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TRABAJO COLABORATIVO 2
MÉTODOS NUMÉRICOS
Erin Yesenia Murcia Franco Có!" ####2$$%$2
Bra&an Le'is Mu(o) Ri*as Có" #$2+$2,---
V.c/or 0ernano Mac.as Ra1.re)!Có"-,$+22#
Cris/ina Ca13ero có"
Jeni4er 5e(ue6a Có"
TUTOR"
MATIN 7OME8 ORDU8
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD CEAD IBA7UÉ
ESCUELA DE CIENCIAS B9SICAS TECNOLO7:A E IN7ENIER:A
IN7ENIER:A DE ALIMENTOS
#+;##;2$#,
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OBJETIVOS
OBJETIVO 7ENERAL
Aplicar los conocimientos adquiridos en: Método de eliminación de Gauss, Método de Gauss-
Jordán, Método de Gauss-Seidel, Polinomio de Interpolación de Lagrange, Polinomio de
Interpolación con dierencias di!ididas de ne"ton, Interpolación Polinomial de dierencias
initas de #e"ton, A$uste de cur!as % &ransormada discreta de 'ourier tra(a$ando en
e$ercicios propuestos de manera cola(orati!a)
OBJETIVOS ES5ECIFICOS
• Leer la documentación predispuesta para la acti!idad)•
*esol!er los e$ercicios propuestos so(re método de eliminación de Gauss, Método deGauss-Jordán, Método de Gauss-Seidel, Polinomio de Interpolación de Lagrange,
Polinomio de Interpolación con dierencias di!ididas de ne"ton, Interpolación
Polinomial de dierencias initas de #e"ton, A$uste de cur!as % &ransormada discreta
de 'ourier)
*eali+ar una entrega cola(orati!o con los aportes reali+ados)
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DESARROLLO
) onstruir un cuadro comparati!o de las dierencias entre los sistemas lineales % los sistemas
#. lineales con al menos un e$emplo) /0e(e ser original, no se admiten copia (a$adas de internet1)
Ecuación 6inea6 Ecuación NO 6inea62na ecuación de primer grado o ecuación
Lineal signiica que es un planteamiento de
igualdad, in!olucrando una o más !aria(les
a la primera potencia, que no contiene
productos entre las !aria(les, es decir, una
ecuación que in!olucra solamente sumas %
restas de una !aria(le a la primera
potencia)
Las lineales no de(en tener
e3ponenciales, por lo tanto cuando se
graica se orma una l4nea recta, por eso
Se llaman lineales) Por otra parte, en la
ma%or4a de los sistemas lineales la salida
sigue la misma orma de la entrada o por lo
menos
*ele$ar los mismos cam(ios generados en
la entrada)
5s cualquier ecuación que tenga alguna
!aria(le ele!ada al cuadrado, cu(o, etc)
Las no lineales, orman iguras, por e$emplo
una pará(ola o una 6ipér(ola) Las
caracter4sticas no lineales con recuencia son
introducidas de orma intencional en un
sistema de control para me$orar su desempe7oo suministrar un control ma%or)
5
x−4=
4
x−3
5 ( x−3 )=4( x−4)
5 x−15=¿4x-16
15−16=5 x−4 x
{ x2+ y2=25 x+ y=7 }
Y=7-x
x
2
+(7− x )2
=25
x2+49−14 x+ x2=25
2 x2−14 x+24=0
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X=1
x2−7 x
+12=0
# So6ucione e6 si
7auss?Joran & 7auss?Seie6! Co13are 6os resu6/aos & @a
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alculamos 3
x10=
7.85
3=2.616
alculamos 38
x2
0=−19.3−0.1(2.616)
7=−2.794
alculamos 39
x30=
71.4−0.3 (2.616 )+0.2(−2794)10
=7.005
Segunda interaccion)
x11=
7.85+0.1 (−2.794 )+0.2(7.005)3
=2.990
x21=
−19.3−0.1(2.990 )+0.3(7.005)7
=−2499
x31=
71.4−0.3 (2.990 )+0.2(−2499)10
=7.000
Se comprue(a entre la primera % segunda iteracion)
| x11− x1
0|=|2.990−2.616|=0.373
| x21− x20|=|2.794−(−2.499)|=0.294
| x31− x3
0|=|7.005−7.000|=0.005
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| xi1− xi
0|≤ε parai=1,2,3 no se cumple la condicion)
laculamos la ultima interaccion
x12=
7.85+0.1 (−2.499 )+0.2(7.000)3
=3.000
x22=
−19.3−0.1(3.000 )+0.3(7.000)7
=−2.499
x32
=71.4−0.3 (3.000 )+0.2(−2.499)
10 =6.999
omparamos los resultados)
| x12− x1
1|=|3.000−2.990|=0.009
| x22− x2
1|=|−2.499−(−2.499)|=0.0003
| x32− x3
1|=|6.999−7.000|=0.0002
| xi2− xi
1|≤ ε parai=1,2,3 como o(ser!amos aun no se cumple la condicion)
Se 6ace otra interacion)
x13=
7.85+0.1 (−2.499 )+0.2(6.9999)3
=3.000
