Download - 2013 - Ejercicios - Ejercicios Resueltos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRES DE FEBRERO

MECNICA DE LOS FLUIDOS

GUA DE EJERCICIOS

PROFESORES ING. NSTOR PAGANI

ING. ARIEL FRAIDENRAICH

ALUMNOS AGUSTN BENZI

PABLO ULISES GONZLEZ BARRENA

ARIEL TORNE

Gua de ejercicios - Mecnica de los fluidos - Universidad Nacional de Tres de Febrero 2

TRABAJO PRCTICO 1

1.1. Explique la diferencia entre un fluido real y uno ideal.

La diferencia fundamental entre un fluido real y uno ideal, es que para los ideales se hace la suposicin de que la viscosidad vale cero, es decir, no existen fuerzas tangenciales en ninguna superficie cuando el fluido se encuentra en movimiento.

1.2. Describa en forma resumida en qu consiste la hiptesis del fluido como medio continuo.

Bajo sta hiptesis, el estudio de las diferentes propiedades de los fluidos se realiza considerando sus valores medios, es decir, no se estudia por separado la conglomeracin real de molculas sino que se supone una distribucin continua de materia sin espacios vacos.

1.3. En el ocano la presin a 8000 [m] de profundidad es de 1,030 108 [Pa]. Suponiendo un peso especfico en la superficie de 10050 [N/m] y que el mdulo de elasticidad promedio es 2,26 109 [Pa] para ese intervalo de presiones, calcular: a) el cambio de densidad entre la superficie y esa profundidad, b) el volumen especfico y la densidad a esa profundidad.

a.

Parto de:

Integrando obtengo:

Aplicando antilogaritmo en la ltima ecuacin obtengo:

O en trminos de peso especfico:

[

] [ ] [ ]

[ ] [

] [

]

Por lo tanto:


[ ]

[ ] [

]

Y finalmente:

[ ]

[ ] [

]

De donde, variacin de densidad es:

[

] [

] [

]

b.

[ ] [

]

1.4. Escribir la ley de Newton de la viscosidad describiendo sus variables y la interpretacin de la misma. Hacer un esquema grfico para ilustrarla.

La ley de Newton expresa el esfuerzo tangencial que se produce entre dos lminas separadas una distancia dy y que se desplazan con velocidades (v) y [v + (v/y) dy].

Se expresa segn la siguiente ecuacin:

Segn sta ley, el esfuerzo tangencial es proporcional al gradiente transversal de velocidades v/y. es una constante de proporcionalidad cuya magnitud es una caracterstica de la viscosidad del fluido y se conoce como viscosidad dinmica o viscosidad.


1.5. Estudiar las caractersticas de velocidad de deformacin bajo esfuerzo cortante que se representan para diversos tipos de fluidos en la siguiente figura.

Fluidos newtonianos

Se comportan de acuerdo a ( ), por lo que la tensin de corte es proporcional al gradiente de velocidades. La pendiente de la recta determina la velocidad.

Fluido ideal

La resistencia a la deformacin cortante es nula. Aunque no existan realmente, se puede trabajar bajo sta hiptesis para ciertos casos de anlisis.

Slido rgido ideal

No hay deformacin, independientemente de la carga aplicada. Sufren deformaciones, y mientras se mantenga dentro del lmite de proporcionalidad, la grfica de la recta es casi vertical.

Fluidos no newtonianos

Se deforman de modo que la tensin no es proporcional a la velocidad de deformacin tangencial. Se puede clasificar como deformacin plstica.

Plsticos ideales

Pueden soportar una tensin de corte sin deformarse, hasta un punto a partir del cual la velocidad de deformacin es proporcional a la tensin.

1.6. Describir dimensionalmente la viscosidad dinmica e indique sus unidades en el Sistema Internacional (MKS absoluto), en el sistema tcnico (MKS gravitacional) y en sistema CGS.

VISCOSIDAD DINMICA DIMENSIONES UNIDADES

MKS ABSOLUTO [M L-1 T-1] [Kg / m s]

MKS GRAVITACIONAL [F L-2 T] [Kg s / m2]

CGS ABSOLUTO [M L-1 T-1] [g / cm s]


Para el sistema CGS absoluto, la equivalencia es [gm/cm s], que es utilizada como unidad de viscosidad cinemtica en ste sistema y es conocida como poise en honor de Poiseouille:

[ ] [ ]

Para el sistema gravitacional, es ms comn la unidad:

[

] [

]

1.7. Escribir la ecuacin de la viscosidad cinemtica, sus dimensiones, y las unidades en los 3 sistemas mencionados en el punto 3. Nota diferencia entre los dos primeros?

Ecuacin de la viscosidad cinemtica

VISCOSIDAD CINEMTICA DIMENSIONES UNIDADES

MKS ABSOLUTO [L2 T-1] [m2 / s]

MKS GRAVITACIONAL [L2 T-1] [m2 / s]

CGS ABSOLUTO [M L-1 T-1] [cm2 / s]

Para el sistema CGS, es ms comn la unidad:

[ ] [

] [

]

La principal diferencia, es que con sta propiedad nos independizamos de los conceptos de maza y fuerza.

1.8. Indicar en la siguiente figura el punto donde es mximo el esfuerzo cortante, justificando la afirmacin.

La variacin de la velocidad se produce por la existencia de esfuerzos cortantes en las capas de fluidos. En la proximidad de la pared slida, el esfuerzo cortante ser mximo, y disminuir progresivamente a medida que nos alejemos. Por lo tanto, el esfuerzo mximo se dar en el origen del sistema coordenado.


1.9. Fluye aire a 103460 [Pa] de presin absoluta a lo largo de una superficie de terreno plano, con un perfil de velocidades semejante al de la figura anterior, y que en la inmediata vecindad del terreno sigue la ecuacin v = 40 y 856 y, donde y es el desnivel entre la superficie del terreno y el punto, en metros, y v es la velocidad en [m/s]. Determinar el esfuerzo cortante sobre el terreno.

De donde, para y=0:

Finalmente, el esfuerzo cortante sobre el terreno es:

[

] [

] [

] [ ]

1.10. Calcule las viscosidades dinmica y cinemtica del agua a 27 [C] usando la expresin de Poiseuille expresando los resultados en los sistemas internacional, tcnico y CGS. La densidad relativa del agua a 27 [C] es 0,99659. Exprese los resultados con 3 cifras significativas.

DINMICA CINEMTICA

MKS ABSOLUTO 8,630 [kg / m s] 0,009 [m2 / s]

MKS GRAVITACIONAL 0,880 [Kg s / m2] 0,001 [m s]

CGS ABSOLUTO 86,298 [Poise] 86,593 [Stokes]

La viscosidad dinmica se calcula usando el esquema de dicha variable en funcin de la temperatura.

La viscosidad cinemtica se calcula usando la frmula

.

1.11. Un fluido newtoniano est en el espacio libre entre un eje y una camisa concntrica. Cuando una fuerza de 50 [kgf] se aplica a la camisa paralela al eje, la camisa adquiere una velocidad de 1 [m/s]. Si se aplica una fuerza de 150 [kgf] Qu velocidad obtendr la camisa? La temperatura del sistema permanece constante. Repita el clculo para 600 [N] y 1500 [N] respectivamente, en el Sistema Internacional.

Para F = 50 [kgf]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]


Para F = 150 [kgf]

[ ]

[ ]

[ ]

Igualando y obtengo

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [

] [

]

Para F = 600 [N]

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [

] [

]

Para F = 1500 [N]

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [

] [

]

1.12. Una placa situada a 0,5 [mm] de una placa fija se mueve a 0,25 [m/s] y requiere una fuerza por unidad de rea de 2 [N/m] para mantener esta velocidad. Determinar la viscosidad fluida de la sustancia entre las dos placas paralelas en el sistema internacional y en unidades CGS.

