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  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

    1/34

    Ingeniera deSistemas y

    AutomticaControl de Robots y

    Sistemas Sensoriales

    TEMA 3: HERRAMIENTAS

    MATEMTICAS PARA LALOCALIZACIN INDUSTRIAL

    Robtica IndustrialRobtica Industrial

    ISA.- Ingeniera de Sistemas y Automtica

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

    2/34

    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 2

    Herramientas matemticaspara la localizacin espacial

    Representacin de la posicin

    Representacin de la orientacin

    Matrices de transformacin homogneaCuaternios

    Relacin y comparacin entre mtodos

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

    3/34

    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 3

    Localizacin espacial

    Manipulacinde

    piezas

    Movimientoespacialdel extremo

    del robot

    Necesidad de

    herramientas matemticaspara especificar

    posicin y orientacin

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 4

    Representacin de la posicin

    en coordenadas cartesianas

    2 dimensiones 3 dimensiones

    x a

    yp(x,y)

    X X

    o

    p(x,y,z)

    z

    Z

    Y

    Y

    xy0

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 5

    Representacin de la posicin

    en coordenadas polares/cilndricas

    Polares Cilndricas

    Y

    XO X

    Y

    Z

    zO

    p(r,0)

    r

    00

    r

    p(r,0,z)

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 6

    Representacin de la posicin

    en coordenadas esfricasZ

    X

    YO

    0

    r

    0 p(r,0,0)

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 8

    Representacin de la orientacin.

    Matrices de Rotacin 3D (I)

    X X

    Z Z

    Y YO

    OU

    W

    V

    U

    W

    V

    a) b )

    uvw u v w

    T

    u u v v w w

    xyw x y z

    T

    x x y y z z

    [ , , ]

    [ , , ]

    p i j k

    p i j k

    = = + +

    = = + +

    p p p p p p

    p p p p p p

    x

    y

    z

    u

    v

    w

    p

    p

    p

    p

    p

    p

    =

    R

    R

    i i i j i k

    j i j j j k

    k i k j k k

    =

    x u x v x w

    y u y v y w

    z u z v z w

    R x( , )

    1 0 0

    0 - sen

    0 sen

    =

    cos

    cos

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 9

    Representacin de la orientacin.

    Matrices de Rotacin 3D (II)

    X X

    Z Z

    Y YO O

    U

    W

    V

    U

    W

    V

    a ) b )

    R y( , )

    =

    cos sen

    sen cos

    0

    0 1 0

    0

    R z( , )

    =

    cos sen

    sen cos

    0

    0

    0 0 1

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 10

    Representacin de la orientacin.

    Composicin de rotaciones

    T R z R y R x= =

    =

    = + +

    + +

    ( , ) ( , ) ( , )

    C S 0

    S C 0

    0 0 1

    C 0 S

    0 1 0

    S 0 C

    1 0 0

    0 C S

    0 S C

    C C S C C S S S S C S C

    S C C C S S S C S S S C

    S C S C C

    Orden de la composicin:

    Rotacin sobre OX Rotacin sobre YO Rotacin sobre OZ

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 11

    Representacin de la orientacin.

    Angulos de Euler Girar el sistema OUVW un ngulo con respecto al eje OZ,

    convirtindose as en el OU'V'W'.

    Girar el sistema OU'V'W' un ngulo con respecto al eje OU',convirtindose as en el OU''V''W''.

    Girar el sistema OU''V''W'' un ngulo respecto al eje OW''convirtindose finalmente en el OU'''V'''W'''

    Z

    YO

    XU U ' U ''

    U ' ' '

    W W 'W ' ' W '''

    V

    V '

    V ''

    V ' ' '

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 12

    Representacin de la orientacin.

    Roll, Pitch y Yaw Girar el sistema OUVW un ngulo con respecto al eje OX. (Yaw)

    Girar el sistema OUVW un ngulo con respecto al eje OY. (Pitch) Girar el sistema OUVW un ngulo con respecto al eje OZ. (Roll)

    X

    Z

    YO

    R o l l

    P i tch

    Ya w

    W

    U

    V

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 13

    Representacin de la orientacin.

    Par de rotacins Mediante la definicin de un vector k (kx,ky.kz) y un ngulo de giro ,

    tal que el sistema OUVW corresponde al sistema OXYZ girado unngulo sobre el eje k

    kx

    kyX

    Z

    YO

    b )

    kz

    W

    V

    U

    k

    Rot k p p k p k k p( , ) ( ) sen ( )(1 ) = + cos cos

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 14

    Representacin de la orientacin.

