5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
1/28
CAP. III ANLISIS VECTORIALProducto triple escalar y vectorial
BSR
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
2/28
Contenido
Producto triple escalar y vectorial. Introduccin.
Producto escalar triple.
Producto vectorial triple.
Aplicaciones.
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
3/28
Producto triple escalar y vectorial.
Introduccin
En ocasiones, en las aplicaciones de vectores se
presentan dos triples productos. Uno es el producto
A(BxC), denominado triple producto escalar delos vectores A, B y C (de hecho, los parntesis noson necesarios ya que ABxC puede interpretarseslo en una manera puesto que ABes un escalar).
El otro triple producto es Ax(BxC) que se denominatriple producto vectorial de los vectores A, By C.Aqu los parntesis deben mantenerse.
Leithold L. El Calculo. 7ma edicin. Pg. 837-842.
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
4/28
Producto triple escalar y vectorial.
Introduccin
En el triple producto escalar, el producto BxCproduce un vector, el cual producto punto con Ada
un escalar. El resultado del triple producto vectorial es un
vector que es perpendicular a A y a BxC. El planodefinido por By Ces perpendicular a BxC y as el
producto triple yace en este plano (ver figura lafigura 1).
Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists. Pg. 29-34Rogan J. y Muoz V. Apuntes de un curso de Introduccin a la fsica Matemtica
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
5/28
Producto triple escalar y vectorial.
Introduccin
Figura 1: Los vectores By Cestn en el plano xy. BxCes perpendicular al planoxy y es mostrado aqu a lo largo del eje z. Entonces Ax(BxC) es perpendicular alejez y por lo tanto esta de regreso en el planoxy.
Bx C
B
A
C
x
z
y
A x(Bx C)
Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists. Pg. 29-34Rogan J. y Muoz V. Apuntes de un curso de Introduccin a la fsica Matemtica
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
6/28
Producto escalar triple.
Teorema 1
Si A, B y C son tres vectores cualesquiera de V3entonces:
A Bx C = A xB C
Leithold L. El Calculo. 7ma edicin. Pg. 837-842.
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
7/28
Demostracin del teorema 1 Sean A = (a1,a2,a3), B = (b1,b2,b3) y C = (c1,c2,c3)
A Bx C = (a1,a2,a3) [(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3)]
(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3) = = (b2c3-c2b3, b3c1-c3b1, b1c2-c1b2)
A Bx C = (a1,a2,a3) (b2c3-c2b3, b3c1-c3b1, b1c2-c1b2)
A Bx C = (a1b2c3-a1c2b3, a2b3c1-a2c3b1, a3b1c2-a3c1b2)
A Bx C = (a2b3-a3b2)c1 + (a3b1-a1b3)c2 + (a1b2-a2b1)c3
A Bx C = (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)(c1,c2,c3)
Producto escalar triple.
i j kb1 b2 b3
c1 c2 c3
Leithold L. Solucionario El Calculo. 7ma edicin.
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
8/28
Demostracin del teorema 1
Por definicin (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)= A xB, entonces:
A Bx C = A xB C
Con lo cual queda demostrado el teorema 1.
Producto escalar triple.
Leithold L. Solucionario El Calculo. 7ma edicin.
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
9/28
Producto escalar triple.
Ejemplo 1 Verificar el teorema 1 para los siguientes tres vectores: A
= (1,-1,2), B = (3,4,2) y C = (-5,1,-4)
Solucin: B x C = (3i + 4j + k) x (-5i +j -4k)
B x C = 3k - 12(-j) - 20(-k) - 16i + 10j - 2(-i)
B x C = -14i + 22j + 23k
A (Bx C) = (1,-1,2) (-14,22,23) = -1422 + 46
A (Bx C) = 10
Leithold L. El Calculo. 7ma edicin. Pg. 837-842.
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
10/28
Producto escalar triple.
Ejemplo 1. Solucin:
A x B = (ij + 2k) x (3i + 4j - 2k)
A x B = 4k - 2(-j) - 3(-k) + 2i + 6j + 8(-i)
A x B = -6i + 8j + 7k (A x B) C= (-6,8,7) (-5,1,-4) = 30 +8 - 28
(A xB) C = 10
Esto verifica el teorema 1 para estos tres vectores.
Leithold L. El Calculo. 7ma edicin. Pg. 837-842.
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
11/28
Producto vectorial triple.
Teorema 2
Si A, B y C son tres vectores cualesquiera de V3entonces:
A x(Bx C)= (A C)B - (A B)C
Leithold L. El Calculo. 7ma edicin. Pg. 837-842.
