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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE Fórmulario Cadogan

Luis Alberto Cadogan Avalos, Prof.Ingeniero

LOGARÍTMO................................................................................................................................................................31. Logaritmo decimal o de base 10.......................................................................................................................32. El número e – base de los logaritmos naturales...............................................................................................33. Logaritmo natural o de base e..........................................................................................................................34. Propiedades de los logaritmos (cualquiera sea la base)...................................................................................3TRIGONOMETRÍA.......................................................................................................................................................35. Principales relaciones trigonométricas.............................................................................................................36. Funciones trigonométricas hiperbólicas...........................................................................................................46.1. F. Trigon. Hiperbólicas Inversas......................................................................................................................5ÁLGEBRA DE VECTORES.........................................................................................................................................57. Módulo y Fase..................................................................................................................................................57.1. Cosenos directores............................................................................................................................................58. Suma – Producto..............................................................................................................................................6GEOMETRÍA ANALÍTICA..........................................................................................................................................79. Puntos en el plano cartesiano...........................................................................................................................710. La línea recta....................................................................................................................................................811. Cónicas.............................................................................................................................................................811.1. Circunferencia..................................................................................................................................................811.2. Parábola............................................................................................................................................................911.3. Elipse................................................................................................................................................................911.4. Hipérbola........................................................................................................................................................1011.5. Excentricidad de las Cónicas..........................................................................................................................1112. Ecuación completa de 2º grado en X e Y.......................................................................................................1112.1. Análisis del discriminante (C).................................................................................................1113. Traslación y Rotación de ejes.........................................................................................................................1114. Coordenadas polares.......................................................................................................................................11CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL................................................................................................................1215. Propiedades de las desigualdades...................................................................................................................12LÍMITES.......................................................................................................................................................................1216. Operaciones indefinidas y definidas en el cálculo.........................................................................................1217. Propiedades de los límites..............................................................................................................................13CÁLCULO DIFERENCIAL........................................................................................................................................1418. Tabla de derivadas..........................................................................................................................................14CÁLCULO INTEGRAL..............................................................................................................................................1819. Propiedades de la integral...............................................................................................................................1820. Integrales inmediatas......................................................................................................................................1821. Integrales de funciones trigonométricas.........................................................................................................1921.1. Fórmulas de recurrencia de Funciones Trigonométricas................................................................................2021.2. Integrales que dan lugar a Funciones Trigonométricas Inversas....................................................................2021.3. Integrales de Funciones Trigonométricas Inversas........................................................................................2022. Integrales de Funciones Trigonométricas Hiperbólicas.................................................................................2122.1. Integrales que dan lugar a F. Trigonom. Hiperbólicas Inversas.....................................................................2122.2. Fórmulas de recurrencia de F. Trigonom. Hiperbólicas.................................................................................2222.3. Integrales de Funciones Trigonométricas Hiperbólicas Inversas...................................................................2223. Método de Integración por Partes (MIP)........................................................................................................2224. Método de Integración por Fracciones Simples (MIFS)................................................................................2324.1. Caso I: Factores Lineales Distintos................................................................................................................2324.2. Caso II: Factores Lineales Repetidos.............................................................................................................2324.3. Caso III: Factores Cuadráticos Distintos........................................................................................................2324.4. Caso IV: Factores Cuadráticos Repetidos......................................................................................................2325. Método de Integración por Sustituciones Trigonométricas (MIST)..............................................................2326. Integral definida.............................................................................................................................................2426.1. Volumen de un sólido de revolución:.............................................................................................................25VARIABLE COMPLEJA............................................................................................................................................2627. Álgebra de números complejos......................................................................................................................2627.1. Formas de escribir un número complejo........................................................................................................26



