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Índice
ÁLGEBRA – 5 to AÑO DE SECUNDARIA
Pág.
T E M A 1 Numeros Complejos........................................................................... 2
Clasificación.................................................................................................................................. 2
Representación de complejos......................................................................................................... 3
T E M A 2 Análisis Combinatorio....................................................................... 10
Factorial de un número.................................................................................................................. 10
Números combinatorios................................................................................................................. 18
Permutación, combinación y Variación............................................................................................ 18
Binomio de Newton....................................................................................................................... 22
T E M A 3 logaritmos......................................................................................... 27
T E M A 4 Funciones Exponenciales y logarítmicas.......................................... 37
Función Exponencial...................................................................................................................... 37
Función Logarítmica...................................................................................................................... 41
T E M A 5 Matrices y Determinantes................................................................. 43
Definición .................................................................................................................................... 43
Álgebra de Matrices....................................................................................................................... 47
Determinantes.............................................................................................................................. 53
T E M A 6 Calculo Diferencial............................................................................ 60
Funciones..................................................................................................................................... 60
Límites ...................................................................................................................................... 64
Derivadas..................................................................................................................................... 80
Álgebra I.E.P. CORPUS CHRISTI
Tema nº 01: números complejos
Capacidades:
Identificar el conjunto de los números complejos.
Clasifica correctamente a los números complejos.
Representa de diversas maneras a los números complejos.
Opera con números complejos.
Resuelve problemas con números complejos.
Desarrollo del Tema:
Cantidades Imaginarias
Se obtienen al extraer raíz de índice par a
un número negativo.
Ejemplo : 64
4;7;2 −−− ; ... etc.
Unidad Imaginaria
Definición: La unidad imaginaria se
obtiene al extraer raíz cuadrada de -1, se
representa de la siguiente manera :
i1 =−
también se define como :
1i2 −=
Potencias de la Unidad Imaginaria
1i
ii
1i
ii
4
3
2
1
=
−=
−=
=
Propiedades :
1.Zn;1i
n4 ε=
Ejemplo : 1ii)1 20(4480 ==
2.)Zk;n(;ii
kkn4 ε=+
Ejemplo: iiii33)1 1(447 −=== +
1iii22)4(31 0 −=== +−−
Observación: Es conveniente recordar las
siguientes propiedades aritméticas.
nnra)ra( +=+ °
)parn(ra)ra(nn →+=− °
)im parn(ra)ra(nn →−=− °
Ejemplo :
iiiii1
o4
1 21 1
1 01
o4
1 21 1
1 0)1
o4(
1 21 1
1 09 ==== +++
Números Complejos
Son aquellos números que tienen la forma :
Z = a + b i = ( a ; b ) ; a , b Rε
donde :
a = R e s e l la m a , p a r t e r e a l d e Z
b = I m s e l l a m a p a r t e i m a g i n a r i a d e Z
( Z )
( Z )
CLASIFICACIÓN DE LOS COMPLEJOS
Complejos Conjugados )Z(
Son aquellos que sólo difieren en el signo
de la parte imaginaria.
Ejemplo :
Z = 3 +4 i ; su conjugado es : i43Z −=
Ecuación Segundo Año
Complejos Opuestos (Zop)
Son aquellos que sólo difieren en los signos
de la parte real e imaginaria,
respectivamente.
Ejemplo :
Z = 5 - 2i ; su opuesto es : i25Zop +−=
Complejos Iguales :
Son aquellos que tienen partes reales e
imaginarias, respectivamente, iguales.
Ejemplo :
De la igualdad : a + bi = 8 - 11i
tenemos : a = 8; b = -11
Complejo Nulo :
Son aquellos que tienen su parte real e
imaginaria, respectivamente, iguales a
cero.
Si : a + bi es nulo ⇒ a + bi = 0
Luego : a = 0; b = 0
Complejo Imaginario Puro
Es aquel cuya parte real es igual a cero y su
parte imaginaria distinta de cero.
Si : a + bi es imaginario puro ⇒ a = 0
Complejo Real
Si un complejo es real, entonces su parte
imaginaria igual a cero :
Si : a + bi es real ⇒ b = 0
Representación de los Complejos
I. Representación Cartesiana o
Geométrica
En este caso, el complejo está
representado de la forma:
Z = a + b i
Gráfica del Complejo
Cada complejo es un punto en el plano,
para ubicarlo se le representa en el
llamado plano complejo, Gaussiano o
de Argand, el cual está formado por un
eje vertical (eje imaginario) y un eje
horizontal (eje real).
Ejemplo :
Graficar : 1Z = 3 + 4i
2Z = 5 - 3i
En el plano Gaussiano :
I m
Z1
= ( 3 ; 4 )4
R e
E je r e a l
Z2
= ( 5 ; - 3 )- 3
E je i m a g i n a r i o
O r i g e n 3
5
Observación : Cada complejo se
representa por un punto en el plano al
cual se le llama afijo del complejo.
II. Representación Polar o
Trigonométrica :
En este caso, el complejo adopta la
forma :
)S e niC o s(Z θ+θρ=
Donde :→ρ
módulo; r > 0
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→θ argumento; π<θ≤ 20
Gráfica del Complejo
En este caso, se utiliza el sistema de
coordenadas polares el cual está
formado por un punto fijo llamado polo
y una semirecta que parte del polo,
llamado eje polar. El módulo ( ρ ) es la
distancia del polo al punto que
representa el complejo y el argumento
)(θ el ángulo positivo medido en sentido
antihorario desde el eje polar hasta el
radio vector O Z .
Graficar : Z = 5(Cos40° + iSen40°)
En el sistema de coordenadas polares :
4 0
5
p o lo e je p o la r
Z ( 5 ; 4 0 )º
º
ρ =
O
Relación entre la Representación
Cartesiana y Polar
Sea el complejo : Z = a+b i (a, b >0)
θ
ρb
aR e
E je p o l a rP o lo
Z
O r i g e n E je r e a l p o s i t i v o
I m
En la figura sombreada :
=θ
θρ=θρ=
+=ρ
a
bArcT g*
Senb*
Cosa*
ba*22
i)Sen(C osbia θρ+θρ=+
)i S e nC o s(b ia θ+θρ=+
Para transformar de cartesiana a polar
se calcula y . En el caso inverso, se
calcula el valor de la función
trigonométrica.
Aplicación :
1. Transformar : Z = 3 + 4i
* 543
22 =+=ρ
* °==θ 53
3
4ArcT g
)53Seni53Cos(5i43 °+°=+⇒
2. Transformar : Z = 6 (Cos37°+ i
Sen37°)
Z = 6(Cos37°+ i Sen37°)
)5
3i
5
4(6Z +=
i
5
1 8
5
24Z +=
III. Representación de Euler
En este caso, se tiene :
ie)S e niC o s(
θρ=θ+θρ
e x p r e s a d o e n
r a d i a n e s
Se cumple :
Ecuación Segundo Año
θ=θ+θ i
ei S e nC o s
Siendo: e = 2,71828.... (base de los
logaritmos Naturales).
Asimismo :
θρ=θ+θρ=+ i
e)i S e nC o s(b ia
OPERACIONES CON COMPLEJOS
I. Operaciones en forma cartesiana
a) Adición y multiplicación
Se utilizan las mismas reglas
algebraicas.
Ejemplo : (3+i)(3+2i) - (5-4i)
Resolución :
i1 32
i452i3i69
i45i2i3i692
+=+−−++=
+−+++
b) División
Se multiplica el numerador y
denominador por el complejo
conjugado de este último.
Ejemplo : i3
i32Z
++=
2
2
i9
i3i9i26
i3
i3.
i3
i32Z
−−+−=
−−
++=
i1 0
7
1 0
9
1 0
i79
)1(9
3i76Z +=+=
−−++=
c) Potenciación :
Se utiliza el teorema del binomio.
Ejemplo:
i1 25
9i1 24
9i1 2i4)3i2(22
+=++−=++=+
d) Radicación :
En general se asume que la raíz
adopta la forma (a+bi) ; luego a y b
se hallan por definición de
radicación.
Ejemplo : i1 25 +
biai1 25 +=+
Elevando al cuadrado
abi2bai1 2522 +−=+
Igualando :
ab21 2;ba522 =−=
Resolviendo :
i23i1 252b
3a+=+⇒
==
i23i1 252b
3a−−=+⇒
−=−=
Observación :
* (1 ± i) = 2i
*
ii1
i1 =−+
* i
i1
i1 −=+−
Operaciones en forma polar
a) Multiplicación :
En este caso, los módulos se
multiplican y los argumentos se
suman.
)SeniCos(Z 1111 θ+θρ=
)SeniCos(Z 2222 θ+θρ=
) ](S e ni)(C o s[ZZ 21212121 θ+θ+θ+θρρ=⇒
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b) División :
En este caso, los módulos se dividen
y los argumentos se restan.
)SeniC os(Z 1111 θ+θρ=
)SeniC os(Z 2222 θ+θρ=
) ](S e ni)(C o s[Z
Z2121
2
1
2
1 θ−θ+θ−θρρ=⇒
c) Potenciación :
En este caso, el exponente eleva al
módulo y multiplica al argumento.
]nSeninC os[)]SeniCos([nn θ+θρ=θ+θρ
d) Radicación :
En este caso, se aplica la fórmula de
De Moivre.
Sea : Z = r(Cosq + iSenq)
π+θ+π+θρ= )
n
k2(S e ni)
n
k2(C o sZ nn
k = 0 , 1 , 2 , . . . . . , ( n - 1 )
Nota : observa que n
z tiene "n"
valores.
Ejemplo :
Hallar las raíces cúbicas de la
unidad.
333
0Seni0Cosi011 °+°=+=
π+°+
π+°=
3
k20Seni
3
k20Cos1
3
k = 0, 1, 2
k = 0 →3
1 = 1
k = 1 →3
1 = wi
2
3
2
1 =+−
k = 2 →3
1 =
2wi
2
3
2
1 =−−
Raíces cúbicas de la unidad :
1; w; 2
w .
donde :
* 1w3 =
* 0ww12 =++
ejercIcIos propUesTos
1) Calcular :
136001 21 282 −−−−−+−−
a) 76 b) -76 c) 44
d) -44 e) 50
2) Reducir :
iiii2
iiiV
1 51 05
1 694
−−+−
++=
a) 1 b) 2 c) 3i
d) 2i e) 4i
3) Simplificar :
20031 9731 9601 9321 921
1 7504932128
iiiii
iiiiiZ
−+−+++++=
a) i b) -i c) 1
d) -1 e) 1 - 1
4) 04. Reducir :
2003432i...iiiiJ +++++=
a) 1 b) 2 c) -1
d) i e) 2i
Ecuación Segundo Año
5) Hallar la suma "A" de números
complejos :
)in4(...)i4()i3()i2()i1(An4432 ++++++++++=
a) n (2n+1) b) 2n (4n+1)
c) 0 d) n(4n+1) e) 2n(4n-1)
6) Calcular :
201 9
1 81 7
1 61 5
1 41 3
1 21 1
1 09
iiiV ++=
a) 0 b) 1 c) 3
d) 3i e) -3i
7) 07. Si :
( ) R}n;b;a{;biani2)ini(21 31 2 ⊂+=++
Calcular : )1i(;)an(
n
b 22 −=−
a) 2/3 b)3/2 c) 6
d) 1/3 e) 3
8) Si : nimbia2 +=+
{a; b; m; n} R; además : 1i2 −=
Calcular : m n
b
na
m
22
2
++
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
9) Calcular "n", si se cumple :
)ai2a(73)i3n(5)in(3 +=+++
Si : RaRn ε∧ε
a) -3/8 b) 9/8 c) 9
d) 9/4 e) 3/4
10) Si : i21
)i3n(5)in(3zRn
++++=∧ε
es un complejo real. Calcular : "n".
a) -3/8 b) 9/8 c) 9
d) 9/4 e) 3/4
11)Hallar "n", si el número siguiente es
imaginario puro :
i34
ni23
−−
a) -1 b) -2 c) -3
d) -4 e) -5
12) Sabiendo que :
i3b
i2az
−+=
; es un número real.
bia
i)8a(bw
+++=
; es un número
imaginario puro. Indique : a - b.
a) -12 b) 10 c) 24
d) 8 e) -10
13) Si : C}z;z{ 21 ⊂
, calcular :
)z4z3
z3z2(Im)
z4z3
zz5(Im
21
21
21
21
+−−
++
a) -3 b) -1 c) 1
d) 3 e) 0
14) Si "i" es la unidad imaginaria, al
efectuar la siguiente operación :
1 61 6)i1()i1(2 −−+
a) 0 b) 1 c) -256
d) 512 i e) 256
15) Calcular el valor de : i2
a) 1 + i b) 1 - i c) -1 - i
d) -1 + i e) a ó c
16)Determinar el módulo de :
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Álgebra I.E.P. CORPUS CHRISTI
)i6)(i25(
)i35)(i37(Z
−+−−+
=
a) 1 b) 2 c) 2
d) 72 e) 14
17) Sea : i1Zi52Z 21 −=∧+=
Determinar :
2
1
2
|Z|
Z58
a) 3 + i b) 5 - i c) 4
d) 2 - 2i e) 4i
18)Determinar el módulo de :
)1i3)(i4)i1)((i4)i1((Z44 +−−++=
a) 2 b) 8 c) 32
d) 64 e) 128
19)Hallar "n".
1i;Rn;)i1(n)i1(86 −=ε+=−+
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e)10
20)Hallar el módulo del complejo "Z", si al
dividirlo entre 5+i y al cociente sumarle
2, se obtuvo 3-i.
a) 1 3 b) 1 32 c) 1 33
d) 1 34 e) 1 35
21) Sean : CZ;Z 21 ε
. Reducir :
)z.z(R e)z.z(R e
|zz||zz|
2121
221
221
+−−+
a) 1 b) 1/2 c) 2
d) 3 e) 1/3
22)Indique la parte real de :
2222)ni1(...)i31()i21()i1(z ++++++++=
; +ε Zn
a) 2
)1n(n +
b) n c) 3
)5n2(n +
d) 6
)1n(n +
e) )n1)(5n2(
6
n −+
23) Si : Czε
, resolver :
|z| - z = 3 + i
Indique : 1
z−
a) 1
)i1 27(2−+
b) 1
)i247(6−−
c) 1
)i46(7−−
d) 1
)i34(3−+−
e) 1
)i286(7−−
24)Sean : |z|= 2; |w| = 3.
Hallar : 22
|wz||wz|K −++=
a) 36 b) 26 c) 34
d) 18 e) 22
25)Indique el módulo de :
)i37)(i1(
)i31)(i22(W
+−++=
a) 1 b) 32 c) 2
d) 22 e) 2
26)Sabiendo que : m, n, x, y R.
Además : yixnim +=+
Hallar el equivalente de :
42
2
ym y
nK
+=
a) 6 b) 4 c) 8
d) 12 e) 10
Ecuación Segundo Año
27) Si : R}n;m;b;a{;nimbia
3 ⊂+=+
además : . 1i −=
Calcular : 33
33
nm
)nb)(am( +−
a) 3 i b) 1 c) -3
d) -3 i e) 3
28) Resolver en : 0|z|2z:C
2 =+
Indique : Re(3z) - Im(z).
a) -3 b) 9 c) 1
d) -2 e) 2
29) Efectuar :5
iii2 +−
a) 1 + i b) 1 - i c) i
d) i2
e) 2
i1 +−
30)Hallar "Z", si cumple :
5|Z|
25
6
Z
1
Z
1=∧=+
a) 3 - 4i b) 4 - 3i c) i43
5
+
d) i43
5
− e) i
3
5+
31)Llevar a su forma trigonométrica :
z = -3 - 4i
32)Llevar a su forma exponencial :
i344 +−
a)
i3
4
e1 6
π
b)
i3
2
e4
π
c) i
3
4
e4
π
d)
i3
4
e8
π
e) i
3
2
e8
π
33)Efectuar :
43
32
51
z
zzK =
sabiendo que :
)1 0Seni1 0Cos(2z1 °+°=
°= 20C is8z2
°+°= 5iSen45C os4z3
a) 4 i b) -1/2 c) 1/4d) i/2 e) 1
34) Sea : °−°−= 20C osi20Senw1
hallar : )w(Arg 1
a) 190° b) 250° c) 240°d) 340° e) 200°
35)Efectuar :i4
2
i1−
+
a) π−
e b) 2/
eπ−
c) 2/
eπ
d) π2
e e) π
e
36) Un número real "x", que satisface la ecuación:
iC osxSenx)iCosxSenx(4 −=+ es :
a) 1 0
π
b) π− c) 2
π
d) 5
π
e) π
37) Si : i
2
3
2
1z +−=
Calcular : . 33
zz +−
a) i
e2π
b) i2
e2π
c) i2
e2π
d) i31 +− e) i
3
2
e
π
38)Reducir :
i4
i4
i4
i4
ee
eeL π−π
π−π
−
+=
a) 1 b) -1 c) id) -i e) e
39) Proporcionar un equivalente de : ii .
a) 4/
eπ−
b) 2/
eπ−
c) π
e
d) 2/3
eπ
e) Hay 2 correctas
40)Hallar el módulo de "z" que verifica :
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Álgebra I.E.P. CORPUS CHRISTI
)i1(4
ee 4z +=
π
Análisis Combinatorio Quinto Año
T ema nº 02 : análIsIs combInaTorIo
Capacidades:
Define correctamente el factorial de un número.
Opera con factoriales.
Opera con números combinatorias.
Diferencia entre permutación, combinación y variación.
Resuelve problemas con variación, permutación , combinación y binomio de Newton.
Desarrollo del Tema:
FACTORIAL DE UN NÚMERO
Se denomina factorial de un número entero y positivo al producto indicado desde la unidad en forma
consecutiva, hasta el número dado. Al factorial de un número se puede representar por cualquiera de los
dos símbolos: ! ó
Si el factorial es “n”m su factorial se representa por:
n!
Se lee: Factorial del número “n” o “b” factorial.
n
Por definición:
n! = n = 1 x 2 x 3 x 4 x …. X n
n! = n = n x (n – 1) x (n – 2) – (n x 3) x … 2 x 1
Ejemplos:
2! = 2 = 1 x 2 = 2
3! = 3 = 1 x 2 x 3 = 6
4! = 4 = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
5! = 5 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
6! = 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720
7! = 7 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040
OBSERVACIONES
1. Los factoriales sólo están definidos para cantidades enteras y positivas, así:
5! = 5 ¡ factorial de 5 (si existe)
(-3)! = -3 ¡ factorial de (-3) (no existe)
-4! = - 4 ¡ factorial de 4 (si existe)
2
6
2
!6 = ¡ un medio de factorial de 6 (si existe)
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3
1!
3
1 =
¡ factorial de 3
1 (no existe)
( ) 2!2 = ¡ factorial de 2 (no existe)
2. El factorial de un número puede expresarse en función del factorial de otro número menor.
Ejemplo:
Sea: 6! = 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
6! = 6 = 5 x 6 6! = 6 = 6 x 5
También: 6! = 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
6! = 6 = 4 6! = 6 = 5 x 6 x 4
O también: 6! = 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
6! = 6 = 3 6! = 6 = 4 x 5 x 6 x 3
Noten que en los tres casos, todos ellos son iguales a 6! Y a su vez el número contenido en
el factorial y los que están fuera de él son sus consecutivos posteriores a él.