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x23=
−19.3−0.1 (3.000 )+0.3(6.999)7
=−2.500
x33=
71.4−0.3 (3.000 )+0.2(−2.500)
10
=7.000
omparando los !alores o(tenidos)
| x13− x1
2|=|3.0000−3.000031|=0.00003
| x23− x2
2|=|−2.500−(−2.499)|=0.00001
| x33− x3
2|=|7.000−6.999|=0.000001
iendo que la condicion se cumple el resultado es
x1=3.0
x2=−2.5
x3=7.0
omo se puede compro(ar no se tiene un n;mero e3acto de iteraciones para encontrar una
solución) 5n este e$emplo, se 6icieron 9 iteraciones, pero a menudo se necesitan más
iteraciones)
9) Solucione el siguiente e$ercicio utili+ando los Método de eliminación de Gauss,
Gauss-Jordán % Gauss Seidel)
ompare los resultados % 6aga un peque7o análisis)
< = > 8 =8 > 9 =9 ? @
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> @ = B 8 =8 > 8 =9 ? 8
> @ = > @ =8 B 88 =9 ? 9 2tili+ar un C ? @D
Solución
*eescri(amos el sistema de ecuaciones en la orma de una matri+ % lo resol!amos por
el método de eliminación de Gauss % Gauss-Jordán
< -8 -9 @
-@ 8 -8 8-@ -@ 88 9
0i!idamos -ésimo por <
-8E< -9E< @E<-@ 8 -8 8-@ -@ 88 9
0e 8F 9 ilas sustraigamos la l4nea, multiplicada respecti!amente por -@F -@
-8E< -9E< @E< 9
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-8E< -9E< @E< -HE9< @HE9< -H@E< 9@HE< 9E<
0e F 9 ilas sustraigamos la 8 l4nea, multiplicada respecti!amente por -8E
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x2=66635/3527
x3=47205 /3527
! 56an/ee & so6ucione un e=ercicio u/i6i)ano 6os M/oo e e6i1inación e 7auss>
7auss?Jorn & 7auss?Seie6! Co13are 6os resu6/aos & @a
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5n seguida, se normali+a el segundo renglón di!idiendo entre 7.00333:
*educiendo los términos en X2 de la primera % la tercera ecuación se o(tiene:
5l tercer renglón se normali+a di!idiéndolo entre 10.010:
'inalmente, los términos con X3 se pueden reducir de la primera % segunda ecuación para
o(tener:
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Las !enta$as % des!enta$as de la eliminación gaussiana se aplican tam(ién al método de
Gauss-Jordan)
DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE ELIMINACIN
) DIVISIN ENTRE CERO
2na de sus des!enta$as es que durante el proceso en las ases de eliminación %
sustitución es posi(le que ocurra una di!isión entre cero) Se 6a desarrollado una
estrategia del pi!oteo para e!itar parcialmente estos pro(lemas) Ksta se de$a como
in!estigación al alumno)
8) ERRORES DE REDONDEO
La computadora mane$a las racciones en orma decimal con cierto n;mero limitado de
ciras decimales, % al mane$ar racciones que se transorman a decimales que nunca
terminan, se introduce un error en la solución de la computadora) 5ste se llama error por
redondeo)
uando se !a a resol!er solamente un peque7o n;mero de ecuaciones, el error por
redondeo es peque7o % generalmente no se aecta sustancialmente la presición de los
resultados, pero si se !an a resol!er simultáneamente muc6as ecuaciones, el eecto
acumulati!o del error por redondeo puede introducir errores relati!amente grandes en la
solución) Por esta ra+ón el n;mero de ecuaciones simultáneas que se puede resol!er
satisactoriamente con el método de eliminación de Gauss, utili+ando de a d4gitos
signiicati!os en las operaciones aritméticas, se limita generalmente a @ o 8)
9) SISTEMAS MAL CONDICIONADOS
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La o(tención de la solución depende de la condición del sistema) 5n sentido matemático,
los sistemas bien condicionados son aquellos en los que un cam(io en uno o más
coeicientes pro!oca un cam(io similar en la solución) Los sistemas mal condicionados
son aquellos en los que cam(ios peque7os en los coeicientes pro!ocan cam(ios grandes
en la solución)
2na interpretación dierente del mal condicionamiento es que un rango amplio de
respuestas puede satisacer apro3imadamente al sistema) a que los errores de redondeo
pueden inducir cam(ios peque7os en los coeicientes, estos cam(ios artiiciales pueden