    Cuaternioss Alta eficiencia computacional

    s Utilizados por algunos fabricantes de robots (ABB)

    Q [ , , , ] [s, ]0 1 2 3= =q q q q v

    Q ( , ) 2 , sen2= = Rot k k

    cos

    Giro de un ngulo 2 sobre el vector k:

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 15

    Coordenadas homogneass Coordenadas de un espacio (n+1)-dimensional para

    representar slidos en el espacio n-dimensionals p(x,y,z) p(wx,wy,wz,w) con w=factor de escala

    s Vector en coordenadas homogneas:

    s Ejemplo: 2i+3j+4k [4,6,8,2]T [-6,-9,-12,-3]T

    s Vector nulo:[0,0,0,n]T

    p =

    =

    =

    x

    y

    z

    w

    aw

    bw

    cw

    w

    a

    b

    c

    1

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 16

    Matrices de transformacin

    homogneas Matriz 4x4 que representa la transformacin de un vector en

    coordenadas homogneas de un sistema de coordenadas a otro

    s R3x3: matriz de rotacin

    s p3x1

    : vector de traslacin

    s f1x3: transformacin de perspectiva

    s w1x1: escalado global (1)

    TR p

    f w

    =

    =

    3x3 3x1

    1x3 1x1

    Rotacion Traslacion

    Perspectiva Escalado

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 17

    Aplicacin de las matrices de

    transformacin homognea

    Representar la posicin y orientacin de un sistema girado y trasladado

    O'UVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ., que es lomismo que representar una rotacin y traslacin realizada sobre unsistema de referencia.

    Transformar un vector expresado en coordenadas con respecto a un

    sistema O'UVW, a su expresin en coordenadas del sistema dereferencia OXYZ.

    Rotar y trasladar un vector con respecto a un sistema de referencia fijoOXYZ

    T

    R p

    =

    =

    3x3 3x1

    0 1

    Rotacion Traslacion

    0 1

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 18

    Traslacin con matrices

    homogneass Matriz bsica de traslacin:

    s Cambio de sistema de coordenadas:

    T p( ) =

    1 0 0

    0 1 0

    0 0 1

    0 0 0 1

    x

    y

    z

    p

    p

    p

    x

    y

    z

    x

    y

    z

    u

    v

    w

    u x

    v y

    w z

    +

    +

    +

    r

    r

    r

    p

    pp

    r

    r

    r

    r p

    r p

    r p

    1

    1 0 0

    0 1 00 0 1

    0 0 0 1 1 1

    =

    =

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 19

    Ejemplo de traslacin (I)Segn la figura el sistema O'UVW est trasladado un vector p(6,-3,8) con

    respeto del sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (r

    x ,r

    y,r

    z) del vectorr

    cuyas coordenadas con respecto al sistema O'UVW son ruvw(-2,7,3)

    x

    y

    z

    1

    1 0 0 60 1 0 3

    0 0 1 8

    0 0 0 1

    27

    3

    1

    44

    11

    1

    r

    r

    r

    =

    =

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

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  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 21

    Rotacin con matrices homogneass Matrices de rotacin bsicas:

    s Cambio de sistema de coordenadas:

    ( )T x,

    1 0 0 0

    0 - sen 0

    0 sen 0

    0 0 0 1

    =

    cos

    cos( )T y,

    =

    cos sen

    sen cos

    0 0

    0 1 0 0

    0 0

    0 0 0 1

    ( )T z,

    =

    cos sen

    sen cos

    0 0

    0 0

    0 0 1 0

    0 0 0 1

    x

    y

    z

    u

    v

    w

    1

    1

    r

    r

    r

    r

    r

    r

    =

    T

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 22

    Ejemplo de rotacins Segn la figura el sistema OUVW se encuentra girado -90 alrededor

    del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadasdel vector rxyz si ruvw = [4,8,12]T

    x

    y

    z

    1

    0 1 0 0

    - 1 0 0 00 0 1 0

    0 0 0 1

    4

    812

    1

    8

    - 412

    1

    r

    rr

    =

    =

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 23

    Combinacin de rotaciones y

    traslaciones (I)s Es posible combinar rotaciones y traslaciones

    bsicas multiplicando las matrices correspondientess El producto no es conmutativo:

    rotar y trasladar = trasladar y rotar

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 24

    Combinacin de rotaciones y

    traslaciones (II)s Rotacin seguida de traslacin:

    s Traslacin seguida de rotacin:

    ( )( )T x p, ,

    1 0 0

    0 sen

    0 sen

    0 0 0 1

    x

    y

    z

    =

    p

    p

    p

    cos

    cos

    ( )( )T p x, ,

    1 0 0

    0 sen sen

    0 sen sen

    0 0 0 1

    x

    y z

    y z

    =

    +

    p

    p p

    cos p p

    cos cos

    cos

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 25

    Ejemplo de combinacin

    traslacin-rotacin (I)Un sistema OUVW ha sido girado 90 alrededor del eje OX y posteriormente

    trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ. Calcular lascoordenadas (rx,ry,rz) del vector r con coordenadas ruvw (-3,4,-11)

    x

    y

    z

    1

    1 0 0 8

    0 0 1 4

    0 1 0 12

    0 0 0 1

    3

    4

    11

    1

    5

    7

    16

    1

    rr

    r

    =

    =

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 26

    Ejemplo de combinacin

    traslacin-rotacin (II)Un sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al

    sistema OXYZ y girado 90 alrededor del eje OX. Calcular las coordenadas(rx , ry , rz) del vector r de coordenadas ruvw (-3,4,-11)

