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Magneto estática en el Vacío

EE-521 Propagación y Radiación Electromagnética I

Miguel Delgado León

MSc. Ing. Miguel Delgado León

Introducción: Campo eléctrico E


' 2 30 0

ˆ1 ' 1 '. (1)

4 4q qe

q q R q q RF N

R R

En electrostática se vio la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales en reposo

(Ley de Coulomb)

q’ es la carga fuente, q es la carga de campo y el vector unitario. Separando la carga de campo q se define un nuevo campo vectorial:

'

30

1 '( ) . / . (2)

4

q qe

Fq R

E r V mq R

E es el campo vectorial llamado campo eléctrico que es producido por la carga fuente q’.

La presente figura muestra la dirección del campo E calculado y graficado con Matlab

R̂

Campo magnético de corrientes estacionarias


Si las cargas se movieran con velocidades constantes v’ y v, respectivamente, existiría además una fuerza magnética ejercida por q’ sobre q

0 0' 2 3

ˆ' ' ' ' .4 4q q

m

q qF V q V R V q V R N

R R

es conocida como la permeabilidad del vacío0

En el Sistema Internacional 7

0 4 10 ./ .Henry m

Separando la carga de campo q y su velocidad v se define otro campo vectorial:

03

' '( ) ( ) (3)

4m

q V RF qV B r B r Tesla

R

El campo B es conocido con los siguientes nombres: campo inducción magnética o densidad de flujo magnético o simplemente campo B. En (3), si en lugar de q’ reemplazamos por un diferencial de carga dq’ tenemos:

03

' '( ) (4)

4

d q V Rd B r Tesla

R

Fuerza de Lorentz, Ley de Biot y Savart


Si se encuentran presentes un campo eléctrico y un campo magnético, la fuerza total sobre una carga móvil es: que se conoce como la fuerza de Lorentz.e mF F

. (5)F q E V B N

La fig. muestra un dq’ que se desplaza dr’ en un tiempo dt. Tenemos: ' '

' ' ' ' ' ' (6)d r d q

dq V dq d r I d rd t d t

Reemplazando (6) en (4) llegamos a:

03

' '( ) (7)

4

I d r Rd B r Tesla

R

Que es el campo de una parte infinitesimal del circuito. El campo debido a todo el circuito C’ es la integral dada por:

03

'

' '( ) (8)

4 C

I d r RB r Tesla

R

Es la Ley de Biot y Savart donde I’ es constante

Ley de fuerzas de Ampere


La fórmula (3) es la fuerza magnética sobre una carga q. Si en lugar de q reemplazamos un diferencial de carga dq. La fuerza se transforma en:

( ) (9)md F dqV B r

La fórmula (6) indica que , que reemplazando en (9) llegamos a: dqV I d r

( ) (10)md F I d r B r

Que es la fuerza sobre una parte infinitesimal de un circuito. La fuerza magnética sobre todo el circuito C es una integral: ( ) (11)m

C

F I d r B r

Reemplazando (8) en (11) llegamos a:

03

'

' ( ' )(11)

4m

C C

I I d r d r RF

R

Es la Ley de fuerzas de Ampere: la fuerza que el circuito C’ de corriente I’ ejece sobre el circuito C de corriente I

Aplicación de la Ley de Biot y Savart


Ejemplo 1: El campo magnético del segmento recto portador de corriente

Solución. De la Ley de Biot y Savart , el campo B es:

2

1

0 03/ 2 3/ 22 2 2 2

'

ˆˆˆ ˆ' '' ' '( )

4 4' '

L

C L

d z z z zI I d zB r

z z

2

1

0 0 2 13/ 2 2 2 2 22 2

2 1

ˆ ˆ' ''( )

4 4'

L

L

I I L Ld zB r

L Lz

A partir de este resultado se puede determinar el campo B debido a una corriente recta infinita haciendo

1 2,L L

0 ' ˆ( )2

IB

Para una corriente recta infinita

La presente figura muestra la dirección del campo B calculado y graficado con Matlab

Aplicación de la Ley de Biot y Savart


Ejemplo 1: El campo magnético debido a una espira circular de radio a que conduce una corriente I’ en puntos de su eje.

03

' '( )

4

I d r Rd B r Tesla

R

Solución: Aplicando la fórmula (7) que es el campo de un elemento de corriente, tenemos:

Según la figura es fácil darse cuenta que la resultante del campo tiene la dirección del eje Z y el módulo es

La componente en la dirección Z será:

El campo B debido a toda la espira será:

o

0 03 2

' ' ' '

4 4

I R dr I d rd B

R R

0 0 02 3 3

' ' ' '' 'cos

4 4 4z

a I d r a I a dI d r ad B dB

R R R R

2 22

0 03 30

' ''

4 2z

I a I aB d

R R

2

03/ 22 2

'ˆ

2

I aB z

a z

Efecto Hall


Cuando se coloca un conductor que transporta corriente en un campo magnético, se genera una diferencia de potencial en una dirección perpendicular tanto de la corriente como del campo magnético.

