Download - 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

Transcript
Page 1: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

na unidad de medida para ángulos es el grado sexagesimal o si m­

pemente grado. El ángulo obtenido por una revolución completa en

sentido opuesto a las agujas del reloj mide 360 grados; por lo tanto,

., grado es 3~ de una circunferencia.

Otra unidad de medida de ángulos es el radián. un radián es la medida del ángulo central de una circunferencia que s..htiende un arco de la misma longitud que su radio.

Relación entre ambos sistemas:

1° = (1:0) rad

1 rad = c:or Nota: En general se omite la

palabra rad; así, un ángu lo

puede medir 231t (en vez de

2It rad). J

Trigonometría 353

www.Mate

matica

1.com

Page 2: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

Sea o: un ángulo agudo en el tri ángulo rectángulo ABe, de catetos a y b Y de hipotenusa C. las razones trigonométricas son: seno, coseno, tangente, coseca nte, secante y cotangente y se definen:

B

sen (l = ~ == cateto opuesto c hipotenusa

cosee Cl = ~ = hipotenusa a catelo opuesto

b cosa = -= , cateto adyacente

hipotenusa e a

sec o. = b' ~ -=~h~ipo"",te~'~",,",= cateto adyacente

I a. = ~ = cateto opuesto g b caleto adya(ente

cot a. = ~ caleto adyacente a cateto opuesto

a e b A

Definición. Una identidad es una igualdad que se verifica pa ra lodos los valores posibles de la v,a(¡able ~

Son identidades básicas:

1. 1 ctg Cl = cos (l cosee Cl=-- 5. ""a se,a

2. 1 sec o. =-- 6. sen2 a. + cos2 a = 1 (OS a

3. ctg o. =_,- 7. 1 +lg2 a. = sec2 a Iga

4. t sen (l ga=--e," a

8. 1 + ctg2 a = cosec2 a

Su demostración es consecuencia directa de la defin ición de razones trigonométricas en 8.2 (ver ejercicio resuelto nO 10).

www.Mate

matica

1.com

Page 3: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

Sea a un ángulo cualquiera en un sistema de coordenadas rectangulares y sea P(x,y) un punto cualquiera de su lado terminal.

Si r = !l/x2 + yl, definimos:

sen a =L 11

, cos a -

-r , y

tg (l l , i y

. ese a = y o ~

111 , IV ,

sec (l -,

ctg (l , y

Los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos de 30", 4Su

, 60" y de los ángu-

...!....0300 1 .fi .,13 2'./3 ..rJ los cuadrangulares (su lado ter-

""2 T 2 3 minal coincide con un lado de 6 2

un cuadrante del sistema car-

....!..04So 42 vi V2 "f2 tesianol son usados frecuente-

4 ""2 2 mente, y se presentan en la

O Ó O" O O inr;Jef. 1 tabla adjunta: (ver ejercicios resueltos nos 12 y 13)

" I mllll

+ ~ ~9" .,

lb 1 O ¡n'(Jef. 1 ¡ndet.

1t b 180" O -1 O ¡ndet. -1

361t O 27~ -1 O ¡ndeL -1 indeL O

liplOrldU 1 >

www.Mate

matica

1.com

Page 4: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

Una función f es periódica si existe un número real positivo P tal que f(x + P) = f(x) para todo valor de x en el dominio de f.

El número real P se ll ama período de la función f.

las funciones seno y coseno, secante y cosecante son periódicas de período 21t (360").

las fu nciones tangente y cotangente son periód icas de periodo 1t (180°).

Ejemplos: a) sen (l = sen (a + 21t) b) tg a = tg (a + 18(0)

rr 7rr ~ sen -=sen-=--3 3 2 Ig 30" = Ig 21 O" = ":?

Una fu nción f es par si f(- xl = f(x) para todo valor de x en e l dominio de f.

Una función f es impar si fe-x) = - f(x), para todo va lor de x en el dominio de f.

las funciones coseno y secante son funciones pares.

las funciones seno, cosecante, tangente y cotangente son fu nciones impares.

Ejemplos: al cos (l = cos (- a) b) sen a == - sen (- 0:)

cos...!... = cos(- -"- )= 43 • • 2 sen 3Cf=- sen (-3cn=-(-+ ) = +

Definición. U na ecuación trigonométrica es ~quella que con­tiene la variable dentro de una expresión trigonométrica. l as soluciones de estas ecuaciones son ángulos expresados en grados o radianes.

Ejemplos:

a)senx= J.-2

b) 4tgx-2cosx - 4+.v2 = 0

c)tg (2x + rr) = 1

Ver ejercicios resueltos nos 1 7 al 22.

www.Mate

matica

1.com

Page 5: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

~olvc...ión ck

Se llama "resolver un triángulo" a detenninar la medida de sus tres lados y de sus tres ángulos interiores. los siguientes teoremas se verifican en todo tipo de triángulos.

Sean a , ~ y 'Y 105 ángulos interiores de un triángulo ABe cualquiera y sean a, b y e los respectivos lados. Se cumple:

e sena _~_~ '(

a - b - e

B.9 .Z IG<>I'"G-Mil ck./ ~ (o ck. /~ W;~)

b a

A ;'"-'---c-J..IL"" B

Sean a, ~ y y los ángu los interiores de un triángulo ABe cualquiera y sean a, b y e los respectivos lados. Se cumple: e

a2 = b2 + e2 -2bc cos a

b2 = e2 + a2 - 2ac cos ~

e2 = a2 + b2 -2abcosy A~B Se llama ángulo de elevación al ángulo formado por la horizontal y la recta que une al observador con el objeto cuando e l objeto está sobre el observador.

