Análisis Matemático 1
2020 ejercicios
Marcelo O. Sproviero
xxy sen=
y
x
Análisis Matemático - 2020 ejercicios Marcelo Oscar Sproviero Es propiedad – Queda hecho el depósito que marca la ley 11723 Editor: Marcelo Oscar Sproviero Ninguna parte del texto de este libro puede ser fotocopiada o reproducida por cualquier medio, sin la expresa autorización del autor.
Análisis Matemático 1
2020 ejercicios
Es para mi un placer presentar la tercer edición de ejercicios de Análisis Matemático 1 que pretende ser una herramienta auxiliar para el docente y un complemento para el estudiante de las diversas carreras. Los ejercicios están graduados de acuerdo al nivel de dificultad y algunos de ellos fomentan la consulta de bibliografías y desafían al lector más interesado. Quiero agradecer a varios de mis colegas y a muchos alumnos que a lo largo de estos años han aportado sus ideas y me han entusiasmado para seguir escribiendo.
Marcelo O. Sproviero [email protected]
CONTENIDOS 1 - Conjunto de números reales ........................................................................pág. 1 2 - Funciones .....................................................................................................pág. 7 3 - Límite funcional............................................................................................pág. 25 4 - Continuidad..................................................................................................pág. 69 5 - Diferenciación..............................................................................................pág. 75 6 - Integración................................................................................................... pág.107 Respuestas e ejercicios de número impar...........................................................pág.123
1- Conjunto de números reales 1.1 Valor absoluto - Intervalos – Cotas – Extremos – Entornos Valor absoluto Se define valor absoluto de un número real x y se denota x a x si 0≥x ó x− si 0<x ; por ejemplo 1515 = ; 00 = ; 100)100(100 =−−=− Propiedades fundamentales Sea 0≥k , entonces a) kx = ⇔ kx = ó kx −= b) kx ≤ ⇔ kxk ≤≤− c) kx ≥ ⇔ kx ≥ ó kx −≤ d) yxyx +≤+ e) yxyx −≥−
f) yxxy =
g) yx
yx=
h) xyyx −=−
i) xx =2
Ejercicios resueltos
***Determinar, si existe, el valor de x*** EJEMPLO 1) 31 ≤+x Aplicando la propiedad b) del valor absoluto es
313 ≤+≤− x 24 ≤≤− x
Luego [ ]2,4−∈x La gráfica sobre la recta real es ℜ -4 2 EJEMPLO 2) 512 >−x Aplicando la propiedad c) del valor absoluto es
512 >−x ó 512 −<−x 62 >x ó 42 −<x
3>x ó 2−<x Luego ( ) ( )+∞∪−∞−∈ ,32,x La gráfica sobre la recta real es ℜ ∞− -2 3 ∞+ EJEMPLO 3) 1424 =−x Aplicando la propiedad a) del valor absoluto es
1424 =−x ó 1424 −=−x 164 =x ó 124 −=x
4=x ó 3−=x La gráfica sobre la recta real es ℜ -3 4
Análisis Matemático 1 - 2020 ejercicios
2
EJEMPLO 4) 73 +<− xx Aplicando la propiedad b) del valor absoluto es
43421A
xx <+− 7 - 43421
B
x 73 +<
Resolvemos la inecuación A 37 −<+− xx ⇔ 37 +−>+ xx ; luego es
37 +−>+ xx ó )3(7 +−−<+ xx Operando encontramos (1) 2−>x ó (2) 37 −< FALSO para todo número real. Resolvemos la inecuación B
37 −>+ xx , luego es 37 −>+ xx ó )3(7 −−<+ xx
Operando encontramos (3) 37 −> VERDADERO para todo número real ó (4) 2−<x De (1) y (3) se tiene
( ) ( )∞+−=ℜ∩∞+− ,2,2 o bien de (2) y (4) resulta
( ) ∅=−∞−∩∅ 2, Luego ( ) ∅∪∞+−∈ ,2x ⇒ ( )∞+−∈ ,2x La gráfica sobre la recta real es ℜ -2 ∞+ *** Hallar, si existen, las cotas, extremos superior e inferior, máximos y mínimos de los siguientes conjuntos*** EJEMPLO 5) { }61/ <≤= xxA La gráfica sobre la recta es ℜ 1 6 Se observa que 1, 0, -10, etc. son cotas inferiores; luego el conjunto de cotas inferiores de A es { }1/ ≤xx 1 es el extremo inferior o INFIMO pues es la mayor de las cotas inferiores; además como pertenece al conjunto es el MINIMO de A 6, 7, 100, etc. son cotas superiores, luego el conjunto de las cotas superiores de A es { }6/ ≥xx 6 representa el extremo superior o SUPREMO pues es la menor de las cotas superiores; pero como no pertenece al conjunto, no es un MAXIMO. El conjunto A está acotado pues posee cota superior e inferior. EJEMPLO 6) ( )0,∞−=A Observa que A no tiene cotas inferiores. Supremo 0. Cotas superiores { }0/ ≥xx . No posee máximo, pues 0 no pertenece al conjunto.
EJEMPLO7) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∈= Nnn
A ,12
El conjunto A es una sucesión ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ...,
161,
91,
41,1
Conjunto de números reales
3
Conjunto de cotas inferiores: { }0/ ≤xx . Infimo: 0. No posee mínimo. Conjunto de cotas superiores: { }1/ ≥xx . Supremo y máximo: 1. EJEMPLO 8) { }16410/ =∨<−= xxxA Por propiedad del valor absoluto es
4104 <−<− x 146 << x
La gráfica es ℜ 6 14 16 Conjunto de cotas inferiores:{ }6/ ≤xx . Infimo: 6. No posee mínimo. Conjunto de cotas superiores:{ }16/ ≥xx . Supremo y máximo: 16. *** Expresar los siguientes conjuntos como entornos*** Un entorno puede considerarse como un intervalo abierto de centro a y radio r. Se indica
)(aE ℜ a-r a a+r Si a no pertenece al intervalo, se llama entorno reducido. Se indica )(aE ′ EJEMPLO 9) { }31/ <+= xxA Por la propiedad del valor absoluto es
313 <+<− x 24 <<− x
3 ℜ 4− 1− 2 El entorno tiene centro en 1− y radio 3 ; )1(−E EJEMPLO 10) { }150/ <−<= xxA Por propiedad del valor absoluto es
151 <−<− x ∧ 5≠x 64 << x ∧ 5≠x
Observa que el entorno es reducido pues 5 no pertenece a A. El entorno tiene centro en 5=x y radio 1; se indica )5(E ′ . 1 ℜ 4 5 6
Análisis Matemático 1 - 2020 ejercicios
4
Ejercicios Propuestos *** Resolver y expresar en notación de intervalo cuando sea posible.*** 1) 1024 >−x 2) ( ) 53/244 ≤−≤ x 3) 1021 ≤−<− x 4) 715 +≤−≤ xxx
5) 1446 =x 6) 10102 =− x 7) xx =− 24 8) 131 ≤− x
9) 10>x 10) 26
2≥
−x 11) 32
10 ≤+
<x 12)
211
72
>x
13) 416
44
244
2 ++
−=
−+
+−
xx
xxxx 14) 8
42
=+x
15) 35
1+=
− xx 16) 321 >−+ x
17) 12)27( 2 =− x 18) 1141512 −<−−−+ xxx 19) 12 +<− xx 20) 4−≥ xx
21) xx 23 <+ 22) 3123
≤−+
xx 23) 1
214 =−− x 24) xxx
>+−+ 154
*** Representa gráficamente los siguientes conjuntos***
25) { }5/ <= xxA 26) { }2/ ≥= xxB 27) { }110/ <+= xxC 28) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≤−
= 13
6/ xxD
29) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
>+
= 14
102/ xxE 30) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
>−
= 831
5/x
xF 31) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=∨<−= 10321/ xxxG
32) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ <
+<−= xxxxH 2
431/ 33)
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ >∨<<−= 7
25
22/ xxxI 34) ( ) ( )∞+∪∞−= ,32,J
35) ( ]1,−∞−=K 36) [ ] [ ]6,10,3 −∩−=L 37) ( ) ( )2,34,1 −−−=M
38) ( ] [ ] [ ]{ }3,23,010,4 −∪=S 39) { }cT 3,2,1= *** Obtener el conjunto solución *** 40) ( ) 22 )5(5 xx −<−
43) 15531 >+− x
41) xx −=−− 31π
44) 240 <−< x
42) 133 −> xx
45) 01243 =−++ xx *** Halla si existen cotas, extremos superior e inferior, máximos y mínimos de los siguientes conjuntos *** 46) { }31/ <≤− xx
49) { }101/ <+xx
52) { }16/ ≥∧≤ xxx
55) { }0152/ 2 =−− xxx
47) { }21/ ≤< xx
50) { }82/ ≤xx
53) { }42/ ≥∨< xxx
56) { }022/ 23 =+−− xxxx
48) { }97/ =∨< xxx
51) { }5/ >xx
54) { }102/ =∨≤≤− xxx
57) { }1/ 2 <xx
Conjunto de números reales
5
58) [ )21,10−
61) ( )∞+,2
64) ( )10100 10,10 −− ∪ ( ]1,10 100−
59) ( )34
31 ,
62) ( )∞+∞− ,
65) [ ) ( )107
52
21
31 ,, ∩
60) ( ]ππ ,2
63) ( ]10,∞−
66) ( ) [ )1,12,0 −− *** Dadas las siguientes sucesiones, determinar el conjunto de cotas superiores, inferiores, extremos superior e inferior, máximos y mínimos, si es que existen ***
67) { }12 +n 68) { }n−1 69){ }n4− 70) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +11
2n 71)
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+−
11
nn 72)
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ −
nn21
73) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
nn
243 74)
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧− 2
2n
75) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ + 4
21n 76)
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ − nn101 77)
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
2
2n 78) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−+
!)1(!)1(
nn
79) { }!n 80) { }5)1( +− n 81) { }nn)1(− 82) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
+n
n3
31
1 83){ }nln1− 84) { }n
n )1(−
85) { }...2,2,2,50,2 − 86) { },...1,3,1,3,1 −−− 87) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
nπsen 88)
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
n1 89) { }n 3 90)
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ −
n
n)1(
*** Expresar como entorno los siguientes conjuntos, indicando centro y radio *** 91) { }62/ <<− xx
94) { }3/ <xx
97) { }2/ 31 <+xx
100) { }370/ <−< xx
103) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ <
−<− 2
311/ xx
106) ( )7,1−
109) ( )9log,4log 32/1
92) { }25/ −<<− xx
95) { }62/ <−xx
98) { }11/ 3 <+xx
101){ }810/ <+< xx
104) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ >
−> 10
2215/ xx
107) ( )21
31 ,
110) ( )3/13/1 3.2,3
93) { }212/ <<− xx
96) { }54/ <+xx
99) { }311
214/ <−xx
102) { }1630/ <+< xx
105) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +<
+< 3
617/ xxxx
108) ( )26 sen,sen ππ
111) ( )ba, a y b son reales distintos
*** Dados los siguientes conjuntos, dar un entorno con centro en el origen, que lo contenga***
112) { }93/ ≤≤ xx 113) { }14/ <<− xx 114) { }33/ <≤− xx 115){ }4/ ≤xx 116) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤
21/ xx
117) ( )10,20− 118) [ ]10,20− 119) [ )0,π 120) ( ]5,100− 121) [ ]!7,!5 122) ( )!0,3 !2− 123) [ ]1010,2 124) Determinar un entorno con centro en 2=x que incluya al intervalo ( ]4,3− . ¿Es único?.
125) Escribir en términos de valor absoluto un entorno de centro 5 y radio 71
126) Expresar en términos de valor absoluto un entorno reducido de centro 4− y radio 2
Análisis Matemático 1 - 2020 ejercicios
6
2- Funciones 2.1 Dominio - Ámbito Una relación entre elementos x e y, definida entre dos conjuntos A y B es una función, si a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Se denota )(xfy = , donde los valores que se asignan a x, constituyen el domino de la función y los valores que toma y conforman el ámbito o la imagen de la misma.
Ejercicios resueltos *** Hallar los valores de las siguientes funciones según se indica*** EJEMPLO 1) )(cos);();2( xfxff −− ; )( hxf + para 76)( 2 −+= xxxf Sustituyendo en la variable x , resulta
157)2(6)2()2( 2 −=−−+−=−f
7cos6cos)(cos 2 −+= xxxf
767)(6)()( 22 −−=−−+−=− xxxxxf
7)(6)()( 2 −+++=+ hxhxhxf EJEMPLO 2) )0(;)3.4(;)3.4( fff − para la función parte entera de x La función parte entera de x se denota [ ]xxf =)( La parte entera de un número real x es [ ] kx = donde k es el mayor entero que no supera a x tal que
1+<≤ kxk En nuestro caso es: 4)3.4( =f ; 5)3.4( −=−f y 0)0( =f *** Hallar, si existen, los ceros reales de las siguientes funciones***
EJEMPLO 3) 434
11
3)( 2 −+−
+−
−=
xxx
xxxf
Los ceros reales de una función, son aquellos valores reales de x que la anulan; esto es 0)( =xf Si la función se anula para un cierto valor de x del dominio entonces se cumple
0434
11
32 =
−+−
+−
− xxx
xx
Resolviendo es:
13011230)4)(1()1()4(3
−=⇒=−+−+⇒=+−
−−−+ xxxxxx
xxx
EJEMPLO 4) 3)1(3112)( −+++= xxxf Haciendo 0)( =xf resulta
)1(3311203)1(3112 +−=+⇒=−+++ xxxx Elevando al cuadrado ambos miembros y operando es:
1)1(36
)1(3)1(369112
+=+
+++−=+
xx
xxx
Elevando nuevamente al cuadrado resulta
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
8
1071010710612)33(36 2122 =∧−=⇒=−−⇒++=+ xxxxxxx
Solamente tomamos el valor 1−=x que satisface lo pedido. *** Determinar los valores de x tales que 0)( >xh *** EJEMPLO 5) 422)( −−+= xxh
Según lo pedido es 0)( >xh ; luego
4220422 >−+⇒>−−+ xx
Aplicando una de las propiedades del valor absoluto, se tiene: )1(422 >−+x ó )2(22422 −<+⇒−<−+ xx
La desigualdad )2( es falsa; luego en )1( es:
3462 >⇒>+ xx Por lo tanto la función )(xh es positiva en el intervalo ( )∞+,34 , llamado intervalo de positividad. Verifíquese. EJEMPLO 6) 20)( 2 −−= xxxh
En este caso es 0202 >−− xx ; factorizando, resulta 0)5)(4( >−+ xx (1) Para que se cumpla la desigualdad (1), existen dos posibilidades a)
04 >+x ∧ 05 >−x 4−>x ∧ 5>x
Luego, los valores que satisfacen ambas desigualdades pertenecen al intervalo ( )+∞,5 Observe la gráfica, las semirrectas se superponen para 5>x -4 0 5 ℜ b)
04 <+x ∧ 05 <−x 4−<x ∧ 5<x
Luego, los valores que satisfacen ambas desigualdades pertenecen al intervalo ( )4,−∞− Observa la gráfica, las semirrectas se superponen para 4−<x - 4 0 5 ℜ Por lo tanto de a) o b) se tiene que ( ) ( )+∞∪−∞−∈ ,54,x - 4 0 5 ℜ En este caso resulta la unión de dos intervalos de positividad.
Funciones
9
*** Determinar los valores de x tales que 0)( <xg *** EJEMPLO 7) Función seno hiperbólico xxg senh)( = Las funciones hiperbólicas se definen mediante combinaciones de funciones exponenciales, en nuestro caso es
2senh
xx eex−−
=
Luego 0)( <xg ; por lo tanto 0002
<⇒<⇒<−⇒<− −−
−
xeeeeee xxxxxx
En consecuencia los valores de x pertenecen al intervalo ( )0,∞− ; llamado intervalo de negatividad. Cálculo de dominios Cuando se quiere hallar el dominio de ciertas funciones se debe tener especial cuidado en aquellas cuyas expresiones contienen denominadores; raíces de índice par o logaritmos. *** Determinar el dominio de las siguientes funciones*** EJEMPLO 8) 1)( 24 +−= xxxf La función es polinómica, luego el dominio es el conjunto de números reales: ℜ=D
EJEMPLO 9) 86
1)( 2 +−=
xxxf
Se observa que el denominador de la función debe ser distinto de cero. Calculamos las raíces haciendo 0862 =+− xx ; donde se obtiene 2=x y 4=x . Luego { }4,2−ℜ=D
EJEMPLO 10) 810
10)( 23 +−+−
=xxx
xxf
En este caso debemos hallar las raíces del denominador para excluirlas del dominio. Se observa que 11 =x es raíz del polinomio; luego 81023 +−+ xxx es divisible por 1−x . La primer raíz
1x se busca en forma arbitraria ensayando valores que anulen el polinomio. Aplicando ahora la regla de Ruffini es 1 1 -10 8 1 1 2 -8 1 2 - 8 0 Por lo tanto el cociente es 822 −+= xxC . Al calcular las raíces de C , se obtienen 22 =x y 43 −=x . Luego el dominio es { }4,2,1 −−ℜ=D EJEMPLO 11) xxf /110)( = El dominio de la función es { }0−= RD pues para 0=x se anula el denominador del exponente. EJEMPLO 12) 5)( −= xxf Se observa que el radicando de la función debe ser mayor o igual a 0; esto es 05 ≥−x ⇒ 5≥x Luego el dominio es D = [ )∞+,5
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
10
EJEMPLO 13) )6ln()( += xxf El logaritmo está definido para valores reales mayores que 0, entonces
06 >+x ⇒ 6−>x Luego el dominio es ( )∞+−= ,6D EJEMPLO 14) xgxf cot)( =
Siendo xxxg
sencoscot = , resulta que deben excluirse del dominio aquellos valores que anulan el
denominador. Estos valores son ...,3,2,,0 πππ ±±± ; luego el dominio es { }ZkkxxD ∈∧≠ℜ∈= π/ EJEMPLO 15) 20)( 2 −−= xxxf
El radicando debe ser no negativo; esto es 0202 ≥−− xx ; factorizando, resulta 0)5)(4( ≥−+ xx
Según lo visto en el ejemplo 6) y considerando ahora que el radicando puede valer 0, resulta ( ] [ )∞+∪−−∞= ,54,D
o bien ( )5,4−−ℜ=D
EJEMPLO 16) )!2(
!)(−
=x
xxf
El factorial de x , que se simboliza !x ; es el producto de los x primeros enteros positivos En particular se establece 1!0 = En la función propuesta se debe cumplir:
0)1(0)!2(
)!2)(1(0
)!2(!
≥−⇒≥−
−−⇒≥
−xx
xxxx
xx
Luego el dominio es ( ] [ )+∞∪∞− ,10, EJEMPLO 17) ( )xxf loglog)( = Debe cumplirse: 00log >∧> xx Las dos desigualdades se satisfacen para valores de x mayores a 1; luego el dominio es ( )+∞= ,1D EJEMPLO 18) xthxf =)(
La tangente hiperbólica se define como: xx
xx
eeeexth−
−
+
−=
El dominio es el conjunto de números reales. No hay valores de x que anulen el denominador de la función. EJEMPLO 19)
⎩⎨⎧
≤<−≤<
=203526
)(xsixsix
xf
La función está definida por secciones; el dominio correspondiente es ( ]5,0=D
Funciones
11
Ejercicios Propuestos *** Hallar )5(f ; )(af ; )(sen xf *** 1) 12)( −= xxf 2) )3ln()( += xxf 3) xxf −= 10)(
4) xxf cos)( = 5) xexf −=)( 6) xxxf =)( *** Hallar
hxfhxf )()( −+ ***
7) xxf 4)( = 8) 100)( =xf 9) 2)( xxf =
10) 13)( 2 +−= xxxf 11) x
xf 1)( = 12) xexf =)(
*** Hallar si existen los ceros reales de cada una de las siguientes funciones*** 13) xxf 54)( −= 14) 9)5()( 2 +−= xxf 15) 22)( 23 +−−= xxxxf
16) 3
49
2)( 2 ++
−=
xxxf 17)
11
112
212)(
−+
+−
+=
xxxxf 18) x
xxxxf +
−−+
=1
32)(2
19) 745)( −−+= xxxf 20) ( )xxxxf 31)( −+= 21) 943)( +−+= xxxf
22) 4
32
1)(+
−+
=xx
xf 23) xxf 3211)( +−= 24)
xx
xf =)(
25) 524)( −= xxf 26) 137)( +−= xxxf 27) 155.225)( 33 −−= −− xxxf
28) 1lnln3)( 22 −+= xxxf 29) ( )( ))43(logloglog)( 432 += xxf 30) 2)12(log)( /1 ++= xxf x
31) xxxf sencos)( −= 32) xxxf sen)2cos()( += 33) )tg1(tg)( xxxf +=
34) 12cos2sen)( 22 −+= −− xxxf 35) xxf cosh1)( −= 36) 1
11sen)( 1 −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
= −
xxxf
*** Hallar si existe ℜ∈x tal que 0)();0)() <> xfbxfa *** 37) xxf −= 10)( 38) 524)( −+= xxf 39) 3011)( 2 +−= xxxf
40) 61)(
−+
=xxxf 41) 3
21)( −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
x
xf 42) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
xx 14ln
43) xxxf ln)14ln()( −+= 44) 3 2 1892)( +−−= xxxxf 45) )4tg()( xxf =
*** Determinar el ámbito de las funciones según los valores de x que se indican *** 46) 6−= xy si 41 <≤− x 47) xxy 32 +−= si ( ]4,0∈x
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
12
48) [ ]xy = (parte entera) si 24 ≤<− x 49) xy 49 −= si 0<x
50) 2xey −= si ℜ∈x 51) )3ln( += xy si ( )2,3 −−∈x
52) x
ylog
31⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= si 1>x 53) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= π
41seny si ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−∈ 0,
2πx
54) xy 1sen −= si [ ]1,1−∈x 55) )log(cos xy = si 2/0 π<≤ x
*** Sea la función bmxxf +=)( , hallar m y b según los datos que se indican ***
56) 5)4(;3)1( −=−−= ff 57) )1(24)3( xfxxf +=− 58) )12()( += xfxf ***Sea la función cbxaxxf ++= 2)( , determinar a , b y c según los datos que se indican***
59) 6)4( −=f ; 0)2( =f ; 6)1( −=−f 60) 22)31()1( xxfxf −−=+
61) Sea xx ececxf −+= 21)( , hallar 1c y 2c si e
eff232)1(;5)0( +
=−=
62) Seadcxbaxxf
++
=)( hallar a, b, c, y d si 1)0( −=f ; 41)1( −=−f ; 0
23
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−f y 7)2( −=f
*** Determinar si )()( xgxf = ***
63) 525)(
2
+−
=x
xxf 5)( −= xxg 64) x
xxf 2)( = x
xg 2)( =
65) 2log)( xxf = xxg log2)( = 66)
xxf
+=
11)(
11)(
−−
=xxxg
*** Determinar el dominio de las siguientes funciones ***
67) xxy −= 2 68) 1
12 +
=x
y 69) 44 24 −− −= xxy 70) 1+−= xxy
71) 1−
=x
xy 72) 4
22 −+
=xxy 73)
652 +−=
xxxy 74)
1872
2
2
−+−
=xxxy
75) xxxxxy
361
2
23
−+−−
= 76) 11
3
3
−+
=xxy 77)
xxx 6123 −−
78) 1036
1023
2
−++−
=xxx
xy
79) 234
3
2 xxxxy++
= 80) 2332
523 +−−−
xxxx 81)
xxxxxx
863103234
2
+−−++ 82) ecxy cos=
83) xy cos= 84) )2sen( xy = 85) xy tg= 86) xy sec=
Funciones
13
87) 3 2 9−= xy 88) xy −=21 89) 1072 +−= xxy 90) xxy
212 +=
91) 1442 −= xy 92) 31 xy −= 93) 1892 ++= xxy 94) 11
+−
=xxy
95) xx
xxy62
3 2
−
−= 96)
5362
+
−=
xxy 97) x
xy −=
1 98) )3)(5(
1+−
−=
xxxy
99) xxy2
1−= 100) 13 −= xy 101) xy /13= 102) 1−= xey
103) )3ln( −= xy 104) )5ln( 2−= xy 105) ( )65ln 2 −−= xxy 106) 264ln xxy −=
107) xy 100log= 108) )5log( 2 +x 109) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
xey 1ln 110) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
=31log
xxy
111) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++
=3
65log2
xxxy 112) ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−+
=245
1ln 2 xxy 113)
2
xx eey−−
= 114) 2
xx eey−+
=
115) xy 1sen −= 116) xy 1cos−= 117) xy 1tg−= 118) !1 xy −=
119) 123 −−+= xxy 120) )lnln( xxy = 121) 21sen xy −= 122) xy cos1sen −=
123) !)4ln( −= xey x 124) 11
−
−=
xx
y 125) ⎪⎩
⎪⎨⎧
≤<−
>=
01
0ln3 xsix
xsixy 126)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<≤−=>
=302
3134
xsixxsixsi
y
2.2 Gráfico aproximado de funciones elementales Las funciones pueden representarse gráficamente en el plano cartesiano de ejes x e y . El conjunto ( ){ })(, xfyyxS == describe la función )(xf donde cada par ordenado ),( yx determina un punto del plano. Los gráficos permiten visualizar el comportamiento de la función en las diferentes regiones del dominio.
Ejercicios resueltos *** Representar en forma aproximada las siguientes funciones*** EJEMPLO 20) 322 +−= xxy Observamos que la función representa una parábola. El dominio es ℜ=D Para hallar la intersección con el eje y, anulamos la variable x; por lo tanto
330.202 =+−=y Para determinar la intersección con el eje x, anulamos la variable y; luego
0322 =+− xx ⇒ ixix 21;21 21 −=+= Siendo las raíces complejas, la curva no corta al eje x Para encontrar las coordenadas del vértice, se tiene
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
14
12
21 =+
=xx
xv
231.212 =+−=vy Luego el vértice es ( )2,1=V La gráfica es y 3 2 1 x EJEMPLO 21) Función signo: )sgn(xy =
⎩⎨⎧
<−>
=0101
)sgn(xsixsi
x
Es una función definida por secciones, la gráfica es y 1 x -1 EJEMPLO 22) xy +−= 1 En este caso se observa que los valores que pueden asignarse a x debes ser mayores o iguales a 1− ; luego la gráfica es y - 1 x - 1 EJEMPLO 23) Función coseno inverso (arco coseno) : xy 1cos−= Los valores que puede tomar la variable x pertenecen al intervalo cerrado [ ]1,1− . La gráfica es y π 2
π -1 1 x EJEMPLO 24) Función parte entera: [ ]xy = En el ejemplo 2), se define la función parte entera. La gráfica es
Funciones
15
y 1
-1 1 2 x -1 *** Sea la gráfica de la función, encontrar la expresión analítica** EJEMPLO 25) a) y b) y 2 1 x x -1 1 2 -2 En a) se tiene En b) puede definirse
⎩⎨⎧
>≤−
=222
)(xsixsix
xf ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−<≤+−
<+=
11101
01)(
xsixxsix
xsixxf
*** Considerando la gráfica de xxf =)( representar las siguientes situaciones*** EJEMPLO 26) a) )1( −xf b) 1)( −xf Siendo xxf =)( , la gráfica es y
x Luego a) y b) y 1 x -1 x
Ejercicios Propuestos *** Graficar en forma aproximada las siguientes funciones *** 127) 12 −= xy 128) 3−=y 129) 562 +−= xxy 130) 21 xy −=
2
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
16
131) 962 −+−= xxy 132) )2)(3( −+= xxy 133) 3)1( += xy 134) 31 xy −=
135) 14 += xy 136) 1
1−
=x
y 137) 392
+−
=x
xy 138) x
xxxy−
−++−=
14423
139) 3−= xy 140) 4+= xy 141) 3xy = 142) xxy +=
143) 124 −−= xy 144) 2−−= xxy 145) 42 −= xy 146) [ ]xxy −=
147) [ ]2+= xy 148) !xy = 149) !1 xy −= 150) 2)!(! −+= xxy
151) 1+= xy 152) 3 xy = 153) 2xy = 154) 1+= −xey
155) xy 22 −= 156) xy 3= 157) )3ln( += xy 158) )(log 3/1 xy −=
159) xy 5log43+= 160) !ln xy = 161) )ln( 22 xey −= 162) xy log=
163) )4sen( xy = 164) xy cos21−= 165) )tg( π−= xy 166) xy sec2=
167) )2/cot(xy = 168) xy tg= 169) xy 1sen −= 170) xy 1cos−=
171) xy 1tg−= 172) xy cosh1+= 173) xy senh1+−= 174) thxy =
175) xy coth=
176) ⎩⎨⎧
<−≥+
=02
02xsix
xsixy 177)
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤+>
=01
02
xsixxsixy 178) ⎜⎜
⎝
⎛≤≤−−
≤<=
035305xsi
xsiy
179) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−<≤−−<≤−≤≤
=12
011104
xsixxsixsi
y
x
180) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<≤<
≤<−+=
xsixxsix
xsixy
ππ
cos0sen
01)1ln( 181)
⎜⎜⎜
⎝
⎛
≥
<=
0
01
xsix
xsixy
182) ⎪⎩
⎪⎨⎧
>∨−<−
≤≤−=
111
11
xxsix
xsixy 183)
⎩⎨⎧
≤>−
=20
2)10(xsi
xsixsgy 184)
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠−+
=12
111
xsi
xsixx
y
*** Dadas las siguientes gráficas, encontrar una expresión analítica *** 185) y 1 x
186) y 1 -1 1 x
187) y 2 -2 2 x -2
188) Sea 2)( xxf = , representar a) )1( +xf , b) 1)( +xf
Funciones
17
2.3 Paridad Una función es par si y solo si )()( xfxf −= El gráfico es simétrico respecto al eje de ordenadas. Una función es impar si y solo si )()( xfxf −−= El gráfico es simétrico respecto al origen de coordenadas
Ejercicios resueltos EJEMPLO 27) 12 −= xy
La función es par pues 1)( 2 −= xxf ;
11)()( 22 −=−−=− xxxf y por lo tanto )()( xfxf −= . Construye la gráfica correspondiente. EJEMPLO 28) 3 xy =
La función es impar pues 3)( xxf = ; 33333 11)( xxxxxf −=−=−=−=−
3)( xxf =−− y por lo tanto )()( xfxf −−= . Construye la gráfica correspondiente. EJEMPLO 29) 12 += xy La función no es par ni impar. En efecto
12)( += xxf ; 12)( +−=− xxf ; 12)( −=−− xxf , luego no se cumplen las igualdades dadas según las definiciones correspondientes. Construye el gráfico y observa que no se cumplen las simetrías indicadas.
Ejercicios Propuestos *** Estudiar la paridad de las siguientes funciones *** 189) 21 xy −= 190) xy = 191) 3/2xy = 192) 2)1( −= xy
193) 3xy = 194) 5)1( += xy 195) xxy −= 196) 100=y
197) xy /1= 198) 2/1 xy = 199) 92 −= xy 200) xy += 1
201) xey −= 202) 2xey −= 203) 2ln xy = 204) xy ln=
205) xy sen= 206) xy cos= 207) xy cosh= 208) xy senh=
209) 2cos xy = 210) xy tg= 211) xxy cos= 212) [ ]xy =
213) xxy sentg= 214) xxy sencos= 215) xy 1sen −= 216) xy 1cos−=
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
18
217) x
xy sen= 218)
xx
y = 219) 21 x
xy−
= 220) 15
−+
=xxy
2.4 Composición de funciones Se define función compuesta ( ) )(xgf o a la función ( ))(xgf , donde se supone que la imagen de
)(xg está incluida o coincide con el dominio de f . Análogamente se definen las otras funciones compuestas como fg o ; ff o y gg o . EJEMPLO 30) Sean 34)( += xxf y 2)( −= xxg hallar gf o y el dominio correspondiente. Según la definición ( ) ( ) ( ) 543)2(42)()( −=+−=−== xxxfxgfxgf o El dominio de la función compuesta son los valores de x que cumplen 054 ≥−x ; esto es el intervalo [ )∞+,4/5 EJEMPLO 31) Hallar ggdffcfgbgfa oooo );););) y los dominios correspondientes si
3)( xxf = y 21)( xxg −=
a) ( ) ( ) ( ) ( )322 11)()( xxfxgfxgf −=−==o El dominio es el conjunto de números reales
b) ( ) ( ) ( ) ( ) 6233 11)()( xxxgxfgxfg −=−===o El dominio es el conjunto de números reales. Nótese que fggf oo ≠
c) ( ) ( ) ( ) 9333 )()()( xxxfxffxff ====o El dominio es el conjunto de números reales.
d) ( ) ( ) ( ) 42222 211)1()()( xxxxgxggxgg −=−−=−==o El dominio es el conjunto de números reales. EJEMPLO 32) Hallar la composición ( ) )(xhgf oo y determinar el dominio si 1)(;6)( 2 −== xxgxxf y
xxh −= 3)( Se define ( ) ( )( ))()( xhgfxhgf =oo Luego la composición es
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) )2(6213133)(2
xxfxfxfxgfxhgf −=−=−−=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−=−=
El dominio es el intervalo ( ]3,∞−
Funciones
19
Ejercicios Propuestos
*** Determinar ggdffcfgbgfa oooo )))) y el dominio correspondiente***
221) 1)( 2 += xxf 3)( −= xxg 222) xxf =)( 13)( 2 +−= xxxg
223) xxf ln)( = xxg /1)( = 224) 12)( −= xexf 3)( −= xxg
225) xxf sen)( = 1)( += xxg 226) 1)( += xexf xxg log)( =
227) xxf =)( xxg sec)( = 228) 3 3 1)( −= xxf 4)( =xg
229) xxf /13)( = 1)( += xxg 230) 165)( 2 +−= xxxf )5cos()( xxg =
231) )(cos)( 1 xxf −= 2)( xxg = 232) xxxf cosh)( −= xxg senh)( =
*** Hallar ( ) ( ) ( ))0())2())3() ggcfgbgfa − ***
233) 3)( xxxf += ; xxg =)( 234) 2)( xxf = ; )4ln()( += xxg
*** Sean xxf −= 9)( y 2)( += xxg hallar los siguientes dominios ***
235) )4( xf 236) )( 2xf 237) )1( −xg 238) ( )2−xg 239) ))(( xgf 240) ))(( xff *** Determinar hgf oo y el dominio correspondiente de las siguientes funciones***
241) 1)( 2 += xxf ; xxg −= 3)( ; 15)( 2 −= xxh 242) xxf cos)( = ; xxg sen)( = ; xxh tg)( =
243) x
xf 1)( = ; xxg cos)( = ; xxh =)( 244) 5)( xxf = ; xxf 2)( = ; xxh −= 9)(
***Identificar )(;)( xgxf y )(xh en la composición según corresponda***
245) 2)13( += xgf o 246) 12 +−= xx eefg o 247) 21 xhg −=o
248) )ln(cos xfh =o 249) ))4sen(ln( xhgf =oo 250) xfhg sen=oo
251) 1)1( 22 ++= xggf oo 252) xfff 64=oo *** Sabiendo que )(xf es par y que )(xg es impar, determinar la paridad en los siguientes casos ***
253) gf o 254) ff o
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
20
2.5 Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva - Función inversa Una función definida de A en B es inyectiva si a elementos distintos del dominio A le corresponden valores distintos en el conjunto B.
