el primer día, 10 el segundo, 20 el tercero y asísucesivamente.DeldepósitoBseextrajeron2litroselprimerdía,4elsegundo,8elterceroyasísucesivamente.ElúltimodíaseextrajerondeldepósitoA96litrosmásquedeldepósitoB. ¿Cuántos litrosdevinoseextrajeronen totaldecadadepósitoydurantecuántosdías?
33. En una progresión geométrica ilimitada de razónmenor que uno, el segundotérmino vale 16 y el límitede la sumade todos sus términos es64.Calcula elprimertérminoylarazón.
34. La población de una provincia ha aumentado durante 5 años en progresióngeométrica,pasandode200,000a322,102habitantes.¿Cuálhasidolarazóndelaprogresión?Exprésalaenporcentaje.
35.Enunaprogresióngeométricailimitadaderazónmenorque1ellímitedelasumadetodossustérminoseseldobledelasumadeloscincoprimerostérminos.Hallalarazóndedichaprogresión.
36.Un estanque de 28,800 metros cúbicos de capacidad se llena de agua en doshoraspormediodecuatrocañoscuyoscaudalesdeagua(enmetroscúbicosporsegundo)estánenprogresióngeométricaderazón3.Averiguaelcaudaldecadaunodeloscaños.
37. Cuentalaleyendaqueelinventordeljuegodelajedrezpidiócomorecompensaasureyungranodearrozporlaprimeracasilla,dosporlasegunda,cuatroporlatercera,8porlacuartayasísucesivamentehastacompletarlas64casillasquetieneeltablero.¿Cuántoshectolitrosdearrozpidióelinventorsuponiendoqueenunlitrocaben20000granosdearroz?
38. Aquí tienes una conexión entre números y Geometría, los llamados númerospoligonales:triangulares,cuadrangulares,pentagonales...
Autoevaluación
B3 �
133
B3 �Sumasysucesionesdenúmeros
a)Hallalostressiguientesnúmerospoligonalesdecadaunodelostiposquefiguranarriba:triangulares,cuadrangularesypentagonales.
b)Obténeltérminogeneraldelasucesióndelosnúmeroscuadrangulares.c)¿Cuáleseltérminogeneraldelasucesióndenúmerostriangulares?d)Calculaeltérminogeneraldelasucesióndenúmerospentagonales.e)Calculalosdiezprimerostérminosdelasucesióndenúmerospentagonales.
I.Colocadentrodelparéntesislarespuestacorrecta. 1.Esunconjuntoordenadodenúmerosquesededucenunosdeotrosmedianteunaregladefinida:()a)Proporción b)Razón c)Sucesión d)Conjunto2.Aloselementosdeunasucesiónselesllama: ()a)Término b)Antecedente c)Consecuented)Razón3.Eltérminofaltanteenlasucesión 3, 1, 7, 2, ___, 3, 15es: () a) 4 b) 11 c) 3 d) 134.Sielenésimotérminodelasucesiónes an
n= +3 2 entoncesa6es: ()a) 67 b) 15 c) 3125 d) 1925.LareglaquedefinealasucesiónS={0, 3, 8, 15, 24, 35, ….}es: ()a) a nn = -2 1 b) a nn = -( )1 2 c) a nn = +2 1 d) a nn = -16.Eslasumadeloselementosdeunasucesión: ()a)Término b)Serie c)Consecuented)Razón
7. Esunasucesióndondecadaunodelostérminosposterioresalprimero,seobtieneodeduceañadiendounnúmeroconstante ( )
a) 67 b) 15 c) 3125 d) 192
Autoevaluación
134
B3 �B3 �8. Esunasucesiónenlacualcadaunodelostérminossededuceuobtienedelanteriormultiplicándoloporunaconstante: ( ) a)Aritmética b)Geométrica c)Creciented)Decreciente
9. Representaunasucesiónaritmética: ( ) a) 4, 6, 8,… b) -3, 0, -3, 6, -3,… c) 1, .5, 0.25, 0.125,… d) 1, 4, 9, 16,...10. Representaunasucesióngeométrica: ( ) a) 1, 4, 9, 16,... b) 81, 27, 9, 3,… c) -3, 0, -3, 6, -3,… d) 4, 6, 8,…11. Larazónaritméticadeunasucesióndondea1= 9 y a10 = -6 es: ( ) a) -1 b) 1/2 c) -3/2 d) 3/2