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
12/28
Demostracin del teorema 2 Sean A = (a1,a2,a3), B = (b1,b2,b3) y C = (c1,c2,c3)
A x(Bx C)= (a1,a2,a3) x [(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3)]
(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3) = = (b2c3-c2b3, b3c1-c3b1, b1c2-c1b2)
Ahora(a1,a2,a3) x [(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3)] =
Producto vectorial triple.
i j kb1 b2 b3
c1 c2 c3
i j ka1 a2 a3
b2c3-c2b3 b3c1-c3b1 b1c2-c1b2
http://www.licimep.org/MateFisica/Calculo%20vectorial/Problemas/1%20Algebra%20vectorial/Demostrar%20identidad%20triple%20producto%20vectorial.pdf
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
13/28
Demostracin del teorema 2Expresamos nuevamente (a1,a2,a3) x [(b1,b2,b3) x (c1,c2,c3)] comoA x(Bx C)
A x(Bx C) = [a1(b1c2-c1b2) - a3(b3c1-c3b1), a3(b2c3-c2b3) - a1(b1c2-c1b2), a1(b3c1-c3b1) - a2(b2c3-c2b3)]
Lo cual se puede escribir como:
A x(B xC) = [b1(a2c2+a3b3) - c1(a2b2+a3b3), b2(a1c1+a3c3) -c2(a1b1+a3b3), b3(a1c1+a2c2) - c3(a1b1+a2b2)]
Producto vectorial triple.
http://www.licimep.org/MateFisica/Calculo%20vectorial/Problemas/1%20Algebra%20vectorial/Demostrar%20identidad%20triple%20producto%20vectorial.pdf
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
14/28
Demostracin del teorema 2A x(Bx C) = [b1(a1c1+a2c2+a3b3) - c1(a1b1+a2b2+a3b3),b2(a2c2+a1c1+a3c3) - c2(a2b2+a1b1+a3b3), b3(a3c3+a1c1+a2c2) -
c3(a3b3+a1b1+a2b2)]
A x(Bx C) = [b1(A C
) -c1(AB), b2(
A C)
c2(A B
),b3(A C)c3(AB)]
A x(Bx C) = (b1,b2,b3) (AC) -(c1,c2,c3) (A B)
A x(Bx C) = B (A C)C(A B)
A x(Bx C)= (A C)B - (A B)C
Con lo cual queda demostrado el teorema 2.
Producto vectorial triple.
http://www.licimep.org/MateFisica/Calculo%20vectorial/Problemas/1%20Algebra%20vectorial/Demostrar%20identidad%20triple%20producto%20vectorial.pdf
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
15/28
Producto vectorial triple.
Ejemplo 2 Verificar el teorema 2 para los tres vectores del ejemplo
nmero 1: A = (1,-1,2), B = (3,4,2) y C = (-5,1,-4)
Solucin: Del ejemplo 1 sabemos que:
B x C = -14i + 22j + 23k
Entonces:
A x(Bx C) = = -23i - 28j + 22k - 14k - 44i - 23j
A x(Bx C) = -67i - 51j + 8k
i j k
1 -1 2
-14 22 23
Leithold L. El Calculo. 7ma edicin. Pg. 837-842.
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
16/28
Producto vectorial triple.
Ejemplo 2. Solucin: (A C) = (1,-1,2) (-5,1,-4) = -5 - 1 - 8 = -14
(A B) = (1,-1,2) (3,4,-2) = 3 - 4 - 4 = -5
As
(A C)B - (A B)C = -14(3,4,2)(-5) (-5,1,-4) (A C)B - (A B)C = (-42,-56,28)(25,-5,20)
(A C)B - (A B)C = (-67,-51,8)
(A C)B - (A B)C = -67i - 51j + 8k
Esto verifica el teorema 2 para estos tres vectores.
Leithold L. El Calculo. 7ma edicin. Pg. 837-842.
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
17/28
Aplicaciones
Producto escalar triple
El producto escalar triple tiene una interpretacin
geomtrica directa. Los tres vectores A, B y C
pueden ser interpretados como la definicin de unparaleleppedo (ver figura 2).
|B x C| =|B| |C|sen
|B x C| = rea de la base del paralelogramo.
Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists. Pg. 29-34Rogan J. y Muoz V. Apuntes de un curso de Introduccin a la fsica Matemtica
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
18/28
Producto escalar triple
Figura 2. Paraleleppedo que representa elproducto escalar
triple.
Aplicaciones
Bx C
B
A
C
x
z
y
Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists. Pg. 29-34Rogan J. y Muoz V. Apuntes de un curso de Introduccin a la fsica Matemtica
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
19/28
Aplicaciones
Producto escalar triple
La direccin, por supuesto, es normal a la base.
Haciendo el producto punto con A, esto significa
multiplicar el rea de la base, por la proyeccin de Asobre la normal, o la base tantas veces por la altura.
Por lo tanto
|A B x C| = volumen del paraleleppedo definido
por los vectores A, By C.
Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists. Pg. 29-34Rogan J. y Muoz V. Apuntes de un curso de Introduccin a la fsica Matemtica
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
20/28
Aplicaciones
Producto escalar triple
Ejemplo 3
Dados los puntos A(1,2,-3), B(-1,1,-2), C(4,2,-1) y D(-1,0,1)
del espacio. Verifique si los puntos son coplanares y en caso
de que no sean coplanares, hallar el volumen del tetraedro
determinado.