27.2. Operaciones con números complejos.............................................................................................................2627.3. Desigualdad triangular....................................................................................................................................2727.4. Desigualdad Triangular generalizada.............................................................................................................2727.5. Relaciones entre complejos............................................................................................................................2727.6. Regiones en el plano complejo (C).................................................................................................................2727.7. Funciones Trigonométricas............................................................................................................................2827.8. Funciones Trigonométricas Inversas..............................................................................................................2827.9. Funciones Trigonométricas Hiperbólicas.......................................................................................................2827.10. Funciones Trigonométricas Hiperbólicas Inversas.........................................................................................2927.11. Relaciones entre f. Trigonométricas circulares e hiperbólicas.......................................................................29LÍMITES.......................................................................................................................................................................3028. Propiedades de los límites..............................................................................................................................30CÁLCULO DIFERENCIAL........................................................................................................................................3029. Ecuaciones de Cauchy – Riemman (ECR).....................................................................................................3130. Ecuación de Laplace.......................................................................................................................................3131. Operadores diferenciales................................................................................................................................31CÁLCULO INTEGRAL..............................................................................................................................................3332. Integral compleja de línea..............................................................................................................................3333. Propiedades de la Integral..............................................................................................................................3434. Integral real y compleja de línea....................................................................................................................3535. Teorema de Green el plano............................................................................................................................3536. Forma compleja del T. de Green en el plano.................................................................................................3537. Teorema de Cauchy – Goursat.......................................................................................................................3538. Teorema de Morera........................................................................................................................................3539. Fórmulas integrales de Cauchy......................................................................................................................35



LOGARÍTMO.

Logaritmo decimal o de base 10.

1. LogaB = N aN = B a: base del Logaritmo. Si a = 10 (Log decimal o de base 10).

1.1. Log 0 = No Log (Número Negativo) = No .

1.2. Log 1 = 0 100 = 1.

1.3. Log 100 = 2 102 = 100.

1.4. Log 0,1 = – 1 10–1 = 0,1.

El número e – base de los logaritmos naturales.

e = 2,718281828........

Logaritmo natural o de base e.

Log e B = N eN = B e: base del Logaritmo natural o Neperiano

Ln e = 1 Ln 1 = 0 e0 = 1 Ln (Número Negativo) = No .

Propiedades de los logaritmos (cualquiera sea la base).

2. LogaB = N aN = B.

3. Log(A.B) = LogA + LogB.

4. Log (A/B) = LogA – Log B.

5. Log (An) = nLogA.

6. Cambio de base: LogaX = Y aY = X Aplicamos: Ln(aY) = LnX YLn(a) = LnX.

. .

TRIGONOMETRÍA.

Principales relaciones trigonométricas.

7.

8.

9. sen2X + cos2X = 1. . .

10. sec2X – tg2X = 1. cosec2X – cotg2X = 1.

11. sen(A ± B) = senA.cosB ± senB.cosA. Si A = B = X: sen(2X) = 2senXcosX.

12. . Si A = B = X: cos(2X) = cos2X – sen2X.

13. . 14. .



15. 16. .

17. 2senA.cosB = [sen(A + B) + sen(A – B)].

18. 2senA.senB = [cos(A – B) – cos(A + B)].

19. 2cosA.cosB = [cos(A + B) + cos(A – B)].

20. Ley del seno: .

21. Ley del coseno: a2 = b2 + c2 – 2bc.cos

Funciones trigonométricas hiperbólicas.

Son funciones exponenciales, no periódicas, relacionadas con la hipérbola.

22. D{senhX} = R{senhX} = (– ; ).

23. D{coshX} = (– ; ) R{coshX} = [1; ).

24. D{tghX} = (– ; ) R{tghX} = [–1; 1].

25. .

D{ctghX} = (– ; ) R{ctghX}= (– <Y< –1); (+1 < Y < ) [–1; 1].

26. D{sechX} = (– ; ) R{sechX} = [0; 1].

27. D{csechX} = R{csechX} = (– ; ).

28. cosh2X – senh2X = 1.

29. tgh2X + sech2X = 1 ctgh2X – csech2X = 1.

30. senh(A ± B) = senhA.coshB ± senhB.coshA.

31. cosh(A ± B) = coshAcoshB ± senhAcoshB.

32. .

33. .

F. Trigon. Hiperbólicas Inversas.

34.



35.

36.

37.

38. .

39. .

ÁLGEBRA DE VECTORES.

Módulo y Fase.

40. Vector en 2 dimensiones: .

41. Versores: .

42. Módulo de : .

43. Fase de : .

44. Vector en 3 dimensiones: .

45. Versores: .

46. Módulo de : .

Cosenos directores.

El vector forma ángulos con los ejes coordenados: con OX: ; con OY: ; con OZ: .

47.

48.

48.1. .

Suma – Producto.

49. Suma de vectores: .

50. Resta de vectores: .

51. Producto escalar de vectores: : el resultado es un escalar (un número). Es

conmutativo. : es el ángulo definido entre los dos vectores.