Por lo tanto

[ ] [ ]

[ ]

[

]

En el sistema internacional absoluto

[ ] [

]

[

] [

] [

]


En el sistema internacional gravitacional

[

] [

]

[ ] [

]

En el sistema CGS

[

]

[

] [

] [ ]

1.13. Con referencia a la figura de siguiente, el lquido tiene una viscosidad absoluta de 4,88 10-3 [kg s/m] y una densidad relativa de 0,913. Calcular el gradiente de velocidades y el mdulo de la tensin cortante en el contorno y en los puntos situados a 25, 50 y 75 [mm] del contorno suponiendo (a) una distribucin de velocidades lineal y (b) una distribucin de velocidades parablica dada por: v = 1,125 200 (0,075 y)

Caso a)

Clculo del gradiente de velocidades (constante)

[

]

[ ] [

]

Clculo del mdulo de las tensiones

[

] [

] [

]

Caso b)

Clculo del gradiente de velocidades

Clculo del gradiente de velocidad y del mdulo de las tensiones para las distintas alturas

Para y = 0 [mm]


[

] [

] [

]

Para y = 25 [mm]

[

] [

] [

]

Para y = 50 [mm]

[

] [

] [

]

Para y = 75 [mm]

[

] [

] [

]

1.14. Un eje de 15 [cm] de dimetro gira a 1800 [rpm] en un buje estacionario de 0,30 [m] de longitud y 15,05 [cm] de dimetro interior. El espacio uniforme entre el eje y el buje est ocupado por un aceite de viscosidad 1,755 . 10-3 [kp s/m]. Determinar la potencia necesaria para vencer la resistencia viscosa en el buje. Nota: Potencia = fuerza velocidad.

Clculo de la aceleracin angular:

Clculo de la velocidad:

[ ] [

]

Clculo del espesor promedio:

[ ] [ ]

[ ]

Clculo de la tensin:

[

] [

]

[ ] [

]


Clculo de la fuerza

[

] [ ] [ ] [ ]

Clculo de la potencia

[ ] [

] [

] [ ]

1.15. Un bloque cbico de 0,20 [m] de arista y de 250 [N] de peso se deja resbalar sobre un plano inclinado de 20 respecto de la horizontal, sobre el cual existe una pelcula de aceite de 0,0022 [kg/m s] de viscosidad y 0,025 [mm] de espesor. Determinar la velocidad a la que descender el bloque, considerando la hiptesis de distribucin lineal de velocidades.

La superficie del bloque en contacto con el fluido ser:

[ ] [ ]

La componente paralela al plano inclinado del peso es:

[ ] [ ] [

]

Por lo tanto:

De donde

[

] [ ]

[ ] [ ]

[

]

0,1505

[m]

0,15

[m] 0,30 [m]


1.16. Un tanque rgido de acero tiene un volumen de 5 [m] Cuntos kilogramos de agua puede contener el tanque a 150 [atm] de presin y 4 [C] de temperatura? (Nota: 1 [atm] = 101325 [Pa]. Consultar el mdulo de elasticidad en la bibliografa).

Segn la tabla de la bibliografa, para 4 [C]:

[

]

Hacemos conversin de unidades para la presin:

[ ] [

] [ ] [

]

Sabiendo que:

Entonces:

[ ] ( [

] [

])

[ ]

[ ]

Por lo tanto, el volumen final es:

[ ] [ ] [ ]

1.17. Determinar la constante universal de los gases en el S.I. sabiendo que uno de sus valores se expresa como R = 0,08205746 [l atm / mol K].

[

] [

] [

] [

]

1.18. Considere que el aire seco se puede aproximar a una mezcla de nitrgeno (80%) y oxgeno (20%), cuyas masas atmicas son 14 y 16 aproximadamente. En base a esto determine su densidad a temperatura ambiente de 20 [C] y presin atmosfrica normal (101325 [Pa]).

[

] [

]


Por lo tanto:

[

] [

]

[ ]

[ ] [

]

1.19. Una fuerza expresada por F = 4 i + 3 j + 9 k acta en un rea de 2 2 en el plano xy. Descomponer esta fuerza en sus componentes normal y tangencial. Cules son la presin y el esfuerzo cortante?

La componente tangencial al plano de la fuerza F, es:

Por lo tanto, la fuerza cortante es:

La componente normal al plano es el valor de la fuerza en el sentido k, por lo tanto la presin vale:

1.20. Partiendo de la ecuacin diferencial fundamental de la esttica de los fluidos, deduzca la expresin que relaciona la presin con la profundidad en un lquido.


El equilibrio de las fuerzas sobre el eje x implica que:

(

) (

)

De donde se obtiene la expresin:

Mediante un procedimiento anlogo, se llega a:

Teniendo en cuenta que la nica fuerza de cuerpo es la debida al campo gravitacional, entonces:

Por lo tanto:

( )

De acuerdo a la ltima ecuacin:

De donde se deduce que la variacin de la presin solo depende de la altura z.


1.21. Partiendo del punto anterior arribe a una expresin plantee la comparacin las presiones entre dos puntos.

( )

1.22. El recipiente de la figura de la derecha contiene agua y aire como se muestra Cul es la presin en A, B, C y D? Exprese el resultado en unidades tcnicas, psi (lb/pie) y en Pascales. Puede tomar: 100 psi 7 [kgf/cm] y 1 pie (ft) 30 [cm].

Clculo de la presin en B

( ) ( ) ( )

[

] ( [ ] [ ]) [

] [ ] [ ]

Clculo de la presin en A

[

] [

] [ ] [

] [ ] [ ]

Clculo de la presin en C

[

] [ ] [ ]

Clculo de la presin en D

( )

[

] [

] ( [ ] [ ]) [

] [ ] [ ]


1.23. Hallar la presin manomtrica en A en [kgf/cm] debida a la columna del mercurio (densidad relativa 13,57) en el manmetro en U de la figura siguiente.

( ) ( )

[

] ( [ ] [ ]) [

] ( [ ] [ ])

[

]

1.24. Por la boquilla de la figura siguiente est fluyendo aceite de densidad relativa 0,75 y esto desequilibra la columna de mercurio del manmetro en U. Se pide determinar el valor de h si la presin en A es de 137300 [Pa].

[ ] [

] [ ] [

]

[

] [

]

[

] [

]

( )


( )

[

] [

] [ ]

[ ] [

]

[ ]

1.25. El depsito de la figura siguiente tiene aceite de densidad 750 [kg/m]. Determinar la lectura del manmetro en A en [kg/cm], en atm y en Pa (Dr = 13,57 es la densidad relativa del mercurio).

[

] [

]

[

] [ ] [

] [ ] [

]

[

] [ ]

[

] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

1.26. El depsito de la figura siguiente tiene aceite y glicerina, siendo sta la representada con tono ms oscuro, en la parte inferior. Se indican las elevaciones o cotas de las superficies de separacin de fluidos en el dibujo, y los pesos especficos de los lquidos son 832 y 1250 [kp/m] Qu presin manomtrica en A har que la glicerina suba al nivel B?


[

] ( [ ] [ ]) [

] ( [ ] [ ]) [

]

1.27. Se quiere determinar la diferencia de presiones entre A y B en el manmetro diferencial de la figura siguiente. Expresar la respuesta en pascales. Las densidades relativas son las siguientes: Benceno 0,88; Kerosene 0,81; Mercurio 13,59.

[

] [ ] [ ]

[

] [ ] [ ]

[

] [ ] [ ]

[

] [ ] [ ]

[

] [ ] [ ]

[

] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]


1.28. Suponiendo que el aire atmosfrico mantuviera su temperatura (T=constante) con la altura, al menos dentro de los primeros miles de metros, halle: a) la altura que tendra la atmsfera si se pudiera considerar el aire como un fluido incompresible; b) la ecuacin de la variacin de la presin con la altura, P = P(h), suponiendo que a nivel del mar se tiene una presin estndar de P0 = 101325 [Pa]. a) Por medio de lo planteado en el ejercicio 1.21. sabemos que:

( )

Considerando que P=0 y z0=0, entonces:

[ ]

[ ] [ ]

b) De la ecuacin general de los gases tenemos que:

Por medio del ejercicio 1.21. sabemos que:

Reemplazando la ecuacin en obtenemos:

De donde:

Bajo la suposicin que T es constante y sabiendo que R0 tambin lo es, entonces:

Finalmente:

( )

De donde, con z0=0 obtenemos:

( )

Considerando que Po = 101325 [N/m2], entonces:

[

] ( )


1.29. Deducir una expresin para el empuje y su localizacin sobre una placa rectangular de ancho b y longitud L, sumergida verticalmente en un lquido de peso especfico , tal que b es paralela a la superficie libre y el borde superior de la placa est sumergido una profundidad h.