12. Esunmedioaritméticodelasucesión an
n = - -9
13
( ): ( )
a) 12 b) 4/9 c) 15 d) 813. Esunmediogeométricodelasucesión an
n= - -3 2 1( ) : ( ) a) 0 b) -6 c) 10 d) -814. Lamediaaritméticade-25y33es: ( ) a) 29 b) 4 c) -29 d) -415. Lamediageométricade8 y 9es: ( ) a) 72 b) 9.5 c) 6 2 d) 2 6
II.Encuentraloqueseteindica.1.Hallarlosprimeros6términosdelaseriearitméticasia1=-2/3 ylarazónes5/62.Hallarlosprimeros8 términosdelasucesióngeométricadondea1 = 729yla
razónes1/33.ConsideralasucesiónaritméticaS={-6, -21/4, -9/2, -15/4, -3,…}.Encuentrala
fórmulaparaanyencuentraa20yS20
4.ConsideralasucesióngeométricaS={100, 50, 25, 25/2, 25/4,…}.Encuentralafórmulaparaanyencuentraa10 yS10
5. Encuentra la media aritmética y la media geométrica de cada una de lassiguientesparejasdenúmeros.
a)6 y 24, b)¾ y 12 c)8 y 9 d)-14 y -56 e)-4 y 166.Encuentra5mediosaritméticosentre12 y ¾ 7.Encuentra 4mediosgeométricosentre6 y 24
III.Resuelvelossiguientesproblemas.1. Para una competencia de motocross se levanta una rampa de pendiente
uniformepormediode9soportes igualmenteespaciados.Lasalturasdelossoportesmenorymayorson 0.5m,y6.5mrespectivamente.Hallarlalongituddecadaunodelossoportes
2.Lasprimeras10 filasdeunteatrotienen20, 22, 24, etc.asientos.Lasfilasdelaundécimaalavigésimatienen50asientoscadauna.¿Cuántosasientosentotaltieneelteatro?
3.RobertosefuedebraceroatrabajaralosEstadosUnidosydurantesuprimerasemanadetrabajocomomeseroganóundólarellunes,2dólareselmartes,4elmiércolesyasísucesivamentehastaelsábado.¿Cuántoganóelsábado?¿Ydurantetodalasemana?
4. Alicia fue de vacaciones a Europa durante una semana. El primer día gastó€2,187; después, la tercera parte del día anterior. Si viajó con €4,000, ¿concuántoregresó?
B3 �
135
B3 �Sumasysucesionesdenúmeros
Evaluación Formativa
Aliciatieneunainfecciónenlagargantayleadministranunainyeccióndepenicilina.Sucuerpoeliminagradualmente lapenicilinademodoqueunahoradespuésde lainyección,sóloel60%permaneceactiva.Estapautacontinúa,alfinaldecadahorasólopermaneceactivoel60% de lapenicilinapresenteal final de lahoraanterior.SupónqueaAliciaselehaadministradounadosisde500 miligramosdepenicilinaalas10 delamañana.
1. EncuentraelmodeloquedescribelaconcentracióndepenicilinaenlasangredeAlicia.
2. Completa la siguiente tabla escribiendo el total de penicilina que permaneceráactivaenlasangredeAliciaaintervalosdeunahoradesdelas10:00hastalas15:00 horasutilizandoelmodeloanterior.
Hora 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00
Concentración(mg) 500 300 180 108 64.8 38.88
3.Lapenicilinasóloesefectivacuandolaconcentracióndepenicilinaenlasangreesmayorde50mg.a)¿AquéhoraesconvenienteaplicarleotrainyecciónaAlicia?b)Explicaturespuesta.
Escala de Rango
Nombredelalumno:
Escaladevaloración:0Nulo1Deficiente2Aceptable3 Satisfactorio
Aspectos observables Sí No Estimación
Comprendiólasituación.
Encontróelmodelo.
Completólatabla.
Resolvióelproblema3
Explicólarespuestadelproblema3
Presentacióndelassoluciones.