Ejemplo 1: Escribir 12! en función del Ejemplo 2: Escribir 20! en función del
factorial de 9 factorial de 16
Solución: Solución:
12! = 9! X 10 x 11 x 12 20! = 16! X 17 x 18 x 19 x 20
Ejemplo 3: Escribir (x+5)! en función Ejemplo 4: Escribir (x-2)! en función del
del factorial de (x+2) factorial de (x-4)
Solución: Solución:
(x+5)! = (x+2)! (x+3) (x+4) (x+5) (x-2)! = (x-4)! (x-3) (x-2)
3. Por Convención: 0 = 0! = 1 ; y por definición: 1 = 1! = 1
Lo que no implica que no podrá hacerse: 0 = 1 0 = 1 porque los dos conceptos
tienen diferente punto de partida en cuanto a su definición.
Demostrar que: 0! = 1
Demostración:
Se sabe que: n! = (n – 1)! n y que esta igualdad cumple para todo número entero
positivo a partir de la unidad.
Acomodando la expresión, obtenemos: )!1(! −= nn
n
Reemplazando será:
N = 1 )!11(1
!1 −= ∴ 1 = 0! l . q . q . d.
Análisis Combinatorio Quinto Año
Demostrar que: 1! = 1
Demostración:
Se sabe que: n! = (n – 1)! n
Es decir: ¡)!(! −= nn
n damos a “n” valor de 2, obteniendo:
!11!12
2)!12(
2
!2 =⇒=⇒−= l.q.q.d.
4. De lo anterior, si:
a = 0
a! = 1 ó
a = 1
Ejemplo:
Dar la suma de los posibles valores de “x” en: (x – 3)! = 1
Solución:
x – 3 = 0 x = 3
(x – 3)! = 1 ó
x – 3 = 1 x = 4
∴ La suma de los posibles valores de “x” será: 3 + 4 = 7
5. Si: a = b a = b ∀ a, b ∈ N (∀ = para todo)
Ejemplo: Determina el valor de “x” si: x – 1 = 24
Solución:
Tal como se presenta la igualdad, no es posible el despeje directo de “x” para ello es
recomendable desdoblar el 24 en factores de forma consecutiva veamos:
x – 1 = 1 x 2 x 3 x 4
x – 1 = 4
RECOMENDACIONES
En factoriales las siguientes operaciones no se cumplen:
I) (n + m)! ≠ n! + m! III) (n x m)! ≠ n! x m!
Ejemplo: Ejemplo:
(3+2)! ≠ 3° + 2! (3 x 2)! ≠ 3! X 2!
5! ≠ 6 + 2 6! ≠ 6 x 2
⇓ ⇓ ⇓ ⇓
120 ≠ 8 720 ≠ 12
II) (n – m)! ≠ n! – m! IV) !
!!
m
n
m
u ≠
Ejemplo: Ejemplo:
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 13
(4-2)! ≠ 4° - 2!
!3
!6!
3
6 ≠
2! ≠ 24 -2 2! ≠ 6
720
⇓ ⇓ ⇓ ⇓
2 ≠ 22 2 ≠ 120
prácTIca De clase
1) Determina el valor de M, sabiendo que:
!4!9
!13
xM =
2) Halla:
!8
!4!6 xS =
3) Halla el valor de:
!3!12
!5!10
x
xE =
4) Simplifica:
)2()!2(
!nn
n
nR −+
−=
5) Calcula el valor de:
!6
25
)!6()!7(
!7!822
−
−= x
P
6) Halla el valor de:
!
)!1(
)1(
1
)!1(
!
n
n
nn
nE
+++
−+
=
7) Reduce:
[ ])!1(
)!1!
−−=
n
nnP
8) Halla el valor de:
Q = (n+2)! – (n+1)!
9) Resuelve la ecuación:
!)!1(
)!1()!2(
xx
xx
−+−
10) Resuelve la ecuación:
11) Resuelve la ecuación:
120)1(
)!2()!3( =−
−+−x
xx
12. Simplifica:
)!1!!(
!!!)!1!!(
−−+=
n
nnnR
13. Halla el valor de.
a) !10
!12 b)
!2!13
!15
x c)
!9
!6!11 x
14. Calcula el valor de:
!3
10
)!3()!4(
!4!522
−
−= x
R
15. Resuelve:
72)12(
)!12( =−+
x
x
16. a) ¿Qué valor tiene “k”?
Si: k! x 7 x 8 x 9 x 10 = 10!
b) ¿Qué valor tiene “n”?
Si: (n-3)! X 9 x 19 x 11 x 12 = 12!
17.Determinar el valor de: ( ) ( )!4!7
!11=M
18.CALCULAR: ( )( )
!9
!4!6=R
19.Calcular “X”: ( )
6!
!2 =+x
x
Análisis Combinatorio Quinto Año
42)!13(
)!!13( =−+
x
x20.Calcular:
( )( )!1
! !1
−−+=
n
nnR
prácTIca DomIcIlIarIa
1. Reduce: E = (n+2)! – 2(n+1)!a) (n-2)! b) (n+3)! c) n(n+1)d) n(n+1) e) n! (n+1)
2. Reduce: !410!6
!52!7
xM
−+−=
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
3. El valor de: !3!4
1
+; es:
a) !7
1 b)
!5
4 c)
!3.4
1 d)
!5
1 e)
N.A.
4. Efectúa: )!1(
1
!
1
+−
nn
a) !n
n b)
!
1
n
n + c)
)!1(
1
+−
n
n
d) )!1( +n
n e)
)!1)(
1
+nn
5. Resuelve: 3
5)2()!1( =+−x
xx
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
6. Simplifica: !)!1(
)!1(!
nm
nmE
++=
a) 1
1
+−
m
n b)
1
1
++
m
n c)
1
1
++
n
m
d) 1
1
−+
n
m e)
n
m
7. Simplifica: !8.121
!9!10!11 ++=R
a) 8 b) 9 c) 12 d) 24 e) 36
8. Reduce: )!1(
!)1(
−−+=
n
nnR
a) n b) n2 c) 2n d) 2
1
n e) n3
9. Calcula el valor de “n”: 6!
)!2( =+n
n
a) 1 b) 2 c) 3 d 4 e) 5
10. Calcula el valor de “x” 10)1(
)!3(.
3
1 =++
n
n
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
11. Indica la solución entera de la ecuación(x-1)! + (x! + (x+1)! = 5880a) 5 b) 6 c) 4 d) 3 e) 2
12.Efectúa:
!11!10
!13
)!11()!11!12(2)!12(
)!13(22
2
+−
++ a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1
13.Calcula el valor de “x”:(119!)x!! (5!)x!! = (5!!23!!)24
a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6
14.El valor de:
!3!4!5
5
++; es:
a) !12
5 b)
!5
6 c)
!4
3
d) !5
4 e) N.A.
15.Calcular: ( ) ( )
3
5
!
2!1 =+−x
xx
PERMUTACIONES
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 15
Son los diferentes arreglos que se pueden formar con todos los elementos de un conjunto,
las permutaciones se diferencian entre sí sólo por el orden de sus elementos y lo
representamos de la siguiente manera:
n(n+1) (n+2) (n+3) … 3.2.1
Pn = n!
Ejemplo:
1. ¿Cuántas maneras diferentes pueden formar una fila de 5 soldados?
Pn = n!
P5 = 5!
P5 = 120
Ejemplo : Halla todas las permutaciones posibles de las cifras del número 437.
Solución.-
Las permutaciones se obtienen cambiando de lugar las cifras.
Así: 437; 473; 347; 374; 743; 734.
En total tenemos 6 permutaciones diferentes.
Si llamamos P3 al número total de permutaciones de 3 elementos, se comprende que:
P3 = 1 x 2 x 3 = 3! = 6
Ejemplo : ¿De cuántas maneras distintas pueden ubicarse Angel, Beto, Carlos y Daniel en
una fila de 4 asientos?
Solución.-
Sea P4 el número de maneras distintas en que pueden sentarse A, B C ∧ D. Como intervienen
todos los elementos se trata de una permutación. Luego: P4=4! = 1x2x3x4 = 24
En general: El total de permutaciones diferentes que se pueden obtener con “n” elementos
se designa por Pn y el igual a n!
Pn = n!
Ejemplo : 3 mujeres y 3 hombres desean sentarse en una fila de 6 asientos. ¿De cuántas
maneras diferentes pueden ordenarse si deben quedar sentados en forma alternada?
Las 6 personas pueden ordenarse empezando por una mujer (M) o empezando por un
hombre (H)
Así: M H M H M H ó H M H M H M
Permutaciones de los H : P3 = 3! Permutaciones de los H : P3 = 3!
Permutaciones de las M : P3 = 3! Permutaciones de las M : P3 = 3!
Como cada trío de mujeres se combinan con un trío de hombres para armar una fila de 6,
aplicamos el principio de multiplicación. 3! X 3!
Por lo tanto el total de formas de sentarse será: 3! X 3! + 3! X 3! = 72 maneras diferentes.
Análisis Combinatorio Quinto Año
Ejemplo : Se tienen 7 libros de diferentes autores, siendo tres de ellos de matemática y el
resto de física. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar en un estante si
queremos que los de matemática siempre deben ir juntos?
Designamos por M1, M2 y M3 a los libros de matemática y por F1, F2 y F3 a los libros de
física. Las ordenaciones se pueden presentar de la siguiente forma:
i) M1 M2 M3 F1 F2 F3 F4 # de formas = 3! X 4!
ii) F1 M1 M2 M3 F2 F3 F4 # de formas = 3! X 4! Total:
iii) F1 F2 M1 M2 M3 F3 F4 # de formas = 3! X 4! = 4 (3! X 4!)
iv) F1 F2 M3 M1 M2 M3 F4 # de formas = 3! X 4! = 576 formas diferentes
v) F1 F2 F3 F4 M1 M2 M3 # de formas = 3! X 4!
PERMUTACIÓN CIRCULAR.- En este caso no hay primero ni último elemento por
encontrarse en línea cerrada para hallar el número de permutaciones de n elementos.
A
F B n - 1
)!1( −= nP nc
E C
D
Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes podrían sentarse Blancanieves y los 7 enanos
alrededor de una mesa circular?
)!1( −= nP Nc
50407.6.5.4.3.2.17!)18(8 ==°=°−=cP
Ejemplo: ¿de cuántas maneras distintas se pueden sentar alrededor de una mesa redonda
7 personas?
Solución: n = 7 Pc(7) = (7-1)! Pc(7) = 6! = 720
PERMUTACIÓN POR REPITENCIA.- Consiste en efectuar permutaciones con elementos
repetidos, si el conjunto tiene “n” elementos, n, es de una clase, n2 son de 2° clase y nk
son de k clases. La permutación por repitencia se obtiene por la forma siguiente:
!!...!
!
21 k
nk nnn
nP =
Ejemplo: ¿Cuántas palabras diferentes pueden formarse con las letras de la palabra
casacas?
Solución.-
Vemos que se tiene una permutación por repetición donde se repite las letras C(2 veces),
A(3 veces), S(2 veces).
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 17
Luego:n = 7 n1 = 2 n2 = 3 n3 = 2
2!32
34767
!2!3!2
!7
xx
xxxxP nk == palabras 210=b
kP
Ejemplo : Calcula el total de palabras diferentes (con o sin sentido) que se pueden formar
permutando las letras de cada una de las siguientes palabras: i) manzana; ii) Alfalfa,
iii)catarata
Solución: i) MANZANA
MNAZANA
MZANAAN } Palabras diferentes
.
.
etc.
Total elementos: n = 7
Elementos repetidos: A 3 veces
N 2 veces
Total permutaciones: 4202.1!3
7654!3
!2!3
!772;3 ===
x
xxxx
xP
ii) ALFALFA
ALFAFAL
AFLAFLA } Palabras diferentes
.
.
Etc.
Total elementos: n = 7
Elementos repetidos: A 3
L 2
F 2
Total permutaciones:
210226
5040
!2!2!3
!772,2,3 ===
xxxxP
Ejemplo : Se quiere confeccionar una bandera conformada por 5 franjas verticales. Si se
dispone de tres franjas de tela de color blanco y dos de color rojo. ¿Cuántas opciones
diferentes hay para escoger el modelo de la bandera?
Solución.- Diseño de la bandera
Total permutaciones:
2 franjas rojas 101!3
54!3
!2!3
!552,3 ===
x
xx
xP
3 franjas blancas
Total elementos: n = 5
Análisis Combinatorio Quinto Año
Elementos repetidos: B 3
R 2
Ejemplo 3: ¿De cuántas maneras diferentes se pueden obtener en una fila 7 bolas de
billar (de igual forma y tamaño), si 2 son rojas, 4 amarillas y una blanca?
Solución: 10542
765!4
!4!2
!774,2 ===
x
xxx
xP
VARIACIONES.- nmV , son los diferentes arreglos que se pueden formar con parte de los
elementos de un conjunto formado de 2 en 2, 3 en 3, las variaciones se diferencian entre sí
por el orden se sus elementos o por uno o más de sus elementos.
El número de variaciones que pueden obtenerse de n elementos tomados de m y n se
representa por:
1)...2)(1( +−−−= mnnnnV nm
)!(
!
mn
nV n
m −=
Ejemplo: Halla el número de variaciones en:
a) 15120!4
!456789
!4
!9
)59(
!995 ===
−= xxxxx
V
b) 210!4
!4567
!4
!7
)!37(
!773 ===
−= xxx
V
c) !1
!
)!)(
!m
m
nm
mV n
m ==−
=
COMBINACIONES
Son las diferentes variaciones que se puede hacer en todos o parte de los elementos de un
conjunto. Las combinaciones se calculan por la siguiente forma:
)!(!
!
mnn
nC n
m −=
NÚMERO COMBINATORIO
PROPIEDADES
1. Todo número combinatorio cuyo índice es 1, 2s igual al índice superior.
nnn
nn
m
nC n =
−−=
−=
)!1(
)!1(
)!1(!1
!1
2. Todo número combinatorio cuyos índices son iguales, es igual a 1.
1!
!
!0!
!
)!(!
! ===−
=n
n
n
n
nnn
nC n
n
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 19
3. La suma de 2 números combinatorios de igual índice superior, e índices inferiores
consecutivos es igual al número combinatorio, cuyo índice superior es igual al índice
superior común aumentado en 1 unidad y de índice inferior igual al mayor de estos.
)]!1([)!1(
!
)!(!
!1 +−+
+−
=+ + mnm
n
mnm
nCC n
mnm
= )!1((!)1(
!
)()!1(!
!
−−++
−−− mnmm
n
mnnmm
n
++
−−−=
1
11
)1(!
!
nmnmnm
n
=
+−−++
−− )1)((
2
)1(!
!
mmn
mnm
mnm
n
= 1)((
)1(
)1(!
!
+−+
−− mmn
n
mnm
n
= )()!1)(1(!
)1(!
mnmnmm
nn
−−−++
= )!()!1(
)!1(
mnm
n
−++
= nm
nm CC 1++ = 1
1++
nmC
NÚMEROS COMBINATORIOS COMPLEMENTARIOS
Son 2 números combinatorios de igual índice superior y la suma de sus índices inferiores es
igual al índice superior común.ns
nk CC ∧ , donde k + 5 = n
)(!
!
knk
nC n
k −=
)(!
!
sns
nC n
s −=
!)!(
!
kkn
nC n
s −= n
snk CC =
Análisis Combinatorio Quinto Año
ejercIcIos propUesTos
1) )!415(!4
!15154 −
=C
2) )!2720(!17
!202017 −
=C
3) )!8690(!86
!909086 −
=C
4) ¿De cuántas maneras se pueden
elegir y disponer de un escaparate 3
partes de calzado de un conjunto?
5) ¿Cuántas maneras diferentes de 4
cifras se pueden formar con los
nueves dígitos 1, 2, 3, ….. 9?
6) ¿Cuántas ordenaciones diferentes
pueden formarse tomando 5 letras
de la palabra gástrico?
7) En una fiesta hay 5 chicas y 10
chicos. ¿De cuántas maneras
podrían bailar?
8) ¿De cuántas formas distintas se
pueden sacar 3 banderines de una
caja que contiene 6 banderines?
9) En una empresa se necesitan un
supervisor, un tornero, un carpintero
y con conserje, y previo concurso
han quedado 9 personas. ¿De
cuántas maneras pueden escogerse
las personas requeridas.
10)Vamos a colocar un “trébol de la
suerte” (4 hojas) con un color
distinto para cada hoja. Si tenemos
una caja con 6 colores distintos. ¿De
cuántas formas podemos colorear al
trébol?
11)¿Cuántos equipos diferentes de
básquet podemos formar si
contamos con 8 jugadores que
pueden jugar en cualquier lugar?
12)Con 6 banderas de diferente color,
¿cuántas señales distintas de 2
banderas se pueden hacer?
13)Tres niños, ¿de cuántas formas
distintas pueden sentarse en 5
sillas?
14)5 viajeros llegan a una ciudad en la
que hay 7 hoteles. ¿De cuántas
maneras podrían alojarse en hoteles
diferentes?
15)¿De cuántas maneras podemos
formar en columna de a uno a 5
alumnos?
16)¿Cuántos números de 4 cifras se
pueden formar con los dígitos del 1
al 4?
17)¿Cuántas permutaciones de 7
elementos se pueden formar con las
letras de la palabra NÁUTICO?
18)¿Cuántas palabras diferentes se
pueden formar con todas las letras
de la palabra POPA?
19)¿De cuántas maneras pueden
cambiar de posición los jugaror5es
de básquet, si uno de ellos no
cambia?
20)¿Cuántas palabras diferentes se
pueden obtener con las letras de la
palabra COCCIÓN?
21)¿De cuántas maneras pueden
sentarse 5 personas en una mesa
redonda contando de un solo
sentido?
22)Un entrenador tiene a su cargo 7
deportistas. ¿de cuántas maneras
pueden distribuir a los citados
deportistas en dos competencias:
cinco en natación y dos en atletismo.
23)En un campeonato de bulbito han
participado 7 equipos. ¿De cuántas
maneras pueden quedar ubicados?
24)¿Cuántos conjuntos imitadores del
famoso trío “Los panchos” se
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 21
podrían formar a partir de un grupo
de 12 aficionados?
25)¿Cuántos equipos de básquet
podríamos formar a partir de un
conjunto de 12 jugadores’
26)Cerebrito debe contestar de 10
preguntas en un examen. ¿De
cuántas maneras puede cerebrito
escoger las 7 preguntas?
27)En el problema anterior:
Si las 2 primeras fueron obligatorias,
¿de cuántas maneras podrían escoger
las preguntas?
28)En la figura cada línea representa un
camino. ¿De cuántas maneras
distintas se puede ir de la ciudad A a
la ciudad C?
29) ¿Cuántos números pares de 3 dígitos
se pueden formar con los dígitos:
1;2;5;6;7;8∧9; si:
a) Los dígitos del número pueden
repetirse.
b) Los dígitos del número no se
repiten.