51.1. Producto escalar de versores: ; ;

.

.

51.2. Producto escalar: .

52. Producto vectorial de vectores: el resultado es otro vector, perpendicular al

plano definido por los dos factores y . No es conmutativo.

: es el ángulo definido entre los dos vectores.

52.1. Producto vectorial de versores: ; ;

.

. .

. .

. .

52.2. Producto vectorial: .

52.3. Cálculo del producto vectorial a través de determinante:

.

GEOMETRÍA ANALÍTICA.

Puntos en el plano cartesiano.

53. Distancia entre 2 puntos P1(X1; Y1) y P2(X2; Y2):

.

54. Coordenadas del punto que divide a un segmento de recta en una proporción “R”.

Si P está dentro del segmento P1P2: .

Si P está fuera del segmento P1P2: P1P y PP2 tienen diferente sentido

Si P divide al segmento en dos partes iguales R = 1, fórmula del punto medio.

55. Coordenadas del punto medio: .



56. Coordenadas del baricentro: .

57. Pendiente de la recta definida por P1 y P2: .

58. Angulo entre 2 rectas definidas por sus pendientes: .

59. Dos rectas paralelas: Si: L1 // L2 m1 = m2.

60. Dos rectas perpendiculares: Si: L1 L2 .

61. Área de un polígono de vértices conocidos:

La línea recta.

62. Se conocen dos puntos de la misma: .

63. Ecuación Punto Pendiente de la Recta: (Y – Y1) = m(X – X1).

64. Ecuación General de la Recta: AX + BY + C = 0.

64.1. Si A = 0 Y = K (recta horizontal);

64.2. Si B = 0 X = K (recta vertical);

64.3. Si C = 0 Recta que pasa por el origen de Plano Cartesiano.

65. Ecuación Normal de la Recta: cosX + senY – p = 0.

cos = KA sen = KB – p = KC.

K2(A2 + B2) = 1;

.

Signo{radical} = – Signo{C} Si C 0 Signo{radical} = Signo{B} Si C = 0.

66. Distancia de un punto a una recta: .

d > 0: Si P1(X1; Y1) y el origen (0;0) están a diferentes lados de la recta.



X1cos + Y1sen – (p + d) = 0 .

d < 0: Si P1(X1; Y1) y el origen (0;0) están del mismo lado de la recta.

X1cos + Y1sen – (p – d) = 0 .

Cónicas.

Definición cónica: excentricidad de la cónica. PF: distancia del punto genérico

al Foco de la cónica. PM: distancia del punto genérico a una recta fija llamada directriz.Circunferencia.

Lugar Geométrico (LG) de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro.

67. Circunferencia con centro C(h; k) y radio R: (X – h)2 + (Y – k)2 = R2.

68. Circunferencia con centro en el origen y radio R: X2 + Y2 = R2 .

69. Ecuación General de la Circunferencia: X2 + Y2 + DX + EY + F = 0.

;

; ; .

Parábola.LG de los puntos cuya distancia a un punto fijo, FOCO, es igual a la distancia a una

recta fija, Recta Directriz (LL’). .

70. Eje de la Parábola sobre X; V (0; 0); Abertura de la Parábola hacia:

70.1. + X: Y2 = + 4aX. F(a; 0); Latus Rectum: LR = 4a; LL’ X = – a.

70.2. – X: Y2 = – 4aX. F(– a; 0); Latus Rectum: LR = 4a; LL’ X = + a.

71. Eje de la Parábola // X: Vértice: V (h; k). Abertura hacia:

71.1. + X: (Y – k)2 = + 4a(X – h); F{(h + a); k}; LL’: X = h – a.

71.2. – X: (Y – k)2 = – 4a(X – h); F{(h – a); k}; LL’: X = h + a.

72. Eje de la Parábola sobre Y; V (0; 0); Abertura de la Parábola hacia:

72.1. + Y: X2 = + 4aY. F(0; a); Latus Rectum: LR = 4a; LL’ Y = – a.

72.2. – Y: X2 = – 4aY. F(0; – a); Latus Rectum: LR = 4a; LL’ Y = + a.

73. Eje de la Parábola // Y: V (h; k). Abertura hacia:

73.1. + Y: (X – h)2 = + 4a(Y – k) F:{h; (k + a)} LL’: Y = k - a.