Se llama ángu lo de depresión al ángulo formado por la horizontal y la recta que une al obse·rvador con el objeto cuando el objeto está bajo el observador.

Ver ejercicios resueltos 14 al 16, 23 Y 24

OBJETO Ct es ángulo de elevación

OBSERVADOR

OBSERVADOR "'-.",------

p es ángulo de depresión. OBJ ETO

TrigonomelríJ J 5 7

www.Mate

matica

1.com

Page 6: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

1. Exprese en radianes la medida de los ángulos:

al 120" = 1200( 1;" )rad = 2+ rad b) 54° = 54°( 1 :{)" )rad = 3 to Jad

2. Exprese en grados la medida de los ángu los siguientes:

al ~1t=~1(O('80" )=240" b) 11.2!....::O~1to('80")=3300 3 3 7t 6 6 1t

3. Sea a un ángulo agudo y tg ex = j .

B

2

Determinemos las demás funciones .

. _ cateto opuesto SoIUClOn: Como sabemos, tg a = d

a

cateto a yacente

Dibujamos un triángulo ABe y a es uno de sus ángulos agudos. Asignamos e l valor de la tan­gente, co mo e n la figura, y luego determina­mos la hipo tenu sa, aplicando el Teorema de Pitágoras.

e 3 A sen n= _2_ ese a = "/13

2 Así tenemos:

,fn cosa= _3-vn sec o: = '/13

3

4. Determine las funciones trigonométricas del ángulo ~ sabiendo que

2+b sec ~ =-b-

Solución: Sabemos que sec \3 = hipotenusa

cato adyacente

A

2+b

Aplicamos Teorema de Pitágo­

ras para determinar cateto AC

~ e D--"b- -'--"-" B

AC 2 = 4 + 4b + b2 _ b2

AC = "4+4b = 24, + b

Por lo tanto: sen ~ = 2V1+b 2 +b b

cos ~ = - -2+ b

cosec ~ = 2+ b 2V1+b

2+b sec ~ = --, b

2Vi7b b tg ~ = -"-'-¡c'-"- ctg A -b e - 2V1+b

www.Mate

matica

1.com

Page 7: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

4 5. Determine las fundones trigonométricas del ángulo a si sen (l = 3

Solución: Como sen a = ca~~to opuesto lpotenusa

Vemos que no es posible asignar dichos valores a los lados de un triángulo rectángulo, pues un cateto no puede ser mayor (ni igual) a la

hipotenusa. Por lo tanto, no ex iste ningún ángulo cuyo seno sea ~ .

Desafío: Averigüe qué son funciones acotadas y entre qué valores están acotadas las funciones trigonométricas.

&. Demuestre que sen a • ctg o: = cos ce

Analizamos el lado izquierdo de la igualdad y aplicamos las identida­des que sean necesarias hasta obtener la expresión del lado derecho.

sen a. ctg a = ~-ci . cosa jeR11

= cos a

7. Demuestre que sen a (ese Ct - sen IX) = (052 a

Procediendo como en el caso anterior, tenemos que:

sen a (ese (X - sen (X ) = sen a ( _ ,_ - sen a) sen o.

= )ienii _ sen1 a ~

= 1 -sen1 a :o cos2 a

8. Demuestre que tg a = tg a - 1 1 ctg o.

(idenUdad 6 pág. 354)

En este caso analizaremos el lado derecho de la igua ldad (es más sencillo simplificar una expresión trigonométrica que amplificarla). Apli caremos las identidades que sean necesarias hasta obtener la expresión del lado izquierdo.

Iga-l=tga-l 1 clga 1 -1

tga

= tgCt-1 Iga-1

tg a

=~ . tgo. =tg a ~

. . ~,-~--~ - -

www.Mate

matica

1.com

Page 8: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

TrigonomelTia

9. Demuestre que cos" 13 + sen2 13 =- cos2 13 + sen" ~

Procediendo como en los casos anteriores, analizamos el primer miem­bro de la igualdad y aplicamos las identidades correspondientes:

;: 1 - 2 sen213 + sen" 13 + sen213

10. Demuestre que sen2 a. + cos2 0.;: 1

B

e a

e b

a

A

Consideremos el II rec­tángulo ABC y a. uno de sus ángulos agudos. Por Teorema de Pitágoras se cump le:

a2 + b2 ;: c2 l :c2

(f)' + (%)' = 1

Aplicando las definiciones de razones trigonométricas, tenemos:

11. Sea a. un ángulo en posición estándar en un sistema de ejes coordena­dos, esto es, el lado inicial de a. coincide con la parte positiva del eje x, el vértice del ángulo es el origen del sistema, y sea P(-4,3) el punto del lado terminal de él. Determine todas las funciones trigonométricas de 0..

Solución: Primero deter­minemos 1~longitud del segmento QP =- r.

