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INGENIERIA SISMORRESISTENTE Ingº ANITA ALVA SARMIENTO
UNIDAD III
RESPUESTA SISMICA DE SISTEMAS DE VARIOS
GRADOS DE LIBERTAD Y
CRITERIOS ESTRUCTURALES SISMORESISTENTES
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RESPUESTA SISMICA DE SISTEMAS DE VARIOSGRADOS DE LIBERTAD
1.0 INTRODUCCION:
Muchas veces es complejo elegir entre el análisis dinámico plano o
tridimensional ya que análisis dinámico tridimensional, requerirá laevaluación de la estructura con varios grados de libertad por medio de
métodos sofisticados como el de los elementos finitos.
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Estos métodos nos ayudan a resolver las ecuaciones
diferenciales de movimiento existentes por cada grado de
libertad, es una herramienta poderosa, sin embargo sumodelación e interpretación de resultados no es sencilla y sólo se
justificaría su uso en obras de gran magnitud.
En una estructura tridimensional xyz, tipo edificios, es útil y
suficiente asumir la hipótesis del diafragma rígido de piso, lo cual
acepta que las plantas o losas de entrepiso son indeformables en el
plano xy, de esta forma el problema global se reduce a tres gradosde libertad por piso, dos traslaciones horizontales (u x,u y) y una
rotación vertical (r z).
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A estos grados de libertad se los conoce como desplazamientos
maestros de piso. Normalmente estos grados de libertad se
concentran en un nudo denominado maestro, al cual están
conectados rígidamente los nudos restantes, a estos nudos se
los denomina dependientes y tienen los grados de libertad
opuestos a los nudos maestros, es decir dos rotaciones
horizontales (r x, r y) y una traslación vertical (u y).
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Una estructura de varios niveles (como la que se muestra a
continuación), se puede idealizar como un pórtico de varios niveles
con diafragma de cuerpo rígido asumiendo que la masa está
concentrada en cada nivel, las columnas se suponen axialmente
inextensibles pero lateralmente flexibles.
La respuesta dinámica del sistema está representada por el
desplazamiento lateral de las masas con el número de grados de
libertad dinámica o n modos de vibración que son iguales al número
de masas.
La vibración resultante del sistema esta dada por la superposición de
las vibraciones de cada masa.
2.0 ECUACION DEL MOVIMIENTO:
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Cada modo individual de vibración tiene su propio periodo y
puede ser representado por un sistema simple del mismo
periodo.
La Figura también nos muestra tres modos de un sistema aporticado de
tres niveles. El modo de vibración con periodo mayor (frecuencia baja)
es llamado modo fundamental de vibración; modos con periodos cortosson llamados modos armónicos (frecuencias altas).
Para ilustrar el análisis correspondiente a varios grados de libertad
considerar un edificio de tres pisos. Cada masa de piso representa ungrado de libertad con una ecuación de equilibrio dinámico para cada
una:
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ESTRUCTURA DE VARIOS NIVELES
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Las fuerzas de inercia de la ecuación anterior son:
En su forma matricial tenemos:
O en su forma más simplificada:
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Donde: Vector de fuerzas de inercia.
Matriz de la masa
Vector de aceleraciones.
Las fuerzas de la ecuación anterior, dependen de los
desplazamientos y usando coeficientes de influencia de rigidez
pueden expresarse como:
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En su forma matricial tenemos:
O en su forma más simplificada:
Donde:
Vector de fuerzas elásticas
Matriz de rigidez
Vector de desplazamientos
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De manera similar , las fuerzas de amortiguamiento pueden
expresarse como:
Donde:
Vector de fuerzas de amortiguamiento
Matriz de amortiguamiento
Vector de velocidades
Sustituyendo estas ecuaciones en las de equilibrio dinámico tenemos:
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3.0 RESPUESTA DINAMICA: ANALISIS MODAL
Para determinar la respuesta dinámica de una estructura de varios
grados de libertad se puede utilizar el procedimiento de análisismodal.
Se obtiene la respuesta máxima por separado para cada modo,
modelando cada uno de ellos como un sistema de un simple grado
de libertad. Debido a que los valores máximos no pueden ocurrir
simultáneamente, estos valores son combinados estadísticamente
para obtener la respuesta total.