Clculo del empuje sobre la placa

Para una profundidad z determinada tenemos que:

De donde, el empuje del lquido sobre la placa es:

O en trmino de diferenciales:

Sabiendo que:

Entonces:

Integrando en el largo de la placa obtenemos:

|

[( ) ]

( )

h

l


Por lo tanto el empuje sobre la placa ser:

( )

Clculo de la localizacin de la fuerza de empuje sobre la placa

El empuje hidrosttico es:

Las coordenadas del centro de presiones se obtienen cuando se iguala la suma de los momentos estticos de reas diferenciales respecto de los ejes x e y, con el producido por la fuerza resultante. Para el eje x se tiene que:

Considerando que:

La ecuacin anterior queda como:

El momento de inercia respecto al eje x es:

Donde representa el radio de giro de A respecto a un eje centroidal paralelo a x.

Con estas consideraciones llegamos a:

Donde tanto como se encuentran tabuladas para cada tipo de forma geomtrica de pared.

De forma anloga, la coordenada en x para el centro de presiones ser:


1.30. Para la compuerta de la figura siguiente se desea conocer (a) cul es el empuje sobre la misma; (b) el momento Mt necesario para mantener la compuerta cerrada; (c) cul sera el momento Mt si hubiese agua hasta el nivel de A del otro lado de la compuerta.

a) Clculo del empuje del agua sobre la compuerta

( )

[

] [ ] ( [ ] [ ] [ ] ) [ ]

b) Clculo del momento Clculo de la ubicacin del empuje

Por lo tanto:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Por lo tanto, el momento con respecto al eje x ser: [ ] [ ] [ ]

c) Clculo del momento

[ ]

Por lo tanto:

[

] [ ] [ ] [ ]

Y el momento valdr:


[ ] [ ] [ ]

Por lo tanto la sumatoria de momentos con respecto al eje x ser:

[ ] [ ] [ ]

1.31. Si el tubo en U de la figura siguiente contiene aceite y agua, determinar la densidad relativa del aceite. Solucin: 0,86

Como el fluido est en equilibrio, la sumatoria de presiones debe ser 0, por lo tanto:

Sabiendo que: Entonces:

La densidad relativa es:

Por lo tanto:

[ ]

[ ]


1.32. Tal como se muestra en la figura siguiente, existe una compuerta vertical rectangular sobre la que acta agua por uno de sus lados. Determinar la fuerza resultante total que acta sobre la compuerta y la situacin del centro de presin. Solucin: 84,59 [KN]; 3,633 [m] por debajo de la superficie del agua.

Clculo del empuje

( ) [ ] [ [ ] ( ) [ ]

] [ ] [ ]

Clculo del centro de presiones

Por lo tanto:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

1.33. El depsito cuya seccin recta se muestra en la figura siguiente tiene 1,2 [m] de longitud y est lleno de agua a presin. Determinar las componentes de la fuerza requerida para mantener el cilindro en su posicin, despreciando el peso del mismo. Solucin: 14 [KN] hacia abajo, 20 [KN] hacia la izquierda.


Clculo del empuje horizontal

Para una profundidad z determinada tenemos que:

( )

O en trmino de diferenciales:

( ) ( )

Integrando obtenemos:

Por lo tanto:

[

] [ ]

( [ ]) [

] [ ] [ ] [ ]

Clculo del empuje vertical

El empuje vertical es el peso del volumen desalojado por el cilindro, por lo tanto:

Donde el volumen del cilindro que desplaza al lquido, es la suma del volumen correspondiente a la proyeccin del rea de la seccin circular Asc y de la proyeccin del rea triangular At. Por lo tanto:

( )

Donde:

( [ ])

( [ ] [ ]

[ ])

[ ]

( ) ( )

( [ ]) ( [ ] [ ]) ( [ ] [ ])

[ ]


[ ] ( [ ] [ ]) [ ]

Finalmente el empuje vertical ser:

[

] [ ] [ ]

1.34. Determinar las componentes horizontal y vertical, por metro de longitud, de la fuerza debida a la presin del agua sobre la compuerta del tipo Tainter mostrada en la siguiente figura. Solucin: 4644 [KP] y 1682 [KP].

Clculo del empuje horizontal

[

] [ ]

( [ ]) [ ]

Clculo del empuje vertical

Donde el volumen vale:

[ ] ( [ ])

[ ] ( [ ]) ( [ ])

[ ]

[

] [ ] [ ]


1.35. En la siguiente figura, el cilindro de 1,22 [m] de dimetro y 1,22 [m] de longitud est sometido a la accin del agua por su lado izquierdo y de un aceite de densidad relativa 0,8 por su lado derecho. Determinar a) la fuerza normal en B si el cilindro pesa 1816 [KP] y b) la fuerza horizontal debida al aceite y al agua si el nivel del aceite desciende 0,305 [m]. Solucin: 536 [KP], 1407 [KP] hacia la derecha.

a)

Clculo del empuje vertical ejercido por el agua

[

] [ ] ( [ ])

[ ]

Clculo del empuje vertical ejercido por el aceite

[

] [ ] ( [ ])

[ ]

Clculo del empuje total

( ) [ ] ( [ ] [ ]) [ ]

b)

Clculo del empuje horizontal ejercido por el agua

( )

[

] [ ] [ [ ] [ ] ( [ ]) ] [ ]

Clculo del empuje horizontal ejercido por el aceite

[

]

( [ ] [ ]) [ ]

La resultante del empuje horizontal ser

[ ] [ ] [ ]


1.36. En el muro de retencin de agua de mar mostrado en la figura siguiente, qu momento respecto de A, por metro de longitud del muro se origina por la exclusiva accin de los 3 [m] de profundidad de agua (=1025 [Kp/m3])? Solucin: 16200 [mKp] de sentido contrario a las agujas del reloj.

Clculo del empuje vertical ejercido por el peso agua

El volumen de agua por encima de la parbola, es igual al volumen del paraleleppedo (VP) de altura = 3 [m], base = 2,5 [m] y profundidad 1 [m] menos el volumen debajo de la parbola (VDP) hasta el eje x de coordenadas cuyo origen est considerado en el vrtice de dicha parbola.

El volumen debajo de la parbola es:

(

)

[ ]

El volumen del paraleleppedo es:

[ ] [ ] [ ] [ ]

Y el volumen de agua por encima de la parbola es:

[ ] [ ] [ ]

Finalmente, el empuje vertical del agua es:

[

] [ ] [ ]

Ubicacin del centro de empuje del agua

La coordenada x del centro de empuje (respecto al eje de coordenadas ubicado en el vrtice de la parbola), corresponde a la del centroide de la hemiparbola:

(

)

(

)

|

|

[ ]

Clculo del momento respecto de A

( [ ] ) [ ] ( [ ] [ ]) [ ]


1.37. La figura siguiente muestra la seccin de un barco cuyo casco es slido. Es estable el barco? Si el barco es estable, calcular el momento adrizante en el agua cuando el ngulo de escora es de 10. Solucin: Estable, 1728 [mKp].


1.38. Un depsito rectangular abierto de 1,52 [m] de ancho, 3,05 [m] de longitud y 1,83 [m] de profundidad, que contiene 1,22 [m] de agua, se acelera horizontalmente, paralelamente a su longitud a 4,91 [m/s2]. Qu volumen de agua se derrama? Solucin: 0,708 [m3].

El ngulo de inclinacin del lquido es:

[

]

[ ]

La diferencia de niveles entre los extremos de la superficie es:

[ ] [ ]

El volumen de agua final ser igual al volumen del paraleleppedo (VP) de largo 3,05 [m], profundidad 2 [m] y altura 1,83 [m] - 1,525 [m] = 0,305 [m], ms el del prisma triangular (VT) de largo 3,05 [m], profundidad 2 [m] y altura 1,525 [m].

El volumen del paraleleppedo es

[ ] [ ] [ ] [ ]

El volumen del prisma triangular es:

[ ] [ ] [ ]

[ ]

El volumen total es:

[ ] [ ] [ ]

El volumen original de lquido es:

[ ] [ ] [ ] [ ]

Finalmente, el volumen de agua derramada (VD) ser la diferencia entre el volumen de agua original y el volumen de agua luego de acelerar el recipiente, y vale:

[ ] [ ] [ ]


1.39. Un depsito abierto cilndrico de 122 [cm] de dimetro y 183 [cm] de profundidad se llena de agua y se hace girar a una velocidad de 60 [rpm]. Qu volumen de lquido se derrama y cul es la profundidad en el eje? Solucin: 0,433 [m3], 1,083 [m].