generar errores grandes en la solución de sistemas mal condicionados)
MÉTODO DE 7AUSS?SEIDEL
5l método de eliminación para resol!er ecuaciones simultáneas suministra soluciones
suicientemente precisas 6asta para @ o 8 ecuaciones) 5l n;mero e3acto depende de las
ecuaciones de que se trate, del n;mero de d4gitos que se conser!an en el resultado de las
operaciones aritméticas, % del procedimiento de redondeo) 2tili+ando ecuaciones de error, el
n;mero de ecuaciones que se pueden mane$ar se puede incrementar considera(lemente a más
de @ o 8, pero este método tam(ién es impráctico cuando se presentan, por e$emplo, cientos
de ecuaciones que se de(en resol!er simultáneamente) 5l método de in!ersión de matrices
tiene limitaciones similares cuando se tra(a$a con n;meros mu% grandes de ecuaciones
simultáneas)
La secuencia de pasos que constitu%en el método de Gauss-Seidel es la siguiente:
) Asignar un !alor inicial a cada incógnita que apare+ca en el con$unto) Si es posi(le
6acer una 6ipótesis ra+ona(le de éstos !alores, 6acerla) Si no, se pueden asignar
!alores seleccionados ari/raria1en/e) Los !alores iniciales utili+ados no
aectarán la con!ergencia como tal, pero aectarán el n;mero de iteraciones
requeridas para dic6a con!ergencia)
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8) Partiendo de la primera ecuación, determinar un nue!o !alor para la incógnita que
tiene el coeiciente más grande en esa ecuación, utili+ando para las otras
incógnitas los !alores supuestos)
9) Pasar a la segunda ecuación % determinar en ella el !alor de la incógnita que tieneel coeiciente más grande en esa ecuación, utili+ando el !alor calculado para la
incógnita del paso 8 % los !alores supuestos para las incógnitas restantes)
) ontinuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el !alor calculado
de la incógnita que tiene el coeicniente más grande en cada ecuación particular, %
utili+ando siempre los ;ltimos !alores calculados para las otras incógnitas de la
ecuación) /0urante la primera iteración, se de(en utili+ar los !alores supuestos
para las incógnitas 6asta que se o(tenga un !alor calculado1) uando la ecuación
inal 6a sido resuelta, proporcionando un !alor para la ;nica incógnita, se dice que
se 6a completado una iteración)
@) ontinuar iterando 6asta que el !alor de cada incógnita, determinado en una
iteración particular, diiera del !alor o(tenido en la iteración pre!ia, en una
cantidad menor que cierto seleccionado ar(itrariamente) 5l procedimiento
queda entonces completo)
*eiriéndonos al paso @, mientras menor sea la magnitud del seleccionado, ma%or será la
precisión de la solución) Sin em(argo, la magnitud del epsilon no especiica el error que puede
e3istir en los !alores o(tenidos para las incógnitas, %a que ésta es una unción de la !elocidad
de con!ergencia) Mientras ma%or sea la !elocidad de con!ergencia, ma%or será la precisión
o(tenida en los !alores de las incógnitas para un dado)
5J5MPL.
*esol!er el siguiente sistema de ecuación por el método Gauss-Seidel utili+ando un ?
))
) = B
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5n la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:
omparando los !alores calculados entre la primera % la segunda iteración
omo podemos o(ser!ar, no se cumple la condición
5ntonces tomamos los !alores calculados en la ;ltima iteración % se toman como supuestos para la
siguiente iteración) Se repite entonces el proceso:
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omparando de nue!o los !alores o(tenidos
omo se o(ser!a toda!4a no se cumple la condición
As4 que 6acemos otra iteración
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omparando los !alores o(tenidos
0ado que se cumple la condición, el resultado es:
= ? 9)=8 ? -8)@=9 ?
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L3 ( x)=( x−1 ) ( x−3 ) ( x−5 )(7−1 ) (7−3 ) (7−5 ) =
( x−1)( x−3)( x−5)48
P(x) = -2.
