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Capıtulo 14
Integrales impropias
Introduccion
En este capıtulo se trata de generalizar el concepto de integral de Riemann en IR acasos en que interviene el infinito, ya sea porque el intervalo de integracion sea no acotado,ya sea porque la funcion a integrar sea no acotada.
La integral∫ b
af se dice impropia si ocurre al menos una de las hipotesis siguientes:
i) El intervalo (a, b) no esta acotado.
ii) La funcion f no esta acotada en el intervalo (a, b).
Despues de estudiar las integrales impropias para los dos casos anteriores se introducenlas funciones eulerianas, de importantes aplicaciones.
El capıtulo finaliza con una seccion dedicada al estudio de la relacion entre series eintegrales impropias, cuyo resultado fundamental es el criterio integral de convergencia deseries.
1. Integrales en intervalos no acotados
1.1. Definicion. Integral impropia de primera especie
Se denominan integrales impropias de primera especie a las integrales de funcionesacotadas sobre intervalos de longitud infinita, es decir a integrales del tipo
∫ b
−∞
f(x) dx
∫
∞
a
f(x) dx
∫
∞
−∞
f(x) dx
Veamos como se definen:
a) Sea f(x) una funcion acotada e integrable en todo intervalo de la forma [a, M ], siendoa un valor fijo y M uno cualquiera tal que M ≥ a. Se define la integral impropia∫
∞
a
f(x) dx como∫
∞
a
f(x) dx = limM→∞
∫ M
a
f(x) dx
y la integral del primer miembro se dice que es convergente o divergente segun queexista lımite finito o infinito en el segundo miembro. Si no existe dicho lımite, se diceque no existe la integral.
440 Capıtulo 14. Integrales impropias
b) Sea f(x) una funcion acotada e integrable en todo intervalo de la forma [M, b], siendob un valor fijo y M uno cualquiera tal que M ≤ b. Se define la integral impropia∫ b
−∞
f(x) dx como
∫ b
−∞
f(x) dx = limM→−∞
∫ b
M
f(x) dx
y la integral del primer miembro se dice que es convergente o divergente segun queexista lımite finito o infinito en el segundo miembro. Si no existe dicho lımite, se diceque no existe la integral.
b a
Fig. 14.1
Nota: El area de la zona sombreada es finita si la integral es convergente e infinita si esdivergente, siendo la figura de la izquierda la correspondiente a la definicion b) y la de laderecha a la definicion a).
c) Se define
∫
∞
−∞
f(x) dx =
∫ c
−∞
f(x) dx +
∫
∞
c
f(x) dx = limM1→−∞
∫ c
M1
f(x) dx + limM2→∞
∫ M2
c
f(x) dx
siendo c un numero real arbitrario. La integral del primer miembro se dice convergentesi existen y son finitos ambos lımites, y se dice divergente si al menos uno de los doslımites es infinito. En otro caso, se dice que no existe la integral.
Nota: El caracter de la integral y su valor no dependen del c elegido.
Ejemplo: Una integral impropia de primera especie importante, que juega el mismo papel
que la serie armonica generalizada en el caso de series numericas, es la integral
∫
∞
1
1
xpdx,
cuyo valor es∫
∞
1
dx
xp=
∞ si p ≤ 11
p − 1si p > 1
Luego la integral converge para p > 1 y diverge para p ≤ 1.
Integrales en intervalos no acotados 441
Comentario: La convergencia de la integral impropia de una combinacion lineal defunciones se puede estudiar, a partir de la definicion, usando la linealidad de la integral y
del paso al lımite. De este modo, si
∫
∞
a
f(x) dx y
∫
∞
a
g(x) dx son integrales impropias
convergentes, tambien es convergente la integral impropia
∫
∞
a
(
αf(x) + βg(x))
dx, para
todo α, β ∈ IR y ademas
∫
∞
a
(
αf(x) + βg(x))
dx = α
∫
∞
a
f(x) dx + β
∫
∞
a
g(x) dx
Un resultado analogo se verifica para los otros tipos de integrales impropias de primeraespecie.
