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SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS DOMICILIARIOS
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ECUACIONES CUADRTICAS
Resuelva la siguiente ecuacin de incgnita x.
4 + 4 3 = 0 ; 0 ; > 0RESOLUCIN:
Completando cuadrado en la ecuacin:
( 2 ) = 3 2 = 3 = 2 3
= 2 + 3 = 2 3 . . = { 2 + 3;2 3}RESPUESTA (D)
La ecuacin cuadrtica:3 (2 3) + 3 = 0Tiene: C.S.={}Calcule la suma y producto de valores que puede
tomar k.
RESOLUCIN:
De la ecuacin dada:
3 + (3 2 ) + 3 = 0
Como tiene solucin nica se tiene:
(3 2) 4(3)(3) = 0Operando:4 4 8 + 9 = 0
Entonces:
= 484
= 94RESPUESTA (B)
Si: ( + 1) + ( + 1) + 1 = 0 0Presenta como conjunto solucin a , con
. Halle los valores de
.
RESOLUCIN:
. Si = 1, la ecuacin seria:0 = 1 = ( )
. Si: 1 ( + 1) + ( + 1) + 1 = 0Sera una ecuacin cuadrtica de races: , .Pero por condicin = {, , y como .Entonces las races
, Serian complejas
imaginarias.
< 0 ( + 1 ) 4( + 1)( 1 ) < 0 ( + 1). (-3)< 0Resolviendo por los puntos crticos:
PROBLEMA 1
PROBLEMA 2
NOTA:
Si la ecuacin cuadrtica
+ + = Presenta solucin nica, entonces:
= =
PROBLEMA 3
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1,3 0 1,3 {0RESPUESTA (NO HAY CLAVE)
Si las races de la ecuacin:
+ + = 0
Son ; entonces Cul es la ecuacin cuyasraces son ( + ) y (. )?RESOLUCIN:
Como son races de la ecuacin cuadrtica + + = 0Aplicado el Teorema de Cardano tenemos:
+ = . = Se desea generar un nueva ecuacin donde
(
+ ), (
. ) sean las races
Entonces:
+ + = 0 + = 0 + ( ) = 0RESPUESTA (A)
Si las ecuaciones cuadrticas en x
( + 3 ) + (3 + 1) = 0(2 3 ) + 3 2 = 0 Tienen el mismo conjunto solucin, indique el
valor de verdad de las proposiciones.
I. + =2/15II. 3=-2 ; 5=4III. 2 8 = 0 es la ecuacin de
C.S.={3 ; 5 }RESOLUCIN
Del problema se tiene:
+ 3
2 3 = 3 + 1
3=
2
= 23 = 45Entonces
I. + =2/15(V)II. 3=-2 ; 5=4(V)III. 2 8 = 0 . . = {3; 5.. (V)
RESPUESTA (C)
PROBLEMA 4
+
= Nota:
Toda ecuacin cuadrtica se genera:
PROBLEMA 5
NOTA:
Si las ecuaciones cuadrticas
+ + = + + = Presentan el mismo conjunto solucin
Entonces: = =
3-1
+
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Si la ecuacin cuadrtica
1024 ( 8) + = 0
Tiene races simtricas y reciprocas, indique la
relacin correcta
RESOLUCIN
Como la ecuacin presenta races simtrica eso
indica que la suma de races es igual a cero,
entonces:
=0 = 2
Adems nos indican que las races son reciprocas
eso quiere decir que el producto de races es
igual a 1, entonces:1024 = 1Pero como = 2 21024 = 1 = 1 0 : = 5
RESPUESTA (C)
Las ecuaciones cuadrticas
2 + 2 = 0 ( ) 2 + ( 2) 1 = 0 . . ( )
Tienen una raz comn Si: + + = 0Es la ecuacin de C.S.={ , }, indique laalternativa correcta
RESOLUCIN
Como es solucin comn de ( )() entoncesreemplazamos = en las ecuaciones.
2 + 2 = 0 2 + ( 2) 1 = 0
2 1 = 0 = 12
Como ya tenemos = 1 / 2 que es solucincomn de ( )() podemos reemplazarla enambas ecuaciones:
En ()2(12) + 12 2 = 0
= 3
Luego la ecuacin:
+ + = 0Presenta: C.S.= { ;={ ; 3Quiere decir que : ; 3 son sus races:Entonces por Cardano:
PROBLEMA 6
NOTA:
+ =0 =1
PROBLEMA 7
Restamos
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(
):12 + 3 =
=
72
( ): 12 (3)= = 32RESPUESTA (D)
SISTEMAS DE ECUACIONES
Dado el sistema en variables 2 2 = 4 . . 5 3 = 6 .
