REGRESIÓN Y CORRELACIÓN
SIMPLE
OBJETIVOS
1. Utilizar diagramas de dispersión para visualizar la relación entre dos variables.
2. Identificar relaciones simples entre variables
3. Utilizar la ecuación de regresión para predecir valores futuros.
4. Aplicar el análisis de correlación para describir el grado hasta el cuál dos variables están relacionadas linealmente entre si.
Al finalizar el Tema , el participante será capaz de:
6. Realizar el diagnostico de la regresión7. Medición de la autocorrelación8. Realizar la estimación por intervalos9. Realizar el análisis de varianza de la regresión
simple
1. El diagrama de dispersión
2. Las ecuaciones lineales simples
3. La regresión lineal simple
4. El error estándar de la estimación
5. El análisis de correlación
6. El diagnóstico de la regresión: al análisis residual
7. La estadística de Durbin-Watson
8. La estimación por intervalos
9. Análisis de varianza de la regresión simple.
CONTENIDO
17.1 El diagrama de dispersión
Es un gráfico que permite detectar la existencia de una relación entre dos variables.
Visualmente se puede buscar patrones que indiquen el tipo de relación que se da entre las variables.
• •
• •
• • •
•
•
• • • • •
• • •
• •
•
•
• • •
• •
• • • •
• • •
•
• •
•
• • •
•
• •
• • • •
• • •
•
•
•
• •
• • •
•
•
•
• • •
• •
• • •
•
•
•
•
• • • •
• • •
•
• • • • •
• • • •
• •
• • •
• • •
(a) Lineal directa (b) Lineal inversa (c) Curvilínea directa
(d) Curvilinea inversa (e) Lineal inversacon más dispersión
(d) Ninguna relación
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Relaciones posibles entre X y Y vistos en diagramas de dispersión
Aplicación
Los datos siguientes muestran las cantidades consumidas de complemento nutricional (en Kg.) y el aumento de peso de niños con signos de desnutrición.
PACIENTE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
COMPLEMENTO1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
EN Kg: X
AUMENTO DE8 10 9 12 14 13 15 17 14 14
PESO : Y
Presente la información en un diagrama de dispersión
Procedimiento
1er Paso: Reúna pares de datos (X,Y), cuya relación desea estudiar y organice la información en una tabla.
PACIENTE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
COMPLEMENTO1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
EN Kg: X
AUMENTO DE8 10 9 12 14 13 15 17 14 14
PESO : Y
2do Paso: Encuentre los valores mínimos y máximos para X e Y. Elija las escalas que se usarán en los ejes horizontal y vertical, de manera que ambas longitudes sean aproximadamente iguales, facilitando la lectura del diagrama.
0
5
10
15
20
0.0 2.0 4.0 6.0
3er Paso: Registre los datos en el gráfico. Cuando se obtengan los mismos valores en diferentes observaciones, muestre estos puntos haciendo círculos concéntricos (o), o registre el segundo punto muy cerca del primero.
0
5
10
15
20
0.0 2.0 4.0 6.0
4to Paso: Agregue toda la información que puede ser de utilidad para entender el diagrama, tal como: título del diagrama, período de tiempo, número de pares de datos, nombre de la variable y unidades de cada eje, entre otros.
Relación complemento nutricional y aumento de peso
0
5
10
15
20
0.0 2.0 4.0 6.0
Complemento nutricional (Kg)
Au
men
to d
e p
eso
(K
g)
17.2 Las ecuaciones lineales simples
Si dos variables, como X e Y, están relacionadas, se puede expresar como una relación, por ejemplo:
Y = 3 + 1,5X
Al conocer la ecuación se puede:
a) Calcular el valor de Y para cualquier valor dado de X
b) Conocer el cambio en Y, cuando X varía en 1
Valor Valor Cambio dado de Xcalculado de Y de Y
1 4,5 -2 6,0 1,53 7,5 1,54 9,0 1,55 10,5 1,5
Por ejemplo: Y = 3 + 1,5X
El aumento en Y, cuando X varía en una unidad, está dado por el coeficiente de X.
Ejemplo:
En Y = 10 + 2Xcuando X aumenta en 1, Y aumenta en 2
En Y = 5 - 0,8Xcuando X aumenta en 1, Y disminuye en 0,8
A) Tipos de VariablesEn una ecuación como Y = 30 + 3X, el valor de Y depende del valor que toma X, por eso a Y se le llama variable dependiente, y a X se le llama variable independiente.
