8/17/2019 3.4Ecuaciones paramétricas.pdf
1/8
Ing. José Espinosa Organista
1
Curvas planas en Ecuaciones paramétricas
Introducción
El uso de las ecuaciones paramétricas se restringe a aquellos fenómenos de la ingeniería
que correspondan con modelos matemáticos en los cuales se simplifique el modelo, en
comparación con un modelo en ecuaciones cartesianas. Fundamentalmente, las ecuaciones paramétricas son el fundamento de los modelos vectoriales, en donde en cada una de sus
componentes corresponde a una función de una variable real y es en las funcionesvectoriales en donde se tendrá mayor aplicación. En este apartado, se restringe el uso deecuaciones paramétricas a dos dimensiones, dado que la unidad de estudio a la que
corresponde el tema se denomina Curvas planas, ecuaciones paramétr icas y polares ; sinembargo, el modelo de ecuación y sus aplicaciones se transfieren fácilmente a las tres
dimensiones con las que se trabajará la siguiente unidad.
Material y equipo necesario
Papel milimétricoEquipo de dibujo: escuadras, compás, transportador, reglaCualquier software libre para graficación de funciones y ecuaciones
Metodología1. Análisis de la definición y construcción geométrica de las ecuaciones paramétricas
2. Analogía entre la estructura de las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones
cartesianas3. Aplicación de la analogía establecida para la transformación de ecuaciones
4. Graficación mediante procedimientos manuales
5. Graficación mediante software
Bibliografía preliminar
Zill Dennis G.
Cálculo con Geometría Analítica.
Grupo Editorial Iberoamérica.
Leithold Louis.Cálculo con Geometría Analítica.Ed. Oxford (7ª. Edición)
Marsden J. E. Y Tromba A. J.Cálculo Vectorial
Ed. Addison-Wesley Iberoamericana
Murray R. SpiegelAnálisis Vectorial
Ed. Mc. Graw Hill
Hwei P. Hsu
Análisis Vectorial
Ed. Addison-Wesley Iberoamericana
8/17/2019 3.4Ecuaciones paramétricas.pdf
2/8
Ing. José Espinosa Organista
2
Desarrollo
1. Relación entre las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones en coordenadasrectangulares
Las ecuaciones cartesianas en el plano involucran a dos variables de modo que al graficarlos pares ordenados estos corresponden con un patrón o modelo.
En algunos fenómenos el patrón es definido por una tercera variable, pero de modo que las
dos variables del plano dependen de esa tercera variable, la cual no se muestra en la gráfica.
De este modo, si una curva es expresada en términos del parámetro mencionado, la curva
tomará la forma ),( y xC en donde )(t f x y )(t g y
De modo que para construir la curva)(
)({
t g y
t f xC
se elabora una tabla para calcular las
coordenadas a partir del valor del parámetro; supóngase que t x 2 y t y 1
determínense las coordenadas para valores de t de -4 a 4
x
y
y
x
8/17/2019 3.4Ecuaciones paramétricas.pdf
3/8
Ing. José Espinosa Organista
3
Punto t x y 1 -4 6 5
2 -3 5 4
3 -2 4 3
4 -1 3 2
5 0 2 1
6 1 1 0
7 2 0 -1
8 3 -1 -2
9 4 -2 -3
2. Transformación de ecuaciones paramétricas a rectangulares
Para la transformación de ecuaciones paramétricas a cartesianas o rectangulares, se procedea despejar el parámetro en cada coordenada y se igualan, en seguida se simplifica la
ecuación.
Ejemplo 1
Si 43 2 t x y 12 t y las ecuaciones se pueden transformar en coordenadas
rectangulares despejando 2t en ambas expresiones, de donde quedan3
42 x
t y
12 yt ; igualando y simplificando se llega a la ecuación cartesiana 013 y x
Ejemplo 2
Si 49 2 t x y 432 2 t t y despejando t 2 en la ecuación paramétrica para x se
obtiene la expresión9
42 x
t que al ser sustituida en se genera la
ecuación 49
43)
9
4(2
x x y la cual al ser desarrollada queda como
046050419336814 22 y x xy y x donde se puede observar que la ecuación
puede resultar de mayor complejidad, razón por la cual existe la opción paramétrica
3. Transformación de ecuaciones rectangulares a paramétricas
Para la transformación de ecuaciones cartesianas a paramétricas se busca establecer una
igualdad de modo que cada una de las variables quede en cada uno de los miembros de la
igualdad y considerar a cada miembro de la igualdad como una expresión igual al parámetro, lo que conduciría a las ecuaciones de cada variable.
Ejemplo: exprese en forma paramétrica la ecuación 84422 y x y x esta expresión
se puede transformar convenientemente en 08282 22 y x , lo que
432 2 t t y
8/17/2019 3.4Ecuaciones paramétricas.pdf
4/8
Ing. José Espinosa Organista
4
llevaría a 28 t x y 28 t y y nuevamente, se puede observar que la
transformación puede complicar la expresión.
4. Graficación de ecuaciones paramétricas
Grafique las siguientes ecuaciones, primero de manera manual y luego mediante software ycompare las gráficas.