Clculo de la altura del agua en el centro del cilindro

Donde:

[ ]

[ ] [

]

[ ]

[ ]

[

]

Por lo tanto:

[ ] ( [

])

( [ ])

[ ]

[ ]

Clculo del volumen de agua derramado

( [

])

( [ ])

[ ]

[ ]

1.40. A qu velocidad debe girar el depsito del problema anterior para que en el centro del fondo del depsito la profundidad del agua sea nula? Solucin: 9,83 [rad/s].

Para que en el fondo del depsito sea nula, se tiene que cumplir que:

De donde finalmente:

[ ] [

]

( [ ]) [

]


1.41. Explique el funcionamiento de un viscosmetro de rotacin, como el de la figura siguiente. El cilindro interior tiene una altura h, y la separacin en la base de la parte interna del cuerpo giratorio es a, la cual supondremos suficientemente grande como para ignorar efectos de viscosidad en dicha cara. Deduzca una expresin para el coeficiente de viscosidad dinmica , llamando Mt al torque, N a la velocidad de giro en rpm y usando el resto de la nomenclatura en base a la figura.

El viscosmetro de rotacin consta de un eje concntrico dentro de una camisa fija, entre los cules se encuentra una pelcula de un fluido cuya viscosidad se desea determinar. Sobre la pared de la camisa fija, la velocidad del fluido es nula, por accin de la viscosidad, mientras que sobre la pared del eje rotatorio es mxima. De acuerdo a esto, se obtiene un perfil de velocidades.

El esfuerzo cortante (la fuerza tangencial que el eje rotatorio efecta sobre el fluido), es proporcional a la variacin de la velocidad respecto al espesor de la pelcula de fluido por una constante propia de cada fluido, denominada viscosidad dinmica.

Tambin podemos escribir al esfuerzo cortante como:

Donde F es la fuerza tangente a la pelcula de fluido y A es el rea del eje en contacto con el mismo. Aplicado un torque al eje rotatorio, y en funcin de la viscosidad del fluido evaluado, el mismo girar a una velocidad determinada.


El rea del eje es:

El espesor de la pelcula de fluido es:

La velocidad la podemos expresar como:

[ ] [ ]

[ ] [

]

Reemplazando , , y en tenemos que:

Sabiendo que: Entonces finalmente:

Es decir, que aplicando un torque cuyo valor es conocido y observando la velocidad de giro del eje, se puede conocer el coeficiente dinmico de viscosidad.


TRABAJO PRCTICO 2

2.1. La ecuacin de continuidad para un volumen de control puede escribirse de la forma:

Explicar:

a. Qu significa cada miembro;

El miembro del lado izquierdo de la igualdad expresa la rapidez del cambio de la masa de fluido con el tiempo.

El miembro del lado derecho, expresa el flujo del campo de velocidades en la frontera (SC), es decir, la diferencia entre la masa entrante y la masa saliente por la frontera.

b. A qu se reduce para rgimen permanente y densidad constante (fluidos incompresibles);

Para rgimen permanente y fluidos incompresibles, se cumple que:

Por lo tanto:

c. Qu sucede en un tubo de corriente bajo las hiptesis de (b) donde las velocidades son tangenciales a las paredes laterales del tubo y en el cual consideramos una seccin 1 de entrada y una seccin 2 de salida, normales al flujo. Plantee la relacin resultante entre las velocidades de ingreso (v1) y egreso (v2) a la porcin de tubo considerada y las respectivas reas de las superficies (A1 y A2).

Considerando rgimen permanente y fluido incomprensible, entonces:


d. Cmo se extendera esto a un conducto que puede subdividirse en muchos tubos de corriente paralelos.

En un tubo de corriente que se subdivide n tubos en paralelo se cumple que:

Sabiendo que:

Entonces:

2.2. La ecuacin general de Euler para el movimiento a lo largo de una lnea de corriente es:

Donde la presin p, la velocidad v y la altura z varan a lo largo del recorrido s, pero adems se considera v variable en el tiempo para una posicin determinada. Explicar:

a) Qu hiptesis contempla esta ecuacin en cuanto al rozamiento del fluido;

Esta ecuacin considera que no hay esfuerzos viscosos, es decir, no hay rozamiento, y por lo tanto no hay prdidas locales.


b) A qu se reduce para rgimen permanente;

Para rgimen permanente se cumple que no hay variacin de la velocidad con el tiempo, por lo tanto:

Y la expresin se reduce a:

c) Bajo qu condiciones se podra integrar la ecuacin resultante del punto anterior;

La ecuacin slo es integrable si existe una nica variable de integracin. La diferencial total exacta debe depender del recorrido y no del tiempo.

d) Qu se obtiene integrando dicha ecuacin bajo la hiptesis de que el fluido es incompresible. Mustrelo y d el nombre de dicha ecuacin.

(

)

Integrando se obtiene:

La ecuacin obtenida, es la ecuacin de Bernoulli.

2.3. Escriba la ecuacin de Bernoulli comenzando con el trmino z = altura geomtrica, y seale las dimensiones y la interpretacin de cada trmino Cules son las hiptesis que convalidan esta ecuacin?

Ecuacin de Bernoulli

Trmino Z1

Un cuerpo de masa m situado a una altura z, posee una energa potencial o de posicin, referida al plano de referencia situado en cota cero: . El trmino z representa por tanto la energa potencial del

fluido por unidad de peso, y se le designa como altura de posicin.

Trmino p1/g


Representa la energa necesaria para elevar la unidad de peso del elemento de fluido hasta la altura p/g. Se le denomina altura de presin. A la suma de las alturas de potencial y de presin se le conoce como altura piezomtrica, porque se corresponde con la altura de columna observada con un tubo piezomtrico conectado a una conduccin con un lquido.

Trmino v12/2g

Representa la energa cintica por unidad de peso del elemento de fluido y se le llama altura de velocidad.

Carga total

Se denomina carga o altura de energa, H, a la suma de la altura de velocidad ms la altura piezomtrica, es decir, a la suma de los tres trminos de cada miembro en la ecuacin de Bernoulli:

Hiptesis para la ecuacin de Bernoulli

Flujo permanente (no hay variaciones en el tiempo).

Fluido incompresible (densidad constante).

Fluido no viscoso (no existen prdidas por rozamiento).

No hay intercambio de trabajo o calor con el exterior del flujo.

2.4. En el tubo Venturi de la figura siguiente se lee h = 5 [m], el dimetro de la seccin 1 es de 30 [cm] y el de la seccin 2 es 10 [cm]. Si se transporta agua cul es la velocidad en 1 y cul el caudal medido?


Planteamos ecuacin de la energa entre 1 y 2

De donde:

(

)

Planteamos la ecuacin de continuidad del tubo de corriente

Reemplazando en obtenemos

( )

De donde:

( )

Por lo tanto:

[ ] [ ]

( [ ] [ ]

)

[

]

El caudal medio es:

[

] [ ] [

]


2.5. Determinar la velocidad de flujo de aire registrada con el tubo Pitot de la figura siguiente si el lquido manomtrico es mercurio y la altura h es de 18 [cm].

Planteamos Bernoulli entre los puntos 1 y 2:

Para resolver el problema se efectan las siguientes consideraciones:

Por lo tanto:

De donde:

Y finalmente:

[

] [

] [ ]

[ ]

[

]

V1 , P1 V2 , P2


2.6. Considerando las ecuaciones de Bernoulli y de la cantidad de movimiento de los lquidos, deducir la frmula de Borda para el clculo de la prdida de energa debido al ensanchamiento brusco en una tubera. La ecuacin a obtener es:

( )

Sugerencia: ver Streeter, captulo 3, Prdidas debido a expansin repentina en un tubo.

Nota: J12 es la prdida de energa por unidad de peso del fluido y se mide en unidades de longitud.

Planteamos la ecuacin de la energa:

Donde:

De donde:

(

)

Planteamos ecuacin de continuidad:

Planteamos el flujo de la cantidad de movimiento:

De donde:


2.7. La distribucin de velocidades en un flujo laminar dentro de un conducto cilndrico de radio r0 es

del tipo: ( ) , donde v es la velocidad de un filete de corriente distante r del centro y K es

una constante que depende de la prdida de energa por peso unitario y unidad de longitud, de la densidad y de la viscosidad del fluido. Encontrar las expresiones de:

a) La velocidad mxima;

La velocidad mxima se da para r = 0, por lo tanto:

( ) ( )

b) La velocidad media V.