Y = b0 + b1 X
VariableDependiente
VariableIndependiente
B) Tipo de Relaciones
Cuando cambios en X provoca cambios en Y en igual sentido (aumentos o disminuciones), las variables están directamente relacionadas. Se observa el signo +
X
o
o
o
o
o
o
o
o
oYEjemplo:Y = 30 + 5X
Cuando cambios en X, provoca variaciones en Y en sentido inverso (X aumenta, Y disminuye o viceversa), las variables están inversamente relacionadas. Se observa en la ecuación el signo -.
o
o
o
o
o
o
o
o
X
YEjemplo:Y = 20 - 3X
La ecuación es de primer grado si la variable independiente está elevada al exponente 1. Su gráfica genera una línea recta (por lo que también se le llama ecuación lineal)
Ejemplo: Y = 30 + 4 X
C) Grado de la ecuación:
Si la variable independiente está elevada a un exponente diferente a 1, la ecuación toma el valor del exponente. Su gráfica no es una línea recta.
Ejemplo:
Y = 10 + 3 X + 4 X2 : ecuación de segundo grado
Y = 3 + 7X + 5 X3 : ecuación de tercer grado
D) Ecuaciones simples y múltiples: Simples: Muestra la relación entre dos variables
Y = 30 + 2X
Y = 10 - 3X2
Múltiple: Muestra la relación entre tres o más variables
Y = 3X + 8 Z
Y = 5 + 2X2 + 4W
D) Gráfica de una ecuación de primer grado:
Ejemplo: Y = 3 + 1,5X
Los cinco pares de valores se diagraman de la forma siguiente.
121110987654321
1 2 3 4 5
Y
.
X
.. . .
(1,4.5)
(4,9)
(3,7.5)
(2,6)
(5,10.5)
X 1 2 3 4 5Y 4 , 5 6 , 0 7 , 5 9 , 0 1 0 , 5
E) Forma general:
La ecuación simple de primer grado tiene la siguiente forma general
Y = b0 + b1 X
Donde:
b1: pendiente, o sea, el cambio en Y cuando X = 1.
b0: el valor autónomo, es decir, Y = b0 cuando X = 0. En la gráfica es la intersección con el eje Y
Ejemplo:
Y = 3 + 1.5X .b0 = 3
Y
X
17.3 Regresión lineal simple
Es una técnica estadística que permite determinar la mejor ecuación que represente la relación entre dos variables relacionadas.
Para poder establecer la relación cuantitativa entre X e Y es necesario disponer de pares de observaciones. Cada par ha sido registrado a la misma unidad elemental.
A) Suposiciones de regresión y correlación
a) Normalidad: los valores de Y estarán distribuidos normalmente a cada valor de X.
b) Homoscedasticidad: la variación alrededor de la línea de regresión sea constante para todos los valores de X.
c) Independencia de error: el error (diferenciaresidual entre un valor observado y uno
estimado de Y) sea independientemente de cada valor de X.
d) Linealidad: la relación entre las variables es lineal.
La ecuación general = b0 + b1X se llama ecuación de regresión y permite estimar o predecir los valores de Y.
Es el procedimiento matemático utilizado para determinar los valores numéricos de los coeficientes de regresión: b0 y b1
Y
B) El método de Mínimos Cuadrados
Yi - Y = error
Min Y - Yi
2
El método consiste en determinar una ecuación que la suma de los errores al cuadrado sea mínima.
X
Y
Error= 2
2 4 6 8 10 12 14
10
8
6
4
2 • •
Error= -6•
Línea deestimación
.
. Y
El método utiliza un sistema de ecuación llamado ecuaciones normales, que tienen la siguiente forma:
Para aplicar las fórmulas, tenemos que confeccionar un cuadro como el siguiente:
2
10
10
XbXbXY
X b + nbY
YX XY 2X
X Y X2 XY
1.0 8.0 1.0 8.0
1.5 10.0 2.3 15.0
2.0 9.0 4.0 18.0
2.5 12.0 6.3 30.0
3.0 14.0 9.0 42.0
3.5 13.0 12.3 45.5
4.0 15.0 16.0 60.0
4.5 17.0 20.3 76.5
5.0 14.0 25.0 70.0
5.5 14.0 30.3 77.0
32.5 126.0 126.3 442.0
Sustituyendo los valores , n = 5,
y ,en las ecuaciones normales, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones.