~P 1'--- -- -- J

a -4

4

www.Mate

matica

1.com

Page 9: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

y ahora aplicamos las definiciones de las funciones trigonométri­cas de a: (x =-4; y = 3; r = 5)

y J sena =-= -

r 5

x 4 cosa =-= - -

r 5

r 5 coseca= -= -

y J

r 5 seca=-= - ­x 4

x 4 cota =-= - -y J

12. Encuentre las funciones trigonométricas para a = 600 ( o a = f ) e

Solución: Consideremos

el /:::, ABC equilátero de

lado 2 y sea CD su altura.

En /:::, rectángulo ADC se

tienequeh2 +1 = 4.

Entonces: {3

sen 600=2

cos 600= I Ig 60" = {3

2 2

cosec 600 = ...1....- = l....l.... {3 J

sec 60" ::;; 2

l{3 col 60" =-- = T

{3

B

Desarrolle el mismo ejercicio pero para un triángulo equilátero de lado 3,5, a.

13. Encuentre las funciones trigonométricas para ex = 900 (o ;)

Solución.

El punto (0,1) pertenece al lado terminal de a.

Así: x = O; Y = 1; r = 1

sen 90"= J.... = 1 r

cos 90" = ~ =0 r

tg 90" = f = indefin ida

(O, 1)

"

cosec 90" = ..!.. = 1 Y

sec 900 = ~ = indefinida

cot90"= ~=O y

Trigonometría 361

www.Mate

matica

1.com

Page 10: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

14.Desde un punto P situado a nivel el suelo, el ángulo de ele­vación de la cima de una torre es de 300. Si la distancia entre el punto P y la base de la torre es 12 metros, deter­mine la altura de ésta.

30° ...

12 m

La figura ilustra la situación planteada. El triángulo determinado es rectángulo; un cateto es informa­ción dada y el otro cateto es la incógnita. Una función que relaciona los dos catetos es la tangente (la otra es la cotan­gente)

Así tg 300 = 1~

Pero tg 300 = _,_ entonces ;/3

despejando nos queda: h = --11. ,,(3

y racionalizando: h = 4'1/3

~=_'_ 12 ;/3

Solución: la torre mide 4V3 metros, aproximadamente 6,9 metros.

15.Desde un punto P situado a nivel del suelo se observa la punta de una chimenea bajo un ángulo de elevación de 3D" y acercándose 20 metros desd e otro punto Q el ángulo de elevación es de 60°. Determine la altura de la chimenea y la distancia desde ésta hasta el primer punto de observación (P).

-- ---_. - - -" .~"~--- ------

www.Mate

matica

1.com

Page 11: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

La figura muestra la situación planteada. Debemos determinar h y d = x + 20.

h Tenemos tg 60" = x

h

t'~-x;~Q'~'====~~=====~P 20m

h y Ig30"= x+20

Como Ig 60" = V3 y tg 30" "" JJ se tiene

h ~ h 1 III -=v3 yI2)--=-x x+20 V3

de 11) h = x V3 reemplazando en (2) x43 x + 20

1

V3

Por lo tanto, h = 10 11/3

Así 3x = x + 20 2x = 20 x= 10

Solución. La chimenea mide 1043 metros (17,3m) y la distancia desde ella al primer punto de observación es 30 metros.

16. Un niño eleva un volantín con una cuerda tensa que forma un ángulo de elevación de 60" con la horizontal. ¿A qué al tura se encuentra el volantín del suelo si la longitud de la cuerda es de 18 metros y el niño mide 1.50 metros (o el niño tiene la cuerda a 1.50 m del suelo)?

l a figura representa la situación planteada. En este caso, una información es el largo de la cuerda, lo que corresponde a la hipotenusa del triángulo. Enton­ces aplicamos la función seno.

x sen 600= 18 ~

la distancia desde el volantín al suelo es:

18 m x

1.5 m

do;:o x+ l ,5

d=9V3 +1,5

d "" 17 m.

Desafío: Averigüe y construya los gráficos de las funciones trigonométricas.

- -""------- ~--

d

TrigonomeMa lb]

www.Mate

matica

1.com

Page 12: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

liplom«u:'

17. Resuelva la ecuación: sen x = f

18.

Solución: Sabemos que sen 30" = +; por lo tanto, una soludón particular es xl = 3(1'.

Pero además en la circunferencia geométrica (de radio 1) la función seno queda definida por el eje y, y también es positiva en el 2<> cua­drante; por lo tanto, ahí hay otra solución particular.

Observando la circunferencia unitaria (de radio 1), vemos que:

Xl = 150" también es solución de la ecuación Nótese que 150" = 180" - 30"

1 ----~ O"

Así, las soluciones particulares de la ecuación son:

Xl = 30" (o i) yx2=150" (05~)

y

30"

x

y para obtener las soluciones generales, agregamos a cada solución particular, múltiplos del periodo.

y las soluciones generales son:

Resolver la ecuación: cos X = Solución: Sabemos que para

Xl =45<>(0 ~)

V2 el coseno vale 2

También sabemos que el co­seno es positivo en e l 1 <> Y 4<> cuadrante (pues queda deter­minado por la coordenada x), entonces también hay una solu­ción en el 40 cuadrante, que es x2 = 315° (360° - 45°)

y las soluciones generales son:

• xl = "6 + 2kTC

• Xl = "4 + 2kn:

• x2=7"4 +2k1t

y

• 4

7. 4

x

www.Mate

matica

1.com

Page 13: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

19. tgx ~'\Í3 Determinamos la solución particular primera, o el .... ángulo de referen-

20.

daN, este es x = 60" (o ;> y luego determinamos el otro cuadrante donde la tangente es positiva, este es el tercer cua­drante. En ese cuadrante está la 2a solución particular y es xl = 60"

x2 = 240" = '80" + 60"

Las so luciones son: Xl =

2eos 2x = V3 Nos queda cos 2 x = if[

• 3+ kn

4. T+ k1I

if3 Llamemos 2x = y, tenemos cos y = 2

De acuerdo con Jos análisis anteriores, obtenemos:

y¡ = 30" e

y¡ = ~ +2k1t

Y2 = 330"

• Yz = 11 6" + 2kn

pero. y = 2x, entonces las soluciones son:

• k 11. k xl = 12 + 1t Y2 = U + 1t

21. 4 sen2 x Igx -tgx=O

Factorizamos: tg x (4 sen2 x -1 ) = O

tgx (2 sen x-ll (2 sen x + 1) =0

Un producto de 3 factores es cero si cualquiera de ellos es cero. Así:

tgx = O (lga=.Y.) ::::) xl =0° X

2senX =1::::}senx = i =::)

(ángu lo de referencia 30")

2sen x=-1 ,senx=-},

(á ngulo de referencia 30")

X2 = 1800

x] = 300

x4 = 150"

• Solución: {k1t, 6 + 2k1t; 1500 + 2 k1t; 210" + 2klI; 330" + 2k1t}

n 6

Tr¡sonomefrí~ J 6 j

www.Mate

matica

1.com

Page 14: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

22.1 -2 sen2 x =cos x

Aplicamos identidades para expresar todas las funciones en términos de coseno.

1-2(1-cos1 x)=cosx 1 -2 +2 cos2 x =cosx

2cos2 x-l =cosx

(esla es una ecuación de 2° grado en cos x)

2 cos1 x-cosx - l = O

Factorizando, obtenemos:

(2 cos x + 1) (cos x - 1) = O

Entonces:

2cosx+l =o~cosx= -~~ (ángulo de referencia 60°)

cosx-l=O~cosx=' ~x=O"

(coordenada xl

Solución: /4"' 2k S' 3 + n, 3" + 2k:n:, 2k7t)

23. Resolver ellriángulo ABe, dados:

IX = 36" ~ = 64" a = 12

Según el teorema del seno. a b

sen (l = sen ~ => 12 b

05e:::n;';3"6'O" = 05e:::n"'6"4;oo

Usando calculadora, obtenemos: 12 b

= 0,5878 0,8988

de donde b = , 8,35

Ahora, como a = 36° Y ~ = 64°, concluimos que y = 80° Y aplicamos nuevamente teorema del seno:

a e 12 e -5e-n-a- = -5-en- y- => sen 36° = °5e:::n"8"'0''''

Usamos la calculadora para obtener:

12 e 0,5878 0,9848

y tenemos e -;;; 20,1

www.Mate

matica

1.com

Page 15: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

24. Resolvamos el triángulo ABe, dados

a = 18, b = 25 yc = 12.

Por teorema del coseno: a2 = b2 + c2 -2bccosa

de donde:

cos o: b2 +c2 _a2

2be

cos o: 625+144-324 = 445 ",,-0741 7 600 600'

Aquí obtenemos a = 42"10'

(en este caso, al resolver la ecuación resultante sólo debemos conside· rar la so lución entre O" y 180°)

Para determinar ~ podemos aplicar nuevamente el teorema del coseno:

cos ~

cos ~ 324+144-625

432 -157

= 324 "" -0,3634

De donde obtenemos p = 11 1 °20' Para determinar '(, calculamos el suplemento de a + p. y= 180" - (42°10' + 111°20')

'( = 26"30'

Demuestre la equivalenc ia entre ambas unidades de medición de ángulos.

2. Exprese en radianes la medida de 105 siguientes ángu los:

a) 45" e) 225°

b) 150 f) 210"

e) 1 50" g) - 60"

d) 300" h) _135°

3. Exprese en grados la medida de los siguientes ángulos:

a) l...!. d) • g) 4 16

b) 2E- e) - • h) 1 9 3 T

e) 7-"- O • i) - 2 5 -56

TrigonomelríJ 3(,7

www.Mate

matica

1.com

Page 16: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

I

4. Determine las funciones trigonométricas del ángulo Ct. sabiendo que sen ex = ~

5. Determine las funciones trigonométricas del ángulo Cl sabiendo que sec (l =:o t 6. Determine las funciones trigonométricas del ángulo P sabiendo que cIg p = 45

7. Determine las funciones trigonométricas del ángulo y sabiendo que cosee y = 1 ~ b

8. Determine entre qué valores están acotadas las fu nciones seno y coseno.

9. Determine entre qué valores están acotadas las funciones tangente y cotangente.

10. Determine entre qué valores están acotadas las funciones secante y cosecante.

11.Verifique las identidades trigonométricas a partir de las funciones dadas.