73.2. – Y: (X – h)2 = – a(Y – k) F:{h; (k – a)} LL’: Y = k + a.

74. Ec. General: Eje // X: CY2 + DX + EY + F = 0. Eje // Y: AX2 + DX + EY + F = 0.



Elipse.

Lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancia a dos puntos fijos llamados

FOCOS es constante e igual a 2a.

75. PF + PF' = 2a a2 = c2 + b2. c2 = a2 – b2.

76. Eje Mayor sobre X; Centro: C(0; 0). Focos: F(c; 0) F’(– c ; o)

Vértices sobre el eje mayor: V( a; 0) Vértices sobre el eje menor: v(0; b)

; ; Recta Directriz: LL’: . Distancia Focal:

DF = 2c. Longitud del eje mayor EM = 2a. Longitud del eje menor em = 2b.

77. Eje mayor sobre Y; C(0; 0). F(0; c); V(0; a); v( b; 0). LL': .

78. Eje mayor // X; C(h; k); V [(h a); k]; LL': .

79. Eje mayor // Y; C (h; k); V [h; (k a)]; LL': .

80. Ecuación General de la Elipse: AX2 + CY2 + DX + EY + F = 0; sig(A) = sig(C).

81. , si a = b e = 0 Circunferencia.

Hipérbola.

Lugar Geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia a dos puntos fijos llamados

FOCOS es constante e igual a 2a.

82. PF – PF’ = 2a a2 = c2 – b2. c2 = a2 + b2.

83. Eje Transversal sobre X; Centro: C(0; 0). F( c; 0); V( a; 0); v(0; b);

; ; Recta Directriz: LL’: ; Distancia Focal:

DF = 2c. Long. eje transversal = 2a; Long. eje conjugado = 2b. Asíntotas (igualamos a

cero Ec. de la hipérbola y tenemos una diferencia de cuadrados): ;

.



84. Eje Transversal sobre Y; C(0; 0). F(0; c); V(0; a); v( b; 0);

; Recta Directriz: LL’: . Long. eje transversal = 2a. Lon. eje

conjugado: 2b. Asíntotas (la ec. de la hipérbola igualamos a cero y tenemos una

diferencia de cuadrados): ; .

85. Eje real // X, Centro: C(h; k); V [(h a); k]; LL':

Asíntotas: .

86. Eje real // Y, Centro: C(h; k); V [h; (k a)]; LL': ;

Asíntotas: .

87. Ec. Gral. de la Hipérbola: AX2 + CY2 + DX + EY + F = 0; sig(A) = – sig(C).

Excentricidad de las Cónicas.

e = 1 Parábola.

e < 1 Elipse. e = 0 Circunferencia.

e > 1 Hipérbola.

Ecuación completa de 2º grado en X e Y.

AX 2 + BXY + CY 2 + DX + EY + F = 0.

Cuando B 0 La cónica está rotada con respecto al sistema cartesiano normal.

Análisis del discriminante (C).

Si: < 0 Ec. Elíptica – Lugar Geométrico (LG): Elipse; si estamos ante una cónica

degenerada será: Circunferencia; Punto (Cia. De radio = 0); o Nada (Elipse imaginaria).

Si: = 0 Ec. Parabólica –LG: Parábola; si estamos ante una cónica degenerada será:

Dos Rectas paralelas; o Una recta.

Si: > 0 Ec. Hiperbólica – LG: Hipérbola; cónica degenerada será Dos rectas.

Traslación y Rotación de ejes.

88. Traslación de ejes: X = h + X' Y = k + Y'

89. Rotación de ejes: X = X’cos – Y’sen . Y = X’sen + Y’cos

90. Traslación y Rotación de ejes: X = h + X’cos – Y’sen. Y = k + X’sen + Y’cos



91. Angulo que permite anular el término en XY (B).

Coordenadas polares.

92. X = Rcos Y = Rsen .

93. Simetría en coordenadas polares, con respecto al:

93.1. Eje polar: Sustituimos por (– obtenemos la misma ecuación, Gráfica simétrica

con respecto al eje polar.

93.2. Eje Y: Sustituimos por ( – ) obtenemos la misma ecuación, Gráfica simétrica con

respecto a la perpendicular al eje polar que pasa por el polo (eje Y).