(−( x−3 ) ( x−5 ) ( x−7 ))
48 +1
(( x−1 ) ( x−5 ) ( x−7 ))
16 +2
(−( x−1 ) ( x−3 ) ( x−7 ))
16
-3(( x−4 ) ( x−3 ) (c−5 ))
48
P(x) =
x2
−448
( x−7)¿ +10x-27)
! De/er1ine e6 5o6ino1io e In/er3o6ación Usano 6a In/er3o6ación e Di4erencias
Di*iias e Ne'/on> e in/er3o6e en e6 3un/o G H
alculando las dierencias di!ididas se o(tiene:
x y
7 1430
6 908 522
4 278 315 69
2 40 119 49 4
-4 -242 47 9 4 0
EG36icación"
908−14306−7
=−522−1
=522
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278−9084−6
=−630−2
=315
Por lo tanto, el polinomio queda de la siguiente manera:
1430+522( x−7 )+69 ( x−7) ( x−6)+4 ( x−7 ) ( x−6 ) ( x−4 )
Interpolación del polinomio, para x = 3:
1430+522 (−4 )+69 (−4 ) (−3 )+4 (−4 ) (−3 ) (−1 )
1430+(−2088 )+828+(−48 )
1430−2088+828−48=122
-! 5ara 6a si
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0espués o(tenemos:
G &
- --8E9 -98EH EH-E9 -E9 EH EH -8 8E9 -8EH -8E9
5l polinomio que se o(tiene es:
−4+4
9 ( s1 ! )+ 49 ( s ( s−1 )2! )− 23 ( s ( s−1 ) ( s−2 )3! )=−19 s3+ 59 s2−4
alculando el !alor de s para de$ar la e3presión en unción de x :
s= x− x0
h =
x−(−1)1
3
=3 x+3
*eempla+ando la ecuación se o(tiene:
−19(3 x+3)3+
5
9(3 x+3)2−4=−3 x3−4 x2+ x−2
s= x− x0
h =
−1415
−(−1)
1
3
=
−14+1515
1
3
= 3
15=1
5
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Para determinar 3nQ a partir de las muestras espectrales se calcula la I0'&)
x [n ]= 1 N ∑ K =0
N −1
X [ K ]. ! 2"
N kn=n=0,1,2,3
x [0 ]= 14∑ K =0
3
X [ K ]= 14=[2+(1+ )+0+(1− ) ]=1
x [1 ]=14 ∑ K =0
3
X [ K ] . ! 2"
4 k =1
4=[2+ (1+ ! ) . !
"
2 +0+ (1− ! ) . ! 3"
2 ]=0
x [2 ]=14 ∑ K =0
3
X [ K ] . 2"
42k =
1
4=[2+(1+ ) .
"
2 +0+(1− ) . 3"
2 ]=0
x [3 ]=14∑ K =0
3
X [ K ] . !2"
4 3k =1
4=[2+(1+ ! ) . !
"
2 +0+ (1− ! ) . ! 3"
2 .3 ]=1
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? Ejemplo2: X [n ]= {1,2,1,0}
N ? X t [0 ]=∑ x [n ]=1+2+1+0=4
N ?
¿4− !¿
− !∏ ¿=− !2−2 !∏ ¿=1+2exp (∏ ¿2¿)+exp¿
X t [1 ]=∑ x [n ]exp¿
N ? 8
2/4− !¿
− !2∏ ¿=0− !2∏ ¿=1+2exp ("¿)+exp¿
X t [2 ]=∑ x [ n ] exp¿
N ? 9
3 /4
− !¿− !3∏ ¿= !2
−2 !∏ ¿=1+2exp (3∏ ¿2¿)+exp¿ X t [3 ]=∑ x [n ]exp¿
Por tanto la 0'& de X [n ] s X T [ K ]= {4,− !2,0, ! 2} parak =0,1,2,3
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CONCLUSIONES
Se logró aplicar los conocimientos adquiridos de la 2nidad 8) 53actitud % *a4ces de
5cuaciones Sistema de ecuaciones lineales, no lineales e interpolación) Se reali+ó un (uen tra(a$o cola(orati!o, gracias el compromiso % apo%o por parte de los
estudiantes % al tutora)• .(tu!imos ma%or conocimiento acerca de las operaciones lineales % no lineales)• 5l uso de dierentes métodos para la solución de sistemas de ecuaciones pueden
dierenciar en sus procedimientos % e3actitud, sin em(argo el método de gauss % Gauss-
Jordan comparten una similitud al utili+ar un sistema matricial % reducir este, sin em(argo
Gauss-Jordan de$a las incógnitas completamente despe$adas a dierencia de gauss)
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REFERENCIAS BIBLIO7RAFICAS
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