CALCULO DIFERENCIAL

TRABAJO COLABORATIVO 2

Presentado por:

FRANCISCO LUIS ACOSTA HERNANDEZ Cod: 85477661

DIANA CAROLINA GUILLEN Cod: 1016008862

DANIEL ALBERTO NOREA Cod:

LUIS CARLOS NAVARRO Cod: 91471734

Grupo: 100410_586

Tutor:

ROBILSON LEONEL VELASCO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA

COLOMBIA

2015

INTRODUCCIN

El clculo diferencial es una parte del anlisis matemtico que consiste en el estudio de

cmo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio

en el clculo diferencial es la derivada. Una nocin estrechamente relacionada es la de

diferencial de una funcin.

La nocin de lmite tiene mltiples acepciones. Puede tratarse de una lnea que separa dos

territorios, de un extremo a que llega un determinado tiempo o de una restriccin o

limitacin.

A continuacin vamos a ver una serie de ejercicios, en donde estaremos resolviendo lmites

y continuidad de una funcin.

DESARROLLO

Resuelva los siguientes lmites:

1) Cancelar los factores comunes

2

2 2

2 5 + 6=

4 2 2

4 10 + 6=

0

0

Entonces resolvemos por factorizacin

2

2 2

2 5 + 6=

( 2)( + 1)

( 3)( 2)=

( + 1)

( 3)

Sustituyendo la variable

2

( + 1)

( 3)=

(2 + 1)

(2 3) =

3

1

2) Por mtodo de conjugacin

0

9 + 3

=

3 3

0=

0

0

Entonces resolvemos por conjugacin

0

9 + 3

=

9 + 3

.

9 + + 3

9 + + 3=

(9 + )2

+ (3)2

. (9 + + 3)=

9 + 9

. (9 + + 3)

=

. (9 + + 3)=

1

9 + + 3

Ahora sustituyendo la variable:

0

1

9 + + 3=

1

9 + 3=

1

6

3) Por el mtodo de conjugacin

2

3 2 + 5

3 + 6 =

3 3

6 + 6=

0

0

Entonces resolvemos por conjugacin

2

3 2 + 5

3 + 6 =

3 2 + 5

3 + 6 .

3 + 2 + 5

3 + 2 + 5 =

(3)2 (2 + 5)2

(3 + 6)(3 + 2 + 5)

= 9 2 5

(3 + 6)(3 + 2 + 5)=

4 2

(3 + 6)(3 + 2 + 5)

= (2 + )(2 )

3( + 2)(3 + 2 + 5)=

(2 )

3(3 + 2 + 5)

Sustituyendo la variable

2

2

3(3 + 2 + 5)=

2 (2)

3 (3 + (2)2 + 5)=

4

3(3 + 3)=

4

18=

2

9

4) Sustituyendo variable

2

( + )2 2

=

( + (2))2 2

2=

(3)2 2

2=

82

2= 4

5) Lmite trigonomtrico

0

7

2=

7(0)

2(0)=

0

0

0

7

2=

772

1

=7

7 . 2=

7 .7

7

7 . 2 .2

2

= (lim

07) (lim

0 7

7 )

(lim 0

7) . (lim 0

2) . (lim 0

22 )

= (lim

07)

(lim 0

2)=

0

7

2=

7

2

6) Limit trigonomtrico

0

1

=

1 1

0=

0

0

0

1

1 +

1 + =

0

2

(1 + )=

0

1 +

0

0

1 + = 1

0

2= 0

7) Limites hacia el infinito

22 3

5 + 3=

22 3

5 + 3=

22 3

5 +

3

=

22 32

5 +3

= 2

2

32

5 +3

2

3

5 +3

= 0 0

5 + 0=

0

5= 0

8)

lim

(3

43)

3

123

= lim

(1

4)

3

123

Revisando la teoria vemos que: ,

entonces:

lim

(1

4)

3

123

= (1

4)

lim

3

123

Aqu operamos el exponente multiplicando y dividiendo entre x a la 3

(1

4)

lim

3

123

= (1

4)

lim

3

3123

3 = (1

4)

lim

11

32

Aplicamos el lmite

(1

4)

lim

11

32

= (1

4)

102

= (1

4)

12

Como , entonces

(1

4)

12

= 412 = 4 = 2

9)

Qu valor de n hace que la siguiente funcin sea continua?

= {2 5 3

32 2 > 3

Determinamos la continuidad de cada funcin dada en x = 3.

Limite por la izquierda

lim3

2 5 = 6 5

Limite por la derecha

lim3+

32 2 = 27 3 2 = 25 3

Igualamos los resultados y despejamos n

6 5 = 25 3

6 + 3 = 25 + 5

9 = 30

=30

9=

10

3

Luego, para que la funcin sea continua debe cumplirse que:

=10

3

= {

20

3 5 3

32 10

3 2 > 3

Graficamente se determna que efectivamente en x=3 se da la contnuidad (linea punteada)

Grafica elaborada en Matemtica de Microsoft

EJERCICIO 10

Hallar los valores de a y b para que la siguiente funcin se sea continua.

= {2x2 + 1 para x 2

ax b para 2 < x < 13x 6 para x 1

Determinamos la continuidad de la funcin dada de acuerdo a que:

lim2

= lim2+

y lim1

= lim1+

Desarrollamos

lim2

22 + 1 = lim2+

lim1

= lim1+

3x 6

9 = 2 = 3

= 2 9 = 3 +

Igualamos las dos ecuaciones y operamos

2 9 = 3 +

2 = 3 + 9

3 = 12

= 4

Sustituimos b en la segunda ecuacin

= 3 4

= 1

La funcin quedara:

= {2x2 + 1 para x 2

4x + 1 para 2 < x < 13x 6 para x 1

Graficamente se determna que efectivamente en x=-2 y x=1 se da la continuidad (lineas

punteadas)

Grafica elaborada en Matemtica de Microsoft

CONCLUSIONES

De todo esto podemos decir que lo que a veces nos parece complicado de las

matemticas, como en esta rama del Clculo diferencial, realmente es muy fcil si le

ponemos un poco de empeo para entender, algo que es tan fundamental para nosotros

como estudiantes de Ingeniera.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.

Stewart, J., Redlin, L., Watson, S., (2012). Preclculo, matemtica para el clculo.

Mxico D.F. Pg. 784 - 800. Disponible en

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2222/libro.php?libroId=331#

Galvn, D. y otros (2012), Clculo diferencial: un enfoque constructivista para el

desarrollo de competencias mediante la reflexin y la interaccin. Mxico DF. Pg. 128

239. Disponible en: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2222/libro.php?libroId=319#