126 = 10b0 + 32,5b1
442 = 32,5b0 + 126,3b1
Resolviendo el sistema tenemos: b0 = 7,479 b1= 1,576 ,por lo tanto,
0,261Y 5,23X 424XY 3,126
2X
1,576X7,479 Y
c) Interpretación
b0 = 7,478 : Es probable que un paciente desnutrido que no sea considerado dentro del Programa de Alimentación Complementaria tenga un peso de 7,478 Kg.
b1 = 1,576:Por cada Kg. del alimento complementario, se espera que probablemente el niño aumento su peso en 1,576 Kg.
D) Valor observado y valor estimado de Y
El valor observado (Yi) se refiere al nivel efectivo u observado de la variable Y (peso del niño), mientras que el valor estimado ( ), es el nivel estimado de la variable (peso esperado), obtenido utilizando la ecuación de regresión.
iY
X
Y
Valorestimado
Valorobservado
YiY..
xo
X Y
1.0 8.0 9.055
1.5 10.0 9.843
2.0 9.0 10.630
2.5 12.0 11.418
3.0 14.0 12.206
3.5 13.0 12.994
4.0 15.0 13.782
4.5 17.0 14.570
5.0 14.0 15.358
5.5 14.0 16.146
Y
17.4 Error estándar de estimación (Syx)
Mide la disparidad ¨promedio¨ entre los valores observados y estimados de la variable Y. Se calcula por la siguiente relación
2
2n
Y-Y )(=yxS
14
X Y
1.0 8.0 9.055 -1.1 1.112181
1.5 10.0 9.843 0.2 0.024806
2.0 9.0 10.630 -1.6 2.658204
2.5 12.0 11.418 0.6 0.338375
3.0 14.0 12.206 1.8 3.217718
3.5 13.0 12.994 0.0 3.48E-05
4.0 15.0 13.782 1.2 1.483524
4.5 17.0 14.570 2.4 5.905386
5.0 14.0 15.358 -1.4 1.843621
5.5 14.0 46 -2.1 4.604028
32.5 126.0 126.0 0.0 21.2
Y YY 2YY
El Syx es un indicador del grado de precisión con que la ecuación de regresión describe la relación entre las dos variables: cuanto más pequeño, los valores observado y estimado de Y son razonablemente cercanos y, la ecuación de regresión es una buena descripción esa la relación.
Reemplazando en la formula
65,2820,21
20120,21=yxS
,6281=yxS
17.5 El análisis de correlación
El análisis de correlación es la técnica estadística que permite describir el grado hasta el cual una variable está linealmente relacionada con otra.
Hay dos medidas que se usan para describir la correlación El coeficiente de determinación El coeficiente de correlación
A) El coeficiente de determinaciónAl construir un modelo de regresión, se define que “el valor Y depende de X”.
Y = f (X)
Si la relación es lineal: Y = b0 + b1X
Pero en la práctica Y depende también de “otros factores” diferentes a X:
Y = b0 + b1X +
Parte de los cambios en Y pueden explicarse por X, a esto se llama variación explicada.Pero hay cambios en Y que no pueden explicarse por X, a lo que se llama variación no explicada.
VARIACION VARIACION VARIACION TOTAL = EXPLICADA + NO EXPLICADA
VariaciónTotal
Variaciónno explicada
VariaciónExplicada Y - Y
Y - Yi Y - Yi
Y
X
iY
y
El coeficiente de determinación se puede calcular del modo siguiente:
Se elevan al cuadrado, para evitar que
obteniéndose un número positivo.