30)En una carreta participan 7 atletas.
¿De cuántas maneras distintas
pueden llegar a la meta, si llegan
uno a continuación del otro?
31)En una fila de sillas se sientan 5
mujeres y 3 hombres. ¿De cuántas
maneras se pueden ordenar si las
mujeres deben estar juntos y los
hombres también?
32)¿De cuántas maneras diferentes se
pueden ubicar 9 damas en una fila
de 9 asientos, si Mirian y Andrea
siempre deben estar juntas?
33)¿Cuántas permutaciones diferentes
se pueden realizar con las letras de
la palabra BANANA?
34)¿De cuántas maneras se pueden
distribuir 5 hombres y 3 mujeres en
una fila de 8 asientos, si las mujeres
no deben sentarse juntos?
35)De una ciudad A a otra B hay 6 caminos diferentes y de la ciudad B a C hay 4 caminos diferentes. ¿de cuantas maneras se puede hacer un viaje redondo de A a C pasando por B?
36)Maria tiene 5 pantalones y 3 blusas. ¿de cuantas maneras distintas puede ponerse un pantalón y una blusa?
37)Determinar el valor de m en la
expresión: 202 =mV38)¿De cuantas maneras pueden
sentarse en una banca de 6 asientos, 4 personas?
39)Una persona posee 3 anillos distintos. ¿De cuantas maneras puede colocarse en sus dedos de la mano derecha, colocando solo un anillo por dedo, sin contar el pulgar?
40)Una señora tiene 10 amigas de confianza. ¿De cuantas maneras puede invitar a 6 de ellas a cenar?
41) Resolver : 2862 =+ xx CC42)¿De cuantas maneras distintas se
pueden sentar 5 alumnos en 5 asientos unipersonales?
43)¿De cuantas maneras distintas se pueden sentar 5 alumnos en 5 asientos unipersonales ubicados alrededor de una mesa?
44)¿Cuantos números mayores de 6000 se podrán formar con las siguientes cifras: 2;5;6;3?
45)¿Cuantas banderas tricolores diferentes de franjas horizontales se pueden confeccionar si se disponen 7 colores distintos?
46)¿Cuantas palabras se pueden formar con las letras de la palabra LIBRO?
47)La primera división de la liga de fútbol de huacho consta de 25 equipos.¿cuanto partidos se deben jugar para completar la primera rueda?
48)¿De cuantas maneras se pueden ubicar 6 personas en un auto si solo una de ellas sabe manejar?
49)De un total de x personas se pueden formar 21 grupos de 5. Determinar el valor de “x”
Análisis Combinatorio Quinto Año
BINOMIO DE NEWTON
FORMA GENERAL DEL BINOMIO DE NEWTON
Deducción del Binomio de Newton
BINOMIO DESARROLLO SUMA DE COEIFC.
(x+1) = x + a 21
(x+1)2 = x2 + 2ax + a2 22
(x+a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 23
(x+2)4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4 24
(x+a)5 = x5 + 5x4a + 10x3a + 10x2a3 + 5xa4 + a5 25
…………………………. ..
…………………………. ..
2n
Generalizamos y podemos llegar a:
(x+a)n = xn + nxn-1 a + 3322
3.2.1
)2)(1(
2.1
)1(ax
nnnan
nn nn −− −−+−
nn aaxnnnn ++−−−+ − ...
4.3.2.1
)3)(2)(1( 44 (I)
Observamos lo siguiente:
Bases del binomio: x ∧ a
Exponentes del binomio: n
El desarrollo del binomio: El segundo miembro
Luego:
a) El desarrollo es un polinomio homogéneo con respecto a x, a, donde el grado de
homogeneidad corresponde al exponente n.
b) Siempre el desarrollo contiene un término más que el exponente n.
c) El primer término del desarrollo contiene a x elevado al exponente n; disminuyendo los
exponentes de x de uno en uno hasta cero.
d) El segundo término contiene a la base a elevado a la unidad, aumentado el valor de su
exponente en cada exponente n.
e) Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales.
f) El coeficiente de un término cualquiera se obtiene a partir del término anterior
multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de la primera base y
dividiendo este producto por el exponente de la segunda base aumentado en uno.
g) La suma de los coeficientes de un binomio (x+a) se da por 2n.
EL BINOMIO DE NEWTON USANDO NÚMEROS COMBINATORIOS
En la forma general (I) vemos que los coeficientes de cada término se dan como:
(x+a)n = 1.xn + 334221 .3.2.1
)2)(1(.
2.1
)1(.
1ax
nnnax
nnax
n nn −−− −−+−+
…. 1.an
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 23
Donde: 3.2.1
)2)(1(;
2.1
)1(;;1 4
321
−−=−== nnC
nnCCC nnn
o … 1=nnC
Sustituyendo estos valores en la forma general, tendremos el desarrollo del binomio de
Newton con números combinatorios.nn
nnnnnnn
on aCaxCaxCxCx =++=+ −− ...*)1( 33
322
1
Ejemplo:
1) (m+n)7 = 777
676
5275
4574
3573
2572
671
770 nCmnCnmCnmCnmCnmCnmCmC +++++++=
Así (m+n)7 = m7 +7m6n + 21m5n2 + 35m4n3 + 21m3n5 + 7mn6 + n7
FÓRMULA DEL TÉRMINO DE LUGAR GENERAL K
TK = 111 .. −+−
−kknn
k aXC
Ejemplo 1: Halla el término quinto de (2a + b2)11
Solución.-
n = 11; k = 5; x = 2a ; a = b2
Luego: T5 = 15215111115 ).()2.( −+−
− baC
T5 = 330 . 128ª7b2 T5 = 42240ª7b8
Ejemplo 2: Encuentra el 6° término de (x-3y)10
T6 = 2616101016 )3.().( −+−
− yxC
T6 = 252x5 – 243y5 T6 = -61236x5y5
Ejemplo 3: Halla el término que contiene x6 en el desarrollo de (x-3)14.
Solución.- Por fórmula del término general.
Tk = 1141
1114141 )3.()3.(. −
−−+−
− −=− kk
kkx CxC
Como el exponente de x debe ser 6.
15 – k = 6 k = 9 (el término buscado es el de lugar 9).
Luego: T9 = 199151419 )3.(. −−
− −xC
T9 = 869
86 3..65432!8
8911121314)3.(.
!6!8
!14x
xxxxxx
xxxxxTx =⇒−
T9 = 39 . 7 . 11 . 13 . x6
prácTIca De clase
1. Halla el desarrollo de: (2x + 3y)5 2) resuelve: 6)3( +x
3. Calcula el tercer término del desarrollo 4) Calcula el sétimo término del desarrollo de: de: (2x + 3)5 (x + 1/x)9
5. Calcula el término central del desarrollo 6) Calcula el término central del desarrollo de: de: (a + 2b)8 (x + 1/x2)10
Análisis Combinatorio Quinto Año
7. Halla el término que contiene a “x8” en 8) Halla el valor de “x” de tal manera que la el desarrollo de: (x+y)13 suma del 3° y 5° términos en el desarrollo de
(x+1)4 sea igual a 25.9. Obtén los siguientes desarrollos: a) (x-2y)5 b) (1+3a)7 c) (1-b)11 10) Determina el término indicado en el desarrollo
Correspondiente:
11) Determina el coeficiente numérico del a) 7° término en: (x-y)11
Término indicado: b) 5° término en: (a+b)21
a) 2° término en (2x-y)4 c) 10° término en:
1011
−
ba b) 3° término en (3a+4b)6
c) 9° término en:
1022
−
x
y
y
x 12) En el desarrollo de
52 1
3
−
xx , determine:
a) El coeficiente numérico del cuarto término. b) El término que contiene x4. c) El término independiente de x.
13) Encuentra los 3 primeros términos en el
desarrollo de: ( )1032 +x
14) Calcula el producto de los coeficientes numéricos del primero y del último término del desarrollo de: (1+3x2)6.
15) Calcular el término central del desarrollo de:
10
2
1
+
xx
A) 5x252 B) 5x
252
C) 3x
252 D) 8x252
E) x252
16) Hallar el término que contiene a x8 en el desarrollo de: (x + y) 13
A) 38 yx1287 B) 88 yx1287
C) 58 yx1287 D) 68 yx1287 E) 108 yx1287
17) Hallar el valor de x de tal manera que la suma del 3ro y 5to término en el desarrollo de ( x+1 ) 4 sea igual a 25A) ±1 B) ±2C) ±3 D) ±4 E) 5
18) El último término en el desarrollo de:
( ) 53yx −A) 5y15− B) 5y15−C) 5y15− D) 5y15− E) 5y15−
19) Cual es el coeficiente de x14 en el desarrollo de: ( x2+x3 ) 6
A) 12 B) 18C) 15 D) 21 E) 24
20) El 5to término del desarrollo de:
7
22 y
1
x
1
+
prácTIca DomIcIlIarIa
1. El último término en el desarrollo de: (x-3y)5 es:a) -15y5 b) 15y5 c) 243y5
d) -243y5 e) -243xy5
2. El coeficiente numérico del 8° término del desarrollo de (2-x)11 es:a) 330 b) -330 c) 5280d) -5280 e) Otro valor
3. El coeficiente numérico del 2° término en el desarrollo de (2a+b)5 es:a) 16 b) 32 c) 80d) 10 e) 50
4. El término central en el desarrollo de: 7
23
− yx , es:
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 25
a) 34
8
2835yx b) 34
8
2835yx
−
c) 43
16
945yx d) 43
16
945yx
−
e) no hay término central.
5. El término independiente de “x” en el
desarrollo de 4
2
1
−
xx es el:
a) 2° término b) 3° términoc) 4° término d) último términoe) No hay término independiente de “x”
6. Halla el valor de “x” de tal manera que el coeficiente del 3° y 5° términos en el desarrollo de: (2x-1)5 sea igual a 72.a) x=±2 b) x=±4 c) x=±3d) x=±5 e) x=±6
7. ¿Qué valor debe tener “n” para que el cuarto término del desarrollo de:
nx
x
+
2
2, sea el término
independiente. Cita el coeficiente del término que sigue al término de grado cero.
a) 4
25b)
2
15c)
4
15
d) 5
24e)
2
25
8. El término central en el desarrollo de: (2x-y)6 es:a) -60x2y4 b) 60x2y4
c) 160x3y3 d) -160x3y3
e) No hay término central
9. Halla el término anterior al independiente de “x” en el desarrollo del siguiente binomio de Newton:
13
2
3 2 1
2
+
x
x
a) 1513
16
715x b) 13
15
15
453x
c) 720x1/2 d) 360x1/4 e) 485x3
10. ¿Qué lugar ocupa el término del
desarrollo binomial de: 120
1
+
xx que es
de grado 100. a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11
11)Hallar el 4to término de:542 )y3x2( +
A) 44 yx1080 B) 104 yx1080
C) 124 yx1080 D) 124 yx E) yx1080
12) Hallar el 6to término de: 732 )y2x3( +Ver cual es el grado absoluto.A) 20 B) 21C) 23 D) 22 E) 10
13) Hallar el tercer término del desarrollo
de: 1054 )3( yx +A) 322 yx405 B) 3216 yx405
C) 232 yx405 D) 1616 yx405
E) 44 yx405
14) Hallar el término central de:832 )yx( −
A) 84 yx70 B) 88 yx70
C) 128 yx70 D) 812 yx70
E) 43yx70
15) Hallar el término central de: 433 )ba( −A) 66ba6 B) 44ba6C) 33ba6 D) 54ba6 E) 45ba6
16) Hallar el término central de: 6)ba3( −A) 33ba540− B) 44ba540−C) 2b540− D) 2a540− E) 6b540−
17) Hallar el término de lugar 5 en:632 )yx( +
A) 32 yx15 B) 124 yx15
C) 312 yx15 D) 1212 yx E) yx15
18)Hallar el término de lugar 10 en:1032 )yx( −
A) 410 yx B) 610 yx85
C) yx48 10 D) 1216 yx56 E) N.A.
Análisis Combinatorio Quinto Año
19)Calcular el término central del desarrollo de:
8)b2a( +A) 22ba1120 B) 44ba1120C) 33ba1120 D) 88ba1120 E) N.A.
20)Calcular el tercer término del desarrollo de:
5)3x2( +A) 2x720 B) 31x720C) 3x720 D) 9x720 E) x720
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 27
Tema nº 03: l o G a r I T m o s
Capacidades:
Define logaritmo.
Aplica propiedades de logaritmos.
Resuelve ecuaciones con logaritmos
Resuelve problemas con logaritmos, aplicando su definición y propiedades.
Exploración y Desequilibrio:
¿Qué es un logaritmo?
¿En que se diferencia un logaritmo decimal, de un logaritmo neperiano?
¿Qué es un antilogaritmo y un cologaritmo?
De acuerdo a la definición de logaritmo calcula los siguientes ejercicios:
• Logaritmo de
4
27
19 en base 3 3
• Si se sabe que: a=2log ; b=3log , calcular el 4log24 .
• 2log 42)8(
2 xx
=
Desarrollo del Tema:
1.-DEFINICIÓN DE LOGARITMOEl logaritmo de una cantidad real positiva es una determinada base (b) positiva y diferente de la unidad, es el exponente al cual debemos elevar dicha base (b) de manera que resulte dicha cantidad.
Traduzcamos a lenguaje matemático lo anterior:NbxN x
b =⇔=log donde N>0
10 ≠∧> bb
Por ejemplo:• 82:;38log 3
2 == porque
• 2433:;5243log 53 == porque
• 244:;2
12log 4
4 === porque
Otro ejemplo:
• Si 3log4 =x , cuanto vale x.
64:,43 ==→ xluegox
2.- PROPIEDADES DE LOGARITMOSA continuación se presentan una serie de propiedades, las cuales son fundamentales para el buen desenvolvimiento del tema; del nivel de manejo que se tengan de ellas, dependerán los resultados a obtener.
Logaritmos Segundo Año
(I) Relación fundamentalNA Na =log
(II) Logaritmo de una multiplicación y una división.NMMN aaa loglog)(log +=
NMN
Maaa loglog)(log −=
(III) Logaritmo de una potenciaNnN a
na loglog =
NN
N aa
a log1
log =
(IV) Cambio de base
a
NN
b
ba log
loglog =
aN
Na log
1log =
(V) Cologaritmo y antilogaritmoNNco aa loglog −=
Na aNanti =log
3.- TEOREMAS PARA RESOLVER ECUACIONES LOGARÍTMICAS
(I) Si: MNMN aa =→= loglog
(II) Si: x
a aNxN =→=log
4.- ECUACIÓN LOGARÍTMICASe denomina ecuación logarítmica a toda aquella que contiene una o más funciones logarítmicas de la variable.Ejemplos: 25 =xLog
0)1(log)12(log 22 =+−− xx
¡CUIDADO!¡
El número debe ser (+)E
La base debe ser L
La base debe ser (+)
RECUERDA QUE:RR
También:T
(Regla de la cadena)
02log)(log 32
3 =−− xx
Las raíces de una ecuación logarítmica puede hallarse:I. Aplicando la definición de logaritmo.
II. Aplicando la propiedad Si: ,loglog nm bb = entonces nm=
III. Introduciendo una nueva variable.
ejercIcIos De aplIcacIón
1) Encontrar el valor de “x” a partir de: 10alog)xloga(log)xloga(log aa2
a2
xx =++
Considere: a > 0 ∧ a ≠ 1
Solución:
Sabemos: logab = 1 ∧ logbbn = n logbb = n (1) = n
Según el enunciado:
10)xlog2()2a(log ax =++
Además: 1alogblog ba =⋅
Llamaremos: m
1alogmxlog xa =∧=
Poniendo en (I): 10)m2(m
12 =+
+
Resolviendo: 2m2/1mm10)m2()1m2(=∧=⇒
=++
Como m = logax
=↔=→=
==↔=→=2
a
2/1a
ax2xlog2m
aax2/1xlog2/1m
2axax =∧=∴
2) Reducir: ?5log1
5log1
7log1
7log1
7
7
5
5 =−++
−+
Sabemos: 1alogblog ba =⋅ por lo tanto según el problema.
5log
17log15log7log
7575 =→=⋅ , reemplazando en el enunciado.
05log1
5log1
5log1
15log
?5log1
5log1
15log
15log
5log1
5log1
5log
11
5log
11
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
=−+
+
−
+−∴
=−+
+−+
=−+
+−
+⇒
3) Resolver: Sabemos: b/alogblogalogbalogblogalog
=−⋅=+ , además
En el problema: )7x()14xlog(7xlog14xlog ++=+++
Logaritmos Segundo Año
Como: 10log1
)I(......2,1log17xlog14xlog
=+=+++
En (I) tenemos: 12log)7x()14xlog(
)2,1()10log()7x()14xlog(
=++
=++
014x07x
12)7x()14x(
≥+∧≥+=++⇒ (Para que cumpla)
Resolviendo:
46x21x14498x21x 22 =+⇒=++
)cumplesi(2x
)cumpleno(23x
2x
23x
046x21x2
−=−=
−+
=−+∴
Rpta: x = 2
4) Resolver la ecuación: 10xlogxlogxloglog 933/13 =+++
Sabemos: NlogNlog bn
bn =
Primeramente hacer que todos tengan una misma base.
