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8/7/2019 15. Trigonometria

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Facultad de Contadura y Administracin. UNAM Trigonometra Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa

1

MATEMTICAS BSICAS

TRIGONOMTRIA

RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Un ngulo es la porcin de plano limitada por dos semirrectas con origen en un mismo punto. Lassemirrectas se llaman lado inicial y final. Al origen comn se le denomina vrtice del ngulo. Los ngulospositivos se miden en sentido contrario a las agujas del reloj y los negativos en el mismo sentido.

La trigonometra estudia las relaciones entre los lados y los ngulos de los tringulos1. Su etimologa

proviene de trigono tringuloy metra medida.

Sea el siguiente tringulo rectngulo:

a

c

b

cateto adyacente

cateto opuesto

hipotenusa

Se definen las siguientes razones2

trigonomtricas directas para el ngulo :

seno:c

b

hipotenusa

opuestocateto==sen cotangente:

b

a

opuestocateto

adyacentecateto==cot

coseno:c

a

hipotenusa

adyacentecateto==cos secante:

c

a

adyacentecateto

hipotenusa==sec

tangente:a

b

adyacentecateto

opuestocateto==tan cosecante:

b

c

opuestocateto

hipotenusa==csc

En trminos de variables, las funciones trigonomtricas son:

xsen= xy cot=

xcos= xy sec=

xy tan= xy csc=

1Recurdese que la suma de los ngulos internos de un tringulo es 180.

2Se entiende como razn al cociente que compara dos cantidades.


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2

De las definiciones anteriores, se puede concluir que:

x

xx

cos

sentan =

xx

xx

tan

1

sen

coscot ==

xx cos

1

sec=

xx sen

1

csc=

En caso de tener el valor de la razn trigonomtrica, para obtener el ngulo, se aplica la razntrigonomtrica inversa. Las seis razones trigonomtricas inversas para el ngulo son las siguientes:

seno inverso: x1

sen = cotangente inversa: x1

cot

=

coseno inverso: x1cos= secante inversa: x1sec=

tangente inversa: x1tan = cosecante inversa: x

1csc=

En trminos de variables, las funciones trigonomtricas inversas se definen como3:

xy 1sen = xy1

cot =

xy 1cos= xy1sec=

xy 1tan = xy1csc=

RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS

Para resolver tringulos rectngulos, basta con conocer slo dos datos. Las dems caractersticas sepueden deducir aplicando las expresiones anteriores y el teorema de Pitgoras que establece que elcuadrado de la hipotenusa de un tringulo rectngulo equivale a la suma de los cuadrados de los catetos.

Esto es: 222 bac +=

Ejemplos.Dados los siguientes tringulos, obtener los datos que faltan:

1)

?b =

4=a

9=c

?=

3Es importante sealar que existen otras dos notaciones para las funciones trigonomtricas inversas. Por ejemplo, para la funcin

trigonomtrica inversa del seno es equivalente escribir: xxxy senarcsenangsen 1 === , que respectivamente significan

ngulo cuyo seno y arco cuyo seno. Lo mismo sucede para las otras cinco funciones de este tipo.


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3

Solucin.

Se sabe que222 bac += . Por lo tanto, despejando a se tiene:

062865168149 2222 .bca ====

( ) === 50638950sen8950

9

65sen 1 ...

2)

16=c

?=b

?=a

= 53

Solucin.

Por la definicin de coseno: ( ) 10613819101616

35cos ..aa

==

177.923.8477.1712561064.1316 2222 ==== acb

3)

?=c

?=

71=a

20=b

Solucin.

Se sabe que222 bac += . Por lo tanto, se tiene:

24826689400289201722 .c =+=+=

( ) === 63491761tan176117

20tan 1 ...

4) Determinar la longitud de la sombra que se proyecta en el suelo por una persona de 801. metros

parada cerca de un arbotante cuya iluminacin tiene un ngulo 48 .


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4

sombra

= 84

.m.b 81=

?=a

Solucin.

Si se sabe que la suma de los ngulos de un tringulo es 180 , y como es 48 , el ngulo que se

forma con el suelo es = 424890180 . Por lo tanto, se tiene:

metros.