El análisis modal puede ser enfocado mediante métodos matriciales,
numéricos o métodos iterativos
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4.0 METODO MATRICIAL:
Como la respuesta dinámica de una estructura depende de la
frecuencia o periodo de vibración y de la forma desplazada (forma
modal), el primer paso en un análisis de un sistema de varios
grados de libertad es encontrar las frecuencias y las formas
modales de vibración libre. En este caso no existen fuerzasexternas y el amortiguamiento es considerado cero.
Cada grado de libertad dinámico provee una ecuación de equilibrio
dinámico, la vibración resultante del sistema consiste de n de éstasecuaciones, y puede ser expresado en forma matricial para vibración
libre no amortiguada como:
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La vibración libre descrita gráficamente por las Figuras siguientes
consisten en un sistema no amortiguado en uno de sus modos de
vibración natural puede describirse matemáticamente por:
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Donde forma de la deformada o amplitud relativa de
movimiento, no varia con el tiempo es descrita por una función
armónica: el tiempo, y la variación del desplazamiento con eltiempo es descrita por una función armónica:
Donde A n y B n son constantes de integración que pueden ser
calculadas a partir de las condiciones iniciales. Combinando las
ecuaciones anteriores se tiene:
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Donde son desconocidos. Sustituyendo esta forma de
en la ecuación da:
Esta expresión es una representación de la ecuación de
eigenvalores ; la cual tiene una solución no trivial sólo si el
determinante de los coeficientes es igual a cero, es decir las
frecuencias naturales ω n (escalar) y los modos ϕn (vector) deben
satisfacer la siguiente ecuación:
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El desarrollo del determinante conduce a un polinomio de grado n en
(ω n)2, las raíces del cual son los eigenvalores. Sustituyendo éstos en
la ecuación de eigenvalores se obtienen los eigenvalores para cada
modo.
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A partir de los eigenvalores se obtienen los periodos naturales
correspondientes y se pueden obtener las aceleraciones espectrales a
partir de una curva de respuesta apropiada.
4.01. Matriz modal y espectral:
Los N eigenvalores y los N modos pueden ser acoplados en forma matricial.
El modo natural o eigenvector ϕn correspondiente a la frecuencia natural ω n
tiene elementos.. De este modo los N eigenvectores pueden presentarse
o disponerse en una matriz cuadrada, de la cual cada columna es un modo:
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Donde [Φ] es llamada matriz modal. Los N eigenvalores ω n2 pueden
ser acoplados en una ,matriz diagonal Ω 2, la cual es conocida como
matriz espectral.
Cada eigenvalor y eigenvector satisfacen la ecuación anterior, la cual
puede ser reescrita como:
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Utilizando la matriz modal y espectral es posible representar estaecuación en una ecuación matricial simple:
Esta ecuación presenta en forma compacta las ecuaciones
relacionando todos los eigenvalores y eigenvectores.
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4.02. Ortogonalidad de los nodos:
Los modos naturales correspondientes a diferentes frecuencias
naturales se muestran a continuación para satisfacer la siguientecondición de ortogonalidad. Cuando ω n≠ω r (entiéndase que ω r
también es una frecuencia natural).
La demostración de esta propiedad es la siguiente: la enésima
frecuencia natural y el modo que satisfacen la ecuación anterior,
multiplicados por ϕr T, la transpuesta de ϕr , da:
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Análogamente se realiza lo mismo con la erésima frecuencia naturaly el modo que satisface la ecuación principal; de esta manera
La transpuesta de la matriz en el lado izquierdo de la ecuación, es
igual a la transpuesta de la matriz en el lado derecho de la ecuación;
de esta forma:
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Donde se ha utilizado la propiedad de simetría de la matriz de
masa y rigidez. Restando las dos ecuaciones anteriores se tiene:
Se ha establecido la relación de ortogonalidad entre modos con
distintas frecuencias. La ortogonalidad de los modos naturales
implica que las siguientes matrices cuadradas son diagonales:
Donde los elementos de la diagonal son:
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Debido a que m y k son definidos positivos, los elementos de la
diagonal de K y M son positivos, y están relacionados por:
4.03. Normalización de los modos:
Si el vector {φn } es un modo natural, cualquier vector proporcional es
en esencia el mismo modo natural porque satisface la ecuación:
Algunas veces se aplica factores de escala a los modos naturales
para estandarizar sus elementos asociándolos con sus amplitudes envarios grados de libertad. A este proceso se le llama normalización.
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Algunas veces es conveniente normalizar cada modo de tal
forma que el elemento mayor sea la unidad. Otras veces es más
ventajoso el normalizar cada modo de tal forma que el elementocorrespondiente a algún grado de libertad en particular sea la
unidad.