En algunos casos, la convergencia de una integral impropia se puede estudiar pordefinicion (veanse problemas resueltos 1 y 2). Pero a veces no es facil calcular una primitivay existen otros procedimientos para ver si la integral converge. A continuacion veremosalgunos criterios de convergencia para integrales impropias de primera especie que nospermitiran saber si la integral tiene un valor finito, aun cuando no sea posible determinarsu valor.
Los criterios que se dan a continuacion son para el caso en el que es ∞ el lımitesuperior de la integral. Hay criterios analogos para el caso en que es −∞ el lımite inferiorde la integral (con el cambio de variable x = −y se reduce un caso a otro).
En general, se supondra que f(x) es continua. Otros casos de integrabilidad puedenreducirse a este.
Algunos criterios se enunciaran para funciones f tales que f(x) ≥ 0 para x en elintervalo de integracion. Por la aditividad de la integral esta condicion se puede rebajary basta que exista x0 > a tal que f(x) ≥ 0 para x ≥ x0. Tambien es posible aplicar loscriterios a funciones f tales que f(x) ≤ 0 para x ≥ x0, considerando g(x) = −f(x).
1.2. Teorema. Criterio de comparacion
Sean f, g : [a,∞) −→ IR funciones integrables en [a, M ] para todo M > a y supon-gamos que existe x0 ≥ a tal que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x > x0. Entonces
i) Si
∫
∞
a
g(x) dx es convergente, entonces
∫
∞
a
f(x) dx es convergente.
ii) Si
∫
∞
a
f(x) dx es divergente, entonces
∫
∞
a
g(x) dx es divergente.
Nota: En el problema resuelto 3, apartados a) y b), pueden verse ejemplos de aplicacionde este criterio.
1.3. Teorema. Criterio de comparacion en el lımite
Sean f, g : [a,∞) → IR integrables en [a, M ] para todo M > a y supongamos que se
verifica f(x) ≥ 0, g(x) > 0 y que limx→∞
f(x)
g(x)= A. Entonces:
442 Capıtulo 14. Integrales impropias
i) Si A ∈ IR−{0}, las integrales
∫
∞
a
f(x) dx y
∫
∞
a
g(x) dx convergen o divergen
simultaneamente.
ii) Si A = 0 y
∫
∞
a
g(x) dx converge, entonces
∫
∞
a
f(x) dx converge.
iii) Si A = ∞ y
∫
∞
a
g(x) dx diverge, entonces
∫
∞
a
f(x) dx diverge.
1.4. Corolario
Sea f : [a,∞) −→ IR integrable en [a, M ] para todo M > a y tal que existe x0 ≥ a demodo que f(x) ≥ 0 para todo x > x0. Si lim
x→∞
xpf(x) = A, se verifica que:
i) Si A ∈ IR y p > 1, la integral impropia
∫
∞
a
f(x) dx es convergente
ii) Si A �= 0 (finito o infinito) y p ≤ 1, la integral impropia
∫
∞
a
f(x) dx es divergente.
Notas:
1) El corolario resulta de aplicar el criterio de comparacion en el lımite, utilizandog(x) = 1/xp. Por este motivo solo proporciona informacion en los casos senalados.
2) En el problema resuelto 3, apartados c) y d), pueden verse ejemplos de aplicacion deeste corolario.
1.5. Definicion. Convergencia absoluta
Se dice que
∫
∞
a
f(x) dx converge absolutamente si la integral
∫
∞
a
|f(x)| dx es con-
vergente.
1.6. Teorema
Toda integral impropia absolutamente convergente es convergente.
1.7. Definicion. Convergencia condicional
Una integral impropia convergente pero no absolutamente convergente recibe el nom-bre de condicionalmente convergente.
