Lección 10:
Fundamentos de Fundamentos de
geoestadística
Introducción (1)
“Geo”: espacio geográfico
“Estadística”: modelos probabilísticos y estadísticos
La geoestadística es una rama de la estadística que se define como la
aplicación de modelos probabilísticos al análisis de datos ubicados en el
espacio. Entrega herramientas para cuantificar y aprovechar la correlación
espacial entre datos (redundancia de información en sitios cercanos unos de
otros).
Introducción (2)
Una aplicación importante es la evaluación de recursos naturales:
• recursos geológicos y reservas mineras en yacimientos
• recursos petrolíferos y gasíferos• recursos petrolíferos y gasíferos
• recursos forestales
• recursos halieúticos
Otras aplicaciones tienen relación con la geología, geofísica, hidrogeología,
agricultura, ciencias del suelo y medio-ambientales, ecología, oceanografía,
crono-estadística.
Introducción (3)
Introducción (4)
Perspectiva histórica
• Teoría de procesos estocásticos:
Kolmogorov, Wiener
• 1950-1960: precursores (Krige, • 1950-1960: precursores (Krige,
Sichel, Gandin, Matérn)
• 1962: Matheron (Traité de
Géostatistique Appliquée)
• 1968: Centro de Geoestadística
(Escuela de Minas de París)
• 1970: Centro de Geoestadística
(Universidad de Chile)
• 1975-1980: Canadá, EEUU
Variable regionalizada (1)
Una variable regionalizada es una función que representa los valores en el
espacio (espacio geográfico o tiempo) de un atributo asociado a un fenómeno
natural (fenómeno regionalizado)
EjemplosEjemplos
• leyes de cobre, arsénico, molibdeno, oro, plata
• densidad de la roca
• código de litología
• potencia y acumulación de una veta
• concentración de un contaminante
Variable regionalizada (2)
En general, una variable regionalizada presenta cierta continuidad espacial
(zonas de altos valores / zonas de bajos valores), pero varía irregularmente y
escapa a toda representación simple.
Variable regionalizada (3)
Una variable regionalizada se caracteriza por:
• su naturaleza (continua / discreta / nominal o categórica)
• su dominio de extensión (campo)• su dominio de extensión (campo)
• el área o volumen sobre el cual se mide (soporte), por ejemplo:
detritos de pozo de tronadura
testigo de sondaje HQ de 1m de largo
unidad selectiva de explotación de 5m × 5m × 5m
Efecto de soporte (1)
Existe una relación entre el soporte y la distribución estadística de los valores:
los soportes voluminosos presentan una menor cantidad de valores extremos y
una mayor cantidad de valores intermedios que los soportes puntuales.
→ el cambio de soporte (desde un soporte pequeño a uno más grande)
En minería, este efecto de soporte tiene consecuencia en la selectividad:
los tonelajes, leyes medias y cantidades de metal recuperables sobre una
ley de corte dependen del soporte de la unidad de selección.
→ el cambio de soporte (desde un soporte pequeño a uno más grande)
es una operación regularizadora.
Efecto de soporte (2)
Ejemplo 1: recursos recuperables sobre una ley de corte de 0.5% Cu
Efecto de soporte (3)Ejemplo 2: concentraciones de PM10 en la atmósfera
El soporte tiene impacto en la cantidad de días de alerta ambiental (> 195 µg/m3),
pre-emergencia (> 240 µg/m3) y emergencia (> 330 µg/m3)
Aditividad (1)
Se dice que una variable regionalizada es aditiva cuando el valor de un
soporte grande (“bloque”) es el promedio aritmético o la suma de los
valores “puntuales” dentro del bloque. Esta propiedad permite que se
realice un cambio de soporte.
Ejemplos
• potencia, acumulación de una veta• potencia, acumulación de una veta
• ley de un elemento de interés?
Contra-ejemplos
• razón de solubilidad, recuperación metalúrgica
• pH
• permeabilidad de la roca
• código de tipo de roca
Aditividad (2)
¿Cuál es la ley promedio en la veta?
Sin ponderar por la potencia, se obtendría:
t
Augrm 30.3
9134752151067514081119
3523562965052121995812533351 =
++++++++
++++++++=
t
Augrm 93.3
91
352
34
356
75
296
215
505
106
212
75
199
140
581
81
253
119
335
9
12 =
++++++++⋅=
Datos y modelos
En general, una variable regionalizada se conoce de manera parcial, a
través de un conjunto limitado de datos:
• muestras de suelo
• observaciones en terreno
• mediciones realizadas en estaciones de monitoreo
Para aprovechar la información disponible, será necesario construir
modelos. Debe tenerse presente que un modelo nunca describe la
variable regionalizada en su totalidad, sin simplificación, ni distorsión.