..

a

.2

9000

801

42tan

80180142tan

==

MEDIDAS DE UN NGULO

Las unidades de medida de ngulos mas conocidas son los grados, minutos y segundos. Este tipo demedidas est basada en la divisin en partes iguales de una circunferencia. Las equivalencias son lassiguientes:

=360 un giro completo alrededor de una circunferencia

2

1180 = vuelta alrededor de una circunferencia

4

1

90=

de vuelta

360

11 = de vuelta, etc.

radianes= 2360

radianes2

radin1 2957.

360

y y

x x


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5

Tambin se puede definir otra unidad angular, el radin, que en las aplicaciones fsicas es ms prctico ydirecto que trabajar con grados.

La magnitud de un ngulo medido en radianes est dada por la longitud del arco de circunferencia quesubtiende, dividido por el valor del radio. El valor de este ngulo es independiente del valor del radio; porejemplo, al dividir una pizza en diez partes iguales, el ngulo de cada pedazo permanece igual,independiente si la pizza es chica, mediana o familiar.

De esta forma, se puede calcular fcilmente la longitud de un arco de circunferencia; solo bastamultiplicar el radio por el ngulo en radianes.

( )( )erenciainfcircladeradioradianesenngulonciacircunfereladearcodelongitud =

Ya que se conoce el permetro de una circunferencia de radio unitario ( )= 22 r , entonces el ngulo de unacircunferencia completa, medido en radianes es 2 . Como adems se sabe que este mismo ngulo, medido

en grados mide 360 , entonces se puede definir una equivalencia:

= 2957

2

3601 .radin .

A partir de esta igualdad, se puede determinar que:

Grados 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360

Radianes 06

4

3

2

3

2

4

3

6

5

6

7

4

5

3

4

2

3

3

5

4

7

6

11

2

Para convertir un ngulo de grados a radianes o viceversa, lo que debe hacerse es una regla de tres,

considerando que: radianes= 2360 .

Ejemplo.

Transformar 15 a radianes.

Solucin.

=

=

radianesx

radianes

15

2360. Por lo tanto:

( )radianes

radianesx

12360

215 =

=

Ejemplo.

Transformar5

2radianes a grados.

Solucin.

=

=

radianesx

radianes

5

2

2360

. Por lo tanto: =

= 72

2

5

2360

radianes

radianes

x .

CRCULO TRIGONOMTRICO

Se llama as a una circunferencia de radio uno y con el centro en el origen de un sistema coordenado. Se

puede considerar que el punto P que se utiliza para calcular las razones trigonomtricas es el de interseccinde uno de los vrtices un tringulo equiltero unitario con el crculo trigonomtrico cuyo centro coincide conotro de los vrtices del tringulo. Esta consideracin permite determinar el comportamiento de los segmentos


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6

en el plano que representan grficamente las razones seno y coseno, tal y como se muestra en la siguientefigura:

= cateto adyacente

= cateto opuestosen

cos

y

x

P

1

1

1

VALORES NOTABLES DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

En la figura anterior, al mover el ngulo en la direccin mostrada, los segmentos verticales representanlas razones seno y los horizontales las razones coseno. Estos valores dependen de la orientacin de lossegmentos, por lo que ellos determinan el signo de estas razones.

Adems, debido a que la tangente es igual al cociente del seno entre el coseno, que la cotangente, lasecante y la cosecante son los recprocos de la tangente, coseno y seno respectivamente, con saber lamagnitud y signo de estas ltimas se pueden obtener los valores de las primeras.

Los valores notables de las funciones trigonomtricas se obtienen a partir de sus definicionesconsiderando los valores de los catetos y de la hipotenusa. Por ejemplo, para calcular los valores para

30 se puede construir la siguiente figura:

2

3

2

1

2

130

30

1

1

x

y

Teniendo en cuenta que se forma un tringulo equiltero unitario en el tringulo rectngulo, el valor de lahipotenusa es uno, el del cateto opuesto es su mitad y, aplicando el teorema de Pitgoras, se obtiene que


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7

el valor del cateto adyacente que es2

3. Por lo tanto, el valor del seno de 30 es

2

1, el valor del

coseno de 30 es

2

3y en consecuencia:

3

1

2

3

2

1

30cos

30sen30tan ==

= . Aplicando las expresiones

x

xx

sen

coscot = ,

xx

cos

1sec = y

xx

sen

1csc = se obtienen los valores respectivos.