21 xx ≠ ⇒ )()( 21 xfxf ≠ Si el ámbito de la función coincide con el conjunto B se dice que es sobreyectiva.
Una función inyectiva y sobreyectiva se denomina biyectiva. EJEMPLO 33) La función +→ 0:)( RRxf tal que 4)( xxf = no es inyectiva pues por ejemplo a los elementos 2 y -2 le
corresponde el valor 16. La función es sobreyectiva pues el ámbito coincide con el conjunto += 0RB EJEMPLO 34) La función RRxf →:)( tal que xxf =)( no es inyectiva ni sobreyectiva.
EJEMPLO 35) La función xxf 4)( = definida de R en R es biyectiva pues cumple las definiciones dadas. Función inversa Si una función )(xfy = definida de A en B es biyectiva entonces existe otra función 1−f definida de B en A llamada inversa de f cuyo dominio es B y cuyo ámbito es A. La función inversa de )(xfy = es en su forma explícita )(1 yfx −= . EJEMPLO 36) Hallar la función inversa de 62)( += xxf
Para determinar la función inversa )(1 yfx −= debemos despejar x de la ecuación: 62 += xy
obteniendo
2
6−=
yx (1)
Como generalmente a una función se la expresa en términos de x , intercambiando las variables en (1) se obtiene
26−
=xy
que es la función inversa de .f Gráfico y f f -1
x Nótese la simetría con respecto a la bisectriz del primer cuadrante.
6-3
-3
6
Funciones
21
EJEMPLO 37)
Hallar la función inversa de x
xf ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
21)(
Despejamos x aplicando logaritmos en ambos miembros. x
y ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
21 ⇒ 2/1loglog 2/12/1 xy = ⇒ yx 2/1log=
Cambiando la variable es xy 2/1log=
que es la función inversa de f . Gráfico y f x f -1
EJEMPLO 38) Hallar el dominio y el ámbito de la función inversa de 2)( xxf = sabiendo que el dominio de f es el intervalo [ )0,4−
Determinamos primero la función inversa 1−f ; para ello hallamos x de la ecuación: 2xy = teniendo en cuenta que [ )0,4−∈x Entonces
yx =2 ⇒ yx =2 ⇒ yx −= pues 04 <≤− x
Intercambiando las variables en la última igualdad resulta: xy −= que es la función inversa 1−f en términos de x .
Ahora hallamos el dominio y el ámbito de 1−f .
Si el dominio de f es [ )0,4− , el ámbito de f es ( ]16,0 ; luego el dominio de 1−f es ( ]16,0 y el ámbito correspondiente [ )0,4− . EJEMPLO 39) Hallar la función inversa de xy senh=
El seno hiperbólico se puede escribir como 2
xx eey−−
=
Para determinar x multiplicamos la igualdad anterior por xe
212 −
=x
x eye
Reordenando es 0122 =−− xx yee
Haciendo xet = resulta
11012 22
21
2 +−=∧++=⇒=−− yytyytytt Considerando t1 se tiene
1
1
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
22
12 ++= yye x
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++= 1ln 2yyx (1)
La solución 2t la descartamos pues quedaría ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−= 1ln 2yyx que no tiene solución en el conjunto de
números reales ya que el argumento del logaritmo es negativo.
Luego, intercambiando variables en (1), resulta ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++= 1ln 2xxy
que es la función inversa pedida. A esta función se la denomina seno hiperbólico inverso y se escribe: xy 1senh −= .
Composición de funciones inversas Sean las funciones ABxgyBAxf →→ :)(:)( si se cumple
( ) ( ) xxfgyxxgf == )()( oo entonces las funciones )()( xgyxf son inversas. EJEMPLO 40)
Verificar que 52)( += xxf y 2
5)( −=
xxg son funciones inversas.
Hallamos
( ) ( ) xxxfxgfxgf =+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
== 52
522
5)()(o
( ) ( ) ( ) xxxgxfgxfg =−+
=+==2
5)52(52)()(o
Luego las funciones son inversas.
Ejercicios Propuestos *** Determinar si las siguientes funciones son biyectivas *** 255) RRf →: / 1)( 2 += xxf 256) ( ] xxfRf −=∞−→+ 2)(/2,: 0
257) { } { }x
xfRRf 1)(/00: =−→− 258) 4)(/: −=→ xxfRZf
259) xxfQZf21)(/: =→ 260) 3/2)(/: xxfRRf =→
261) xxfRRf ln)(/: =→+ 262) 2
)(/:xx eexfRRf
−−=→
263) [ ] xxfRf cos)(/1,1: =−→ 264) xxfRf tg)(/2
,2
: =→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
ππ
*** Dadas las funciones )(xfy = hallar sus inversas y graficalas. Determinar dominio y ámbito de f y 1−f ***
265) 10+= xy 266) 12 −= xy 267) 2xy = en [ )∞+,0 268) 3xy =
Funciones
23
269) xy ln= en ( )∞+,0 270) 236 xy −= en [ ]6,0 271) xy 5= 272) 3 xy =
273) x
y 1= ; 0≠x 274)
11
−+
=xxy ; 1≠x 275) 2−= xy en [ )∞+,2
276) 2xy = ; 0<x 277) xxy −= 2 en ⎟⎠⎞
⎢⎣⎡ ∞+,
21 278)
xxy−−
=2
42; 2≠x
279) xy −= 10 280) )1ln( xy −= en ( )1,∞− 281) xy sen= en ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
2,
2ππ
282) xy cos= en [ ]π,0 283) xy tg= en ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
2,
2ππ 284) xy cosh=
*** Efectuar la composición ( ) )(xgf o y ( ) )(xfg o y verificar si )(xf y )(xg son funciones inversas *** 285) xxf 21)( −= ;
21)( xxg −
= 286) 3 2)( −= xxf ; 2)( 3 += xxg
287) 36)( 2 += xxf si 0≥x ; 36)( −= xxg 288) 12)( += xexf ; 2ln1)( xxg +−
=
289) )3sen()( xxf = si 66ππ
≤≤− x ; 3
sen)(1 xxg−
= 290) xxf 1senh)( −= ; xxg senh)( =
*** Sea )(xfy = , hallar a) 1−f b)
f1 c) 1−ff o d)
ff 1o e) ( ) 11 −−f
291) xy 34 −= 292) 13 += xy 293) 23
+−
=xxy 294) )1ln( −= xy
Ejercicios varios 295) Expresar el área y el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles en función de un lado.
296) La base de un rectángulo es l y la altura es 2l expresar el perímetro del mismo en función del área.
297) Expresar el radio de una esfera en términos de su volumen. 298) Hallar el perímetro de un triángulo equilátero de lado l en función de su área. 299) Expresar el volumen de un cubo de lado l en función del área de su base. 300) Expresar el volumen de la esfera en función de su área. 301) Determinar la función que describe el crecimiento poblacional de bacterias. Calcular el número de ellas en un período de 2 horas sabiendo que cada una se duplica en intervalos de 15 minutos. 302) Una masa de gas sometida a una presión p ocupa un volumen v a temperatura constante. Representar gráficamente la ley de Boyle: kvp =. donde k es constante.
303) El costo para fabricar un producto está dado por la función 45055)( 2 ++= xxxC ; determinar el número de unidades x que se fabrica si se tiene un costo de 1100 dólares.
304) Un móvil que se mueve con una velocidad constante se encuentra en la posición 40 =S en el instante 20 =t y 71 =S en el instante 41 =t ; hallar la función de posición )(tS . Representar gráficamente.
305) Se arroja desde el suelo hacia arriba un objeto de tal manera que su posición está dada por la función tttS 82)( 2 +−= donde t se mide en segundos y S en metros. Determinar cuál es la posición a los 3
segundos y cuánto tiempo tarda en llegar al suelo.
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
24
3- Límite Funcional 3-1 Noción intuitiva El límite de una función )(xfy = puede entenderse como el número real L al que se aproximan los valores de la función cuando se hace tender la variable x a un número a o bien cuando dicha variable crece o decrece indefinidamente. Hay que tener claro que el límite es un número. Cuando x tiende a a y la función tiene límite, simbolizamos
Lxfax
=→
)(lím
Las expresiones Lxfax
=+→
)(lím y Lxfax
=−→
)(lím significan que x se aproxima por derecha y por
izquierda del punto a respectivamente. Cuando x crece o decrece indefinidamente, escribimos
Lxflimx
=+∞→
)( o Lxflimx
=−∞→
)(
Ahora bien, una función puede no tener límite. Esto significa que no existe ningún número real para el cual las imágenes de la función se aproximen a dicho número. La notación +∞=
→)(lím xf
ax significa que la función crece indefinidamente para x
tendiendo a a. La función no posee limite. Algunos autores expresan que el límite de la función “es infinito” La notación −∞=
→)(lím xf
ax significa que la función decrece indefinidamente para x tendiendo a
a. ¿Qué significa −∞=
+∞→)(lím xf
x y +∞=
−∞→)(lím xf
x?
También puede darse el caso en que la función no crezca ni decrezca; es decir tome valores alternados. En consecuencia la función no posee límite.
Ejercicios resueltos EJEMPLO 1) )12(lím
2−
→x
x
Efectuamos la gráfica de la función 12 −= xy Observamos que cuando x tiende a 2 por derecha o por izquierda ( +→ 2x o −→ 2x ) los valores de la función se aproximan a 3. Luego 3)12(lím)12(lím
22=−=−
−+ →→xx
xx
por lo tanto 3)12(lím
2=−
→x
x -1
2
3
x
y
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
26
EJEMPLO 2) )(lím2
xfx→
tal que
⎩⎨⎧
=≠−
=24212
)(xsixsix
xf
El límite de la función es 3 cuando x tiende a 2 por derecha o por izquierda. Observa que la imagen de la función no coincide con el límite. 3)(lím
2=
→xf
x x
EJEMPLO 3) 2
232lím2
2 −−−
→ xxx
x
Para representar esta función la expresamos como y
122
)2)(12(+=
−−+
= xx
xxy para 2≠x
El límite de la función es 3 cuando x tiende a 2 por derecha o por izquierda. Observa que la imagen de la función no existe Luego 3)(lím
2=
→xf
x x
ATENCIÓN De los ejemplos 1) 2) y 3) vemos que las funciones tienen límite para valores próximos al punto considerado sin importar lo que ocurre en él. La función puede o no estar definida en ese punto, o no coincidir con el límite.
EJEMPLO 4) xx
x 0lím→
0≠x
y
Representamos xx
y = y observamos que cuando
+→ 0x , la función se aproxima a 1 y cuando −→ 0x , la misma tiende a 1− x
Por lo tanto NO EXISTE el límite de la función, ya que este debe ser ÚNICO EJEMPLO 5) x
xlnlím
+∞→ y
Al graficar xy ln= se observa que cuando x crece indefinidamente, la función tiene el mismo comportamiento; esto es +∞=
+∞→x
xlnlím 1 x
2
y
3
4
2
3
1
-1
+∞→x
Límite Funcional
27
EJEMPLO 6) xx
e∞−→
lím y
Al graficar xey = se observa que la función se aproxima a 0 cuando −∞→x 1 0lím =
∞−→
xx
e
x←−∞ 0 x EJEMPLO 7) xlim
xsen
+∞→
y
EJEMPLO 8) 3
1lím3 +−→ xx
+∞ y De la gráfica observamos que si +−→ 3x , la función crece indefinidamente. Si −−→ 3x , la función decrece indefinidamente -3 x −∞
Ejercicios propuestos
*** Determinar si existe el límite de las siguientes funciones efectuando los gráficos correspondientes***
1) )3(lím1
+→
xx
2) )5(lím 2
3−
−→x
x 3) x
xloglím
2→ 4) x
xcoslím
2/π→
5) 1lím0
+→
xx
6) xx 4lím→
7) x
xxx
−→
2
0
2lím 8) x
xx +
−−→ 4
16lím2
4
9) xx
e−−∞→
lím 10) x
x⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+∞→ 21lím 11) x
x10lím
+∞→ 12)
xx
1lím+∞→
13) 1
1lím1 −+→ xx
14) 1
1lím1 −−→ xx
15) )ln(lím0
xx
−−→
16) xx
e−
→0lím
17) xx
tglím2+
→π 18) x
xtglím
2−
→π 19)
63lím
6 −+
−→ xx
x 20)
82lím 3
2
2 +
+−−−→ x
xxx
Como la función seno toma valores alternados entre 1 y –1, la función carece de límite.
x
1
-1
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
28
*** Sean las siguientes funciones, mediante representaciones gráficas obtener, si existen, los límites según se indica ***
21) −∞→+∞→→→−−
=−+
xxxxxxxf ;;
21;
21
1224)(
22) −∞→+∞→→→−→−→−
= +−+− xxxxxxx
xf ;;3;3;3;39
1)( 2
23) ⎩⎨⎧
<+≥
=0103
)(xsixxsi
xf +→ 0x ; −→ 0x ; +∞→x ; −∞→x
24) ⎪⎩
⎪⎨⎧
−<−
−≥=
1
1)( 2 xsix
xsixxf +−→ 1x ; −−→ 1x ; +∞→x ; −∞→x
25) ⎪⎩
⎪⎨⎧
−≤−
>=
11
1)(
3
xsix
xsixxf +→1x ; −→1x ; +∞→x ; −∞→x
26) ⎪⎩
⎪⎨⎧
≤<−
>=
02
tg
0cos2)(
xsix
xsixxf π
+
−→2πx ; −→ 0x ; +→ 0x ; +∞→x
27) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−
≤−<<
=
11
0cos110log
)(4
4/1
xsix
xsixxsix
xf −∞→+∞→→→→→→→ −+−+ xxxxxxxx ;;1;1;1;0;0;0
28)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥−
<−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=ππ
πππ
231
23
2sen
)(xsi
xsixxf ∞−→+∞→→→→→
+−+−
xxxxxx ;;2
5;2
5;2
;2
ππππ
29) x
xxf sen)( = 0→x ; +∞→x ; −∞→x
30) xxxf sen)( = 0→x ; +∞→x ; −∞→x 3.2 Propiedades de los límites Para poder evaluar el límite de una función es preciso enunciar las siguientes propiedades 1) kk
ax=
→lím k constante
2) axax
=→
lím
3) Si Lfax
=→
lím entonces kLfkkfaxax
==→→
lím)(lím
Límite Funcional
29
4) Si 1lím Lfax
=→
y 2lím Lgax
=→
entonces
a) 21)(lím LLgfax
+=+→
b) 21)(lím LLgfax
=→
c) 2
1límLL
gf
ax=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛→
; 02 ≠L
5) Si Lf
ax=
→lím entonces
a) nnax
Lf =→
lím ; +∈ Zn
b) nnax
Lf =→
lím ; +∈ Zn ; 0>L si n es par
c) ( ) Lff baxbbaxloglímlogloglím =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=
→→; 0>L
6) Si 1lím Lf
ax=
→; 01 >L y 2lím Lg
ax=
→, entonces ( ) 2
1lím
límlím Lg
axg
axLff ax == →
→→
Excluyendo la propiedad 2), las restantes también se cumplen para +∞→x o bien para −∞→x . 7) Teorema de Intercalación (propiedad del sandwich) Sean las funciones )()();( xhyxgxf definidas en un intervalo abierto que contiene a a excepto posiblemente en ax = si Lgf
axax==
→→límlím y además ghf ≤≤ entonces Lh
ax=
→lím
8) Si 0lím =
→f
ax y )(xg está acotada, entonces ( ) 0lím =
→gf
ax
Excluyendo la propiedad 2), las restantes también se cumplen para +∞→x o bien para −∞→x .
Ejercicios resueltos EJEMPLO 9) ( ) 31322.43límlímlím43límlím)4(lím34lím 23
2
2
2
3
22
2
2
3
2
23
2=+−=+−=+−=+−
→→→→→→→ xxxxxxxxxxxxx
EJEMPLO 10) ( )
21
126
)3(493
)4(lím
9lím
49lím
3
3
3−=−=
−+−
=+
=+
−→
−→
−→ x
x
xx
x
xx
EJEMPLO 11) 2110coscoslímlímcoslím 3 0
0
3
0
3
0=+=+=+=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +
→→→exexe
xx
xx
x
EJEMPLO 12) ( ) 10010log.100límlog10)(loglímlímloglím10
2
10
2
10
2
10==⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛==
→→→→xxxxx
xxxx
EJEMPLO 13) 164límlím 2lím
444 === →
→→
x
xx
xxxx
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
30
EJEMPLO 14) x
xx +
−−→ 1
1lím2
1
En este caso no es posible aplicar la propiedad 4)c), pues cuando 1−→x el denominador x+1 tiende a cero. Luego se efectúa la siguiente transformación:
( )( ) ( ) 12lím1lím1lím1
11lím1
1lím1111
2
1−≠=−=−=
++−
=+−
−→−→−→−→−→xsixx
xxx
xx
xxxxx
EJEMPLO 15) a)112lím
1 −+
+→ xx
x b)
112lím
1 −+
−→ xx
x
a) No es posible aplicar la propiedad del cociente ya que el denominador tiende a 0 a través de valores
positivos; la forma del límite es 03 . En este caso escribimos +∞=
−+
+→ 112lím
1 xx
x; esto significa que la
función crece indefinidamente para valores de x que se aproximan por derecha de 1.
b) En forma similar −∞=−+
−→ 112lím
1 xx
x ya que el denominador tiende a 0 a través de valores negativos. La
función decrece indefinidamente para x próximos a 1 por izquierda.
EJEMPLO 16) 5
3lím++∞→ xx
Aquí la forma del límite es∞+3 ; entonces 0
53lím =++∞→ xx
EJEMPLO 17) a) x
x3lím
+∞→ b) x
x3lím
−∞→
a) La función crece sin límite; la forma del límite es +∞3 . Luego +∞=+∞→
xx
3lím
b) La función tiende a cero; la forma del límite es −∞3 . Luego 03lím =−∞→
xx
EJEMPLO 18) a)x
x⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+∞→ 52lím b)
x
x⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−∞→ 52lím
a) La forma del límite es +∞
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
52 y la función tiende a cero. Luego 0
52lím =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+∞→
x
x
b) La forma del límite es −∞
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
52 y la función crece sin límite. Luego +∞=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−∞→
x
x 52lím
EJEMPLO 19) a) x
x
/1
03lím
+→ b) x
x
/1
03lím
−→
a) La forma del límite es +∞3 ; luego +∞=+→
x
x
/1
03lím b) La forma del límite es −∞3 ; luego 03lím /1
0=
−→
x
x
EJEMPLO 20) a)xx
x +→0lím b)
xx
x −→0lím c)
xx
x 0lím→
a) 1límlím00
==++ →→ x
xxx
xx b) 1límlím
00−=
−=
−− →→ xx
xx
xx c)
xx
x 0lím→
no existe ¿por qué?
Límite Funcional
31
EJEMPLO 21) a) [ ]xx +→3lím b) [ ]x
x −→3lím [ ]x parte entera de x
a) [ ] 3lím
3=
+→x
x b) [ ] 2lím
3=
−→x
x
EJEMPLO 22) a) )(lím1
xfx +→
b) )(lím1
xfx −→
c) )(lím1
xfx→
si
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤−>−
=1441)(
2
xxxxxxf
a) ( ) 0lím)(lím 2
11=−=
++ →→xxxf
xx b) ( ) 044lím)(lím
11=−=
−− →→xxf
xx c) 0)(lím
1=
→xf
x
EJEMPLO 23) x
x
x −+∞→ −
+
5231lím
La forma del límite es ∞−
+∞
−
+
5231 que se puede expresar como
021−∞+ o bien
2+∞ , resultando +∞
Luego +∞=−
+−+∞→ x
x
x 5231lím
EJEMPLO 24) ( ) 23 1lím−
+∞→+
x
xx
La base y el exponente de la función tienden a +∞ . La forma del límite es +∞∞+
Luego ( ) +∞=+−
+∞→
23 1límx
xx
EJEMPLO 25) x
xx100lím
0+→
Entonces ( )1/x
00100lím100lím xx
xx
x ++ →→=
El límite de la base de la función es 0 y el exponente tiende a +∞ . La forma del límite es +∞0 . Luego 0100lím
0=
+→
xx
x
EJEMPLO 26) ( )x
xx −
−+→ 1
1loglím1
El numerador ( )1log −x tiende a ∞− y el denominador x−1 tiende a 0 a través de valores negativos
cuando x se aproxima a 1 por derecha. La forma del límite es 0−∞ . Luego
( )+∞=
−−
+→ xx
x 11log
lím1
EJEMPLO 27) )(lím
0xh
x→ si 1)(1 2 +≤≤− xxhx
Haciendo 21)( xxf −= y 1)( += xxg resulta: 1)(lím)(lím
00==
→→xgxf
xx
y como )()()( xgxhxf ≤≤ se tiene por la propiedad 7) 1)(lím0
=→
xhx
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
32
EJEMPLO 28) )(lím2
xhx −→
si ( )225)( +≤+ xxh
De la desigualdad dada resulta : ( ) ( )22 25)(2 +≤+≤+− xxhx
( ) ( ) 52)(52 22 −+≤≤−+− xxhx
Haciendo ( ) 52)( 2 −+−= xxf y ( ) 52)( 2 −+= xxg se tiene: 5)(lím)(lím
22−==
−→−→xgxf
xx
y como )()()( xgxhxf ≤≤ resulta 5)(lím
2−=
−→xh
x
EJEMPLO 29) x
xx
πsenlím 4
0→
La función xπsen está acotada ya que 1sen ≤
xπ y 0lím 4
0=
→x
x; luego por la propiedad 8)
0senlím 4
0=
→ xx
x
π
Ejercicios propuestos
*** Calcular el límite de las siguientes funciones utilizando las propiedades cuando sea posible*** 31) ( )524lím 2
2+−
→xx
x 32) ( )( )xx
x−+
−→43lím
2 33)
32lím
0 −+
→ xx
x
34) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +→ 23
93límxxx
35) 2
4 32lím ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
−→ xx
x 36)
x
x xxx
+
−→ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−++
52
1 332lím
37) 8
9lím2
9 −−+
→ xxx
x 38) ( )
)ln(1lnlím
2
0 exxx
x +++
→ 39)
xx
x cos1)4sen(3lím
2/ +→π
40) xx
xx
x eeee−
−
→ +
−0
lím 41) ( ) )1ln(
0cos2lím x
xx +
→+ 42) xx
xcostg
03lím +
→ 43) ( )53lím 2 −+
+∞→xx
x
44) ( )( ) )8(51lím ++−+∞→
xxxx
45) π−∞→x
lím 46) 110lím +−
+∞→
xx
47) 2
1límx
x x⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−∞→
48) ( ) 43 1lím−
+∞→+
x
xx 49)
xx
x−+∞→ 3
lnlím 50) 444lím
/1 xx
x
+−∞→
51) xx e
2lím+∞→
52) x
x⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+∞→ 71lím 53)
x
x⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−∞→ 71lím 54)
x
x
−
−∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
74lím 55) 2lím +
+∞→
xx
π
56) xx
1tglím −
+∞→ tangente inversa de x o arco tangente de x
Límite Funcional
33
*** Evaluar los límites laterales***
57) 5
4lím5 −+→ xx
58) 5
lím5 +−−→ x
xx
59) xx
−−→
4lím4
60) x
x x
2ln
0
1lím ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+→
61) +−→ 2
límx 2
1+x
62) 23 )3(1lím−+→ xx
63) ( )21
21
4100lím−−
−
→ x
xx
x
64) )1/(1
1lím −
→ −
x
xe
65) 33lím
0
x
x +→ 66) ( ))1ln(4lím
1x
x−−
−→ 67) [ ]xlim
x +−→ 4 parte entera de x
68) )6(lím6
−+→
xsgx
signo de 6−x 69) xx
tglím
2
+
→π
70) xx sen
1lím+→π
*** Evaluar, si existen, los límites laterales en ax = de )(xf ***
71) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−=>
=515
5152
)(xsix
xsixsix
xf 5=a 72)
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−=
>
= +
0)ln(0
02/1
)( 2
xsixxsix
xsix
xf x 0=a
73)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥−<≤
<−
=10sen10
1012
11
)(xsix
xsi
xsix
xf x 1=a ; 10=a 74) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<≤−<≤
=05
12103
)(xsi
xsixsi
xf 1=a ; 0=a
75)
( )3;3
3131
31
39log
)(4
2
=−=
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−==−
<−
>−
= aa
xsixsixsix
xsix
xf
76) ( )( )
0
0cos1
0log
01
1
)(100
=
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−
<−
>++
= a
xsix
xsix
xsixx
xf
*** Evaluar )(lím xh
ax→ según las condiciones dadas ***
77) 22)(142 22 ++≤≤−−− xxxhxx 1−=a 78) ( )443)(14
4 22
+−≤≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+− xxxhxx 2=a
79) ( )235)(24 −≤− xxh 3=a 80) 243)( xxh ≤− 0=a
*** Evaluar ***
81) x
xx
1coslím 40→
82) )sen(ln2
lím 22
0xx
x→ 83)
xx
xe
tg1senlím
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−
→ +
π
π 84) )2cos(2lím x
xx +∞→
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
34
*** Determinar alguna función )(xf que verifique los siguientes límites ***
85) −∞=+→
)(lím2
xfx
86) 1)(lím =+∞→
xfx
87) 5)(lím1
=+−→
xfx
88) +∞=−→
)(lím0
xfx
89) +∞=−∞→
)(lím xfx
90) −∞=+→
)(lím xfx π
3.3 Formas indeterminadas
Las expresiones 00 )(;0;1;)(.0;;;00
+∞+∞∞−∞+∞+
+∞ ∞+ son formas indeterminadas de
límites. Debe considerarse también las distintas posibilidades que se presenten como por ejemplo
∞−∞+∞−∞−
+∞ 1;; ; etc. Estas indeterminaciones pueden resolverse efectuando ciertas
transformaciones. Límites notables Se demuestra
a) 1senlím0
=→ u
uu
b) eu
u
u=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+∞→
11lím Análogamente para −∞→u
c) ( ) eu u
u=+
+→
/1
01lím También para −→ 0u d) 0lnlím =
+∞→ uu
u
Ejercicios resueltos
*** Resolver la indeterminación 00 ***
EJEMPLO 30) 1
12164lím2
234
1 −
−+−−→ x
xxxxx
El numerador y denominador de la función propuesta tienden a 0 cuando 1→x . La forma del límite es del
tipo 00 ; luego se hace la siguiente transformación
( )( )( )( ) 3
11243lím
1112431lím
112164lím
23
1
23
12
234
1=
++−−
=+−
+−−−=
−
−+−−→→→ x
xxxxx
xxxxx
xxxxxxx
EJEMPLO 31) 234
23
2 4422lím
xxxxxx
x ++−−+
−−→
Para resolver la indeterminación 00 se procede de la siguiente manera
Límite Funcional
35
( )( )( )( )
( )( )−∞=
+
+−=
+
+−+=
++
−−+−−− −→−→−→ )2(
11lím2
112lím44
22lím22222234
23
2 xxxx
xxxxx
xxxxxx
xxx
EJEMPLO 32) ( )( )752
1202
3 32
152lím−−
−+→ xx
xxx
Se tiene:
( )( )
( )( )( )( )( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
01
53lím1353lím
1353lím
32
152lím75
12045
37575
120120
375
120
3752
1202
3=
+
+−=
+−
+−=
+−
+−=
−−
−+→→→→ x
xxxxxx
xxxx
xx
xxxxxx
EJEMPLO 33) 1
23lím1 −
−+→ x
xx
Entonces
( )( )( )( )
( )( )( ) =++−
−+=
++−
++−+=
−−+
→→→ 23123lím
2312323lím
123lím
22
111 xxx
xxxx
xx
xxx
( ) ( ) 41
231lím
23)1(1lím
23)1(43lím
111=
++=
++−
−=
++−
−+=
→→→ xxxx
xxx
xxx
EJEMPLO 34) xx
x −
−→ 1
1lím3
1
La indeterminación 00 puede resolverse aplicando el cambio de variable 6ux =
Si 1→x entonces 1→u , luego ( )( )
( )( ) 32
11lím
1111lím
11lím
11lím 21213
2
1
3
1=
+++
=++−+−
=−−
=−
−→→→→ uu
uuuu
uuuu
xx
uuux
EJEMPLO 35) x
xxx
53
0
112lím +−+→
Hacemos la siguiente transformación:
xx
xx
xx
xx
xxx
xxx
xx
xxx
5
0
3
0
53
0
53
0
53
0
11lím112lím
11112lím11112lím112lím
+−+
−+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+
−+=
+−+−+=
+−+
→→
→→→
Calculamos el primer límite.