TOTAL:Cal
Total=
×=
1018
Observaciones:
Nombredequienrevisó:
BLO
QU
E
4 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »
SUG
EREN
CIA
DE
EVID
ENCI
AS
DE
AP
REN
DIZ
AJE
»
UN
IDA
D D
E CO
MP
ETEN
CIA
»Realiza transformaciones algebraicas I
• Identificalasoperacionesdesuma,restaymultiplicacióndepolinomiosenunavariable.
• Identificaelproductodebinomios,aplicandopatronesdeproductosnotables.
• Comprendelastécnicasdeextraccióndefactorcomúnsimpleyporagrupación.
• Comprendelastécnicasdefactorizaciónbasadasenproductosnotablesdediferenciadecuadradosydetrinomioscuadradosperfectos.
BLO
QU
E
4 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »
SUG
EREN
CIA
DE
EVID
ENCI
AS
DE
AP
REN
DIZ
AJE
»U
NID
AD
DE
COM
PET
ENCI
A»
• Ejecutasumas,restasymultiplicacionesconpolinomiosenunavariable.
• Empleaproductosnotablesparadeterminaryexpresarelresultadodemultiplicacionesdebinomios.
• Formulaexpresionesenformadeproducto,utilizandotécnicasbásicasdefactorización.
• Utilizalosproductosnotablesdediferenciadecuadrados,ydetrinomioscuadradosperfectos.
• Establecerelacionesentreprocesosinversosalmultiplicaryfactorizar
• Valoralaconvenienciadeanticiparresultadosalmultiplicarbinomios,mediantepatronesestablecidos.
• Reflexionarespectoalaventajaderealizardiversastransformacionesalgebraicasparasimplificarointerpretarresultados.
• Proponemanerascreativasdesolucionarunproblema.
• Reconocesuserroresenlosprocedimientosalgebraicosybuscasolucionarlos.
Construyeeinterpretamodelosaritméticos,algebraicosygráficosaplicandolaspropiedadesdelosnúmerosrealesyexpresionesalgebraicas,relacionandomagnitudesconstantesyvariables,yempleandolasliteralesparalarepresentaciónyresolucióndesituacionesy/oproblemasalgebraicos,concernientesasuvidacotidianayescolar,queleayudanaexplicarydescribirsurealidad.
Identificalascaracterísticaspresentesentablas,gráficas,mapas,diagramasotextos,provenientesdesituacionescotidianasylostraduceaunlenguajealgebraico.
• Efectúasumas,restasymultiplicacionesconpolinomiosenunavariable.
• Obtieneelproductodebinomiosconjugados;elproductodebinomiosconuntérminocomún;elevaunbinomioalcuadrado.
• Factorizaexpresionescuyostérminosposeenunfactorcomúnnumérico,unfactorconvariables,ounfactorbinomio.
• Agrupatérminosparaobtenerunfactorcomún,oformardiferenciadecuadrados,oformartrinomioscuadradosperfectos.
• Factorizausandounaovariastécnicasmedianteagrupacióndetérminos.
• Resuelveoformulaproblemasdesuentornouotrosámbitos;interpretasolucionesyargumentaéstasutilizandodistintasformasdecomunicaciónyrepresentaciónmatemática.
138
B4 �B4 �INTRODUCCIÓN
Enestebloqueiniciamospropiamenteelanálisisdelaramadelasmatemáticasconocidacomoálgebra.
Álgebraeslaramadelasmatemáticasqueempleanúmeros,letrasy signos para generalizar las distintas operaciones aritméticas.Estudialasestructuras,lasrelacionesylascantidades.
Iniciaremos con el análisis de los conceptos básicos para una adecuadacomprensióndelamisma.
1.Calculaelperímetrodelasiguientefigura.
2.Calculaeláreadelasiguientefigura.
3.Encuentraunmodelomatemático (fórmula)paracalcularel áreade la siguientefigura.
Evaluación diagnóstica
B4 �
139
B4 �RealizatransformacionesalgebraicasI
4.Realizalassiguientesoperaciones.
3(4 + 8 – 6) + 2[3 – 4( 5 – 3)] = 34
56
23−
=
4096 =
642
3( )
=
Polinomios
Consideralassiguientessituacionesyrespondeloqueseteindica.