2. Integrales de funciones no acotadas
2.1. Definicion. Integral impropia de segunda especie
Se denominan integrales impropias de segunda especie a las integrales de funciones noacotadas en ningun entorno de uno o varios puntos de un intervalo finito [a, b].
a) Caso de un solo punto de no acotacion correspondiente al lımite superior b.
Integrales de funciones no acotadas 443
Sea f(x) integrable en todo intervalo cerrado contenido en [a, b). Se define la integral
impropia
∫ b
a
f(x) dx como
∫ b
a
f(x) dx = limε→0+
∫ b−ε
a
f(x) dx
y la integral del primer miembro se dice convergente o divergente segun que existalımite finito o infinito en el segundo miembro. Si no existe dicho lımite, se dice queno existe la integral.
b) Caso de un solo punto de no acotacion correspondiente al lımite inferior a.Sea f(x) integrable en todo intervalo cerrado contenido en (a, b]. Se define la integral
impropia
∫ b
a
f(x) dx como
∫ b
a
f(x) dx = limε→0+
∫ b
a+ε
f(x) dx
y la integral del primer miembro se dice convergente o divergente segun que existalımite finito o infinito en el segundo miembro. Si no existe dicho lımite, se dice queno existe la integral.
a b a b
Fig. 14.2
Nota: Si la integral impropia es convergente, el area de la zona sombreada es finita,siendo la grafica de la izquierda la correspondiente a la definicion a) y la de la derecha ala definicion b).
c) Caso de un solo punto c interior al intervalo [a, b].Se define
∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx +
∫ b
c
f(x) dx
= limε1→0+
∫ c−ε1
a
f(x) dx + limε2→0+
∫ b
c+ε2
f(x) dx
(1)
y la integral del primer miembro se dice convergente si existen y son finitos amboslımites del tercer miembro, y se dice divergente si uno al menos de los dos lımites esinfinito. En otro caso, se dice que no existe la integral.
444 Capıtulo 14. Integrales impropias
Notas:
1) La definicion de integral impropia de segunda especie engloba como caso particular ladefinicion de integral de Riemann para el caso de una funcion acotada en el intervalo[a, b].
2) Dada una funcion continua en un intervalo, salvo en un numero finito de puntos, yno acotada en ningun entorno de dichos puntos, se usara la propiedad de aditividadrespecto del intervalo de integracion para descomponer la integral en suma de las quefuese necesario, de modo que para cada intervalo de integracion la funcion unicamenteno este acotada en uno de los extremos.
3) Tambien para integrales impropias de segunda especie se verifica un resultado delinealidad analogo al comentado en la seccion anterior.
Ejemplo: Una integral de segunda especie importante es la integral
∫ 1
0
dx
xp, cuyo valor es
∫ 1
0
dx
xp=
∞ si p ≥ 11
1 − psi p < 1
Luego, la integral converge para p < 1 y diverge para p ≥ 1.
Puede ocurrir que en el tercer miembro de la igualdad (1) solo exista lımite finitocuando ε1 = ε2. En este caso, a la integral no convergente se le puede dar un ciertosignificado que se expone a continuacion.
2.2. Definicion. Valor principal de Cauchy
Sea f una funcion continua en [a, b]−{c} con c ∈ [a, b], que no esta acotada en ningun
entorno de c. Se llama valor principal de Cauchy de la integral impropia
∫ b
a
f(x) dx al
lımite
V P
(
∫ b
a
f(x) dx
)
= limε→0
(
∫ c−ε
a
f(x) dx +
∫ b
c+ε
f(x) dx
)
en caso de existir y ser finito.
Nota: Vease, como ejemplo, el problema resuelto 6.
En lo que sigue, veremos criterios de convergencia para integrales impropias de segundaespecie.
Los criterios que se dan son para integrales en las que f(x) unicamente no esta acotadaen el lımite superior b. Existen criterios analogos para el caso en que f(x) no este acotadaen el lımite inferior a.