• )I(...x/1log1xlogxlogxlog 331
)3/1(3/1 1 =−== −−
• )II(...xlogxlogxlogxlog 23
23
233 2 ===
• )III(......xlogxlogxlogxlog 3339 ===
• (de I, II, III); reemplazando en el problema:
5) Calcular: 6log2log2log3logE 3332 ⋅⋅+=
Sabemos: 1a0aclogblogcblog
cblogclogblog
aaa
aaa ≠∧>
+=⋅⋅=+
En el problema: )I(
3232 6log6log2log3logE ⋅−+=
I. ojo3x26;)6(log)6(log6log6log 3232 ←=⇒⋅
• .igualmente;3log2log)3x2(log6log 2222 +==
• 1blogsabemosademas;3log2log)3x2(log6log b3333 =+==
Reemplazamos:
813x
3x3logxlog
3loglog
3log1010xlogxlogx/1logxlog
4
102/5103
2/53
103
xx)x/1()x(3
1033
2333
2
==
===
=
=⇒=++=
)I(.........1x
43log
x
313log
13log
3x
13log
4xademas;
3log2
3log3
13log2
23
a
.;3log
12log:ademas;
12log2
3a
3log2log6log13log
4
6log
4x
6log
112log
222
22
2
2
23
3
322222
6
−=→=++
=⇒
+=
+=
+=
=+
=∴
+=
+==→=
Por lo tanto: 2E
2)11(E
−=−=+−=
6) Si: 12a27log =
. Calcular: log 16
Recordar: blognblog an
a =
)I(.......3log33log27log 123
1212 ==∴
Por lo tanto: .16log:pidennos;3log3a 612=
Luego: 2log4ó16logpidennos4log24log16log 6662
66 →==
Pero como: 2log4x16logllamaremos;3log3a 6612 ===
3log4log12log12log2
3
12log
3a
12log
13log 333
33312 +=
+==→=
reemplazando
Reemplazando en “a”
)xsacando(x4
x312aa
x
x4x
x312
1x
4
3x
12
1x
42
1x
43
a
+−==
+
−
=+
−=
−+
−
=
:tantoloPor
gradoprimer
deecuaciónlautilizando
a3
a412x
a412x)3a(
x312axa4
+−=
−=+−=+∴
[ ]
1alogblog
)2log3log1(E
2log3log3log2log12log3logE
)2log1()3log1(2log3logE
ba
:Sabemos
32
322332
3232
=⋅
⋅+−=++++−+=
++−+=
Logaritmos Segundo Año
Por lo tanto: 27logasiendo;a3
a41216log 126 =
+−=
prácTIca De clase
1. Simplificar la expresión:)16log5(log
6623)9log4(log ++
a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 16
2. Reducir:
8logloglog2616=S
a) 4 b) 4
1 c) 2 d)
2
1 e) 1
3. Simplificar la expresión:
[ ]729log3loglog6log 3232 −+ antiantianti
a) 9 b) 12 c) 18 d) 64 e) 73
4. Simplificar la siguiente expresión:
)55log(log)13(loglog 2344 −++ antianti
a) 15 b) 10 c) 9 d) 16 e) 41
5. Reducir la expresión
+
+
152
4
2
43
4
32
loglog2log3ba
c
a
cb
c
ba
a) a b) b c) c d) 1 e) 0
6. Indicar el equivalente de:3log12log1 23 23 ++ +=S
a) 12 b) 4 c) 6 d) 42 e) 1
7. Reducir la expresión3log15log1 52 5.2 ++=A
a) 220 b)150 c)100 d)12 e) 42
8. Simplificar
[ ]535log9log 3log223
5 ++= +cocoR
a) -1 b) 4 c) -6 d) -9 e) 0
9. Indicar el equivalente de:
5log15log2 66 3.2 ++
a) 60 b) 30 c) 15 d) 7.5 e) 3.75
10.Marcar el resultado de efectuar:
5log4log3log 432 543 ++a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15
11.Halla el valor de ”x” en:antilog x antilog x x =16
a) 1 b) ½ c) 3/2 d) 2
12.Halla el valor de ”x” en:log 7 (x-2) + log 7 (x-5) = 2 log7 2
a) 1 b) 3 c) 4 d) 6
13. log 3 (5x-1) + colog 3 (3x-5) = 2
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2
14. Resuelve: log( )
log( )
35
53
3−−
=x
x
a) 2 b) 3 c) 4 d) a y b
15. ¿Que valor resuelve la ecuación? log 16 + log x + log (x - 1) + log 100 = 1 log (x2 - 4 ) + log 15 + log 2 4a) 8 b) 9 c) 10 d ) 11
16.Calcular el valor de “x” en: Log x
x = 100a) 10-2 b) 10-√ 2 c) 10-3
17.El cuádruplo del logaritmo de un cierto
número excede en 4 al duplo del logaritmo del mismo número. ¿Cual es este número?
a) 10 b) 102 c) 10-2 d) 10-1
18.Si log 2 = 0,30103 y log3 = 0,47712. Hallar el valor de log 48
a)1,80618 b) 0,60206 c) 1,68124
19.Calcular el valor de:
169log64log216log 1386 ++=M
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
20. Si: ,3log2 a= indicar el equivalente de:
64log24
a)a+1
5 b)
a+3
6 c)
a+3
5
d) 4
6
+a e)
2
3
+a
21. Resolver: 12)2(log 239 +=+ xx
a) 9 b) 6 c) 3 d) 5 e)
2
22. Resolver:
[ ]8log23log9log3
11log −++=x
a) 9
15 b)
2
15 c)
4
5
d) 2
25 e)
4
15
23. Calcular: )180log(
Si además: 22log a= ; 33log b=a) 32 ba + b) ba + c) 322 ba +d) 12 32 ++ ba e) N.A
24.Calcular el valor de “y” en:
2))(log2)(log(log 23 =yxx xx
y dar como respuesta el mayor valor de “x”
a) 2
9 b) 9 c) 18
d) 27 e) 81
25.Resolver:
)4(log)1(log)1(log 266
36 +=−−− xxx
a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
26. Resolver: ( ) 2)1(log63log 22
2 =−−+− xxx
y dar como respuesta el mayor valor de “x”
a)3 b) 4 c) 5 d) 8 e) 10
27.Luego de resolver:
40log1)1log()2log( =+++− xx
Indique la suma de raícesa)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
28.Calcular el valor de “x” en:
04)9(log4)9(log 2 =+− xx
a)2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 9
29.Calcular el valor de “P”, si:
2log2log
3log3log
yx
yx
antixyanti
antiantiP
+−+
=
a)x-y b) x+y c) 2x d) 2y e) 1
30.Resolver:
10log)(log 2)log(log
)loglog(
=xanti
xantico
xa)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
31.Resolver:
5log)log27log(loglog2 −−= xx
a)1 b) 10 c) 5
7
10− d) 210− e) 210
32.Verificar la veracidad de las siguientes expresiones: ( ) El logaritmo de una
multiplicación es equivalente a la suma de los logaritmos de cada uno de sus factores
( ) El logaritmo de una división es equivalente a la diferencia del logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador
( ) La función logaritmo es toda aquella cuya regla de correspondencia viene expresado por: f(x) = log x; donde x > 0
33. Indicar cual frase es verdadera respecto a cualquier sistema de logaritmos.a) Los números positivos menores que
uno tienen logaritmos negativos
b) El logaritmo de la base siempre es cero
c) El logaritmo de uno es siempre unod) La base de un sistema de logaritmos
puede ser cero.
Logaritmos Segundo Año
34. Resolver: ( logx )1/2 = log (x )1/2
a) 1 b) 102 c) 104 d) a y c
35. Calcular: 2 + log x = 3 log 24 - 8 log
2 + 6 log 33 - log 243
a) 32 b) 3,2 c) 0,32 d) 0,16
36. log 6x . log x 2x . log 2x 3x = log x x2
a) 2 b) 3 c) 6 d) 12
37. Determinar la suma de los valores enteros de “n” para que: x2- 2 x+log n= 0, admite raíces reales.a) 6 b) 7 c) 8 d) 5
prácTIca De clase
1. Resolver la ecuación: log(7x-5) = 2
Indicar como respuestas:
( ) )1(log5log 2 ++−= xxS
a) 2 b) 5 c) 4 d) 9 e) 7
2. Calcular el logaritmo de 3 5/ en
base 125/27
a) 1/3 b) ½ c) 1/6 d) -1/6
3. Luego de resolver la ecuación:
7log51log3 33 −=− xx
Indicar como respuestas:
2log5 −x
a) 1 b) 2 c) 2
1 d)
3
1 e) 3
4. Resolver la ecuación:
)9(log6log)1(log3log 4244 −+=++ xx
Marca luego el valor de 11x
a) 109 b) 201 c) 340 d) 100 e) 421
5. Después de resolver la ecuación:
( ) )3log(3log2
1xx −=−
Calcule el valor de: x23 log2log +
a) 2.2 b) 1.2 c) 0.5 d) 1.5 e) 2.5
6. Calcular el valor de “x” en la
ecuación:
)516log2(log)2log(
)4log()2log(43 +=
−−++
x
xx
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
7. Para qué valor de “x” se verifica la
relación:
5.2loglogloglog 3/12739 =+++ xxxx
a) 27 b) 9 c) 4 d) 16 e) 3
8. Resolver: log 2 log 3 (x+2) = 2
a) 81 b) 85 c) 79 d) 72
9. Analiza los logaritmos neperianos y
evalúa los problemas que se
presentan en la solución de los
ejercicios.
10. Elabora un listado de problemas para
ver en que se usan los problemas y
relaciónalo con la vida cotidiana.
11. ¿Cual es la base de log 8 si éste es
igual a -1,5 ?
a) 1 b) 0,5 c) 0,25 d)
0,125
12.Reduciendo la expresión:
[ ]81log)13(logloglog 3242 −+anti
Se obtiene:
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
13.Simplifique la expresión:
[ ] )2
1)23(loglog(loglog 4233 ++antianti
a) 35 b) 6 c) 4 d) 3 e) 2
14.Reducir:
( )[ ]{ }12log1035loglogloglog 322103+−+antianti
a)6 b) 6 c) 3 d) 3 e) 2
15.Reducir la expresión:
5loglogloglog 3922antiantiA =
a)25 b)5 c) 4 d)2 e) 1
16.Simplificar la expresión
)(log2)(log3 4332 baba bb −
a) 1 b) b c) 2 d) 2b e) 0
17.Reducir la expresión
)(log3)(log5)(log4 53232 bababa aaa +−
a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e)
13
18.Señale el equivalente de:
+
4
5
2
3
log2log5a
b
b
aaa
a) 7 b) 6 c) 4 d) 2 e) 1
19.Simplificar la expresión
+
−
3
4
2
4
3
2
log3log5log4b
a
b
a
b
abbb
a) 9 b) 0 c) -11 d) 6 e) 3
20.Hallar: log de 125 en base 625
a) 0,5 b) 0,65 c) 0,75 d) 0,25
21. Hallar el número cuyo log de base 21/2
es igual a -6
a) 0,5 b) 0,25 c) 0,125 d) 0,75
22. ¿Cuál de los siguientes valores es el
mayor?
a) log 1/0,25 b) log 0,2
4 5
c) log 1/27 d) log 8
3 2
23. Indicar lo falso:
a) log 7 (-7) = no existe
b) log 1 5 = no existe
c) log (-2) 8 = no existe
d) log 1 1 = no existe
e) Todas no son falsas
24.Averigua que condiciones debe
cumplir una función logarítmica para
graficarlas, además cuales son las
diferencias con otras funciones.
25. Efectuar la expresión
( ) 3log5log2log3log 3232 25.4.9
a) 30 b) 42 c) 12 d) 10 e)
15
26.El equivalente de la expresión
( ) :,log1 )3log2(log 22 esabb antia+ −
a) 3 aa b) 3
4 ab c) 3ab
d) ( ) 3ab e) ab
27.Reducir la expresión
2loglogloglog bdxcxax dcab
a) 2 b) 3 c) 6
d) 9log7 e) 2log
28.Señale el equivalente de:
( ) ( )( )2222 log1log1log1 ababa
babaab +++
Logaritmos Segundo Año
a) 1 b) 2 c) 4 d) a e) b
29.Hallar el valor de “x” en:
5243log −=x
a) 3 b) 3
1 c) 2 d)
2
1 e)
5
1
30.Hallar el valor de “x” en:
216log 3 =x
a) 3 2 b) 3 3 c) 3 4 d) 6 e) 3
31. Calcular el logaritmo de 3 25 en
base 6 5
a) 3
2 b)
2
1 c) 4 d)2 e)
20
9
32.Hallar el de “x” en:
2
1
2
1log )21( −=
− x
a) 2
3 b)
2
3− c) 2
5− d)-4 e) -2
33. Si: m=− )25log( ; Calcular el valor
de: )25log( +
a) m
1 b)m c)-m d) 2m e) 2m
34.Reducir la expresión “E”
8log.125log.2log.9log 27354=E
a) 3log8 b) 2log3 c) 8log3
d) 3log2 e) 9log2
35.Resolver:
3
22logloglog 525125 =++ xxx
a) 5 b) 25 c) 125 d) 625 e) 45
36. Si: aba ccb logloglog =+ Calcular el
valor de: cb ba loglog +
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
37. Resolver: 6 (102x) -4 = 10 x+1
a) 1 b) 1/3 c) - 1/3 d) log 2
38.Calcular “x” si:
Log (x+1) N = 0,146 135 …..……( 1 )
log (x-1) N = 0,292 270 ………... ( 2 )
b) 2 b ) 3 c) 4 d) 5
39. Calcular el valor de E = 10r, si:
r = 0,5 - log 0,375 10
a) 5/3 b) 8/3 c) 0 d) 10/7
40. Indicar la diferencia de raíces:
log2 (9 x+1 +7) = 2 + log2 (3x+1 + 1)
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
Tema nº 04: fUncIones exponencIales y loGaríTmIcas
Capacidades:
Saber identificar una expresión algebráica y su clasificación, lo cual nos va a permitir reconocer un
polinomio y en forma directa calcular su valor numérico cuando en ciertos ejercicios así lo requieran.
Desarrollo del Tema:
fUncIón exponencIal:
Antes de tocar este tema es conveniente recordar la teoría de exponentes, restringir números reales positivos y los exponentes a números racionales.
1) yxyx aaa +=⋅ 7) xyyx a)a( =
2) yxy
xa
a
a −= 8) nnn baab ⋅=
3) yxx a)ab( −= 9) 0b,b
a
b
an
nn ≠=
4) 0b,b
a
b
ax
xx
≠∀=
10) n/mn m aa =
5) 0a1a0 ≠∀= 11) mnm n aa =
6) 0a,a
1a
xx ≠∀=−
12) mn nm n baba =
Definición: La función exponencial de base a, se define de la siguiente manera:
{ } RD;1Ra,a)x(f fx =−∈∀= +
Observación:¿Por qué se excluye a, a = 1?También debemos excluir las bases negativas, ya que lo contrario tendríamos que excluir muchos valores de x del dominio, como x = 1/2; x = 3/8, etc. Recuerda que (-2)1/2, (-1) 3/8, etc., no están definidas en el sistema de números reales.
Grafica de Funciones Exponenciales.a) Cuando la base a ∈ < 0,1>:
⇒ En el grafico se observa:
• 21 xxaa >
• )x(f)x(f)xx(f 2121 ⋅=+
• >∞=<∧= ,0RRD ff
b) Cuando la base a ∈ < 1, ∝ >:
⇒ En el grafico se observa:
• 21 xxaa <
)x( 1f
)x( 2f
1x 2x
x)x( af =
( 0 , 1 )
y
x
x)x( af =
1x 2x
)x( 2f
)x( 1f
( 0 , 1 )
y
x
Función Exponencial Quinto Año
• )x(f)x(f)xx(f 2121 ⋅=+
• >∞=<∧= ,0RRD ff
Grafica de la función exponencial natural, f(x) = e x :
• Sus propiedades son las mismas que las de la función f(x) = ax
Problemas:
• Graficar: x
x
3
1)x(f)4()x(f
=∧=
Caso I: f(x)=4x a>1
Localizamos los puntos:
Senota que f(x) > 0 para todo valor de x.
Caso II:
Localizamos puntos:
Se nota que f(x) > 0 para todo valor de x.
• Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I) Si 0< a < b< 1 entonces ax < bx , ∀ x > 0
x)x( 4f =
6 4
1 6
4
1
- 3 - 2 - 1 1 2 3
y
x643
162
41
10
4/11
16/12
64/13
)x(fx
1)x(f
0x:Para
1)x(f0
0x:Para
−−−
>>•
<<<•
x3)x( )(f γ=
- 3 - 2 - 1 1 2 3
1
2 7
9
3
y
x27/13
9/12
3/11
10
31
92
273
)x(fx
1)x(f0
0x:Para
1)x(f
0x:Para
−−−
<<>•
><•
x3
x2
x)x( ef =
x = 0
x
y
II) Si 1 < a < b entonces ax < bx , ∀ x < 0
III)Si 0 < a < 1 entonces Rx,b
aa
xx ∈∀
<
Sol:1) Mediante la exponencial decreciente:
Como: 0 < a < b < 10x< ax < bx <1x solo si x es positivo, como veremos la
siguiente grafica:
Falsa
espropociónLa
;0xba xx <∀<⇒
2) Mediante la exponencial creciente:
Como: 1 < a < b 1 < ax < bx ∀ todo x positivo, como veremos en la siguiente grafica:
;0xba xx <∀<⇒Como habíamos visto anteriormente:
xx ba1 <<
∴ Cuando x < 0, caso contrario. ax > bx ∴ La proposición es verdadera
3) Graficando ( ) :1a0,a1;a
xx <<
esFalsanproposicióLa
0x
Rx;a
1a
xx
∴
>
∈∀
< +
problemas para la clase
1. Reconoce del sgte grupo de ejercicios, cuales son funciones exponenciales y cuales no lo son ; escribiéndolo y mencionando si son crecientes o decrecientes:
a.x
xf )3;0()( =
b.x
xf )3/1()( =
c.x
xf )2()( −=
d.4
)( xf x =
e.x
xf 1)( =
f. 34 1)( += −x
xf
g.4
)( 2 −= xxf
h. 22)( −= xf x
i. 42)( += xf x
j. 72)( += xf x
k. 82)( −= xf x
xa
xa
xbxb
y
x
xa
xa
xb
xb x)x( mf =
x
y
xa
x)a
1(
x
y
Función Exponencial Quinto Año
2. Teniendo en cuenta la base de las sgtes. Funciones; indica si son crecientes o decrecientes.
a. xxf )3()( =
b.x
xf )2()( π=
c.x
xf )/3()( π=
d.x
xf 12)( =
e.x
xf 3/1)( =
f. 2)2/1()( −= xxf
g.x
xf−= 5)(
3. Dada las sgtes funciones construir su gráfica ; hallar dominio y rango:
a.x
xf2
)( 4
1
= + 3
b.1
)( 2 += xxf - 1
c.2
)( 2
1−
=
x
xf + 1
d.x
xf−= 4)( - 5
e.X
xf−= )3,0()( + 2
f. 22)( −−= xxf
g.x
xf−= 3)( - 1
h. 33)( −= xxf
4. Dada las sgtes funciones construir su gráfica ; hallar dominio y rango:
a.1
)( 3 +−= xxf - 1 [ ]16;2; ∈x
b.2
)( 2
1−
=
x
xf + 1 ] [∞∈ ;2; x
c.x
xf−= 4)( - 5 ] [3:; ∞−∈x
d. 22)( −= xxf ] [3:; ∞−∈x
e.x
xf−= 3)( - 1 ] [3:; ∞−∈x
problemas para la casa
1. Reconoce del sgte grupo de ejercicios, cuales son funciones exponenciales y cuales no lo son ; escribiéndolo y mencionando si son crecientes o decrecientes:
a.x
xf )5;0()( =
b.2
)( )3( += xxf
c.x
xf )5()( −=
d. 24)( += xf x
e.2
)( 1 += xxf
f. 34 1)( −= −x
xf
g.4
)( 21 −= xxf
h. 22 2)( −=xf
i. 42)( += xf x
j. 74)( += xf x
k. 52)( += xf x
2. Teniendo en cuenta la base de las sgtes. Funciones; indica si son crecientes o decrecientes.
a. xxf )5()( =
b.x
xf )()( π=
c.x
xf )/3()( π= +1
d.x
xf 12)( = -2
e.x
xf 3/1)( = - 4
f. 2)2/1()( −= xxf 1
g.x
xf−= 5)( - 5
3. Dada las sgtes funciones construir su gráfica ; hallar dominio y rango:
a.x
xf2
)( 4
1
= + 3
b.1
)( 2 += xxf + 1
c.2
)( 2
1−
=
x
xf -5
d.x
xf−= 4)( - 5
e.X
xf−= )3.0()( +5
f. 22 5)( +−= +x
xf
g.x
xf−= 3)( + 1
h. 33)( −−= xxf
4. Dada las sgtes funciones construir su gráfica ; hallar dominio y rango:
a.1
)( 3 += xxf - 1
∈ 27;3
1; x
b.2
)( 2
1−
−=
x
xf + 1 [ ]16;2; ∈x
c.x
xf−−= 4)( - 5 ] [5;5/1; −∈x
d. 52)( −= xxf ; ] [∞∈ ;2; x
e.x
xf−= 3)( + 1 ] [3:; ∞−∈x
Función Exponencial Quinto Año
fUncIón loGaríTmIca
Definición: Puesto que la función exponencial f(x) = ax, tal que f: R → R+ es una función invectiva.