La tabla siguiente condensa estas cifras, adems de los valores ms notables de las funcionestrigonomtricas

4:

Funcin

Grados 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360

Radianes 06

4

3

2

3

2

4

3

6

5

2

3

2

sen

02

1

2

1

2

3

12

3

2

1

2

1

0 -1 0

cos

12

3

2

1

2

1

02

1

2

1

2

3

-1 0 1

xtan

03

1

1 3

3 -1

3

1

0 0

xcot

3

13

1

03

1

-1 3

0

xsec

13

2

2

2 -2 2 3

2

-1 1

xcsc 2 2 3

2

1

3

2 2 2 -1

GRFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DIRECTAS

FUNCIN SENO sen=

A partir del comportamiento del cateto opuesto del crculo trigonomtrico unitario, la grfica de la funcin

seno empieza de cero en 0 , va aumentando paulatinamente hasta llegar a uno en 90 . Despus va

disminuyendo hasta llegar a cero en 180 . Posteriormente disminuye negativamente hasta llegar a 1

en 270 . Finalmente, va aumentando hasta regresar a cero en 360 , donde el proceso se repite

indefinidamente.

La siguiente figura muestra su grfica:

4Es importante sealar que los datos que aparecen con el smbolo es consecuencia de la divisin por cero que algebraicamente

no existe, pero que geomtricamente implican que las grficas tienen discontinuidad en dichos puntos ya que tienden a infinito.


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8

2

2

3 2

2

2

32

y

x

1

1

El dominio de la funcin seno es el intervalo abierto ( ) , y el rango es [ ]11, .

FUNCIN COSENO cos=

De forma similar, el comportamiento del cateto adyacente del crculo trigonomtrico unitario, la grfica de la funcin

coseno empieza en uno en 0 , va disminuyendo paulatinamente hasta llegar a cero en 90 . Despus sigue

disminuyendo hasta llegar a 1 en 180 . Posteriormente crece hasta llegar a cero en 270 . Finalmente, sigue

aumentando hasta regresar a 1 en 360 . Esto se repite indefinidamente, como muestra en la grfica siguiente:

2

2

3 22

2

3

y

x2

5

1

1

El dominio de la funcin coseno es el intervalo abierto ( ) , y el rango es [ ]11, .


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9

Considerando que las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante se pueden deducir a partirdel seno y coseno, se pueden graficar aplicando la relacin respectiva en cada punto. Estas grficas semuestran a continuacin:

FUNCIN TANGENTE xy tan=

2

2

3 2

2

2

32

y

x

1

1

Por ser una funcin discontinua, el dominio de la funcin tangente es: D

+

= ZR n,nxx2

y el rango es (-, ).

FUNCIN COTANGENTE xy cot=

2

2

3 22

2

32

y

x

1

1

Tambin, al ser una funcin discontinua, el dominio de la funcin cotangente es D

{ }ZR = n,nxx y el rango es ( ) , .


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10

FUNCIN SECANTE y sec=

2

2

3 2

2

2

32

y

x

1

1

Por ser una funcin discontinua, el dominio de la funcin secante es D

+

= ZR n,nxx2

y

el rango es ( ] [ ) ,, 11 .

FUNCIN COSECANTE y csc=

2

2

3 2

2

2

32

y

x

1

1

Tambin, al ser una funcin discontinua, el dominio de la funcin cosecante es D

{ }ZR = n,nxx y el rango es ( ] [ ) ,, 11 .


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11

PARMETROS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Una funcin peridica es aquella que cumple que: ( ) ( )pxfxf += , donde p es el periodo diferente de

cero. En general, una funcin trigonomtrica presenta tres parmetros fundamentales: Amplitud ( )A ,

Frecuencia k y Fase ( ) 5. La primera es la que cambia el tamao de la funcin, la segunda modifica elgrado de repeticin, y la ltima determina el desplazamiento de la funcin. Por ejemplo, especficamente

para la funcin seno se tiene: ( ) ( )+= kxAxf sen . Cabe sealar que un signo ( )+ en la fase,

implica que la funcin se adelante (o sea, se corre a la izquierda) y un signo ( ) en la fase implica que lafuncin se atrase (o sea, se corre a la derecha).