variacion explicadavariacion total
r2
2
2
Y - iY
Y - Y=r2
Y - Y 0
1er Paso: Cálculo de la venta media por vendedor son ( )
Y =Y
ni
n
i
1
Y =Y Y Y Y Y
51 2 3 4 5
Y
Y =5
9 5 7 14 10 455
Y = unidades9
2do Paso: Se calcula la variación total, es decir, la sumatoria de las desviaciones de las ventas observadas (Yi) con respecto a la media:
2Y - iY
Y
8.0 12.6 -4.6 21.16
10.0 12.6 -2.6 6.76
9.0 12.6 -3.6 12.96
12.0 12.6 -0.6 0.36
14.0 12.6 1.4 1.96
13.0 12.6 0.4 0.16
15.0 12.6 2.4 5.76
17.0 12.6 4.4 19.36
14.0 12.6 1.4 1.96
14.0 12.6 1.4 1.96
126.0 126.0 0.0 72.4
Y YY 2YY
Y Y 2YY YY
3er Paso: Se calcula la variación explicada, es decir, la sumatoria de las desviaciones cuadráticas entre las ventas esperadas y la venta media de la muestra: Y - Y
2
9.055 12.6 -3.545 12.5699
9.843 12.6 -2.758 7.6038
10.630 12.6 -1.970 3.8793
11.418 12.6 -1.182 1.3964
12.206 12.6 -0.394 0.1551
12.994 12.6 0.394 0.1553
13.782 12.6 1.182 1.3971
14.570 12.6 1.970 3.8805
15.358 12.6 2.758 7.6055
16.146 12.6 3.546 12.5720
126.0 126.0 0.0 51.2
Y Y YY
2YY Y Y YY
2YY
4to Paso: Se compara la variación explicada y la variación total.
variacion explicadavariacion total
r2
2
2
Y - Y
Y - Y=
ir2
707,04,722,51
= r2
5to Paso: Interpretación: 70,7% de las variaciones en el incremento de peso, pueden explicarse por el consumo del complemento nutricional.
Valores posibles de r2
Si r2 = 1 : Correlación perfecta, es decir, toda variación de Y puede explicarse por X
Si r2 = 0 : no existe correlación entre X e Y. La variación explicada es 0. La variable X no explica nada de los cambios en Y
Resumen1 r 0 2
Cuanto más cerca a uno, las variables tendrán mayor correlación.
B) El coeficiente de correlación
Es la raíz cuadrada del coeficiente de determinación.
Sus valores oscilan entre -1 y 1
Cuando r es positivo, indica que X e Y están directamente relacionados.
r = r2
Cuando r es negativo, indica que X e Y están inversamente relacionados.
El coeficiente r tiene el mismo signo que el coeficiente b1 en la ecuación de
regresión
Interpretación del coeficiente de correlación de Pearson
-1 0 0,5 0,9 1-0,9 -0,5Perfecta
Negativa
Perfecta
Positiva
FuerteNegativa
DébilNegativa
DébilPositiva
ModeradaPositiva
FuertePositiva
ModeradaNegativa
No existe correlación
r2= 0,707Ejemplo:
0,707=rr = 0,84
el signo es positivo ya que X e Y están relacionados directamente como lo indica el signo del coeficiente b1 en la ecuación de regresión 1,576X7,479 Y
Interpretación: El incremento de peso (Y) y el consumo del complemento nutricional (X) se encuentran directamente asociados.
17.6 Diagnóstico de la regresión: análisis residual
El análisis residual permite evaluar lo adecuado del modelo de regresión que ha sido ajustado a los datos. También sirve para detectar si los supuestos se cumplen.
A. Evaluación de lo adecuado de modelo ajustado
Los valores del error residual o estimado (i) se define como la diferencia entre los valores observados (Yi) y los estimados ( ) de la variable dependiente para los valores dados de Xi
iY
iYi = Yi -
Podemos evaluar lo adecuado del modelo de regresión ajustado mediante el gráfico de los residuos (eje vertical) con respecto a los correspondientes valores de Xi de la variable independiente (eje horizontal).
Variable X 1 Gráfico de los residuales
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5 6
Variable X 1
Res
iduo
s
Ejemplo: El gráfico muestra un adecuado ajuste entre el incremento de peso y el consumo del com- plemento nutricional. No se observa una tendencia.
El análisis del gráfico nos brinda el criterio para adoptar el modelo lineal o dejarlo de lado. Si fuese así, podríamos probar con modelos no lineales como el cuadrático, logaritmo o exponencial.
El análisis de residuos se complementa con el cálculo de los residuos estandarizados (SRi), que resultan de la división del residuo dividido por su error estándar.
iYX
ii h1S
SR
En donde
n
1i
22i
2
ii
XnX
XXn1
h
Los valores estandarizados nos permiten tomar en cuenta la magnitud de los residuos en unidades que reflejen la variación estandarizada alrededor de la línea de regresión.