En general supondremos que f(x) es continua en (a, b). Otros casos de integrabilidadpueden reducirse a este. De igual modo que en la seccion anterior, algunos criterios seenunciaran para funciones f tales que f(x) ≥ 0 para x en el intervalo de integracion y, conlas mismas consideraciones, se podran aplicar siempre que exista x0 ∈ (a, b) tal que f(x)tenga signo constante para x ∈ [x0, b).
Integrales de funciones no acotadas 445
2.3. Teorema. Criterio de comparacion
Sean f, g : [a, b) −→ IR funciones integrables en todo intervalo cerrado contenido en[a, b) y supongamos que existe x0 < b tal que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x > x0. Entonces
i) Si
∫ b
a
g(x) dx es convergente, entonces
∫ b
a
f(x) dx es convergente.
ii) Si
∫ b
a
f(x) dx es divergente, entonces
∫ b
a
g(x) dx es divergente.
2.4. Teorema. Criterio de comparacion en el lımite
Sean f, g : [a, b) −→ IR integrables en todo intervalo cerrado contenido en [a, b) y
supongamos que se verifica f(x) ≥ 0, g(x) > 0 y que limx→b−
f(x)
g(x)= A. Entonces:
i) Si A ∈ IR−{0}, las integrales
∫ b
a
f(x) dx y
∫ b
a
g(x) dx convergen o divergen
simultaneamente.
ii) Si A = 0 y
∫ b
a
g(x) dx converge, entonces
∫ b
a
f(x) dx converge.
iii) Si A = ∞ y
∫ b
a
g(x) dx diverge, entonces
∫ b
a
f(x) dx diverge.
2.5. Corolario
Sea f : [a, b) −→ IR integrable en todo intervalo cerrado contenido en [a, b) y tal queexiste x0 < b de modo que f(x) ≥ 0 para todo x > x0. Si lim
x→b−(b − x)
pf(x) = A, se
verifica que:
i) Si A ∈ IR y p < 1, la integral impropia
∫ b
a
f(x) dx es convergente
ii) Si A �= 0 (finito o infinito) y p ≥ 1, la integral impropia
∫
∞
a
f(x) dx es divergente.
Notas:
1) Los restantes casos posibles son casos dudosos.
2) En el caso de una funcion no acotada en el lımite inferior x = a, los resultados sonanalogos siendo A = lim
x→a+(x − a)
pf(x).
3) Vease problema resuelto 5, apartados b), c) y d), como ejemplo de aplicacion de estecorolario.
2.6. Definicion. Convergencia absoluta
Se dice que la integral impropia
∫ b
a
f(x) dx converge absolutamente si la integral
∫ b
a
|f(x)| dx es convergente.
446 Capıtulo 14. Integrales impropias
2.7. Teorema
Toda integral impropia absolutamente convergente es convergente.
2.8. Definicion. Convergencia condicional
Una integral impropia convergente pero no absolutamente convergente recibe el nom-bre de condicionalmente convergente.
3. Integral impropia de tercera especie
3.1. Definicion. Integral impropia de tercera especie
Se denominan integrales impropias de tercera especie a las integrales sobre intervalosno acotados de funciones no acotadas en ningun entorno de uno o varios puntos de unintervalo [a, b].
Ejemplo: La integral
∫
∞
0
e−x
√x
dx esta extendida al intervalo no acotado [0,∞) y la
funcion f(x) = e−x/√
x no esta acotada en ningun entorno del punto x = 0.
3.2. Estudio de una integral impropia de tercera especie
El estudio de una integral impropia de tercera especie se reduce, por la aditividadrespecto al intervalo, a estudiar por separado una (o dos) integrales de primera especie yuna (o varias) de segunda especie.
Si todas las integrales de los sumandos son convergentes, la dada es convergente. Sialguna es divergente, la dada es divergente. Para la convergencia absoluta se tiene unresultado analogo.