Llamando 2
112
33 −
=⇒+=pxxp Nótese que cuando 0→x entonces 1→p luego:
( )( )
( )( ) 32
12lím
1112lím
2/11lím112lím 212131
3
0=
++=
++−−
=−−
=−+
→→→→ pppppp
pp
xx
pppx (1)
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
36
Para calcular el segundo límite hacemos 11 55 −=⇒+= qxxq Nótese que si 0→x entonces 1→q , luego:
( )( ) =++++−
−−=
−
−=
+−→→→ 11
1lím1
1lím11lím234151
5
0 qqqqqq
xx
qqx
51
11lím
2341−=
++++−=
→ qqqqq (2)
Por lo tanto de (1) y (2) es
157
51
32112lím
53
0=−=
+−+→ x
xxx
EJEMPLO 36) x
x xx
/13
0
125)5(lím ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −++→
En el exponente +∞=+→ xx
1lím0
En la base hacemos el cambio de variable 5+= xt ⇒ 5−= tx Nótese que si +→ 0x , resulta +→ 5t ; luego
755
)255)(5(lím5
125lím125)5(lím2
5
3
5
3
0=
−++−
=−−
=−+
+++ →→→ tttt
tt
xx
ttx
Por lo tanto
+∞==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+ ∞+
→ +75125)5(lím
/13
0
x
x xx
Ejercicios propuestos
*** Evaluar los siguientes límites de la forma 00 ***
91) x
xx 318
36lím2
6 −−
→ 92)
11lím
3
2
1 +
−−→ x
xx
93) 11lím 5
10
1 −−
→ xx
x 94)
54352lím 2
2
5 −+
−−−→ xx
xxx
95) 2
23
0
32límx
xxxx
−−+→
96) xa
aaxxax −
+−−→
55lím22
97) 122485lím 23
23
1 −−+−+−
+→ xxxxxx
x
98)ax
xwxbawabax +
+++−→
5252lím 99) ( )( )( )20 2
121311límx
xxxx
−−−−+→
100)241664.516lím
2/1 −−
+−→ xx
xx
x
101) 223
32
100 loglog10logloglím
xxxx
x −
−+→
102)5
56lím
2
5 −
+−−→ x
xxx
103) 1coscoscos1cos3cos3coslím
23
23
++−−
+++→ xxx
xxxx π
104)( ) ( )230 141
lím+−+→ xx
xx
105) ( )( )102
523
2 107
43lím+−
+−→ xx
xxx
106) 2354lím 85
36
1 +−−+
→ xxxx
x
Límite Funcional
37
107)xx
x 5525lím
0
−+→
108) 22
2lím2 −
−→ x
xx
109) 21
33lím3 −+
−→ x
xx
110) xx
xxx +
+−−+→ 20
11lím 111)3
9lím2
3 −−
−→ xx
x 112)
)(lím 2 bax
baxbax +−
+−+→
113) 552 22lím
−
−→ x
xx
114) 82lím
3
8 −−
+→ xx
x 115)
xxxx
x +−−
+−−→ 11
11lím33
0 116)
3
3
0lím
xxxx
x +
−+→
117) NmNntt
m
n
t∈∧∈
−
−→ 1
1lím/1
/1
1 118)
xxx
x
53
0
2121lím +−+→
119) ( )( )( )24
3
1 1
11lím−
−−→ x
xxx
120)2
522
522
0 4
44lím
x
xxxx
x
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
→ 121)
xxx
x 2111lím
3
0
−++→
122) 1
1lím53
1 −−
→ xxx
x
123) x
xxx
53
0
3171lím +−+→
124) x
xxx
11616lím
53
0
−++→
125) ( ) ( )( ) ( )xx
xxx /6/12
/4/2lím 2
2
−
−+∞→
126) 1
1
1
2
11lím
−−
→ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
+
xx
x xxx
Ejercicios resueltos
*** Utilizar el límite particular 1senlím0
=→ u
uu
en los siguientes ejercicios ***
EJEMPLO 37) xx
x
tglím0→
La indeterminación es 00 ; para eliminarla utilizamos el límite particular 1senlím
0=
→ xx
x y teniendo en
cuenta que xxx
cossentg = resulta:
1cos
1.senlímlímtglím0
cossen
00===
→→→ xxx
xxx
xxx
xx. 1
0cos1
=
EJEMPLO 38) )tg()sen(
lím0 nx
mxx→
m y n constantes; 0≠n
Entonces
nm
nxmx
nxnxnx
mxmx
mx
nxmx
xxx===
→
↓
↑
→→ 0
1
1
00lím
)tg(
)sen(
lím)tg()sen(
lím
321
48476
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
38
EJEMPLO 39) ( ) πcossentg)2(senlím
4
22
0 xxx
x→
( )
} }
( ) ( )44lím
1sen
tgtg22
)2sen(22
)2sen(
límcossentg)2(sen
lím4
4
04
1
4
4
1111
04
22
0−=−=
−
=→
↓
↑↑↑↑
→→ xx
xx
x
xx
xxxx
xxx
xx
xxx
xxx
43421
4847648476
π
EJEMPLO 40) x
xx tg
cos1lím0
−→
Puede resolverse la indeterminación efectuando la siguiente transformación: ( )( )
( ) ( )xxx
xxxx
xx
xxx cos1tgcos1lím
cos1tgcos1cos1lím
tgcos1lím
2
000 +−
=+
+−=
−→→→
Utilizando la identidad xx 22 cos1sen −= , se tiene
( )
}
{
020
)cos1(tg
sensen
)cos1(tgsenlím
cos1tgcos1lím
1
11
2
0
2
0==
+=
+=
+−
↓
↑↑
→→ xxxx
xx
xxx
x
xxx
xxx
xx
876
Por lo tanto 0tgcos1lím
0=
−→ x
xx
EJEMPLO 41) ( )2
senlím2 −→ x
xx
π
Haciendo el cambio de variable 2−= xt resulta 2+= tx . Si 02 →⇒→ tx , luego
( )tt
tt
xx
ttx
)2sen(lím))2(sen(lím2
senlím002
ππππ +=
+=
− →→→
Utilizando la identidad ( ) βαβαβα sencoscossensen +=+ resulta
( ) )sen()2sen()cos()2cos()sen(2sen tttt πππππππ =+=+ Luego
( ) ( )ππ
ππ
ππππ
====+
→→→1.
sen.lím
senlím
)2sen(lím
000 tt
tt
tt
ttt
Por lo tanto ( )
ππ
=−→ 2
senlím
2 xx
x
EJEMPLO 42) ( )xx
x −−
→ 22tg
sen1lím ππ
Haciendo el cambio de variable xt −=2π resulta tx −=
2π . Si 0
2→⇒→ tx π ; luego
Límite Funcional
39
( )( )t
txx
tx tgsen1
límtg
sen1lím 20
22
−−=
−−
→→
π
ππ
Utilizando la identidad ( ) βαβαβα sencoscossensen −=− resulta ( ) tt cossen 2 =−π ;
luego ( )
tt
tt
tt tgcos1lím
tgsen1
lím0
20
−=
−−→→
π
Procediendo como en el ejemplo 40), resulta ( ) 0tg
sen1lím22
=−
−
→ xx
xππ
EJEMPLO 43) x
xx
1
0
senlím−
→ donde x1sen− es el seno inverso de x o el arco seno de x
Haciendo xy 1sen −= resulta yx sen= . Nótese que si 00 →⇒→ yx Luego
11límsen
límsenlím sen00
1
0===
→→
−
→y
yyyx yy
xx
Ejercicios propuestos
*** Resolver las siguientes indeterminaciones utilizando el límite notable 1senlím0
=→ u
uu
***
127) ecxxx
coslím0→
128) ( )2
3
0 senlím
xx
x→ 129)
3/)5tg(lím
0 xx
x→ 130) 4
3
0 4sen)5tg(lím
xxx
x→
131) xxxx
x 8)7sen(12)6sen(lím
0 +−
→ 132) ( ) ( )
( )xx
xx
x 3cos4tg2tglím
0+
→ 133)
( )( ) ( )xx
xx
x 4tg5cos
)2(sentglím 32
23
2
0→
134) ( )( ) ( )xx
xxxx 2tg4cos
sectg4senlím 5
32
0→ 135) 20
1coslímxx
x
−→
136) ( )( ) 12cos
2senlím0 −→ x
xx
137) ( )x
axax
sensenlím0
−+→
138) ( )x
axax
coscoslím0
−+→
139))sen()sen(
lím0 nxmx
xx −→
nm≠
140) )3sen(sen
tglím0 xx
xx −→
141) ( ) ( )x
xxx 10
coscoslím0
+−−→
ββ 142)( ) ( )
xxx
x 4sensen
lím0
+−−→
αα
143) ( )214
214senlím2
2
3 −+
−+→ xx
xxx
144) ( )99tglím 2
2
3 −−
→ xx
x 145) ( )x
xx −→ ππ tg
sen2lím
146) ( )
ππ
π −−
→ xx
x
22senlím 147) ( )
( ) 1cos1lím
2
1 +−
→ xx
x π 148) ( )x
xxx 2sen
sentglím2
π→
149) ( )( )x
xx π
πsen
3senlím
2→ 150)
ππ
π +−
−→ xx
x
coscoslím 151) ( )x
xx 2
4senlím1
0
−
→ 152)
( )xx
x 4tglím
10 −→
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
40
Ejercicios resueltos *** Resolver la indeterminación
∞∞ ***
EJEMPLO 44) 35
12lím3
23
+
++++∞→ x
xxxx
La indeterminación es de la forma ∞+
+∞ ; efectuamos la siguiente transformación
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
=+
++++∞→+∞→
33
333
23
3
23
35
121
lím35
12lím
xx
xxx
xxx
xxxx
xx
} } }
{
51
35
1121lím
0
3
0
3
0
2
0
=+
+++=
↓
↑↑↑
+∞→
x
xxxx
Se observa que los polinomios del numerador y del denominador son de igual grado y el límite que obtuvimos es igual al cociente entre los coeficientes principales de ambos polinomios.
EJEMPLO 45) 2
3lím4 −−
+−∞→ xx
xx
La indeterminación es de la forma ∞+
−∞ ; efectuamos la siguiente transformación
01211
31lím
21
31lím
23lím
433
444
4=
∞−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−
+=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=−−
+−∞→−∞→−∞→
xxx
x
xxxx
xx
xxx
xxx
EJEMPLO 46) 2
10
11lím
xx
x −
−+∞→
La indeterminación es de la forma ∞−
−∞ ; efectuamos la siguiente transformación
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
−
−+∞→+∞→
11
11
lím11lím
22
1010
2
10
xx
xx
xx
xx+∞=
−∞−
=−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
+∞→ 111
11
lím
2
108
x
xx
x
EJEMPLO 47) 242
125lím2
2
+++
+++∞→ xxx
xxx
=++
+
++
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +++
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ++
=+++
+++∞→+∞→+∞→
2
2
2
2
2
2
2
2
242
1251lím
242
1251
lím242
125lím
xxx
xx
xxxx
xxx
xxx
xxxxx
Límite Funcional
41
23
46
42251
2142
1251lím
2
2==
+
+=
+++
++=
+∞→
xx
xx
EJEMPLO 48) 293
916lím2
2
+−−
−+−∞→ xxx
xxx
Haciendo tx −= se tiene que si −∞→x resulta +∞→t , luego
293
916lím2)()(9)(3
)(9)(16lím
293
916lím2
2
2
2
2
2
++−−
++=
+−−−−−
−−+−=
+−−
−++∞→+∞→−∞→ ttt
tt
ttt
tt
xxx
xxttx
Procediendo como en el caso anterior se obtiene 65
− . Verifíquese.
EJEMPLO 49) 1
3
23
2313lím
+
−∞→ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+−x
x xxx
Calculamos primero 23
13lím3
23
+
+−−∞→ x
xxx
y obtenemos 31 ya que los polinomios son del mismo grado
como se indicó en el ejemplo 44); por lo tanto el ejercicio propuesto tiene la forma −∞
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
31 o bien +∞3 ; luego
+∞=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+−+
−∞→
1
3
23
2313lím
x
x xxx
EJEMPLO 50) xx
xx
x 9432lím
+
++∞→
La indeterminación es ∞+
+∞ ; entonces
xx
xx
x 9432lím
+
++∞→
= =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+∞→1
949
1323
lím
x
xx
x
xx
x0
10100
194
132
93
=++
=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
x
x
x
EJEMPLO 51) ( )
( )3/12/1
5/1
1ln1ln
límxx
xx ++
++∞→
La indeterminación es ∞+
+∞ ; entonces
( )( ) =
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=++
++∞→+∞→+∞→ 2/1
6/12/1
5/15/1
2/12/1
3/1
2/1
5/15/1
3/12/1
5/1
ln111ln
ln11lnlím
11ln
11lnlím
1ln1ln
límx
xx
xx
xxx
x
xx
xxx
xxx
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
42
52
ln211ln
ln511ln
lím =+
+=
+∞→ x
x
x
EJEMPLO 52) ( )( ) Nnnn
n∈
−+
+∞→ !1!1
loglím
En el argumento del logaritmo pueden simplificarse los factoriales; esto es
( )( )
( ) ( )( ) ( )( ) +∞=+=−
−+=
−+
+∞→+∞→+∞→nn
nnnn
nn
nnn1loglím
!1!11
loglím!1!1
loglím
Ejercicios propuestos
*** Resolver la indeterminación ∞∞ ***
153) 536
1lím 2
2
−+
+++∞→ xx
xxx
154) 3
2
)1()2()32(lím
+−+
−∞→ xxx
x 155)
11513lím 3 ++
+−−∞→ xx
xx
156) 5)1(
1lím+
−+∞→ xx
157) 2
3
)13(8lím
−
−+∞→ x
xx
158) x
xxx
18lím2 ++
+∞→
159) 1
143lím2
2
++
−++∞→ xx
xxx
160) 247
12límxx
xx +−
+−∞→
161) 153
141052lím42
42
−+−
+−++∞→ xxx
xxxx
162)xx
xxx +
+++∞→ 2
1lím 163) 121
2
2
395lím
+−−
+∞→ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+ xx
x xx 164)
x
x xx⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∞→ 1lím
3
165) xx
xx
x 2929lím
−
+−
−
−∞→ 166)
xx
xx
x 5243lím
+
++∞→
167) 1101lím
ln
ln
−
++∞→ x
x
x
e
168)x
x xxx
ln
2
2
213lím ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
++∞→
169) 1
1
51101lím
+
+
+∞→ +
+x
x
x 170)
xx
xx
x eeee−
−
+∞→ +
−
24lím
171) xxxx
x sensenlím
−+
+∞→ 172)
xx
x
x
x sen4cos8lím 1 −
+++∞→
173)( )
( ) ( )3230
4220
522
24321
lím−+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+∞→ xx
xx
x
174) ( ) x
x xx
xx
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−++
+∞→ 2312
51lím 2
2 175)
84 11154lím
−+−+−
−+∞→ xxx
xx
176)x
xxx +
+++∞→ 1
1lím
2 177)
xx
x 23
lím+
−∞→ 178)
xxx
x −
+−+∞→ 1
21lím
Límite Funcional
43
179)( )2
22
log11log3loglím
xxx
x +
−++∞→
180)4log3log
límx
xx +∞→
181) ( )( )110log
120loglím+
++∞→ x
x
x
182) ( )( )4
7
1ln1lnlím
xxx
x ++
++∞→
183) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
−−
+∞→ 11tglím 2
21
xx
x 184)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−
−
+∞→
xx
xx
x 1cos
1sen
lím2
1
21
185) ( ) ( ) x
x xxx
ecxgx /1
0 sen28sen4sen
coscot1lím ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−→ 186)
xx
xsec
tg3lím
2
++
→π
*** Calcular los siguientes límites para Nn∈ ***
187) ( )( )( )!1
!21lím
2
+−−
+∞→ nnn
n 188) ( )
( )!1!1!
lím+−+
+∞→ nnn
n 189) ( )!1
!
34lím−+∞→ n
n
n
190)
( )!21!
1
lím
−+∞→
n
nn
191) ( ) ( ) ( )( ) 722
!3!2!1límnn
nnnn +
++++∞→
192) ( )( ) 22
20
!2!1loglím
nnnn
n −
++∞→
Ejercicios resueltos *** Resolver la indeterminación ∞−∞ *** EJEMPLO 53) 11lím 22 −−+
+∞→xx
x
La indeterminación ∞−+∞ puede resolverse haciendo la siguiente transformación
=−++
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −++⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−+
=−−++∞→+∞→ 11
1111lím11lím
22
2222
22
xx
xxxxxx
xx
( ) ( ) 011
2lím11
11lím2222
22=
−++=
−++
−−+=
+∞→+∞→ xxxx
xxxx
EJEMPLO 54) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−−
−+→ 11
1lím
31 xxx
x
Las indeterminación es de la forma + ∞−∞ ; para eliminarla escribimos
+∞=−
−++=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
− +++ →→→ 11lím
11)1(lím
11
1lím 3
23
13
2
131 xxxx
xxxx
xxx
xxx
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
44
Obsérvese que cuando +→1x el numerador de la última expresión tiende a 2 y el denominador a 0 mediante valores positivos .Luego la función crece sin límite.
EJEMPLO 55) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
+−
−+→ 810
21lím 32 x
xxx
( )=
−
−+=
−
+−++=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
+−
− +++ →→→ 86lím
81042lím
810
21lím
3
2
23
2
232 xxx
xxxx
xx
x xxx
( )( )( )( ) 12
5422
32lím22
=++−
+−+→ xxx
xxx
EJEMPLO 56) 3 23 1lím xxx
−++∞→
En este caso hacemos los cambios de variables 3 1+= xp y 3 2xq =
Además se tiene ( )( )2233 qpqpqpqp ++−=− ⇒ 22
33
qpqpqpqp++
−=− (1)
Luego sustituyendo p y q en (1) y calculando el límite para +∞→x resulta
( ) 3 43 233 2
23 23
.11
1lím1límxxxx
xxxxxx ++++
−+=−+
+∞→+∞→
Dividiendo por 2x el numerador y el denominador de la expresión del límite del segundo miembro se
tiene −∞=−++∞→
3 23 1lím xxx
Ejercicios propuestos *** Resolver la indeterminación ∞−∞ ***
193) ( )xxx
−−+∞→
1lím 194) )32(lím +−+∞→
xxx
195) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−+
+∞→11lím 33 xx
x
196) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−+
+∞→416lím 24 xx
x 197) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +−−
+∞→11lím xx
x
198) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−++
−∞→xxxx
x265lím 22 199) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +−−
−∞→99lím 22 xxx
x
200) ( )2)1(lím +−+∞→
xxxx
201) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
+∞→
242 2lím uuuu
202) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +++
−∞→
421lím tttt
203) ( ) Nnnnnnn
∈+−+−+∞→
121lím 204) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++
+∞→nnnn
n53lím
205) +
+∞→∈
+−−Ra
xx
ax 33lím
22 206)
4 24 2 22
1lím−−+−∞→ xxx
207) 33 11
1lím−−++∞→ xxx
208) 3 1
10lím+−+∞→ xxx
209) xxx
11lím0
−+→
210) 125
15
1lím 35 −+
−−→ xxx 211) ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−−+→ 3
19
1lím 23 xxx 212) ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
−−
−+→ 12
13lím
231 xxx
Límite Funcional
45
213) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−→ecx
xxcos1lím
0 214) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−→ xx
x 2sen1tglím
2/π
215) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛+−
+→ xxxx 9sen1
5sen1
2sen1lím
0 216) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
+→xecx
xxtgcos1lím
0
217) ( )xxxx
+−+∞→
43lím 218) ( )xxxx
−+−∞→
522lím
Ejercicios resueltos
*** Resolver la indeterminación ∞1 ***
EJEMPLO 57) x
x x
2
131lím ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++
+∞→
La indeterminación +∞1 puede resolverse llevando la expresión al límite notable eu
u
u=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+∞→
11lím
Entonces
616
2
13
31
31
2
lím11lím1
31lím eex
xx
x
x
xx
xx
x
x==
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++ +
+∞→
++
++∞→+∞→
EJEMPLO 58) x
x xx −
+∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+ 4
35lím
Si se efectúa la división entre 5+x y 3−x resulta 5+x 3−x 3+−x 1 8
luego x
x
x
x xxx −
+∞→
−
+∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+ 44
381lím
35lím y se tiene la indeterminación −∞1 .
Entonces
83)4(8
4
38
83
83
4
lím11lím3
81lím −−−
+∞→
−
−−
−+∞→
−
+∞→==
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+ ee
xx
x
x
x
xx
xx
x
x
381
35
−+=
−+
xxx
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
46
EJEMPLO 59) x
x xx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−∞→ 3
3 1lím
Escribimos x
x
x
x xxx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−∞→−∞→ 33
3 11lím1lím . La indeterminación es −∞1
+∞==
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ −∞→
−∞→−∞→
3
33
lím
1
33
11lím11lím xx
x
xx
x
x
xxe
xx
pues +∞=−∞→ 3
límx
xx
EJEMPLO 60)
2
10332lím 2
2 x
x xxxx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+−+
+∞→
Efectuando la división entre los polinomios 322 −+ xx y 1032 −+ xx se obtiene
22
10371lím
10332lím
22
2 x
x
x
x xxx
xxxx
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−+
−+=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
−++∞→+∞→
(1)
Como la expresión (1) es de la forma +∞1 puede llevarse al número e haciendo
0
7103
11lím103
71lím2
2
222
2
1037lím
1037
7103
22 ==
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−+
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+−
+ −+−
−+−
−−+
+∞→+∞→
+∞→x
xxx
xxxx
xxx
x
x
xxe
xxxxx
x
pues −∞=−+
−=
−+−
+∞→+∞→ 1037lím
103)7(lím 2
32
2
2
xxxx
xxxx
xx
EJEMPLO 61) ( ) x
xkx /1
01lím +
+→ 0≠k
Para resolver la indeterminación +∞1 llevamos la expresión dada a la forma del límite notable ( ) eu u
u=+
+→
/1
01lím
Entonces ( ) ( )( ) =+=+++ →→
kkx
x
x
xkxkx )/(1
0
/1
01lím1lím ke
EJEMPLO 62) xx
x
)1log(lím0
+−→
La indeterminación es 00 , pero puede eliminarse si se escribe
Límite Funcional
47
( ) exxxxx
x x
x
x
xxxlog1límlog)1log(lím)1log(1lím)1log(lím
1
/1
0
/1
000=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+=+=+=+
∞−
−−−− →→→→ 4434421
pues ( ) ex x
x=+
−→
/1
01lím
EJEMPLO 63) x
xxtg1lím
0+
+→
Escribimos ( ) ( )( )( )exxx
xxx
x
x
xx
x=+=+=+
+++ →→→
/tgtg/1
0
/1
00tg1límtg1límtg1lím
EJEMPLO 64) a)x
xx
senhlím0+→
b)x
xx
senhlím0−→
Teniendo en cuenta que 2
senhxx eex
−−= resulta
xe
xe
xe
xe
xee
xx x
x
x
x
xx
x
xx
xx 21lím
21lím
21
21lím
2límsenhlím
00000
−
→→
−
→
−
→→
−+
−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
−=
−=
+++++
El primer sumando que es x
e x
x 21lím
0
−+→
se calcula haciendo el cambio de variable
( )txet x +=⇒−= 1ln1 . Nótese que si ++ →→ 0,0 tx ; luego
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) 21
ln1
1límln
1
1lnlím
1lím
1ln1lím
1ln1lím
1ln2lím
21lím
22/1
0
/2
0
0/202000
==+
=
=+
=+
=+
=+
=−
+
+
+
++++
→
→
→
→→→→
et
ttttt
xe
t
t
t
t
ttt
ttt
x
x
Calculamos el segundo sumando xe x
x 21lím
0
−
→
−+
haciendo el cambio de variable xer −−= 1 .
Procediendo de igual manera que en el caso anterior se obtiene:21
21lím
0=
− −
→ + xe x
x
Luego 121
21senhlím
0=+=
+→ xx
x. Análogamente puede verificarse que 1senhlím
0=
−→ xx
x
Ejercicios propuestos *** Resolver la indeterminación ∞1 ***
219) x
x x⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+∞→
51lím 220) 231lím
+
+∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
x
x x 221)
x
x x
9
211lím ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
+∞→ 222)
5
71límx
x x⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+∞→
223) 3
41límx
x x⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−∞→ 224)
12
11lím+
−∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
x
x x 225)
x
x xx 2
32lím ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
+∞→ 226)
16
5626lím
+
+∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+− x
x xx
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
48
227) 42
13lím
−
+∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+ x
x xx 228)
x
x xx 4
102105lím
−
+∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−− 229)
11lím
+
+∞→ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +x
x xx 230)
3 2
3
51lím
x
x xx⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−∞→
231)2
3
2
2
4534lím
+
+∞→ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
++x
x xxxx 232)
25
23
3
1lím
−
−∞→ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−−
−x
x xxxxx 233)
13
1323lím
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
++∞→
x
x
x
x
234)
xe
x
x
x ee
2
11lím
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
+−∞→
235)x
x xx ln21
1ln2lnlím
+
+∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+ 236)
x
xx
4ln
2ln11lím ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+∞→
237) ( ) x
xx tg/5
0tg1lím +
+→
238) ( ) )2cos()2/(sen(1
0)2tg(1lím xx
xx+
+→ 239) ( ) x
xx /1
0sen31lím −
+→ 240) x
xx 1senlím
0+
+→
*** Resolver ***
241) ( ) xec
xx cos2sen1lím +
+→π 242) ( ) x
xx
2sec32
2/cos21lím −
→π 243)
x
x x
sec
22/ tg1
11lím⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++
−→π
244)x
x xx
511coslím ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+∞→ 245) x
xxcoslím
0+→ 246) 1
1lím −
→ +
x
xx
247) ( )( )x
xx
++→
1lnsenlím0
248))51ln(
lím0 x
xx +−→
249)x
e x
x 21lím
0
−−→
250)x
ee xx
x
25
0lím −
+→ 251) hxhx aa
hx−
−→
lím ; 0>a 252) )sen(sen
lím0 xx
ee xx
x −−− −
→ +
253)3lnln
3lím3 −
−+→ x
xx
254)( )21 1
4ln)4ln(lím−
−→ x
xx
255) ( ) ( )3
2
0 21ln1lnlím
xxxx
x
+−++−→
256) ( ) ( )x
xxxx 4
22ln2lnlím22
0
+−−++→
257) ( )20 4
)2cos(lnlímx
xx→
258) ( )
2
senlnlím2/ ππ −+→ x
xx
259) ( )x
xx
x tgcoslím
sen/12
0+→ 260) ( )
xxx x
x
tg/1
0
coslím +−→
261) 20
1coshlímx
xx
−→
262) x
thxx 0lím→
Ejercicios resueltos *** Resolver las indeterminaciones ∞.0 ; 00 ; 0∞ ***
EJEMPLO 65) 2ln1lím xxx +∞→
La indeterminación es )(.0 +∞ . Utilizando el límite notable 0lnlím =+∞→ x
xx
, resulta
0ln2límln1lím 2 ==+∞→+∞→ x
xxx xx
Límite Funcional
49
EJEMPLO 66) ( )xxx
bax
++∞→
log1lím si 0>> ab
La indeterminación es ).(0 +∞ ; se resuelve haciendo
( ) =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+
+∞→+∞→+∞→
xx
xx
x
x
xxx
xb
ba
xb
ba
xba
xlog1log1lím1log1límlog1lím
xx
x
xb
xba
xlog1lím1log1lím
+∞→+∞→+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
Calculamos el primer límite 01log1lím1log1lím ==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+∞→+∞→ xba
x x
x
x
Nótese que 0→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
x
ba cuando +∞→x por que ba <
Calculamos el segundo límite bbxx
bx x
xx
loglog.1límlog1lím ==+∞→+∞→
En consecuencia ( ) bbbax
xxx
loglog0log1lím =+=++∞→
EJEMPLO 67) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−→ 4tg2lím 2
2
xxx
π
La indeterminación es ).(0 +∞ . Haciendo .22 uxxu +=⇒−= Si −→ 2x entonces +→ 0u Luego
( ) ( )
+∞===
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
++++
+++−
→→→→
→→→→
uuu
u
u
uu
uu
uguuuuuxx
uuuu
uuux
202202
2
2020
2
0
2
0
2
0
2
2
16lím16lím
4.
4
4tg
lím
4tg
1.lím
4cotlím
42tglím
42tglím
4tg2lím
πππ
π
ππ
πππππ
EJEMPLO 68) x
xx
+→0lím
La indeterminación es 00 ; haciendo xxyxy x lnln =⇒= Luego xxy
xxlnlímlnlím
00 ++ →→= (1)
Calculamos ahora xxx
lnlím0+→
El límite tiene la forma indeterminada ).(0 −∞ , entonces ( ) 0lnlímln1lnlím/1lnlímlnlímlnlím 100
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−===
+∞→+∞→+∞→→→ ++ uu
uu
uuxxx
uuuxxx
Se utilizó el cambio de variable x
u 1= y el límite notable: 0lnlím =
+∞→ uu
u
Luego en (1) es 1lím1lím0límln0lnlím0000
=⇒=⇒=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒=
++++ →→→→
x
xxxxxyyy
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
50
EJEMPLO 69) ( ) x
xxx
ln/12lím ++∞→
La indeterminación es ( )+∞ 0 . Haciendo ( ) xxxy
ln/12 += se tiene
( ) ( )xxx
yxxx
yxx
+=⇒+=+∞→+∞→
22 lnln1límlnlímln
ln1ln (1)
Resolvemos
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )( ) 22ln21límln
2lím1lnlímln
lnlím1lnln1lím
lnln1ln
límln
1lnlímln
ln1lím
0ln/11
ln/112
1
21212
=+=++=
=++=++=
=++
=+
=+
+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
+∞→+∞→+∞→
e
xx
x
xx
xx
xxx
xxxxx
x
xxxxxx
xx
xxx
Luego en (1) es ( ) 2ln/122 límlím2límln2lnlím exxeyyyx
xxxx=+⇒=⇒=⇒=
+∞→+∞→+∞→+∞→
EJEMPLO 70) x x
x101lím +
+∞→
La indeterminación es del tipo 0∞+ ; luego
10110
110lím110
110lím110
110lím101lím/1
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+=+
+∞→+∞→+∞→+∞→
x
xxx
xxx
xx
x
x xx
Ejercicios propuestos *** Resolver las indeterminaciones ∞.0 ; 00 ; 0∞ ***
263) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+∞→ xx
x
1tglím 264) )1ln(1lím 2 ++∞→
xxx
265) ( )xxx
13lím −+∞→
266) xx
ex1lím
+∞→
267) 7log)1(lím 2
1 xxx−
→ 268) ( )
xx
x
112lím0
−+→
269) xxx
ln1
1lím1 −+→
270) xxx
1
1cos
11lím −
→ −−
271) ( ))2ln(sen)2ln(
1lím2/1
xxx→
272) ( )22/lncoslím π
π−
+→xx
x 273) x
xx sen
0lím
+→
274) ( ) x
xx tg
0senlím
+→ 275) x
x x1lím
+∞→ 276) ( ) 22
24lím
−
→−
+
x
xx 277) x
xx ln
3
lím+∞→
278) x
xx 1lím 2 +
+∞→ 279)
53
2
2243lím
−
+∞→ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−+ x
x xxx 280) ( ) x
xx /1lnlím
+∞→ 281) ( )x xx
x
254lím +
+∞→
282) ( ) 31100
2 1lím xx
xxx
+
+∞→++
Límite Funcional
51
3.4 Asíntotas La gráfica de una función puede presentar ciertas rectas llamadas asíntotas. Se enuncian a continuación las definiciones correspondientes. Asíntota vertical La recta ax = es una asíntota vertical de la gráfica de una función )(xf si y solo si los valores de )(xf crecen o decrecen indefinidamente para x próximos a a .
ax = es A.V ⇔ ∞=→
)(xflimax
Los siguientes ejemplos ilustran lo enunciado : y y y x x
x x = a x = a x = a −∞=
+→)(xflim
ax +∞=
−→)(xflim
ax ∞=
→)(xflim
ax
Asíntota horizontal
La recta Ly = es una asíntota horizontal de la gráfica de )(xf si los valores de la función se aproximan a L cuando +∞→x o −∞→x
Ly = es A.H ⇔ Lxflimx
=+∞→
)( o bien Lxflimx
=−∞→
)(
En los siguientes ejemplos se ilustra lo enunciado. y y y = L x f y = L x f Lxflim
x=
+∞→)( Lxflim
x=
−∞→)(
Asíntota oblicua La recta bmxy += es una asíntota oblicua de la gráfica de )(xf si
[ ] 0)()( =+−+∞→
bmxxflimx
o bien [ ] 0)()( =+−
−∞→bmxxflim
x
Es decir, la diferencia entre )(xf y bmxy += tiende a 0 cuando x crece o decrece indefinidamente. Los siguientes ejemplos ilustran la definición.
f f f
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
52
y y f x x 11 bxmy += 22 bxmy += bmxy += f Si consideramos +∞→x , resulta que para calcular la pendiente m y la ordenada al origen b de la asíntota se tiene : [ ] 0)()( =+−
+∞→bmxxflim
x (1)
0)(=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −−
+∞→ xbm
xxfxlim
x
Como +∞→x es xxflimm
xbm
xxflim
xx
)(0
)(+∞→+∞→
=⇒=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
Ahora, al tener el valor de m se obtiene b aplicando (1) ; es decir: [ ]mxxflimb
x−=
+∞→)(
Análogamente se obtiene m y b para −∞→x
Ejercicios resueltos EJEMPLO 71)
Determinar la ecuación de la asíntota vertical de 2
1)(−
=x
xf
Se observa que 2=x anula el denominador de la expresión de )(xf ; calculamos entonces el límite de la
función para +→ 2x y −→ 2x +∞=
→)(
*2xflim
x y −∞=
−→)(
2xflim
x
Luego 2=x es una asíntota vertical de )(xf . Representar gráficamente. EJEMPLO 72)
Hallar si existe la asíntota vertical de 11)(
2
+−
=x
xxg
En 1−=x se anula el denominador ; luego se determina el límite de )(xg para +−→ 1x y −−→ 1x 2)(
1−=
+−→xglim
x y 2)(
1−=
−−→xglim
x
Luego la función no presenta asíntota vertical. Representar gráficamente. EJEMPLO 73) Hallar la asíntota vertical de 2ln)( xxf =
La función no está definida en 0=x . Entonces −∞=+→
2
0ln xlim
x y −∞=
−→
2
0ln xlim
x
Luego 0=x es una asíntota vertical. Representar gráficamente.
Límite Funcional
53
EJEMPLO 74)
Determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales de 9
)( 2 −=
xxxf
La función no está definida en 3=x y en 3−=x pues se anula el denominador.
Luego se calcula el límite de )(xf para +−+ −→→→ 3;3;3 xxx y −−→ 3x +∞=
+→)(
3xflim
x −∞=
−→)(
3xflim
x +∞=
+−→)(
3xflim
x −∞=
−−→)(
3xflim
x
Entonces 3=x y 3−=x son asíntotas verticales. EJEMPLO 75) Determinar si xexf −+= 1)( presenta una asíntota horizontal. Si +∞→x resulta 1)( =
+∞→xflim
x; luego 1=y es una asíntota horizontal de la función. Representar
gráficamente. Nótese que si −∞→x resulta +∞=−∞→
)(xflimx
EJEMPLO 76)
Hallar, si existen, las asíntotas horizontales para la función 241
)(x
xxf+
=
Si +∞→x se tiene 21)( =
+∞→xflim
x. Para −∞→x , se efectúa el cambio de variable tx −= y
21)( −=−
+∞→tflim
t. Por lo tanto
21
=y ; 21
−=y son asíntotas horizontales.