4.1 t x 5 ; 22 t y
Tabulación
t x y
-9,0 -45,0 -16,0-8,0 -40,0 -14,0
-7,0 -35,0 -12,0-6,0 -30,0 -10,0
-5,0 -25,0 -8,0
-4,0 -20,0 -6,0-3,0 -15,0 -4,0
-2,0 -10,0 -2,0
-1,0 -5,0 00 0 2,0
1,0 5,0 4,0
2,0 10,0 6,03,0 15,0 8,04,0 20,0 10,0
5,0 25,0 12,0
6,0 30,0 14,07,0 35,0 16,0
8,0 40,0 18,0
9,0 45,0 20,0
8/17/2019 3.4Ecuaciones paramétricas.pdf
5/8
Ing. José Espinosa Organista
5
4.2 x=4senθ ; y=csc θ
Tabulaciónt x y
-9,0 -1,6485 -0,4121
-8,0 -3,9574 -0,9894
-7,0 -2,6279 -0,657-6,0 1,1177 0,2794
-5,0 3,8357 0,9589
-4,0 3,0272 0,7568-3,0 -0,5645 -0,1411
-2,0 -3,6372 -0,9093
-1,0 -3,3659 -0,84150 0 0
1,0 3,3659 0,8415
2,0 3,6372 0,9093
3,0 0,5645 0,1411
4,0 -3,0272 -0,75685,0 -3,8357 -0,9589
6,0 -1,1177 -0,27947,0 2,6279 0,657
8,0 3,9574 0,9894
9,0 1,6485 0,4121
8/17/2019 3.4Ecuaciones paramétricas.pdf
6/8
Ing. José Espinosa Organista
6
4.3 x= cos 2 t ; y = sen t
t x y
-9,5 0,9887 0,0752-9,0 0,6603 -0,4121
-8,5 -0,2752 -0,7985
-8,0 -0,9577 -0,9894-7,5 -0,7597 -0,938
-7,0 0,1367 -0,657
-6,5 0,9074 -0,2151-6,0 0,8439 0,2794
-5,5 0,0044 0,7055
-5,0 -0,8391 0,9589-4,5 -0,9111 0,9775
-4,0 -0,1455 0,7568
-3,5 0,7539 0,3508
-3,0 0,9602 -0,1411
-2,5 0,2837 -0,5985-2,0 -0,6536 -0,9093
-1,5 -0,99 -0,9975-1,0 -0,4161 -0,8415
-0,5 0,5403 -0,4794
0 1,0 0
t x y
0,5 0,5403 0,47941,0 -0,4161 0,8415
1,5 -0,99 0,9975
2,0 -0,6536 0,90932,5 0,2837 0,5985
3,0 0,9602 0,1411
3,5 0,7539 -0,35084,0 -0,1455 -0,7568
4,5 -0,9111 -0,9775
5,0 -0,8391 -0,95895,5 0,0044 -0,7055
6,0 0,8439 -0,2794
6,5 0,9074 0,2151
7,0 0,1367 0,657
7,5 -0,7597 0,9388,0 -0,9577 0,9894
8,5 -0,2752 0,79859,0 0,6603 0,4121
9,5 0,9887 -0,0752
8/17/2019 3.4Ecuaciones paramétricas.pdf
7/8
Ing. José Espinosa Organista
7
4.4 x = a (2t / 1 + t2) ; y = a (1 - t
2/ 1 + t
2)
t x y--------- ------------ ------------
-9.0 -0.4390 -1.9512
-8.0 -0.4923 -1.9385-7.0 -0.5600 -1.9200
-6.0 -0.6486 -1.8919-5.0 -0.7692 -1.8462-4.0 -0.9412 -1.7647
-3.0 -1.2000 -1.6000
-2.0 -1.6000 -1.2000-1.0 -2.0000 0.0000
0.0 0.0000 2.0000
1.0 2.0000 0.0000
2.0 1.6000 -1.20003.0 1.2000 -1.6000
4.0 0.9412 -1.7647
5.0 0.7692 -1.84626.0 0.6486 -1.8919
7.0 0.5600 -1.9200
8.0 0.4923 -1.93859.0 0.4390 -1.9512
--------- ------------ ------------
8/17/2019 3.4Ecuaciones paramétricas.pdf
8/8
Ing. José Espinosa Organista
8
4.5 x=2 sen θ – 3 cos θ ; y= 4sen θ + 2 cos θ
t x y-9,0 1,9092 -3,4707
-8,0 -1,5422 -4,2484
-7,0 -3,5757 -1,1201
-6,0 -2,3217 3,038-5,0 1,0669 4,403
-4,0 3,4745 1,7199
-3,0 2,6877 -2,5445-2,0 -0,5702 -4,4695
-1,0 -3,3038 -2,2853
0 -3,0 2,01,0 0,062 4,4465
2,0 3,067 2,8049
3,0 3,2522 -1,41554,0 0,4473 -4,3345
5,0 -2,7688 -3,2684
6,0 -3,4393 0,8027
7,0 -0,9477 4,13588,0 2,4152 3,6664
9,0 3,5576 -0,1738
Top Related