1.Parasufiestadegraduación,losalumnosdetercergradoelaborantortasparasuventadentrode lacafeteríade laescuelayutilizan $120.Sivendenlastortasa $10:a)Encuentraunmodeloquerepresentelasgananciasdelosalumnosenrelación
conelnúmerodetortasvendidas.b)¿Tienengananciassivendensolamente6tortas?c)¿Cuántastortasdebenvenderpararecuperarlainversión?d)Siprepararon30tortas,¿cuáleslagananciamáximaquepuedenobtener?
2.Durantesusvacacionesdeverano,Robertotrabajavendiendolibroscasaporcasa.Susalarioes$80diariosmás$50 porcadalibrovendido.a)EncuentraunmodeloquerepresentelasgananciasdeRobertoenrelacióncon
elnúmerodelibrosvendidos.b)¿Cuálessusalariodeundíasivende12libros?
3. Carlos tiene un terreno como elmostrado en la siguiente figura. Encuentra unmodeloparacalcularelperímetroyhallarlocuandoxtomaelvalorde4m.
4.Encuentraunmodeloparacalculareláreadelasiguientefiguraycalcúlalacuandoxvale8m.
Actividad introductoria
140
B4 �B4 �
En el bloque I iniciamos el estudio de las expresiones algebraicas comomodelosmatemáticosycalculamoselvalornuméricode talesexpresiones.Analizaremos ahora un tipo particular de expresión algebraica llamadopolinomioyconoceremossuselementos.
Laexpresiónalgebraicamássimplees:
Términoomonomio:Esunaexpresiónalgebraicaquenocontieneoperacionesnidesumanideresta.
Porejemplo,sontérminosomonomios:
3x, -6xy, πr2, 5x2y3, 3 x
Loselementosdeuntérminoomonomioson:
CONCEPTOS BÁSICOS
B4 �
141
B4 �RealizatransformacionesalgebraicasI
Untérminopuedeteneruna,dosomásvariablesycadaunadeellastenerelmismoexponenteoexponentesdiferentes.Enparticular,aqueltérminoquenocontienevariables,selellamatérminoindependiente.
• Alaparteliteraltambiénselellamafactorliteral.• Todotérminotieneungrado.• Gradodeuntérminoenunavariableeselexponentededichavariable.• Gradodeuntérminoeslasumadelosgradosdecadaunadelasvariables
quecontiene.
Porejemplo-6x2y3esuntérminode2ºgradoenx,esde3ºgradoeny,yengeneral,esuntérminode5ºgrado.
Unpolinomioesunaexpresiónalgebraicaqueconstadedosomástérminosseparadosporoperacionesdesumaoresta.Porejemplo:
10x – 120, 50x + 80, x3 + 3x2 – 6, 13
34
62 2x xy y- +
Siunpolinomio tienedos términos se llamabinomio, si tiene tres se llamatrinomioysitienecuatroomás,segeneralizaapolinomio.
Unpolinomiopuedetenerunaomásvariables,ytienetambiénungrado.
Elgradodeunpolinomioenunavariableeselmayorexponentedeesavariabledentrodelpolinomio.
Elgradodeunpolinomioesigualalgradodeltérminodemayorgradodentrodeél.
Por ejemplo, el siguiente polinomio tiene cuatro términos (uno de ellosindependiente)ytresvariables:
x x y z4 2 32 4+ - +
Elprimertérminoesde4ºgrado,elsegundode 5ºgrado,eltercertérminode1ºgradoyelcuartotérminonotienegradoporseruntérminoindependiente.1Porlotanto,estepolinomioesde:
4ºgradoenx3ºgradoeny1ºgradoenz
5ºgradoengeneral
Enlossiguientespolinomiosseindicaelgradoconrespectoacadaunadesusvariables.
1Algunosautoreslellamangradoceroalgradodeltérminoindependiente.
142
B4 �B4 �1. 5a5b – 3a3b2 + 10ab3 + 5a – 7besunpolinomiodegrado5 respectodea,y
degrado3respectodeb.
2. 3 x2y4 + 7x2y2 + 5xy – 1esunpolinomiodegrado2respectodex,ydegrado4respectodey.