93.3. Polo: Sustituimos R por – R; o por ( + ) obtenemos la misma ecuación, Gráfica simétrica con respecto al Polo.

94. Distancia entre dos puntos:

95. Circunferencia con centro en C1(R1; 1) y radio: a: .

96. Cónicas en Coordenadas Polares: e < 1: Elipse. e = 1: Parábola. e > 1 Hipérbola.

97. Recta directriz (LL’) al eje polar: ; (+) a la der. (–) a la izq. Del polo.

98. Recta direc (DD’) // al eje polar: ; (+) encima; (–) debajo. Del eje polar.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.

Propiedades de las desigualdades.

Si a una desigualdad le sumamos o restamos una cantidad positiva el sentido de la

misma no cambia.

Si a una desigualdad le multiplicamos (o dividimos) una cantidad positiva el sentido de

la misma no cambia.

Si a una desigualdad le multiplicamos (o dividimos) una cantidad negativa el sentido de

la misma se invierte.

99. Desigualdad Triangular:

99.1. .

99.2. .

99.3. .

99.4. .

99.5. Desigualdad Triangular generalizada.



LÍMITES.

Operaciones indefinidas y definidas en el cálculo.

Indeterminaciones:

(0.) ( – ) (00) (0) 1( )

Operaciones definidas en el Cálculo (A una cantidad cualquiera):

0.A = 0 0 = 0 – = 0

= .A =

A = =



Propiedades de los límites.

1. Existencia del Límite: si el Límite Lateral Izquierdo = Límite Lateral Derecho:

LLI = y LLD = , .

2. Unicidad del Límite: Si el Límite existe es único. ;

Entonces: L1 = L2.

3. Límite de una constante: .

4. Límite de una función por una constante: .

5. Límite de la Suma (o Diferencia): .

6. Límite del Producto: .

7. Límite del Cociente: .

8. Límite de función potencial: .

9. Límite de función exponencial:

10. Límite de la raíz: es la raíz del límite:

11. Límite del Logaritmo: es el Log del Límite:

.

12. Límite de función trigonométrica: .

.

100. Definición rigurosa de límite: (adoptado) > 0 y pequeño, y > 0 y pequeño tal que: |f(X) – L | < siempre que 0 < | X – a | < .



CÁLCULO DIFERENCIAL.

101. Definición de derivada de F(X): .

Tabla de derivadas.

Sean las funciones: f(X); g(X); u(X); v(X); K constante.Funciones Algebraicas

FUNCIÓN DERIVADA

K 0

K.f(X) K.f ’(X)

XN NXN – 1

(u ± v) u' ± v'

(u.v)’ u'.v + u.v'

Regla de la Cadena: F[u(X)]

F[g{u(X)}]

F(u + v) F'(u + v).[u' + v']

F(u.v) F'(u.v).[u'.v + u.v']

Ln(u)

(aX) aX Ln a

Loga(X)

Funciones Trigonométricas

FUNCIÓN DERIVADA



sen(u) cos(u).u’

cos(u) – sen(u).u’

tg(u) sec2(u).u’

ctg(u) – csec2(u).u’

sec(u) sec(u).tg(u).u’

csec(u) – csec(u).ctg(u).u’

Funciones Trigonométricas Inversas

arcsen(u) = – arccos(u)

arctg(u) = – arcctg(u)

arcsec(u)= – arccsec(u)

Funciones Trigonométricas Hiperbólicas

FUNCIÓN DERIVADA

senh(u) cosh(u).u’

cosh(u) senh(u).u’

tgh(u) sech2(u).u’

ctgh(u) – csech2(u).u’

sech(u) – sech(u)tgh(u).u’

csech(u) – csech(u)ctgh(u).u’



Funciones Trigonométricas Hiperbólicas inversas

argsenh(u)

argcosh(u)

argtgh(u) = argcotgh(u)

argsech(u)

arcgcosech(u)

102. “Una función derivable será siempre continua pero una función continua no siempre

será derivable”.

103. Condiciones de continuidad.

(I) F(a) = .

(II) .

(III) .

104. Teorema de L’Hopital.

Sirve para levantar indeterminaciones del tipo: .

Para levantar la indeterminación se deriva numerador y denominador: .

105. Teorema de continuidad.

“Si f(X) es un polinomio, función racional, función potencial o función trigonométrica,

entonces f(X) es continua en cualquier punto de su intervalo de definición”.