EJEMPLO 77)
Hallar la asíntota oblicua de 112)( 2
3
+−
=xxxf
La recta correspondiente tiene como ecuación bmxy += Se procede a calcular m y b . Si +∞→x es
( ) ( ) 21/12)( 23=
+−==
+∞→+∞→ xxxlim
xxflimm
xx
[ ] 01
211
)1(2122
112)(
22
23
2
3=
+
−−=
+
+−−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+
−=−=
+∞→+∞→+∞→+∞→ xxlim
xxxxlimx
xxlimmxxflimb
xxxx
Entonces la recta xy 2= es una asíntota oblicua de )(xf . Para −∞→x se obtiene la misma ecuación. EJEMPLO 78)
Hallar si existe la asíntota oblicua de 86)( 2 +−= xxxf Si +∞→x es
xxflimm
x
)(+∞→
= ⇒ 18686222
22=+−=
+−=
+∞→+∞→ xxx
xxlim
xxxlimm
xx
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
54
[ ]mxxflimb
x−=
+∞→)(
xxx
xlimxxx
xxxlim
xxx
xxxxxxlimxxxlimb
xx
xx
++−
+−=
++−
−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
=
=++−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+−
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−=
+∞→+∞→
+∞→+∞→
86
86
86
86
86
8686.186
22
22
2
2
22
2
Dividiendo la última expresión entre x resulta 3−=b Luego la asíntota tiene como ecuación 3−= xy Si −∞→x se procede de la misma manera, obteniéndose 3+−= xy Por lo tanto la función presenta 2 asíntotas oblicuas. Nótese que el dominio de )(xf es ( ] [ )+∞∪∞− ,42, EJEMPLO 79)
Determinar si existe una asíntota oblicua para xx
xf ln1)( +=
Como la función está definida solamente para 0>x calculamos m y b para +∞→x
0ln1
=+
=+∞→ x
xlimm x
x
Luego )(xf no presenta asíntota oblicua pues 0=m
Ejercicios propuestos *** Hallar las ecuaciones de las asíntotas, en el caso que existan, de las siguientes funciones***
283) 4
4)(−
=x
xf 284) x
xf−
=1
1)( 285) ( )22
1)(x
xf−
= 286) x
xf 1)( −=
287) 14
2)(−
=x
xxf 288) 5
3)(+−
=x
xxf 289) 32
1)( 2 −+−
=xx
xxf 290) x
xxf−
=1
)(2
291)1
1)( 2 ++−=
xxxf 292)
32
3
103)( 2
2
+−
−+=
xxxxxf 293)
14
8)(2 +
=x
xxf 294) 9
21)(2 −
−=
x
xxf
295) 11)(
−
+=
xxxf 296)
xxxf53
2)(+
= 297) 99)(
2
+−
=x
xxf 298) xxxxxf
+−
= 2
23 3)(
299)1
1)(23
++−−
=x
xxxxf 300) 11)(
3
4
−
−=
xxxf 301) )3ln()( −= xxf
302) )6ln()( xxf −= 303) ( )65ln)( 2 +−= xxxf 304) 2)3ln()( −= xxf
305) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
2tg)( πxxf 306) )2sec()( xxf = 307) 1)( −= xexf 308) 1)( += −xexf
309) 2
)( xexf −= 310) xxexf −=)( 311) 32)( 2 −+= xxxf
312) 158)( 2 +−= xxxf 313) 2
4)(2
−−
=xxxf 314)
364
1)(2
2
+
+=
x
xxf
Límite Funcional
55
315) xxf 3)( = 316) xxf /122)( += 317) x
xxf sen)( = 318) x
exfx
cos)( =
319) xxf 1tg)( −= 320) thxxf =)( 321) xxf ln2)( = 322) 13)( += − xxf 323) Proponer una función que presente en su gráfica infinitas asíntotas verticales. 324) ¿Puede una función presentar en su gráfica una asíntota vertical, una horizontal y una oblicua ? En caso afirmativo graficarla. 3.5 Límite por definición CASO 1) Lxf
ax=
→)(lím
Los valores de la función se aproximan a un número real L para valores de x cercanos a a. Definición 1) El límite de f(x) es L cuando x tiende a a si y solo si para todo ε 0> , arbitrario y suficientemente pequeño, existe un δ 0> que depende de ε tal que el valor absoluto de la diferencia entre los valores de la función y L puede hacerse tan pequeña como se quiera con tal de tomar valores de x cercanos a a. En símbolos )(,0lím εδε ∃>∀⇔=
→L
ax tal que ε<− Lxf )( siempre que δ<−< ax0
y f x a x Al fijar un ε > 0 queda determinado un δ 0> tal que si x pertenece al intervalo ),( δδ +− aa y ax ≠ entonces f(x) debe pertenecer al intervalo ),( εε +− LL . Esto es equivalente a escribir: ε<− Lxf )(
siempre que δ<−< ax0
Observaciones: a) La definición requiere elegir primero un ε para luego determinar un δ . b) Puede ocurrir por ejemplo que al buscar una relación entre ε y δ queden determinados un 1δ y un
2δ . Para que se cumpla la definición se elige el menor δ ; esto se escribe ( )21 ,mín δδδ = .
Ejercicios resueltos EJEMPLO 80) Si el límite de 13)( −= xxf es 5 cuando 2→x , determinar un δ para 10
1=ε Según la definición se tiene
ε−L
ε+L
δ−a δ+a
)(xfL
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
56
)(,0lím εδε ∃>∀⇔=→
Lax
tal que ε<− Lxf )( siempre que δ<−< ax0
En nuestro caso
{ {ε101
)(
513 <−−Lxf
x 321 siempre que δ<−< 20 x
Determinamos δ para un 101=ε
Partiendo de la desigualdad 1015)13( <−−x resulta
3012
10123
101)2(3
10163 <−⇔<−⇔<−⇔<− xxxx
Como δδ <−⇒<−< 220 xx y siendo 3012 <−x puede tomarse
301
=δ para que se cumpla la
definición; entonces 1015)13( <−−x siempre que
30120 <−< x
Si se quiere expresar en notación de intervalo estas desigualdades se tiene
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∈⇔<<⇔<−<−⇔<−
1051,
1049)(
1051)(
1049
1015)(
101
1015)( xfxfxfxf
Además
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∈⇔≠∧<<⇔≠∧<−<−⇔<−<
3061,
30592
3061
30592
3012
301
30120 xxxxxx ∧ 2≠x
Esto significa que los valores de ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∈
1051,
1049)(xf siempre que ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∈
3061,
3059x ∧ 2≠x
Se ha visto en el ejemplo que para un 101=ε se obtiene un 30
1=δ ; ¿puede tomarse un 01 >δ y menor a 130
que cumpla con la definición?.
EJEMPLO 81) Demostrar que 15)72(lím
4=+
→x
x
Según la definición 1) se tiene ε<−+ 15)72( x siempre que δ<−< 40 x (1) Primero determinamos δ para cualquier ε que se elija. Partiendo de ε<−+ 1572x resulta
2442)4(282 εεεε <−⇔<−⇔<−⇔<− xxxx
Luego puede tomarse 2εδ = para que se cumpla (1) ; esto nos lleva al segundo paso del ejercicio que es la
demostración
εεεεδ <−+⇒<−⇒<−⇒<−⇒<−< 15)72(82422
440 xxxxx
EJEMPLO 82) Demostrar ( ) 412lím 2
1=++
→xx
x
Según la definición 1) se tiene
Límite Funcional
57
ε<−++ 4)12( 2 xx siempre que δ<−< 10 x (1)
Partiendo de ε<−++ 4)12( 2 xx resulta ε<−+ 32 2 xx y siendo )32)(1(32 2 +−=−+ xxxx se
tiene ( )( ) εε <+−⇔<+− 321321 xxxx (2)
Como aparece el factor 32 +x en (2) imponemos una condición para δ haciendo 1≤δ , luego
⇒<<⇒<<⇒<−<−⇒<−⇒<−< 420201111110 xxxxx δ
7327323 <+⇒<+<⇒ xx
Entonces comparando con (2) debe tomarse 7
7 εδεδ ≤⇒≤
Se tienen así dos condiciones para δ ; por un lado se tomó 1≤δ y luego se obtuvo 7εδ ≤ . De acuerdo al
valor que se asigne a ε se requiere el menor δ para que se cumpla (1), es decir ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
7,1mín εδ
Efectuamos ahora la siguiente demostración
( )( ) εεε
εεεδ
<−++⇒<−+⇒<+−⇒
⇒<−+⇒<−⇒<−⇒<−<
4)12(32321
132177
110
22 xxxxxx
xxxxx
EJEMPLO 83)
Hallar )(εδ si 0senlím0
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→ xx
x
π
Según la definición es ( ) επ <xx /sen siempre que δ<< x0 Determinamos )(εδ ( ) εππ <≤= 1)/sen(/sen xxxxx pues 1)/sen( ≤xπ para 0≠x ; luego basta tomar εδ = para que se cumpla la definición. EJEMPLO 84) Hallar )(εδ tal que 1lím)1lím)
00==
−+ →→
x
x
x
xebea
a) Como x tiende a 0 por derecha resulta que para cualquier ε , existe un δ tal que ε<−1xe con tal que δ<−< 00 x
Partiendo de ε<−1xe resulta ( )1ln11 +<⇒+<⇒<− εεε xee xx (1)
Siendo δδ <⇒<−< xx 00 , comparando con (1) debe tomarse ( )1ln += εδ b) Como x tiende a 0 por izquierda se tiene que para cualquier ε , existe un δ tal que
ε<−1xe siempre que δ<−< x00
Partiendo de ( )εεεε −>⇒−>⇒−<−⇒<− 1ln111 xeee xxx (2)
Siendo δδ −>⇒<−< xx00 ; luego comparando con (2) se requiere ( )εδ −−= 1ln EJEMPLO 85)
Demostrar que la función ⎩⎨⎧
≤>−
=31
36)(
xsixsix
xf carece de límite cuando 3→x
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
58
Supongamos que Lxfx
=→
)(lím3
; entonces para un ε cualquiera, por ejemplo 101
=ε se tiene
101)( <− Lxf siempre que δ<−< 30 x
Tomando 10δ a la derecha de 3 es
103 δ+=x y si
10311 =⇒= xδ ; luego
101
1029
101
10316)10/31()( <−⇒<−−=−=− LLLfLxf (1)
Tomando 10δ a la izquierda de 3 es
103 δ−=x y si 1=δ ⇒
1029
=x ; luego
1011)10/29()( <−=−=− LLfLxf (2)
De (1) es 35
14<< L (3)
De (2) es 1011
109
<< L (4)
Como no hay ningún valor de L que satisfaga (3) y (4) resulta que la función no tiene límite cuando 3→x .
Ejercicios propuestos *** Hallar )(εδ y demostrar los siguientes límites ***
325) 6)42(5
=−→
xlimx
326)21
31
23/1=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
→
xlimx
327) 10104
=→x
lim 328) 3)3(5
−=−−→x
lim
329) 0)44(1
=+−→
xlimx
330) 2342
3−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
→xlim
x 331) ( ) 31
2=+−
−→xlim
x 332) 2
2=
−→xlim
x
333) 84162
4=
−−
→ xxlim
x 334) 4
242
2−=
+−
−→ xxlim
x 335) 22
111212
11−=
+−
−→ xxlim
x
336) 52
62
2=
−−+
→ xxxlim
x 337) 362
6=
→xlim
x 338) 4)3( 2
1=+
→xxlim
x 339) 0)27( 3
3=−
→xlim
x
340) 0)( 3
1=−
→xxlim
x 341) 9
6293
3=
+−
−→ xxxlim
x 342) 0
2842 23
2=
+−−+
−→ xxxxlim
x
343) 03
232
2=
++−
→ xxxlim
x 344) 222
1−=
−−→ x
xxlimx
345) 0)16( 2
4=−
→xlim
x
346) 9)28( 2
1=−−
−→xxlim
x 347) 84
2/1=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
−→ xlim
x 348)
311
3−=
−→ xlim
x 349) 01
1=−
+→xlim
x
350) 336
=+→
xlimx
351) 0ln1
=−→
xlimx
352) 13
0=
+→
x
xelim 353) 1cos
0=
→xlim
x
354) 0sen20
=→
xlimx
355) 2)()5
=+→
xflimax
2)()5
=−→
xflimbx
si ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−=+>−
=5;75;1
5;82)(
xxxx
xxxf
356) 1)()2
−=+→
xflimax
3)()2
=−→
xflimbx
si ⎩⎨⎧
≤>−
=2;3
2;1)(
xxx
xf
Límite Funcional
59
*** Demostrar que los siguientes límites no existen ***
357) )(3
xflimx→
si ⎩⎨⎧
<≥
=3;23;8
)(xx
xf 358) )(1
xflimx −→
si ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−>−=
−<+
=1;41;
1;1
)( 2
xxxx
xx
xf
CASO 2) +∞=
→)(lím) xfa
ax −∞=
→)(lím) xfb
ax
La función )(xf tiende a +∞ o crece sin límite, cuando los valores de la misma superan un número prefijado 0>k suficientemente grande y arbitrario, para ax → . Del mismo modo la función )(xf tiende a ∞− o decrece sin límite si los valores de la misma son inferiores a k− cuando ax → . Definición 2) 0>∀k existe un δ 0> que depende de k tal que )a kxf >)( siempre que δ<−< ax0 b) kxf −<)( siempre que δ<−< ax0 Las siguientes figura ilustran las definiciones. y y f f x -K x
( ) kxfaax >⇒+−∈ )(, δδ (Definición 2a) ( ) kxfaax −<⇒+−∈ )(, δδ (Definición 2b)
Ejercicios resueltos EJEMPLO 86)
a) Demostrar +∞=→ 20
1límxx
b) Obtener δ para 10000=k
a) Según la definición 2a) resulta: )(,0 kk δ∃>∀ tal que kx
>21 siempre que δ<−< 00 x
Determinamos )(kδ
k
xk
xk
xkx
1111 222
<⇒<⇒<⇒> (1)
Siendo δδ <⇒<−< xx 00 y comparando con (1) debe requerirse k1
=δ para que se cumpla la
definición.
δ+a δ−a
)(xf
x
K
δ+a δ−a x
)(xf
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
60
Demostración
kx
kxk
xk
xx >⇒>⇒<⇒<⇒<<22
2 11110 δ
b) Si 100
110000
110000 ==⇒= δk luego se cumple
1000011
2 >x
siempre que 100
10 << x
EJEMPLO 87) Hallar )(kδ si −∞=
+→x
xlnlím
0
Por definición )(,0 kk δ∃>∀ tal que kx −<ln siempre que δδ <<⇒<−< xx 000 pues +→ 0x Determinamos )(kδ
kexkx −<⇒−<ln (1)
y siendo δδ <⇒<< xx0 ; luego en (1) debe tomarse ke−=δ EJEMPLO 88)
Hallar )(kδ si +∞=−−→ xx 11lím
1
Según la definición es kx>
−11 con tal que δ<−< x10 pues −→1x
Determinamos )(kδ
Partiendo de kx>
−11 resulta
2
1111k
xk
x <−⇒<− (1)
Siendo δδ <−⇒<−< xx 110 comparando con (1) debe tomarse 2
1k
=δ
Ejercicios propuestos *** Hallar )(kδ y demostrar los siguientes límites***
359) +∞=−+→ 33
3 xlim
x 360) −∞=
−+→ xlim
x 481
2 361) −∞=
+−−→ 5101
2/1 xlim
x
362) −∞=+−
+−→ 224
1 xlim
x 363) +∞=
−+
+→ 819
29 xxlim
x 364) +∞=
−++
+→ 11
3
2
1 xxxlim
x 365) +∞=
+→ xlim
x
10
366) −∞=−+
+→ xxlim
x 22
2 367) +∞=
−+→ 66 xxlim
x 368) −∞=
−+
−→ 44
4 xxlim
x 369) +∞=
−+→ )9/4(1
23/2 xlim
x
370) +∞=−+→ 1
151 x
limx
371) +∞=−
→ +
)1/(1
12 x
xlim 372) +∞=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−
→ −
)1/(1
1 21 x
xlim 373) −∞=
−→ 30
1x
limx
374) −∞=−+
−++−→ xxx
xxlimx 6
10323
2
3 375) +∞=
−+→ 11
0 xx elim 376) −∞=
−→ xlim
x ln1
1
Límite Funcional
61
377) +∞=+→
)()2/1
xflimax
+∞=−→
)()2/1
xflimbx
si ( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤−
>−
=2/1;
4/11
2/1;2/1
10
)(
2x
x
xx
xf
378) +∞=+→
)()0
xflimax
+∞=−→
)()0
xflimbx
si
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<−
>=
0;1
0;1
)(
2
3
xxx
xxxf
CASO 3) LxfbLxfa
xx==
−∞→+∞→)(lím))(lím)
La función tiene límite L si los valores de la misma pueden aproximarse tanto como se quiera a L para cualquier x que supere a un número 0>N o sea inferior a N− . Definición 3) )(,0 εε N∃>∀ tal que
ε<− Lxfa )() siempre que Nx > ε<− Lxfb )() siempre que Nx −<
Las figuras correspondientes ilustran las definiciones dadas y f y L f L x x N x x - N ε<−⇒> LxfNx )( ε<−⇒−< LxfNx )( (Definición 3a) (Definición 3b)
Ejercicios resueltos EJEMPLO 89)
a) Demostrar 212lím =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+∞→ xx b) Hallar un N si
501
=ε
a) Según la definición 3a) es )(,0 εε N∃>∀ tal que
ε<−+ 212x
siempre que Nx >
Determinamos )(εN partiendo de ε<−+ 212x
entonces
xxx11212 ==−+ pues +∞→x ; luego
εε 11
>⇒< xx
(1)
Siendo Nx > , comparando con (1) es necesario que ε1
=N para que se cumpla la definición.
ε−L
ε+L
)(xf
ε+L
ε−L
)(xf
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
62
¿Puede tomarse un ε1
1 => NN ?
Demostración εεεε
<−+⇒<⇒<⇒>⇒> 212111xxx
xNx
b) Si 50501
=⇒= Nε (pues ε1
=N )
Luego resulta 501212 <−+
x siempre que 50>x
EJEMPLO 90) Hallar )(εN tal que 010lím =
−∞→
xx
Según la definición 3b) se tiene )(,0 εε N∃>∀ tal que
ε<− 010 x siempre que Nx −<
Determinamos )(εN partiendo de εε <⇒< xx 1010 (pues 010 >x ) ; luego
εlog<x (1) Siendo Nx −< y por (1) debe tomarse εε loglog −=⇒=− NN EJEMPLO 91)
Hallar )(εN si 311
2lím =+++∞→ xx
x
Según la definición 3a) se tiene ε<−++
311
2x
x siempre que Nx >
Determinamos )(εN ; entonces 1
21
21
)1(2221
2311
2+
=+−
=+
+−=−
+=−+
+ xxxxx
xx
xx
Luego εε
εε 212
21
21
2>⇒>⇒<<
+⇒<
+xx
xxx (1)
Siendo Nx > comparando con (1) debe tomarse ε2
=N
Ejercicios propuestos *** Hallar )(εN y demostrar los siguientes límites***
379) 11−=
−+∞→ x
xlimx
380) 01
12
=−
++∞→ x
xlimx
381) 2213
−=−−∞→ x
limx
382) 0164
14163
2=
−++
+∞→ xxxlim
x 383) 2
1234=
−+
+∞→ xxlim
x 384) 0
11
2 =−−∞→ x
limx
385) 1/1 =+∞→
x
xelim 386) 121 =+
−∞→
x
xlim 387) 0
ln1
=+∞→ x
limx
388) 123)1/(1 =+
+∞→
x
xlim 389) 5
45
=−+∞→ xxlim
x 390) 01 =+−
+∞→xxlim
x
Límite Funcional
63
391) 012ln =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−∞→ xxlim
x 392) 0
2332ln 2
2=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
−++∞→ xx
xxlimx
393)32
1312=
−+
+∞→ xxlim
x
394) limx→+∞
( ) 02/1 =x 395) 111
3
3=
−
++∞→ x
xlimx
396) 22 =++∞→
xxx
eelim
397) eelim xx
x/1
22 /)1( =−
−∞→ 398) 93 /)21( =+
+∞→
xx
xlim 399) 0sen
=+∞→ x
xlimx
400) 1=+∞→
thxlimx
401) 0)() =+∞→
xflimax
0)() =−∞→
xflimbx
si ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
<
≥=
0;
0;5/1)(
xe
xxf
x
x
402) a) 1)( =+∞→
xflimx
1)() =−∞→
xflimbx
donde
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<+
≥+
=0;1
0;8
)(
2
2x
xx
xx
x
xf
CASO 4)
+∞=+∞→
)(lím) xfax
+∞=−∞→
)(lím) xfbx
∞−=+∞→
)(lím) xfcx
−∞=−∞→
)(lím) xfdx
Si los valores de la función crecen o decrecen según x tienda a +∞ o a ∞− , la función no tiene límite finito. Definición 4) 0>∀k arbitrario y suficientemente grande existe un 0>N que depende de k tal que )a kxf >)( siempre que Nx > kxfb >)() siempre que Nx −< kxfc −<)() siempre que Nx > kxfd −<)() siempre que Nx −< La siguiente figura ilustra el caso 4 a) y f f (x) k x N x Para un 0>k arbitrario queda determinado un 0>N tal que si Nx > entonces kxf >)(
Ejercicios resueltos EJEMPLO 92) Hallar )(kN y calcular N para 26999=k si −∞=−
+∞→
31lím xx
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
64
Según la definición )4c es )(,0 kNk ∃>∀ tal que kxf −<)( siempre que Nx >
Determinamos )(kN partiendo de 333 111 kxkxkx +>⇒+>⇒−<− (1)
Como Nx > , por (1) se requiere 3 1 kN += Si 26999=k entonces 30=N Esto significa que para 30>x los valores de la función son inferiores a 26999− ; es decir 269991 3 −<− x siempre que 30>x ¿Puede tomarse un NN >1 tal que se cumpla la definición? EJEMPLO 93) Demostrar que +∞=−
−∞→
xx
elím
Según la definición 4b) se tiene )(,0 kNk ∃>∀ tal que kxf >)( siempre que Nx −<
Determinamos )(kN de kxkxke x lnln −<⇒>−⇒>− Luego debe hacerse kN ln= para que se cumpla la definición. Demostración Siendo { k
xfekxkxNx x >⇒>−⇒−<⇒−< −
)(lnln
EJEMPLO 94) Determinar )(kN si ( ) +∞=+−
+∞→106lím 2 xx
x
Según la definición 4a) es )(,0 kNk ∃>∀ tal que kxf >)( siempre que Nx >
Partiendo de kxx >+− 1062 determinamos )(kN
( ) ( ) ⇒−>−⇒−>−⇒>+−⇒>+− 131313106 222 kxkxkxkxx
3113 +−>⇒−>−⇒ kxkx (1)
Siendo Nx > , por (1) se requiere 31 +−= kN EJEMPLO 95)
Halla )(kN si −∞=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
−∞→11lím 2x
x
Según la definición 4d) resulta )(,0 kNk ∃>∀ tal que kxf −<)( siempre que Nx −<
Determinamos N(k) de ( ) ⇒+>+⇒+>+⇒−<+− 2222 111111 kxkxkx
( ) ( ) ( ) 111111 22222 −+>⇒−+>⇒−+>⇒ kxkxkx
Como ∞−→x resulta ( ) 11 2 −+−< kx (1)
Siendo Nx −< , por (1) debe tomarse ( ) 11 2 −+= kN EJEMPLO 96)
Si 200=k , qué valores de x deben tomarse para que se cumpla +∞=+
+∞→ xx
x
12lím2
Por definición 4a) se tiene )(,0 kNk ∃>∀ tal que kx
x>
+12 2 si Nx >
Límite Funcional
65
Entonces 2
21212 2 kxkxx
xx
x>⇒>>+=
+
Luego basta tomar 2kN = para que se cumpla la definición. Si 200=k resulta que 100=N ; esto es
20012 2>
+x
x siempre que 100>x
EJEMPLO 97) Hallar )(kN si +∞→xcosh cuando ∞−→x
Siendo 2
coshxx eex
−+= se tiene por definición 4b) )(,0 kNk ∃>∀ tal que
kee xx>
+ −
2 siempre que Nx −<
Entonces
)2ln()2ln(222
kxkxkekeee xxxx
−<⇒>−⇒>⇒>>+ −
−−
(1)
Siendo Nx −< y comparando con (1) debe tomarse )2ln( kN =
Ejercicios propuestos *** Hallar )(kN y demostrar los siguientes límites *** 403) +∞=
+∞→
32xlimx
404) ( ) −∞=+−∞→
15xlimx
405) ( ) −∞=+−∞→
14xlimx
406) ( ) −∞=−+∞→
xlimx
72 407) ( ) +∞=+−∞→
21xlimx
408) +∞=+−
+∞→ 112
xxlim
x
409) +∞=+−
++∞→ 42
82
3
xxxlim
x 410) −∞=
+++++
−∞→ xxxxxlim
x 21331
2
23 411) ( ) −∞=−
+∞→
41 xlimx
412) +∞=−
−++∞→ 2
322
xxxlim
x 413) +∞=
+∞→
x
xlim 100 414) +∞=
−+∞→ 1101
xxlim
415) +∞=+∞→
xlimx
ln 416) +∞=−∞→
2ln xlimx
417) ( ) −∞=−+∞→
xelimx
ln
418) +∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+∞→
x
xlim
57 419) ( ) −∞=++−
−∞→333 23 xxxlim
x 420) +∞=
−+
+∞→ 312
xxlim
x
421) a) +∞=+∞→
)(xflimx
b) +∞=−∞→
)(xflimx
si ⎪⎩
⎪⎨⎧
≤
>=
0;)10/1(
0;ln)(
3
x
xxxf
x
422) a) +∞=+∞→
)(xflimx
b) −∞=−∞→
)(xflimx
si ⎪⎩
⎪⎨⎧
≤>
=0;3
0;4/)(2
xxxxxf
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
66
Ejercicios varios *** Resolver ***
423) 24
13...852lím
nn
n
−+++++∞→
Nn∈ 424) n
n
n 212.3...1263
lím1
−
++++ −
+∞→ Nn∈
*** Hallar a y b tal que se cumplan las siguientes igualdades***
425) 111lím0
−=+−
→ xax
x 426)
21
424lím
0=
−+→ x
axx
427)21
324lím
2
0=
−++→ x
bxaxx
y 13
24lím2
=−++
+∞→ xbxax
x
428) ( ) ( ) 32
824lím 2
23
2=
−−
−−+−−→ xx
xbxaxx
y ( ) ( ) 02
824lím 2
23
1=
−−
−−+−−→ xx
xbxaxx
429) ( )511lím
2=++
++∞→
bxx
xax
430) 322 =−−++∞→
bxxaxxlimx
y 322 −=−−+−∞→
bxxaxxlimx
*** Hallar t , tal que se verifiquen las siguientes condiciones ***
431) 05
3lím >+→ xtx
432) 05
14lím <−
→
xtx
433) ( ) 122lím 2 >−−→
xxtx
434) ( ) 335lím <+−→
xtx
435) 01214lím ≤
−+
→ xx
tx 436) 0
16lím
2≥
−−−
→ xxx
tx 437) ( ) 21lím <−+
→xx
tx
438) ( ) 2)1(512lím −=+−+→
xxtx
***Hallar los valores de m y n para que existan los siguientes límites ***
439) )(1
xflimx→
; siendo ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
<+
≥+=
1
123)( 2 xsimx
xsimxxf
440) )(1
xflimx→
y )(4
xflimx→
; siendo ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−
<≤+<+−
=
4412
1)(
21 xsixm
xsinxmxsixnm
xf
*** Evaluar h
xfhxflimh
)()(0
−+→
***
441) 3)( 2 −= xxf 442) 12
)(−
=xxxf 443) xxf sen)( = 444) xexf =)(
*** Proponer una fórmula para )(xf y )(xg tales que cumplan las siguientes condiciones***
445) 5)(2
=→
xflimx
446) +∞=+→
)(2
xflimx
447) −∞=−→
)(2
xflimx
Límite Funcional
67
448) 5)()(2
=→
xgxflimx
449) 1)( =+∞→
xflimx
450) 1)( =−∞→
xflimx
451) −∞=+∞→
)(xflimx
452) −∞=−∞→
)(xflimx
453) ( ) 100)()( −=++∞→
xgxflimx
454) ( ) +∞=−+∞→
1)(xglimx
455) +∞=+−∞→
)(1 xflimx
456) +∞=+
−∞→ 2)(3)(2 xgxflim
x
457) −∞=+→
)()(2/1
xgxflimx
458) +∞=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−→ )(1)(
0 xgxflim
x 459) 30)( )(
0=
+→
xg
xxflim
460) 0)( )(
0=
+→
xg
xxflim 461) +∞=
+→
)(
0)( xg
xxflim 462) −∞=+
→ +
1)(
0)( xg
xxflim
*** Calcular el límite de la función )(xf en los siguientes casos***
463) 01)(
1=
−+→ xxflim
x 464) +∞=
−→)(2
0xfxlim
x 465) )()(0)( xfxxusielim xu
x−−==
−∞→
466) ( ) +∞=+−−→
)(2)1ln(1
xfxlimx
467) ( )21)(2 =+
+∞→xfxxlim
x 468) −∞=−
−∞→ )(1)21log(xf
xlimx
***Determinar*** 469) un valor de N tal que si Nx > entonces 33741 3 −<− x
470) los valores de x próximos a 5 tales que si 169)( 2 −= xxf resulte 100
1144)(100
1144 +−<<−− xf
471) los valores de x próximos a 3 tales que 100003
1>
−x
472) un valor de N tal que si Nx > entonces ( )3,212
5∈
−xx sabiendo que el límite de
125−xx es
25
473) un δ tal que 600148
<+− xx
x siempre que δ<−< 40 x
474) si se cumple ε<−92x tal que si δ<−< 30 x con 1≤δ ; 21≤δ y 100
1≤δ
475) si puede tomarse εδ = para que se cumpla ε<− x1sen si δ<< x0
476) un δ que dependa de ε tal que si δ<< x0 entonces ε<− x1senh *** Proponer una fórmula de la función )(xf en los siguientes casos***
477) εε<−⇒<−< 4)(
520 xfx 478) εε <+⇒<−< 1)(10 2 xfx
479) εε <−⇒−<−< + 1)(10100 1 xfex 480) ( ) εε <−⇒−+<< 8)(38log0 2 xfx
481) kxfk
x >⇒<< )(104
482) kxfk
x −<⇒+
<−< )(1
110
483) ε<⇒> )(xfex m donde ε31
=m 484) εε
<−⇒−< 1)(1 xfx
485) kxfkx >⇒> )(ln21 486) kxfkx >⇒−> )(1002
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
68
4- Continuidad
4.1 Función continua en un punto y en un intervalo Continuidad en un punto Cuando la gráfica de una función sufre un salto o una interrupción en un punto se dice que la función es discontinua en ese punto. Lo dicho anteriormente es una idea intuitiva ; para precisar este concepto es necesario que se cumplan ciertas condiciones. La función )(xf es continua en el punto ax = si y solo si 1) Existe )(af
2) Existe )(xflimax→
3) )()( afxflimax
=→
Si algunas de estas 3 condiciones no se cumplen entonces la función no es continua en ax =
Ejercicios resueltos EJEMPLO 1)
La función 24)(
2
+−
=x
xxf es discontinua en 2−=x pues )2(−f no existe .
Observa que la gráfica se interrumpe cuando 2−=x y -2 x -4 EJEMPLO 2)
La función ⎪⎩
⎪⎨⎧
≤−
>+=
1
11)( 2 xsix
xsixxf es discontinua en 1=x pues si bien existe )1(f , no se cumple la
segunda condición ; es decir )(1
xflimx→
no existe. Observa que 2)(1
=+→
xflimx
y 1)(1
−=−→
xflimx
y 2 -1 x
1
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
70
EJEMPLO 3)
La función ⎩⎨⎧
=−≠−
=31
342)(
xsixsix
xf es discontinua en 3=x pues no se cumple la tercera condición ;
esto es )3()(3
fxflimx
≠→
pues 2)(3
=→
xflimx
y 1)3( −=f
y -1 x -4 EJEMPLO 4)
La función ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠−−
=13
111
)(
3
xsi
xsix
xxf es continua en 1=x pues
1) Existe 3)1();1( =ff 2) Existe )(
1xflim
x→ ya que 3)(
1=
+→xflim
x y 3)(
1=
−→xflim
x
3) )1()(1
fxflimx
=→
EJEMPLO 5
Estudiar la continuidad de la función ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+
<≤+<
=
22
20130cos
)(
xsix
xsixxsix
xf en 0=x y en 2=x
Siendo 1)()0(
0==
→xflimf
x ; resulta que )(xf es continua en 0=x
Siendo 7)(2
=−→
xflimx
y 2)(2
=+→
xflimx
se tiene que no existe el límite de )(xf cuando 2→x ; luego
la función es discontinua en 2=x Clasificación Las discontinuidades se clasifican en • eliminables, llamadas también evitables • esenciales, llamadas también no evitables Son eliminables aquellas cuyas funciones tienen límite finito ; es decir existe )(xflim
ax→. En este
caso se vuelve a definir la función transformándola en continua. Las funciones que no tienen límite finito presentan una discontinuidad esencial en el punto considerado. EJEMPLO 6)
La función del ejemplo 1) 24)(
2
+−
=x
xxf es discontinua eliminable en 2−=x pues
0)(;0)(22
==−+ −→−→
xflimxflimxx
. Luego 0)(2
=−→
xflimx
3
Continuidad
71
Se debe ahora definir nuevamente la función para que sea continua ; esto se logra haciendo que el valor del límite coincida con el valor de la función en 2−=x
Entonces definimos ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−≠+−
=20
224
)(
2
xsi
xsix
xxg
)(xg es continua en 2−=x pues cumple con las tres condiciones dadas 1) Existe ;)2(−g 0)2( =−g 2) Existe 0)(;)(
22=
−→−→xglimxglim
xx
3) )2()(2
−=−→
gxglimx
EJEMPLO 7) La función del ejemplo 2) es esencial en 1=x pues no existe el límite de )(xf cuando 1→x EJEMPLO 8) La función del ejemplo 3) es eliminable en 3=x pues existe el límite de )(xf cuando 3→x
Definimos entonces ⎩⎨⎧
=≠−
=32
342)(
xsixsix
xu
EJEMPLO 9)
La función ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠−=
11
11
1)(
xsi
xsixxf presenta una discontinuidad esencial en 1=x pues +∞=
+→)(
1xflim
x y
−∞=−→
)(1
xflimx
; por lo tanto no existe )(1
xflimx→
EJEMPLO 10) La función x exf =)( presenta una discontinuidad esencial en 0=x
Siendo xx eexf /1)( == resulta que )0(f no existe ; además +∞=+→
)(0
xflimx
y 0)(0
=−→
xflimx
. Luego
)(0
xflimx→
no existe.