Ejemplos:
1) Para estudiar la convergencia de la integral
∫
∞
0
e−x2
|x − 1|1/2dx se puede escribir
∫
∞
0
e−x2
|x − 1|1/2dx =
∫ 1
0
e−x2
(1 − x)1/2
dx +
∫ 7
1
e−x2
(x − 1)1/2
dx +
∫
∞
7
e−x2
(x − 1)1/2
dx
y se estudia por separado la convergencia de cada una de las tres integrales impropias.
2) La integral impropia
∫
∞
0
1
xpdx es divergente para todo p ∈ IR.
Notas:
1) Si se trata de estudiar la convergencia de una integral
∫
∞
a
f(x) dx o
∫ b
a
f(x) dx, y
f(x) no mantiene el signo en el intervalo, se estudia su convergencia absoluta. Si laintegral es absolutamente convergente entonces es convergente.
2) En ocasiones es preciso estudiar para que valores del parametro λ ∈ [λ1, λ2] es conver-
gente una integral del tipo
∫
∞
a
f(x, λ) dx o
∫ b
a
f(x, λ) dx. Si la funcion no mantiene
Funcion Γ de Euler 447
el signo en el intervalo, se aplica lo dicho en la nota anterior. Para aquellos valoresde λ en los que la integral no es absolutamente convergente se intentara calcular laprimitiva o reducirla a una integral que seamos capaces de estudiar. Una posibilidades la integracion por partes (vease el problema resuelto 4).
4. Funcion G de Euler
4.1. Definicion. Funcion Γ de Euler
Se denomina funcion Gamma de Euler a la funcion Γ(p) =
∫
∞
0
xp−1e−x dx, definida
para p > 0, que recibe tambien el nombre de integral de Euler de primera especie.
Nota: La funcion Γ esta bien definida, es decir la integral impropia es convergente paratodo p > 0 (vease problema resuelto 11).
4.2. Propiedades
i) Γ(1/2) =√
π.
ii) Γ(p + 1) = pΓ(p) para todo p > 0.
iii) Γ(p)Γ(1 − p) =π
sen(πp)para 0 < p < 1.
Nota: De la propiedad anterior ii) se puede deducir que para un numero natural n esΓ(n) = (n − 1)! (vease problema resuelto 13).
4.3. Tabla de valores de la funcion Γ
El calculo de Γ(p) para cualquier valor de p > 1 puede reducirse mediante la formulaΓ(p + 1) = pΓ(p) al calculo de Γ(p) para un valor p con 0 < p < 1. Para estos valoresla funcion Γ esta tabulada. La tabla se obtiene usando metodos numericos para calcularel valor aproximado de las integrales impropias y esta incorporada en cualquier sistemade calculo simbolico. Por ejemplo en DERIVE basta aproximar la instruccion GAMMA(p)
para cualquier valor numerico p. Reproducimos aquı una tabla simplificada, realizada conprecision de 6 dıgitos (se han suprimido los dıgitos finales iguales a cero).
p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0′0 - 99′4326 49′4422 32′785 24′4609 19′47 16′1457 13′7736 11′9965 10′6162
0′1 9′5135 8′61268 7′86325 7′23024 6′68868 6′22027 5′81127 5′45117 5′13182 4′846760′2 4′59084 4′35988 4′15048 3′9598 3′7855 3′62561 3′47845 3′3426 3′21685 3′10014
0′3 2′99156 2′89033 2′79575 2′7072 2′62416 2′54614 2′47273 2′40355 2′33825 2′27654
0′4 2′21815 2′16284 2′11037 2′06054 2′01319 1′96813 1′92522 1′88432 1′8453 1′808050′5 1′77245 1′73841 1′70584 1′67465 1′64477 1′61612 1′58864 1′56226 1′53693 1′51259
0′6 1′48919 1′46668 1′44503 1′42419 1′40412 1′38479 1′36616 1′3482 1′33088 1′31417
0′7 1′29805 1′28249 1′26747 1′25296 1′23895 1′22541 1′21233 1′19969 1′18747 1′175650′8 1′16422 1′15318 1′14249 1′13215 1′12215 1′11248 1′10312 1′09406 1′0853 1′07683
0′9 1′06862 1′06069 1′05301 1′04558 1′0384 1′03145 1′02473 1′01823 1′01194 1′00587
448 Capıtulo 14. Integrales impropias
Por ejemplo, para p = 0′54 se busca en la fila correspondiente al 0′5 y la columnacorrespondiente al 4, y se obtiene Γ(0′54) ≈ 1′64477.