106. Teorema de la continuidad lateral.

“f(X) es continua por la derecha en a si y solo si: ”.

“f(X) es continua por la izquierda en a si y solo si: ”.

107. Teorema de los valores extremos.



“Si F(X) es continua en un Intervalo cerrado la misma tendrá un valor máximo y un

valor mínimo”. Estos serán valores máximos y mínimos absolutos.

108. Teorema del valor intermedio.

“Si f(X) es continua en un intervalo cerrado [a; b], c pertenece al intervalo: a c b,

entonces f(c) = L, tal que: f(a) L f(b) ”.

109. Teorema de Bolzano (T. de localización de raíces).

“f(X) es continua en el intervalo cerrado a; b siendo f(a) y f(b) de signos opuestos

existe al menos un punto c en a; b, tal que f(c) = 0”. Asegura una raíz dentro del

intervalo y también un número impar de raíces.

Teoremas de Existencia: T. del Valor Intermedio y T. de Bolzano.

110. Teorema de Rolle.

“f(X) es continua y derivable en un I cerrado [a; b], si F(a) = F(b) existirá un punto XC

dentro del intervalo tal que F’(XC) = 0”. Otra forma de enunciar el T. de Rolle:

“Si f(X) cruza el eje X dos veces entonces debe existir un punto entre dos cruces

consecutivos, en el que la tangente sea paralela al eje X F’(XC) = 0”.

111. Teorema del Valor Medio – Teorema de Lagrange.

“Si F(X) es continua y derivable en un intervalo cerrado: I: [a; b], existe un punto c

dentro del intervalo tal que: ”.

Interpretación Geométrica del Teorema del Valor Medio: a < c < b, es un punto del

intervalo donde la tangente a F(X) tiene pendiente igual a la secante que pasa por a y b.

112. Teorema del Valor Medio Generalizado – Teorema de Cauchy.

Sea F(X) y G(X) continuas en el intervalo cerrado I = [a; b], entonces:

Donde c [a; b].

113. Determinación de máximos y mínimos relativos:

113.1. Valores críticos y Puntos críticos: F’(X) = 0 permite calcular (Xc) valor crítico donde

F(X) tendrá un máximo o un mínimo relativo. Punto crítico P{Xc; F(Xc)}.

113.2. Criterio de la 1a derivada: (F creciente) y (F

decreciente). Al pasar X por Xc: si F’ cambia de + a –: F(X) tiene un máximo relativo

(PMR); y si F’ cambia de – a +: F(X) tiene un mínimo relativo (pmr).

113.3. Criterio de la 2a derivada: Si F’’(Xc) < 0 F tiene un máximo (PM).



Si F’’(Xc) > 0 F tiene un mínimo (pm), Si F’’ = 0 o el criterio no decide, en ese

caso se aplica el criterio de la primera derivada.

114. Punto de inflexión: F’’(X) > 0 curva cóncava hacia arriba. F’’(X) < 0 curva

cóncava hacia abajo. Si F’’ = 0 y F(X) es cóncava hacia arriba a un lado y cóncava

hacia abajo al otro lado de XI (concavidad de F(X) cambia de un lado a otro del punto

donde F’’ = 0) tenemos un punto de inflexión. La curva atraviesa la tangente.

CÁLCULO INTEGRAL.Propiedades de la integral.

115. Primitiva de f(X) .

116. Primer Teorema Fundamental del Cálculo.

117. .

118. .Integrales inmediatas.

119. n –1.

120. . .

121. . .

122. .

123. .

124. .

125. .



Integrales de funciones trigonométricas.

126. .

127. .

128. ; .

129. .

130. ; .

131. ; .

132. .

133. .

134. .

135. .

136. .

137. .

Fórmulas de recurrencia de Funciones Trigonométricas.

138. .

139. .

140. .

141. .

142. .

143. .



Integrales que dan lugar a Funciones Trigonométricas Inversas.

144. .

145. .

146. .

147. .

Integrales de Funciones Trigonométricas Inversas.

148. .

149. .

150. .

151. .

152. .

153. .

Integrales de Funciones Trigonométricas Hiperbólicas.

154. .

155. .

156. .

157. .

158. .

159. .

160. .

161.

162. .



163. .

Integrales que dan lugar a F. Trigonom. Hiperbólicas Inversas.

164. .

165. .

166. .

167. .

168. .