Ejemplo.Trazar las grficas de las siguientes funciones:

a) ( ) ( )xxf sen2 = Solucin:Se aprecia como en la grfica la amplitud es el doble (dos veces ms grande) que la funcin

( ) xxf sen= , sin embargo la frecuencia y la fase no cambian

y

x

2

2

3 2

2

2

32

2

2

1

1

b) ( ) ( )xxf 2sen= Solucin.En este caso, en la grfica la frecuencia es del doble (se repite ms), sin embargo la amplitud y la fase nocambian

5En el caso que la amplitud sea uno, k sea cero, que no exista defasamiento y slo se sume una constante c, la forma de la grfica

no cambia, slo se desplaza c unidades (dependiendo de su signo) sobre el eje y.


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12

y

x

2

2

3 2

2

2

32

2

2

1

1

c) ( ) ( )sen += xxf Solucin.La grfica muestra como la funcin se adelanta unidades (por el signo +), sin embargo la amplitud y la

frecuencia no cambian

y

x

2

2

3 2

2

2

32

2

2

1

1

d) ( )

=3

4sen5 xxf

Solucin.

Aqu se modifican todos los parmetros: la grfica tiene una amplitud de 5 (es muy grande), tiene una

frecuencia de 4 (se repite ms) y se atrasa3

unidades (por el signo ).


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13

y

x

3

2enveces4

2

2

3 2

2

2

32

5

5

e) ( ) ( )xxf sen2 += Solucin.

En este caso no se modifica ningn parmetro: la grfica es igual a la funcin ( ) ( )xxf sen= , slo quese desplaza 2 unidades hacia arriba.

y

x

2

2

3 2

2

2

32

1

2

3

1


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15/25


15

Funcin ( ) xxf 1tan = . Su dominio es ( ) , y su imagen es

22, .

1-1

y

x

2

2

1

2

-1

-2

Funcin ( ) xxf 1cot= . Su dominio es ( ) ( ) ,, 00 y su imagen es

200

2,, .

1-1

y

x

2

2

1

2

-1

-2


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16

Funcin ( ) xxf 1sec= . Su dominio es ( ] [ ) ,, 11 y su imagen es

,,

220 .

1-1

y

x

1

2

2

Funcin ( ) xxf 1csc= . Su dominio es ( ] [ ) ,, 11 y su imagen es

200

2,, .

1-1

y

x

2

2

1

2

-1

-2


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17

IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS

Se han mencionado algunas de las identidades trigonomtricas, sin embargo es conveniente hacer unsumario para tener una mejor referencia. No es necesario aprenderse todas las identidades de memoria,por ello, se mencionan por grupos de importancia.

Considrese la siguiente figura:

x

c

b

x

2

y

xb

( )b,aP1

( )b,aP 2

( )213 v,vP

( )214 u,uP

v

c

a

u

x

vuw =

( )05 ,cP

IDENTIDADES PRINCIPALES6

a) Relaciones inversas

x

xx

cos

sentan =

x

x

xx

sen

cos

tan

1cot ==

xx

cos

1sec =

xx

sen

1csc =

Demostraciones:

Multiplicando porc

1en la definicin de tangente: x

x

c

ac

b

a

bx

cos

sentan ===

6 Utilizando con reiteracin una o ms frmulas del grupo c), conocidas como frmulas de reduccin, es posible calcular el seno dex y el coseno de x , para cualquier valor de x , en funcin del seno y del coseno de ngulos entre 0y 90. Utilizando las frmulasde los grupos a) se pueden calcular los valores de la tangente, cotangente, secante y cosecante de x en funcin del seno y delcoseno. Por tanto, es suficiente tabular los valores del seno y el coseno de x para valores de x entre 0y 90. En la prctica, paraevitar clculos tediosos, se suelen tambin tabular las otras cuatro funciones para los mismos valores de x . Sin embargo, desde lapopularizacin de las calculadoras y las computadoras, las tablas de funciones trigonomtricas han cado en desuso.