Si los portadores de carga son electrones que se mueven con una velocidad de arrastre V experimentan una fuerza magnética hacia abajo acumulándose en la superficie inferior electrones y dejando en la superficie superior exceso de cargas positivas. Esta acumulación de cargas en los bordes establece un campo eléctrico en el conductor y se incrementa hasta que la fuerza eléctrica equilibra la fuerza magnética. Cuando se alcanza el equilibrio no habrá desplazamiento de cargas. Se puede medir la diferencia de potencial (voltaje Hall). Primero se calcula el campo eléctrico:

eE eV B E VB

La tensión de Hall es:

hV Ed VBd

La relación entre la densidad de corriente volumétrica y la velocidad es:

J neV

Aquí n es el número de electrones por unidad de volumen. De las expresiones de J llegamos a:

I IJ

S ld También

IV

neld Que reemplazando en Vh:

hh

V nelBIV o B

nel I

conductores metálicos 28 38.4 10n m

Ley de Biot y Savart para distribuciones de corrientes continuas


Puede demostrarse fácilmente que la relación de la corriente filamental, superficial y volumétrica es:

' ' ( ') ' ( ') ' (12)I d r K r dS J r dV

Reemplazando en (8) tenemos:

03

'

( ')( ) ' (13)

4 S

K r RB r dS Tesla

R

K es el vector densidad de corriente superficial A/m

Reemplazando en (8) tenemos

(B para corriente superficial)

03

'

( ')( ) ' (14)

4 V

J r RB r dV Tesla

R

(B para corriente volumétrica)

J es el vector densidad de corriente volumétrica A/m2

Se define el flujo magnético como la integral de superficie del campo B

ˆ( ) (15)S

B r n dS Weber

Ejemplos


1) Una corriente I’ circula a lo largo de una placa infinita de ancho w. Determine el campo inducción magnética B en z=d

3) Un solenoide ideal consiste en un número de vueltas (bobina) distribuido uniformemente como se muestra en la figura. Para un solenoide de longitud L, N vueltas que conduce una corriente I’ determine el campo B dentro del solenoide en un punto del eje z

4) Demostrar que para un solenoide ideal infinitamente largo de n vueltas por unidad de longitud y que conduce una corriente I’ el campo dentro (en cualquier punto) del solenoide es constante e igual a

Y fuera del solenoide el campo B=0

0ˆ 'B z nI

2) Una corriente circula en todo el plano XY con una densidad de corriente superficial dada por donde Ko es constante, determine el campo B en todo el espacio

0ˆK xK

Caracterización del campo magnético, Ley circuital de Ampere


Teorema de Helmholtz: Un campo vectorial está determinado si su divergencia y su rotacional están especificados en todos los puntos

El campo inducción magnética es solenoidal, es decir, la divergencia del campo B es nula:

( ) 0 (16)B r

El campo B es rotacional, es decir:

0( ) ( ) (17)B r J r

Considerando una superficie abierta S con recorrido C que puede intersectar la fuente de corriente J. Efectuando la integral de superficie sobre la última ecuación, tenemos:

0ˆ ˆ( ) ( )S S

B r nd S J r nd S

Aplicando el teorema de Stokes al primer lado:

0 0ˆ( ) ( ) (18)a travésdeSC S

B r d r J r nd S I

Es la forma integral de la Ley de Ampere o también conocida como Ley circuital de Ampere para el campo B. Se definirá posteriormente un campo intensidad magnética H (A./m.) que es:

0

( )( )

B rH r

0( ) ( ) (18. )B r H r a

Problemas de la ley circuital de Ampere


2) Dos regiones cilíndricas de longitudes infinitas y radio a se intersecan como se muestra en la figura. Conducen densidades de corrientes y excepto en la intersección. Determine el campo B en módulo y dirección en cualquier punto de la intersección.