Análisis de los residualesObservación Pronóstico para Y Residuos Residuos estándares
1 9.138461538 -0.138461538 -0.101107641
2 3.276923077 1.723076923 1.258228423
3 6.207692308 0.792307692 0.578560391
4 15 -1 -0.730221853
5 12.06923077 -2.069230769 -1.510997526
6 44.30769231 0.692307692 0.505538206
En el gráfico siguiente, los residuos estandarizados fueron graficados en función de la variable independiente (cantidad del complemento nutricional). Se puede observar de que existe una dispersión amplia en la gráfica de residuos, no existe un patrón evidente o una relación entre los residuos estandarizados y Xi . Los residuos parecen estar equitativamente distribuidos por arriba y por debajo de 0, para diferentes valores de X. Podemos concluir que el modelo ajustado parece ser adecuado.
Residuos estándares
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20
B. Evaluación de las suposiciones
a. Homoscedasticidad
b. Normalidad
c. Independencia:
17.7 Medición de la autocorrelación: Durbin-Watson Una de las suposiciones del modelo de regresión
básico es la independencia de los residuos. Esta suposición es violada con frecuencia cuando los datos son recopilados en periodos secuenciales, debido a que un residuo en cualquier punto del tiempo puede tender a ser parecido a los residuos que se encuentran en puntos de tiempo adyacentes. El estadístico D de Durbin-Watson mide la correlación de cada residuo y el residuo del periodo inmediato anterior al periodo de interés.
El estadístico D (Durbin-Watson)
En la que representa el residuo en el periodo i.
n
1i
2i
n
2i
21ii
D
i
Interpretación de D:
Cuando residuos sucesivos están correlacionados positivamente, el valor de D se aproximará a cero.
Si los resultados no están correlacionados, el valor D estará cercano a 2.
Si se presentase una autocorrelación negativa, lo cual rara vez sucede, de valor D tomará un valor mayor a 2 e, incluso podría aproximarse a su valor máximo que es 4.
Los resultados de SPSS nos proporciona el valor de D de Durbin-Watson
Model Summaryb
.707a 19.336 1 8 .002 1.517Model1
R SquareChange F Change df1 df2 Sig. F Change
Change Statistics
Durbin-Watson
Predictors: (Constant), Complementoa.
Dependent Variable: AUMENTOb.
Según este resultado permite afirmar que los residuos no están correlacionados.
17.8 Estimación por intervalosA.Intervalo de confianza para 1
b1 N
Lo que se va hacer es estimar
se estima mediante la siguiente formula:
x
2
1 SC,
t
SC
Sb
Sb
x
yx
11
b
11
1
x
2
SC desconocido
conocido
2
2n
SCbn
YY
S
x21
n
1i
2
2
2yx
-t0 t0
1t
SC
Sb
tPr
)tttPr(
0
x
yx
110
00
1SC
Stb
SC
StbPr
x
yx011
x
yx01
B. Intervalo de confianza para 0
x
22
00 SCx
n1
,b
2n
x
2
yx
00
b
00 t
SCx
n1
S
bS
b
0
2n
SCbn
YY
S
x2
2
2
2yx
0
donde:
-t0 t0
1tS
btPr
)tttPr(
0b
000
00
0
1StbStbPr00 b000b00
t0 con (n-2) grados de libertad y
Y/XC. Intervalo de confianza para
0
x
2
02X/y SC
XXn1
,NY0
Para un nivel dado de confianza, una variación aumentada alrededor de la línea de regresión, medida a través del error estándar de la estimación, tiene como resultado un intervalo más amplio.
1StyStyPr y0X/yy0 0
x
2
02yxy SC
xXn1
SS
donde:
Sin embargo, como se esperaría, un tamaño de muestra aumentado reduce el ancho del intervalo.
D. Intervalo de confianza para un valor individual
x
2
02X/y SC
XXn1
1,NY0
Además de obtener una estimación de intervalo de confianza para el valor promedio, a menudo es importante tener la capacidad de predecir la respuesta que se obtendría para un valor individual.
1StyStyPr y0X/Yy0 0
x
2
02yxy SC
xXn1
1SS
donde:
El intervalo de predicción está estimando un valor individual, no un parámetro.
SCtotal = SCerror + SCregresión
(SCresidual)
17.9 Análisis de varianza de la regresión simple
El análisis de varianza es una técnica que permite localizar las fuentes de variabilidad que ayuden a explicar el comportamiento de la variable dependiente.