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18

Multiplicando porc

1en la definicin de cotangente: x

x

c

bc

a

b

ax

sen

coscot ===

Aplicando el recproco en la definicin de secante: xcaa

cx

cos

11sec ===

Aplicando el recproco en la definicin de cosecante: x

c

bb

cx

sen

11csc ===

b) Identidad pitagrica

1cossen22

=+ xx

Demostracin:

Si en la expresin del teorema de Pitgoras se divide cada trmino entre 2c se tiene:

1

22

2

2

2

2

2

2222

=

+

=+=+

c

b

c

a

c

c

c

b

c

acba

( ) ( ) 1cossen1cossen 2222 =+=+ xxxx

c) Identidades expresando funciones trigonomtricas en trminos de sus complementos

= xx

2

sencos

= xx

2

cossen

= xx

2

tancot

= xx

2cottan

= xx

2seccsc

= xx2

cscsec

Demostraciones:

Si en el tringulo de la figura, el ngulo en el cual se aplican las funciones trigonomtricas es x2

,

entonces se tiene que el cateto opuesto y el cateto adyacente se intercambian, por lo tanto, se tiene que:

xc

ax cos

2

sen ==

, x

c

bx sen

2

cos ==

, x

a

bx cot

2

tan ==

xb

ax tan

2

cot ==

,x

b

cx csc

2

sec ==

,x

a

cx sec

2

csc ==

d) Periodicidad de funciones trigonomtricas. El seno el coseno, la secante y la cosecante tienen

periodos de 2 , mientras que la tangente y la cotangente tienen un periodo de .

( ) xx sen2sen =+ ( ) xx cos2cos =+ ( ) xx tantan =+ ( ) xx cotcot =+ ( ) xx sec2sec =+ ( ) xx csc2csc =+


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19

Demostraciones:En las grficas de las funciones xy sen= y xcos= se aprecia como los valores se repiten cada

2 radianes, as que al aplicar sus respectivas identidades recprocas, las funciones xy csc= yxsec= tambin presentan esa misma periodicidad. Por su parte, en la grfica de la funcin

xy tan= se muestra como los valores se repiten cada radianes, as que al aplicar su identidad

recproca, la funcin xy cot= tambin posee esa misma periodicidad.

e) Identidades para ngulos negativos. El seno, la tangente, la cotangente y la cosecante son funciones

impares, es decir que cumplen con ( ) ( )xfxf = . Por su parte, el coseno y la secante son funciones

pares, es decir cumplen con ( ) ( )xfxf = .

( ) xx sensen = ( ) xx coscos = ( ) xx tantan = ( ) xx cotcot = ( ) xx secsec = ( ) xx csccsc =

Demostraciones:

Si en la figura anterior, se hace crecer x desde 0 hasta 2 , el punto 1P recorre la circunferencia ensentido contrario a las manecillas del reloj y el punto 2P , correspondiente a , recorre la circunferencia

pero en el sentido inverso. As que aplicando las definiciones de las funciones trigonomtricas se tiene:

( ) xc

bx sensen =

= ( ) x

c

ax coscos == ( ) x

c

bx tantan =

=

( ) xb

cx tancot =

= ( ) x

a

cx secsec == ( ) x

b

cx csccsc =

=

f) Identidades trigonomtricas de dos ngulos

( ) xyyxyx cossencossensen +=+ ( ) xyyxyx cossencossensen =

( ) yxyxyx sensencoscoscos =+ ( ) yxyxyx sensencoscoscos +=

( )yx

yxyx

tantan1

tantantan

+=+ ( )

yx

yxyx

tantan1

tantantan

+

=

Demostraciones:Sean u y v dos nmeros reales cualesquiera expresados en radianes y su diferencia se establececomo vuw = . Si los puntos de los lados terminales de los ngulos indicados en una circunferencia

unitaria ( )1=c son respectivamente ( )214 u,uP , ( )213 v,vP entonces, por definicin se tiene:( )

111

coscoscos wvuvv,uu ===

( ) 222 sensensen wvuvv,uu ===

Se aprecia que la distancia entre 5P y 1P debe ser igual a la distancia entre 3P y 4P porque losngulos miden lo mismo.