al (1 ~ sen:.? al sec:.? a = ,

b) sen a· Iga= sec (1 - cos (l

el cos J3 • COI P = cosee P -sen p

2 d) sec rp = coseel cp

tgZ ql

el sen r (cosee y - sen y) = cosz 'Y

o 1 + see2 P = cosee ~

'g~+sen~

g) tgZ a . senz a = tg2 a • sen2 a

h) cosecz a • tgZ a . 1 = tgZ a

j) senz a • secZ a = seez a · 1

j) (1 + tgZ a) (1 - sen2 a ) = 1

k) 1 + cos 11 + ."se"n,:M"cc_ = 2 cosee I..l sen 11 1 + eos 11

1) = eosee t - cot t eosee '[ + eot '[

m) senz a • eosz a = sen4 a . cos4 a

n) 1 + coso: + seno: = (OS 0:+ 1 sen a cos a sen o: • Cos o:

o) 1 -seno coso

3 68 Trigonomeuíil

cos O = ,,"+"',':'.n'""'g.-

www.Mate

matica

1.com

Page 17: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

12. Determine las funciones trigonométricas del ángulo a de la figura

5

2

a

13. Determine las funciones trigonométricas del 1 ángulo ~ de la figura.

14. Determine las funciones trigonométricas del ángulo y de la figura.

t::. ABe isósceles con AB = 10, AC= BC= 12. Sugerencia: trace la altura he'

e

15. Si sen a = 0,3 determine las demás funciones trigonométricas de a.

16. Si cot ~= 1,2 determine las demás funciones trigonométricas de p.

17. Si tg y = t determine el valor de: sen y- cos y.

18. Si sec O = ~ determine el valor de: cos2 0- 1. 1 - a

19. Verifique que: 2 sen !.·cos !'.tg ~ = 1 4 4 4

20. Veri fique que: sen 30° • cos 60" + cos 30" • sen 60" = tg 45°.

21. Determine las funciones trigonomé­tr icas del ángulo p sabiendo que p está en posición estándar y que el punto P(l,-2) pertenece al lado ter­minal de él.

22. Determine las funciones trigonomé­tricas del ángulo P sabiendo que el punto Q(2,-5) pertenece aliado ter­minal de él.

23. Determine las funciones trigonomé­tri cas del ángulo P sabiendo que el lado terminal está en el 3er cuadrante

y coinc ide con la recta de ecua­ción x-3y = O.

24. Determine las funciones trigonomé­tricas del ángulo ~ sabiendo que el lado terminal está en el 4° cuadrante y es paralelo a la recta de ecuación 3x + 2y + 3 = O

25. Determine las funciones trigonomé­tricas del ángulo p sabiendo que el lado terminal está en el 2° cua­drante y es perpendicular a la recta de ecuación x - y = 3

Trigonometría 3G9

www.Mate

matica

1.com

Page 18: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

26. A partir del ejercicio resuelto' 2, verifi­que el valor de las funciones trigonomé-

tricas del ángulo de 300 (o i) 27. Compruebe el valor de las funciones tri­

gonométricas del ángulo de 45° (o f). Sugerencia: considere un triángulo rec­

tángu lo isósceles de lado (catetos) 1.

28. Determine las funciones trigonométricas del

ángulo de ' 80" (o tt) y de 270" (o 3 ~ ).

29. Evalúe: sen 300 + cos 30°

30. Evalúe: 1 - tg2 45°

l' , +tg600 31. Evaue: 1 - tg 600

32. Verifique la igua ldad:

ctg JO' - 1 _ 3D" 1 _ tg JD" - ctg

33. Verifique 1 + sen2

45° sec2 45° + tg2 450 cos2 4So

21gi 34. Verifique tg J" = -,---~'-;;--­

, _tg2 1!, 6

35. Verifique cos ~ = cos2 i -sen2 i 36. Un cohete es lanzado a nivel del suelo,

en un ángulo constante de 60° hasta una distancia de 3.000 metros . Determine a qué a ltura se encuentra del suelo .

37. Sabiendo que el ángulo de elevación del sol, a cierta hora del día es de 30", determine la longitud de la sombra que proyecta una persona que mide 1,6 m.

38. Desde un punto P si tuado a 12 metros de un edificio se observa un letrero luminoso que está en una ventana del edificio, bajo un ángulo de elevación de 300, Y desde el mismo punto P se observa el techo del edificio bajo un ángulo de elevación de 60". Calcule [a altura del edificio.

Nota: Para resolver ejercic ios que inclu ­yan ángu los cuyas funciones Irigono­métricas se desconozcan se debe hacer uso de la calculadora.

39. Desde lo alto de un edificio de 25m de altura se obtiene una medición de 35° para el ángulo de depresión de un quiosco situado en el mismo plano del ed ificio. lA qué distancia se encuentra el quiosco del ed ificio?

40. Desde lo a lto de un acantilado se obser­van dos botes bajo ángulos de depresión de 20" y 30°, respectivamente. Deter­mine la a ltura del aca ntilado sab iendo que la di stancia entre los botes es 35m.

41. Un avión despega en un ángulo de 100

Y vuela con una velocidad de 75 ~. iCuánto tardará en alcanzar una altitud de 15.000 metros?

42. Una escalera de 6 metros se encuentra apoyada en una pared y forma con ésta un ángu lo de 40". Calcu le la distancia entre la pared y el pie de la escalera .

Desafíos.