3. 3m4n3 + 13m3n2 + 3m2n – 6m + 7 esunpolinomiodegrado4respectodem,ydegrado3respectoden.
Enlossiguientespolinomiosseindicaelgradorespectoalavariable.
1.p(x)=x2+ 5x+6esunpolinomiodegrado2,ode2ºgrado.2.r(x)=2x5+3x4–7x3 + 3x2 + 4x – 8 esunpolinomiodegrado5.3.q(x)=3x + 1esunpolinomiodegradouno,ode1er.grado.4.m(x)=x3 + 3x2 + 3x + 10esunpolinomiodegrado3,ode3er.grado.5.s(x)=5esunpolinomiodegrado0ysellamapolinomioconstante.6.p(x)=0aestepolinomionoseleasignagradoysellamapolinomionulo.
Sepuedeobtenerelvalornuméricodeunpolinomiosustituyendolasvariablesporvaloresnuméricosdadosyefectuarlasoperacionesindicadas.
Ejemplos
I.Enelparéntesisseindicaelnúmerodetérminosqueformancadapolinomioyauncostadoelnombrequereciben:
1. ( 2 ) x3 + 1 binomio2. ( 4 ) 3x3 + 2x2 – x + 9 polinomio3. ( 2 ) m3 + m binomio4. ( 3 ) x2 + 5x – 3 trinomio5. ( 1 ) (6m5)(2m) monomio6. ( 1 ) 5x3 monomio7. ( 2 ) x3 + 2x(x)(3) binomio8. ( 2 ) (x3)2 + 1 binomio9. ( 2 ) x2 – 1 binomio10. ( 3 ) x3 + 2x – 6 trinomio
II.Enlatablasemuestranlosfactoresnuméricoyliteraldeltérminoalgebraicoqueseindica.
Término Factor numérico Factor literal
–3x2 –3 x2
4x3y 4 x3y
– n5 –1 n5
5mn2 5 mn2
B4 �
143
B4 �RealizatransformacionesalgebraicasI
III.Enesteejerciciosemuestracómoseevalúaelpolinomiop(x)=x2 + 3x – 5para
x=1, x = 3, x = –5 y x = 34
p(1) = (1)2 + 3(1) – 5 = 1 + 3 – 5 = – 1 p(3) = (3)2 + 3(3) – 5 = 9 + 9 – 5 = 13 p(–5) = (–5)2 + 3(–5) – 5 = 25 – 15 – 5 = 5
p34
34
334
59
1694
53516
2= +
− = + − =−
I. Indicaenelparéntesiselnúmerodeelementosqueformanlossiguientespolinomiosyenlalíneaelnombrequereciben:1. ( ) 5x3 + x – 2 2. ( ) 4x4 + 2x + 9 3. ( ) m3 + 2m 4. ( ) 5x3 + x2 + 6x – 2 5. ( ) (6m5)(3m)2 6. ( ) 8x3– 1 7. ( ) x3 + 5x2 + 3 8. ( ) (3x3)2 – 9 9. ( ) x4 – 16 10. ( ) 5x5
II. Completalatablaconlosfactoresdeltérminoqueseindica.
Término Factor numérico Factor literal
–8x3
10x2y3
– 5mn2
x2yz III.Evalúalospolinomiosparalosvaloresqueseindican.
1. p(x) = x2 + 5x – 3, para x = 1, x = 2, x = –3 y x = 12
2. p(x) = 3x2 + x – 3, para x = 0, x = 1, x = –1 y x = 32
3. p(x) = x3 + 2x2 - 3x – 5, para x = 0, x = 1, x = –1 y x = 2
Actividad
144
B4 �B4 �
Eltérminopolinomioyadebeserconocidoporti,sinembargo,cabeplantearselapregunta:¿quéutilidadtiene?Algunasrespuestassonlassiguientes:
•Modelaryexpresarenformasimplificadaunasituaciónproblemática. Por ejemplo, la ganancia de los alumnos vendedores de tortas descrita
anteriormente,elcualpuederepresentarsecomo:
G=10x – 120
Dondexrepresentaelnúmerodetortasvendidasy120loqueinvirtieron.También,elsalariodeRoberto:
S=50x + 80
Dondexrepresentaelnúmerodelibrosvendidosy80susalariodiario,loquepermitesimplificarunasituaciónproblemática.