Y su función inversa es: (Función Logaritmo)
Sea: a > 0 a ≠ 1, siendo “a” la base, denotada por:
0x,xlog)x(fY a >∀== ay = x
• Don f = R+ = < 0, ∞ > Ran f = R = <-∞, ∞ >
Ahora veremos las siguientes graficas:
• Caso I: Si 0<a<1 ∧ 0<b<1
• Observamos:
• 0<b <a<1• ∀ x ∈ < 0,1> ; logax > logbx• ∀ x ∈ < 1,∞> ; logax < logbx • Si x = 1 → logax = logbx = 0
• Caso II: Si a >1 , b>1
• Observamos:
• 1<a <1 a ∧ b son positivos.• ∀ x ∈ < 0,1> ; logax > logbx • ∀ x ∈ < 1,∞> ; logax < logbx
Ejemplos
1) Graficar la función: xxf2
3log)( = ; Hallar su dominio y su rango.
2) Graficar la función: xxg2
1log1)( += ; Hallar su dominio y su rango.
3) Graficar la función: ( )2log)( 5 += xxf ; Hallar su dominio y su rango.
4) Graficar la función: ( ) [ )27;4;22log)( 3 ∈−−= xxxf ; Hallar su dominio y su rango.
5) Graficar la función: ( )4log1)( 2 −+= xxg ; Hallar su dominio y su rango.
6) Graficar: ( ) [ )5,2,13 ∈−= xxLgy
problemas propUesTos
1. Para cada función sgte. Graficar y hallar dominio y rango: ( )5log5)( −= xf x
5log2)( −= xf x
xl o gy b=
xl o gy a=
y
x( 1 , 0 )
y
x
xl o gy a=xl o gy b=
( 1 , 0 )
)3(log3)( += xf x
( ) 55log5)( +−= xf x
( ) 22log2)( −+= xf x
( )3log)( −= xf x
3log)( += xf x
5log2)( −= xf x
)3(log3)( −= xf x
( ) 35log3)( +−= xf x
( ) 22log2)( ++= xf x
( ) 21log5)( +−= xf x
1log 2)( −= xf x
1)3(log3)( ++= xf x
( ) 55log5)( +−= xf x
( ) 32log 2)( ++= xf x
( )3log 2)( −= xf x
5log5)( += xf x
xf x 2)( log=
)3(log3)( −= xf x
( ) 35log3)( +−= xf x
( ) 22log2)( ++= xf x
( )5log 5/1)( −= xf x
5log 2/1)( −= xf x
)3(log 3/1)( += xf x
( )5log)( −= xf x
( ) 62log 2/1)( −+= xf x
( ) 33log 3/1)( +−= xf x
3log 2)( −= xf x
5log2)( −= xf x
)3(log3)( −= xf x
( )5log3)( −= xf x
( )2log 2)( += xf x
( ) 55log 2)( −−= xf x
5log2)( −= xf x
)3(log3)( += xf x
( ) 255log5)( +−= xf x
( ) 22log2)( −+= xf x
( )3log 2/1)( −= xf x
1log3)( −= xf x
4log 2)( −= xf x
4)3(log3)( +−= xf x
( ) 31log3)( −−= xf x
( ) 32log 2)( −+= xf x
Función Exponencial Quinto Año
Tema nº 05: maTrIces y DeTermInanTes
Capacidades:
Define matrices y determinantes
Opera con matrices.
Clasifica matrices.
Resuelve sistemas de ecuaciones aplicando matrices .
Resuelve problemas con matrices y determinantes, aplicando definiciones y propiedades.
Desarrollo del Tema:
InTroDUccIón a las maTrIces
GENERALIDADES.- La solución de un sistema de ecuaciones lineales, no depende de los
símbolos que se usan como variable, sino de los coeficientes y constantes del sistema. Así:
=−=+
75
93
yx
yxy
=−=+
75
93
rs
rs , tienen la misma solución (2; 3)
=+−−=++−=−−
033
10326
18233
xyx
zyx
zyx
y
=+−−=++−=−−
033
10326
18233
rqp
rqp
rqp
tienen la misma solución (-4; -2; 6)
Si con los coeficientes y constantes del sistema escribimos un arreglo rectangular de números
como aparecen a continuación, dicho arreglo se llama matriz.
3 1 9 3 -3 -2 -18
5 -1 7 y B = 6 2 3 -10
3 -3 1 0
Los números de una matriz se llaman elementos.
DEFINICIÓN.- Una matriz “A” se m filas o renglones (horizontales) y n columnas (verticales)
se define tal como aparece en el arreglo de abajo y decimos que el orden de la matriz es m . n
o “matriz m . n” o simplemente matriz rectangular. Una matriz n . n se llama matriz cuadrad
de orden n.
a11 a12 a13 …a1n
a21 a22 a23 …a2n
A = a31 a32 a33 …23n
. . . .
. . . .
am am2 am3 …amn
A=
Función Exponencial Quinto Año
Cada elemento de la matriz se representa con doble subíndice aij, donde un elemento de la
matriz está en el í-enésima fila y j-ésima columna. Así, a22 está en la segunda fila y segunda
columna; a23 está en la fila 2 y columna 3, etc.
IGUALDAD DE MATRICES. Sean las matrices:
3 -2 -1 √9 -2 -1
4 1 2 22 10° 3 8
Observamos:
• Las matrices A y B son del mismo orden 2 x 3.
• Los elementos de A son igual a los correspondientes elementos de B.
Entonces A = B
De manera que: 2 3 4 2 3 4 2 2 2 2 2
1 0 2 2 0 1 2 2 2 2 2
¿Por qué?
Matriz fila: Si m = 1. Así: A =[2 -2 4 0]
Matriz columna: Si n = 1. Así: 3
A = -2
0
Matriz cuadrada: Si M = n. Así: 2 4 -1
A = 1 3 3
0 1 -5 ← Diagonal principal.
Matriz transpuesta.- Sea la matriz A de orden 2 x 3: 4 0 2
Si se intercambian las filas por las columnas, -1 3 5
se tiene la matriz transpuesta At de orden 3 x 2, o sea:
4 -1
At = 0 3
2 5
Matriz simétrica: Si At = A, las matrices, son simétricas, tales como:
-3 2 -3 2
2 1 2 1
Matriz antisimétrica: Si At = -A, las matrices son antisimétricas. Así:
0 3 -4 0 -3 4
A = -3 0 -2 y At = 3 0 2
4 2 0 -4 -2 0
A= B=
≠ y ≠
A=
A= y At=
Matriz diagonal: una matriz cuadrada es matriz diagonal, si todos los elementos que no
pertenecen a la diagonal principal son ceros, tales como A y B.
3 0 5 0 0
0 4 y B = 0 -2 0
0 0 4
Matriz escalar: Una matriz diagonal es escalar K, si todos los lados de la diagonal principal
son iguales, tales como C y D.
2 0 -3 0 0
0 2 y D = 0 -3 0
0 0 -3
Matriz identidad: Es una matriz escalar, donde K = 1, tales como E y F.
1 0 1 0 0
0 1 y F = 0 1 0
0 0 1
Matriz nula: Es una matriz en la cual todos sus elementos son 0. Se denota por
0 0 0
0 0 0
prácTIca De clase
1. Si: x+1 1 4 2 y-3 y
y-x -1 2 3 -(x+y) 2
Halla: xy +2
2. Si: 4 2
1 3 , halla At
-2 3
3. Si 4 2x+y x+y
A = 3y-2 5 x2-1 ,
3y-2x 3 3
es simétrica, halla el valor de: x2-5y
4. La traza de: a 2a 3
A = 2a 5 b+1
3 2 b
vale 8, 5. Si A=At, halle: a2+b2- ¼
5. Halla: a22 + a41 + a34 – 3a12.
6. Resuelve: a21 + a14 . a45.
7. Halla la traza de la matriz A = [aij] de
orden 3 y tal que:
i+j , si i≤j
i-j , si i>j
8. Escribir explícitamente la matriz "A".
/32ij]A[A ×= ji;jia
ji;ija
ij
ij
=/+=
==
a)
315
341
b)
543
431
c)
243
431
d)
215
341
e)
643
431
A=
A=
E=
=
= [0 0]
=
=
aij=
Función Exponencial Quinto Año
9. Dada la matriz:
−
+=
y2x1 8
x5y9x4A
Donde se cumple:211 2 a2a +=
0a22 =Calcular: x + y.a) 5 b) 9 c) 8d) 7 e) 6
10.Si:
=
−−++
41
53
qpnm
qp2nm
Hallar: (m - p) + (2n - q).
a) 4 b) -3 c) 2d) 3 e) -2
11.Hallar la suma de los elementos de "x",
tal que:
−−
=
−04
52
12
12x
a) -2 b) 0 c) 1d) 3 e) 5
12.Construir la matriz:
j3ia/]a[Aij23ij
+== ×
a)
76
12
43
b)
76
15
74
c)
96
85
74
d)
65
54
43
e)
98
76
54
13.Sean las matrices :
−
−=
yx3
xy2xA
;
+=
43
4y2B
Hallar : "x.y", si : A = B.a) 6 b) 10 c) 8d) 12 e) 14
prácTIca DomIcIlIarIa
1. Dado:
1 4 2 8
2 3 1 4
A = 3 1 -3 -2
4 0 5 -1
5 -1 6 0
2. a22.a32+a42:a51-211a , es igual a:
a) 0 b) 4 c) 3 d) 1 e) 2
3. La matriz A es de orden:
a) 5x3 b) 4x5 c) 5x4
d) 5 e) 4
4. Al resolver: a23x2-a41x-(a14+a24)=0, se
obtiene:
a) {-6; 2} b) {-6; -2} c) {2; 6}
d) {(6; -2)} e) {-2; 6}
5. x2-y2, es:
a) 27 b) 29 c) 21 d) 26 e) 24
6. Si A = [aij] es de orden 3 y aiji2-j, el
valor de tres (A) es:
a) 8 b) 10 c) 6 d) 2 e) 0
7. Si: a 8 -1
A = b+3 3 2 , traz (A) = 12
-1 k b
y A=At, el valor de 22 ab − es:
a) 5 b) 4 c) 9 d) 1 e) 3
8. La suma de todos los elementos de la
primera fila menos la suma de todos los
elementos de la primera columna es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) -1
9. La suma de todos los elementos de la
matriz: A = [aij]2x3, donde:
aij = i + j, es:
a) 21 b) 13 c) 18 d) 20 e) 25
10. Si A es una matriz de orden 4 x 3 At es
de orden:
a) 4x3 b) 3x4 c) 4
d) 3 e) 12
11.La ecuación cuadrática cuyas raíces son
½ y 1/3, es:
a) 6x2+5x+1=0 b) x2+5x+6=0
c) 6x2-5x+1=0 d) 6x2+5x+1=0
e) 6x2-5x-1=0
12. A es una matriz de orden 3. Si A es
escalar y traz(A)=21, el valor de aii es:
a) 7 b) 6 c) 5 d) a e) 21
13. A es una matriz diagonal, ¿es A=At?
a) Si b) No
14.a + 2y + x, es:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 10 e) -10
álGebra De maTrIces
Cualquier par de números reales puede sumarse, restarse y multiplicarse; sin embargo, dos
matrices pueden sumarse, restarse y multiplicarse si cumple ciertas condiciones.
ADICIÓN DE MATRICES
Dos matrices A y B pueden sumarse si tienen el mismo orden m x n. La suma es la matriz m x
n que resulta de sumar cada elemento de A con su correspondiente elemento de B, así;
Halla A + B, si A = 3 1 -1 y B = 3 2 -5
3 -4 0 1 0 -1
Solución:
3+2 1+2 -1 +(-5) 5 3 -6
3+1 -4+0 0+(-1) 4 -4 -1
Luego: Si A = [aij]mxn y B = [bij]mxn , se tiene: A + B = [aij + bij]mxn
De donde se reduce, la operación de adición en el conjunto de matrices m x n satisface las
propiedades siguientes:
Conmutativa : A + (B+C) = (A+B) + C
Elemento Neutro : A + 0 = 0 + A = A
Inverso Aditivo : A + (-A) = 0 = (-a) + (A)
SUSTRACCIÓN DE MATRICES
Para restar dos matrices A y B de orden m x n aplicamos el inverso aditivo: A – B = A + (-B)
Por ejemplo:
Halla: A – B, si: 3 2 2 -4
5 4 3 5
Solución:
-2 4 De donde: 3 2 -2 4 1 6
-3 -5 5 4 -3 -5 2 1
A+B=
A=
=
y B=
-B= A-B=A+(-B)= + =
Función Exponencial Quinto Año
Luego:
Dadas las matrices: A = [aij]mxn , B = [bij]mxn , se tiene: A – B = A + (-B)
PRODUCTO ESCALAR
Para multiplicar un número real “K” por una matriz A, se multiplica dicho número por cada
elemento de la matriz A.
Por ejemplo: Si K = 2 y A = -2 3 , halla: KA
5 -1
Solución:
-2 3 2(-2) 2(3) -4 6
5 -1 2(5) 2(-1) 10 -2
Luego: Dado K un número real y A=(aij)mxn, el producto KA=K[aij]mxn =[kaij]mxn
prácTIca De clase
Sea: 3 1 1 3 1 0
3 4 -1 1 0 1
Hallar:
1. A + B
2. 4A + 5B
3. 2A – B – 3I
4. Resuelve A + X = I, si X es una matriz.
5. Si:
1 3 3 9
2 4 6 12
Hallar el valor de traz(X)
6. Si: -1 0 , calcular la suma de
2 -1
todos los elementos de la matriz.
E= A+2A+3A + … +nA
7. Si: 2x – y = B, donde: A = -1 2
x + y = A 0
1
B = 2 3 , halla la suma de todos
-1 -1
los elementos de “X”
8. Si: A + 2B + X = ⊗, donde:
1 -2 - ½ 1
-1 2 ½ -1
y ⊗ es la matriz nula m, halla X
9. Efectuar:
−+
2912
315
74
3
212
134
93
; calcular
la suma de los elementos de la matriz
resultante.
10. Al efectuar:
+
−
212
134
93
13
1310
53
911
5
64
12
95
74 ; Calcular
la suma de los elementos de la matriz
resultante.
11. Calcular la transpuesta de la matriz
resultante:
+
+
53
194
56
153
42
132
KA=2A = 2 = =
A= B= y I=
8x+4 x - =2
A=
A= B=
12. Calcular “a + b + c + d” de modo que la
matriz resultante sea nula:
+
−
db
ca
102
1519
65
1813
13. Calcular:”a + b + c + d ”
=
+
−
db
ca
10
013
35
314
35
312
Función Exponencial Quinto Año
pracTIca DomIcIlIarIa
La suma de todos los elementos de la
matriz resultante de:
1 4 -1 -3 -1 1
1. 2 5 + 4 1 - 6 5 , es
3 6 2 2 5 7
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
2. 2 1 6 9 5 8
3 4 10 12 7 9 es:
a) 0 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2
3. Si: 4 -8 5 10 9 7
-12 13 7 8 11 -6
la suma de todos los elementos de la
matriz resultante es.
a) 39 b) -39 c) 40 d) -131 e) 131
4. Si:
4 -8 5 10 9 7
12 13 7 8 11 -6
la traza de la matriz resultante es:
a) 19 b) 65 c) 111 d) 93 e) -26
5. Si:
-8 13 a c 1 0
4 7 b d 0 1
el valor de ad – bc, es
a) 106 b) -106 c) -3 d) 2 e) -10
6. Si:
1 4 7 -1 4 -7
B = 2 5 8 -2 -2 5 -8
3 6 9 -3 6 -9
Traz(B) es:
a) 35 b) -25 c) 29 d) 25 e) -35
14.Si:
4 5 -3
Bt = -2 -8 7 , traz (B+Bt) es:
3 4 10
a) 12 b) 44 c) -16 d) -12 e) -44
15.Si: a d 1 3 0 1
b e +2 1 5 -3 -1 0 = ⊗
c f 1 -2 3 -2
El valor de: a+b+c-(d+e+f), es
a) 0 b) -5 c) 15 d) 5 e) 24
16.Si: -2 3 4 2 -3 4
A = 0 1 -2 y B = -3 5 2
0 0 0 4 2 8
Halla: At + b
0 0 8 0 -3 -4
a) -3 6 0 b) 0 6 2
4 2 8 8 0 8
0 -3 4 0 -3 4
c) 0 6 2 d) 0 6 2
8 0 8 -8 0 8
0 3 4
e) 0 -6 2
8 0 8
17. Sean las matrices:
=
−
=21
73By
13
24A
Hallar: 3A - 4B.
a)
−
−1 28
3224
b)
−1 25
1 64
c)
−−−
248
1 40
d)
−
−1 09
64
e)
−−
−51 3
220
18.Dados:
−=
31
13A
y
=
10
29B
Si: P(x;y) = 3x - 2y + 2Hallar: P(A; B).
3 + 2 -4
- +
3 +2 -4
+ =
a)
11
07
b)
33
29
c)
− 10
72
d)
−−93
77
e)
20
19
mUlTIplIcacIón De maTrIces
Dadas las matrices A y B, el producto de matrices AB está definido si y solo si el número de
columnas de A es igual al número de filas de B, tales como:
1 3 4 2 -2 1 4 3 -2 4
-2 4 1 3 3 2 0 y B = 0 5 -1
1 2 6
Para multiplicar dos matrices cada elemento de la fila “i” de la matriz A por el elemento
correspondiente de la columna “j” de la matriz B, luego se suman los productos.
Por ejemplo:
Sean:
-2 1 4 3 -2 4
3 2 0 y B = 0 5 -1 Halla: AB
1 2 6
Solución:
(-2)(3) + (1)(0) + (4)(1) (-2)(-2) + (1)(5) + (4)(2) (-2)(4) + (1)(-1) + (4)(6)
(3)(3) - (2)(0) + (0)(1) (3)(-2) + (2)(5) + (0)(2) (3)(4) + (2)(-1) + (0)(6)
-6 + 0 + 4 4 + 5 + 8 -8 -1 + 24 -2 17 15
9 + 0 + 0 -6 + 10 – 0 12 – 2 + 0 9 4 10
Observa que A es una matriz de orden 2 x 3 es de orden 3 x 3 y Ab es una matriz de orden 2 x
3. AB está definido, porque: 3 = 3. En general, el producto de una matriz A de orden m x n
con otra matriz B de orden m x p es la matriz C de orden m x p. C está definida, porque: m=n
Luego:
Si: A = [aij]mxn y B = [bij]mxp , entonces AB es la matriz.