Si CS = {( ; ) es su conjunto solucin, halle.RESOLUCIN:
Como el valor pedido corresponde a la segunda
componente de la solucin (el valor de la variable)procedemos a la eliminacin de :Formamos (10) y (. ) 3 2 0 = 4 0 6 = 4 0 6 1 6 03 = 181206 0 RESPUESTA (A)
Indique para qu valor de el sistema: + 2 = 6 ()( 1) + ( + 2) = 2 . . ( )Tiene conjunto solucin CS = {(, )}.RESOLUCIN:
Como CS = {(, ) entonces procedemos areemplazarla en () () = , =
+ 2 = 6( 1) + ( + 2) = 2
Operando tenemos:
( + 2) = 6 ()(2 + 1) = 2 ( )Ahora para encontrar el valor de
Dividimos (*) y (**) en forma vertical:
( )
( )=
( )( ) = 3 = Reemplazando en () tenemos:( +2) = 6 = 10
3
CS = {( ; )}RESPUESTA (D)
Sea:
M = {a / el sistema S tiene infinitas soluciones}PROBLEMA 17
PROBLEMA 15
Restamos
PROBLEMA 16
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4 + = 4
3() + 9 = 4
RESOLUCIN:
Hallemos el conjunto M que por condicin indica
que el sistema presenta infinitas soluciones,
entonces tenemos que:
4 + = 43() + 9 = 4
Es un SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO:
4 = 9 =43 4 ( )
De donde tenemos:
4 =
9
= 36
= 6 = 6Ahora analicemos cada uno de los dos valores de ():.Si: = 6 tenemos:46 = 69 =
436 4
23 = 23 .
.Si: = 6 tenemos:46 = 69 =
436 4
23 430
Como el nico valor de a que hace que el sistema
posea infinitas soluciones es
= 6, tenemos:
= {6RESPUESTA (NO HAY CLAVE)
Se tiene el sistema compatible determinado.
( + 4) + (3 ) = 0 . ( )(3 + ) + ( 4) = 0 . ( )RESOLUCIN:
Procedemos a resolver el sistema en variables
Conozcamos el valor de , eliminando .Formemos: ( 4)() , (3)()( 4)( + 4) + ( 4)(3 ) = 0(3 )(3 + ) + ( 3 )( 4) = 0( 16)x (9 )x = 0( + 25) x = 0 . . ( )Si realizamos un proceso similar para conocer :Formemos: ( + 3)() , (+4)()( + 3)( + 4) + ( + 3)(3 ) = 0( + 4)(3 + ) + ( + 4 )( 4) = 0(9 ) y ( 16) y = 0
PROBLEMA 18
-
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(2 5 ) y = 0()De () y (), como el sistema es compatibledeterminado, no puede poseer la forma:0x = 0, 0y = 0
+ 25 0 + 25
RESPUESTA (D)
Luego de resolver el sistema
5 + 1 + 32 + 2 = 22 + 1
+ 12 + 2
= 3Sele la alternativa incorrecta.
RESOLUCIN:
Es notable reconocer que hay expresiones en los
denominadores que se repiten por tanto
realicemos el siguiente cambio de variable:
1 + 1 = . . ( )
12 + 2 = . . ( )Ahora tenemos el sistema:
5 + 3 = 2 = 3 Que es mas sencillo de resolver
Multiplicamos por 3 a la segunda ecuacion para
eliminar la variable b:
5 + 3 = 23 3 = 68 = 8 = 1 = 1
ahora al reemplazar en () () tenemos:1 + 1 = 12 + 2 =
+ = 22 = 3Al sumar las ecuaciones tenemos :
3 = 1 = 13 = 73RESPUESTA (E)
La terna ordenada (; ; ) es solucin del
sistema
7 3 + 4 = 1 0 2 + 4 3 = 4 2 = 7 Halle el valor numrico de 4+3+2.
RESOLUCIN:
Para resolver este sistema de 3 variables
busquemos el proceso ms sencillo notemos
que dadas las ecuaciones:
7 3+ 4= 10 ( ) 2 + 4 3 = 4 ( ) 2 = 7 ( ) Formamos: 2()
PROBLEMA 19
PROBLEMA 20
Sumamos
Sumamos
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2 + 4 3 = 4 z =
5 = 1 8 = Ahora al reemplazar en () () :x 2y =
. . ( )7x 3y =
()Formemos: 7()7x 14y =
7x 3y =
11y = y =
Reemplazando en () tenemos: x = Por lo tanto la solucin del sistema vendra a ser:
( ; ;) = (
;
;
)
4+3+2 = 4()+3( ) +2( )4+3+2 = -13RESPUESTA (D)
Al resolver el sistema
2 = 3 = 4 ( )2x+3y-z=27 . . ( )El valor de
esRESOLUCIN:
Para iniciar la resolucin podemos asignar unvalor a la razn en la proporcin:
= = = kAhora tenemos:
= = 2 = = 3 = = 4 Reemplazamos en () tenemos:2(2k) + 3(3k) (4k) = 27
9k = 27 = 3En consecuencia:
x = 2(3) = 6
y = 3(3) = 9
z = 4(3) = 12
+ = 2RESPUESTA (E)
DESIGUALDADES E INTERVALOS
Sea
= {1;2;3;4;5
Determine el valor de verdad de las siguientesproposiciones.: 1 = 0 : + 1 0: + 1 0 1 0: 1 0
RESOLUCIN:
: Existe = 1 que cumple la condicinque
1 = 0 (V)
PROBLEMA 21
Restamos
PROBLEMA 22
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q: Si
= { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 entonces
+ 1 {2,5,10,17,26 (V)r: Si + 1 0 1 0 1 1 (F)S: Si = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 entonces 1 {0,3,8,15,24 (V)
RESPUESTA (D)
Dados los conjuntos
= { / 7 < 3 = { / 3 < 7 Calcule el valor de + si se sabe que = < ; >
RESOLUCIN:
Reduciendo = < 0 ; 3 > y = < 3;7
= < 0 ; 3 > De donde = 0 = 3 + = 3RESPUESTA (C)
Dada la coleccin de intervalos.