Fórmulas de recurrencia de F. Trigonom. Hiperbólicas.

169. .

170. .

171. .

172. .

173. .

174. .

Integrales de Funciones Trigonométricas Hiperbólicas Inversas.

175. .

176. .

177. .

178. .



179. .

180. .

Método de Integración por Partes (MIP).

luego integramos

.

181. LnXdX = XLnX – X + C.

Método de Integración por Fracciones Simples (MIFS).

Método de Reducción a Fracciones Simples (Fracción Racional Impropia).

Caso I: Factores Lineales Distintos.

182. Para cada factor (aX + b) en el denominador corresponde una fracción: .

Caso II: Factores Lineales Repetidos.

183. Para cada factor (aX + b) que aparezca n veces en el denominador corresponde una

suma de fracciones:

Caso III: Factores Cuadráticos Distintos.

184. Para cada factor (aX2 + bX + C) en el denominador corresponde una fracción:

.

Caso IV: Factores Cuadráticos Repetidos.

185. Para cada factor (aX2 + bX + C) que aparezca n veces en el denominador corresponde

una suma de fracciones:

.

Método de Integración por Sustituciones Trigonométricas (MIST).

186. En el integrando aparece un factor de la forma: .

X a

Z





;

Integral definida.

189. 2º Teorema Fundamental del Cálculo (Regla de Barrow).

190. Inversión de los límites de integración:

191. Partición del intervalo de integración:

a < b < c

192. Cálculo del área de una Región:

192.1. Debajo de una curva F(X) desde a hasta b.

192.2. Definida entre dos curvas: F(X) y G(X) desde a hasta b.

Siendo que F(X) > G(X)

a

X

Z

X

a

Z



193. Teorema del valor medio del cálculo integral.

194. Tercer Teorema Fundamental del cálculo integral.

a < X < b

G’(X) = f(X)

195. Regla de Leibniz. .

196. Integrales de Riemann: Cálculo de áreas de regiones del plano limitadas por Ecuaciones

Paramétricas a b

a b.

197. Longitud de arco S de la curva C:

197.1. Desde A[a; f(a)] hasta B[b; f(b)].

198. Longitud de arco si la curva está definida por ecuaciones parámetricas: X(); Y():

Volumen de un sólido de revolución:

198.1. Método del disco: Al girar un cuerpo geométrico sobre X, limitado por: f(X), las

ordenadas correspondientes a X = a, X = b y el eje de abcisas, se forma un cuerpo de

revolución cuyo volumen está dado por: .

198.2. Método de la arandela: Al girar una región limitada por dos funciones sobre X, es

como si se formara un cuerpo geométrico limitado por las funciones y las ordenadas

correspondientes a X = a, X = b, se forma un cuerpo de revolución cuyo volumen está

dado por: .

Donde: f(X) : Radio exterior de la arandela;



g(X) : Radio interior de la arandela.

VARIABLE COMPLEJA.

Álgebra de números complejos.

199. Unidad imaginaria: .

200. Número complejo: Z = X + iY = Re{Z} + iIm{Z}.

200.1. Módulo de Z: .

200.2. Fase de Z: .

201. Número real puro: Z = (X; 0); Z = X.

202. Número imaginario puro: Z = (0; Y); Z = iY.

203. Fórmula de Euler:

204. Identidad de Euler: .

Formas de escribir un número complejo.

205. Forma Binómica: .

206. Forma de Par ordenado: Z: (X; Y).

207. Forma Trigonométrica: .

208. Forma Exponencial: .

209. Forma polar: cos + isen

209.1. k: = 0; ± 1; ± 2; ± 3 ......

210. Dado Z = X + iY: Número Complejo Conjugado: Z* = X – iY.

211. Dado Z = X + iY: Número Complejo Opuesto: .

Operaciones con números complejos.

212. Adición: .

213. Resta: .

214. Producto: .

214.1. Producto Escalar: Z1. Z2 = Re{Z1*Z2} = (X1 X2 + Y1Y2).

214.2. Producto Vectorial: Z1xZ2 = Im{Z1*Z2}= (X1Y2 – X2Y1).

215. Cociente: . .

216. Potencia: 216.1. Fórmula de De Moivre: (ei)n = (cos + isen)n cos(n) + i sen(n)].



217. Radicación: .

k: = 0; ± 1; ± 2; ± (n-1).