5. Funcion B de Euler
5.1. Definicion. Funcion B de Euler
Se denomina funcion Beta de Euler a la funcion
B(p, q) =
∫ 1
0
xp−1(1 − x)q−1 dx, p, q > 0
y recibe tambien el nombre de integral de Euler de segunda especie.
Nota: La funcion B esta bien definida, es decir la integral impropia es convergente paratodo p, q > 0 (vease problema resuelto 14).
5.2. Propiedades
i) B(p, q) = B(q, p) para todo p, q > 0.
ii) B(p, q) = 2
∫ π/2
0
sen2p−1 x cos2q−1 x dx para todo p, q > 0.
iii) B(p, q) =Γ(p)Γ(q)
Γ(p + q)para todo p, q > 0.
Notas:
1) La ultima de las propiedades anteriores permite la evualuacion aproximada de B(p, q)para cualesquiera numeros positivos p y q, a partir de los correspondientes valores dela funcion Γ. En DERIVE se puede usar la instruccion EULER BETA(p,q).
2) En los problemas resueltos del 15 al 20 se usan las propiedades de las funciones Γ yB.
6. Integrales y series
En este apartado se analiza la relacion entre la convergencia de integrales impropias yla de series a traves del criterio integral. Este criterio permite reducir el estudio del caracterde una serie numerica al estudio de una integral impropia conveniente, proporcionando,ademas, una estimacion del resto de la serie.
6.1. Teorema. Criterio integral
Si f(x) es una funcion continua, positiva y decreciente para x ≥ 1, la serie∞∑
n=1
f(n) y
la integral impropia
∫
∞
1
f(x) dx tienen el mismo caracter.
Nota: Veanse problemas resueltos 23 y 24.
Test de Autoevaluacion 449
6.2. Suma aproximada de series convergentes por el criterio integral
Si la serie∞∑
n=1
f(n) es convergente por el criterio integral, el resto Rn puede acotarse
por
Rn = S − Sn =
∞∑
k=n+1
f(k) ≤∫
∞
n
f(x) dx
Esta estimacion del resto permite obtener el valor aproximado de la suma de la seriecon una precision prefijada (vease problema resuelto 26).
Nota: El paralelismo entre los resultados relativos a convergencia de series y de integralesimpropias no es absoluto. A diferencia de lo que ocurrıa en el caso de series, la convergencia
de la integral impropia
∫
∞
a
f(x) dx no implica que la funcion f(x) tienda a 0. Sin embargo si
f es continua, decreciente y positiva y la integral converge, sı se verifica que limx→∞
f(x) = 0.
TEST DE AUTOEVALUACION
Razonar la certeza o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1. Si
∫
∞
0
f(x) dx es convergente, entonces
∫ 1000
0
f(x) dx ≤∫
∞
0
f(x) dx.
2. Sea
∫ 1
0
f(x) dx una integral impropia divergente de segunda especie por no estar acotada
en x = 0, donde f(x) es una funcion par. Entonces
∫ 1
−1
f(x) dx podrıa ser convergente
en el sentido del valor principal de Cauchy.
3. Sea f(x) una funcion continua y positiva en [0,∞). Si
∫
∞
0
f(x) dx es convergente,
entonces
∫
∞
0
f(x)e−x dx es convergente.
4. La integral
∫ 13
0
cos x√x
dx es convergente.
5. Si
∫ 1
0
f(x) dx y
∫ 1
0
g(x) dx convergen, entonces
∫ 1
0
f(x)g(x) dx converge necesaria-
mente.
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