• Mostrarunageneralizacióndellenguajearitmético.Porejemplo,alcalcularelperímetrodelterrenodeCarlos:
P=x + (6x + 3) + (3x – 4) + (8x + 5) + (4x – 1)
Oeláreadelafigura:
A x x x xx x x
= ( ) + ( )( ) + +2 2 5
8 2 32
( )( )( )
Donde generalizamos las operaciones aritméticas y las traducimos alálgebra.
•Haceroperacionesenellenguajealgebraico:suma,resta,multiplicaciónydivisión.Por ejemplo, podemos simplificar el perímetro y el área de la siguientemanera:
P x= +22 3
A x= 27 2
OPERACIONES CON POLINOMIOS
B4 �
145
B4 �RealizatransformacionesalgebraicasI
Resultados que se obtienen de la suma y lamultiplicación de los términosalgebraicos.
Analizaremospueslasreglasquenospermitenoperarpolinomios.
Suma y resta
Lasumaylarestadepolinomiosestánbasadasenlasumayrestadetérminossemejantes.
Dos o más términos son semejantes si tienen la misma parteliteralyla,olasvariablesiguales,tienenlosmismosexponentes,esdecir,sisólodifierenensuscoeficientes.
Porejemplo,lossiguientestérminossonsemejantespuessólodifierenensuscoeficientes:
3xy2, -6xy2, xy2
Mientrasque:
5xy, 4xy2 y -3x2y
no son semejantes, pues aunque contienen la misma parte literal, losexponentesdelasvariablesigualessondistintos.
Parareducirtérminossemejantes,solamentesesumanorestanloscoeficientesde dichos términos respetando las leyes de los signos, manteniéndose lamismaparteliteral,porejemplo:
3xy2- 6xy2 + xy2 = (3 – 6 + 1)xy2 = -2xy2
4x2 + 7x2 – 3x2 – 5x2 = 3x2
6x2y2 + (–12x2y2) + x2y2 = 6x2y2 – 12x2y2 + x2y2 = –5x2y2
En la reducción o simplificación de términos semejantes juega un papelimportantelaeliminacióndelosdiferentessímbolosdeagrupación:(),[],{}.
Paraeliminarunsímbolodeagrupaciónprecedidoporunsignopositivo,sim-plementeseelimina.Porejemplo:
(3x + 2y – 3z) = 3x + 2y – 3z
Paraeliminarunsímbolodeagrupaciónprecedidoporunsignonegativo,di-chosímboloseeliminacambiandoelsignodetodoslostérminosdentrodeél.
146
B4 �B4 �Porejemplo:
-[x3 + 4x2 - 6] = -x3 - 4x2 + 6
Paraeliminarunsímbolodeagrupaciónprecedidoporunnúmeropositivo,simple-menteseeliminamultiplicandoelnúmeroportodos lostérminosdentrodeél res-petandolossignosdecadaunodeellos.Porejemplo:
4(5x + 3y – 8z) = 20x + 12y – 32z
Paraeliminarunsímbolodeagrupaciónprecedidoporunnúmeronegativo,seeliminamultiplicandocadatérminodentrodeélporelnúmeroycambiandolossignos.Porejemplo:
-4{4a – 3b + 7c} = -16a + 12b – 28c
Paraeliminarsímbolosdeagrupaciónanidados,seeliminandeadentrohaciafuerarespetandolasreglasanteriores.Porejemplo:
4{2x + 3y -3[x + 2z - 5(x - 3y – 2z)]} = 4{2x + 3y -3[x + 2z - 5x + 15y + 10z]} = 4{2x + 3y -3[-4x+15y + 12z]} = 4{2x + 3y +12x - 45y - 36z} = 4{14x - 42y – 36z} = 56x – 168y – 144z
Veamosotroejemplo:
Simplificarlasiguienteexpresión
3(x +y – 2z) – 4(y +3z) + 2(3x – 5z) = 3x + 3y – 6z – 4y – 12z + 6x – 10z = 9x – y -28z
En la suma y resta de polinomios lo más importante es identificar los términossemejantes.
Alsumardosomáspolinomios,seasocianysereducensustérminossemejantes.
