Zuzena planoan.pdf

7/25/2019 Zuzena planoan.pdf

1/34

ZUZENA

PLANOAN

ARRASATE BHI (ARRASATE)

Batxilergo Zientifko-Teknikoa

1. maila


2/34

Zuzenaren ekuazioak

Zuzen bat determinatzeko, bi puntu behar dira, edo bestela,

puntubat eta norabidea. Norabide bektoreari bektore

zuzentzaileaesaten zaio.

Demagun zuzena A=a!, a"# puntutik pasatzen dela eta

bektore zuzentzailea = $!, $"# dela.v

A

P

O

%

&

va

v

Ekuazio bektoriala ' , (# = " , )!# * k . )+ , #' , (# = a!, a

"# * k . $

!, $

"#

' = a!* k . $

!

( = a"* k . $

"

Ekuazio parametrikoak

x = " +ky =! + , k }

OP=OA+AP edo p= a+k.v-oiko irudian honako hau dugu

Zuzen hori era askotan adieraz daiteke. Adibide baten bidez azalduko ditugu era guztiak. /ar

ditzagun A = " , )!# puntua eta bektore zuzentzailea.

v= (+,

,

)

x "+

=y+ !

Ekuazio jarraituax a!

v!

=ya

"

v"

')0 = )+()+ 1 '*+()2=3

v=(v!, v

")=(+,, )


3/34

' * +( 4 2 =3

Ekuazio orokorra edo ekuazio inplizitua

A' * 5( * 6 =3

Era horretan adierazita, bektore zuzentzailea

)5 , A# da, zeren A = $"eta 5 = )$!baitira.

-ure adibidean )+, # bektorea.

Puntu-malda ekuazioa

Ekuazio 7arraitutik, ondokoa ateratzen da y +!=

+(x" )

zatidura da. Zatidura horri zuzenaren maldaderitzo

eta mletraz adierazten da.

+

v"v

!

( 4 a"= m ' 4 a

!#

Ekuazio esplizitua

y= ,

+ x+

2

+

Ekuazio orokorreany bananduta,

ondokoa lortzen da( = m.' * b malda=x ren koefizientea=

+


4/34

Zuzenaren malda

("4 (!

5i puntu emanda, P!='

!,(

!# eta P

"='

",(

"#, puntu horietatik pasatzen den

zuzenaren malda hau da

m=v

"

v!

=tg =y

" y

!

x" x!

=()ren hazkundea

')ren hazkundea

Adibidea. Zein da A=!,)+# eta 5=+,"# puntuetatik pasatzen den zuzenaren malda8

m=" (+ )

+! =

2

"

P!'!,(!#

P"'",("#

r

'"4 '!

9alda m#, zatidura, eta zuzenak abzisa)ardatzarekin

eraturiko angeluaren tangentea elkarren berdinak dira.

v"v

!


5/34

Bi puntutatik pasatzen den zuzena

Demagun zuzenaren bi puntu ezagutzen ditugula: A=(1 , -!

eta B=(" , #!$ Zein da beraren ekuazioa%

v=AB= (,!," (+)) = (+,2 )

5eraz, zuzenaren ekuazioa hau'e da

:# Puntutzat bata zein bestea har daiteke, adibidez A = ! , )+#

5ektore zuzentzailea

Egin dezagun bi eratan

! +#

2 + ! 3+ 2

x y

x y

= =

::# Puntutzat bata zein bestea har daiteke, adibidez A = ! , )+# . Eta" !

" !

" +# 2malda =

, ! +

y ym

x x

= = =

Zuzenaren ekuazioa ()a"= m ') a!# 1 hau da,2

+# !# 2 + ! 3+

y x x y = =

+,3#

3,"#

Ekuazio kanonikoa edo segmentarioa

x

a+

y

b= !

Ezagutzen ditugun bi puntuak zuzenaren eta ardatzen arteko ebaki)puntuak badira,

a , 3# eta 3 , b# hain zuzen, era honetan idatzi ahal dugu zuzenaren ekuazioa

! " + ; 3

+ "

x yx y+ = + =

Demagun zuzena +,3# eta 3,"# puntuetatik pasatzen dela.