EJEMPLO 11) La función ( )xxf /1sen)( = es discontinua esencial en 0=x pues no existe )0(f ni el límite de
)(xf cuando 0→x ¿ Para que valores de x la función seno toma valores alternados 1 y -1 ? EJEMPLO 12)
Hallar el valor de m y k para que la función ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+<−
>+−
=2326
213
)( 2
xsikxsix
xsimx
xf sea continua en 2=x
Se analizan las condiciones correspondientes. 1) Existe );2(f 3)2( += kf 2) Existe el )(
2xflim
x→ ; esto es mxflim
x−=
+→7)(
2 y 2)(
2−=
−→xflim
x
Luego debe hacerse )()(22
xflimxflimxx −+ →→
= ⇒ 27 −=−m ⇒ 9=m
3) )2()(2
fxflimx
=→
; entonces 32 +=− k ⇒ 5−=k
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
72
Continuidad en un intervalo Una función )(xf es continua en un intervalo ( )ba, si es continua en todos los puntos del mismo. Una función )(xf es continua en un intervalo [ ]ba, si lo es en ( )ba, y además
)()( afxflimax
=+→
y )()( bfxflimbx
=−→
Análogas definiciones resultan para intervalos [ )ba, , ( ]b,∞− , etc. EJEMPLO 13) La función ( )29ln)( xxf −= es continua en ( )3,3− pero no lo es en [ ]3,3− pues )3(−f y
)3(f no existen.
EJEMPLO 14) La función 225)( xxf −= es continua en [ ]5,5− ya que lo es en ( )5,5− y además 0)5()(
5=−=
+−→fxflim
x y 0)5()(
5==
−→fxflim
x
EJEMPLO 15) La función xxf += 4)( es continua en [ )∞+− ,4 pues es continua en ( )+∞− ,4 y además 0)4()(
4=−=
+−→fxflim
x
EJEMPLO 16) La función ⎪⎩
⎪⎨⎧
<<−<≤+
=011
201)(2
xsixsixxf es continua en ( )2,1− por que lo es en todo
punto del intervalo. Verifica para 0=x . Construye una gráfica de )(xf
EJEMPLO 17) La función ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<−−
=+≤<−
=
011
01108
)(2
3
xsix
xsixxsix
xf no es continua en ( ]1,1− pues en 0=x es
discontinua. Verifica y representa gráficamente.
EJEMPLO 18)
¿ Para qué valores de x , 22
1)( 23 −−+=
xxxxf es discontinua ?. Halla los intervalos de continuidad.
La función es discontinua en 1,2 −=−= xx y 1=x pues no existen )1(,)2( −− ff y )1(f La función es continua en los intervalos ( );2,−∞− ( );1,2 −− ( )1,1− y ( )+∞,1
Ejercicios propuestos ***Determinar si existen puntos de discontinuidad***
1)4
3)(+
=x
xf 2) 1
)(2 +
=x
xxf 3) xx
xxf3
)( 2 −= 4)
2
114)( ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
xxxf
5) 2045
1)(23 +−−
=xxx
xf 6)45
1)(24 +−
+=
xxxxf 7) xexf /1)( −= 8) )1/(12)( −= xxf
9) 2ln)( xxf = 10) )1ln()( 2xxf −= 11) xxxf secsen)( −= 12) xxf tg1)( +=
13) xxf cos1)( += 14) ecxxf cos)( = 15) [ ]xxf =)( 16) [ ] xxxf −=)(
17) echxxf cos)( = 18) ( )xxf lnsen)( = 19) thxxf =)( 20) xxf 1senh)( −=
21)⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+=−<−
=01
0101
)(xsix
xsixsix
xf 22)⎪⎩
⎪⎨⎧
>−
≤−+=
11
11)(
3
2
xsix
xsixxxf
Continuidad
73
***Determinar los puntos de discontinuidad y clasificar en eliminables (evitables) o esenciales (no evitables)***
23) 54
5)(2 −+
+=
xxxxf 24)
nnnnnnf
232)(
23
2
−+
−−= 25)
674)(
3
2
+−
−=
xxxxf
26) 6116
1)(23
3
+++
+=
uuuuuh 27)
8212)(
2
2
−−
+−=
xxxxxh 28)
241)(
xxxf
+=
29) x
xu 19)( −= 30) x
xgcos
1)( = 31) 11
)(−
−=
xx
xg
32) xexf /1)( = 33) [ ]xxf =)( 34) αα tg)( =f 34) xx
xx
eeeexu−
−
−
+=)(
35) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=>+
<=
0303
02)(
xsixsix
xsixf 36)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−
<−=
21
22
1)(
2 xsix
xsixxh 37)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≠+−
−==
8864
81)( 2
xsix
x
xsixg
38) 1010)(
/1
/1
+
−=
u
u
eeuf 39)
xexh
/11)( = 40)
uuh 1ln)( = 41) ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
+=
xxxxf
21ln)(
42) x
xxf sen)( = 43) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
xxxf πsen)( 2 44) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
πxxf 2cos)( 45) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
xxxxf 102cos)( 2
46) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−+=
22 21sen)(
ππxxxu 47) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
xxxf πsensen)( 48) x
xxg cos1)( =
49) ( ) γγ tg2=f 50) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= −
tth t 1sen10)(
2/1 51) ( )β
β1sen
1−
=u
52) ⎪⎩
⎪⎨⎧
≠−
==
11
110
)(xsi
x
xsixf 53)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<<−
≤
=xsixxsix
xsi
xf44
419
13
)( 2
54) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
≤−=
02
)16(ln
0)2cos()(
3
3
2
xsix
x
xsixxxg 55)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−
≤=
−
017
0)(
1
xsix
xsiexh x
x
56) 32 16
)sen()(
−=
xx
xfπ
*** Determinar los valores de k y m según corresponda, para que las funciones sean continuas ***
57) ⎪⎩
⎪⎨⎧
≤>
=22)(
3
xsikxxsixxf 58)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−
=>+
=
31
3342
)(2 xsix
xsikxsimx
xf 59)
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−<−=−
−>+
=16
1
1914
)( 2
xsikxsixx
xsimxk
xf
60) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
≠−−
=21
22
4)(
2
xsik
xsix
xxf 61)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠−−
=
16
111
)(2
3
xmx
xsix
xxf 62)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠+
=+ 04
02
)1ln()(
1 xsi
xsix
xxf
k
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
74
63) ⎪⎩
⎪⎨⎧
≠−
==
0cos10)4cos(
)(xsi
xx
xsimxf 64)
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
<−
=−+
>⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+ 02
015
03sen
2
xsik
xsixk
xsix
x
xm
65)
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
≤<−
>+
=
0100log
5051
512
)(
xsix
xsix
xsikx
xfm
66)
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+
<−−
>−
=
374
339
32
)(2
tsimk
tsit
t
tsimk
tf
*** Determinar si existe “ c “ en los siguientes intervalos *** 67) 856)( 23 −++= xxxxf ; 4)( =cf ; [ ]2,1−∈x 68) 103)( 2 −+= xxxf ; 0)( =cf ; [ ]3,0∈x
69) 3)( 24 −−= xxxf ; 9)( =cf ; [ ]3,1∈x 70) ( )5213)( += xxf ; 32
1)( =cf ; [ ]1,1−∈x
71) 2
12)(2 +
=x
xf ; 4)( =cf ; [ ]23
31 ,∈x 72) )2/tg()( xxf = ; 1)( =cf ; [ ]4
33 , ππ∈x
***Determinar si las siguientes ecuaciones admiten alguna solución en los intervalos indicados*** 73) 125 =+ xx en [ ]2
1,0 74) 043
21 =+ +
−+−
xx
xx en [ ]3,1
***Demostrar si***
75) 31sen
=x
x para algún ( )π,0∈x 76) 101cos1
=−
xx para algún ( )π,0∈x
***Hallar los valores de k que aseguren la existencia de una solución para la siguientes ecuaciones en los intervalos indicados*** 77) 4123 =−+ xkx en [ ]1,1− 78) 016
112 =−
x en [ ]2,k
***Sean⎩⎨⎧
<≥
=121
)(xsixsix
xf y ⎩⎨⎧
<≥
=112
)(xsixxsi
xg ¿son verdaderas las siguientes afirmaciones?***
79) f y g son discontinuas en 1 pero el producto gf es una función continua en 1 80) gf + es continua en 1 y gf − es discontinua en 1 *** Escribir una función discontinua en los puntos indicados*** 81) 01 =x 12 =x 13 −=x 82) 21 =x 32 =x 83) 21 xx −= 2
11 =x 3
23 xx = 84) π=1x ***Probar que )(xf es continua para todo x real*** 85) 14)( −= xxf 86) xxf 2)( = *** Definir, si es posible, las siguientes funciones para que sean continuas en 0x ***
87) 8
64)(−
−=
xxxf 640 =x 88)
xexf
x
31)( −
= 00 =x
89) 11)(
15
−−
=x
xxf 10 =x 90) 1
ln)(−
=x
xxf 10 =x
5- Diferenciación 5.1 Derivada de una función Derivada por definición Sea una función f x( ) continua, si a la variable x se la incrementa en ∆ x , el valor de la función se incrementa en ∆ y como se observa en la siguiente figura y f f( xx ∆+ ) y∆ f(x) x∆ x xx ∆+ x Se define derivada de la función )(xfy = con respecto a x , al límite, si existe, del cociente
incremental xy
∆∆ cuando 0→∆x y se simboliza )(xf ′ ; esto es
0lím)(→∆
=′x
xfxy
∆∆
donde )()( xfxxfy −∆+=∆ El proceso que permite el cálculo de la derivada se llama diferenciación. Una función es diferenciable en un punto x de su dominio si tiene derivada en ese punto.
Ejercicios resueltos EJEMPLO 1) a) Hallar la derivada de la función xxxf += 22)( utilizando la definición. b) Determinar si es diferenciable en 1−=x y en 0=x
a) Por definición resulta xyxf
x ∆∆
=′→∆ 0
lím)(
)()( xfxxfy −∆+=∆
( )( ) ( )xxxxxxy +−∆++∆+=∆ 22 22
Operando es 224 xxxxy ∆+∆+∆=∆ ⇒ ( )xxxy ∆++∆=∆ 214
El cociente incremental es ( ) xxx
xxxxy
∆++=∆
∆++∆=
∆∆ 214214
Luego xyxf
x ∆∆
=′→∆ 0
lím)( 14)214(lím0
+=∆++=→∆
xxxx
Observa que la función 14)( +=′ xxf deriva, o se deduce de xxxf += 22)( según la definición dada. b) La función es diferenciable en 1−=x y en 0=x pues
31)1(4)1( −=+−=−′f y 110.4)0( =+=′f
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
76
EJEMPLO 2) Hallar la derivada de xxf =)( en 3=x
Por definición se tiene xyxf
x ∆∆
=′→∆ 0
lím)( donde )()( xfxxfy −∆+=∆
Si 3=x resulta: xxf
x ∆−∆+
=′→∆
33lím)3(0
Resolviendo la indeterminación es 32
1)3( =′f
¿Es diferenciable xxf =)( en 0=x ? EJEMPLO 3)
Hallar si existe la derivada de ⎪⎩
⎪⎨⎧
<+
≥+−=
14
183)( 2 xsix
xsixxf en 1=x
La función está definida por secciones; se calculan entonces las derivadas laterales en 1=x
La derivada lateral derecha es: xy
xfx ∆
∆=′
+→∆+
0lím)(
( ) 35813lím)1()1(lím)1(00
−=∆
−+∆+−=
∆−∆+
=′++ →∆→∆
+ xx
xfxff
xx
La derivada lateral izquierda es: xy
xfx ∆
∆=′
−→∆−
0lím)(
( ) 2541lím)1()1(lím)1(2
00=
∆−+∆+
=∆
−∆+=′
−− →∆→∆− x
xx
fxffxx
Observa que )1()1( −+ ′≠′ ff , luego la función no es diferenciable en 1=x Nota que la función es continua en 1=x como lo ilustra la gráfica pero no es diferenciable en ese punto. y 1 x
Diferenciación
77
Ejercicios propuestos *** Determinar la derivada de las siguientes funciones utilizando la definición***
1) 5=y 2) xy = 3) 125 += xy 4) 24xy = 5) xxy −= 3 6) x
y 1=
7) 5442
−−
=xxy 8) 1+= xy 9) xy ln= 10) xey = 11) xy sen= 12) xy cos=
***Determinar si existen las derivadas de las funciones en los puntos indicados. Calcular +′f y −′f 13) 1−= xy en 1=x 14) 1+= xy en 1−=x 15) xy = en 0=x
16) 3 2xy = en 0=x 17) ⎩⎨⎧
>+−≤−
=42
42xsix
xsiy en 4=x 18)
⎩⎨⎧
≥−<
=02
04xsix
xsixy en 0=x
Reglas de diferenciación y tabla de derivadas elementales Reglas a) fcy .= ⇒ fcy ′=′ . b) Regla de la suma algebraica gfy ±= ⇒ gfy ′±′=′ c) Regla del producto fgy = ⇒ gfgfy ′+′=′
d) Regla del cociente gf
y = ⇒ 2g
fggfy
′−′=′ ; 0≠g
e) Regla de la cadena )(ufy = ∧ )(xgu = ⇒ )(.)( xuufy ′′=′ Tabla de derivadas y y ′ y y ′ y y ′
c 0 x1sen − 21/1 x− x1senh − 21/1 x+ nx 1−nnx x1cos− 21/1 x−− x1cosh − 1/1 2 −x
xblog ex blog1 x1tg − )1/(1 2x+ xth 1− )1/(1 2x−
xln x1 xg 1cot − )1/(1 2x+− x1coth − )1/(1 2x−
xc cc x ln x1sec− 1/1 2 −xx xh 1sec − 21/1 xx −− xe xe xec 1cos − 1/1 2 −− xx xech 1cos − 21/1 xx +−
xsen xcos xsenh xcosh xcos xsen− xcosh xsenh
xtg x2sec thx xh 2sec
gxcot xec 2cos− xcoth xech2cos− xsec xx tgsec hxsec thxhx .sec− ecxcos gxecx cotcos− echxcos xechx coth.cos−
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
78
Ejercicios resueltos EJEMPLO 4) Hallar las derivadas de las siguientes funciones.
a) 352 ++−= xxxy b) xxy sen4ln −= c) 8212 +−= xy x d) xxxy senh5logsen 1 ++= −
a) x
xy2
152 +−=′ b) xx
y cos41−=′ c)
212ln2 −=′ xy d) xe
xxy cosh5log1
1
12
++−
=′
EJEMPLO 5) Hallar las derivadas aplicando la regla del producto. a) xxy ln3 4= b) xy x sen4= c) xxy senh)35( −=
a) x
xxxy 13ln12 43 +=′ b) xxy xx cos4sen4ln4 += c) xxxy cosh)35(senh5 −+=
EJEMPLO 6) Hallar las derivadas utilizando la regla del cociente.
a) 4
2
31
xxy −
= b) xy tg= c) xxy ln
=
a) 24
324
)3(12)1()3(2
xxxxxy −−
=′ ; efectuando operaciones y simplificando, se obtiene 5
2
3)2(2
xxy −−
=′
b) xxxy
cossentg == ; luego
xxxxx
y2cos
)sen(sencoscos −−=′ operando se obtiene xy 2sec=′
c) 2
1.ln1
x
xxxy
−=′ ; operando se obtiene
2ln1
xxy −
=′
EJEMPLO 7) Hallar las derivadas utilizando la regla de la cadena.
a) )32sen( 2 +−= xxy b) ( ) 104 3−
+= xxy c) 24xey = d) ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
xxxy12
2tg2
a) )22()32cos( 2 −+−=′ xxxy b) ( ) )34(310 3114 ++−=′−
xxxy c) xey x 824=′
d) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=′
2
222
)12(12)2()12(2
122sec
xxxx
xxy ; operando se obtiene ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=′
2
222
122
122sec
xx
xxy
Ejercicios propuestos *** Hallar las derivadas de las siguientes funciones***
19) 12 810 +−= xxy 20) xy −= 1 21) 1000
1=y 22) 10cosln +−= xxy 23) naxy
21
=
Diferenciación
79
24) xxy 53 += 25) xxy 32 loglog −= 26) 7)10(2 += xy 27) xxxy 253 +−=
28) 2
321 ++ −=
nn xxy 29) xy cos1−= 30) xy 1cos1 −+= 31) 1cosh += xy
32) xxy 11 coshsenh −− −= 33) xxxy 10senln5 −+= 34) xey thx −= −1 *** Hallar las derivadas de las siguientes funciones empleando la regla del producto***
35) xxy cos3= 36) xyx
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=101 37) xxy 23 log.log4= 38) xxy sen5=
39) xxy cosh= 40) 53 +−= an xxy 41) pxxy /1.ln= 42) xxy senh)3( +=
43) xxy 1sen −= 44) xxy 1cos−= 45) xxy 1senh −= 46) xxy 1cosh −=
47) xxy ln= 48) xxy ln2−= 49) xxxy cosln2= 50) xxy x log2= *** Hallar las derivadas de las siguientes funciones empleando la regla del cociente***
51) 322
+−
=x
xy 52) x
y 1= 53)
xxy cos
= 54) xy sec=
55) x
kyx
ln= 56)
103xey
x= 57)
xx
ysen
log 2= 58) xg
xyn
cot
1−=
59) xaxay
−
+= 60)
xxy
sen1sen1
−+
= 61) x
xy10.2
3= 62) thxy =
63) x
xy
1tg −
= 64) x
xy1sec−
= 65) xxy
cosh1cosh1
−+
= 66) x
xthy
1−=
*** Hallar las derivadas de las siguientes funciones utilizando la regla de la cadena*** 67) ( )532 53 xxxy +−= 68) 3 2 32 +−= xxy 69) xxy 2)3( 2 ++=
70) ( )1ln 810 +−= xxy 71) ( )xxy sen1ln 32 +−= 72) ( )1cos 3 −= xy
73) 1sec −= xy 74) xxy −−=2
3 75) 2)1( += xey 76) 3
1−+
= xx
ey
77) 10log⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=x
xy 78) xy 1sen −= 79) )4(tg 1 xy −= 80) 31 )1(senh −= − xy
81) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
xthy 11 82) )2sen( xey =
Diferenciación logarítmica
Ejercicios resueltos EJEMPLO 8) Obtener la derivada de xxy 3= 0>x
La función propuesta es de la forma )()( xgxfy = donde 0)( >xf . Para obtener la derivada utilizamos un método llamado diferenciación logarítmica; éste consiste en aplicar logaritmos y derivar en ambos
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
80
miembros de la función dada. Entonces xxy 3lnln =
xxy ln3ln = (1) Derivando la (1), y teniendo en cuenta que y depende de x resulta:
xxxy
y13ln31
+=′
( )yxy 3ln3 +=′
( ) xxxy 31ln3 +=′
Ejercicios propuestos *** Hallar las derivadas, empleando logaritmos*** 83) xxy sen= 84) xxy 5)1( += 85) xxy = 86) 12 2
)3( −−= xxxy
87) xxy ln)tg1( −= 88) ( ) xxeysen
2+= 89) x xxy /1 3 −= 90) ( )xxy 1tg −=
91) xxy cosh.log= 92) xey x senh= 93) 3
24xxy +
= 94) x
xy1senh −
=
95) ( )uxey 12 += − ; xeu = 96) uxy = ; xxu = 97) ( )xxy 1cosh −=
98) ( ) 21cot
xxhy −= 99) )3ln( 2 xxxy −= 100)
xxy =
Derivada de la función implícita
Ejercicios resueltos EJEMPLO 9) Determinar la derivada de 0),( =yxF , siendo )(xfy =
a) 0222 =−+ rxy ; r constante b) 0524 =−+ yxyx Al derivar tenemos en cuenta que y depende de x ; entonces
a) 022 =+′ xyy ⇒ yxy −=′
b) 0524 423 =′−′++ yyyxyyxproductodelregla43421
; operando se obtiene 4
23
524
yxyyxy
−
−−=′
Ejercicios propuestos *** Derivar las funciones dada implícitamente***
101) 0=+− bmxy 102) 022 =−+ xyyx 103) 03 =+− xyyx 104) ( ) xxy =−
2
105) 52 ln yxx −= 106) )sen( yxy += 107) 10)sen( 22 += xyx 108) 212 xyx +=+
Diferenciación
81
Derivadas sucesivas Si una función )(xfy = es diferenciable entonces la derivada es la función )(xf ′ . A su vez si
)(xf ′ es diferenciable, resulta la derivada segunda de )(xf o de orden 2 que se escribe )(xf ′′ . Esto puede extenderse sucesivamente, suponiendo la diferenciabilidad de cada una de las derivadas obtenidas. La derivada de orden n se indica ( ) )(xf n .
Ejercicios resueltos EJEMPLO 10) Hallar la derivada segunda de 13)( 24 +−= xxxf La derivada primera es xxxf 212)( 3 −=′
Para obtener la derivada segunda de )(xf se halla la derivada de )(xf ′ ; esto es 236)( 2 −=′′ xxf EJEMPLO 11) Hallar los valores de x tales que 04)().()(4 =+′′′′+′′ xfxfxf si xxf sen)( = Calculamos las derivadas xxf cos)( =′ ; xxf sen)( −=′′ ; xxf cos)( −=′′′ Reemplazando en el ejercicio propuesto es 04)cos(cos)sen(4 =+−+− xxx
Operando, se obtiene 03sen4sen2 =+− xx
Resolviendo la ecuación trigonométrica resulta 1sen =x ⇒ ππ kx 22+= con Zk ∈
Ejercicios propuestos *** Determinar las derivadas según el orden que se indica*** 109) 5xy = ; evaluar )2(y ′′ 110) xy ln3= ; hallar )(xy ′′ 111) 12 += xy ; evaluar )1(−′′y
112) 1+= xy ; hallar )(xy ′′′ 113) x
xycos
4= ; hallar )(xy ′′ 114)
4xey = ; evaluar )2(y ′′
115) xy cos= ; hallar )()5( xy 116) xy sen= ; evaluar )( 2)6( πy 117) xxy ln= ; hallar )()4( xy
118) 3
5xy = ; hallar )()10( xy 119) xxy cossen= ; hallar )(xy ′′ 120) xy senh= ; hallar )()50( xy
121) xxey = ; hallar )(xy ′′ 122) xexy −= 2 ; hallar )(xy ′′ 123) 012 2 =+− xy ; hallar )(xy ′′
124) 0ln =− xy ; hallar )(xy ′′ 125) xy =cos ; hallar )(xy ′′ 126) 0sen =− xxy ; hallar )(xy ′′
Ejercicios varios *** Derivar las siguientes funciones combinando las reglas convenientemente*** 127) ( ) 23 sen24
−+−= xxxy 128) 12 )( −−= xxy 129) 5)3ln(5)3sen(5 −+= xxy
130) 311
+
−=
xxy 131) )tg(ln)ln(tg xxy += 132) ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+−
=104
12sen2
xxxy
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
82
133) 1++= xxy 134) x
xy2ln5
= 135) )5sen()10(tg 2
xx
y = 136) )10cos()4sen( xxy =
137) 2/
)2/(sen 3
xxy = 138) ( )xxy 55
3 cossenlog −= 139) )(cot)tg( hxghxy ++=
140) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 11sen
xy 141) ( )xxy 32log += 142) ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
bay
xlog 143) ( )13ln 2 +−= xxy
144) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++= 3 2 210ln xxy 145) ( )1ln3 4 += xy 146) )(secln52 xxy =
147) ( ) )3cos(ln 24 xxxy = 148) r
n
xxy 1−
= 149) x
xy61
53 2
−
−= 150) 5 3
211 x
xy +=
151) x
xy sen= 152)
5
5
5
5
xa
axy += 153) ))2(ln(ln 3 xy = 154)
2)cosln(sec ecxx
y−
=
155) ( )10)2(tg −+= xay 156) 4
2 )10(cotx
xgy = 157) )4(cot)1( 3 xgxy +=
158) xxy
−
+=
11ln 159) xxy 32
10 −= 160) 52 +−= xexy 161) xey tg=
162) 1432 −= xxy 163)
xx
xy
+
+−
= 3
2
3
4 1 164) )sen(uxay = 165) x
x
aytg
=
166) x
nn
y −
−= 10
!)1(!
167) ( )xxy 32sen += 168) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
+=
x
x
eey
11ln 169) 13cos −= xecy
170) xxky cos= 171) xbxaky sencos += 172) xxky2ln= 173) !3
)ln(cos2
)1(x
ky −=
174) )2tg( xxy = 175) )4(sen2)1( xxy −= 176)
172
2
3
+−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=xx
xp
y 177) ( ) 5sen2tgx
xy =
178) x xy − −= 1 1 179) xx ececy 22
31
−+= 180) ( ))10/cos(110 xy x += 181) )ln(ln 2 xy =
182) ( )11 lnln −− −= xxy 183) 2log xy = 184) 10log 1+= xy 185) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
= −
21sen 1 xy
186) 31 1cos += − xy 187) )(tgtg 1 xy −= 188) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+
= −
xxy
sen1sen1cos 1
189) ( )2/sen 31 xy −= 190) )2/(sen 1 xay−
= 191) x
xy1
1
cos1cos−
− −=
192) ( ))/1(cosln 1 xy −= 193) xey1tg3 −
= 194) ))10(sen(sen 1 xey−
=
195) )(tgtg 1 xxy−
= 196) xxy tg1 )tg( −= 197) 3 cos 12 xy
−= 198) xxy 3))3(ln(=
199) uxy = ; x xu 1+= 200) ( )51 1sen53 xy += − 201) 3 2 13+
+−=x xxy
202) )coscos( 1 xy −= 203) )(lntg 1 xy −= 204) xky sen=
205) )4(sec 1 xy −= 206) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= −
xecy 1cos 1 207) xxy cosh.senh 5=
208) xx
xx
eeeey−
−
−
+= 209) xxxxy sen.coshcos.senh += 210) )ln(senh xky =
Diferenciación
83
211) xhky sec4= 212) ( )39cos 2 +−= xxechy 213) ( ) )5()3senh( xthxy =
214) ( ) xxy cos5coth1+= 215) thx
xy tg= 216) ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
+=
−
−−
xx
xx
eeeey 1tg
217) xxey cos.senh2= 218) x
xxy2
22
cossenhcosh −
= 219) ( )thxy += 1ln 2
220) ( )xy senhln= 221) ( )3 )2cosh(ln xy = 222) )4(1 xthy −=
223) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
= −
4231 xthy 224) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
= −
211
xxthy 225) xy 2senh 1−=
226) ( )1cosh 101 −= − xy 227) )4(cos)4(cosh
1
1
xxy
−
−
= 228) xy1coth10
−=
229) )8(sec 1 xhy −= 230) 21cos xechy −= 231) )4(senh 1 xxy−
=
232) ( ) )cos()senh( xxy ππ= 233)x
xyx
2
ln
sen= 234)
( ) 1lncos
+=
xxxy
***Analizar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones***
235) ⎪⎩
⎪⎨⎧
>≤−
=262104)(
2
xsixsixxf en 2=x 236)
⎪⎩
⎪⎨⎧
<−
≥=
32
3271
)(3
xsix
xsixxf en 3=x
237)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
≠+−
−−
=
5137
510173
103
)(2
2
xsi
xsixx
xx
xf en 5=x 238) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−≠++
−+=
11
1275
12)( 2
2
xsi
xsixxxx
xf en 1−=x
239) 2)( += xxxf en 2−=x 240) 462)( +−= xxf en 6=x
*** Sean )(xf y una función g derivable, calcular la derivada de fg o en 0x ***
241) 25)( xxxf −= ; xxg +=′ 10)( ; 20 =x 242) xxf ln)( = ; 3)( xxg =′ ; ex =0 ***Colocar verdadero o falso. Justificar ***
243) Existe )0(f ′ pero no )0(f ′′ ; siendo
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=<−
>
=00
0
0
)( 2
2
xsixsix
xsix
xf
*** Obtenga, si existen, los valores reales de a y b para que la función )(xf sea derivable***
244) ⎪⎩
⎪⎨⎧
≤−++
>++=
01
02)(
3
2
xsibxax
xsiaxxxf
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
84
5.2 Derivada y recta tangente Sea f una función continua, y sean los puntos p y q según se indica en la figura; la recta secante
S tiene pendiente xy
ms ∆∆
= . Si ∆x → 0, esto es si q p→ la recta S se aproxima a la recta T y el
valor límite mt representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto p. y S q T y∆ f p x∆ x x+ x∆ x Por lo visto, si el límite del cociente incremental cuando 0→∆x existe, es por definición la derivada de f x( ) ; luego
xyxfm
xt ∆∆
=′=→∆ 0
lím)(
y la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. Ecuaciones de la recta tangente y normal a una curva en un punto Sea una función )(xfy = continua y un punto ),( 11 yxp , la ecuación de la recta tangente en p está dada por
))(( 111 xxxfyy −′=− donde )( 1xf ′ es la pendiente correspondiente tm Como la recta normal es perpendicular a la recta tangente, la ecuación resulta
)()(
11
11 xx
xfyy −
′−=− ; 0)( 1 ≠′ xf
Ejercicios resueltos EJEMPLO 12) Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada por xxxf 4)( 2 −= en el punto de abscisa
1−=x Siendo 1−=x ⇒ 5)1( =−f ; luego el punto es )5,1(−p
Diferenciación
85
La ecuación de la recta tangente que pasa por un punto ),( 11 yxp está dada por ))(( 111 xxxfyy −′=− Siendo 42)( −=′ xxf ⇒ 6)1( −=−′f y considerando )5,1(−p , se tiene
)1(65 +−=− xy 16 −−= xy (ecuación de la recta tangente) La recta normal que pasa por ),( 11 yxp es la perpendicular a la recta tangente y la ecuación resulta
)()(
11
11 xx
xfyy −
′−=−
En nuestro caso se tiene
)1(6
15 +−
−=− xy
631
61
+= xy (ecuación de la recta normal)
EJEMPLO 13) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función )ln()( 2xxf = en )0,1(p Para calcular la pendiente tm de la recta se debe evaluar la derivada de )(xf en 1=x , aplicando las reglas de diferenciación resulta
xx
xxf 221)(
2==′ ⇒ 2)1( =′f
Luego la ecuación de la recta tangente es ))(( 111 xxxfyy −′=− )1(20 −=− xy
22 −= xy EJEMPLO 14) Para qué valor de x la función 12)( 2 −+= xxxf admite tangente horizontal Si la recta es horizontal, la pendiente tm es nula; luego 0)( =′ xf
022)( =+=′ xxf ⇒ 1−=x y x T EJEMPLO 15) Mostrar que la función 3 1)( −= xxg admite una tangente vertical en )0,1(p utilizando a) la definición b) las reglas de derivación .
a) Siendo xy
xgmxt ∆
∆=′=
→∆ 0lím)(
-1
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
86
xxgm
xt ∆−−∆+
=′=→∆
011lím)1(3
0+∞=
∆=
∆
∆=
→∆→∆3
203
30
1límlímxx
xxx
Como puede observarse )1(g ′ no existe pues el límite no es finito; luego la pendiente de la recta tangente en )0,1(p no está definida y la recta es vertical. b) Aplicando las reglas de derivación , se tiene
3 2)1(3
1)(−
=′x
xg ⇒ )1(g ′ no existe pues 1=x anula el denominador de esta última
expresión y es por ello que la recta tangente en el punto considerado es vertical EJEMPLO 16) Determinar si la gráfica de la función 3)( −= xxh admite una tangente en 3=x La gráfica de la función 3)( −= xxh no presenta tangente en 3=x pues
⎩⎨⎧
<+−≥−
=33
33)(
xsixxsix
xh
y siendo las derivadas laterales distintas, 1)3( =′+h y 1)3( −=′−h no existe derivada única en 3=x Luego no existe recta tangente en 3=x y 3 x EJEMPLO 17)
Hallar x tal que la recta tangente a la curva 1231)( 23 +−+= xxxxf forma un ángulo de
4πα = con el
eje de abscisas.
Siendo tm=αtg ⇒ 14
tg ==π
tm
Además )(xfmt ′= , luego 1222 =−+ xx
Entonces 0322 =−+ xx ⇒ 3;1 21 −== xx
Ejercicios propuestos
*** Determinar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva en el punto indicado*** 245) 3−= xy en 5=x 246) 12 −= xy en 3−=x 247) 3xy −= en 1−=x
248) 1)3( 2 +−= xy en 5=x 249) xy = en 9=x 250) )3ln( −== xyy en 4=x
251) )5sen( xy = en π=x 252) xey tg= en 0=x 253) 2
1x
y = en 21
−=x
254) 0cosh =− xy en 0=x 255) 422 =+ yx en 0=x 256) 3 12 +−= xy en 1−=x
257) 3 2xy = en 0=x 258) 14
22
=− yx en 2=x
Diferenciación
87
***Determinar en qué puntos las siguientes curvas tienen tangente horizontal***
259) xxy −= 2 260) 162 +−= xxy 261) x
xy−
=53
262) xy cos= 263) xexy 2= 264) 186 23 −+−= xxxy ***Determinar en qué puntos las siguientes curvas tienen tangente vertical*** 265) 533 ++= xy 266) 10−= xy 267) 11 −−= xy
268) 3 24 xy −= 269) 5 2 xxy −= 270) x
y 1=
*** Determinar***
271) los puntos del plano tal que la recta tangente a la curva 12231 23 +−−= xxxy tenga pendiente 3.