C = [cij]mxp , donde cij = aijbij + ai2b2j + … + ain bnj
prácTIca De clase
A= y B=
A=
A=
AB=
AB= =
Función Exponencial Quinto Año
Efectúa:
4
1. [1 3 4]1x3 x -2
2 3x1
4
2. -2 x [1 3 4]1x3
2 3x1
3. 4 3 2
1 5 2x2 3 2x1
4. 2 1
3 3 x
-1 4
5. 2 4 1 3
3 5 5 2
1 0 1 4 2
6. 2 2 x -1 0 2
4 3
7. Si: A = 1 1 , halla traz(A2)
-1 -1
8. Si: A = 2 -1 , halla A2
-1 2
9. Si: A = 1 0 , halla A3
0 1
10. Si A = a 2 B = 1 2 ,
b -1 3 4
A x B = B x A, halla: a + b
11. Si A = 1 -1 x 1 -1
0 -1 0 -1
12. Si A = 1 1 , halla el valor de:
-1 0
A15 + A19
13. Si A = a c , halla: I x A
b d
donde I es la matriz identidad.
14. Calcular El Producto DE : M.Mt ; sabiendo
que:
−
=413
021M
15. Calcular a + b:
=
− b
a
1
8.
24
53
16. Calcular “m + n”
=
−
−
−n
m
4
7.
34
25
17. Calcular la suma de de los elementos de la diagonal principal de la resultante de la
matriz:
−
−
82
46
22
3
12
1
18. Calcular la suma siguiente:
[ ] [ ] [ ]
+
+
11
8
9
1143
4
2
7
825
3
5
2
972
19. Efectuar:
1016
49
86
7125
131411;
Calcular la suma de los elementos de la matriz resultante.
pracTIca DomIcIlIarIa
El resultado de:
-1-2
x
1. [-2 4] x 2 es: 3. Si: 3 -2 x a b = 17 1
3 1 4 -1 5 1 23
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 el valor de a + b es:
a) -8 b) -2 c) 10 d) 8 e) 2
2. 2
[1 5 7] x 4 es 4. Si: 1 -1 3 a 5
6 2 -3 4 x b = 8 , el
3 -2 0 c 6
a) 64 b) 12 c) 25 d) 16 e) 24 valor de a+b – 2c es:
a) -1 b) 0 c) 4 d) 5 e) -2
5. Si: 4 8 x -1 = a 6. La suma de todos los elementos de la
-2 9 4 b resultante de:
el valor de: a + b, es: 2 -4 2 0 4
a) 65 b) 66 c) 67 d) 70 e) 16 3 0 x -3 1 2 , es:
-1 1
7. Si A = -1 1 , el valor de traz(A3), es a) 45 b) 46 c) 24 d) 28 e) 25
0 -1
a) 1 b) -3 c) -2 d) 3 e) -1 8. Si: a2 a x 1 = 8 ,
b2 -3b 2 -9
9. Si: 2 -1 x 1 2 = m 5 el valor de el valor de a3+b3, si a > 0 , b > 0, es:
3 4 5 -3 n x
(m+n) – (r+s), es: 10. 2 0 4 2 -4
a) 19 b) 13 c) 7 d) 21 e) 33 -3 1 2 x 3 0 , es:
-1 1
11. Si: A = -1 -1 , el valor de A3, es a) 3 b) 5 c) 7 d) 14 e) -9
0 1 12. Si M = 1 1 , el valor de 3M5-2M24 es
a) –A b I c) –I d) A+I e) A -1 0
a) A b) 2A c) I d) –A e) –I
13.Sean las matrices :
=
21
32A
−=
214
321B
Hallar: A.B.
a)
−709
1 211 4
b)
709
1 201 1
c)
−109
1 011 4
d)
−809
1 211 4
e) N.A.
14.Dada la matriz:
−
−−−=
011
121
221
A
Hallar la traza de 2A
a) 7 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
15.Dados :
−
−=
423
312A
=
21
32
11
B
Hallar : A×B.
a)
42
10
b)
−63
11
c)
−53
11
d)
−65
11
e)
−51
22
Función Exponencial Quinto Año
16.Dada la matriz:
=
21
04A
Calcular: AA2 −
a)
24
06
b)
50
1 20
c)
01
43
d)
25
01 2
e)
10
05
17. " α " y " β " son las raíces de la ecuación:
031x4x2 =+−
Calcular el determinante de:
αβ−
β+αβ+α
a) 4 b) 9 c) 16d) 25 e) 36
18. Dada la matriz:
=
10
12A
Además: I2x5x)x(P2 +−=
Dar la suma de elementos de P(A):a) 8 b) -6 c) -4d) 6 e) -8
19.Dada la matriz:
=
25
14B
Calcular: IB3T +
a)
74
01 3
b)
69
1 31 5
c)
73
1 51 3
d)
29
51 6
e)
69
1 51 8
DeTermInanTes
Hemos visto que una matriz es un arreglo rectangular de números. Si la matriz es cuadrada,
se le puede asignar un número al que se llama determinantes de la matriz. Si la matriz
cuadrada es A, el determinante es el número que se denota por |A| (no confundir con la
notación de valor absoluto).
Por ejemplo:
Si la matriz es A = 3 5 , su determinante es |A| = 3 5
2 -1 2 -1
De acuerdo al número de filas y columnas en una matriz cuadrada, el determinante puede ser
de: 2do. orden, 3er. orden, orden superior; nosotros nos referimos solamente de los
determinantes de segundo y tercer orden.
DETERMINANTE DE SEGUNDO ORDEN
De la matriz cuadrada: A = a11 a12
a21 a22
El determinantes |A| es de segundo orden y se define como sigue:
a11 a12
|A| = a11 a22 – a12a21
a21 a22
Así:
3 5
|A| = = (3)(-1) – (5)(2) = -3-10 = -13. Rpta.
2 1
De manera que si las flechas indican la diagonal principal Diagonal secundaria
y diagonal secundaria, el determinante de segundo orden
es igual al producto de los elementos de la diagonal
principal menos el producto de los elementos de la Diagonal principal
diagonal secundaria.
DETERMINANTE DE TERCER ORDEN
Si la matriz cuadrada: a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
El determinante de A es de tercer orden y se define como sigue:
a22 a23 a21 a23 a21 a22
|A| = a11 -a32 +a13
a32 a33 a31 a33 a31 a32
Este método de hallar una determinante de tercer orden se llama método de cofactores, donde
se observa:
• Se toma cualquier elemento como un factor y el otro factor es el determinante de segundo,
donde no intervienen los elementos de su fila ni de su columna.
• El primer y tercer factor son positivos y el segundo factor es negativo.
Por ejemplo:
2 1 1 -1 3 1 3 1 -1
|A| = 1 -1 3 = 2 2 2 -1 3 2 + 1 3 2
3 2 2
= 2(-2-6) – 1 (2-9) + 1 (2+3)
= -16 + 7 + 5 = -4 Rpta.
MÉTODO DE SARRUS
Para hallar una determinante de tercer orden por el método de Sarrus, se escribe a la derecha
de la matriz las dos primera columnas, luego se multiplican siguiendo el sentido de las flechas
y teniendo en cuenta el signo. Así:
FORMA GENERAL:
a11 a12 a13 a11 a12 |
Función Exponencial Quinto Año
|A| = a21 a22 a23 a21 a22 |
a31 a32 a33 a31 a32 |
- - - + + +
Ejemplo:
2 1 1 2 1
|A| = 1 -1 3 2 -1 |A| = (-4+9+2) – (-3+12+2)
3 2 2 3 2 = 7 – 11
= 4 Rpta.
- - - + + +
Advertimos que este método no funciona para determinantes de orden superior.
prácTIca De clase
Sean: A = 4 5 , B = -5 -1 C = 1 0 1 y D = 2 3 -1
-2 -3 3 2 1 2 2 0 4 2
4 1 3 1 -5 -3
Halla:
1. |A| + |B| 2. |A + b| 3. |A| x |B| 4. |A x B|
5. |C| - |D| 6. |C + D| - |C x D| 7. Si X ∈ Z, resuelve: x2 x = 10
1 3
pracTIca DomIcIlIarIa
1. Si. A = 2 3 , B = -3 10
1 5 4 -2
1 4 7 3 4 5
C = 2 5 8 D = 7 8 9
3 6 9 11 12 13
el valor de:
2. |A| - 3|B|, es:
a) 109 b) 115 c) -131 d) 131 e) -27
3.||
||1
A
B−, es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4. |C|, es:
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
5. |D|, es:
a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
6. |A+B|, es:
a) 68 b) -27 c) 62 d) -68 e) 27
7. |A+B|, es:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 0 e) 5
8. a b c
a b c es:
1 2 3
a) -1 b) 0 c) a d) b e) c
9. m n p
m2 mn mp , es:
m2 n2 p2
a) m b) 0 c) n d) p e) mnp
10. 3√7 -2√3
-2√7 -√3 , es:
a) 147 b) -147 c) -7√21
d) 7√21 e) -√21
11. 3 0 1
2 x 2 = 28, es
4 -2 3
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
12. Se define la siguiente función :
z00
5y0
75x
z98
0y4
00x
z00
0y0
00x
F)z,y,x(
++=
A partir de ella, calcular: F (1, 2, 4).a) 16 b) 18 c) 24d) 15 e) 23
13. Sabiendo que :
3256
ba
32
ba=
−−
−
Calcular el valor de: 14
ba4
−
a) 8 b) 16 c) 32d) 64 e)128
14.Luego de resolver la siguiente ecuación:
0
13
xx2
1x
=−
Indicar la suma de cuadrados de las soluciones.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
15. Luego de resolver la siguiente ecuación:
28x1
183
x2
15=+
−
Indicar su solución:a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
16.Se define la siguiente regla:
143
102
cba
)c,b,a(P =
A partir de ella, calcular : P(-2, 0, 1).a) 16 b) 19 c) 20d) 21 e) 22
17. Si :
2dc
ba=
Hallar el valor de: b1
d12
dc2
ba2+
++
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
18.Dada la ecuación:
z00
3y0
21x
z20
1y3
12x
−−
= 0se pide calcular el valor numérico de :
1z
x
−a) 2 b) 4 c) 3d) 5 e) 11
19.Dadas las matrices:
=
11
13A
y
=
30
24B
Hallar: |A|
|B|
|B.A|
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
20.Hallar el valor de:
Función Exponencial Quinto Año
a0b
111
aba
E =
a) a + b b) a - b c) ab
d) ab - 1 e) 22
ba +
21.Si se sabe:
0
654
cba
321
=
Además: a + b + c = 18.Calcular:
13
bca +
a) 6 b) 13 c) -6d) 12 e) 18
22.Luego de resolver la siguiente ecuación:
0x2
33
128
1x5
00x
=−
+−
Indicar el producto de soluciones.a) 5 b) -5 c) 6d) 3 e) -7
23. Si: θβα y; son las raíces de la ecuación:
03x5x3 =++ ; Calcular el
determinante de:
βαθαθβθβα
a) 0 b) 1 c) -1d) 4 e) 7
reGla De cramer para resolVer Un sIsTema De Dos ecUacIones
lIneales
GENERALIDADES.- La solución de un sistema de ecuaciones lineales, no depende de los
símbolos que se usan como variable, sino de los coeficientes y constantes del sistema. Así:
Sea un sistema de ecuaciones lineales:
=+=+
=222
111
cybxa
cybxa
Multiplicando la primera ecuación por b2 y la segunda ecuación por –b1:
−=−−=+
212121
212121
cbybbxab
bcybbxba
De donde: aab2x – b1a2x = c1b1 – b1c2
Factorizando: x(a1b2 – b1a2) = c1 b2 – b1 c2 De donde: )1(2121
2121
abba
cbbcx
−−
=
De manera semejante hallamos “y” multiplicando la primera ecuación por a2 y la segunda
ecuación por –a1.
)2(2121
2121
abba
accay
−−
=
Observando cuidadosamente cada numerador y el denominador común, se deduce que se
pueden escribir como determinantes, así:
c1 b1
c2 b2 ; a1 b1
a2 b2
a1 c1
a2 c2 ;
Luego: Si: a1 b1 ≠ 0, entonces:
a2 b2
c1 b1 a1 c1
c1 b2 a2 c2
X = ; y =
a1 b1 a1 b1
a2 b2 a2 b2
Ejemplo:
Resuelve:
−=−=−
15
13
yx
yx
Solución:
1 3 1 1
-1 -5 -5 -3 1 - 1 -1 - 1
X = : = 4 ; y = = = -1
1 -3 -5 + 3 1 -3 -5 + 3
1 -5 1 -5
prácTIca De clase
Resuelve empleando determinantes o regla.
1.
=+−=−
82
2535
yx
yx5.
=−=+4237
122115
yx
yx
2.
−=−=+383
777248
yx
yx6.
−=−=+−
31712
13158
yx
yx
a1b2 – b1a2 =
c1b2 – b1c2 =
a1c2 – c1a2 =
Función Exponencial Quinto Año
3.
=−
=−−
2
1
144
25
26
2
5
yx
yx
7.
−=−
=+
324
5
123
2
2
yx
yx
4.
=+=−
yx
yx
15)1(3
2)3(28.
−=+
=−
32
3
2
2853
4
yx
yx
pracTIca DomIcIlIarIa
Resuelve la regla de Cramer:
1.
−=−−=+
101520
234
yx
yx
2.
=+−
=−
533
7
297
yx
yx
Al resolver por la regla de Cramer:
3.
−−=−+−=+−
xyyx
yyx
2)2(28)(3
112)2(5
el valor de ∆ es:
a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 4
4.
+=−−−=−+
)(5)2(4
8)1(54
yxyx
xyy
el valor de ∆ x es:
5.
−=−
=−
yyx
yx
3315
7
47
37
7
610
el valor de ∆y es:
a) 2458 c) 3687 c) 7374
d) -7374 e) -2458
6.
−=−=+
1137
13124
yx
yx, el valor de ∆+∆x+∆y, es
a) 388 b) -401 c) 401
d) -198 e) -388
Resuelve la regla de Cramer:
7. Resolver:
=−
=+
2y
2
x
21
1y
4
x
3
8. Resolver
=+
=−−
5y3,0x2,0
03
2yx
9. Resolver:
−=−
=+
7x2
1y
y3
1x
10. Resolver:
−=+
=+
1x
6y
2y
3x
11. Resolver:
=+=−
13y2x3
0y8x
12. Resolver:
−=++=
32
yx
3y2x
; hallar “x + 2y”
Tema nº 06: cálcUlo DIferencIal
Capacidades:
Reconoce y aplica los conceptos básicos de funciones.
Calcula el límite de funciones aplicando su definición.
Calcula el límite de una función aplicando propiedades.
Calcula la derivada de una función.
Desarrollo del Tema:
VarIables, fUncIones y límITes
1. VARIABLES Y CONSTANTES
Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de un proceso
de análisis, un número ilimitado de valores. Las variables se designan usualmente por las
últimas letras del alfabeto.
Una cantidad que durante el curso de un proceso tiene un valor fijo se llama constante.
Constantes numéricas o absolutas son las que conservan los mismos valores en todos los
problemas, como 2, 5 √7, π, etc.
Constantes arbitrarias o parámetros, son aquellas a las que se pueden asignar valores
numéricos, y que durante todo el proceso conservan esos valores asignados. Usualmente
se representan por las primeras letras del alfabeto.
Así, en la ecuación de la recta: ,1=+b
y
a
x
x y y son las coordenadas variables de un punto que se mueve sobre la línea, mientras que
a y b son las constantes arbitrarias que representan la abscisa en el origen y la ordenada
en el origen, las cuales se supone que son los valores definidos para cada recta.
El valor numérico (o absoluto) de una constante a, para diferenciarlo de su valor
algebraico, se representa por |a|. Así, |-2|=2=|2|. El símbolo |a| se lee “valor numérico de
a” o “valor absoluto de a”.
2. INTERVALO DE UNA VARIABLE
A menudo nos limitamos solamente a una porción del sistema de números. Por ejemplo,
podemos restringir nuestra variable de manera que tome únicamente valores
comprendidos entre a y b. También puede ser que a y b sean incluidos o que uno o ambos
Cálculo Diferencial Quinto Año
sean incluidos. Emplearemos el símbolo [a, b], siendo a menor que b, para representar los
números a y b y todos los números comprendidos entre ellos, a menos que se diga
explícitamente otra cosa. Este símbolo [a, b] se lee “intervalo de a y b”.
3. VARIACIÓN CONTINUA
Se dice que una variable a varía de una manera continua en un intervalo (a, b) cuando x
aumenta desde el valor a hasta el valor b, de tal manera que toma todos los valores
intermedios entre a y b en el orden de sus magnitudes; o cuando x disminuye desde x=n
hasta x=a, tomando sucesivamente todos los valores intermedios. Esta idea se ilustra
geométricamente mediante el diagrama siguiente.
a x b
0 A P B
Tomando el punto 0 como origen, marquemos sobre la recta los puntos A y B
correspondientes a los números a y b. Además, hagamos corresponde el punto P a un valor
particular de la variable x. Evidentemente, el intervalo [a, b] estará representado por el
segmento AB. Al variar x de una manera continua en el intervalo [a, b], el punto P
engendrará el segmento AB si x aumenta o el segmento BA si x disminuye.
4. FUNCIONES
Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda
determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la primera es función de
la segunda.
Casi todos los problemas científicos tratan con cantidades y relaciones de esta naturaleza,
y en la experiencia de la vida diaria nos encontramos constantemente con situaciones en
las que intervienen magnitudes dependientes unas de otras. Así, por ejemplo, el peso que
un hombre puede levantar depende directamente, a igualdad de otras circunstancias, de su
fuerza. Análogamente, se puede considerar que la distancia que un muchacho puede
recorrer depende del tiempo. O también podemos decir que el área de un cuadrado es una
función de la longitud de su lado, y que el volumen de una esfera es una función de su
diámetro.
5. VARIABLE INDEPENDIENTE Y DEPENDIENTE
La segunda variable, a la cual se pueden asignar valores a voluntad dentro de límites que
dependen del problema particular, se llama la variable independiente o el argumento. La
primera variable, cuyo valor queda fijado cuando se asigna un valor a la variable
independiente, se llama la variable dependiente o la función.
Frecuentemente, cuando se consideran dos variables ligadas entre sí, queda a nuestro
arbitrio el elegir a una de ellas como variable independiente; pero una vez hecha esta
elección, no es permitido cambiar de variable independiente sin tomar ciertas precauciones
y hacer las transformaciones pertinentes. El área de un cuadrado, por ejemplo, es una
función de la longitud del lado, y, recíprocamente, la longitud del lado es una función del
área.
6. NOTACIÓN DE FUNCIONES
El símbolo f(x) se emplea para designar una función de x, y se lee f de x. Con objeto de
distinguir entre diferentes funciones se cambia la letra inicial, como en F(x), ∅(x), f’(x),
etc.