( )

Para resolver la integral, se hace cambio de variable:

Por lo tanto:

( )

|

2.8. Para el sistema de la figura adjunta encontrar las expresiones de las fuerzas dinmicas Fx y Fy considerando que el caudal entrante Q0 se desdobla en:

Suponer conocidos los datos indicados en la figura y que el coeficiente de correccin por velocidades no uniformes es 1 en todos los casos.


(Nota: en clase se desarroll con 1 y 2 suplementarios, o, si se quiere, marcando 2 como un nico . Tambin se consider por aplicacin de Bernoulli que V0 = V1 = V2, lo cual en el caso planteado no es necesario porque hay variaciones de seccin de los chorros. Ud. puede optar por plantearlo en esas condiciones, aclarando tales hiptesis).

Planteamos la sumatoria de fuerzas en la direccin x:

(

)

Planteamos la sumatoria de fuerzas en la direccin y:

(

)

2.9. (R. Giles, 6-2, pg. 75). Si la velocidad en una tubera de 30 [cm] es de 0,50 [m/s], cul ser la velocidad en el chorro de 7,5 [cm] de dimetro que sale por una boquilla unida al extremo de la tubera?

Suponiendo flujo permanente se tiene que:

De donde:

Por lo tanto:

[ ] [

]

[ ] [

]

2.10. (R. Giles, 6-11, pg. 78). Entre dos placas convergentes de 45 [cm] de anchura circula un fluido y la distribucin de velocidades viene dada por la expresin:

(

)

Para los valores n0 = 5 [cm] y vmax = 0,30 [m/s] determinar:

a. El caudal total en [m3/s];

b. La velocidad media en la seccin considerada;

c. La velocidad media en la seccin en la que n = 2 [cm].


Clculo de la velocidad media:

La superficie definida por la curva de distribucin de velocidades y la distancia entre las placas, dividida por dicha distancia, representa la velocidad media de esa distribucin.

La superficie planteada, es igual a la integral entre 0 y n0 de la funcin indicada, por lo tanto:

(

)

(

)

De donde:

(

)

Por lo tanto:

La velocidad media, ser finalmente el rea dividida por la distancia entre las placas:

[

]

Clculo del caudal:

[

] [ ] [ ] [

]

Clculo de la velocidad media para n=2:

Por lo tanto:

[

]

[ ] [ ] [

]


2.11. (R. Giles, 6-17, pg. 81). Un lquido est fluyendo a travs de una tubera circular. Para una distribucin de velocidades dada por la ecuacin v = vmax (r0

2-r2)/ r02, calcular el coeficiente de correccin

de la energa cintica .

Para el caso planteado:

(

)

Podemos expresar al coeficiente de correccin como:

(

)

Y para el caso planteado:

(

)

(

)

Hacemos cambio de variable:

Por lo tanto:


(

)

[

]

2.12. (R. Giles, 6-19, pg. 82). Una turbina produce 600 [CV] cuando el caudal de agua a travs de la misma es de 0,60 [m3/s]. Suponiendo un rendimiento del 87%, qu altura acta sobre la turbina?

Sabiendo que:

Entonces:

Por lo tanto:

[ ]

[ ] [

] [

]

[ ] [

] [ ]

2.13. (R. Giles, 6-26, pg. 86). Una tubera de 15 [cm] de dimetro y 180 [m] de longitud transporta agua desde A, a una elevacin de 24,0 [m], hasta B, a una elevacin de 36,0 [m]. La tensin debida a la friccin entre el lquido y las paredes de la tubera es igual a 3,05 [Kg/m2]. Determinar la variacin de presin en la tubera y la prdida de carga.

La superficie de la tubera para una longitud de 180 [m] ser:

[ ] [ ] [ ]

La variacin de fuerza debida a la friccin ser:

[

] [ ] [ ]

Por lo tanto, la variacin de presin ser:

[ ]

[ ]

[ ]

[

]

Para la prdida de carga planteamos Bernoulli:


De donde:

Bajo la suposicin de flujo permanente, el caudal es constante, y a seccin contante, la velocidad tambin lo es, por lo tanto:

De donde:

[ ] [ ] [

]

[ ] [ ]

2.14. (R. Giles, 6-21, pg. 84). En la figura siguiente estn circulando 0,37 [m3/s] de agua de A a B, existiendo en A una altura de presin de 6,6 [m]. Suponiendo que no existen prdidas de energa entre A y B, determinar la altura de presin en B. Dibujar la lnea de alturas totales.

Plantemos la ecuacin de Bernoulli:

Teniendo en cuanta que no hay prdidas de energa, entonces:


Por lo tanto:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

2.15. (R. Giles, 6-21, pg. 84). En el venturmetro mostrado en la figura siguiente la lectura del manmetro diferencial de mercurio es 35,8 [cm]. Determinar el caudal de agua a travs del venturmetro si se desprecian las prdidas entre A y B.

Planteamos la ecuacin de continuidad para flujo permanente:

Planteamos el equilibrio de las presiones entre A y B:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

Plantemos la ecuacin de Bernoulli:

Reemplazando y en obtenemos:


[ ] [ ]

( )

Sabiendo que:

[ ]

Entonces:

[ ] [ ] [ ]

( )

De donde:

( [ ]

[ ] [ ]

)

( )

Por lo tanto:

[ ] ( [ ]

[ ] [ ] [ ] [

]

[ ]

)

( [ ] [ ]

) [

]

Suponiendo flujo permanente:

[

] [ ] [

]

2.16. (R. Giles, 6-28, pg. 87). En el sistema mostrado en la figura siguiente, la bomba BC debe producir un caudal de 160 [l/s] de aceite de una Dr = 0,762 hacia el recipiente D. Suponiendo que la prdida de energa entre A y B es de 2,5 [Kgm/Kg] y entre C y D es de 6,5 [Kgm/Kg]:

a. Qu potencia en CV debe suministrar la bomba a la corriente?

b. Dibujar la lnea de alturas totales.


Planteamos Bernoulli entre A y D:

Considerando que:

Entonces:

De donde:

Por lo tanto:

[ ] [ ]

Donde:


( [ ] [ ]) [

] [

] [

]

[

] [

] [

] [

]

[

] [

] [

] [

]

( [ ] [ ]) [

] [

] [

]

Por lo tanto:

[

] [

] [

] [

] [

]

Sabiendo que:

[

] [ ]

[ ] [ ]

Entonces:

[

] [ ]

2.17. (R. Giles, 6-32, pg. 89). La carga extrada por la turbina CR de la figura siguiente es de 60 [m] y la presin en T es de 5,10 [Kg/cm2]. Para unas prdidas entre W y R de 2,0 (V60

2/2g) y de 3,0 (V602/2g) entre

C y T, determinar:

a. El caudal de agua que circula.

b. La altura de presin en R.

c. Dibujar la lnea de alturas totales.


a. CLCULO DEL CAUDAL

Considerando flujo permanente:

Planteamos Bernoulli entre T y W:

Considerando que:

Entonces:

Reemplazando en , obtenemos:

( )

De donde:

( )

( )

(

)

( )

Finalmente:


[ ]( [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ])

( [ ] [ ]

)

[

]

Y el caudal es:

[

] [ ] [

]

b. CCULO DE LA ALTURA DE PRESIN EN R

Aplicamos Bernoulli entre T y R:

De donde:

La velocidad en T vale:

[

]

[ ]

[ ] [

]

Sabiendo que:

Entonces:

[ ]

[ ]

[ ] ( [

])

[ ] ( [

])

[ ] [ ] [ ]

( [ ])

[ ]

Y finalmente:

[ ]


2.18. (R. Giles, 6-51, pg. 93). A travs de una tubera de 15 [cm] de dimetro fluye agua a una presin 4,20 [Kg/cm2]. Suponiendo que no hay prdidas, cul es el caudal si en una reduccin de 7,5 [cm] de dimetro la presin es de 1,40 [Kg/cm2]? Solucin: Q = 107 [l/s].

Planteamos Bernoulli:

Sabiendo que:

Entonces:

( )

( )

Por lo tanto:

( )

Finalmente:

( )

( )

( [

] [

]

[ ]

) [

] [

]

2.19. (R. Giles, 6-52, pg. 93). Si en el problema anterior fluye un aceite de densidad relativa 0,752 calcular el caudal. Solucin: 123 [l/s].