43. Grafica todas las funciones trigonomé­tricas asignando algunos valores y apli­cando las propiedades de periodicidad, paridad e imparidad y acotaciones.

44. Resolver las sigu ientes ecuaciones (Hallar todas las soluciones menores o iguales a 21t):

1) tgx=1 1

2) sen x =-'2

3) sen x + 1 = O

4) cosx - l =0

5) tg2 x- l =0

6) sec y = 2

7)2cost+ 1=0

8) 2 sen2 x-sen x =0

www.Mate

matica

1.com

Page 19: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

9)2cosx =~"l3

10)seclt ~ 2=O

11) 2 sen x =: cscx

12) 4 sen x = 3 csc x

13) V2 cos x = ctg x

14) sec1 x = 3 tg1 x ~ 1

15) sen x = cos x

16) tg x == 3 ctg x

17) tg1 t+ tg 1= O

18) sen2 t+ sen tcos t = O

19) 3~tgly=0

20)2 cos1 x +cos X =0

21)senlx ~ senx~6=0 (indicación: analice soluciones)

22) cos x + 2 sec x + 3 = O

23) sen2 x + 2 sen x + 1 = O

24) 2 sen1 x ~ 3 sen x + 1 = O

25)2 cos 1 x ~ sen x~ 1 = O

26) cos 3x = 1

27) 2 ctg2 x + csc1 X ~ 2 = O

28) 2 cos1 t + 3 cos I + 1 = O

29) l-sent= V cosl (indicación: eleve al cuadrado y ana­lice soluciones)

30) 4 sen1 u ~ 1 = O

31) sen x + cos x = 1 (i ndicación: eleve al cuadrado y ana­lice situaciones)

32) 3 tgl x - sec2 x -5 = O

45. Resolver los triángulos ABe, dados:

1 ) a = 30 bd5 ~ = 35'

2) a = 25 e o:;- 94 (l = 57°

3) a = 64 (l = 28° ~ = 34°

4) 0:= 15° ~ = 55' c = 104

5) b = 58 ~ = 58' "1= 18°

6) a = 100 b = 100 c = 40

7) a = 70 b = 15 y= 60"

8) b = 10 c = 20 (l = 4(Y'

9) a = 14 b = 28 c = 50

(analizar)

46.Una pequeña embarcación debe diri· girse desde una isla a un puerto en el continente, que se encuentra a 240 km de la isla. Debido a la fuerte corriente, después de navegar un tiempo, la embar­cación se encuentra a 140 km de la isla ya 35° dirección N.E. Determine a qué distancia aproximada se encuentra del puerto y qué dirección debe tomar para corregir el curso.

47. Para llegar a casa Juanito debe cruzar un río de 30 m de ancho; él se encuentra justo frente a su casa, pero en la orilla opuesta. La corriente lo desvía 28" río arriba. ¿A qué distancia se encontrará de su casa cuando logre atravesar el río?

48. Un avión vuela 250 km desde un punto A en dirección 70" y luego 120 km en dirección 220". lA qué distancia aproxi­mada se encontrará del punto A?

49.Dos vehfculos salen de una ciudad al mismo tiempo y circulan en carreteras rectas que forman entre sí un ángu lo de 70". Si viaj an a 90 kmJh Y 110 kmlh respectivamente, ¿a qué distancia se encontrarán después de 40 minutos?

Trigon<JlTll!tria 1 -1

www.Mate

matica

1.com

Page 20: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

50. Un bote pesquero utiliza un equipo de ondas sonoras para delectar un banco de peces que se encuentra a 3 km de la embarcación y que se mueve a razón de 12 km/h en dirección 35° N. E. Si el bote avanza a razón de 20 km/h, determine cuánto tiempo tardará en alcanzar el banco de peces.

51. Al observar el sol desde la tierra se ve bajo un ángulo de 32' (minutos, es decir, ~~ grados)

• TIERRA

SOL

Si la distancia entre la tierra y el sol es aproximadamente 150.000.000 km, calcule el diámetro de! sol.

, " . "'J' • ,

, . ' ~

, , 2, al- e) 5 -

4 4

, D 7.". bl T2 6

, , e) 5- gl - -

6 3

d) 5~ 3

h) - 3~ 4

3. a) 1350 di 11,25" gI57,32"

b140" e) -60'" hI19,1"

c) 2520 D-1S0" i)11 4,6°

4. senu=+ 2\12 ,.¡¡

cosu=-3- tgu =~ 4

esea=3 seca=3f ctg u = 2\12

5. sena=f cosa=f 3 tg a=-4

csea = 2. 4 seca=f ctga=.j-

T • •

www.Mate

matica

1.com

Page 21: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

6. sena= ~ ~ 6

cos p =o,J.f tg~ ~ _l_ Vs

ese ~ = ~16 sec p=,Jf ctg~~ Vs

7. No existe un ángu lo agudo en tal triángulo (lo que no existe es ese triángulo

rectángulo)

8. -1'5; seno. s: 1

- 1 s: cosa s: 1

9. La tangente y la cotangente varían entre menos infinito e infinito positivo. No tienen

restricciones.