0ˆJ zJ

0ˆJ zJ

1) En una región cilíndrica de longitud infinita y radio a cuyo eje coincide con el eje z conduce una corriente a lo largo del cilindro con densidad de corriente . Determine el campo B en todo el espacio

0ˆJ zJ

3) Determine el campo B en módulo y dirección en todo el espacio debido a la distribución de corriente cuya densidad volumétrica está dada por:

0

0

ˆ 0

ˆ 0

zJ para x aJ

zJ para a x

4) Determine en forma aproximada la componente radial del campo B en puntos muy cercanos del eje de una espira circular de radio a que conduce una corriente I’

Potencial vector magnético


El campo B es solenoidal, es decir la divergencia de B es cero. Por las matemáticas sabemos que la divergencia de un rotacional siempre es cero. Es decir B es un rotacional:

( ) 0 ( ) 0B r A r

Para deducir el campo A de un circuito fila mental partimos del campo B. Como se sabe

03

'

' '( )

4 C

I d r RB r Tesla

R

Mediante análisis vectorial se demuestra que:

3

' 'dr R dr

R R

Reemplazando está equivalencia en la expresión de B:

0

'

' '( )

4 C

I d rB r Tesla

R

El término entre corchetes es el campo A

0

'

' '( ) (19)

4 C

I d rA r Tes m

R

y para una corriente volumétrica es:

0

'

( ')( ) '

4 S

K rA r dS Tes m

R

0

'

( ')( ) '

4 V

J rA r dV Tesla m

R

El potencial vector debido a una corriente superficial:

Propiedades del potencial vector magnético


Ejemplo 2: Determinar el potencial vector magnético del segmento recto portador de corriente

Solución. De la fórmula (19) , el campo A es:2

1

2 22 20 0 0

2 2 2 2' 1 1

' ' '' 'ˆ ˆ( )

4 4 4'

L

C L

L LI I Id r dzA r z z Ln

R z L L

A partir de está expresión puede calcularse el campo A debido a una corriente recta infinita haciendo que 2 1,L L

2 1

2 22 20 0 0

2 2,1 1

' 'ˆ ˆ( ) lim

4 2L L

L LI IA r z Ln z Ln

L L

es un punto de referencia donde A=00

Mediante este simple ejemplo podemos concluir en general que para una distribución de corriente infinita debe escogerse otro punto de referencia donde el potencial A=0. Otra prueba de la validez de la expresión anterior es que si tomamos el rotacional de A obtenemos la expresión correcta del campo B

0

0 00

' 'ˆ ˆ ˆ( ) ( )2 2

Z I IAB r A r Ln Ln

Problemas de potencial vectorial magnético


1) Una espira circular de radio a localizado en al plano xy cuyo centro coincide con el origen de coordenadas conduce una corriente I’ demostrar que el potencia vectorial magnético en cualquier punto del espacio es:

/ 20

22 2 220

/ 22 2

20

' 2ˆ 11

21

I a dA

k k sena z

k sen dk

2

2 2

4ak

a z

donde

2) Determinar el potencial vectorial magnético en todo el espacio producido por un solenoide ideal de longitud muy grande, radio a (L>>a) y n vueltas por unidad de longitud que conduce una corriente I’.

3) Una carga eléctrica espacial con densidad de carga volumetrica constante 0 se distribuye en una región cilindrica de radio a y longitud infinita. Si la distribución de carga gira alrededor de su eje con una velocidad angular constante Determine el campo A y B en todo el espacio.

Ecuación diferencial para el campo A


Otra propiedad del potencial vectorial magnético es que la divergencia de A es cero:

( ) 0 (20)A r

Ejemplo 3 Demostrar lo siguiente:

0( ) ( )B r J r

20( ) ( ) (21)A r J r

y

Solución. Sabemos que:

B A B A

Aplicando la conocida propiedad:

2 2A A A A

Ósea que:

2B A

Considerando la expresión del campo A debido a una distribución de corriente volumétrica, tenemos que:

2 2 0

'

20

'

( ')'

4

1( ') '

4

V

V

J rA dV

R

J r dVR

Utilizando las propiedades de las funciones Delta de Dirac :

2 14 ( ') ,r r

R

( ')r r

'

0( ') ( ') '

( )V

F r r r dVF r

La última integral es cero cuando r está fuera de la región de r’ y diferente de cero cuando r está en la región de r’. Finalmente el flujo magnético es:

ˆ ˆS S C

B ndS A ndS A d r

(Ecuación diferencial para A)

Potencial Escalar magnético Vm


En la región fuera de la fuente (J=0) se cumple:

0B

Según las matemáticas: El rotacional de un gradiente siempre es cero. Es decir podemos considerar:

0( ) ( ) (22)mB r V r

El potencial escalar magnético cumple con la ecuación diferencial de Laplace. Aplicando divergencia a (22):

0 0( ) ( ) ( ) 0m mB r V r V r

La divergencia de un gradiente es el laplaciano: 2 ( ) 0 (23)mV r

Se conoce una expresión explicita de Vm para circuitos fila mentales cerrados:

3'

ˆ' '( ) ' (24)