Ejemplos
Observaalgunassumasdepolinomiosconsuresultadocorrespondiente.Elresultadoestáennegritas
(3x +2) + (–2x + 3) = 3x + 2 – 2x + 3 = (3x – 2x) + (2 + 3) = x + 5
(5x2 + 6x +1) + (–7x +2) = 5x2 + 6x + 1 – 7x + 2 = 5x2 + (6x – 7x) + (1 + 2) = 5x2 – x + 3
B4 �
147
B4 �RealizatransformacionesalgebraicasI
(– 4x2 + 6x – 3) + (–7x2 – 4x + 5) = – 4x2 + 6x – 3 – 7x2 – 4x + 5 = (– 4x2 – 7x2) + (6x – 4x) + (–3 + 5) = –11x2 + 2x + 2
(12m2 + 9m –10) + (8m2 + 3m +15) + (m2 – 3) = 12m2 + 9m –10 + 8m2 + 3m +15 + m2 – 3 = (12m2 + 8m2 + m2) + (9m + 3m) + (–10 + 15 - 3) = 21m2 + 12m + 2
(8a5b – 6a3b2 + 6ab3 + 5a) + (17a5b + 3a3b2 + 4ab3 –7b) = 8a5b – 6a3b2 + 6ab3 + 5a + 17a5b + 3a3b2 + 4ab3 –7b = (8a5b + 17a5b) + (– 6a3b2 + 3a3b2) + (6ab3 + 4ab3) + 5a –7b = 25a5b – 3a3b2 + 10ab3 + 5a –7b
(–3bcd4 + 6cd2 + 2cd –1) + (–3d2c + 2cd4b +1) = –3bcd4 + 6cd2 + 2cd –1 –3d2c + 2cd4b +1 = (–3bcd4 + 2bcd4) + (6cd2 – 3cd2) + 2cd + (–1 + 1) = – bcd4 + 3cd2 + 2cd
Recuerdaque enuna resta, a la cantidadque se resta se le llama sustraendo, a lacantidadalacualseleresta,minuendoyalresultadodelaoperación,restaodiferencia.
A - B =C
minuendo
sustraendo
resta o diferencia
Al restar dos polinomios debe identificarse cuál es el minuendo y cuál elsustraendoparahacerlaoperacióncorrectamente.
Al restardosomáspolinomios, se cambiael signoa todos lostérminosdelpolinomioqueseresta(sustraendo)paraconvertirlaoperaciónenunasumayefectuarlacomotal.
Acontinuación,semuestranalgunas restasdepolinomiosconsu resultadocorrespondiente.
Ejemplos
I.Observalasrestasrealizadas.Elresultadoestáennegritas
1. (2x + 5) – (–2x +3) = 2x +5 + 2x -3 = (2x + 2x) + (5 – 3) = 4x + 2
148
B4 �B4 �2. (x2 + 4x + 4) – (7x + 9) = x2 + 4x + 4 – 7x –9 = x2 + (4x – 7x) + (4 – 9)
= x2 – 3x – 5
3. (4x2 + 2x – 1) – (x2 – 2x – 1) = 4x2 + 2x – 1 – x2 + 2x + 1 = (4x2 – x2) + (2x + 2x) + (–1 + 1)
= 3x2 + 4x
4. (7m3 + 3m2 – 4m + 5) – (3m4 – 6m3 + 2m – 2) = 7m3 + 3m2 – 4m +5 –3m4 + 6m3 – 2m + 2 =
= –3m4 + (7m3 + 6m3) - 3m2 + (–4m – 2m) + (5 + 2) = –3m4 + 13m3 + 3m2 – 6m + 7
5. (5x2yz4 + 6xy2 + 2yz –1) – (–3y2x + 2x2z4y +10) = 5x2yz4 + 6xy2 + 2yz –1 + 3y2x – 2x2z4y –10
= (5x2yz4 – 2x2yz4) + (6xy2 + 3xy2) + 2yz + (–1 – 10) = 3 x2yz4 + 9xy2 + 2yz – 11
II.De(4x2 + 3x – 9)resta(2x2 – 8x + 3)
Laoperaciónpedidaes:(4x2 + 3x – 9) - (2x2 – 8x + 3) = 4x2 + 3x – 9 - 2x2 + 8x – 3 = 2x2 +11x - 12
III.Resta(4x – 8y + 5) de (9x + 8y + 7)
Laoperaciónindicadaes:(9x + 8y + 7) - (4x – 8y + 5) = 9x + 8y + 7 - 4x + 8y - 5 = 5x + 16y + 2
Delasumade(4x2 + 3xy – 8y2) y (3x2 – 5xy – 2y2) sustrae (4xy – x2 – 2y2)
Multiplicación y división
En la multiplicación y división de polinomios son indispensables laspropiedadesdelosexponentesyradicalesanalizadasenelbloqueII.