10. seca S:- 1 o seca ~ 1

CSCO,:5-1 o seca 2: 1

11. Las demostraciones debe hacerlas el estudiante. Ver ejercicios resueltos nO 6 al 10.

12. sena=421 cosa=-,2 tga = ~21 5 5

C5Co;=-'- seca=~ ctgo.=..1..... v'2i 2 <Ii'

sen p =- -,,'1 1 , tgP=VIt 13. eos ~ =-:;;¡,

2 3 2\3

2V3 see ~ = 2V3 p-- '-ese p=--Vil ctg - {í,

14. m sen 'Y =-""""'l'"2

, cos y = 12 tgy_ m

- 5

15. 3 .J91 tga=.l. sena=1O cosa= --'O 'V'9i

10 csca=-3

sec a =-.lQ. ~ígi

ctga = .J91 3

5 cos P =- ..J!..- tgp=2.... 16. sen~= V6i 61 V6i 6

%1 %1 ctgp=+ cscp= -- secp= - -S 6

www.Mate

matica

1.com

Page 22: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

17.

4, 18. - (1 +a)2

19. 2 · --l- • ± = 1 , ' 2 '\'2

1 1 ;f3 , (3 20. 2 - 2+2 · T=1

2 1 21. senp=-S co5~=5

5 csc~=-2

22. sen ~ = - Jig csc~=-~

-1 23. sen ~ = :;m¡

ese p = - .,,'10 -3

24. sen ~ =:vD

secP=5

cos ~ = J¡g vie, secr.t= _

" 2 -3 cosp= ~ '\110

sec~=- 0ii 3

2 cos ~ =--,­'V13

csc~= - "P sec~= ~ 25. senp= -h- cosp=- ~

'1/2 V2

1 clg~= -T

5 tg ~ =- T

2 dg~ =- "5

1 tg ~ = 3"

ctg~ = 3

3 tg~ = -T

ese p =."r2 secp=--V2- ctgP=-l 26. Ver ejercicio resuelto nO 12 y tabla de la página 343. 27. fdem. 28. rdem.

1 +;f3 29. 2

30. O

31.- (2+"'3)

VJ-1 32. = '-*

VJ-1 .,-'Ir = v 3 = ctg 30" J - 1

VJ

33. Primer miembro:

1 1 +2

1 T

=3 Y Segundo miembro: 2 + 1 = 3

2V3 34. VJ= 3

2 ")

,13 = V3

1 3 1 35. 2=4- 4

1 _ 1 T-T

www.Mate

matica

1.com

Page 23: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

36. 2.598 m es la altura a la que se encuentra el cohete del suelo.

37. la persona proyecta una sombra de 92,3 cm.

38. El edificio mide 20,78 m. (hay información de más en el enunciado).

39. 17,5 m

""'o. 34,47 m

41. 19 min 11,8 seg.

42. 5,14 m

44, 1 j 45°, 225° 2) 210", 330"

6) ~ ~ 7) 21t: 41t

3) 3n 2

4) 211:

1t 31t 1t: llJt a) 2' 2' 6' -6-

11: 3. 5n: 5)'4'4'4'

9) 150",210"

7n 4

3' 3 3' 3 /t 31t: 5/t 7It

10) 4'4'4'4 1t 31t 1t 31t

p .!. ~J: .1:1[ 5. - 3'3'3'3

13) 2' 21 T' 4 14) 35,26"; 144,74'"; 215,2&0: 324.¡44

1t 51t 3_ 7_ 15) 4' T 16) 60", 120", 240", 300" 'n o. T ' .. T 18) O 31t 71t: 19) ~ 1!. 411: 51l 20)..! 211: 4. 311:

'4, 1t'43'3'3'3 2'3']'2

21) No tiene 22)1t 23) 3211: 24) :'T' 32K, 1~1I:

25) l!!.. 26) 0", 120", 240", 360" 27).!. l!. 2.!!. 711: 2 4'4'4'4

2ft 41t 28) 3' n, T 29) 90", 330" 30) 30", 150", 210", 330"

31)0",90° 32) 50,770; 129,230

; 230,77°; 309,23°

45. 1) a = 29,45° g=1 15,55° e = 55,05

2) no existe un triángulo con esas medidas 3)g= 1180

4)g = 11O° a = 28,64 b = 90,66 5)«=lP4°

b ~ 76,23

a = 66,36

e = 120

0=21,13

6) « = ~ = 78,465°; Y = 23,07<' 17) a ",; 71,74° P=48,26° c=63,84

8) No existe un triángul o con esas medidas

9) No existe un triángulo con esas medidas (28 + 14 < 50)

46. 149 km 12,5° SE 47.34 m

-l8. 158 km 49.13,35 km

50. Si el barco avanza en dirección 33,6" NE alcanza al banco de peces en ! de hora.

Estudie usted otras posibilidades. ¿Se podrá demorar más de ~ hora? ¿Cuál será el ángulo necesario para alcanzar a los peces en el mínimo de tiempo?

51. 1.387.546,5 km.