En teoría y programas computacionales es común normalizar los
modos de tal manera que m n tenga valores unitarios:
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Donde la matriz [I] es la matriz de identidad. Los componentes
de la matriz modal normalizada están dados por:
ϕ jn= Componente para el nudo j , de la forma modal normalizada
asociada al modo n .
m jj = Masa concentrada en el nudo j .
u jn = Componente, para el nudo j , del eigenvector asociado con el
nudo n .
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4.04. Factor de participación:
Las ecuaciones de movimiento para cada grado de libertad no
dependen de los modos de vibración y tienen forma similar a laecuación de movimiento de un sistema de un solo grado de libertad.
El factor de participación, para sistemas de varios grados de libertad
esta definida en forma matricial por:
[P] = vector de coeficientes de participación para todos los modosconsiderados
{1} = vector unitario.
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Para un sistema en especifico, los factores de participación tienen
las propiedades de:
P n = Factor de participación asociado con el modo n .
ϕ1n = Componente, para el primer nudo del sistema del eigenvector
asociado con el modo n
La matriz de máximos desplazamientos esta definida por:
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donde [ D] = matriz diagonal de desplazamiento espectral.
[V ] = matriz diagonal de velocidad espectral.
[ A] = matriz diagonal de aceleración espectral.
La matriz de fuerzas laterales en cada nudo del sistema esta dada por
la segunda ley de Newton:
El vector de fuerzas cortantes en la base esta dada por:
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5. METODO NUMERICO:
Para facilitar el procedimiento del análisis modal se puede utilizar
métodos numéricos. Para un modo de vibración dado el factor de
participación está definido por:
M i = masa correspondiente al nivel i .
ϕi = componente de la forma modal para el nudo i para un modo dado.
M = masa modal = ΣM i · ϕi 2
Cuya sumatoria se extiende sobre todos los nudos de la estructura.
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La masa efectiva está definida por:
De forma similar el peso efectivo es definido por:
donde W i = pesocorrespondiente al nivel i
La aceleración pico en el nudo estádefinida por:
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El desplazamiento máximo en el nudo está definido por:
La fuerza lateral en el nudo está dada por la ley de Newton:
La cortante basal esta dada por:
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La fuerza lateral en cada nudo puede también determinarse
mediante la distribución de la cortante basal del modo siguiente:
Para eigenvectores normalizados estas expresiones se reducen a:
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5. METODO ITERATIVO:
Para edificios de pocos niveles, que no excedan a cinco plantas, el
análisis modal puede limitarse al modo fundamental. El sistema
estructural puede ser modelado como un pórtico con losas de entre
piso rígidas.
Los desplazamientos laterales de los nudos son entonces el
resultado de la flexión de las columnas sin incluir rotación en los
nudos.
La rigidez de un nivel en particular esta dada por:
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La masa en cada nivel se asume concentrada en las losas de entre
piso, utilizando estos supuestos se han desarrollado técnicas
iterativas, a continuación se presenta una adaptación del métodode Holzer.
El modelo dinámico que cuando un nudo alcanza su desplazamiento
lateral máximo u i , la velocidad es cero y la fuerza de inercia en el nudo
está dada por:
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La fuerza cortante en cualquier nivel es igual al producto de la
rigidez del nivel por el desplazamiento del mismo. El incremento
en la fuerza de corte en el nudo es producido por la fuerza deinercia en ese nivel. El incremento de la fuerza cortante esta dado
por:
Donde k i· Δ i = fuerza cortante total en el nivel i .
Igualando la fuerza de inercia y el incremento de la fuerza cortante se
tiene:
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• La solución de esta ecuación se puede obtener asumiendo una forma
modal inicial con un desplazamiento unitario en el nivel superior; a partir
del cual se calcula la fuerza de inercia o el incremento de fuerza cortante
en términos de la frecuencia natural, en cada nivel.
• Sumando el incremento de fuerza cortante a partir del nivel superior hacia
abajo se tiene la fuerza cortante total en cada piso.
• Dividiendo este valor por la rigidez apropiada de cada nivel se obtiene el
desplazamiento (deriva) de cada piso.
• Dividiendo estos desplazamientos por el desplazamiento en la parte
superior de la estructura se obtiene la forma modal corregida.
• Esta forma modal corregida puede ser usada como una nueva formamodal inicial en el proceso de iteración hasta que coincidan la forma
modal corregida con la inicial.