Recordémoslas:
Actividad
B4 �
149
B4 �RealizatransformacionesalgebraicasI
Reglasdelosexponentes
Propiedades de los exponentes y de los radicales
Regla Ejemplo aritmético Ejemplo algebraico
1 ( )( )a a an m n m= + ( )( )2 2 2 1283 4 7= = b3b4=b7
2 ( )a an m nm= ( )( )3 3 3 65612 4 8= = (x3)4 = x12
3 ( )ab a bn n n= ( )( ) ( )( ) ( )( )3 5 3 5 9 25 2252 2 2[ ] = = = (2a3)4 = 24(a3)4 = 16a12
4 ab
ab
n n
n
=
25
25
8125
3 3
3
= = x
yxy
=
4 4
4
5 aa
an
mn m= − 5
55
5
32= 7
77
4
40=
22
26
93= − x
xx
5
32=
6 a0=1 77
1 74
40= =
x0 = 1
7a
an
n− =
12
12
33
− = xx
− =44
1
8 a an n1= ( )36 36 6
12 = = x x
13 3=
9a a a
mn mn n m= = ( ) ( ) ( )8 8 2 16
43 3
44=( ) = = x x x105 210
5=( ) =
10 ab a bn n n= 144 9 16 9 16 3 4 12= = = =( )( ) ( )( ) 8 29 123 3 4x y x y=
11ab
a
bn
n
n=
2764
27
64
34
486
8 23
3
33 3= = = = o bien
xx
x
x
xx
xx
x6
4
6
4
3
2
62
42
= = = =
Parasimplificar lasoperacionesconradicales,deberánexpresarseen formaestándar,esdecir,cumplirlassiguientescondiciones:
1. Elradicandodebeserpositivoysinfracciones.2.Elíndicedelradicaldebeserelmenorposible.3. El exponentede cada factor del radicandodebe ser unnúmeronatural,
menorqueelíndicedelradical.4.Enunafracciónnohabráradicaleseneldenominador.
A continuación, se muestran algunas expresiones y su correspondientesimplificación,representadaconexponentespositivos,obien,conradicales.
1. x4x5x3 = x12
2. a5a2a-4 = a3 3. b b b b
23
14
17122 - =
4. (3x)0 = 1
150
B4 �B4 �5.
x yx y
xy3 2
2 =
6. yy
yy
y y3
2
5
10
155
= = =15 - 10
7. 5x0 = 5(1) = 5
8. x y
x yx y
2 3
34 2
54=
9. x y x yxy
-1 2 3 3 63
6( ) = =− −
10. x y x yy
x
y
x
y
x x
y x
x x x
y xx
--
3 212
32
32
3
2
( ) = = = =
= =
−
11. 1
11
5
3
2+( )+( )
= +( )i
ii
12. (x2y3)2 =x4y6
13. x y
yx y
3 5
23 3=
14. (x4)5 = x20
15. x y
xy
x yx y
xy
3 2
2 3
6 2
3 6
3
4
( )( )
= =
16. 4 86 432 9 6x y x y( ) =
17. (x -2)(x3) = x 18. b2 + b4 = b2 + b4
19. x x x662 3= =
20. 8 8 8 8
2
y
x
y
x
x
x
y x
x
y xx
= ⋅ = =
21. 256 412 16 204 3 4 5x y z x y z=
Lossiguientesradicalessemuestranensuformaestándar.
1. - =-5 53 3x x
2. x y x y4 86 2 43=
3. x x x x x x x53 3 23 33 23 23= = =
4. 50 25 2 5 22 5 2 4 2x y x y y xy y= ( )( ) =