Trigooomelrfa J 7~

..

www.Mate

matica

1.com

Page 24: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

1. Exprese en radianes 27fY'

A ~ · 2

B ~ · 2

e ~ · 4

D ~ • 3

3 E· T

2. Exprese en grados

767[ radianes

A. 2100

8.21 0

C 28fY'

0 .420"

E. 35fY'

3. Si sen a = ~ entonces Ig a =

2 A·TI

2 B. 121

e V21 · 2

5 D.\72í

E V21 · 5

4. sen2 600 + cos2 300 =

3 A'2

3 B."4 Cl

D.3 E. 1-,\'3

5. Si sec o: = 11/ 3 , ¿cuál es el valor de cos2 ex?

A.3

1 B·T

1 C g D.9

E. otro

6. Si tg el = 0,7 ¿cuánto vale ctg a ?

A. 0,3

B. -0,7

C 7 10

D. ID 7

E. otro

7. Si 1 - lg/3 0::0 2, icuánto vale J3?

A. 9fY' Y 27fY'

B. O" Y 180"

C. 45D y 225°

D. 13SD y 3150

E. 60° Y 30°

8. Si cosee a = 1, ¿cuá nto vale a ?

A. O°

B. 90°

C. 180"

D.27fY'

9. Si tg2 a=J¡/T - 1, lcuánto vale sec2 a?

A. l+V2

B.l - V2 C 2

D. V2 E. otro

10. Si sen (X = cos a entonces el valor de a es: A. fY' Y 18fY' B. 45°y 225° C.135°y315° D.todo (lE R E. ninguno

11 . Si cos x = + entonces

el valor de x es: n A· T n B· 6 n

C "4

D l!'. · 4

E. otro

12. Si ctg x = - 1, entonces ¿cuál es el valor de x?

n A' 4

n B· T e l!'.

· 4

D l!!. · 4

E l!!. • 3

13. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es verdadera?

A. sena=_l -cos Ct

B. tg 0: . cos o: = sec a

c. l +sec2 o. = tg2 a

D. sen' 9()' + cos' 9()' = tg' 45°

E. sec a - cosec a '= 1

14. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es fa lsa?

A . sen2a + cos2a = sec2a -tia: B. cos ~ • sec ~ = 1

C. tg 300 = clg 600

D. sen2 45° = + E. sec 45° + cosec 45" = 2

www.Mate

matica

1.com

Page 25: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

15. A partir de la figura, ¿qué relación es fa lsa?

A. a= ~

B. cosa=V2 2

e tg~ = 1

2

O. cosec p = 1:­V2

E. tga=cota

16. Al expresar en rad ianes, un ángulo de 15° es equivalente a:

17. Al expresar en grados un

ángulo de ~~ es equ iva­lente a:

A. 300°

B. 150"

e. 75°

0. 30"

E. 15°

18. La expresión cosed o. - , es equivalente a:

A.l+ctg2 o. B. ctg2 0.- 1

e.l - tg2 a O. ctg2 o. E. Ig2 a

19. La expresión 2 cos2 a + sen2 a es equivalente a:

A. 2~sen2a

B. 2 + sen2 a e 2 0 . 2 _cos2 a E. 2+cos2 a

20. La expresión sen2 a • sed a es equivalente a:

A. lga

B. tg2 a

e. ctg a

0. ctg2 a

el 1 21. Si sen a = ~. enlonces

cosa= a+

A. ~ a

B 2a + 1 . a + 1

C ~ . 2a +'

0.\!2a+1 a + 1

E.~ a

22 . Si clg ~ = 2, entonces sen ~ =

1 A. -;¡s 2 B. -;¡s 1 e -;¡;-2

D. -;¡;-1

E. T 23. A partir de la figura,

relación es correcta?

b

e

¿qué

a

45"

A. scna450 = _.".c~,\

B sen 1000 _ sen 45°

. e --b-

e. sen 100" = sen 45° e a

O. sen 350 =.E..

senlOO" a

a scn l 00" E. sen 35" = e

24. En l:::. ABe de la figu ra, cosee p =

p

A. ~ r

B. L r

c. ..!... p

D . ..!... q

E. L q

a q

25. El va lor de

n n sen 2 + sen 32 es:

A.

B. 2

e o

D. -1

E. no está definido

www.Mate

matica

1.com

Page 26: 001CAP 8 TRIGONOMETRIA

26. ¿Cuá l es el valor de 28. Si sec ~ = 1,5 ¿cuál es el 30. lCuál(es) de la(s)

sen 300 • cos 3Cf • ctg 30" valor de sen ~? relaciones es o son verdade-

1 ras? A. 2 A. 3

vi'í 1) " " senT =cos'6

B. 1 2 "4 B.

vTI " " " 11) tg --ctg 3- = csc-4 4 6

C. 2 ,15 C. IJI ) sen 2 ~ • cos2 ~ =1 D. 4

3

D. rs A. Sólo 1

E. J 2 4 B. Sólo 11

e) 2

27. ¿Cuál es el valor de J C. Sólo JlI

tg 600 • ctg 6C1' • sen2 60"? 29. ¿Cuál es el valor de D. Sólo 1 y 11

V3 " " E. 1.11 Y 111 A. 2

tgT+tg T ?

9 A. 1

B. "2 B. 1

9 2 C. 4 C. O

D. J 1 "4 D. "4

E. J E. no está determinado "2

1. B 11. B 21. D

2. A 12. e 22. A

J . B 13. D 2J. 8

4. A 14. E 24. D

5. 8 15. D 25. e 6. D 16. e 26. E

7. D 17. e 27. D

8. 8 18. D 28. e 9. D 19. A 29. E

10. 8 20. E JO. A

www.Mate

matica

1.com