A partir de la ltima ecuacin del ejercicio anterior tenemos que:

( )

( )

( [

] [

]

[ ]

) [

] [

]


2.20. (R. Giles, 6-52, pg. 93). Una tubera de 30 [cm] de dimetro tiene un corto tramo en el que el dimetro se reduce gradualmente hasta 15 [cm] y de nuevo aumenta a 30 [cm]. La seccin de 15 [cm] est 60 [cm] por debajo de la seccin A, situada en la tubera de 30 [cm], donde la presin es de 5,25 [Kg/cm2]. Si entre las dos secciones anteriores se conecta un manmetro diferencial de mercurio, cul es la lectura del manmetro cuando circula hacia abajo un caudal de agua de 120 [l/s]? Supngase que no existen prdidas. Solucin: 17,6 [cm].

Sabiendo que el caudal es contante, calculamos las velocidades:

[

]

[ ] [

]

[

]

[ ] [

]


Sabiendo que las prdidas son despreciables entonces:

Planteamos el equilibrio de presiones en el manmetro:

( )

De donde:

( )

Igualando y obtenemos:

( )

De donde:

Entonces finalmente:


[

] [

]

[

]

[ ]

[ ]

2.21. (R. Giles, 6-56, pg. 93). Una tubera de 30 [cm] de dimetro transporta aceite de densidad relativa 0,811 a una velocidad de 24 [m/s]. En los puntos A y B las medidas de la presin y elevacin fueron, respectivamente, 3,70 [Kg/cm2] y 2,96 [Kg/cm2], y 30 [m] y 33 [m]. Para un flujo permanente, determinar la prdida de carga entre A y B. Solucin: 6,12 [m].


Sabiendo que el flujo es permanente y la seccin es constante, entonces la velocidad tambin es constante, por lo tanto:

Por lo tanto:

[ ] [ ] [

] [

]

[ ]

[ ]

2.22. (R. Giles, 6-57, pg. 93). Un chorro de agua de 7,5 [cm] de dimetro, descarga en la atmsfera a una velocidad de 24 [m/s]. Calcular la potencia, en caballos de vapor del chorro, utilizando como plano de referencia el horizontal que pasa por el eje del chorro. Solucin: 41,6 [CV].

Clculo de la altura de prdida:

[

]

[ ] [ ]

Clculo de la potencia:

[

] [ ]

[

] [ ] [

] [ ]


2.23. (R. Giles, 6-64, pg. 94). Un venturmetro horizontal tiene dimetros de 60 y 45 [cm] en la entrada y garganta, respectivamente. La lectura de un manmetro diferencial de agua es de 10 [cm] cuando est conectado entre la entrada y la garganta y fluye aire a travs del aparato. Considerando constante e igual a 1,28 [Kg/m3] el peso especfico del aire y despreciando la friccin, determinar el caudal en [m3/s]. Solucin: 6,66 [m3/s].

Considerando flujo permanente:

La diferencia de presiones entre entrada y garganta ser:

Planteamos Bernoulli entre la entrada y la garganta:

Considerando que:

Entonces:

Reemplazando y en , obtenemos:

( )

De donde:

( )

[( )

] (

)

(

)

( )


Por lo tanto:

( [ ] [

]

[ ])

( [ ] [ ]

)

[

]

El caudal ser:

[

] [ ] [

]

2.24. (R. Giles, 6-72, pg. 93-94). Prandt ha sugerido que la distribucin de velocidades, para flujo turbulento en conductos, viene representada muy aproximadamente por la expresin v = vmax (y/r0)

1/7, donde r0 es el radio de la tubera e y la distancia media a partir de la pared. Determinar la expresin de la velocidad media en funcin de la velocidad en el eje vmax. Solucin: v = 0,817 vmax.

La distribucin de velocidades viene dada por:

(

)

Calculamos el rea de la distribucin de velocidades:

(

)

(

)

De donde:

(

)

[

]

Finalmente:

(

)

La velocidad media, es el rea dividida por el dimetro:


2.25. (R. Giles, 6-73, pg. 94). Determinar cul es el coeficiente de correccin de la energa cintica para

la distribucin de velocidades del problema anterior. Solucin: = 1,06.

El coeficiente de correccin vale:

(

)

Para el caso planteado ser:

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2.26. La expresin vectorial de la ecuacin de la cantidad de movimiento de un fluido en rgimen permanente es:

( )

Donde los parmetros en negritas son vectores, en particular el parntesis refleja el flujo elemental a travs de la superficie de control, siendo V la velocidad en cada elemento dA de rea, y la cantidad de movimiento est dado por este caudal elemental, que al quedar multiplicado por la densidad da el flujo msico elemental, y la masa por la velocidad es la cantidad de movimiento.

Explique qu representa el primer miembro y demuestre que la ecuacin es dimensionalmente correcta.

Anlisis dimensional:

[ ] [

] [

]

[ ] [

]

[ ] [ ]

Por lo tanto:

( )

[

] ([

] [ ])

[ ]


2.27. En el punto 6 se ha demostrado la expresin de Borda para un fluido incompresible en rgimen permanente, considerando que el de Bousinesq es aproximadamente igual a 1:

( )

( )

Qu sucede con la energa cintica cuando se produce el ingreso de una tubera a un tanque segn esta frmula?

La energa cintica se reduce a cero por prdidas locales debido al cambio de seccin. Esto se debe principalmente a la separacin del lquido de las paredes que originan grandes turbulencias, de naturaleza diferente a la friccin. En la siguiente figura se indica el efecto mencionado.


TRABAJO PRCTICO 3

3.1. Sean dos tanques como se indica en la siguiente figura se pide:

a. Dibujar la lnea de energa total (o plano hidrodinmico de carga) y la lnea de alturas motrices (o lnea de niveles piezomtricos) en el flujo por la tubera que los une. La altura del tanque A se mantiene en 22 [m] por sobre el nivel de referencia y la del tanque F a 5 [m] sobre el mismo nivel, que es su fondo. Considere la altura de velocidad en la seccin gruesa de la tubera circular de 1 [m]. La seccin es la misma en los tramos 1, 3, y 4 (es decir, entre O y B, y entre C y E), y el tramo 2 tiene una seccin de de la seccin de mayor dimetro.

Adems se tienen las siguientes prdidas:

He = 0,5 V1/2g => a la entrada de la tubera (de O a 1).

hL = 0,015 m/m=>prdidas de energa por unidad de peso y longitud en las secciones de dimetro mayor.

hL = 0,02 m/m => prdida de energa por unidad de peso y longitud en la seccin de menor dimetro.

HB = (1/CC -1) V2/2g, donde CC = 0,742 => prdida por reduccin.

Hc => la prdida de energa se determina por la ecuacin de Borda (ref. probl.6 del TP2).

HD = 0,10 V/2g => prdida por cambio de direccin.

HE => prdida a la entrada del segundo tanque. Aplicar Borda considerando A4/AF 0

(Recomendacin: graficar en una hoja A4 apaisada utilizando una escala vertical adecuada, no inferior a

1 [m/cm], y una de longitudes horizontales mucho ms comprimida, adaptada al espacio disponible).

b. Seale las prdidas sobre el dibujo y plantee la ecuacin de Bernoulli para lquidos reales entre los puntos O y E explicando qu es cada trmino.