Desigualdad triangular.

218. .

219. .

220. .

221. .

Desigualdad Triangular generalizada.

222. Z1 + Z2 +… + Zn Z1+ Z2+ …+Zn.

Relaciones entre complejos.

223. .

224. .

225. .

226. .

Regiones en el plano complejo (C).

227. Circunferencia con centro en el origen y radio R = 1: ; .

228. Región exterior a la Circunferencia Unitaria: .

229. Circunferencia: centro en Z0 y radio R: .

230. Disco Unitario (circulo) Cerrado: .

231. Disco (circulo) Unitario Abierto: .

232. Disco Circular Abierto: Vecindad de Z0

233. Disco CircularCerrado: .

234. Anillo Circular Abierto o Corona Abierta:

235. Ec. de la recta en el plano complejo: .

236. Dado ; : ; .

Funciones Trigonométricas.

237. .



238. ; .

239. ; .

240. . .

241. ; .

Funciones Trigonométricas Inversas.

242. .

243. .

244. .

245. .

246. .

247. .

Funciones Trigonométricas Hiperbólicas.

248. .

249. .

250. .

251. .

252. .

253. .

254. .

255. .

256. .

Funciones Trigonométricas Hiperbólicas Inversas.



257. .

258. .

259. .

260. .

261. .

262. .

Relaciones entre f. Trigonométricas circulares e hiperbólicas.

263. . .

264. . .

265. . .

266. .

267. .

268. .

269. .

269.1. .

269.2. .

269.3. .

LÍMITES.

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.

Dadas dos funciones F(Z) y G(Z): .

270.

271. .

272. Límite del producto: .



273. Límite del cociente: .

274. .

275. Límite de la función exponencial: .

276. Límite de la función potencial: .

277. Definición rigurosa de límite: , existe si (adoptado)

tenemos que: con la restricción: y deben ser positivos y pequeños.

CÁLCULO DIFERENCIAL.

278. .

279. (K.F)’ = K.F’.

280. Derivada de la Suma: (F + G – H)’ = F’ + G’ – H’.

281. Derivada del Producto: (F.G)’ = F’G + FG’.

282. Derivada del Cociente: .

283. Regla de la cadena: .

284. Función exponencial: . .

285. Logaritmo natural: F(Z) = Ln(Z). .

Ecuaciones de Cauchy – Riemman (ECR).

286. Coordenadas Cartesianas: .

287. Coordenadas Polares: .

288. . .

.

289. .

Ecuación de Laplace.

290. .



291. Coord. Cartesianas: .

292. Coord. Polares:

Operadores diferenciales.

293. ; .

294. ; .

295. . .

296. .

297. . .

298. .

299. .

300. .

301. . Si se cumplen las ECR.

302. .

303. .

304. .

305. .

306. .

307. Laplaciano .



308.

309. grad(A + B) = grad(A) + grad(B).

310. grad(A.B) = A.grad(B) + B.grad(A).

311. div(A + B) = div(A) + div(B).

312. rot(A + B) = rot(A) + rot(B).

313. , si F es real, o si Im{F} es armónica.

314. , si F es Imaginario, o si Re{F} es

armónica.

CÁLCULO INTEGRAL.

Integral de funciones especiales.

315. N –1.

316. N = –1.

317. .

318. .

319. .

320. .

321. .

322. .

323. .

324. .

325. ; .



326. ; ;

.

327. ; ; .

328. .

329. .

330. .

331. .

332. .

333. .

334. .

335. .

336. .

337. .

338. .

339. .

340. .

341. .

342. .



Integral compleja de línea.

343. .



Propiedades de la Integral.

344. .

345. .

346. .

347. .

348. .

349. a < b < c

350. |f(Z)| M es una cota superior de F(Z) sobre C y L es la longitud

de la trayectoria C.

Integral real y compleja de línea.

351. .

352. .

Teorema de Green el plano.

353. .

Forma compleja del T. de Green en el plano.

354. .

Teorema de Cauchy – Goursat.

355. . F(Z) analítica en R, simple o múltiplemente conexa, y en la frontera C.

Teorema de Morera.

356. Si F(Z) es continua en R que es simplemente conexa y alrededor de

cada curva simple cerrada C en R Entonces podemos concluir que F(Z) es Analítica en

R.



Fórmulas integrales de Cauchy.

357. .

358. .