Aplicando el teorema de Pitgoras: ( ) ( ) ( ) ( )2222

112

22

1 01 vuvuww +=+

elevando al cuadrado y simplificando las expresiones de los radicales:2

2222

22

1112

12

212

1 2212 vvuuvvuuwww +++=++


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20

Por ser una circunferencia unitaria, se cumple que: 12

22

12

22

12

22

1 =+=+=+ vvuuww , entonces:

2211122111 22222 vuvuwvuvuw +== , as que sustituyendo se tiene:

( ) vuvuvu sensencoscoscos += si se renombra a las variables como: u = y v = , se llega a:

( ) yxyxyx sensencoscoscos += Ahora, si se hace que y = y se recuerda que ( ) yy sensen = y ( ) yy coscos = , entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) yxyxyxyxyxyx sensencoscoscossensencoscoscos =++=+ Por otra parte, aplicando la identidad de complemento para el coseno:

( ) ( ) yxyxyxyxyx sen2

sencos

2

cos

2

cos

2

cossen

+

=

=

+=+

reduciendo:

( ) xyyxyx cossencossensen +=+

Ahora, si se hace que y = y se recuerda que ( ) yy sensen = y ( ) yy coscos = , entonces:( ) ( ) ( ) ( ) xyyxyxxyyxyx cossencossensencossencossensen =++=

Por otra parte, aplicando la identidad de la tangente:

( )( )( ) yxyx

xyyx

yx

yxyx

sensencoscos

cossencossen

cos

sentan

+=

+

+=+

Si se divide el numerador y el denominador entre 0coscos yx :

( )( )( ) yx

yx

y

y

x

x

y

y

x

x

y

x

x

y

y

y

x

x

yx

yxyx

tantan1

tantan

cos

sen

cos

sen

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

sen

cos

cos

cos

sen

cos

sentan

+=

+

=+

+=+

Ahora, si se hace que y = y se recuerda que ( ) yy tantan = , entonces:

( ) ( )( ) yx

yxyxyxyx

tantan1tantan

tantan1tantantan

+

=

+=

g) Identidades de doble ngulo

xxx cossen22sen = xxxxx2222

sen211cos2sencos2cos ===

x

xx

2tan1

tan22tan

=

Demostraciones:

Si se hace xy=

en la identidad ( ) xyyxyx cossencossensen+=+

, se tiene:( ) xxxxxxxxx cossen2cossencossen2sensen =+==+

Si se hace xy = en la identidad ( ) yxyxyx sensencoscoscos =+ , se tiene:

( ) xxxxxxxxx 22 sencossensencoscos2coscos ===+

pero adems se sabe que: xxxxs2222 sen1cos1cosen ==+

por lo tanto: 1cos21coscossencos2cos22222

=+== xxxxxx


21/25


21

pero tambin se sabe que: xxxx2222 sen1cos1cossen ==+

por lo tanto: ( ) xxxxx 2222 sen211sen221sen121cos22cos ====

Si se hace xy = en la identidad ( )yx

yxyx

tantan1

tantantan

+=+ , se tiene:

x

x

xx

xxx2

tan1

tan2

tantan1

tantan2tan

=

+=

IDENTIDADES SECUNDARIAS

h) Identidades trigonomtricas que involucran cuadrados

xx 22 tan1sec += xx22

cot1csc +=

Demostraciones:

Si en la identidad 1cossen22

= xx , se divide cada trmino entre x2

cos :

xxxxxx

x

x

x 222222

2

2

2

tan1secsec1tancos

1

cos

cos

cos

sen+==+=+

Si en la identidad 1cossen22

= xx , se divide cada trmino entre x2sen :

xxxxxx

x

x

x 222222

2

2

2

cot1csccsccot1sen

1

sen

cos

sen

sen+==+=+

i) Identidades que expresan funciones trigonomtricas en trminos de sus complementos

( ) xx sensen = ( ) xx coscos = ( ) xx tantan =

Demostraciones:

Si en la identidad ( ) xyyxyx cossencossensen = , se sustituye =x y = :( ) ( ) xxxxxx sen1sencos0cossencossensen ===

Si en la identidad ( ) yxyxyx sensencoscoscos += , se sustituye =x y = :( ) ( ) xxxxxx cossen0cos1sensencoscoscos =+=+=

Si en la identidad ( )yx

yxyx

tantan1

tantantan

+

= , se sustituye =x y y = :

