4. Modelos AR(1) y ARI(1,1).
Los modelos autorregresivos son aquellos modelos ARMA(p,q) en los que q=0. En general, vamos a denotarlos por AR(p). En un modelo AR(p) en valor en el momento t de la serie se expresa como una combinación lineal de las p observaciones anteriores de la serie más la innovación:
En los modelos MA(q), el valor de la serie en el momento t se expresa como una combinación de innovaciones. Sin embargo, existe una relación entre los modelos AR y los modelos MA.
tptpttt ayyyy ++++= −−− φφφ ...2211
Vamos a considerar, por ejemplo, el modelo MA(1) dado por:
Teniendo en cuenta que
y sustituyendo recursivamente hacia atrás, se obtiene la siguiente expresión:
11 −+= ttt aay θ
11 −−= ttt aya θ
...33
122
111 −+−+= −−− ttttt yyyay θθθ
En la práctica, la información disponible para poder estimar los modelos y luego predecir con ellos son las propias observaciones de la serie. Por ello, vamos a exigir que los modelos MA sean invertibles. La propiedad de invertibilidadestablece que el valor presente de yt pueda expresarse como una combinación lineal convergente de observaciones pasadas. En el caso concreto del modelo MA(1) esto significa que
11 <θ
En general, en un modelo MA(q), la condición de invertibilidad viene dada porque las soluciones de la siguiente ecuación
sean mayores que uno en módulo. Como caso particular, podemos ver que para el modelo MA(1), la ecuación es
Por lo que su solución es:
0...1 1 =+++ qq xx θθ
01 1 =+ xθ
1/1 θ−=x
Modelo AR(1)
En un modelo AR(p), el valor de la serie en el momento t es una combinación lineal de lasúltimas p observaciones de la variable. En el casomás simple, el valor de la serie en el momento tsolo depende de la observación previa. El modeloAR(1) viene dado por:
La condición de estacionariedad es que . En este caso, la media marginal viene dada por
El modelo puede ser también escrito como
ttt aycy ++= −11φ
1|| 1 <φ
φµφ
−=⇒+= − 1
)()( 11c
yEcyE tt
ttt ayy +−=− − )( 11 µφµ
Las observacionesfluctúan alrededor de que es la media de la serie.
La media no es 5 sino5/(1-0.2)=6.25.
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
25 50 75 100 125 150 175 200
AR(1) model: y(t)=0.2*y(t-1)+a(t)
µ
3
4
5
6
7
8
9
10
25 50 75 100 125 150 175 200
AR(1) series: y(t)=5+0.2*y(t-1)+a(t)
Función de autocorrelación de series generadas por modelos AR(1).
a) Varianza marginal
21
22
1122
12
1
211
2
1
))(()()(
))(()()(
φσσ
µφµφ
µφµ
−=
⇒−++−
=+−=−=
−−
−
a
tttt
tttt
ayEaEyE
ayEyEyVar
Las autocovarianzas vienen dadas por
211111 )})()({()})({()1( σφµµφµµγ =−+−=−−= −−− yttttt yayEyyE
2211
2112
)1(
)})()({()})({()2(
σφγφ
µµφµµγ
=
=−+−=−−= −−− ttttt yayEyyE
21
11
)1(
)})()({()})({()(
σφγφ
µµφµµγhi
httthtt
h
yayEyyEh
=−
=−+−=−−= −−−
Por lo tanto, las autocorrelaciones del modelo AR(1) vienen dadas por
Las correlaciones tienden hacia cero exponencialmente: las observaciones alejadas en el tiempo van teniendo menor influencia. Cuanto mayor sea más lentamente decrecen las correlaciones.