Solucin:
Lo primero que tenemos que saber es que: tres vectores
son coplanares si y slo si: el producto escalar triple de los
tres vectores es igual a cero. Lo anterior se deduce de queel volumen del paraleleppedo tendr volumen cero si y slo
si los vectores que lo definen estn en el mismo plano (y por
tanto tendr altura cero).
http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r52212.PDF
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
21/28
Aplicaciones
Producto escalar triple
Ejemplo 3. Solucin:
Como tenemos un criterio de coplanares en trminos de
vectores y la pregunta est hecha en trminos de puntos,
debemos construir los vectores. Conviene que sea con
origen en el mismo punto, digamos que tal punto es A.
Sean U, Vy Wlos vectores definidos como sigue:
U =BA = (-1,1,-2) - (1,2,-3) = (-2,-1,1)
V =CA = (4,2,-1) - (1,2,-3) = (3,0,2)
W =DA = (-1,0,1) - (1,2,-3) = (-2,-2,4)
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
22/28
Aplicaciones
Producto escalar triple
Ejemplo 3. Solucin:
Aplicando el teorema 1 calculamos U x V W :
U x V= = (-2-0)i+(3+4)j+(0+3)k= -2i+7j+3k
U x V W= (-2,7,3) (-2,-2,4) = 4-14+12
U x V W= 2
i j k-2 -1 1
3 0 2
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
23/28
Aplicaciones
Producto escalar triple
Ejemplo 3. Solucin:
El resultado anterior indica que los vectores no son
coplanares ya que el producto escalar triple es diferente
de cero, el valor absoluto de este resultado determina el
volumen del paraleleppedo, el volumen del tetraedro es
la sexta parte del volumen del paraleleppedo, luego:
Volumen del tetraedro = 2/6 = 1/3 unidades cbicas.
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
24/28
Aplicaciones
Producto vectorial triple
El producto vectorial triple tiene importantes
aplicaciones en el desarrollo de ecuaciones de Fsica
como por ejemplo en las de: Conservacin delmomento angular, Ecuaciones de Maxwell, Ecuacin
de onda, entre muchas ms.
En el ejemplo 4 se muestra como se simplifica eldesarrollo de una ecuacin mediante la aplicacin del
teorema delproducto vectorial triple.
Romero J. M. Funciones especiales con aplicaciones a la mecnica cuntica y al electromagnetismo.Gonzlez J. F. El Producto Vectorial
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
25/28
Aplicaciones
Producto vectorial triple
Ejemplo 4
El momento angular de una partcula es dado por: L =rxP = mrxv, donde P es el momento lineal. Con lavelocidad lineal y angular relacionadas por v = xr,demostrar que:
L= mr[- r0(r0)]
Donde r0
es un vector unitario en la direccin de r. parar = 0 esto se reduce a L = I, con el momento deinerciaI dado por mr.
Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists. Pg. 29-34
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
26/28
Aplicaciones
Producto vectorial triple
Ejemplo 4: Solucin:
Comov = x r y adems m es una constante:
L = m(r x v) = m[r x (x r)] (1)
Como se observa, esto es unproducto vectorial triplepor lotanto aplicamos el teorema 2:
L= m[(r r) - r(r ) ] (2)
Si r0es un vector unitario en la direccin de r, entonces:
r0 = r/r r = rr0 (3)
donde res la magnitud del vector r
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
27/28
Aplicaciones
Producto vectorial triple
Ejemplo 4: Solucin:
Sustituyendo la ecuacin 3 en la ecuacin 2:
L= m[(rr0rr0) - rr0(rr0) ]
L= m[r(r0r0) - rr0(r0) ] (4) Como r0r0 = |r0| = 1
L= mr[- r0(r0) ] (5)
La ecuacin 5 es la demostracin a la que se quera llegar.
5/27/2018 3-5 Producto Triple Escalar y Vectorial
28/28
Bibliografa. Leithold L. El Calculo. 7ma edicin. Pg. 837-842.
Leithold L. Solucionario El Calculo. 7ma edicin.
Weber H. y Arfken G.. Essential Mathematical Methods for Physicists.
Pg. 29-34.
Rogan J. y Muoz V. Apuntes de un curso de Introduccin a la fsica
Matemtica.
http://fisica.ciencias.uchile.cl/~jrogan/cursos/mfm1o03/mfm1b.pdf
Gonzlez J. F. El Producto Vectorial.
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/realquiler/fich/jfgh.pdf
Romero J. M. Funciones especiales con aplicaciones a la mecnica
cuntica y al electromagnetismo. http://arxiv.org/pdf/1103.2387.pdf
Apuntes: Producto Vectorial.http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r52212.PDF
Apuntes:
http://www.licimep.org/MateFisica/Calculo%20vectorial/Problemas/1%20
Algebra%20vectorial/Demostrar%20identidad%20triple%20producto%20
vectorial.pdf
Top Related