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Definición (Límite de una función)
Sea una función de dos variables definida en el
disco abierto , excepto posiblemente en . Entonces
si y sólo si para cada existe un correspondiente tal que
Observación : grficamente, esta definición significa que para un punto cualquiera
, el valor de est entre y , como se ilustra en la
figura.
!igura ".
#omo ya mencionamos, cuando escribimos que entendemos que el punto
se aproxima al punto en cualquier dirección. Si el valor de
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caminos ubieran llevado al mismo límite, no podemos concluir que el límite existe.%ara
llegar a tal conclusión, debemos demostrar que el límite es el mismo para toda posibletrayectoria. Esta tarea no es simple y requiere el uso de la definición misma, como muestra
en siguiente e$emplo.
Ejemplo 2
#ompruebe que
Solución
La tcnica que usamos con el e$emplo anterior no es adecuada para este caso, pues aunqueel límite de cero a travs de mucas trayectorias esto no demuestre que este sea su valor*
pero nos ace sospecar que el límite existe.
Sea , queremos encontrar un tal que
es decir
como
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+. %ara este límite racionaliamos el denominador