Determine el equivalente de ,donde
=< ; + 1
RESOLUCIN:
Entonces =q: = 1 ; 5 >r: = 3 ; 1 >
RESOLUCIN:
: = 5; 8 8; 3 > (F)q: = < 3 ; 1 > 1 ; 5 > (F)r: = 1; 5 > 3; 1 > (F)RESPUESTA (E)
Dados los conjuntos = { / > 2 = { / 1 < < 1 0 Halle el mayor valor de
si se sabe que< ; > ( ) = < 2 ; + >
y
= < 1 ; 1 0 >
Entonces = < 2 ; 1 0 >como < ; > ( )
RESOLUCIN:
Tenemos que 2 < 1 02 < 1 < y2 y 1 0
3
7
0
3
M
PROBLEMA 23
PROBLEMA 24
PROBLEMA 25
PROBLEMA 26
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De donde 1 < 5RESPUESTA (A)
Dados los intervalos no vacos y distintos = < 1 ; + 1 > y = < 2 1 ; 7 .Calcule la suma de los valores enteros de .RESOLUCIN:
+ 1 > 1 2 1 < 7
> 2 < 4 {1,0,1,2,3La suma de valores de n es 5
RESPUESTA (B)
Calcule la longitud del intervalo A. = { / ( 2 1 ) 5 ; 2 7 > RESOLUCIN:
5 2 1 < 27 6 2 < 28 3 < 14
De donde la longitud(A) es: 1 4 3 = 1 1RESPUESTA (B)
DESIGUALDADES E INECUACIONES
Hale el intervalo de variacin de la expresin() = 6 + 1 0 si se sabe que 2, 0.RESOLUCIN:
Primero completamos cuadrados en.
: () = 6 + 1 0 () = 2()(3) + 3 + 1 () = ( 3) + 1 . . ( )Del dato: 2, 0 2 < 0 5 < 3 3 9 ( 3) < 25
1 0 ( 3) + 1 () < 26
1 0 () < 26RESPUESTA (C)
Encuentre la variacin de la expresin
= ( + 5) si se sabe que:. 2 0 < < 8 . . ( ). 2 < < 1 ( ). 5 < < 8 . ( )RESOLUCIN:
Note: =()
En () () por -1. 8 < < 2 0 1 < < 2 8 < < 4 0 . ( )
3 14
Resto 3
Elevo ala 2
Adicionamos 1
Multiplicamos
PROBLEMA 29
PROBLEMA 30
PROBLEMA 27
PROBLEMA 28
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= +
= + = = 112 + 123 + 134 = 11 12 + 12 13 + 13 14= 11 14Asumamos que hay sumandos: = 112 + 123 + + 1 . ( + 1 )
= 11 12 + 12 13 + + 1 1 + 1 = 11 1 + 1 = Cuando hay Pero por condicin del problema:
11
1 + 1
2125
11 2125 1 + 1 425 1 + 1 4 + 4 2 5 214 Pero como
representa cantidad de sumandos
debe ser entero positivo = 6RESPUESTA (D)
Halle el complemento del conjunto solucin de la
siguiente inecuacin.
5 + 3(1 2 ) 5(4 3 )
RESOLUCIN:
De la inecuacin5 + 3(1 2 ) 5(4 3 )Efectuando
5 + 3 6 2 0 1 5 1 4 1 7 1714Graficando:
,+(C.S) (. ) = , 1714RESPUESTA (C)
Calcule la mxima solucin entera de la
inecuacin:
> Considere < 0 < = .RESOLUCIN:
De la inecuacin despejemos
.
+ > 5 + 5
+ ()(,
> 5 + ()
1714 +-
PROBLEMA 34
PROBLEMA 35
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< 5 ()
< 5 1. ()Pero por dato: = = 1Reemplazando en () < 5Luego graficando:
: 6RESPUESTA (D)
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