( ) xx

x

x

x

xx tan

1

tan

tan0tan1

tan0

tantan1

tantantan ==

+

+=

+=

j) Identidades trigonomtricas de medio ngulo

2

cos1

2sen

xx =

2

cos1

2cos

xx +=

x

xx

cos1

cos1

2tan

+

=


22/25


22

Demostraciones:

Si en la identidad xx2

sen212cos = , se despeja x2sen se tiene que:

2

2cos1sen2

xx

=

ahora, si se sustituye2

xpor y si se considera que est en un cuadrante cuyo signo es positivo:

2

cos1

2sen

2

cos1

2sen2 xxxx ==

Si en la identidad 1cos22cos2

= xx , se despeja x2

cos se tiene que:2

2cos21cos2

xx

+=

ahora, si se sustituye2

xpor y si se considera que est en un cuadrante cuyo signo es positivo:

2

cos1

2cos

2

cos1

2cos2

xxxx +=

+=

Si en la identidad

x

xx

cos

sentan = se sustituye

2

xpor y si se considera que est en un cuadrante cuyo

signo es positivo:

x

x

x

x

x

x

x

cos1

cos1

2

cos1

2

cos1

2cos

2sen

2tan

+

=

+

==

TRINGULOS OBLICUNGULOS

Un tringulo oblicungulo es un tringulo que no es rectngulo. Puede ser un tringulo agudo (si sus tres

ngulos son menores de 90 ) o puede ser un tringulo obtuso (si uno de sus tres ngulos es mayor de 90 ).

Por convencin, se establece que los ngulos de un tringulo oblicuo son A , B , C y sus lados

opuestos se identifican como a , b y c respectivamente. Esto se muestra en las siguientes figuras:

Tringulo agudo Tringulo obtuso

A

B

C

B

A

C

a

a

bb

c

c


23/25


23

La trigonometra de los tringulos oblicuos no es tan fcil como la de los tringulos rectngulos, pero haydos teoremas de la geometra que son muy utilizados en trigonometra. Estos son llamados la ley de lossenos y la ley de los cosenos.

LEY DE LOS SENOS

Dadas las figuras anteriores, la ley de los senos establece que:

c

C

b

B

a

A sensensen==

Esta ley tiene tres igualdades y se puede usar en dos formas:

Primero, si se conocen dos ngulos y el lado opuesto de ellos, se puede determinar el otro lado.

Ejemplo.

Si 164530 === a,B,A , entonces, aplicando esta ley:b

=

45sen

16

30senque resolviendo para

b se tiene que 622230sen

45sen16.b =

= .

Segundo, si se conocen dos lados y el ngulo opuesto de uno de ellos, entonces tambin se puededeterminar el ngulo opuesto del otro lado.

Ejemplo.

Si === 401525 A,b,a , entonces, aplicando esta ley:15

sen

25

40sen B=

, resolviendo para B se

tiene que: 3856025

40sen15sen .B =

= . Por lo tanto, ( ) == 682238560sen 1 ..B .

Ntese como puede no ser la respuesta correcta, ya que hay dos ngulos entre 0 y 180 que tienen elmismo valor del seno (el segundo es el complemento del primero). As que en este caso, tambin puede

ser el ngulo obtuso = 321576822180 .. . Esta situacin es indeterminada, ya que conociendo doslados y el ngulo opuesto de uno de ellos no siempre es suficiente para determinar el tringulo.

Ejemplo.

En una llanura, un nio observa a 60 un globo aerosttico. A 2 kilmetros de distancia, su primo mira

el mismo globo pero a 35 a) a qu distancia est cada nio del globo?b) a qu altura se encuentra el globo del nivel de los nios?

Solucin.a) Haciendo un dibujo, es fcil deducir que se forma un tringulo. El ngulo faltante es

= 853560180 . Por lo tanto: .Kmc,C,B,A 2853560 ==== , entonces, aplicando esta

ley:ba

=

=

35sen60sen

2

85sen. La distancia del globo y el nio A es: .Km.b 151

85sen

35sen2=

=

Por su parte, la distancia del globo y el nio B es: .Km.a 73185sen

60sen2=

=


24/25


24

ab

?h =

A B

.km2

60 35

b) En el tringulo de la izquierda se cumple que:151

60sen.

h= , por lo que la altura pedida es:

.km.h 160sen151 =

LEY DE LOS COSENOS

Considerando las figuras anteriores, esta ley establece que:

Cabbac cos2222+=

Como puede apreciarse es semejante al teorema de Pitgoras excepto por el ltimo trmino. En el casode que C sea un ngulo recto, el trmino desaparece (porque 090cos = ). As que la ley de los

cosenos es una generalizacin del teorema de Pitgoras.