,...2,1,0,)( 1 == hh hφρ
1φ
El parámetro estárelacionado con la memoria de la serie. Cuanto más cerca estéde cero, la memoria esmás corta. A medidaque se incrementa, la memoria es mayor y, consecuentemente, la dependencia con respecto al pasadomás fuerte.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
25 50 75 100 125 150 175 200
AR(1) series: y(t)=0.5*y(t-1)+a(t)
1φ
-4
-2
0
2
4
6
25 50 75 100 125 150 175 200
AR(1) series: y(t)=0.8*y(t-1)+a(t)
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
25 50 75 100 125 150 175 200
AR(1) series: y(t)=0.95*y(t-1)+a(t)
-6
-4
-2
0
2
4
6
25 50 75 100 125 150 175 200
y(t)=-0.8*y(t-1)+a(t)
En un modelo estacionario, el efecto de lasinnovaciones es transitorio mientras que en modelos no estacionarios, sus efectos son permanentes (la serie no retorna a una media constante). Para ilustrar este resultado, vamos a considerar el siguiente modelo AR(1):
Si sustituimos recursivamente hacia atrás, se obtiene la siguiente representación:
ttt ayy += −11φ
iti
it ay −
∞
=∑=
01φ
Si el modelo es estacionario, las ponderaciones de las innovaciones pasadas van descendiendohacia cero. Por lo tanto, el modelo AR(1) puedeaproximarse mediante un modelo MA(q)
Si , entonces los efectos son permanentes. El modelo resultante es el paseo aleatorio.
En este caso, el modelo no puede aproximarse por un modelo MA(q).
1|| 1 =φ
∑∞
=−=
0iitt ay
ttt ayy += −1
Cuando el comportamiento de la serie es explosivo. Las innovaciones muy alejadas en el tiempo son más importantes que las más cercanas. Este comportamiento no es muy habitual en series reales.
1|| 1 >φ
Momentos condicionales del modelo AR(1):
1111 ),...,|( −− = ttt yyyyE φ
21
22
112
112
11
112
111
1),...,|{),...,|){(
},...,|))({(),...,|(
φσσφ−
<==−
=−=
−−−
−−
−
aattttt
ttt
ttt
yyaEyyyyE
yyyEyEyyyVar
Generalización a modelos AR(p)
Vamos a considerar el modelo AR(2):
La condición de estacionariedad es que el módulo de las soluciones de la ecuación
sean mayores que uno.
En este caso, la acf del modelo AR(2) vienedada por
tttt ayycy +++= −− 2211 φφ
2211 xx φφ −−
>−+−
=−=1),2()1(
1,)1()(21
21
hhh
hh
ρφρφφ
φρ
-8
-4
0
4
8
12
25 50 75 100 125 150 175 200
y(t)=1.6*y(t-1)-0.8*y(t-2)+a(t)
-10
-5
0
5
10
25 50 75 100 125 150 175 200
y(t)=-1.5*y(t-1)-0.7*y(t-2)+a(t)
Las autocorrelaciones de los modelos AR(p) decaen exponencialmente hacia cero. El análisis de estas autocorrelaciones no permite determinar el orden del modelo.
Autocorrelación parcial de orden h: Correlación entre y e y una vez que se tiene en cuenta el efecto sobre ambas de todas las observaciones intermedias
),...,|,( 11 +−−−= htthtthh yyyyCorrφ
Para calcular las autocorrelaciones parciales:
Por ejemplo, en un modelo AR(1):
ttt ayy 1111 += −φ
tttt ayyy 2222121 ++= −− φφ
ttttt ayyyy 3333232131 +++= −−− φφφ
022
111
==
φφφ
En un modelo AR(2):
Las autocorrelaciones parciales son cero para h>p
0
0
33
222
11
==≠
φφφ
φ
5. El Modelo ARMA(1,1)
En el modelo MA(q), las innovaciones dejan de tener efectos después de q periodos. Por otra parte, en el modelo AR(p), los efectos de las innovaciones están restringidos. El modelo ARMA permite recoger efectos más duraderos de las innovaciones con menos restricciones.
Los modelos ARMA se pueden obtener al agregar modelos AR y modelos MA. Muchas series económicas se obtienen por agregación, lo que también justificaría la aparición de modelos ARMA.
Los modelos ARMA son modelos mixtos que tienentanto componentes autorregresivas como de medias móviles. Un modelo ARMA(p,q) esestacionario si su parte autorregresiva esestacionaria y es invertible cuando su componentede medias móviles es invertible.
En el caso más simple, el modelo ARMA(1,1) vienedado por
La condición de estacionariedad es y la condición de invertibilidad es
1111 −− −++= tttt aaycy θφ1|| 1 <φ
1|| 1 <θ
En este caso, la media marginal es
y la función de autocorrelación es
Las autocorrelaciones son similares a las del modelo AR(p) pero el decaimiento no empiezadesde el principio.