Durante todo el curso de un proceso, un mismo símbolo de funcionalidad indicará una
misma ley de dependencia entre una función y su variable. En los casos más simples, esta
ley expresa la ejecución de un conjunto de operaciones analíticas con la variable. Por
consiguiente, en un caso de esta clase el mismo símbolo de función indicará la misma
operación, o conjunto de operaciones, aplicadas a diferentes valores de la variable. Así, por
ejemplo, si
f(x) = x2 – 9x + 14,
entonces,
f(y) = y2 – 9y + 14;
f(b+1) = (b+1)2 – 9(b+1) + 14 = b2 – 7b + 6
f(0) = 02 – 9.0 + 14 = 14
f(-1) = (-1)2 – 9(-1) + 14 = 24
f(3) + 32 – 9.3 + 14 = - 4
7. LA DIVISIÓN POR CERO, EXCLUIDA
El cociente de dos números a y b es un números tal que a = bx. Evidentemente, con esta
definición la división por cero queda excluida. En efecto, si b = 0, y recordando que cero
tomado cualquier número de veces como sumando es siempre igual a cero, se ve que x no
existe, a menor que a = 0. Si a = 0, entonces x puede ser cualquier número. Por lo tanto,
las expresiones que se presentan en una de las formas
0
0 ,
0
a ,
carecen de sentido por no ser posible la división por cero.
Debe tenerse cuidado de no dividir inadvertidamente por cero. La siguiente paradoja es un
ejemplo.
Supongamos que a = b
Entonces, evidentemente ab = a2
Restando b2, ab – b2 = a2 – b2
Descomponiendo en factores, b(a – b) = (a + b) (a – b)
Dividiendo por a – b b = a + b
Pero, a = b;
luego, b = 2 b,
Cálculo Diferencial Quinto Año
o sea que 1 = 2
El resultado absurdo proviene de haber dividido por a b = 0
ejercIcIos De clase
1. Dado f(x) = x3 – 5x2 – 4x + 20, demostrar que f(1)=12, f(5)=0, f(0)=-2f(3), f(7)=5 f(-1).
2. Si f(x)=4-2x2+x4, calcular f(0), f(1), f(-1), f(2), f(-2).
3. Si F(θ)=sen 2θ+cos θ, hallar F(0), F(1/2 π) . F(π).
4. Dado f(x)=x3 – 5x2 – 4x + 20, demostrar que f(t + 1)=t3 – 2t2 – 11t+12.
5. Dado f(y) = y2 – 2y+6, demostrar que f(y + h)=y2 2y+6+2(y-1)h + h2.
6. Dado f(x) = x3 + 3x, demostrar que f(x + h) – f(x) = 3(x2+1)h + 3xh2 + h3.
7. Dado f(x) = x
1, demostrar que f(x+h) – f(x) =
xhx
h
+−
2 .
8. Dado φ(z)=4, demostrar que φ(z+1) - φ(z) = 3 φ(z).
9. Si φ(x) = ar, demostrar que φ(y) . φ(z) = φ(y + z).
10. Dado φ(x) = x
x
+−
1
1log , demostrar que φ(y) + φ(z) = φ
++yz
zy
1.
11.Dado f(x)=senx, demostrar que f(x+2h) – f(x) = 2 os (x+h) senh.
8. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN; CONTINUIDAD
Consideremos la función x2 y hagamos
(1) y = x2
Esta relación da un valor de y para cada valor de x; es decir, (1) define unívocamente a y
para los valores de la variable independiente. El lugar geométrico de (1) es una parábola
(Fig. 1) y se llama la gráfica de la función x2. Si x varía continuamente (Art. 4) y se llama
la gráfica de la función x2. Si x varía continuamente (Art. 8) desde x=a hasta x=b,
entonces y variará continuamente desde y=a2 hasta y=b2, y el punto P(x, y) se moverá
continuamente, a lo largo de la curva, desde el punto (a, a2) hasta (b, b2). Además, a y b
pueden admitir todos los valores. En este caso decimos que ´´ la función x2 es continua
para todos los valores de x´´.
Consideremos ahora la función x
1. Hagamos.
(2)x
y1=
Esta ecuación da un valor de y para cada valor de x, con excepción de x=0 (Art. 12); para
x=0 la función no está definida. La gráfica (Fig. 2), que es el lugar geométrico de (2), es
una hipérbola equilátera. Si x aumenta continuamente en cualquier intervalo [a, b] que no
incluya x=0, entonces y decrecerá continuamente desde a
1 hasta
b
1, y el punto P(x, y)
describirá la curva entre los puntos correspondientes
aa
1, ,
bb
1, . En este caso
decimos que ´´la función x
1 es continua para todos los valores de x con excepción de x=0
´´. No existe en la gráfica un punto correspondiente a x=0.
Estos ejemplos ilustran el concepto de continuidad de una función. Una definición se dará
en el Artículo 17.
9. LÍMITE DE UNA VARIABLE
La noción de una variable que se aproxima a un límite se encuentra en la Geometría
Semental, al establecer o deducir la fórmula que da el área del círculo. Se considera el área
de un polígono regular inscrito con un número n cualquiera de lados, y se supone, después,
que n crece infinitamente. El área variable tiende así hacia un límite, y este límite se define
como área del círculo. En este caso, la variable v (área) aumenta indefinidamente, y la
diferencia a-v (siendo a el área del círculo) va disminuyendo hasta que, finalmente, llega a
ser menor que cualquier número positivo escogido de antemano, sin importar lo pequeño
que éste se haya elegido.
El concepto de límite se precisa mediante la siguiente definición: Se dice que la variable v
tiende a la constante l como límite, cuando los valores sucesivos de v son tales que el valor
numérico de la diferencia v-l puede llegar a ser, finalmente, menor que cualquier número
positivo predeterminado tan pequeño como se quiera.
La relación así definida se escribe lím v=l. Por conveniencia, nos serviremos de la notación
v l, que se leerá ´´v tiende hacia el límite l´´ o, más brevemente, ´´v tiende a l´´
(Algunos autores usan la notación v ∇ l).
Ejemplo: Si v toma la sucesión infinita de valores.
2 + 1, 2 + ,....2
12,.....,
4
12,
2
1n
++
Cálculo Diferencial Quinto Año
Es evidente que v 2 al crecer n, es decir, lím v = 2.
Si sobre una línea recta, como en el Artículo 8, se señala el punto L que corresponde al
límite l, y se coloca a ambos lados de L la longitud 8, sin importar lo pequeño que éste sea,
entonces se observará que los puntos determinados por v caerán todos, finalmente, dentro
del segmento que corresponde al intervalo [l-8, l+8]
10.LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
En las aplicaciones de la definición de límite, se presentan usualmente casos como el
siguiente: se tiene una variable v y una función dada z de v, y se supone que la variable v
recibe valores tales que v l. Tenemos que examinar entonces los valores de la variable
dependiente z e investigar, particularmente, si z tiende también a un límite. Si
efectivamente existe una constante a tal que lím z = a, entonces se expresa esta relación
escribiendo
,azlv
lím =→
y se leerá: ´´el límite de z, cuando v tiende a l, es a.´´
11.TEOREMAS SOBRE LÍMITES
En el cálculo del límite de una función tienen aplicación los teoremas siguientes. Las
demostraciones se darán en el Artículo 20.
Supongamos que u, y y w sean funciones de una variable x y que
az a x
C wLím B, vlím ,
→→→===
az
Alímu
Entonces son ciertas las siguientes relaciones:
(1)az
C -B A w)-b(u
→+=+lím
(2)az
ABC )(
→=uvwlím
(3) cero. es no B si ,v
u
B
Alím =
En breves palabras: el límite de una suma algebraica, de un producto o de un cociente es
igual, respectivamente, a la suma algebraica, al producto o al cociente de los límites
respectivos, con tal de que, en el último caso, el límite del divisor no sea cero.
Si c es una constante (independiente de x) y B no es cero, de lo anterior se deduce:
(4)B
c==+=+v
c lím ,cA cu límc, A c)(u lím
Consideremos otros ejemplos:
x →a
x →a x →a x →a
1. Demostrar que 2x
124x)(x 2
→=+lím
Demostración: La función dada es la suma de x2 y 4x. En primer lugar hallaremos los
límites de estas dos funciones.
Según (2)2x
x.x xque puesto 4. x 22
→==lím
Según (4)2z 2x
8 x lím 4 4x lím
→→==
Luego, según (1), el límite buscado es 4 + 8 = 12.
2. Demostrar que 4
5
2
9z
2
−=+−
zlím .
Demostración: Considerando el numerador, 2
5)9(z 2
→−=−
z
lím, según (2) y (4). En
cuanto al denominador, 2z
42)(z
→=+lím
. Luego, de (3), tenemos el resultado buscado.
12.FUNCIONES CONTINUNAS Y DISCONTINUAS
En el ejemplo 1 del Artículo 16, donde se demostró que
2
12)4(x 2
→=+
x
xlím
observamos que la solución es el valor de la función para x=2; es decir, el valor límite de la
función cuando x tiende a 2 es igual al valor de la función para x=2. En este caso decimos
que la función es continua para x=2. La definición general es la siguiente:
DEFINICIÓN: Se dice que una función f(x) es continua para x=a si el límite de la función,
cuando x tiende a a, es igual al valor de la función para x=a. En símbolos, si
az
f(a) f(x) lím
→=
entonces f(x) es continua para x=a.
Se dice que la función es discontinua para x=a si no se satisface esta condición.
Llamamos la atención de los dos casos siguientes, que se presentan frecuentemente.
CASO I.- Como ejemplo sencillo de una función que es continua para un valor particular de
la variable, consideremos la función
2
4)(
2
−−=
x
xxf
x →2
Cálculo Diferencial Quinto Año
Para x = 1, f(x)=f(1)=3. Además, si x tiende a 1, la función f(x) tiende a 3 como límite
(Art.16). Luego la función es continua para x=1.
CASO II.- La definición continua supone que la función está definida para x=a. Sin
embargo, si este no es el caso, a veces es posible asignar a la función tal valor para x=a
que la condición de continuidad se satisfaga. En estos casos se aplica el siguiente
teorema:
Teorema: si f(x) no está definida para x=a, pero
az
B, f(x)
→=lím
entonces f(x) será continua para x=a, si se toma como valor de f(x) para x=a el valor B.
Así, por ejemplo, la función
2
42
−−
x
x
no está definida para x=2 (puesto que entonces habría división por cero). Pero para todo
otro valor de x.
;22
42
+=−−
xx
x
y 2
;4)2(
→=+
z
xlím
luego, 42
42
=−−
x
xlím
Aunque la función no está definida para x=2, si arbitrariamente asignamos a ella para x=2
el valor 4, se hace continua para este valor.
Se dice que una función f(x) es continua en un intervalo cuando es continua para todos los valores de x dentro de este intervalo.
En el cálculo e integral, es frecuente tener que calcular el límite de una función de la
variable v, cuando v tiende a un valor a situado en un intervalo en un intervalo donde la
función es continua. En este caso el límite de la función es el valor de la función para v=a.
13. INFINITO (∞)
Es el valor numérico de una variable v llega a ser y permanece mayor que cualquier
número positivo asignado de antemano, por grande que éste sea, decimos que v se vuelve
infinita. Si v toma solamente valores positivos, se hace infinita positivamente; si solamente
toma valores negativos, se hace infinita negativamente. La notación que se emplea para
los tres casos es
−∞=+∞=∞= límvlímvlímv ,,
z →2
En estos casos v no se aproxima a un límite, según la definición del Artículo 14. La notación
lím v = ∞, o v∞, debe leerse ´´v se vuelve infinita´´ y no ´´v se aproxima al infinito
´´**
Con esta notación podemos escribir, por ejemplo,
∞=x
lím1
Significando que 1/x se hace infinito cuando x tiende a cero.
Según el Artículo 17, es evidente que si
ax
, f(x)
→∞=lím
es decir, si f(x) se hace infinita cuando x tiende a a, entonces f(x) es discontinua para x=a.
Una función puede tender hacia un límite cuando la variable independiente se hace infinita.
Por ejemplo:
.0x
1 lím =
En general, si f(x) tiende al valor constante A como límite cuando x∞, empleamos la
notación del Artículo 17 y escribimos
xx
A. f(x) lím
→=
Ciertos límites particulares que se presentan frecuentemente se dan a continuación. La
constante c no es cero.
Escrito en forma de interés Forma abreviada , frecuentemente
usada
(1) ∞=v
clím ∞=
0
c
(2)xr
cv
→∞=lím
c . ∞ = ∞
(3) ∞=v
clím ∞=∞
c
(4) 0=v
clím 0=
∞c
Estos límites particulares son útiles para hallar el límite del cociente de dos polinomios
cuando la variable se hace infinita. El siguiente ejemplo ilustrará el método.
EJEMPLO ILUSTRATIVO.- Demostrar que ∞→x
lím
7
2
75
43232
23
−=−−
+−xxx
xx.
DEMOSTRACIÓN: Divídanse el numerador y el denominador por x3, que es la mayor
potencia de x que entra en la fracción. Entonces tenemos:
z →0
x →x
x →0
x →∞
r →∞
Cálculo Diferencial Quinto Año
∞→xlím
=−−
+−32
23
75
432
xxx
xx
∞→xlím
7
15
432
2
3
−−
+−
xx
xx
El límite de cada término que contiene a x, tanto en el numerador como en el denominador
del segundo miembro, es cero, de acuerdo con (4). Por consiguiente, se obtiene la solución
aplicando las fórmulas (1) y (3) del Artículo 16.
En cualquier caso análogo se procede, por lo tanto, como sigue:
Se dividen numerador y denominador por la mayor potencia de la variable que entre en la
fracción.
Si u y v son funciones de x, ya xax
0, vlím ,A u lím
→→==
Y A no es igual a cero, entonces∞=v
u lím
Esta fórmula resuelve el caso excepcional de (3), del Artículo 16, cuando B = 0 y A no es
cero. Véase también el Artículo 20.
prácTIca De clase
Demostrar cada una de las siguientes igualdades:
1. ∞→x
lím
5
2
53
252
2
−=+
−xx
x2.
∞→xlím
232
54 =++
x
x
3. 0→t
lím
3
1
62
2343
2
−=−+++
tt
tt4.
0→h
lím
252
32
322 x
hxh
hxhhx =+
++
5. ∞→x
lím 3
742
3563
23
=−++−
xx
xx6.
0→k
lím 1
)2(2
4)32(2
23
=−
−+kzz
zkkz
7. ∞→x
lím 0
35
24
=++++fxexdx
cbxax8.
∞→xlím
∞=+++
++gfxexdx
cbxax23
24
9. as
lím
→ 2
22
44
2aas
as =−
10. 2→x
lím
4
5
4
62
2
=−
−+x
xx
x →a
prácTIca DomIcIlIarIa
Demostrar cada una de las siguientes igualdades:
1. α→
lím 0
3
3423
2
=+
−yy
y2.
∞→h
lím
xhxxh
hxxhh
2
1
234
2333
322
−=−−
++
3. ∞→x
lím
0
0
11
110
...
...
b
a
bnxbxb
anxaxann
o
nn
=+++
+++−
−
4. 0→x
lím
bn
an
bnxbxb
anxaxann
nn
=++++++
−
−
...
...1
10
110
5. 0→h
lím 1)( −=−+ n
nn
nxh
xhx6.
0→h
lím
xh
xhx
2
1=−+
7. Dado f(x)= x2, demostrar que 0→h
lím x
h
xfhxf2
)()( =−+
8. Dado f(x) = ax2 + bx + c, demostrar que 0→h
lím bax
h
xfhxf +=−+2
)()(
9. Dado f(x) = x
1, demostrar que
0→h
lím
2
1)()(
xh
xfhxf −=−+
10. Si f(x) = x3, hallar 0→h
lím
h
xfhxf )()( −+
prácTIca
Hallar el valor de los siguientes límites:
1)
−−
→ 7x
49xlim
2
7x
a) 13 b) 14 c) 15 d) 19 e) 20
2) )5x3x(lim 2
2x+−
−→a) 9 b) 12 c) 13 d) 15 e) 10
3)
−+
−→ 23x x9
3xlim
a) 1/6 b) ½ c) 1/3d) 1/8 e) 1/7
4) 2x
8xlim
3
2x ++
−→
a) 13 b) 11c) 12 d) 10 e) N.A.
5) 7x6x
3x4xlim
2
2
1x −+
+−→
a) -1/4 b) 2/7 c) 1/8 d) -1/2e) N.A.
6) 2xx
6x5xlim
2
2
2x −+++
−→
a) 1/3 b) 1/2 c) -1/6 d) 1/7e) 1
7) 3x4x
3xlim
23x +−−
→
a) 1/3b) 1/2c) 1/8d) 1/7e) -1/2
8) )2x(
8x12x6xlim
23
3x −−+−
→
a) -3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 1
Cálculo Diferencial Quinto Año
9) x1
xxx12lim
32
1x −+++−
→
a) 3 b) 3/2 c) 2/3d) 3/7 e) 7
10) 4x
8xlim
364x −−
→
a) 2 b) 1 c) 0 d) 3 e) 4
11) siendo “f” una función definida por:
f(x) = x51
x5a
−−
+− sabiendo que existe:
bflim )x(4x
=→ . Hallar
b
a
a) -9 b) -8 c) -7 d) -6 e) -5
12)
−−−−+
→ 23x
245x49x5xlim
23
7x
a) 672 b) 600 c) 172 d) 345 e) 729
13)
−−
→ h5
1
h5
1
lim0h
a) 1/12 b) 1/15 c) 1/25d) 1/16 e) N.A.
14) Calcular: 1211x2
3x7x6lim
2
2
x 23 ++
−+→
15) Calcular: 12167
43lim
23
23
2 −+−+−
→ xxx
xxx
16) Calcular: 7x41
6x3lim
2x −−−
→
17) Calcular: x51
x53lim
4x −−+−
→
18) Calcular:
−
−−→ x2
1
x8
12lim
32x
19)h
5
1
h5
1
lim0x
−−
→
20)12x20x11x2
4x3xlim
23
23
2x +++−+
−→
21)20x11x8x
12x5x6xlim
23
23
1x −++−++
→
22)24
23
0x xx
x3xlim
+−
→
a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5
23)2x
8xlim
3
2x ++
−→a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13
24)3x
4x15xlim
3
4x −−−
→
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
25)4x
6xxlim
2
2
2x −−+
→
a) 5 b) 25 c) 125d) 625 e) N.A.
26)x
2x16lim
4
0x
−+→
a) 16
1b)
32
1c)
4
1
d) 8
1e)
2
1
27)9x9xx
x9xlim
23
3
3x −−+
−→
a) 2
3b)
6
3c)
5
3
d) 4
3e)
7
3
28)23
24
0x x7x
x2xlim
−+
→
a) 7
2−b)
7
1−c)
7
1
d) 7
2e) N.A.