272) los puntos del plano tal que la recta tangente a la curva 53 −−= xy forma un ángulo de 120º con respecto al eje x
273) idem para xy 2= y ángulo igual a 45º
274) los valores a y b para que las funciones )2ln()( 3 xxxxf += y bxaxxg ++= 2)( , tengan la misma
recta tangente en el punto de abscisa 21
=x
5.3 Teoremas del valor medio - Regla de L´Hôpital – Fórmula de Taylor Teoremas del valor medio
• Si una función )(xf es continua en [ ]ba, y derivable en ),( ba entonces existe ( )bac ,∈ tal
que se verifica ab
afbfcf−−
=′ )()()( ( TEOREMA DE LAGRANGE)
• Si )()( afbf = se cumple 0)( =′ cf (TEOREMA DE ROLLE)
• Teorema generalizado del valor medio ( TEOREMA DE CAUCHY)
Si )(xf y )(xg son continuas en [ ]ba, y derivables en ),( ba con 0)( ≠′ xg para cualquier x
interior al ),( ba , entonces existe ( )bac ,∈ tal que se verifica )()()()(
)()(
agbgafbf
cgcf
−−
=′′
Ejercicios resueltos ***Verificar si se cumplen las condiciones del teorema de Lagrange*** EJEMPLO 18) 2)1()( 2 +−= xxf en [ ]3,0 La función es continua en [ ]3,0 y derivable en )3,0( . Luego 3)0()( == faf ; 6)3()( == fbf ;
22)( −=′ xxf y 22)( −=′ ccf
Aplicando el teorema es ab
afbfcf−−
=′ )()()( ⇒ 033622
−−
=−c ⇒ 23
=c
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
88
EJEMPLO 19) 5 1)( −= xxf en [ ]2,2− La función es continua en [ ]2,2− pero no es derivable en )2,2(− ya que )1(f ′ no existe. Verifícalo. ***Estudiar las condiciones del teorema de Rolle y hallar el valor intermedio*** EJEMPLO 20) xxf sen)( = en [ ]π2,0 La función es continua en [ ]π2,0 y derivable en )2,0( π . Luego 0)0()( == faf ; 0)2( =πf ;
xxf cos)( =′ y ccf cos)( =′
Aplicando el teorema es 0)( =′ cf ⇒ 0cos =c ⇒ 21π
=c y 2
32
π=c
***Estudiar las condiciones del teorema de Cauchy y hallar el valor intermedio *** EJEMPLO 21) 21)( xxf −= 32)( xxg = en [ ]4,2 Las funciones son continuas en [ ]4,2 y derivables en )4,2( ; además 0)( ≠′ xg en este intervalo; entonces
3)2( −=f 15)4( −=f 16)2( =g 128)4( =g
ccf 2)( −=′ 26)( ccg =′ Aplicando el teorema es
)()()()(
)()(
agbgafbf
cgcf
−−
=′′
⇒ 16128
)3(156
22 −
−−−=
−c
c ⇒ 928
=c
Ejercicios propuestos *** Determinar el valor medio utilizando el teorema de Lagrange o de Rolle, según corresponda*** 275) xxxf 2)( 2 −= en [ ]5,3− 276) xxf ln)( = en [ ]e,1
277) 2)( += xxf en [ ]1,2− 278) 22)( 23 −−+= xxxxf en [ ]1,1−
279) x
xf 1)( = en [ ]4,2 280) )6cos()( xxf = en [ ]32,0 π
*** Hallar c que verifique el teorema de Cauchy*** 281) xxxf −= 2)( ; 214)( 2 −+= xxxg en [ ]3,0 282) 1)( −= xxf ; xxg 2)( = en [ ]1,1−
283) 145)( 23 +−= xxxf ; xxg =)( en [ ]3,0 284) 21)( xxf −= ; 3)( xxg = en [ ]2,1 Regla de L´Hôpital Cuando se resuelven ejercicios de límites funcionales, las indeterminaciones
00 ;
∞∞ pueden
eliminarse en muchos casos utilizando la regla de L´Hôpital. Se verifica, siempre que exista el límite finito o “infinito” en el segundo miembro que
)()(lím
)()(lím
xgxf
xgxf
axax ′′
=→→
)()(lím
)()(lím
xgxf
xgxf
xx ′′
=∞→∞→
Las otras indeterminaciones se reducen a los casos anteriores.
Diferenciación
89
Ejercicios resueltos
EJEMPLO 22) x
e x
x
1lím0
−→
; se tiene una indeterminación 00 ; luego 1
1lím)1(lím1lím
000==
′′−
=−
→→→
x
x
x
x
x
x
ex
ex
e
EJEMPLO 23) x
x
x xx
32lím
2
+
++∞→
; se tiene una indeterminación ∞∞ ; luego
x
x
x xx
322lím
+
++∞→
=3ln312ln22lím
x
x
x +
++∞→
=3ln302ln20lím
2
2
x
x
x +
++∞→
=3ln32ln2lím
2
2
x
x
x +∞→= 0
3ln2ln
32lím
2
2=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+∞→
x
x
derivamos derivamos
EJEMPLO 24) )(lím xxx
−+∞→
; se tiene una indeterminación ∞−∞ , la llevamos a ∞∞ para poder aplicar la
regla, luego
)(lím xxx
−+∞→
=)(
))((límxx
xxxxx +
+−+∞→
=xxxx
x +
−+∞→
2lím = +∞=
+
−+∞→
x
xx
211
12lím
derivamos EJEMPLO 25) x
xxe
−∞→lím ; se tiene una indeterminación 0.−∞
En este caso transformamos x
xxe
−∞→lím =
xx ex−−∞→
lím que es una indeterminación de la forma ∞∞ ; luego
x
xxe
−∞→lím =
xx ex−−∞→
lím = 011lím =−
=− ∞+−−∞→ ee xx
derivamos EJEMPLO 26) x
xx
+→0lím ; es una indeterminación 00
Hacemos xxy = ⇒ xxxy x lnlnln == Ahora =
+→)(lnlím
0y
xxx
xlnlím
0+→
Calculamos el límite del segundo miembro
xxxx
xx /1lnlímlnlím
00 ++ →→= =
20 /1/1lím
xx
x −+→= 0)(lím
0=−
+→x
x
derivamos Entonces
=+→
)(lnlím0
yx
0 ⇒ 0límln0
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+→y
x ⇒ 1lím 0
0==
+→ey
x
o bien 1lím
0=
+→
x
xx
Nota: Cualquier otra indeterminación de la forma ∞1 ó 0∞ se procede como en el ejercicio 26)
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
90
Ejercicios propuestos *** Resolver los siguientes límites aplicando la regla de L´Hôpital***
285) 76
15133lím2
23
1 −+
+−−→ xx
xxxx
286) xxxx
x −
+→ 3
3
0lím 287) ( )x
xx
21 cos
)1(3límπ−−
→ 288)
20
12límx
x
x
−→
289) 1tg
)2cos(4lím
4/ −→ xx
x π 290)
)1ln()1ln(
lím20 +
++→ x
xx
291) 2
cos
2/
senlímππ −
−→ x
xe x
x 292)
)4tg()20tg(
lím0 xx
xxx −
+→
293) 2
2
2
/1
ln
límx
xex
x
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
+∞→ 294)
xx
x
lnlím+∞→
295) 2ln
límxx
x +∞→ 296)
xx
x tg)2/ln(
lím2/
−−→
ππ
297) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
−+
−−→ 28
211lím32 x
xx
xx
298) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+∞→x
xx
x 23
2lím 299) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+→ xxx cos1
1tg1lím
0 300) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
→ xxx
1sen
1lím0
301) )2/sen(
)ln(senlím
2/ ππ −→ xx
x 302)
28lím
4
xe x
x +∞→ 303)
xxx
x 2sen1cossenlím −−
−→π 304)
xx
x 4)4(tg
lím1
0
−
→
305) xxx
sen1lím0→
306) 2
1)1ln()1(lím xx
x−−
−→ 307) ( ) x
xx
42
0lím
+→ 308)
12
5414lím
−
+∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++ x
x xx
309) x
xx sen
0)(tglím
+→ 310)
x
x x
tg4
20 ln1lím ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+→
311) )sen10(lnlím 2
0xxx
x+
→ 312) )3(cot)(lím 33/
xgxx
ππ
−→
313) ( ) x
xx
ln2
01lím +
+→ 314) ( ) xecx
xex
cos10
04lím +
+→ 315) ( ) x
xx
/12 1lím ++∞→
316) x
xx cos4
2/)tg1(lím +
−→π
317) xecxx
cos.senhlím0→
318) ( ) 2/1
0coshlím x
xx
+→ 319) 9
1
3
2)2(lím −→
− xx
x 320) ( ) 12 3lnlím −+∞→
xx
xx
321) ( ) xg
xx cot
01lím −
→ 322) x
xxlnlím
+∞→ 323)
xx
x 10 senh)ln(cosh
lím−→
324) ( ) )2/(1
21lím x
xx −
→−
Fórmulas de Taylor y Maclaurin El polinomio de Taylor de orden n, se define como
nn
n axn
afaxafaxafaxafafxP )(!
)(...)(!3
)()(!2
)()(!1
)()()()(
32 −++−′′′
+−′′
+−′
+=
Si 0=a se tiene el polinomio de Maclaurin
nn
n xn
fxfxfxffxP!
)0(...!3
)0(!2
)0(!1
)0()0()()(
32 ++′′′
+′′
+′
+=
Teorema de Taylor Una función )(xf que posee derivadas en todos los órdenes para todo valor real de x de un intervalo abierto puede representarse mediante la suma del polinomio )(xPn y una función )(xRn llamada resto o residuo; esto es
Diferenciación
91
)()()( xRxPxf nn += La igualdad anterior se denomina fórmula de Taylor.
El residuo está dado por 1)1(
)(!)1()(
)( ++
−+
= nn
n axn
cfxR donde c es un número real tal que
xca << ; esta expresión se llama forma de Lagrange del residuo.
Ejercicios resueltos EJEMPLO 27) Expresar la función xexf =)( en potencias de 1−x mediante el polinomio de Taylor de orden 3 y el residuo correspondiente. Siendo 1=a , 3=n y xefff =′′′=′′=′ el polinomio de Taylor de orden 3 es
323 )1(
!3)1()1(
!2)1()1(
!1)1()1()( −
′′′+−
′′+−
′+= xfxfxffxP
323 )1(
!3)1(
!2)1()( −+−+−+= xexexeexP
La expresión del residuo es 4)4(
3 )1(!4
)()( −= xcfxR donde xc <<1 ; luego
43 )1(
!4)( −= xexR
c y xc <<1
Por el teorema de Taylor )()()( 33 xRxPxf += , entonces
=)(xf 32 )1(!3
)1(!2
)1( −+−+−+ xexexee 4)1(!4
−+ xec donde xc <<1
EJEMPLO 28) Hallar la fórmula de Maclaurin para xxf cos)( = Considerando el polinomio de Maclaurin y el residuo correspondiente, se tiene
( ) )(!)2(
1...!6!4!2
1cos 2
2642xR
nxxxxx n
nn +−++−+−=
donde 12)12(
2 !)12()()( +
+
+= n
n
n xn
cfxR
EJEMPLO 29) Calcular el valor del número e considerando los nueve primeros términos en el desarrollo de Maclaurin generado por xexf =)( . Acotar el error correspondiente.
El desarrollo de la función es )(!
...!3!2!1
132
xRnxxxxe n
nx ++++++=
Si consideramos los nueve primeros términos del desarrollo, resulta el polinomio de Maclaurin de orden 8;
esto es !8!7!6!5!4!3!2!1
1)(8765432
8xxxxxxxxxP ++++++++=
El residuo correspondiente es 99)9(
8 !9!9)()( xexcfxR
c== donde xc <<0
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
92
Haciendo 1=x y considerando el teorema de Taylor es
!9!81
!71
!61
!51
!41
!31
!21
!111
cee +++++++++=
Siendo xc <<0 ⇒ xc ee < ⇒ 98 !9
)( xexRc
= < 9
!9xe x
Si 1=x resulta !9
3)1(8 <R . Luego ≈e 71828.2
Ejercicios propuestos
***Expresar las siguientes funciones mediante las fórmulas de Taylor o de Maclaurin según corresponda*** 325) xxf ln)( = 5=n 1=a 326) xxf =)( 3=n 4=a
327) xxf sen)( = 7=n 0=a 328) xexf 3)( −= 4=n 0=a
329) Efectuar el desarrollo de Maclaurin para 1
1)(−
=x
xf
330) Desarrollar en potencias de 1−x la función x
xf 1)( =
331) Expresar la función 1053251)( 24 +−−= xxxxf en potencias de 5+x mediante el polinomio de
Taylor y el residuo correspondiente.
332) Expresar la función )6cos()( xxf = en potencias de 6π
−x mediante un polinomio de Taylor de
cuarto orden y el residuo correspondiente. 333) Efectuar el desarrollo de Maclaurin de xxf senh)( = 334) Sea la función xxf ln)( = . Acotar el error que se comete en una aproximación cuadrática
mediante el polinomio de Taylor en potencias de 1−x para 561 << x
5.4 Variación de funciones Crecimiento – Extremos - Concavidad – Inflexión Crecimiento y decrecimiento Si 0)( 0 >′ xf en un intervalo, entonces f es estrictamente creciente en ese intervalo. Si 0)( 0 <′ xf en un intervalo, entonces f es estrictamente decreciente en ese intervalo. Valor crítico El número 0x perteneciente al dominio de una función )(xf es un valor crítico de la misma si
0)( 0 =′ xf ó )( 0xf ′ no existe
Diferenciación
93
Ejercicios resueltos EJEMPLO 30) Hallar los valores críticos de 196)( 23 −++= xxxxf Se tiene 9123)( 2 ++=′ xxxf Haciendo 0)( =′ xf resulta
1;309123 212 −=−=⇒=++ xxxx son los valores críticos de )(xf
EJEMPLO 31)
La función 1)( 3 2 −= xxf presenta un valor crítico en 0=x . En efecto 332)(
xxf =′ si 0≠x
Luego )0(f ′ no existe. Nótese que para 0=x la función está definida
Además si 03
23
=x
resulta un absurdo ya que no existen valores de x que anulen la derivada.
En consecuencia el único valor crítico de la función es 0=x EJEMPLO 32) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función presentado en el ejemplo 30). Observamos que los valores donde 0)( =′ xf son los puntos críticos de )(xf que en este caso son
1;3 21 −=−= xx Como el dominio de la función es el conjunto ℜ , investigamos el signo de la derivada primera en los intervalos ( )3, −∞− ; ( )1,3 −− y ( )∞+− ,1
Siendo 9123)( 2 ++=′ xxxf elegimos un punto arbitrario de cada intervalo, resultando 0)4( >−′f ⇒ f es creciente en ( )3, −∞−
0)2( <−′f ⇒ f es decreciente en ( )1,3 −− 0)0( >′f ⇒ f es creciente en ( )∞+− ,1
f crece f decrece
f crece
-3 -1
196)( 23 −++= xxxxf
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
94
Ejercicios propuestos ***Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones***
335) 593 23 +−+= xxxy 336) 23 10xxy += 337) 2)2(10 −−= xy 338) 1214
−+
=xxy
339) 1218
2 +
+−=
xxy 340) 3 5+= xy 341) xxey = 342)
3)2(1−
=x
y
343) 20
12 −−
=xx
y 344) )1ln( −= xy 345) 5 1 xy −= 346) x
xy 1+=
Extremos relativos o locales )( 0xf es un máximo relativo o local de la función )(xf si )()( 0xfxf ≤ para cualquier valor de x que se tome en algún intervalo abierto que contenga a 0x . Análogamente, )( 0xf es un mínimo relativo o local de la función )(xf si )()( 0xfxf ≥ para cualquier valor de x que se tome en algún intervalo abierto que contenga a 0x . y y f(x0) f f f(x0) a 0x b x a 0x b x )( 0xf máximo relativo )( 0xf mínimo relativo Nota: si una función toma un valor máximo en todo su dominio; se dice que la función posee un máximo absoluto. Análogamente, puede poseer un mínimo absoluto. Propiedad Si una función )(xf tiene un extremo relativo o local en 0x entonces el número 0x es un valor crítico; esto es 0)( 0 =′ xf ó )(xf ′ no existe. Puede ocurrir, no obstante, que para un cierto valor crítico de la función, la misma no presente extremos relativos. Criterios para determinar extremos relativos Criterio 1) Para determinar si una función tiene extremo relativo en 0x , estudiamos el signo de la derivada primera a izquierda y derecha de 0x ; si hay cambio de signo entonces existe extremo. Lógicamente 0x debe pertenecer al dominio de la función.
Diferenciación
95
Criterio 2) Puede también calcularse la derivada segunda; si se cumple
0)( 0 >′′ xf existe un mínimo en 0x 0)( 0 <′′ xf existe un máximo en 0x
Pero si 0)( 0 =′′ xf o si no existe, debe utilizarse el criterio 1) Puede ocurrir, que la función no sea derivable en 0x ; entonces se estudia los valores de la misma en las proximidades de 0x
Ejercicios resueltos EJEMPLO 33) Hallar los extremos relativos de la función propuesta en el ejemplo 30) La función dada es 196)( 23 −++= xxxxf ; los valores críticos son 1;3 21 −=−= xx Si aplicamos el criterio 1), observamos que las derivadas cambian de signo a izquierda y derecha de 1x y
2x como puede verse en el ejemplo 32) cuando calculamos los intervalos de crecimiento. ( )3, −∞− ( )1,3 −− ( )∞+− ,1
0>′f 0<′f 0>′f f crece f decrece f crece 3−=x 1−=x máximo mínimo Si aplicamos el criterio 2), debemos calcular la derivada segunda.
9123)( 2 ++=′ xxxf 126)( +=′′ xxf
0)3( <−′′f ⇒ 3−=x máximo 0)1( >−′′f ⇒ 1−=x mínimo
obteniendo los mismos resultados. Observa la correspondiente gráfica de la función presentada en el ejemplo 32) EJEMPLO 34)
Determinar si existen extremos de la función 11)(
2
2
−
+=
xxxf
Calculamos )(xf ′
( ) ( )2222
22
1
4
1
2)1()1(2)(
−
−=
−
+−−=′
x
x
x
xxxxxf
Anulamos )(xf ′ 0)( =′ xf
( )0
1
422=
−
−
x
x ⇒ 04 =− x ⇒ 0=x (valor crítico)
Además en 1 y 1− la derivada primera no está definida y tampoco pertenecen al dominio de )(xf Por lo tanto, si aplicamos el criterio 1) para determinar los extremos relativos solamente consideraremos 00 =x debiendo analizar el signo de la derivada primera en los intervalos ( )0,1− y ( )1,0 Si
∈x ( )0,1− , resulta 0)( >′ xf ;
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
96
para ∈x ( )1,0 , se tiene 0)( <′ xf
Luego, existe cambio de signo en la derivada primera y por lo tanto la función presenta un extremo local. en 00 =x Como la función es creciente en ( )0,1− y decreciente en ( )1,0 , concluimos que existe un máximo local en
0=x
EJEMPLO 35)
Determinar si existen extremos de 3 51)( xxf +=
Siendo 3/51)( xxf += , calculamos =′ )(xf 3/2
35 x
Luego, haciendo 0)( =′ xf es
035 3/2 =x ⇒ 0=x (valor crítico)
Si aplicamos el criterio 2), debemos calcular )0(f ′′
33/1
910
910)(
xxxf ==′′ −
)0(f ′′ no está definida
Entonces debemos aplicar el criterio 1), estudiando el signo de la derivada primera a izquierda y derecha del punto crítico 00 =x Para ( )0,−∞∈x , 0)( >′ xf y si ( )∞+∈ ,0x también 0)( >′ xf . Luego no hay cambio de signo en la derivada; no hay extremo. La función crece indefinidamente. Construye el gráfico de )(xf en forma aproximada EJEMPLO 36) La función 42)( −+= xxf posee un extremo en 4=x y la derivada )4(f ′ no existe, pues
)4()4( −+ ′≠′ ff ( 4=x es un valor crítico) Construye la gráfica de la función y observa que 2)4( =f es un mínimo.
11)(
2
2
−
+=
xxxf
0 máximo
Diferenciación
97
EJEMPLO 37) Determinar el área máxima de un rectángulo cuyo perímetro es 60. El perímetro del rectángulo es yxp 22 += yx 2260 += y
Despejando y es 2
260 xy −= x
Luego xy −= 30 (1)
El área del rectángulo es xyA =
entonces por (1) )30( xxA −= 230 xxA −=
Como debemos obtener la máxima área, anulamos la derivada primera 0230 =−=′ xA ⇒ 15=x
Comprobamos con la derivada segunda que es efectivamente un máximo 2−=′′A ⇒ 0<′′A ; 15=x es MAXIMO
Reemplazando 15=x en (1) es 15=y Por lo tanto, el área máxima del rectángulo es un cuadrado de lado 15.
Ejercicios propuestos ***Determinar, si existen, los extremos locales de las siguientes funciones***
347) 515431 23 ++−= xxxy 348) 41 xy −= 349) 34 xxy −=
350) 1+= xy 351) 5
1−
=x
y 352) 11
2
2
−
+=
xxy 353) 3 2)3( += xy
354) 13 4 −= xy 355) 216 xy −= 356) 5+= xy 357) )1ln( += xy
358) xy cos1+= 359) 2xey −= 360) xxey −= 361) xxy ln=
362) xxy sen+−= 363) xxy −= 364) 2
1x
xy += 365) 3
2
)2()2(
+
−=
xxy
366) g
Vf
)2sen()( 0 α
α = ; 20 πα ≤≤ ; 0V y g constantes 367) xxy 2−=
368) 1−= xxy 369) ( )13 −= xxy 370) x
xy ln2= 371) 3/5xy =
372) 3cosh −= xy *** Resolver los siguientes problemas de optimización*** 373) Determinar un rectángulo de menor perímetro de área 16.
374) Hallar dos números naturales tales que el producto sea 64 y la suma de sus cuadrados mínima.
375) Hallar dos números naturales cuya suma sea 100 y su producto máximo.
376) Determinar el triángulo isósceles de área máxima inscripto en un círculo de radio igual a 10.
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
98
377) Determinar la ecuación de la recta que pasa por )2,1( y forma con los ejes coordenados un triángulo de área mínima.
378) Hallar los lados de la figura de perímetro 20 para que su área sea máxima. bmcd 2= ; acbcab == 379) Sea un triángulos de vértices )0,(xA = ; ),( xexB = y )0,10(=C . Hallar [ ]10,0∈x tal que el triángulo tenga área máxima.
380) Determinar los puntos más próximos de la curva 2xy = al punto ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
23,0 . Sugerencia: aplique la fórmula
de la distancia entre dos puntos. Concavidad La función )(xf es cóncava hacia arriba, si todo punto del gráfico está situado por encima de la recta tangente en cada punto. Análogamente, )(xf es cóncava hacia abajo, si la gráfica correspondiente está por debajo de la recta tangente. f(x) f(x) f cóncava hacia arriba f cóncava hacia abajo Observa en la primer figura que la pendiente de la recta tangente a la gráfica aumenta; por lo tanto )(xf ′ es creciente. En la segunda figura, la pendiente de la recta tangente disminuye y en consecuencia )(xf ′ es decreciente. Recordemos que si f es creciente, se tiene 0)( >′ xf . Análogamente, si )(xf ′ es creciente, entonces 0)( >′′ xf Por lo tanto si
0)( >′′ xf entonces )(xf es cóncava hacia arriba
Haciendo el mismo razonamiento, si 0)( <′′ xf entonces )(xf es cóncava hacia abajo
a c m
b
e d
Diferenciación
99
Puntos de inflexión El punto donde la curva cambia de concavidad, se denomina punto de inflexión. Para calcularlo se procede de la siguiente manera a) Determinar el valor 0x que anula la derivada segunda b) Estudiar el signo de la derivada segunda a izquierda y derecha de 0x ; si hay cambio de signo, entonces existe punto de inflexión. Puede ocurrir que no exista la derivada segunda en 0x , entonces se procede como lo enunciado en b). Lógicamente, 0x debe pertenecer al dominio de la función.
Ejercicios resueltos EJEMPLO 38) Determinar los intervalos de concavidad de la función 33)( 23 +−−= xxxxf Derivamos dos veces
163)( 2 −−=′ xxxf ⇒ 66)( −=′′ xxf Luego hallamos los valores que anulan la derivada segunda
066 =−x ⇒ 1=x Analizamos el signo de )(xf ′′ a izquierda y a derecha de 1=x Si ( )1,∞−∈x ; 0)( <′′ xf ⇒ )(xf cóncava hacia abajo Si ( )∞+∈ ,1x ; 0)( >′′ xf ⇒ )(xf cóncava hacia arriba
EJEMPLO 39) Del ejemplo anterior , la función 33)( 23 +−−= xxxxf presenta un punto de inflexión en 10 =x . Observa la gráfica atentamente. EJEMPLO 40)
Estudiar la concavidad de x
xf 1)( = ¿La función presenta punto de inflexión?
Derivamos dos veces
21
xf −=′ ⇒
32x
f =′′
Determinamos el valor de 0x que anula la derivada segunda
023=
x ⇒ 02 = FALSO (no existe valor que anule f ′′ )
33)( 23 +−−= xxxxf
cóncava hacia arriba
Cóncava hacia 1 abajo
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
100
Pero en 0=x , )(xf ′′ no está definida; por lo tanto estudiamos el signo de la misma a izquierda y a derecha de 0. En )0,(−∞ , se tiene 0)( <′′ xf f es cóncava hacia abajo En ),0( ∞+ , resulta 0)( >′′ xf f es cóncava hacia arriba ATENCIÓN La función presenta un cambio de concavidad; sin embargo no hay punto de inflexión pues 0 no pertenece al dominio de la función. ¿Qué ocurre en 0=x ? Construye una gráfica.
Ejercicios propuestos ***Determinar los intervalos de concavidad de las siguientes funciones***
381) 234 184 xxxy −+= 382) 2010103 345 −++= xxxy 383) 2)1(4 xy −−= 384) 1
12 −
=x
y
385) 3 29 xy −= 386) x
xy 3+= 387) x
xy −=
1 388) 24
xxy −
= 389) x
eyx
=
390) ( )2/cos x en ( )ππ 3,3− 391) xex −2 392) xxy −−= )1( ***Determinar, si existen, los puntos de inflexión de las siguientes funciones***
393) 31 xy −= 394) )1()2( 3 −+= xxy 395) 9
12 −
=x
y 396) x
xy 13 −=
397) 12 +
=x
xy 398) 3 2)5( −= xy 399) xxy 2= 400) 5 31 xy −=
401) x
eyx
= 402) xxy sen−= en [ ]ππ 2,2− 403) 13 +
=x
xy 404) 52 += xxy
405) xxy −= tg en ( )23
2 , ππ 406) xxy ln2 += 407) 2xey −= 408) 1ln2ln 2 +−= xxy
409) Hallar p y q si 23)( qxpxxf −= tiene un punto de inflexión en )2,1(
410) Hallar p , q y r si )1(3)( 23 ++−= xrqxpxxg tiene tangente horizontal en el punto de inflexión )1,1( −
411) Determinar si )( 1xf es un punto de inflexión en 35)( xxxf += , si 0)( 1 =′′ xf y 0)( 1 ≠′′′ xf 412) Sea la gráfica de la derivada de )(xf ; determinar los puntos de inflexión de f y los intervalos de concavidad y x
2 4 6
f ′
5 3
Diferenciación
101
Estudio de funciones De todo lo visto puede efectuarse un estudio completo de una función. Veamos algunos ejemplos
Ejercicios resueltos EJEMPLO 41) 18)( 24 +−= xxxf Dominio ℜ=fD Paridad La función es par pues )()( xfxf −= Asíntotas La función no posee asíntotas (puede verificarse que no se cumplen las definiciones correspondientes) Valores críticos –Extremos Derivando y anulando la derivada primera es
xxxf 164)( 3 −=′
0164 3 =− xx ⇒ 0)4(4 2 =−xx
04 =x ó 042 =−x 01 =x ; 22 −=x ; 23 =x (valores críticos)
Para determinar los extremos locales, estudiamos el signo de f ′ en los siguientes intervalos.
( )2, −∞− ( )0,2− ( )2,0 ( )∞+,2 0<′f 0>′f 0<′f 0>′f f decrece f crece f decrece f crece 2−=x 0=x 2=x mínimo máximo mínimo Por lo tanto, los mínimos se ubican en ( ))2(,2 −− f ; ( ))2(,2 f y el máximo en ( ))0(,0 f Nota: Los extremos locales pueden también obtenerse, adoptando el criterio de la derivada segunda. Inflexión Calculando la derivada segunda es
1612)( 2 −=′′ xxf Anulando f ′′ es
01612 2 =−x ⇒ 34
12162 ==x
32
1 =x 3
22 −=x
Para determinar los puntos de inflexión, estudiamos el signo de f ′′ en los siguientes intervalos.
( )3/2,−∞− ( )3/2,3/2− ( )∞+,3/2 0>′′f 0<′′f 0>′′f cóncava hacia arriba cóncava hacia abajo cóncava hacia arriba 3/2−=x 3/2=x inflexión inflexión
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
102
Por lo tanto los puntos de inflexión se ubican en ( )( )
32
32 , −− f y ( )( )
32
32 , f
Gráfica
18)( 24 +−= xxxf
EJEMPLO 42) 22)(
−+
=xxxf
Dominio { }2−ℜ=fD Paridad La función no es par ni impar pues )()( xfxf −≠ y )()( xfxf −−≠ Asíntotas Las función posee asíntotas vertical y horizontal.
A.V 2=x pues +∞=−+
+→ 22lím
2 xx
x y −∞=
−+
−→ 22lím
2 xx
x
A.H 1=y pues 122lím =
−+
+∞→ xx
x y 1
22lím =
−+
−∞→ xx
x
Valores críticos –Extremos Derivando y anulando la derivada primera es
( )22 24
)2()2(2
)(−
−=
−
+−−=′
xxxx
xf
0)( =′ xf
( )
024
2=
−
−
x (no existe x que anule la ecuación)
Además la derivada no está definida en 2=x . Estudiamos el signo de la misma en los intervalos
( )2,∞− ( )∞+,2 0<′f 0<′f f decrece f decrece no hay extremos Inflexión Calculando la derivada segunda es
-2 0 2
Diferenciación
103
( )328)(−
=′′x
xf
Anulando f ′′ es
( )
02
83=
−x (no existe x que anule la ecuación)
Además la derivada segunda no está definida en 2=x . Estudiamos el signo de la misma en los intervalos
( )2,∞− ( )∞+,2 0<′′f 0>′′f cóncava hacia abajo cóncava hacia arriba no hay inflexión ( 2 no pertenece al dominio de f )
Gráfica
22)(
−+
=xxxf
EJEMPLO 43) xxexf =)( Dominio ℜ=fD Paridad La función no es par ni impar Asíntotas Las función solo presenta asíntota horizontal.
A.H 0=y pues xx
x
x exxe−−∞→−∞→
= límlím = 01lím =− −−∞→ xx e
L´Hôpital Valores críticos –Extremos Derivando y anulando la derivada primera es
xx xeexf +=′ )(
0)( =′ xf ⇒ ( ) 01)( =+=′ xexf x 1−=x (valor crítico)
1
2
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
104
Para determinar los extremos locales, estudiamos el signo de f ′ en los siguientes intervalos. ( )1,−∞− ( )∞+− ,1
0<′f 0>′f f decrece f crece 1−=x mínimo Luego el mínimo se encuentra en ( ))1(,1 −− f Inflexión Calculando la derivada segunda es
xx exexf ++=′′ )1()( ⇒ )2()( xexf x +=′′ Anulando f ′′ es
0)2( =+ xe x 2−=x
Para determinar los puntos de inflexión, analizamos el signo de la derivada segunda en los siguientes intervalos.