11 φµ
−= c
>−
=++
++=
1),1(
1,21
))(1()(
1
212
1
1111
hh
hh
ρφθφθθφθφ
ρ
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
25 50 75 100 125 150 175 200
y(t)=0.8*y(t-1)+a(t)-0.5*a(t-1)
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
25 50 75 100 125 150 175 200
y(t)=0.8*y(t-1)+a(t)+0.5*a(t-1)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
25 50 75 100 125 150 175 200
y(t)=0.5*y(t-1)+a(t)+0.5*a(t-1)
Resumen
Decae
expon.
Decae
expon.
ARMA(1,1)
Decae
expon.
0 para h>2
cMA(2)
Decae
expon.
0 para h>1
cMA(1)
0 para h>2
Decae
expon.
AR(2)
0 para h>1
Decae
expon.
AR(1)
Var.MediaVar.Media
Fac
parcial
FacMomentos
Condicionales
Momentos
marginales
11 φ−c
11 −tyφ 2aσ
2aσ
2aσ
2aσ2aσ
211 φφ −−c
11 φ−c
2
1
2
1 φσ−
a
32
21
2
1 φφσ
−−a
)1( 2
1
2 θσ +a
)1( 3
2
2
1
2 θθσ ++a
2
21
11
2
1
1
21aσ
φθφθ
−++
2211 −− − tt yy φφ
11 −− taθ
2211 −− −− tt aa θθ
2111 −− − tt ay θφ
5. Modelos ARMA con dependencia
estacional
Al analizar series macroeconómicas eshabitual observar quetienen patronesestacionalestransitoriosrelacionadosnormalmente con motivos institucionaleso metereológicos.
1200000
1300000
1400000
1500000
1600000
1700000
91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04
Quartely GDP Europe from 1st 1991 up to 3th 2004
Los modelos ARMA necesitan ordenes muy grandes para representar estos patrones estacionales: perdemos la ventaja del número reducido de parámetros de los modelos.
Alternativa: modelos ARMA multiplicativos estacionales que imponen restricciones que son razonables en la práctica.
Vamos a considerar, por ejemplo, una serie mensual. En este caso, la dependencia estacional puede representarse mediante
tQtP
tt
LyL
LLyLL
εεθθφφ
)()(
...)1(...)1(1212
2424
1212
2424
1212
Θ=Φ
=−++=−−−
Sin embargo, la perturbación, no será en general ruido blanco porque la serie puede tener también dependencias regulares. Por lo tanto,
El modelo multiplicativo ARMA(p,q)x(P,Q)s es
Este es un modelo ARMA(p*,q*) con restriciones en los parámetros.
tε
tqtp aLL )()( θεφ =
ts
Qqts
Pp aLLyLL )()()()( Θ=Φ θφ
Ejemplo:
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
25 50 75 100 125 150 175 200
(1-0.6L)(1-0.8L12)y(t)=(1-0.3L12)a(t)
1213121
121312
1212
3.048.08.06.0
)3.01()48.08.06.01(
)3.01()8.01)(6.01(
−−−− −+++=−=+−−
−=−−
tttttt
tt
tt
aayyyy
aLyLLL
aLyLL
7. Modelos ARIMA
Como ya hemos visto, las series reales son habitualmente no estacionarias. Cuando la evolución de la tendencia y la estacionalidad son estocásticas, es necesario transformar las series tomando diferencias para que la serie transformada sea estacionaria.
Vamos a suponer que la serie de interés es I(d), es decir tenemos que tomar d diferencias para que sea estacionaria
Una vez que la serie ha sido transformada, el modelo ARMA se ajusta a la transformación estacionaria, es decir,
td
t yw ∆=
qtqttptptt aaawww −−−− −−−+++= θθφφ ...... 1111
Modelo ARIMA(p,d,q):
Ejemplo: Modelo ARIMA(1,1,0)
El modelo ARIMA es un modelo ARMA con raícesunitarias
qtqttptd
ptd
td aaayyy −−−− −−−+∆++∆=∆ θθφφ ...... 1111
ttt ayy +∆=∆ −11φ
ttt
ttt
ttttt
ayy
ayy
ayyyy
++
=+−+=+−+=
−−
−−
−−−
2*21
*1
2111
21111
)1(
φφ
φφφφ
Modelo ARIMA multiplicativo:
ts
QqtDs
dsPp aLLyLL )()()()( Θ=∆∆Φ θφ
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