29)x4x
xxlim
3
2
0x ++
→
a) 0 b) 1 c) 2
d) 4
1e)
4
3
30)xx
1xxxlim
3
23
1x −−−+
→
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
1
134lim
2
35
++++
∞→ xx
xxx
82
163lim
23
3
++−+
∞→ xx
xxx
167
524lim
25
3
−+++
∞→ xx
xxx
6
52lim
2
23
+++
∞→ x
xxx
353
632lim
24
24
+−++
∞→ xx
xxx
1
2lim
3
2
++++
∞→ xx
xxx
1
62lim
2
23
++−+
∞→ xx
xxx
135
437lim
5
25
−+++
∞→ xx
xxx
3
123lim
36
2
+++−
∞→ xx
xxx
1
134lim
2
35
++++
∞→ xx
xxx
82
163lim
23
3
++−+
∞→ xx
xxx
167
524lim
25
3
−+++
∞→ xx
xxx
6
52lim
2
23
+++
∞→ x
xxx
353
632lim
24
24
+−++
∞→ xx
xxx
1
2lim
3
2
++++
∞→ xx
xxx
31)x1
xxx12lim
32
1x −+++−
→
a) 2
1b) 1 c)
3
2
d) 2
3e)
4
3
32)2)2(
2lim
3/14 −−
→ x
xx
a) 2
3b)
3
2c)
3
4
d) 4
3e) N.A.
33) )6x5(lim2x
−→
34)
−−
→ 1x
1xlim
3
1x
35)
−+
−→ 25x x25
5xlim
36)12x7x
3x2xlim
2
2
3x ++−+
−→
37)4x
8xlim
2
3
2x −−
−→
38)25x
10x7xlim
2
2
1x −
+−−→
39)
40)
41)
42)
43)
44)
45)
46)
47)
48)
49)
50)
51)
52)
53)
DerIVacIón
1. INTRODUCCIÓN
En este capítulo vamos a investigar cómo varía el valor de una función al variar la variable
independiente. El problema fundamental del Cálculo Diferencial es el de establecer con toda
precisión una medida de esta variación. La investigación de problemas de esta índole,
problemas que trataban de magnitudes que variaban de una manera continua, llevó a
Newton * al descubrimiento de los principios fundamentales del Cálculo Infinitesimal, el
instrumento científico más poderoso del matemático moderno.
Cálculo Diferencial Quinto Año
2. INCREMENTOS
El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que se
obtiene restando el valor inicial del valor final. Un incremento de x se representa por el
símbolo ∆x, que se lee ´´delta x´´. El estudiante no debe leer este símbolo ´´delta veces
x´´
Es evidente que el incremento puede ser positivo o negativo ** según que la variable
aumente o disminuya al cambiar de valor. Asimismo,
∆y significa incremento de y,
∆φ significa incremento de φ,
∆f(x) significa incremento de f(x), etc
Si en y=f(x) la variable independiente x toma un incremento ∆x, entonces ∆y indicará el
incremento correspondiente de la función f(x) (o sea, de la variable dependiente y).
El incremento ∆y siempre ha de contarse desde el valor inicial definido de y, que
corresponde al valor inicial arbitrariamente fijado de x desde el cual se cuenta el
incremento ∆x. Por ejemplo, consideremos la función.
y = x2
Si tomamos x=10 como valor inicial de x, esto fija y=100 como valor inicial de y.
Supongamos que x aumenta hasta x=12, es decir, ∆x = 2;
entonces y aumenta hasta y=144, y ∆y = 44.
Si se supone que x decrece hasta x=9, es decir, ∆x=.1;
entonces y decrece hasta y=81, y ∆y = . 19.
En este ejemplo, y aumenta cuando x aumenta, y y decrece cuando x decrece. Los valores
correspondientes de ∆x y ∆y tienen un mismo signo. Puede acontecer que y decrezca
cuando x aumenta, o viceversa; ∆x y ∆y tendrán entonces signos contrarios.
3. COMPARACIÓN DE INCREMENTOS
Consideremos la función
(1) y = x2
Supongamos que x tiene un valor inicial fijo y le damos después un incremento ∆x.
Entonces y tomará un incremento correspondiente ∆y, y tendremos:
y + ∆y = (x + ∆x)2 ,
o sea, y + ∆y = x2 + 2 π . ∆x + (∆x)2
Restando (1) , y = x2
(2) ∆y = 2 x . ∆x + (∆x)2
obtenemos el incremento ∆y en función de x y ∆x.
Para hallar la razón de los incrementos, basta dividir los dos miembros de (2) por ∆x, y
resulta.
xxx
y ∆+=∆∆
2
Si el valor de x es 4, es claro (Art. 16) que
ox
lím
→∆ 8=
∆∆x
y
Observemos ahora con cuidado, mediante una tabla, cómo se comporta la razón de los
incrementos de x y de y cuando el incremento de x decrece.
Valor
Inicial de x
Valor
Final de x
Incremento
∆x
Valor
Inicial de y
Valor
Final de y
Incremento
∆y x
y
∆∆
4
4
4
4
4
4
4
5,0
4,8
4,6
4,4
4,2
4,1
4,01
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,1
0,01
16
16
16
16
16
16
16
24
23,04
21,16
19,36
17,64
16,81
16,0801
9
7,04
5,16
3,36
1,64
0,81
0,0801
9
8,8
8,6
8,4
8,2
8,1
8,01
Esta tabla pone de manifiesto que al decrecer ∆x también disminuye ∆y, mientras que la
razón de los dos incrementos toma los valores sucesivos 9, 8,8, 8,6, 8,4, 8,2, 8,1, 8,01.
Esta sucesión de valores nos dice que podemos hacer que el valor de la razón x
y
∆∆
sea tan
próximo a 8 como deseemos con sólo tomar a ∆x suficientemente pequeño. Luego,
ox
lím
→∆ 8=
∆∆x
y
4. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE
La definición fundamental del Cálculo Diferencial es la siguiente:
La derivada * de una función es el límite de la razón del incremento de la función al
incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero.
Cuando el límite de esta razón existe, se dice que la función es derivable o que tiene
derivaba.
La definición puede darse mediante símbolos, en la forma siguiente: Dada la función:
(1) y = f(x)
consideremos un valor inicial fijo de x.
Demos a x un incremento ∆x; entonces obtenemos para la función y un incremento ∆y,
siendo el valor final de la función.
Cálculo Diferencial Quinto Año
(2) y + ∆y = f(x+∆x)
Para hallar el incremento de la función, restamos (1) de (2); se obtiene
(3) ∆y = f(x + ∆x) – f(x)
Dividiendo los dos miembros por ∆x, incremento de la variable independiente, resulta:
(4)x
xfxxf
x
y
∆−∆+=
∆∆ )()(
El límite del segundo miembro cuando ∆x0 es, por definición, la derivada de f(x), o sea,
según (a), de y, y se representa por el símbolo dx
dy. Luego, la igualdad
(A) =dx
dy
0→∆xlím
x
xfxxf
∆−∆+ )()(
define la derivada de y [o de f(x)] con respecto a x.
De (4) obtenemos también
=dx
dy
0→∆xlím
x
y
∆∆
Asimismo, si u es función de t, entonces,
=dt
du
0→∆tlím
t
u
∆∆
= derivada de u con respecto a t.
La operación de hallar la derivada de una función se llama derivación.
5. SÍMBOLOS PARA REPRESENTAR LAS DERIVADAS
Puesto que ∆y y ∆x son siempre cantidades finitas y tienen valores definidos, la expresión
x
y
∆∆
es una verdadera fracción. Pero el símbolo dx
dy ha de mirarse no como una fracción,
sino como el valor límite de una fracción. En muchos casos veremos que este símbolo sí
tiene propiedades de fracción, y más adelante demostraremos el significado que puede
atribuirse a dy y dx, pero, por ahora, el símbolo dx
dy ha de considerarse como conjunto.
Puesto que, en general, la derivada de una función de x es también función de x, se
emplea también el símbolo f’(x) para representar la derivada de f(x). Luego, si y = f(x)
podemos escribir la igualdad )(' xfdx
dy = , que se lee ´´la derivada de y con respecto a x es
igual a f prima de x´´ El símbolo dc
d, considerado por sí mismo, se llama operador
derivada; indica que toda función que se escriba después de él ha de derivarse con
respecto a x. Así.
ydx
do
dx
dy indica la derivada de y con respecto a x;
)(xfdx
d indica la derivada de f(x) con respecto a x;
)52( 2 +xdx
d indica la derivada de 2x2+5 con respecto a x
El símbolo y es una forma abreviada de dx
dy.
El símbolo Dx se emplea por algunos autores en lugar de dx
d. Luego, si y = f(x), podemos
escribir las identidades.
)/(')()(' xfxfDxfdx
dy
dx
d
dx
dyy x =====
Debe hacerse hincapié en esto: en el paso esencial de hacer que ∆x0, la variable es ∆x. El
valor de x se supone fijo desde el principio. Para hacer resaltar que x=x0 desde el principio
hasta el fin, podemos escribir:
0x
)0('
→∆= límxf
x
xfxxf
∆−∆+ )()( 00
6. FUNCIONES DERIVABLES
De la teoría de los límites se deduce que si existe la derivada de una función para cierto
valor de la variable independiente, la función misma debe ser continua para aquel valor de
la variable.
Sin embargo, la recíproca no es siempre cierta: se han descubierto funciones que son
continuas y, a pesar de eso, no tienen derivada. Pero tales funciones no son frecuentes en
las matemáticas aplicadas, y en este libro se consideran solamente las funciones
derivables, es decir, las funciones que tienen derivada para todos los valores de la variable
independiente, con excepción, a lo más, de valores aislados.
7. REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN
Según la definición de derivada se puede ver que el procedimiento para derivar una función
y=f(x) comprende los siguientes pasos:
Cálculo Diferencial Quinto Año
REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN
PRIMER PASO.- Se sustituye en la función x por x + ∆x, y se calcular el nuevo valor de la
función y + ∆y.
SEGUNDO PASO.- Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene ∆y
(incremento de la función).
TERCER PASO.- Se divide ∆y (incremento de la función) por ∆x (incremento de la variable
independiente).
CUARTO PASO.- Se calcula el límite de este cociente cuando ∆x (incremento de la variable
independiente) tiende a cero. El límite así hallado es la derivada buscada.
El estudiante debe familiarizarse con esta regla, aplicando el procedimiento a muchos
ejemplos. La resolución detallada de tres de estos ejemplos se da a continuación. Nótese
que los teoremas del Artículo 16 se emplean en el cuarto piso, manteniéndose x constante.
Ejemplo 1.- Hallar la derivada de la función 3x2 + 5
Resolución: Aplicando los pasos sucesivos de la regla general, obtenemos, después de
hacer y = 3x2 + 5.
Primer Paso y + ∆y = 3(x + ∆x)2 +5
= 3x2 + 6x . ∆x + 3 (∆x)2 + 5
Segundo Paso y + ∆y = 3x2 + 6x . ∆x + 3 (∆x)2 + 5
y = 3x2 + 5
------------------------------------------
∆y = 6x . ∆x + 3 (∆x)2
Tercer Paso xxx
y ∆+=∆∆
.36
Cuarto Paso En el segundo miembro hagamos ∆x0. Según (A) resulta:
xdx
dy6=
O bien xxdx
dy 6)5(' 2 =+=
Ejemplo 2.- Hallar la derivada de x3 – 2x + 7
Resolución: Hagamos y=x3 – 2x + 7
Primer Paso y + ∆y = (x + ∆x)3 – 2(x + ∆x) + 7
= x3 + 3x2 . ∆x + 3x . (∆x)2 + (∆x)3 – 2x – 2 . ∆x + 7
Segundo Paso y + ∆y = x3 + 3x2 . ∆x + 3x . (∆x)2 + (∆x)3 – 2x – 2 . ∆x + 7
Y = x3 - 2x + 7
--------------------------------------------------------------------
∆y = 3x2 . ∆x + 3x . (∆x)2 + (∆x)3 - 2 . ∆x
Tercer Paso 2)(.33 22 −∆+∆+=∆∆
xxxxx
y
Cuarto Paso En el segundo miembro hagamos ∆x0. Según (A) tendremos:
23 2 −= xdx
dy
O bien 23)72(' 23 −=+−= xxxdx
dy
Ejemplo 3.- Hallar la derivada de la función 2x
c
Resolución: Hagamos 2x
cy =
Primer Paso 2)( xx
cyy
∆+=∆+
Segundo Paso 2)( xx
cyy
∆+=∆+
Y = 2x
c
------------------------
2222 )(
)2(.
)( xxx
xxxc
x
c
xx
cx
∆+∆+∆−=−
∆+=∆
Tercer Paso 22 )(
2.
xxx
xxc
x
y
∆+∆+−=
∆∆
Cuarto Paso En el segundo miembro hagamos ∆x0. Según (A) tendremos:
−=
=−==
32322
2'.
2
)(
2.
x
c
x
c
dx
dy
x
c
xx
xc
dx
dy
prácTIca De clase
Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones usando la regla general.
1. y = 2 – 3x Sol. Y’ = -3 2. y = mx + b y’ = m
3. y = ax2 y’ = 2 ax 4. s = 2t-t2 s’ = 2-2t
Cálculo Diferencial Quinto Año
5. y = cx3 y’ = 3cx2 6. y = 3x – x3 y’ = 3 – 3x2
7. u = 4v2 + 2v3 u’ = 8v + 6v2 8. y = x4 y’ = 4x3
9. 1
2
+=
θQ 2)1(
2
+−=
θθdqQ
10. 2
32 +
=x
y 22 )2(
6
+−=
x
x
dx
dy
11. t
ts
4+=2
4
tdt
ds −= 12. x
y21
1
−= 2)21(
2
xdx
dy
−=
13. 2+
=θ
θQ 2)2(
2
+=
θθddQ
14. DCt
BAts
++= 2)( DCt
BCAD
dt
ds
+−=
prácTIca DomIcIlIarIa
Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones usando la regla general.
1. x
xy
13 += 2
12
xx
dx
dy −= 2. 22
1
axy
+= 222 )(
2
ax
x
dx
dy
+−=
3. 12 +
=x
xy
22
2
)1(
1
+−=
x
x
dx
dy4.
2
2
4 x
xy
−= 22 )4(
8
x
x
dx
dy
−=
5. 543 2 −−= xxy 6. S = at2 + bt + c
7. v = 2v3 – 3v2 8. y = ax3 + bx2 + cx + d
9. Q = (a - b θ)2 10. y = (2 – x) (1 – 2x)
11. y = (Ax + B) (Cx + D) 12. s = (a + bt)3
13. 2bxa
xy
+= 14.
2
2
x
bxay
+=
reGlas prácTIcas De DerIVacIón
1. Derivada de una potenciaSea f(x) una función y Rn∈
[ ] [ ] )('.)(.)( 1 xfxfn
dx
xfD nn
−=
Caso particular:1.)(')( −=→= nn xnxfxxf
NOTA: Se lee: “Derivada de f(x) con respecto a x”
2. Derivada de una constante:
0=dx
Dc
3. Derivada de una constante por una potencia.¡Es similar al a 1ª regla!
)('.))(.(.))(( 1 xfxfan
dx
xfDa nn
−=
Caso particular:
1. −= nn
xnadx
Dax
4. Derivada de una suma[ ]
dx
xDg
dx
xDf
dx
xgxfD )()()()( +=+
También:[ ] )(')('')()( xgxfxgxf +=+
NOTA:Se sabe que:
1)(')( −=→= nn nxxfxxfSi la base es una función así como:
323 )32()( xxxf +=
Aplicamos la regla y lo multiplicamos por la derivada de )32( 23 xx +)'32.()32()(' 231323 xxxxxf ++= −
)66.()32()(' 2223 xxxxxf ++=
5. Derivada de una diferencia[ ]
dx
xDg
dx
xDf
dx
xgxfD )()()()( −=+
También:[ ] )(')('')()( xgxfxgxf −=−
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Funciónxf →)( →)(' xf Su
dx
xDf )(
Cálculo Diferencial Quinto Año
derivadasen x Cos xcos x - sen xtg x Sec2xctg x -csc2xsec x Secx . tgxcsc x -cscx . ctg x
6. Derivada de un producto
[ ]dx
xDfxg
dx
xDgxf
dx
xgxfD )().(
)().(
)().( +=
También :[ ] '.'.'. uvvuvu +=
siendo U y V dos funciones.
7. Derivada de un cociente
[ ]2)(
)().(
)().()(
)(
xgdx
xDgxf
dx
xDfxg
dx
xg
xfD −
=
También:
2
2.'.'
v
vuuv
v
u −=
donde: u y v son funciones.
8. Derivada de una función exponencialCaso (I):
uDaaaD xuu
x .ln.=Donde: u = f(x), a = constante
Caso (II):
aaaD xxx ln.=
¡es el mismo que el caso 1!
Caso (III):
uDeeD xuu
x .= Donde : e = base de log. Neperianos
u = f(x)
9. Derivada de la función logaritmoSi: u = f(x)
uDu
uD xx .1
ln =
NOTA:bDaxDbaxD xxx +⇒+ )(
0)( +=+ abaxDx
abaxDx =+ )(
10.Valores máximo y mínimo de una función
Hallar los puntos críticos de:
xxxxf 57)( 23 −+=Solución:
Derivando la función:
5143)(' 2 −+= xxxfSe hace que: f’(x)=0
Luego: 05143 2 =−+ xx
+→−→5
13
x
x
5
3/1
−==
x
x
pracTIca De clase
1. Hallar: dx
xxD )68( 2 −−
2. Si: 7810 2/15/3)( +−= xxf x
Hallar: f’(x)
3. Hallar dx
xD 5)13( −
4. Si ( )3248 342)( xxxxf −+=Hallar: f’(x)
5. Si ( )44 23)( −= xxfHallar: f(x)
6. Si ( )13)( −= xxxfHallar f’(x)
7. Hallar: dx
xDsenx cos.
8. si tgxxxf .)( 2=Hallar f’(x)
9. Hallar: dx
xDx cos6
10. Si: 32 )2.()4()( +−= xxxfHallar: f’(x)
11. Hallar:
dx
x
xxD
+−
13
32 2
12.Hallar: f’(x) en:
x
xxf
34)(
−=
13. Si 1
)(−
=x
xxf hallar f’(x)
14.x
xD 3
15.2
8xxD
16.x
xD 8
17. ( ) xxD 22
18.x
xeD 2
19.x
xeD
20. )35ln( +xDx
Cálculo Diferencial Quinto Año
21. 168)( 24 +−= xxxf
22. xxxxf 93)( 23 −+=
23. 73 35 xx −
24. ( )( )342 2573 xxxx +−
25.23
42
−−
x
x
26. 26 85)( xxxf −=
Tarea DomIcIlIarIa
1. Hallar la derivada de:
xxf x 52)( += por definición.
2. Hallar la derivada por definición:
xxf x 23 2)( −=
3.35
2
)( +=
x
xf x , por definición
4.2
)( 2xf x = , por definición.
5. 534 2)( +−= xxf x
APLICANDO LAS REGLAS:
6. xf x =)(
7.6
)( 4xf x =
8.2/3
)( xf x =
9.3/7
)( 5xf x =
10. 9 2)( xf x =
11. 8)( =xf
12.
dx
D7
13.2
)( 9=xf
14.6
)( 8xf x =
15.13
)( 4
3xf x =
16.dx
xD )6( 7−
17. 743)( ++= xxf x
18.236
)( 354 xxxf x ++=
19. 145/3 55)( −+= xxf x
20. Hallar dx
xxD )756( 23 ++
21.Averigua para que sirven las derivadas y cual es su aplicación en el cálculo superior de las matemáticas.