El cuadro de Análisis de Varianza
Fuentes de variabilidad
Suma de Cuadrados GL
Cuadrado Medio
F calculado E(CMe)
Debido a la Regresión
Error Experimental
Total
X2SCb
x
21
2
2 SCbn
YY
totalSC
1
2n
1n
x21SCb
2yxS
2yx
x21
SSCb
x21
2 SC
2
A.La ecuación de regresión e interprete los coeficientes de regresión.
B.El intervalo de confianza para 1y para un valor individual si X = 3,8.
C.El cuadro de ANOVA para la regresión lineal
D.El valor de cuando X = 5,1
E.La prueba de hipótesis respectiva a partir del ANOVA e interprete el resultado.
F.Estime el aumento de peso que puede darse se consumen 6 Kg. del complemento nutricional mediante un intervalo e interprete el resultado.
y
Asumiendo que existe una regresión lineal, determine:
SoluciónPrimero se realizan los cálculos necesarios:
A. Cálculo de los coeficientes de regresión:
442YX
1660Y
25,126X
126Y
5,32X10n
ii
2i
2i
i
i
49,7)25,3)(57,1(6,12b
57,162,205,32
105,32
25,126
101265,32
442
n
XX
n
YXYX
b
XbYb
XbbY
0
2
i2i
iiii
1
10
10
La ecuación de regresión será:
Interpretación:
b0= Se espera que el peso que un niño que no consume este complemento nutricional sea 7,49 Kg.
b1= Por cada Kg. de complemento nutricional, el peso del niño se incrementará en 1,57 Kg.
X57,149,7Y
B. Intervalo de confianza para 1
10,01SC
St57,1
SC
St57,1Pr
x
yx810,01
x
yx810,0
90,054,4
S86,157,1
54,4
S86,157,1Pr yx
1yx
642,1S
69,28
82,507,728
62,2057,110
1261660
S
yx
22
2yx
90,02427,28973,0Pr
90,054,4
642,186,157,1
54,4642,1
86,157,1Pr
1
1
Interpretación: Hay 0,90 de confianza que el intervalo que se ha construido, pertenezca al grupo de intervalos que contienen al verdadero parámetro 1.
1S)86,1(45,13YS)86,1(45,13Pr YindY
62,20
25,380,3101
1642,1S2
Y
Interpretación
Intervalo de confianza para un valor individual Si X = 3,8 entonces 45,13Y
1StYYStYPr Y0indY0
C. Análisis de Varianza
Fuentes de variabilidad
Suma de Cuadrados GL
Cuadrado Medio
F calculado E(CMe)
Debido a la Regresión 50,82 1 50,82 18,84
Error Experimental 21,58 8 2,697
Total72,40 9
Interpretación: Se rechaza la hipótesis planteada. El complemento nutricional si explica significativamente los cambios en el peso de los niños.
D. Si X = 5,1
14,16Y)51,5(57,149,7Y
E. Prueba de Hipótesis acerca de 1
1. Hp: 1= 0
Ha: 1 0 2. = 0,10
3. error
regresiónc CMe
CMeF
F1-/2 F/2
Supuestos- La muestra seleccionada al azar- La población se distribuye al azar- Los valores de X fijas y de Y variables (o
aleatorias)- Asunciones de la regresión lineal simple
4. Criterios de decisión
0,0041 5,32
Si se rechaza la hipótesis planteada 0041,0F32,5 c
5. Cálculos
6. Conclusiones La variable “complemento nutricional” es
apropiada para explicar el comportamiento del “aumento de peso” en niños desnutridos. Además, la ecuación de regresión puede ser usada con fines de predicción hasta cierto límite.