Se plantea Bernoulli entre A y F:

Sabiendo que:


( )

( [ ] [ ] [ ]) [ ] [ ]

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( )

Entonces:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )

[ ]

De donde:

[ ]

[

]

Finalmente, las prdidas valen:

( [ ])

[ ] [ ]

[

] [ ] [ ]

( [ ])

[ ] [ ]


[

] [ ] [ ]

( [ ])

[ ] [ ]

[

] [ ] [ ]

( [

])

[ ] [ ]

[

] [ ] [ ]

( [

])

[ ] [ ]

Altura total en A:

[ ]

[ ]

Altura piezomtrica en A:

[ ]

[ ]

Altura total en O:

[ ] [ ] [ ]

Altura piezomtrica en O:

[ ]

( [ ])

[ ] [ ]

Altura total en B:

[ ] [ ] [ ] [ ]

Altura piezomtrica en B:

[ ]

( [ ])

[ ] [ ]


Altura total en C:

[ ] [ ] [ ] [ ]

Altura piezomtrica en C:

[ ]

( [ ])

[ ] [ ]

Altura total en D:

[ ] [ ] [ ] [ ]

Altura piezomtrica en D:

[ ]

( [ ])

[ ] [ ]

Altura total en E:

[ ] [ ] [ ] [ ]

Altura piezomtrica en E:

[ ]

( [ ])

[ ] [ ]


3.2. En una tubera circular de dimetro interno D y radio interno r = D/2 en la que circula un lquido en rgimen laminar la velocidad de los filetes alejados a una distancia y del eje es:

( )

Donde hL es la prdida (energa por unidad de peso) por unidad de longitud de tubera, es el peso especfico y la viscosidad dinmica del lquido.

a. Obtener la expresin del caudal Q en funcin del radio y del dimetro internos (o sea 2 versiones), y de los restantes parmetros arriba indicados (ecuacin de Hagen-Poiseuille).

b. Partiendo de la anterior obtener la expresin de la prdida por unidad de longitud en funcin de la velocidad, tambin en dos versiones: en funcin del radio y del dimetro.

a.

Sabiendo que:

Entonces:

( )

El rea se puede expresar como:

Entonces:

( )

Integrando se obtiene:

( )

[

]

(

)

En funcin del radio:

En funcin del dimetro:

( )


b.

En funcin del radio:

De donde:

Sabiendo que:

Entonces:

En funcin del dimetro:

( )

3.3. Demostrar que el factor de friccin de la frmula de Darcy-Weisbach, HL = f (L/D) V/2g , para rgimen laminar est dado por: f = 64/ Re.

Frmula de Hagen Poiseuille:

Frmula de Darcy Waisbach:

Igualando las ltimas dos frmulas se obtiene:


De donde:

Sabiendo que:

Entonces:

3.4. (FR) Se tiene un conducto circular recto de dimetro interior 30 [cm] por el que circulan 100 [m/h] de fuel-oil. Este lquido tiene una densidad de 940 [Kg/m] y una viscosidad dinmica de 1,765 [N s/m]. Calcular la prdida de carga, la resistencia opuesta al escurrimiento en un tramo de 400 [m] de tubera y la potencia consumida en la circulacin por dicha longitud de conducto.

Se hace el cambio de unidades del caudal:

[

] [

]

Se calcula la velocidad del fluido:

[

]

( [ ])

[

]

Se calcula el nmero de Reynolds:

[

]

[ ] [ ]

[ ]

Como el nmero de Reynolds es muy bajo (62,8 < 4000), el flujo es laminar, por lo cual se puede utilizar la frmula de Hagen Poiseuille para calcular la prdida por friccin:

[

] [

]

[ ] [

] ( [ ])

[

]

Por lo tanto, la prdida para el total de la tubera es:


[

] [ ] [ ]

Se calcula la resistencia al movimiento, sabiendo que:

Por lo tanto:

[

] [

] ( [ ])

[ ] [ ]

Se calcula la potencia:

[

] [

] [ ] [

] [ ]

3.5. (FR) Un conducto para provisin de agua tiene 0,50 [m] de dimetro y requiere, al ao de instalado, 20 [CV] en 400 [m] de longitud para que circule un caudal de 0,4 [m/s]. A los 3 aos de servicio la potencia necesaria aumenta un 8%. Calcular la potencia que se requerir al cabo de 10 aos de servicio suponiendo que al finalizar los mismos debe mantenerse el caudal que circula y que el rendimiento de la instalacin de bombeo es del 80%.

Sabiendo que:

Entonces:

Se calcula la velocidad:

[

]

( [ ]) [

]

Se procede a la conversin de unidad de potencia:

[ ] [ ] [ ] [ ]

Por lo tanto, la potencia al ao de instalado es:

[ ]


Se calcula la prdida por friccin al ao de instalado:

[ ]

[ ] [

] [ ]

Sabiendo que:

Se calcula el factor de friccin para la tubera al ao de instalado:

[ ] [ ] [

]

[ ] ( [ ])

Se calcula la potencia a los tres aos de instalado:

[ ] [ ]

Se calcula la prdida por friccin a los tres aos de instalado:

[ ]

[ ] [

] [ ]

Se calcula el factor de friccin para la tubera a los tres aos de instalado:

[ ] [ ] [

]

[ ] ( [ ])

La variacin del factor de friccin por ao es:

Sabiendo que la variacin es lineal, se calcula el factor de friccin al dcimo ao:

Se calcula la prdida por friccin a los diez aos de instalado:

[ ]

[ ]

( [ ])

[ ] [ ]

Se calcula la potencia requerida a los diez aos:


[

] [ ] [

] [ ]

Teniendo en cuenta el rendimiento de la instalacin de bombeo, se calcula la potencia requerida:

[ ]

[ ]

De donde:

[ ]

[ ]

Por lo tanto:

[ ]

3.6. Partiendo de la expresin de Hazen-Williams: V = 0,8494 R0,63 hL0,54, donde es un coeficiente

que depende de las caractersticas de la tubera y R es el radio hidrulico de la seccin de la misma, obtenga las frmulas de V = f(, D, hL) y Q=f(, D, hL) segn estos investigadores.

La frmula de Hazen Williams es:

Sabiendo que:

Entonces:

( )

Sabiendo que:

Entonces:


3.7. Determinar la prdida de energa cuando fluyen 8000 [l/min] de aceite de 8 [cP] y densidad de 800 [Kg/m] por una tubera de fundicin de 200 [m] de longitud y dimetro 200 [mm]. Resolver con el diagrama de Moody y con la frmula de Swamee-Jain, indicando claramente los pasos seguidos.

Se procede a la conversin de unidades del caudal:

[

] [

]

Se calcula la velocidad:

[

]

( [ ])

[

]

Se procede a la conversin de unidades de la viscosidad:

[ ] [

] [ ] [

] [

]

Se calcula la rugosidad relativa:

[ ]

[ ]


[

]

[ ] [ ]

[ ]

Usando el diagrama de Moody se obtiene el siguiente valor de f:

Se calcula f usando la frmula de Swamee-Jain:

[ (

)]

[ ( [ ] [ ]

( ) )]

Por lo tanto, las prdidas son:

[ ]

[ ]

( [ ])

[ ] [ ]


3.8. Por una tubera de acero roblonado fluye agua a 15 [C]. Su dimetro es 30 [cm] y la prdida de energa en 300 [m] es de 6 [m]. Determinar el caudal. Resolver con el diagrama de Moody y con la frmula de Swamee-Jain, indicando claramente los pasos seguidos.

De tablas se obtiene la rugosidad absoluta, considerando un tubo de acero con remaches transversales:

[ ]


[ ]

[ ]

Suponiendo flujo turbulento, se utiliza el diagrama de Moody para calcular el factor de friccin:

Sabiendo que:

Entonces:

[ ] [ ] [

]

[ ] [

]

Se calcula el caudal:

[

] ( [ ])

[

]

Se procede a realizar una iteracin, para lo cual se calcula la viscosidad cinemtica para la temperatura indicada, y con ella, el nmero de Reynolds.

La viscosidad cinemtica para la temperatura indicada, de acuerdo a las tablas es:

[

]


[

]

[ ]

[

]

Se calcula nuevamente el factor de friccin, utilizando el diagrama de Moody:


Entonces:

[ ] [ ] [

]

[ ] [

]


[

] ( [ ])

[

]

Se calcula nuevamente el factor de friccin, utilizando la frmula de Sawamee - Jain:

[ ( )]

[ (

( ) )]

Entonces:

[ ] [ ] [

]

[ ] [

]


[

] ( [ ])

[

]

3.9. (FR) Determinar el dimetro de una tubera galvanizada para que circule un caudal de agua a 20 [C] de 0,020 [m/s] con una prdida de carga mxima de 0,02 [m/m]. Utilizar la frmula de Hazen Williams e indicar claramente los pasos seguidos.

Sabiendo que:

Y que:

Entonces:

De donde:


(

)

De tabla se obtiene que:

Por lo tanto:

( [

]

)

[ ]

3.10. Se quiere calcular el caudal de una tubera cuya representacin grfica se muestra en la figura siguiente para H=10 [m] y determinar la prdida total de altura HL (energa por unidad de peso) para Q=50 [l/s].