Como cada tringulo da tres ecuaciones para la ley de los cosenos, se pueden permutar las letras comose quiera, esto significa que las otras dos versiones son:

Abccba cos2222+= y Bcaacb cos2

222+=

Al igual que la ley de los senos, esta ley relaciona los tres lados del tringulo con los tres ngulos, as quese puede usar en dos formas:

Primero, si se conoce un ngulo y los dos lados adyacentes, se puede determinar el lado opuesto.

Ejemplo.

Si 8560 === b,a,C

aplicando la ley de los cosenos se tiene:

( )( ) += 60cos85285 222c

749494064252 ===+= cc


25/25


Segundo, si se conocen los tres lados de un tringulo, entonces se puede encontrar cualquier ngulo.

Ejemplo.

Si 765 === c,b,a , entonces, aplicando la ley de los cosenos se tiene: Ccos)6)(5(2657222+=

( ) ===

= 467820cos20

60

362549cos 1 ..C.C

Es importante hacer notar que cuando un tringulo es obtuso, el coseno de C es negativo.

Ejemplo.

Supngase que los tres lados son: 1065 === c,b,a . entonces, aplicando la ley de los cosenos se

tiene: ( )( ) 8166060

49

60

3625100coscos6526510 222 .CC =

=

=+=

( )81660cos 1 .C = . Pero como se sabe que el coseno de un ngulo obtuso es negativo, se debe

calcular apropiadamente, esto es ( ) == 7514481660cos 1 ..C . Si se tomara el valor positivo del

argumento, lo que se encuentra es el suplemento de C , esto es: ( ) = 253581660cos 1 .. .

APLICACIONES

Las primeras aplicaciones de la trigonometra se hicieron en los campos de la navegacin, la geodesia y laastronoma, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible. Otras aplicaciones dela trigonometra se pueden encontrar en la Fsica, Qumica y en casi todas las ramas de la Ingeniera, sobretodo en el estudio de fenmenos peridicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.

La trigonometra es de gran importancia para la teora de la proyeccin estereogrfica y en la geodesia.Es tambin el fundamento de los clculos astronmicos. Por ejemplo, la solucin del llamado tringuloastronmico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del da, la posicin de unaestrella y otras magnitudes. Adems, ha tenido gran utilidad para calcular la distancia que separa laTierra del Sol, distancias de los planetas al Sol, distancias a las estrellas, dimetros de los planetas,

confeccin de calendarios, etc.

La medida de ngulos en grados es ampliamente usada en Ingeniera y en Fsica, principalmente enAstronoma, navegacin y Topografa. El mtodo ms corriente de localizar una estrella, o un punto en lasuperficie de la Tierra, es utilizar su distancia angular en grados, minutos y segundos a ciertos puntos olneas de referencia fijadas. Los posiciones en la superficie de la Tierra se miden en grados de latitudnorte o sur del ecuador y grados de longitud este u oeste del meridiano principal, que normalmente es elmeridiano que pasa por Greenwich en Inglaterra.

Debido a que la trigonometra trabaja con ngulos se necesitan instrumentos para medir estos, como elgonimetro, el teodolito, la regla paralctica, etc. Hoy en da resulta difcil imaginar cualquier actividad deconstruccin en la que no intervenga la trigonometra. La imagen del topgrafo tomando ngulos es muy comn.

Particularmente los conceptos vistos en esta unidad pueden aplicarse en:

En mecnica, los movimiento armnicos Las poleas y movimientos rotativos. La construccin de un canal pluvial. En acstica, las ondas de radio son un ejemplo de las funciones trigonomtricas: el sonido generado

es la suma de las ondas producidas por ambas. La determinacin de superficies (por ejemplo en la agrimensura) y mediciones de tipo cclicas. La torre Eiffel, adems de una bella y conocida obra de arte, es, toda ella, un compendio de propiedades

matemticas, entre otras, la de la indeformabilidad de los tringulos que constituyen su estructura.