También, la validez de un modelo puede depender de la escala de
trabajo.
• sondajes, pozos de tronadura
Principios directores
• Validar la integridad de los datos: posibles errores de muestreo, datos
aberrantes, datos repetidos o errores de ubicación
• El modelo debe ser consistente (no incompatible) con los datos.
• Principio de realismo: encontrar un modelo que entrega una descripción • Principio de realismo: encontrar un modelo que entrega una descripción
adecuada de la variable, ni demasiado simplificada, ni demasiado
deformada.
• Principio de economía: encontrar el modelo menos exigente que permite
resolver el problema planteado.
• Reconstrucción operatoria: plantear el resultado en términos objetivos,
susceptibles de ser refutados si se tuviera un conocimiento exhaustivo de la
variable regionalizada.
Objetivos de la geoestadística
Se plantean varios problemas:
• Describir la distribución espacial de la variable en estudio
Objetivos de la geoestadística
• Estimar sus valores a partir de los datos disponibles
→ estimación global
→ estimación local: se debe considerar la continuidad espacial de la variable
regionalizada, las distancias entre el sector a estimar y los sitios con datos,
así como la configuración espacial de los mismos sitios con datosasí como la configuración espacial de los mismos sitios con datos
Objetivos de la geoestadística
Uso de estimaciones locales: clasificación de las unidades selectivas de
explotación (bloques) en mineral o estéril, según leyes estimadas de cobre
Objetivos de la geoestadística
• Conocer la incertidumbre sobre los valores no muestreados
→ construcción de escenarios posibles (“simulaciones”)
→ análisis de riesgo
→ calcular probabilidades de sobrepasar un valor umbral
→ integrar la incertidumbre en la planificación minera
Plan de la
Mina
Distribución de posibles
respuestas
Histograma
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5
Clase
Fre
cu
en
cia
Objetivos de la geoestadística
• Integrar información de distintas variables
→ análisis multivariable
Variable Number of data Minimum Maximum Mean Standard deviation
Copper grade 5,754 0.01% 29.9% 1.66% 2.40%Copper grade 5,754 0.01% 29.9% 1.66% 2.40%
Silver grade 5,594 0.40 g/t 855 g/t 36.87 g/t 58.16 g/t
Arsenic grade 5,726 5.00 g/t 126,100 g/t 2,000.4 g/t 4,501.3 g/t
Antimony grade 2,160 1.00 g/t 8,240 g/t 220.3 g/t 557.8 g/t
Variable Copper Silver Arsenic Antimony
Copper 1 0.82 0.70 0.66
Silver 0.82 1 0.44 0.33
Arsenic 0.70 0.44 1 0.68
Antimony 0.66 0.33 0.68 1
Objetivos de la geoestadística
• Integrar información de distintas fuentes, distintos soportes y/o distintas
calidades
Objetivos de la geoestadística
• Integrar ecuaciones físicas o
fenomenológicas
� variables composicionales
� variables relacionadas con
ecuaciones diferenciales o ecuaciones diferenciales o
de derivadas parciales
• Diseñar una malla de muestreo para reconocer y evaluar un
fenómeno regionalizado
•Actualizar modelos numéricos al
disponer de datos adicionales
Objetivos de la geoestadística
• Diseñar modelos de cambio de
soporte, desde muestras a bloques.
Calcular recursos (tonelajes, leyes
medias, cantidades de metal) medias, cantidades de metal)
recuperables sobre determinadas
leyes de corte
• Modelar el efecto de información
Objetivos de la geoestadística
• Modelar fenómenos complejos
� variable nominales: tipos de roca, categorías de mineral
� procesos puntuales: ocurrencias de piedras preciosas
� redes de fracturas
� objetos de geometría y/o posición aleatoria� objetos de geometría y/o posición aleatoria
Objetivos de la geoestadística
• Optimizar algoritmos de cálculo, utilizar técnicas de supercómputo y
programación de alto desempeño
Lecturas recomendadas
Chilès J.P. and Delfiner P., 2012. Geostatistics: Modeling Spatial Uncertainty,
2nd edition, Wiley, New York, 699 p
Deutsch C.V. and Journel A.G., 1998. GSLIB: Geostatistical Software Library
and User’s Guide, Oxford University Press, New York, 369 pand User’s Guide, Oxford University Press, New York, 369 p
Goovaerts P., 1997. Geostatistics for Natural Resources Evaluation, Oxford
University Press, New York, 480 p
Isaaks E.H. and Srivastava R.M., 1989. An Introduction to Applied Geostatistics,
Oxford University Press, New York, 561 p
Wackernagel, H., 2003. Multivariate Geostatistics: An Introduction with
Applications. Springer, Berlin.