( )2, −∞− ( )∞+− ,2 0<′′f 0>′′f cóncava hacia abajo cóncava hacia arriba
2−=x inflexión El punto de inflexión es ( ))2(,2 −− f Gráfica xxexf =)(
Ejercicios propuestos ***Efectuar un estudio completo de las siguientes funciones*** 413) 410 xy −= 414) 24 2xxy −= 415) xxxy 18122 23 +−=
416) 1074 23 +−−= xxxy 417) xxxy 44
34
−+= 418) ( )15
3 5+=
xy
419) 32 )5( += xxy 420) ( )322 xy −= 421) 3
1 5xy −=
422) ( )2324 xxy −= 423) 4150 24 xx
y−
= 424) 7
1+
=x
y
-2 -1
Diferenciación
105
425) 8−
=x
xy 426) 77
2
2
+
−=
xxy 427) x
xy −=
12
428) 2
1522
−−+
=x
xxy 429) x
xy−−
=3
104 430) 21 x
xy−
=
431) 2
3
1 xxy−
= 432) 2x-2-x
=y 433) 23
1xx
y+
=
434) )2(3 +−= xxy 435) )3( −= xxy 436) 1+−= xxy
437) xxy −= 3/2 438) 3 22 xxy −= 439) 23 1 xxy −=
440) ( ) 3/22 25−= xy 441) 235 −+= xy 442) 2−= xxy
443) ( )23 6 xxxy −= 444) 3 1
1−
=x
y 445) 92 −
=x
xy
446) 3
3 10x
xy −= 447)
4
42
2
−
+=
x
xy 448) 1+
=x
xy
449) xxey 2= 450) 2xxey −= 451)
3xey
x=
452) xy 10= 453) 84ln 2 += xy 454) 2)1ln( −= xy
455) xx
y ln1+= 456)
2lnx
xy = 457) 2/2
21 xey −=π
458) xy −−= 41
459) xxy −= sen 460) xy 2cos= en [ ]π2,0 461) )ln(cos xy = en ( )22 , ππ−
462) xxy cos32)2cos( −= en [ ]ππ ,− 463) xey x cos= 464) )2sen( xey x= 5.5 Diferencial de una función La diferencial de una función se define como dxxfdy )(′= donde xdx ∆= y )( xxf ∆+ y∆ x∆ x xx ∆+ x Nótese que para valores de x∆ muy pequeños dyxfxxf +≈∆+ )()( Reglas de diferenciación
2).()(
gdgfdfg
gfddfgdgfgfddgdfgfd
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=±=±
dy
)(xf
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
106
Ejercicios resueltos EJEMPLO 44)
Calcular ∆ y y dy siendo 122 −+= xxy para 101;1 =∆= xx
( )[ ] [ ] 222 )(22121)(2)()( xxxxxxxxxxxfxxfy ∆+∆+∆=−+−−∆++∆+=−∆+=∆
Para 1=x y 101
=∆x resulta 10041
101
101.2
101.1.2
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++=∆y
Como dxxfdy )(′= resulta ( ) ( )104
10121.222 =+=⇒+= dydxxdy
Obsérvese que y∆ y dy difieren en 100
1 pues 100
1104
10041
=−
EJEMPLO 45) Hallar la diferencial de y si xxy sen3=
( )33 sen)(sen xxdxdxdy += ⇒ dxxxxdxxdy 23 3)(sencos += ⇒ ( )dxxxxxdy sen3cos 23 +=
Otra manera de obtener dy es: dxxfdy )(′= ; donde xxxxxf sen3cos)( 23 +=′
Entonces ( )dxxxxxdy sen3cos 23 +=
Ejercicios propuestos
***Hallar y∆ y dy según se indica ***
465) 100
1;4 =∆== xxxy 466) 2xy = para 101;2 =∆= xx 467)
51;22 =∆== xxy x
468) Calcular aproximadamente 50 aplicando diferenciales ***Hallar la diferencial de las siguientes funciones***
469) 3=y 470) 232 +−= xxy 471) x
y 1= 472) xey x 4+= 473) ( )32 1 xxy −=
474) xxy ln.sen 2= 475) ( )221 x
xy−
= 476) 012 =+− yx 477) 01=−xy 478) 021
=++
xx
y
*** Hallar ∆ y y dy***
479) 13 += xy 480) x
xy−
=1
481) xy cos= 482) )1ln( += xy 483) ( )31+= xy
484) x
y21
= 485) )2sen( xy = 486) 1−= xey 487) xey /1= 488) xey tg=
489) xy sec= 490) ecxy cos= 491) ( )xy lncos= 492) )ln(cos xy = 493) xxy 23=
494) xxy cossen= 495) 2
cos1x
xy += 496)
xey
x
ln= 497) xxy += 3 498) ( ) xxy lnsen=
499) xx
ysen
11+= 500) xyx cos4 =+ 501) 1ln += xy 502) xyy senh162 =−− 503) 21 xey =−
6- Integración 6.1 Integral Indefinida
Sea una función )(xf ; definimos antiderivada o primitiva de )(xf , a la función )(xF si y solo si )()( xfxF =′
Por ejemplo si 23)( xxf = una primitiva es 1)( 31 += xxF pues )()(1 xfxF =′ . Otra primitiva es
100)( 32 −= xxF pues )()(2 xfxF =′ . En general se tiene que cx +3 es una primitiva de 23x donde c
es un número real. Para designar una primitiva cualquiera de una función )(xf se escribe ∫ dxxf )( y se llama
integral indefinida de )(xf con respecto a x donde ∫ += cxFdxxf )()( ; )(xf se denomina
integrando y c es la constante de integración. En nuestro ejemplo resulta ∫ += cxdxx 323
Propiedades
[ ] ∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()()1 ∫ ∫= dxxfkdxxfk )()()2
Tabla de integrales Se presenta a continuación algunas integrales más usuales
cuduucuduu
cuu
ducuu
ducuu
du
ucuhtu
ducuu
ducuecduuguec
cuduuucugduueccuduu
cuduucuduucedue
aaca
aduacuduu
ncnuduu
uu
uu
nn
+=+=
+=−
+=+
+=−
<+=−
+=+
+−=
+=+−=+=
+=+−=+=
≠>+=+=−≠++
=
∫∫
∫∫∫
∫∫∫∫∫ ∫
∫ ∫∫∫∫∫
−−−
−−
+
senhcosh)17coshsenh)16
cosh1
)15senh1
)14sen1
)13
11
)12tg1
)11coscotcos)10
sectgsec)9cotcos)8tgsec)7
sencos)6cossen)5)4
1;0ln
)3ln1)211
)1
1
2
1
2
1
2
12
12
22
1
Ejercicios resueltos
***Resolver las siguientes integrales*** EJEMPLO 1)
( )
cxxxxcxxxx
dxxdxxdxxxdxdxxxxx
++++=++−
−+=
=+−+=+−+
−−
−−−− ∫ ∫ ∫∫∫ln
212ln
22/33
22
3232
22/3222/32
1313
EJEMPLO 2)
( ) ( )
cxxx
cxxxdxxxxdxx
xxdxx
x
++−=
=++−=+−=+−
=−
∫ ∫ ∫ −
2/12/32/5
2/12/32/52/12/12/3
2/1
22
234
52
2/12/32
2/52121
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
108
EJEMPLO 3)
cxxdxdxdxxdxxxx
xx +−+−=−+=−+∫ ∫ ∫ ∫ 10ln10tg2cos10sec2sen)10sec2(sen 22
Ejercicios propuestos *** Resolver las siguientes integrales*** 1) ∫ dx3 2) ∫ dxx6 3) ∫ − dxx 42 4) ∫ dxx5 2 5) ( )∫ −+ dxxxx 3/294 53 6) ∫ dxxx4
7) ∫ +− dxxx )3)(3( 8) dxxx
∫−2
94 9) dxx
x∫ +
+3273
10) dxx
xxx∫ −
−−− −+4
123 11) dx
xx
∫+ 2)2(
12) ∫− dxxsen5 13) dxx
xx )1cos2( −+∫ 14) ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + dxe xx 3
21 15) ∫ −−+ dxxex x )45(cos 2/1
16) dxx
x∫ +
−
24 17) dx
xx∫ −
−
16256
4
8 18) dx
xxxx
∫ +−
−−
23)1)(4(
2
2 19) dx
xxx
∫ +
+−
3)4)(3(
20) αααα d∫ −
+2
23
cos1sensen
Integración mediante la sustitución con u
Ejercicios resueltos ***Resolver***
EJEMPLO 4) ∫ −dx
x11 Hacemos xu −= 1 ⇒ dxdu −= ⇒ dxdu =−
Luego cxcuududx
x+−−=+−=−=
− ∫∫ 1lnln1
1
EJEMPLO 5) ( )∫
+dx
x
x52 1
Hacemos xdxduxdxduxu =⇒=⇒+=21212
Luego ( )
( )∫∫ ++−=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−==
+
−−
cxcuududx
x
x 424
5521
81
421
21
1
EJEMPLO 6) ( ) ( )∫ −− dxxxx 14 33 24 Hacemos ( ) ( )dxxdudxxduxxu 141444 334 −=⇒−=⇒−=
Luego ( ) ( ) ( ) cxxcuduudxxxx +−=+==−− ∫∫3/54
3/53 233 24 4
203
3/541
4114
EJEMPLO 7) dxx∫ sec Antes de aplicar la sustitución escribimos
∫∫∫ ++
=++
= dxxx
xxxxx
dxxxxdxx
tgsectgsecsec
tgsec)tg(secsec
sec2
Entonces ( )dxxxxduxxu 2sectgsectgsec +=⇒+=
Luego cxxcuududxx ++=+== ∫∫ tgseclnlnsec
Integración
109
EJEMPLO 8) ∫ dxxx cossen3 Hacemos dxxduxu cossen =⇒=
Luego cxcuduudxxx +=+== ∫∫ 4sen
4cossen
4433
EJEMPLO 9) ∫ dxex x2 Hacemos xdxduxdxduxu =⇒=⇒=
2122
Luego ceceduedxex xuux +=+== ∫∫22
21
21
21
EJEMPLO 10) ( )∫∫ +
=+ 22 3/1
29/1
2xdx
xdx
Hacemos 3/xu = ⇒ dxdudxdu =⇒= 331
Luego ( )
( )∫∫ +=+=+
=+
−− cxcuu
duxdx 3/tg6tg6
16
3/12 11
22
Ejercicios propuestos ***Resolver por sustitución***
21) ( )∫ − dxxx 586 64 22) ( ) ( )∫ ++ dxxxx 9692 243 23) ∫ +
+ dxxx
x2
233
2 24) ∫ −
dxx 2
1
25) ( ) ( )∫ −− dxxxx 31065 33/24 26) ∫ +−
− dxxx
x163
12
27) ∫ −dx
xx
434
3/5
3 2 28) ( )∫ − dxx 724
29) dxxx
x∫ −
−
212
4
3 30) ∫ dxxtg 31) ( )∫ dxxx 45cos 32) ∫ dxx
x)sen(ln1
33) dxxxx )sen(cos)cos1( 425∫ + 34) ∫ + dxxx )1sen( 43 35) ∫ dxxx )4cos()4(sen3
36) ( )dxxxx 26 23 ++∫ 37) ( )∫ +
+ dxx
x1
1cos 38) dxxx∫ cossen3 39) ∫ − dxxe x 2/1
40) ∫ dxx xcos3sen 41) ∫ dxxx 25 sectg 42) ∫ −+− dxxe xx )3(162 43) ∫ dxxx tgsec2 44) ∫ + 293 x
dx
45) ∫ +dx
xxxsencos
sec 46) ∫ +dx
xsen14 47) dx
xx
∫ −1 48) ∫ +
dxx
x1
49) ∫ −dx
xx
1
2 50) dx
xx
∫ −
+2)3(
3
Integración por partes Algunas integrales se resuelven mediante el método de integración por partes. Para ello se utiliza la fórmula
∫ ∫−= duvuvudv
Ejercicios resueltos
***Resolver*** EJEMPLO 11) ∫ dxex x Llamamos dxduxu =⇒= ; xx evdxedv =⇒=
Luego {{ {{ ceexdxeexdxex xx
duv
x
v
x
u
x +−=−= ∫∫
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
110
EJEMPLO 12) ∫ dxxx sen2 Hacemos dxxduxu 22 =⇒= ; xvdxxdv cossen −=⇒=
Luego ∫∫ +−= dxxxxxdxxx cos2cossen 22
En ∫ dxxx cos se aplica nuevamente la integración por partes
dxduxu =⇒= ; xvdxxdv sencos =⇒=
Luego ( ) cxxxxxdxxxxxxdxxx +++−=−+−= ∫∫ cos2sen2cossensen2cossen 222
EJEMPLO 13) ∫ dxxln Hacemos dxx
duxu 1ln =⇒= ; xvdxdv =⇒=
Luego cxxxdxx
xxxdxx +−=−= ∫∫ ln1lnln
Ejercicios propuestos ***Integrar por partes***
51) ∫ − dxxe x 52) ∫ dxex x
2 53) ∫ dxex x2 54) ∫ dxxx cos 55) ∫ dxxx sen 56) ∫ dxxx )2sen(
57) ∫ dxe xx2 58) ∫ dxex xcos 59) ∫ dxxe x sen 60) ∫ dxx 2ln 61) ∫ dxxx ln2 62) ∫ dxxx )6sen(2
63) ∫ dxex x3)3cos( 64) ∫ dxxx cossen 65) ∫ dxx)sen(ln 66) ∫ dxxx )ln(sencos
67) ∫ dxx2ln 68) ∫ dxxx 2sec 69) ∫ dxxx )3/sen(23 70) ∫ dxx2cos 71) ∫ − dxx1tg
72) dxmx∫ − )(sen 1 73) ∫ dxxxln 74) dxx∫ −1cos 75) ∫ dxxx cossenh 76) ∫ dxxx sencosh
Integración por fracciones simples
Ejercicios resueltos Caso 1) Raíces reales simples
EJEMPLO 14) ∫ −+dx
xxx
542
Factorizamos el denominador ( )( )51542 +−=−+ xxxx
Las raíces del polinomio son reales simples, luego descomponemos la fracción 542 −+ xx
x de la
siguiente manera ( )( ) )1(5151542 +
+−
=+−
=−+ x
Bx
Axx
xxx
x
donde A y B son constantes.
Entonces ( )( )( ) ( )( )( )51
1551 +−
−++=
+− xxxBxA
xxx
Luego ( ) ( )15 −++= xBxAx
Integración
111
Si 5−=x es 6/565 =⇒−=− BB Si 1=x es 6/161 =⇒= AA
Reemplazando en )1( es ( )( ) 56/5
16/1
51 ++
−=
+− xxxxx
Luego la integral resulta
∫ ∫ +++−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
−=
−+cxxdx
xxdx
xxx 5ln
651ln
61
56/5
16/1
542
EJEMPLO 15) ∫ +
− dxxx
x214
2
3
Como el grado del polinomio numerador es mayor que el grado del polinomio denominador, se efectúa la división entre los mismos obteniéndose
Cociente: 84 −x Resto: 116 −x
La fracción xx
x214
2
3
+
− puede indicarse como
xxxx
xxx
211684
214
22
3
+−
+−=+− (Verifíquese)
Luego ( ) dxxx
xdxxdxxx
x∫∫∫ +
−+−=
+−
211684
214
22
3 (1)
La primera integral ( )dxx∫ − 84 del miembro derecho de (1) es xx 82 2 − (2)
La segunda integral dxxx
x∫ +
−2116
2 la resolvemos por fracciones simples
( ) ( ) BxxAxxx
BxxAxxx
xB
xA
xxx
++=−⇒+++
=+−
⇒+
+=+− 2116
)2(2
)2(116
2)2(116
Si 2/1210 −=⇒=−⇒= AAx Si 2/332332 =⇒−=−⇒−= BBx
Luego se tiene cxxdxx
dxx
dxxx
x+++−=
++
−=
+−
∫ ∫∫ 2ln233ln
21
22/332/1
2116
2 (3)
Entonces reemplazando (2) y (3) en (1) resulta
cxxxxdxxx
x+++−−=
+−
∫ 2ln2
33ln2182
214 2
2
3
Caso 2) Raíces reales múltiples
EJEMPLO 16) ∫ +− 233 xxdx
El polinomio 233 +− xx presenta una raíz múltiple 11 =x y una simple 22 −=x
Factorizando resulta ( ) ( )2123 23 +−=+− xxxx
Descomponemos la fracción 23
13 +− xx
de la siguiente manera
( ) ( ) ( ) 211211
231
223 ++
−+
−=
+−=
+− xC
xB
xA
xxxx
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
112
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )21
1212
211
2
2
2 +−
−++−++=
+− xxxCxxBxA
xx
( ) ( )( ) ( )212121 −++−++= xCxxBxA Dando valores arbitrarios a x : 2−=x ; 1=x y 0=x se obtiene 9/1;3/1 −== BA y 9/1=C Luego
( )
( ) cxxx
dxx
dxx
dxxxx
dx
+++−−−−=
=+
+−
−+
−=
+−
−
∫ ∫ ∫∫2ln
911ln
911
31
29/1
19/1
13/1
23
1
23
Caso 3) Raíces Complejas simples
EJEMPLO 17) ∫ −−−
+− dxxxx
xx2
34323
2
El polinomio del denominador posee una raíz real simple y raíces complejas conjugadas. Entonces ( )( )122 223 ++−=−−− xxxxxx La descomposición es
( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( )1221
12343
1212343
2
2
2
2
22
2
++−−++++
=++−
+−
+++
+−
=++−
+−
xxxxCBxxxA
xxxxx
xxCBx
xA
xxxxx
=+− 343 2 xx ( ) ( )( )212 −++++ xCBxxxA Si 1772 =⇒=⇒= AAx Si 1230 −=⇒−=⇒= CCAx Si ( ) 2)1(321 =⇒−++=⇒= BCBAx Luego
∫ ∫ ∫∫ =++
−+
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
−+
−=
−−−
+− dxxx
xxdxdx
xxx
xdx
xxxxx
112
2112
21
2343
2223
2
)1(1
122ln2∫ ++
−+−= dx
xxxx
Para calcular la última integral de (1) transformamos el numerador 12 −x convenientemente para que el mismo resulte la derivada del denominador. Esto es
212221212 −+=−+−=− 321
rdenominadodelderivada
xxx
Luego ( ) )2(
12
112
1212
112
2222 ∫∫∫∫ ++−
++
+=
++
−+=
++
−
xxdxdx
xxxdx
xxxdx
xxx
La primera integral de (2) es de la forma ∫ udu y la segunda integral se lleva a la forma ∫ + 21 u
du
completando previamente el cuadrado.
( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ ++=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ ++=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=++
2
23
21
43
2212
2 1431
43
43
211
xxxxx
Integración
113
Entonces en (2) se tiene
( ) ∫∫
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ++
−++=++
−2
23
21
22
143
21ln1
12
x
dxxxdxxx
x
Haciendo dxduxu3
221
32
=⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Luego
( ) ( ) cxxxu
duxxdxxx
x+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−++=
+−++=
++
− −∫∫ 21
32tg
3341ln
123
381ln
112 12
22
2
Reemplazando en (1) esta última expresión se tiene
( ) cxxxxdxxxx
xx+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+++−=
−−−
+− −∫ 21
32tg
3341ln2ln
2343 12
23
2
Caso 4) Raíces complejas múltiples
EJEMPLO 18) ( )∫
+
−+− dxx
xxx22
23
1
154
En este caso la descomposición en fracciones simples es
( ) ( )
( )( )( )( )( )( )1154
1
1
1
154
111
154
223
22
2
22
23
22222
23
++++=−+−
+
++++=
+
−+−
++
++
+=
+
−+−
xDCxBAxxxx
x
xDCxBAx
x
xxx
xDCx
x
BAx
x
xxx
Dando valores a x: 0;1; -1; 2 resulta el sistema
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+++=−++−=−
+++=+=−
5)2(2372)(11
2)(71
DCBACDBA
DCBADB
Obteniéndose 1;4;0;1 −==== DCBA Luego
( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫ ∫ =+
−+
+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
++
+
+=
+
−+− dxx
xdxx
xdxx
DCx
x
BAxdxx
xxx114
1111
15422222222
23
( ))1(
114
12222 ∫∫∫ +
−+
++
=x
dxdxx
xdxx
x
En la primera y segunda integral de (1) se hace la sustitución xdxduxu 212 =⇒+= Entonces
( ) 11
211
21
21
12222 +
−=−==+
∫∫ xuududx
x
x (2)
)1ln(.2ln.221
4 22 +===+ ∫∫ xu
ududx
xx (3)
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
114
La tercera integral de (1) es inmediata
cxx
dx+=
+−∫ 1
2tg
1 (4)
Reemplazando (2) (3) y (4) en (1) resulta
( )∫ =+
−+− dxx
xxx22
23
1
154 cxxx
+−+++
− −122
tg)1ln(.21
121
Ejercicios propuestos ***Integrar por el método de fracciones simples***
77) ∫ +
− dxxx
x634
2 78) dx
xxx
∫ ++
+
2365
2
2 79) dx
xxx
∫ −−−3
123 80) dx
xxxx
∫ −−
−+
6232
2
34
81) ∫ +− dx
xx
5338 82) ∫ +
− dxx
x2
1 3 83) ∫ −92x
dx 84) ∫−+
dxxx
x
123
52
85) ∫ −−+ 223
23 xxxdx 86) ∫ +− )4()1( 2 xx
dx 87) ∫ − xxdx
23 88) ∫ −++
−
935)12(
23 xxxdxx
89) ( )∫ ++ xxxdxx
122
2 90) ∫ −
dxxx
x23
4
6 91) ∫ −+
+ dxxx
x43
2323 92) ∫ +− 234 44 xxx
dx
93) ∫ +− 122
24 xxdx 94)
( )( )( )∫ +−+ 2113 xxxdx 95)
( )∫ − 31xxdx 96) ∫ + 31 x
dx
97) ∫ −14tdt 98) ∫ +++ 123 uuu
du 99) ( )dxxx
xx∫ +
+−
11
22
3 100)
( )dx
x
xx∫
+
+22
3
4
143
101)( )
dxx
xxx∫
+
++−32
234
1
12 102) ∫ −dx
xx
2
4
25 103 ∫ −−
+ dxxx
x22
46 104) ( )dxxxx
∫ +− 1)3(10
2
105) ∫ +dx
xxx
9sen3cossen 2
106) ∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
+x
dxx
x1ln
ln62
107) ∫ +
− dxeeee
xx
xx
2
2 108) dx
xxx
∫ − 4cossencos
2
3
Ejercicios varios ***Resolver las siguientes integrales***
109) ∫ dxx2tg2 110) ∫ xxdx
22 cossen 111) dx
xx
∫ cos)2sen( 112) ds
sss
∫ −+−
1123
113) dxx
x n
∫ −−11 114) ( )∫ − mtt
dt1
115) ( )∫ − dxx 24)2tg( 116) ( ) dxxx∫ + 2)5cos()5sen(
***Resolver utilizando las identidades: 2
)2cos(1cos2 xx += y ( )
22cos1sen2 xx −
= ***
117) dxx∫ 2sen 118) ∫ dxx)5(cos2 119) dxxx∫ 22 cossen 120) ∫ xdxxe x cossen
Integración
115
***Resolver***
121) ∫ dxx3sen 122) ∫ dttt 32 sencos 123) ∫ drrr 33 cossen 124) ∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+ dx
ee
xe
x
xx
2ln
125) dxexex
x
x
∫ −
−
+
−
sencos 126) ∫ −
−
dxx
e x
2
sen
1
1
127) dxx
x∫ + sen
cosπ
128) ( ) dxxecxg
x∫ +
+coscot
cos1 5
129) ∫− dx
xx
2sencos3 130) dx
xxx
∫ + sec21tgsec
131) ( )∫ dx
xxx
lnlnln 132) ∫ + x
dxsen1
133) ∫ + 294 xdx 134) ∫ +− 5)5( 2x
dx 135) ∫ − 2161 xdx 136) dx
xx
∫ +
−
2
1
161)4(tg
137) ∫ − dxxx )1senh( 32 138) ∫ dyyy )6senh()6(cosh 2
***Resolver utilizando las identidades 2
1)2cosh(cosh 2 +
=xx y
21)2cosh(
senh 2 −=
xx ***
139) ∫ dxx )2/(cosh 2 140) ∫ dttt )3(cosh)3(senh 22
***Resolver***
141) ∫ + dxxx )senh(cosh 33 142) ∫ dxthx 143) ( )∫
+
−
dxx
x2
1001
1004
)5(senh
144) dxxx
x∫ −− 2sensen
cos2
145) ∫ dxx3sec 146) ∫ − dxxx 1tg 147) ∫ ++dx
xxx
44ln2
2
148) ( )[ ] ( )∫ −
−−− dx
xxxxxx
3323ln
22 149) dxxx∫ − )3(tg 13 150) ∫ dxxxsenh
***Utilizar la sustitución uax tg= ***
151)( )∫
+22 25x
dx (sugerencia 5=a ) 152)( )∫
+dx
x
x22
2
9
***Resolver las siguientes integrales llevándolas a la forma
∫ ∫ <+=−
+=+
−− 11
tg1
12
12
usicuthu
duycuu
du
153) ∫ +1002xdx 154) ∫ ++ 162 xx
dx 155) ∫ + 2925 xdx 156)
( )∫ −− 2141 xdx
157) ∫ − 2xxdx 158) ∫ −+ 244 xx
dx 159) ∫ − xxdx
42 160) ∫ +−
− dxxx
x34
762
161) ∫ −−
+− dxxxxx
11
2
2 162) ∫ ++
dxee
exx
x
222 163) ∫ −
dxxx
xsensen4
cos2
164) ( )∫ −+ 2ln4ln2 xxxdx
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
116
***Resolver las siguientes integrales llevándolas a la forma
cuu
ducuu
ducuu
du+=
−+=
++=
−∫ ∫ ∫ −−− 1
2
1
2
1
2cosh
1senh
1sen
1
165) ∫− 26 xx
dx 166) ∫+− 522 xx
dx 167) ∫−169 2x
dx
168) ∫−− 142 xx
dx 169) dxxx
x∫
+−
+
14
12
170) ∫−−
− dxx
x291
2
***Efectuar la sustitución z
x 1= y resolver***
171) ∫+12xx
dx 172) ∫−12xx
dx 173) ∫+ 362xx
dx 174) ∫− 29 xx
dx
***Efectuar las sustituciones tu sen= ; tu senh= y tu cosh= según corresponda para llevar el
integrando a la forma 11;1 222 −+− uyuu ***
175) dxx∫ − 24 176) ∫ ++ dxxx 1022 177) ∫ − dxx 10025 2 178) dxxx∫ −2
***Efectuar la sustitución ntx = (n es el mínimo común múltiplo de los índices) en las siguientes integrales***
179) dxx
xx∫
+6
3 2 180) ∫ +
− dxxx
11 181) ∫ − xx
dx3
182) dxxx
xx∫ +
−4/52/5
6 32
***Efectuar la sustitución ntbax =+ en las siguientes integrales***
183) dxxx
∫ ++
+−
3131 184) ∫ −+
+ dxx
x14
43
185)( )
dxx
x∫ − 2/5
2
13 186) ∫ +−+ 113 xx
dx
***Efectuar la sustitución )2/tg(xu = en las siguientes integrales***
187) ∫ dxecxcos 188) ∫ ++ xxdx
sencos1 189) ∫ ++ 2sen2cos xx
dx 190) ∫ dxxsec
***Resolver las integrales considerando las identidades
( ))sen()sen(21cossen yxyxyx −++= ( ))sen()sen(
21sencos yxyxyx −−+=
( ))cos()cos(21sensen yxyxyx +−−= ( ))cos()cos(
21coscos yxyxyx −++=
191) ∫ dxxx )2cos()4sen( 192) ∫ dxxx )3sen(cos 193) ∫ dxxx )3sen()8sen(
194) ∫ dxxx sen)2cos( 195) ∫ − dxxx )5sen()23cos( 196) ∫ −+ dxxx )21sen()34cos(
Integración
117
6.2 Integral Definida
Sea f en [ ]ba, , la integral definida de a a b simbolizada por ∫b
a
dxxf )( se define como
∫ ∑=
→∆∆=
b
a
n
iiix
xxfdxxfi 1
0)(lím)(
y f(xi) f a b x
Definición 1) 0)( =∫a
adxxf Definición 2) ∫ ∫−=
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
Propiedades
[ ] [ ]bacdxxfdxxfdxxfcdxxgdxxfdxxgxfbdxxfkdxxfkab
c
b
a
c
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
,)()()())()()()())()() ∈+=±=±= ∫∫ ∫∫∫∫∫∫ Teorema fundamental del cálculo Sea )(tf continua en [ ]ba, y sea x cualquier número perteneciente al intervalo; si )(xF es la
función integral definida por ∫=x
a
dttfxF )()( entonces )()( xfxF =′
Regla de Barrow
Sea )(xf continua en [ ]ba, y )(xF una primitiva de )(xf , entonces )()()( aFbFdxxfb
a
−=∫
La diferencia )()( aFbF − se indica baxF )(
Área Si f es continua en [ ]ba, entonces el área bajo la gráfica en el intervalo está dada por
0)()( >= ∫ xfsidxxfAb
a
y ∫ ≤−=b
a
xfsidxxfA 0)()(
De las consideraciones anteriores se puede escribir ∫=b
a
dxxfA )(
Ejercicios resueltos
***Evaluar***
EJEMPLO 19) 2041
481
431
43
1
3 =−==∫xdxx
ix
ix∆
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
118
EJEMPLO 20) ∫ +4
0
2 1 dxxx haciendo xdxduxdxduxu =⇒=⇒+=2
212
Observa los límites de integración cuidadosamente; si 0=x ⇒ 1=u y si 4=x ⇒ 17=u
Luego 31
317
321
2/317
1
2/317
1
4
0
2 −===+ ∫∫uduudxxx
***Hallar el área limitada por las siguientes funciones, el eje de abscisas y los intervalos indicados*** EJEMPLO 21) y
[ ]4,01+= xy 1 0 4 x
( )32844
32
321 34
03
4
0
=+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+= ∫ xxdxxA
EJEMPLO 22) [ ]2,012 −= xy
y 0 1 2 x
( ) ( ) 21312
381
31
3311 2
1
310
32
1
21
0
2 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=−+−−= ∫∫ xxxxdxxdxxA
Ejercicios propuestos
***Evaluar***
197) ∫−
3
22 1
dxx
x 198) ( )∫ −π
0
sen dxx 199) ( )( )dxxxx∫−
−−2
1
21 200) ∫∫ +0
2
52
0
5 dxxdxx
***Hallar el área limitada por las siguientes funciones, el eje de abscisas y los intervalos indicados***
201) [ ]4,02=y 202) [ ]1,01+−= xy 203) [ ]5,21−= xy
204) [ ]2,02xy = 205) [ ]2,242 −−= xy 206) [ ]1,03xy =
207) [ ]2,213 −+−= xy 208) ( ) [ ]2,01 2−= xy 209) [ ]4,0xy =
210) [ ]2,113 2 +−= xy 211) [ ]1,13 −= xy 212) [ ]3,262 −−−= xxy
213) [ ]π2,0sen xy = 214) [ ]ππ ,cos −= xy 215) [ ]2,1−= xey
Integración
119
216) [ ]4,2)2(1 2−=− xy 217) [ ]5,2322 −−−= xxy 218) [ ]1,21−−=
xy
219) [ ]4,032 2xxy −=+ 220) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−−= ππ 2,
6sen xy 221) [ ]2,0
39 2
−−
=x
xy
222) [ ]3,0)3)(2( −−= xxxy 223) [ ]1,1−= xy 224) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−=
4,
4sec2 ππxy
225) 11
12
≤+
= xx
y 226) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
−+
=21,1
11
xxy 227) [ ]3,5
21
−−+
=x
y
228) 103 2 ≤= xxy 229) [ ]2,01 2
x
x
eey
++= 230) ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
−
+= 1,
23
41
2xxy
Área entre dos gráficas Sean f y g funciones continuas en [ ]ba, , el área de la región del plano limitada por las gráficas
en el intervalo es ∫ −=b
a
dxxgxfA )()(
y g f a b x
Ejercicios resueltos EJEMPLO 23) Hallar el área de la región del plano limitada por las gráficas ( )234 −−= xy y 1−= xy Para hallar el intervalo de integración debemos determinar la intersección de ambas gráficas planteando el
sistema ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−−=
134 2
xyxy obteniéndose los puntos y
)0,1(P y )3,4(Q Luego
( ) ( ) ( )29
2334134 4
1
234
1 )()(
2 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−
−−=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−−−−∫ xxxxdxxxxgxf32143421 x
EJEMPLO 24) Ídem anterior y el eje de abscisas. En este caso dividimos la región en dos subregiones determinando las áreas de cada una. Para hallar los intervalos de integración se buscan las intersecciones entre la recta, parábola y eje de abscisas.
21 AAA +=
1 4
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
120
y
A2
( )
( )[ ] ( )35
33434
29
21
54
35
4
22
41
24
11
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=−−=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−=
∫
∫xxdxxA
xxdxxA
1 4 5 x Luego
637
35
29
=+=A
EJEMPLO 25) Hallar el área del recinto limitado por las gráficas ( ) 21 2 −−= xy y xy −= 1 Las gráficas se cortan en p(-1,2) y q(2,-1) y 2 -1 x
Luego ( )( )[ ] ( )292
31
2211 2
1
322
1
2 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−−−=−−−−= −
−∫ xxxxdxxxA
EJEMPLO 26) Hallar el área de la región limitada por las gráficas 2
2;;0 =+==
xyxyy integrando con respecto y
De la figura se observa que el intervalo y de integración con respecto a y es [ ]3
4,0 ; el
punto ( )34
34 ,p se obtiene de la intersección de
ambas rectas. Luego expresando a x como 4/3 función de y se tiene: yxyx =−= ;24 Entonces 0 4/3 x
[ ]38)24(
3/4
0
=−−= ∫ dyyyA Verificar integrando con respecto a x.