84,18697,2
82,50Fc
F. ¿ Para X = 6, que promedio de Y vamos a obtener?
1S86,191,16S86,191,16Pr YXYY 0
Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación múltiple 0.99582747
Coeficiente de determinación R^2 0.99167236
R^2 ajustado 0.98959045
Error típico 1.5310881
Observaciones 6
ANÁLISIS DE VARIANZA
GL SC CMe F cal P-valor
Regresión 1 1116.62308 1116.62308 476.328138 2.60786E-05
Residuos 4 9.37692308 2.34423077
Total 5 1126
Coeficientes
Error típico
Estadístico t P-valor
Inferior 95%
Superior 95%
Inferior 95.0%
Superior 95.0%
Intercepción 0.346154 0.9173433 0.37734384 0.72508508 -2.200804756 2.893112448 -2.200804756 2.893112448
Variable X 1 2.930769 0.13428531 21.824943 2.6079E-05 2.557932668 3.303605794 2.557932668 3.303605794
17.10 Resultados con Excel
Ejemplo:
En la Farmacia Santa Rita, se desea determinar la relación lineal simple entre la experiencia del vendedor y las ventas durante un mes. Se seleccionan 5 vendedores, los datos registrados se presentan a continuación:
VENDEDOR CARLOS PEDRO JOSE JUAN MANUELEXPERIENCIA (años):X 3 1 2 5 4VENTAS (unidades) : Y 9 5 7 14 10
Un equipo de profesionales en salud mental de un hospital psiquiátrico donde el tiempo de permanencia es largo, quiere medir el nivel de respuesta de pacientes retraídos mediante un programa de terapia de remotivación. Para este propósito se contaba con una prueba estandarizada, que era costosa y su aplicación tomaba mucho tiempo. Para salvar este obstáculo, el equipo creó una prueba más fácil de aplicar.
Caso 1
Para probar la utilidad de este nuevo instrumento para medir el nivel de respuesta del paciente, el equipo decidió examinar la relación entre las calificaciones obtenidas con la nueva prueba y las calificaciones obtenidas con la prueba estandarizada.
Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Prueba nueva 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
Prueba estandar 61 61 59 71 80 76 90 106 98 100 114
Caso 2
Se llevo a cabo un experimento para estudiar el efecto de cierto medicamento para disminuir la frecuencia cardiaca en adultos. Se reunieron los siguientes datos: dosis en miligramos del medicamento y la diferencia entre la frecuencia cardiaca mas baja después de la administración del medicamento y un control antes de administrarlo.
Dosis (mg) 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3Reduccion ritmo cardiaco 10 8 12 12 14 12 16 18 17 20 18 20
Determine la ecuación de regresión lineal y explique el valor de los coeficientes de regresión. Calcule e interprete el coeficiente de correlación y el coeficiente de determinación.
Hoja de Comprobación
1. El análisis de regresión se usa para describir que tan bien una ecuación de estimación describe la relación que está estudiando
2. Dado que la ecuación para una línea es Y = 26 - 24X, podemos decir que la relación Y con X es directa y lineal
3. Un valor r2 cercano a cero indica una fuerte correlación entre X y Y
4. Los análisis de regresión y correlación se usan para determinar relaciones de causa y efecto
5. El coeficiente de correlación de muestra, r, no es nada más quey no podemos interpretar su significado directamente como un porcentaje del mismo tipo
6. El error estándar de la estimación mide la variabilidad de los valores observados alrededor de la ecuación de regresión.
7. La línea de regresión se deriva de una muestra y no de toda la población
2r
8. Podemos interpretar el coeficiente de determinación de muestra como la cantidad de la variación en Y que es explicada por la línea de regresión
9. Las líneas trazadas a cada lado de la línea de regresión a 1, 2 y 3 veces el valor del error estándar de la estimación se denominan líneas de confianza
10.La ecuación de estimación es válida sólo sobre el mismo intervalo que el dado por los datos originales de muestra sobre los cuales se desarrolló
11.En al ecuación Y = a + bX para la variable dependiente Y y la variable independiente X, la intersección Y es b.
12.Si una línea se ajusta a un conjunto de puntos mediante el método de mínimos cuadrados, los errores individuales positivos y negativos desde la línea suman cero.
13. Si Se = 0 para una ecuación de estimación, debe estimar perfectamente la variable dependiente en los puntos observados
14.Supongamos que la pendiente de una ecuación de estimación es positiva. Entonces el valor de r debe ser la raiz cuadrada positiva de r2
15.Si r = 0.8, entonces la ecuación de regresión explica 80% de la variación total en la variable dependiente
16.El coeficiente de correlación es el porcentaje de la variación total de la variable dependiente que es explicada por la regresión
17.El error estándar de la estimación es medido perpendicularmente desde la línea de regresión más que sobre el eje X
18.Al cuadrar los errores individuales, el método de mínimos cuadrados magnidica todas las desviaciones desde la línea de regresión estimada
19. Una ecuación de regresión no puede ser válida al ampliarse fuera del intervalo de muestra de la variable independiente
20. Un valor r2 implica que no existe una relación de causa-efecto significativa entre X y Y
21. Una valor pequeño de r2 implica que no existe una relación de causa-efecto significativa entre X y Y
Top Related