4m

S

I R nV r dS

R

y ( ) ( )mH r V r

Potencial Escalar magnético Vm


Ejemplo 3: Determine el potencial escalar magnético Vm debido a una espira circular de radio a y corriente I´

Solución: Aplicamos la fórmula (24)

3'

2

30 0

ˆ' '( ) '

4

cos'' ' '

4

m

S

a

I R nV r dS

R

RId d

R

2

30 0

2

3/ 22 20 0

'( ) ' ' '

4

' ' ''

4 '

a

m

a

I zV r d d

R

I z dd

z

Las dos integrales son simples, el resultado final es:

2 2

'( ) 1

2m

I zV r

a z

El campo B se obtiene mediante (22)

0

0

( ) ( )

1 ˆˆ ˆ´

m

m m m

B r V r

V V Vz

z

20

3/ 22 2

ˆ'( )

2

I a zB r

a z

Campo magnético de circuitos distantes (dipolo magnético)


El potencial vector magnético debido a un circuito muy pequeño o el punto donde se evalúan los campos magnéticos está muy distante puede evaluarse con relativa facilidad. Así:

', 'r r R r

0 02 2 1/ 2

' '

' '' '( ) (25)

4 4 ' 2 'C C

I Id r d rA r

R r r r r

Considerando el punto muy alejado del circuito aproximamos:

32 2 1/ 2

1 1 '

' 2 '

r r

r rr r r r

Reemplazando

en (25) queda

03

' '

' 1 1( ) ' ' '

4 C C

IA r d r r r d r

r r

Es fácil demostrar que la primera integral es cero, quedando:

03

'

' 1( ) ' ' (26)

4 C

IA r r r d r

r

Utilizando la siguiente identidad vectorial:

F G H F H G F G H

' ' ' ' ' ' (27)r r d r r d r r r r d r

Así:

Diferenciando ' 'r r r

' ' ' ' ' ' (28)d r r r r d r r r r d r

Dipolo magnético


De (27) y (28) despejando y reemplazando en (26) se obtiene:

' 'r r r

03

'

' 1( ) ' ' ' '

4 2 C

IA r r d r r d r r r

r

La segunda integral es cero, queda:

03

'

' 1( ) ' ' (29)

4 2 C

IA r r d r r

r

Se puede demostrar que el término entre corchetes es el área con dirección encerrada por C’

'

1ˆ' ' ' ' '

2 C

S n S r d r

Se define el momento dipolar magnético como:m

'

1' ' ' ' '

2 C

m I S I r d r

De manera que (29) se expresa como:

03

( ) (30)4

m rA r

r

Es el potencial vector magnético de un dipolo magnético. Se puede demostrar:

05 3

3( ) (31)

4

m r r mB r

r r

Es el campo B de un dipolo magnético. El potencial escalar magnético es:

3( ) (32)

4m

m rV r

r

Ejemplos de dipolos magnéticos


1) Una espira circular de radio a localizado en al plano xy cuyo centro coincide con el origen de coordenadas conduce una corriente I’ . Encontrar los campo A , B y Vm para puntos r>>a

2) Una carga eléctrica Q se distribuye de forma uniforme en una región circular de radio a. Si la distribución gira alrededor de su eje con una velocidad angular constante . Determine los campos A, B y Vm en puntos r>>a.

Momento de rotación magnético o torque magnético


Otra cantidad interesante es el momento de rotación o torque sobre un circuito cerrado. El momento de rotación es el momento de la fuerza magnética, el momento de rotación infinitesimal está dado por:

md r d F r I d r B I r d r B

El momento de rotación sobre un circuito cerrado es:

(33)C

I r d r B

Si el campo B no es uniforme, no puede simplificarse la expresión. Un campo vectorial es uniforme cuando es constante en módulo y dirección. Cuando B es uniforme procedemos así:

r d r B d r B r B r d r

Está expresión reemplazamos en (33):

C C

I d r B r I B r d r

C C

I d r B r I B r d r

o

La segunda integral es cero, queda

(34)C

I B r d r

Utilizando la identidad conocida

ˆC S

g d r n g dS

Momento de rotación magnético


La expresión (34) se transforma en:

ˆ (35)S

I n B r dS

Se demuestra fácilmente que cuando B es uniforme

B r B

La expresión (35) queda como:

ˆ ˆS S

I n B dS I ndS B

El término entre corchetes es el momento dipolar magnético. Ósea

m B

Está fórmula es válida solamente para cualquier circuito que sea fila mental.

Ejemplo: Dos dipolos puntuales m1 y m2 son paralelos y están separados una distancia r. Los dipolos están fijos en sus posiciones pero el dipolo 2 puede girar.a)Determine el torque sobre m2b)El ángulo para el torque máximo