Ejercicios propuestos
***Hallar el área del recinto limitado por las curvas***
231) 0;3
13
; =−== yxyxy 232) xyxy == ;2 233) 2;;3 === xxyxy
234) xyxy == ;2 235) 0;4;2 === xyxy 236) xyy −=−= ;8 237) 0;)1(; 22 =−== yxyxy 238) 22 9;9 xyxy −=−=
A1
Integración
121
239) 8;72 −=+−−= xyxxy 240) 8;1;2
4=== yxxy
241) 4;1;1=== xx
xy 242) 4;3 2 == yxy
243) xxyxy49
43;0934 2 +−==+− 244) 4;862 =++−= yxxxy
245) π==== xyxxy ;1;0;sen 246)2
;sen;cos;0 π=−=== xxyxyx
247) eyeyey xx === − ;; 248) xyxy =−= ;2 2
249) 2;23;3 =++== yxxyxy 250) 2;; === − xeyey xx
251) ( ) 24;0;4;12 2 −===−−= xyxyxy 252) xyxxxy cos2;2
;2
;cos =−===ππ
253) 6;4;16 22 =−=−= xxxyxy 254) 2;2;ln exyxy =−==
255) 22 1; yxyx −== 256) yxyx −== 2; 257) 22 yyx −= ; 4−=+ yx
258) 1=+ yx ; 4=+ yx 259) 2
944 xy =+ ; 1
23=+
yx 260) 122 =+ yx ; 922 =+ yx
261) )4( 222 −= xxy ; 4=x 262) 322 =− yx ; 2xy = ; 0=y
Ejercicios varios *** Utilizar el teorema fundamental del cálculo y resolver***
263) ( )∫ −x
dtttdxd
0
2 115 264) ∫ +2
1x
dttdxd 265) ( )dttt
dxd
x
∫ +
2
0
23 266) dtedxd
x
x
t∫+25
ln
2
267) Siendo f continua que cumple ∫ +=x
xxdttf0
2)( , hallar )3(f
268) Siendo g continua que satisface ∫ =
2
0
3)(x
xdttg , hallar )4(g
***Hallar )(xf *** 269) 0)()()( 632 =+−′ xfxxxfx si 2)0( =f 270) 1)( =+′′ xxf si 3)0( −=f y 4)0( =′f
271) Sea f una función continua en [ )∞+,0 que verifica ( )∫+=−+
2
0
2 25)()9(x
duufxxfx , calcular
)(xf sabiendo que 5)0( =f
272) Sea f una función que admite derivada continua y que verifica xxdrrfx
+=′+∫ 2
0
4)(1 en
[ )∞+,0 ; si 3)0( =f , hallar )(xf
273) Hallar el valor promedio de xxf cos)( = en [ ]22 , ππ−
274) Hallar k tal que ( )∫=−b
a
dxxfabk 22 )()( donde xxf sen)( = ; [ ] [ ]π2,0, =ba
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
122
Respuestas a ejercicios de número impar 1 1) ( )∞+,3 3) [ )3,8− 5) 24 ; 24− 7) 4 ; 3
4 9) ( ) ( )∞+∪−−∞ ,1010,
11) [ ]5,7− ; 1−≠x 13) 10 15) 37− 17) 2
5− ; 219 19) ( )∞+,2
1 21) ( ) ( )∞+∪−−∞ ,31,
23) 27 ; 2
5− ; 211 ; 2
9− 41) ∅ 43) ∅ 45) ∅ Cotas Infer. Ext. Inf. Min. Cotas Sup. Ext. Sup. Max.
47) 1≤x 1 no 2≥x 2 2
49) 11−≤x 11− no 9≥x 9 no
51) no no no no no no
53) no no no no no no
55) 3−≤x 3− 3− 5≥x 5 5
57) 1−≤x 1− no 1≥x 1 no
59) 31≤x 3
1 no 34≥x 3
4 no
61) 2≤x 2 no no no no
63) no no no 10≥x 10 10
65) 52≤x 5
2 no 21≥x 2
1 no
67) 3≤x 3 3 no no no
69) no no no 4−≥x 4− 4−
71) 0≤x 0 0 1≥x 1 no
73) 2−≤x 2− no 21−≥x 2
1− 21−
75) 4≤x 4 no 29≥x 2
9 29
77) 21≤x 2
1 21 no no no
79) 1≤x 1 1 no no no 81) no no no no no no 83) no no no 1≥x 1 1 85) 50−≤x 50− 50− 2≥x 2 2 87) 0≤x 0 0 1≥x 1 1 89) 1≤x 1 no 3≥x 3 3 91) )2(E radio 4 93) )5(−E radio 7 95) )2(E radio 6 97) ( )3
1−E radio 2 99) ( )81E radio 12
11
101) )1(−′E radio 8 103) ( )25E radio 2
9 105) )8(E radio 9 107) ( )125E radio 12
1
109) )0(E radio 2 111) ( )2baE + radio 2
ab− 125) 715 <−x
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
124
2 1) 9 ; 12 −a ; 1sen2 −x 3) 5 ; a−10 ; xsen10− 5) 5−e ; ae− ; xe sen− 7) 4 9) hx +2 11)
xhx +−
21 13) 5
4 15) 1 ; 2 ; 1− 17) 2 ; 7 19) 4
21) 0 ; 2− 23) 3 ; 3− 25) no existen 27) 2 29) 20 31) ππ k24 + Zk ∈ ; ππ k245 + Zk ∈
33) πk Zk ∈ ; ππ k+43 Zk ∈ 35) 0 37) a) 10<x ; b) 10>x 39) a) 65 >∨< xx ; b) 65 << x
41) a) )2/1ln(3ln<x ; b) )2/1ln(
3ln>x 43) a) 031 >∨−< xx ; b) 03
1 <<− x
45) a) 84 )12( ππ +<< kxk Zk ∈ b) 48)12( ππ kxk <<+ Zk ∈ 47) [ ]49,4− 49) ( )∞+,3
51) ( )0,−∞ 53) { }22 55) ( ]0,−∞ 57) 4=m ; 8−=b 59) 1−=a ; 3=b ; 2−=c
61) 21 =c ; 32 =c 63) no 65) no 67) ℜ 69) ℜ 71) { }1−ℜ 73) { }3,2−ℜ 75) { }2
1,0−ℜ 77) { }3,0,2−−ℜ 79) { }0,1−−ℜ 81) { }4,2,1,0 −−ℜ 83) ℜ
85) { }Zkk ∈∧+−ℜ 2)12( π 87) ℜ 89) ( ] [ )∞+∪−∞ ,52, 91) ( ] [ )∞+∪−−∞ ,1212, 93) ( ] [ )∞+−∪−−∞ ,36, 95) ( ) ( )∞+∪−∞ ,60, 97) ( )∞+,0 99) [ )∞+,1 101) { }0−ℜ 103) ( )∞+,3 105) ( ) ( )∞+∪−−∞ ,61, 107) ℜ 109) ( ) ( )∞+∪−∞− ,0, 1
e 111) ( )∞+− ,2
113) ℜ 115) [ ]1,1− 117) ℜ 119) [ )∞+,21 121) [ ]1,1− 123) { }...,6,5,4 125) ( )∞+− ,1
185) ⎩⎨⎧
<≥
=0001
)(xsixsi
xf 187) ⎩⎨⎧
<≤−<≤−+
=202022
)(xsixxsix
xf
189) par 191) par 193)impar 195) no es par ni impar 197) impar 199) par 201) no es par ni impar
203) par 205) impar 207) par 209) par 211) impar 213) par 215) impar 217) par 219) impar
221) ℜ=+−= Dxgf 1)3( 2o ; ℜ=−= Dxfg 22o ℜ=++= Dxxff 22 24o ; ℜ=−= Dxgg 6o
223) ( ) +ℜ== Dgf x1lno ; {}1ln
1 −ℜ== +Dfg xo ; ( )∞+== ,1)ln(ln Dxff o ; { }0−ℜ== Dxgg o
225) [ )∞+−=+= ,11sen Dxgf o ; ℜ=+= Dxfg 1seno ; ℜ== Dxff )sen(seno ;
11 ++= xgg o [ )∞+−= ,1D 227) { }ZkkDxgf ∈∧+−ℜ== 2)12(sec πo ;
xfg sec=o { }ZkkD ∈∧+−ℜ= 2)12( π ; xff =o ℜ=D ;
)sec(sec xgg =o { }ZkkkD ∈∧+∧+−ℜ= −2
12 )12(sec)12( ππ
229) { }13 11
−−ℜ== + Dgf xo ; { }013 /1 −ℜ=+= Dfg xo ; ( )x
ff/133
−=o { }0−ℜ=D ;
2+= xgg o ℜ=D 231) [ ]1,1cos 21 −== − Dxgf o ; ( )21cos xfg −=o [ ]1,1−=D
)(coscos 11 xff −−=o { }1cos011 1 ≤≤∧≤≤−ℜ∈== − xxxD ; ℜ== Dxgg 4o
233) a) 3 33+ b) 3 22 −+− c) 0 235) ( ]49,∞− 237) [ )∞+− ,1 239) [ ]79,2−
241) ( ) 15422 +− x ℜ=D 243)
xcos1 { }ZkkD ∈∧+−ℜ= 2)12( π 245) 2xf = 13 += xg
247) xg = 21 xh −= 249) xf sen= xg ln= xh 4= 251) xf = 12 += xg 253) impar 255) no 257) si 259) no 261) si 263) no 265) 10−= xy ℜ== −1ff ID
ℜ==− ff ID 1 267) xy = [ )∞+== − ,01ff ID [ )∞+==− ,01 ff ID 269) xey = +ℜ== −1ff ID
ℜ==− ff ID 1 271) xy 5log= ℜ== −1ff ID +ℜ==− ff ID 1 273) xy 1= { }01 −ℜ== −ff ID
{ }01 −ℜ==− ff ID 275) 22 += xy [ )∞+== − ,21ff ID +ℜ==− 01 ff ID
Respuestas
125
277) 21
41 ++= xy [ )∞+== − ,2
11ff ID [ )∞+−==− ,4
11 ff ID
279) xy log−= ℜ== −1ff ID +ℜ==− ff ID 1 281) xy 1sen −= [ ]22 ,1ππ−== −ff ID
[ ]1,11 −==− ff ID 283) xy 1tg −= [ ]22 ,1ππ−== −ff ID ℜ==− ff ID 1
291) a) 341 xf −− = b) xf 34
11−= c) xff =−1o d) xff 34
31 4 −−=o e) ( ) xf 3411 −=−−
293) a) 1231−−−− = xxf b) 3
21−+= xx
f c) xff =−1o d) 531121
−+−= xx
ff o e) ( ) 2311
+−−− = xxf
295) 22
)( llA = ( )llp 22)( += 297) 343)( VVr π= 299) 2/3)( AAV = 301) 15/2)( ttn = ; 256
303) 10 305) 6)3( =S ; tarda 4 seg.
3 31) 17 33) 3
2− 35) 494 37) 263+ 39) 0 41) 1 43) +∞ 45) π 47) 0 49) +∞
51) 0 53) +∞ 55) +∞ 57) +∞ 59) 0 61) +∞ 63) −∞ 65) +∞ 67) 4− 69) −∞ 71) +→ 5x 10→f ; −→ 5x 10→f 73) +→1x 2→f ; −→1x 0→f ;
+→10x 10sen10 −→f ; −→10x 102→f 75) +→ 3x −∞→f ; −→ 3x 80−→f ; +−→ 3x 80−→f ; −−→ 3x −∞→f 77) 1 79) 2 81) 0 83) 1 91) 4− 93) 2 95) −∞
97) 51 99) +∞ 101) 4
7 103) 0 105) 53− 107) 501 109) 2− 111) −∞ 113) 5 425
115) 32 117) n
m 119) 38 121) 12
5 123) 1526 125) 3
1− 127) 1 129) 15 131) 52− 133) 0
135) 21− 137) acos 139) nm−
1 141) βsen51 143) 1 145) 2 147) 2 149) 3 151) 2
153) 1 155) 0 157) +∞ 159) 25 161) 3− 163) 3 165) 1 167) 0 169) +∞ 171) 1
173) 322 175) 2 177) 21− 179) 1 181) 20log 183) 4
π 185) 0 187) 0 189) +∞ 191) +∞ 193) −∞ 195) 0 197) 0 199) 9− 201) 1 203) +∞ 205) −∞ 207) +∞ 209) +∞ 211) −∞ 213) 0 215) +∞ 217) −∞ 219) 5e 221) 1 223) 1 225) 10e 227) +∞ 229) e 231) 2/1−e 233) 9e 235) 6e 237) 5e 239) 3−e 241) 2e 243) e 245) 1 247) 1 249) 2
1 251) aah ln
1 253) 3 255) 21 257) 2
1− 259) +∞ 261) 21 263) 1
265) 3ln 267) 7ln2− 269) 1 271) 1 273) 1 275) 1 277) 3e 279) 1 281) 25 283) 4=x 285) 2=x 287) 4
1=x 21=y 289) 3−=x 0=y 291) 1−=y 293) 4=y 4−=y
295) 1=x 1=y 297) 9−=x 9−= xy 299) no existen 301) 3=x 303) 2=x 3=x 305) π)1( += kx ; Zk ∈ 307) 1−=y 309) 0=y 311) 1+= xy 1−−= xy
313) 2=x 1=y 1−=y 315) 0=x 1=y 317) 0=y 319) 2π=y 2
π−=y 321) no existen 325) 2/εδ = 327) εδ = 329) 4/εδ = 331) εδ = 333) εδ = 335) εδ = 337) ( )13/,1mín εδ = 339) ( )37/,1mín εδ = 341) ( )5/,1mín εδ = 343) ( )εδ 2,1mín=
345) ( )9/,1mín εδ = 347) ( )32/,4/1mín εδ = 349) 2εδ = 351) εδ −−= e1 353) 2/εδ =
355) a) 2/εδ = b) εδ = 359) k3=δ 361) k10
1=δ 363) k1=δ 365) 2
1k
=δ
367) ( )k5,1mín=δ 369) ( )k73,1mín=δ 371) klog
2log=δ 373) 3 1k=δ 375) ( )k11ln +=δ
377) a) k10=δ b) ( )k22
1 ,mín=δ 379) ε/1=N 381) 3/1 ε=N 383) )2/(52/1 ε+
385) )1ln(/1 ε+=N 387) ε/1eN = 389) ε/204+=N 391) ( ))1/(11 εeN −+−=
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
126
393) )9/(53/1 ε+=N 395) ( )3/21 ε+=N 397) )ln(/1 1−+= eN ε 399) ε/1=N
401) a) 5ln/)(ln ε−=N b) εln−=N 403) 32kN = 405) 4
1+= kN 407) 1+= kN
409) 2−= kN 411) 4 1 kN += 413) 2log kN = 415) keN = 417) keeN +=
419) 143 −+= kN 421) a) 3 keN = b) kN log= 423) 83 425) 2=a 427) 9=a 6=b
429) 2=a 2−=b 431) 5−>t 433) 1−<t ó 3>t 435) 21
41 ≤≤− t 437) 0≥t
439) 21 =m ; 22 −=m 441) x2 443) xcos 463) 0)( →xf 465) +∞→)(xf 467) 0)( →xf 469) 15=N 471) 10000
110000
1 33 +<<− x 473) 8001=δ 475) εδ sen=
4 1) 4− 3) 0 ; 3 5) 2 ; 2− ; 5 7) 0 9) 0 11) 2)12( π+k ; Zk ∈ 13) no existen 15) enteros Z 17) 0 19) no existen 21) 0 23) esencial 1=x ; eliminable 5−=x 25) esencial 1=x ; 3−=x ; eliminable 2=x 27) esencial 4=x ; 2−=x 29) esencial 0=x 31) esencial 1=x 33) esencial Zx∈∀ 35) esencial 0=x 37) eliminable 8−=x 39) esencial 0=x 41) esencial 0=x 43) eliminable 0=x 45) eliminable 0=x 47) eliminable 0=x 49) esencial 2)12( πγ += k ; Zk ∈ 51) esencial 0=β 53) esencial 1=x ; 4=x
55) esencial 0=x 57) 4=k 59) 31=k ; 6−=m 61) 2
1=m 63) 8)12( π+= pm ; Zp∈
65) 21−=k ; 2
1=m 67) 1=c 69) 2=c 71) 1=c 73) si 77) 7−<k o 3>k 79) verdadero
5
1) 0 3) 5 5) 13 2 −x 7) ( )254
6−x
9) x1 11) xcos 13) No existe )1(y ′ 15) No existe )0(y ′
17) No existe )4(y ′ 19) 79 820 xx − 21) 0 23) 1
2−nxna 25) ( )ee
x 32 loglog1−
27) 2/15/43/2
51
31 −−− +− xxx 29) xsen 31) xsenh 33) 10ln10cos5 xx
x−+
35) xxxx sencos3 32 − 37) ( )exxex 2323 loglogloglog4
+ 39) xxx senhcosh +
41) xxp
xx
pp ln11 11/1
−+ 43)
2
1
1sen
x
xx−
+− 45) 2
1
1senh
x
xx+
+− 47) 1ln +x
49) xxxxxxxx senlncoscosln2 2−+ 51) 2
2
)3(26
+
++
xxx 53)
2cossen
xxxx −−
55) x
xkxkk xx
2ln
1lnln − 57)
x
xxxex
2
22
sen
coslogsenlog1−
59) ( )2xa
xa
− 61)
x
xx
10.2
10ln31 3/13/2 −−
63) 2
12
tg1
x
xxx −−+ 65)
( )2cosh1senh2
xx
− 67) )1561()53(5 2432 xxxxx +−+−
Respuestas
127
69) )22()23(21 2/12 +++ − xxx 71) )cos3(
sen11)sen1ln(2 2
33 xx
xxxx +
+−+−
73) 12
11tg1sec−
−−x
xx 75) )1(22)1( ++ xe x 77) ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛2
9 logloglog10
xxe
xx 79)
2)4(14x+
81) 2/3
21
11
1 −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−x
x
83) xxxxxx sensenlncos ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + 85) ( ) xxxln1+
87) xxxxx
xx ln
2)tg1(
tg1lnsec)tg1ln(
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
− 89) ( )xxxxxxx −⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−+− 3
2
23
113)ln(
91) xxx
xe senhlogcoshlog+ 93) ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+ 3243
244
xx
xx 95) ( ) ( ) xex
x
xxx e
eeee 1
121ln 2
22 +⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−+ −
−
−−
97) xxxx
xx )(coshcosh1
coshln 1
12
1 −
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+ 99) )3ln(
2
2
2)3ln(3ln)32( xxx
xxx
xxxx −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
−
−
101) m 103) 4
2
3yxyy
+
+ 105) 4
2
521xyx− 107)
)cos(2)cos(21
222
222
yxyxyxxy− 109) 160 111) 2ln 2
113) )tg2sectg(sec4 22 xxxxxx ++ 115) xsen− 117) 3
2x
119) xx sencos4− 121) xex)2( +
123) 1 125) 2/32 )1( −−− xx 127) )cos212()sen24(2 233 xxxxx +−+−− − 129) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
xx 1)3cos(35
131) xx
xx )(lnsec
tgsec 22
+ 133) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++++ −− 2/12/12/1 )1(
211)1(
21 xxx
135) ( ))5cos()10tg()5sen()10(sec4)5(sen)10tg(5 2
2xxxx
xx
− 137) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2sen
2cos
23
2sen2 2
2xxxx
x 139) 0
141) ( )xx
xxe32
3ln32ln2log+
+ 143) 13
322 +−
−
xxx 145)
11ln6 3
++
xx
147) ( ))3sen(ln3)3cos(8ln)3cos(ln 2223 xxxxxxx −+ 149) )61(61
15627 2
xxxx−−
−+−
151) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−
2
2/1 sencossen21
xx
xx
xx 153) ( )
)2ln()2ln(ln3 2
xxx 155) ( )10211 )2(sec)2(10 −− ++− xaxa
157) )4(cos)1(4)4(cot3 232 xecxxgx +− 159) 10ln10)32( 32 xxx −− 161) xe x 2tg sec
163) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−
+
+−
3ln2
134ln23
4 21
3
2
xxx
xx
x 165) ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −xx
xx
aa xx tgsecln 2
/tg
167) ( )( )3ln32ln232cos xxxx ++ 169) 13cot13cos132
3ln3−−
−
− xx
x
xgec
171) kkxaxb xbxa ln)sencos( sencos +− 173) )1ln()1(tg31 6/)ln(cos2
−−− kkx x
175) )4(sen2
2)1(
1)4(sen
)1ln()4cos()4sen(8 xxxx
xxx −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
128
177) ( ) )sen(225
2545
tgsectg
)sen(2)ln(tg)cos(5
xxx
xx
xxx ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ 179) xx ecec 2
23
1 23 −− 181) xx ln
2
183) x
ex 2
2
2
log
log1− 185)
( )2211
121
x−−− 187) 1 189)
4
2
612
3x
x
− 191)
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−−
− − 212 cos
111
1
xx
193) xx
e x
)1(1
23 1tg3
+
− 195) )(tgtg
11)(tgtg
ln xxxx
x−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−
197) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
23
cos
1
132ln2
1
x
x
199) xxxx x
xxxx
xxx
x
/1)1(/1/12
1)1(ln)1()1(
1)1ln(1 +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++−
201) ( ) )3/(12222
13)13ln(13
)3)(32()3(
1 ++−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+−−
+−
+−
+
xxxxx
xxxx
x 203) ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
+ xx 2ln111 205)
1164
12 −xx
207) ( )xxx 224 senhcosh5senh + 209) xx cos.cosh2 211) thxhxkk hx secln4 sec4−
213) ( ) )5(2 ))3(senh()3coth()5(3))3ln(senh()5(sec5 xthxxxthxxh + 215) xth
xhxthxx2
22 sectgsec −
217) )sensenhcos(cosh2 cossenh2 xxxxe xx − 219) thx
xhthx+
+1
sec)1ln(2 2 221)
3 2 ))2(cosh(ln3
)2(2
x
xth
223) 2)23(16
8x−−
− 225) x
x
412ln2
+ 227)
( )212
1
2
1
)4(cos
1
161
)4(cosh4
116
)4(cos4
xx
x
x
x−
−−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+
−
229) 2641
1
xx −
− 231) )4(senh1
2
1)4(senh
161
ln4 xxx
x
x
x −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
+
−
233) x
xxxxxxx xx
4
ln2ln
sen
cossen2senln2−
235) discontinua y no derivable 237) continua y derivable
239) continua y no derivable 241) 12 243) verdadero 245) 3−= xyT 7+−= xyN
247) 23 −−= xyT 34
31 += xyN 249) 2
361 += xyT 576 +−= xyN
251) π55 +−= xyT 551 π−= xyN 253) 1216 += xyT 32
127161 +−= xyN
255) 21 =Ty 22 −=Ty normal 0=x 257) tangente 0=x normal 0=y 259) ( )41
21 ,−
261) en ningún punto 263) )0,0( ; )4,2( 2−− e 265) )5,3(− 267) )1,1( 269) )0,0( ; )0,1(
271) puntos de abscisa 5=x y 1−=x 273) punto de abscisa 2log)2log(ln− 275) 1 277) 4
5− 279) 8
281) 23 283) 3
75± 285) 2− 287) π6− 289) 4− 291) 1− 293) e 295) +∞ 297) 12
13− 299) −∞ 301) 0 303) +∞ 305) 1 307) 1 309) 1 311) 0 313) 1 315) 1 317) 1 319) 6/1e 321) 1−e 323) 0 325) )()1()1()1()1(1 5
5514
413
312
21 xRxxxxx +−+−−−+−−−
327) )(7!7!5!3753
xRx xxx +−+− 329) ...1 432 −−−−−− xxxx
331) 42513
542 )5()5()5(3)5(515 +++−++++− xxxx 333) ...!7!5!3
753++++ xxxx
335) ( )3,−−∞ crece ( )1,3− decrece ( )∞+,1 crece 337) ( )2,−∞ crece ( )∞+,2 decrece
339) ( )8331, −∞− crece ( )8
3318
331 , +− decrece ( )∞++ ,8331 crece 341) ( )1,−−∞ decrece ( )∞+− ,1 crece
343) ( )4,−−∞ crece ( )21,4− crece ( )5,2
1 decrece ( )∞+,5 decrece 345) ( )1,−∞ decrece ( )∞+,1 decrece
Respuestas
129
347) mín )5(y máx )3(y 349) mín ( )43y 351) no existen extremos 353) mín ( )3−y
355) máx )0(y mín ( )4−y mín ( )4y 357) no existen extremos 359) máx )0(y 361) mín ( )1−ey 363) máx ( )4
1y 365) mín )2(y máx )10(y 367) no existen extremos 369) mín ( )41y
371) no existen extremos 373) cuadrado de lado 4 375) 50=x 50=y 377) 142 =+ yx 379) 9 381) ( )3,−−∞ c. arriba ( )1,3− c. abajo ( )∞+,1 c. arriba 383) ( )∞+−∞, c. abajo 385) ( )3,−−∞ c. arriba ( )3,3− c. abajo ( )∞+,3 c. arriba 387) ( )∞+,0 c. arriba
389) ( )0,−∞ c. abajo ( )∞+,0 c. arriba 391) ( )22, −∞− c. arriba ( )22,22 +− c. abajo
( )∞++ ,22 c. arriba 393) )0(y 395) No existe inflexión 397) )3(−y )0(y )3(y
399) ( )2ln2−y 401) No existe inflexión 403) )2(y 405) )(πy 407) ( )2
2−y ( )22y
409) 1−=p 3−=q 411) Sí, 01 =x 413) máx )0(y 415) máx )1(y mín )3(y infl )2(y
417) mín )1(y infl )0(y ; )2(−y 419) mín )0(y máx )2(−y infl )5(−y ; )2( 26+−y ; )2( 2
6−−y
421) infl )0(y 423) máx )0(y mín ( )75y ; ( )75−y infl ( )5y ; ( )5−y 425) AH 1=y mín )0(y
infl ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
37y ; ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− 3
7y 427) AV 0=x AO xy −= 429) AV 3=x AH 4−=y
431) AV 1=x ; 1−=x AO xy −= mín ( )3−y máx ( )3y infl )0(y 433) AV 0=x ; 1−=x
AH 0=y mín ( )32−y 435) mín )1(y 437) máx ( )27
8y mín )0(y 439) máx ( )23y mín ( )2
3−y
infl )0(y ; ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
247319y ; ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛− −
247319y 441) infl )3(−y 443) máx ( )7
24y mín )0(y infl ( )76y
445) AV 3=x ; 3−=x AH 1=y ; 1−=y 447) AV 2=x ; 2−=x mín ( )12=y ; ( )12−=y 449) AH 0=y mín ( )2
1−y infl )1(−y 451) AV 0=x AH 0=y mín )3(y 453) mín )0(y
infl ( )2y ; ( )2−y 455) AV 0=x mín )1(y infl )2(y 457) AH 0=y máx )0(y infl )1(y ; )1(−y
459) infl ( )πky Zk ∈ 461) AV 2π=x 2
π−=x máx )0(y 463) AH 0=y máx ( )4)78( π−ky Zk ∈
mín ( )4)38( π−ky Zk ∈ infl ( )πky Zk ∈ 465) 210401 −=∆y 400
1=dy 467) 42 2.2 −=∆y 16ln2.0=dy
469) 0=dy 471) dxx
dy32
1−= 473) ( ) ( )dxxxxdy 521 2 −−= 475)
( )dx
xxdy
32121
−
+= 477) dx
xdy
21
−=
479) 322 )()(33 xxxxxy ∆+∆+∆=∆ dxxdy 23= 481) ( ) xxxy coscos −∆+=∆ xdxdy sen−=
483) ( ) ( ) 322 )()(1313 xxxxxy ∆+∆++∆+=∆ dxxdy 2)1(3 +=
485) ( )( ) )2sen(2sen xxxy −∆+=∆ dxxdy )2cos(2= 487) xxx eey /1)/(1 −=∆ ∆+ dxxedy
x
2
/1−=
489) ( ) xxxy secsec −∆+=∆ xdxxdy tgsec= 491) ( ) ( )xxxy lncos)ln(cos −∆+=∆ ( ) dxxxdy lnsen
−=
493) ( ) xxx xxxy 22 33 −∆+=∆ ∆+ ( )dxxxdy xx 2ln223 32 += 495) ( )( ) 22
cos1cos1x
xxx
xxy +−
∆+
∆++=∆
dxx
xxxxdy ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−−=
4
2 2)cos1(sen 497) xxx xxxy +∆++ −∆+=∆ 33)( dxx
xxxdy x+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+= 33ln
499) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
∆++
∆+=∆
xxxxxxy
sen11
)sen(11 dxgxecx
xdy ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−= cotcos12
501) 11 ++∆+ −=∆ xxx eey dxedy x 1+= 503) ( ) ( )1ln1)(ln 22 +−+∆+=∆ xxxy xdxx
dy 21
12 +
=
Análisis Matemático 1 – 2020 ejercicios
130
6 1) cx +3 3) cx +− −3
32 5) cxxx +−+ 3/5
5310
215
53 7) cxx +− 3
319 9) cxxx ++− 92
233
31
11) cxxx +++ 2/12/332 82 13) cxxx +−+ lnsen2 2/3
32 15) cxex x +−+ 2/185sen
17) cxx ++16551 19) cxxx +−+ − 342/3
3)34(22
21 21) cx +− 96
91 )4( 23) cxx ++ 2ln 3
25) ( ) cxx +−3/54
103 65 27) cx +− 43ln 3/5
54 29) cxx +− 2ln 4
21 31) cx +)sen( 5
51
33) ( ) cx ++−35
151 cos1 35) cx +)4(sen 4
161 37) cx ++1sen2 39) ce x +− /1 41) cx +6
61 tg
43) cx +221 sec 45) cx ++ tg1ln 47) cxx +−+− 2/12/3
32 )1(2)1( 49) cxxx +−−− 1ln2
21
51) cex x +−− −)1( 53) ( ) cexx x ++− 222 55) cxxx +− cossen 57) ce xx +++
2ln2ln1
1
59) ( ) cxxe x +− cossen21 61) cxxx +− 3
913
31 ln 63) ( ) cxxe x ++ )3sen()3cos(3
61
65) ( ) cxxx +− )cos(ln)sen(ln21 67) cxxxxx ++− 2ln2ln 2 69) ( ) ( )( ) cxxx +−
+8cos512lnsen3 338ln91
12
71) ( ) cxxx ++−− 1lntg 2211 73) cxxx +− 4ln2 75) ( ) cxxxx ++ senhsencoshcos2
1
77) cxx +−+ ln6ln 21
29 79) cxxxx ++++− 83ln12 2
233
31 81) cxx ++− 53ln9
4938
83) cxx ++−
33
61 ln 85) cxxx +−++−+ 1ln1ln2ln 2
123 87) c
xx +−−24
12
2ln 89) cx x +++ +1
11ln
91) cxx x +−−++− + )2(34
95
95 1ln2ln 93) c
xx
xx +−−
−+−
111
21
2ln 95) cxx
xx +− −−−
1)1(232 ln2
97) cttt +− −+− 1
21
11
41 tgln 99) cxx
xx +−+− −+ 111 tgln
2 101) ( ) cx
xx ++++−
22
2
14121tg
103) cxx +−−+− 1ln2ln 310
38 105) cxxx +++− 3senln3sensen 2
61 107) ( ) cex x ++− 1ln2
109) cxx +− 2tg2 111) cx +− cos2 113) cxxnx
nx nn
+++++ −
−
2121
...
115) cxxx +++ 15)2cos(ln4)2tg(21 117) cxxx +− cossen2
121
119) cxxxxx +++− 81
813
41 cossencossen 121) ( ) cxx +−− 3
2331 sencos
123) ( ) crr +−− 1212
614 sencos 125) cxe x ++− senln 127) cx ++πsenln
129) cxgxec +− cot3cos 131) cx +)(lnln 221 133) ( ) cx +−
231
61 tg 135) cx
x +− +−1414
81 ln
137) ( ) cx +−1cosh 331 139) cxx ++ )(senh2
1 141) ( ) cxxxx +−++ coshcoshsenhsenh 3331
143) ( ) cx +− 10111010
1 )5(senh 145) cxxxx +++ tgseclntgsec 21
21 147) cx
xxx ++− ++ 22
ln ln2
149) cxxxxx +−+− −− )3(tg)3(tg 13241
10813
36114
41 151) ( ) ( ) c
xxx +++
−25505
12501
2tg
153) ( ) cx +−1011
101 tg 155) ( ) cx +−
531
151 tg 157) cxth +−− )12(2 1 159) ( ) cth x +− −−
221
21
161) ( ) cxthx +−− −5
15
215
54 163) cxth +−− − )1sen8(2 1 165) ( ) cx +−− 1sen 31
167) ( ) cx +−431
31 cosh 169) ( ) cx x ++−− −−
3212 cosh33)2( 171) ( ) cx +− − 11senh
173) ( ) cx +− − 6161 senh 175) ( ) cx xx +−+−
421 2
1sen2 177) ( ) ( ) cx xx +−− −2
122 cosh1015
179) ( ) cxx ++ 98 6/13/4121 181) cxxxx +−−−−− 1ln6632 663
183) cxxx +++−+++− 13ln434)3( 185) cxxx +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−−
−− 2)13(41
131
272 13ln
Respuestas
131
187) ( ) cx +2tgln 189) ( ) ( ) cxx ++−+ 22 tg3lntg1ln 191) cxx +−− )2cos()6cos( 41
121
193) cxx +− )11sen()5sen( 221
101 195) cxx +−−−−− )22cos()28cos( 4
1161 197) 322 − 199) 4
9−
201) 8 203) 215 205) 3
32 207) 219 209) 3
16 211) 23 213) 4 215) 12 −− ee 217) 3
71
219) 317 221) 8 223) 1 225) 2
π 227) 3ln 229) 2221 −−+ ee 231) 49 233) 4 235) 3
16
237) 121 239) 3
256 241) 4ln 243) 8 245) 2−π 247) 2 249) 419 251) 6
17 253) 388
255) 322 257) 6
125 259) 27346 261) 332 263) xx 115 2 − 265) ( ) xxx 246 + 267) 7
269) ue2 ; donde 5252 xxu += 271) ( ) 5tg 3
132 +− x 273) π
2
Top Related