Los coeficientes de las prdidas locales son

Se calcula usando la tabla de rugosidad absoluta el valor para tubera de fundicin nueva:


[ ]


[ ]

[ ]

Se calcula el factor de friccin usando el diagrama de Moody, considerando flujo turbulento:

Se calcula la prdida total:

(

)

Por lo tanto:

( [ ] [ ] [ ]

[ ] )

Se plantea Bernoulli entre 1 y 2:

Sabiendo que:

( )

[ ]

Entonces:

[ ]

De donde:

[ ]

[ ] [

]

[

]


[

] [ ] [

]


La prdida total de altura es:

(

)

( [ ])

[ ] [ ]

3.11. Justificar que la potencia necesaria para hacer circular un fluido incompresible est dada por:

P = Q HL = Q hL L

Donde:

P = potencia necesaria para el flujo;

Q = caudal o gasto volumtrico;

= peso especfico del fluido;

HL = energa perdida por unidad de peso del fluido;

hL = prdida en unidades de energa por unidad de peso, por unidad de longitud de tubera;

L = largo o recorrido considerado en el conducto.

3.12. Determinar las alturas totales y piezomtricas en los puntos A, B, C, D y E de la figura siguiente.

Se plantea Bernoulli entre la superficie del tanque y la salida en la boquilla:


Las prdidas son:

(

)

[

[ ] [ ]

[ ] ( )]

Sabiendo que:

[ ]

Entonces:

[ ]

De donde:

[ ]

[

] [ ]

[

]

Altura total en A (superficie):

( )

[ ]

[ ]

Altura piezomtrica en A (superficie):

( ) [ ]

[ ]

Altura total en A (entrada):

( ) ( )

[ ]

( [ ])

[ ] [ ]

Altura piezomtrica en A (entrada):

( ) ( )

[ ]

( [ ])

[ ] [ ]

Altura total en B:


( )

[ ]

[ ]

[ ]

( [ ])

[ ] [ ]

Altura piezomtrica en B:

[ ]

( [ ])

[ ] [ ]

Altura total en C:

[ ]

( [ ])

[ ] [ ]

Altura piezomtrica en C:

[ ]

( [ ])

[ ] [ ]

Altura total en D:

[ ]

[ ]

[ ]

( [ ])

[ ] [ ]

Altura piezomtrica en D:

[ ]

( [ ])

[ ] [ ]

Altura total en E:

[ ]

( [ ])

[ ] [ ]

Altura piezomtrica en E:

[ ]

( [ ])

[ ] [ ]


3.13. Determinar el caudal Q en la tubera de la figura siguiente suponiendo los siguientes datos: Ke = 0,5; L1 = 300 [m]; L2 = 240 [m]; 1 = 0,0015 [m]; 2 = 0,0003 [m]; D1 = 0,6 [m]; D2 = 0,9 [m]; = 10

-6 [m/s]; H = 6 [m].

Las prdidas en la entrada son:

Se calcula la rugosidad relativa para el tramo 1:

[ ]

[ ]

Suponiendo rgimen turbulento, se calcula f1:

Las prdidas por friccin en el tramo 1 son:

[ ]

[ ]

Las prdidas por ampliacin de seccin (Borda) son:

( )

(

)

(( [ ])

( [ ]) )


[ ]

[ ]

Suponiendo rgimen turbulento, se calcula f2:


[ ]

[ ]


Las prdidas a la entrada del estanque 2 son:

Se calculan las prdidas totales:

Sabiendo que:

( )

Entonces:

( [ ]

[ ])

Por lo tanto:

[ ]

[ ]

( )

( )

Aplicando Bernoulli entre A y B obtenemos:

Sabiendo que:

[ ]

( )


Entonces:

[ ]

De donde:

[ ]

[ ] [

]

[

]

[

] [

]


[

] ( [ ]) [

]

Por lo tanto:

[

]

Se procede a realizar una iteracin usando diagrama de Moody.

Se calcula el nmero de Reynolds para el tramo 1:

[

]

[ ]

[

]

Se calcula f1 usando Swamee - Jain:

[ (

)]

[ (

( )

)]


[ ]

[ ]

Sabiendo que:

Entonces:


( )


[ ]

[ ]

[

]


[ (

)]

[ (

( )

)]


[ ]

[ ]

Las prdidas totales son:


Sabiendo que:

[ ]

( )

Entonces:

[ ]

De donde:


[ ]

[ ] [

]

[

]


[

] ( [ ]) [

]

Por lo tanto:

[

]

3.14. Hallar el caudal del problema anterior utilizando el concepto de tuberas equivalentes.

Para el caso planteado, se hallar la longitud equivalente del tramo 2, llevndolo al mismo dimetro que el tramo 1.

Las prdidas para el tramo 1 son:

[ ]

[ ]

Se calcula la longitud equivalente para el tramo 1:

De donde:

[ ]

[ ]

Las prdidas para el tramo 2 son:

Se calcula la longitud equivalente para el tramo 2:

Sabiendo que:


Entonces:

( )

(

)

De donde:

(

)

[ ] (

[ ] [ ]

)

[ ]

Por lo tanto, se puede reemplazar la tubera anterior, por con las siguientes caractersticas:

[ ]

[ ] [ ] [ ]


Sabiendo que:

[ ]

( )

[ ]

[ ]

Entonces:

[ ]

De donde:

[ ]

[ ] [

]

[

]



[

] ( [ ])

[

]

Por lo tanto:

[

]

3.15. Resolver el problema 3.13 pero suponiendo invertidos los tubos conductores (1 = mayor dimetro; 2 = menor dimetro) usando los mismos datos asociados.

Las prdidas en la entrada son:


[ ]

[ ]

Suponiendo rgimen turbulento, y usando el diagrama de Moody, se calcula f1:


[ ]

[ ]


[ ]

[ ]

Suponiendo rgimen turbulento, y usando el diagrama de Moody, se calcula f2:


[ ]

[ ]



Se calculan las prdidas totales:

Sabiendo que:

( )

Entonces:

( [ ]

[ ])

Por lo tanto:

( )

( )


Sabiendo que:

[ ]

( )

Entonces:

[ ]

De donde:

[ ]

[ ] [

]

[

]


[

] [

]


[

] ( [ ]) [

]

Por lo tanto:

[

]

Se procede a realizar una iteracin.


[ ]

[ ]

[

]


[ (

)]

[ (

( )

)]


[ ]

[ ]

Sabiendo que:

( [ ]

[ ])

Entonces:

( )


[ ]

[ ]

[

]



[ (

)]

[ (

( )

)]


[ ]

[ ]


Las prdidas totales son:


Sabiendo que:

[ ]

( )

Entonces:

[ ]

De donde:

[ ]

[ ] [

]

[

]



[

] ( [ ]) [

]

Por lo tanto:

[

]

3.16. Para el sistema de la figura siguiente determinar el caudal en cada tubera sabiendo que el caudal total en A y B (antes y despus de la ramificacin, respectivamente) es Q = 0,34 [m/s]. Determinar tambin la presin en el punto B si en A es de PA = 6 [Kgf/cm]. El lquido tiene las siguientes propiedades: densidad = 1028 [Kg/m], viscosidad cinemtica = 3 . 10-6 [m/s], y que las dimensiones y caractersticas de las conducciones son:

L1 = 900 [m] ; D1 = 0,3 [m] ; 1 = 0,00030 [m] ; zA = 30 [m]

L2 = 600 [m] ; D2 = 0,2 [m] ; 2 = 0,00003 [m] ; zB = 25 [m]

L3 = 1200 [m] ; D3 = 0,4 [m] ; 3 = 0,00024 [m]

Se calculan los valores de rugosidad relativa para cada tramo:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Utilizando el diagrama de Moody, y suponiendo flujo turbulento, se calculan los factores de friccin para cada tramo:


Sabiendo que en tuberas en paralelo se cumple que:

Teniendo en cuenta que:

Entonces:

(

)

(

)

(

)

De donde:

De la ecuacin anterior se obtiene que:

( [ ]) [

]

[ ] [

]

( [ ]) [

]

[ ] [

]

( [ ]) [

]

[ ] [

]

Se plantea la ecuacin de continuidad:

Por lo tanto:

[

] [

] [

] [

]


De donde:

(

[

]

[

] [

] [

])

[ ]

Se plantea Bernoulli entre A y B:

De donde:

Sabiendo que:

( )

[ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [

]

[ ] [ ]

Entonces:

[ ] [ ] [ ]