    x

    y

    z

    1

    1 0 0 8

    0 0 1

    0 1 0

    0 0 0 1

    3

    4

    11

    1

    5

    1

    r

    r

    r

    =

    =

    12

    4

    1

    0

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 27

    Significado geomtrico de las

    matrices homogneas

    n,o,a terna ortonormal que representa la orientacin

    p vector que representa la posicin||n||=||o||=||a||=1

    n x o = a

    [n o a]-1=[n o a]T

    Tn o a p

    =

    =

    x x x x

    y y y y

    z z z zp

    0 0 0 1

    0 0 0 1

    n o a pn o a p

    n o a

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

    28/34

    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 28

    Inversa de una matriz de

    transformacin homognea

    -1

    x y zT

    x y zT

    x y z

    T

    0 0 0 1

    T

    n p

    o p

    a p

    =

    n n n

    o o o

    a a a

    -1 xyz uvwT r r= xyz uvwr T r=

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

    29/34

    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 29

    Composicin de matrices

    homogneass Una transformacin compleja puede descomponerse en la aplicacin

    consecutiva de transformaciones simples (giros bsicos y traslaciones)

    s Una matriz que representa un giro de un ngulo sobre el eje OX,seguido de un giro de ngulo sobre el eje OY y de un giro de unngulo sobre el eje OZ, puede obtenerse por la composicin de lasmatrices bsicas de rotacin

    T T z T y T x= =

    =

    =

    + +

    ( , ) ( , ) ( , )

    C S 0 0

    S C 0 0

    0 0 1 0

    0 0 0 1

    C 0 S 0

    0 1 0 0

    S 0 C 0

    0 0 0 1

    1 0 0 0

    0 C S 0

    0 S C 0

    0 0 0 1

    C C S C C S S S S C S C 0

    S C C C S S S C S S S C 0

    S C S C C 0

    0 0 0 1

    + +

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 30

    Criterios de composicin de matrices

    homogneas Si el sistema fijo OXYZ y el sistema transformado O'UVW son

    coincidentes, la matriz homognea de transformacin ser la matriz 4 x4 unidad, I4

    Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones

    definidas con respecto al sistema fijo OXYZ, la matriz homognea querepresenta cada transformacin se deber premultiplicar sobre lasmatrices de las transformaciones previas.

    Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslacionesdefinidas con respecto al sistema mvil, la matriz homognea querepresenta cada transformacin se deber postmultiplicar sobre lasmatrices de las transformaciones previas.

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

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    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 31

    Ejemplo de composicin de matrices

    homogneas (I)PREMULTIPLICACIN

    s Obtener la matriz de transformacin que representa al sistema O'UVWobtenido a partir del sistema OXYZ mediante un giro de ngulo -90alrededor del eje OX, de una traslacin de vector pxyz(5,5,10) y un giro

    de 90 sobre el eje OZ

    T T z T p T x= =

    =

    ( ,90 ) ( ) ( ,-90 )

    0 1 0 0

    1 0 0 0

    0 0 1 0

    0 0 0 1

    1 0 0 5

    0 1 0 5

    0 0 1 10

    0 0 0 1

    1 0 0 0

    0 0 1 0

    0 1 0 0

    0 0 0 1

    0 0 1 5

    1 0 0 5

    0 1 0 10

    0 0 0 1

    o o

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

    32/34

    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 32

    Ejemplo de composicin de matrices

    homogneas (II)POSMULTIPLICACIN

    s Obtener la matriz de transformacin que representa las siguientestransformaciones sobre un sistena OXYZ fijo de referencia: traslacinde un vector pxyz(-3,10,10); giro de -90 sobre el eje O'U del sistema

    trasladado y giro de 90 sobre el eje O'V del sistema girado

    T T p T u T v= =

    =

    ( ) ( ,-90 ) ( ,90 )

    1 0 0 3

    0 1 0 10

    0 0 1 10

    0 0 0 1

    1 0 0 0

    0 0 1 0

    0 1 0 0

    0 0 0 1

    0 0 1 0

    0 1 0 0

    1 0 0 0

    0 0 0 1

    0 0 1 3

    1 0 0 10

    0 1 0 10

    0 0 0 1

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

    33/34

    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 33

    Grficos de transformacin

    ( )M O M R R E E H O HT T T T T

    =1

    ( )R O R E E H O HT T T T=1

    ( )R O M R M OT T T= 1

  • 8/6/2019 1.Matrices de Rotacion

    34/34

    Robotica Industrial- Herramientas Matemticas 34

    Comparacin entre mtodos de

    localizacin espacialMtodo Ventajas Inconvenientes

    Matrices detransformacinhomognea

    Posicin y orientacinde forma conjunta Comodidad

    Alto nivel de redundancia(12 compon. para 6 gdl) Coste computacional

    Angulos de

    Euler

    Notacin compacta Slo orientacin

    Dificultad de manejopara composicin

    Par derotacin

    Notacin compacta Slo orientacin Dificultad de manejo

    para composicinCuaternios Composicin simple y

    eficiente de rotaciones ytraslaciones

    Slo orientacin relativa