5eraren ekuazioaa = + eta b = "


6/34

!.) :datz ezazu 3 , )+# puntutik pasatu eta bektore zuzentzailea duen

zuzenaren ekuazioaren


7/34

Planoko bi zuzenak ebakitzaileak,paraleloakedokointzidenteakizan daitezke$ Zein

diren jakiteko, na&ikoa da beraren ekuazioez osaturiko ekuazio-sistema ebaztea$

Ariketa

Esan zein diren reta szuzenen arteko posizio erlatiboak.

a#r 2' 4 +( * " = 3 1 s )2'*+( 4 " = 3

b#r "' 4 +( * ! = 3 1 s )+' * "( 4 " = 3

>#r )+' * 2( 4 = 3 1 s ;' 4 !3( * = 3

Adibidea

Ekuazio)sistemarensoluzioa

Ebakitzaileak

)' * ( * != 3

"' * +( * + = 3

'oluzio bakarra:' = 3 1 ( = )!

Puntu komunbatdute

P3 , )!#

Paraleloak

' * "( 4" = 3

"' * ( 4! =3 Ez du soluziorik

Ezdute puntukomunik

ointzidenteak

)' * ( 4! = 3

"' 4 "( *" = 3 )n*initu soluzio

Puntu guztiakkomunak dira

!

"=

"

"!

!"

!

+

!"

=!

"=

!"

Bi zuzenen posizio erlatiboak


8/34

Paralelotasun baldintza

Ebazpena:

Paraleloa bada ' eta ()ren koe


9/34

x ""

=y ++

+

Ariketa ebatzia #

+ort& '() , !* p&nt&tik pasat& eta ek&azioko z&zenaren paraleloa den z&zenaren

ek&azioa.

A=(!,")v =( ",+ )

}

r . x

+!

" = y

"

+

5ektore zuzentzailea )",+# da. Zuzen horren edozein

zuzen paraleloren bektore zuzentzaileak )",+#

bektorearen proportzionalak dira. 5ereziki, bektore

hori har dezakegu.

Ariketa ebatzia

+ort& '%,* p&nt&tik pasat& eta y $ (!x ") ek&azioko z&zenaren paraleloa den z&zenaren

ek&azioa

?asu honetan, agerian dago maldaren balioa )"5ilatzen ari garen zuzenak malda berbera du. 5eraz, ekuazioa honelakoa

izango da ( = )"' * b

Bkonstantearen balioa lortzeko, ordezkatu egingo dugu enuntziatuan

emandako puntua, hots, 3,2#

2 = )".3 * b 1 b = 2

5ilaturiko zuzenaren ekuazioa hau'e da = -#+ .

-1.5 -1 -0.5

1

2,A=)!,"#

x ""

=y ++

+


10/34

:datz itzazu " , +# puntutik pasatu eta ondoko

zuzenen paraleloak diren zuzenen ekuazioak

a# ( = )+' *"

b#

># )+' * ( = )2

x +"! =

y !

+

Ariketa


11/34

23 ardatzaren ekuazioa: = 0 da$%

&

= #

= 0

Ok- den.

23 ardatzaren paraleloa den

zuzen baten ekuazioa, berriz,

= k , non

24 ardatzaren ekuazioa: + = 0 da$

k- den.

24 ardatzaren paraleloa denzuzen batena, berriz, + = k , non

X

Y

x = 3

O

+ = 0


12/34

Bi bektoreren arteko biderketa eskalarra

&

v

5ai zenbakiak dira1 beraz,

zenbaki bat da. /ortik datorkio, hain zuzen, izena

eskalar hitza.

|& |, |v | eta bai >os & .v

Era honetan deos ;33 = !" .

!

"=;

5ektoreen arteko eragiketa berezi bat da. 5i bektoreren biderkadura

eskalarrari zenbaki errealbatdagokio ." . ." -

& .v=|&| . |v|. >os


13/34

&v & .v= 3

:zan ere, >os = >os @33

=3 da .

Ondorio garrantzitsua 5Bi bektore

perpendikularrak badira, &aienbiderkadura eskalarra zero da6$

Eta alderantziz 57uluak ez diren bi

bektoreren biderkadura eskalarra zerobada, bektoreak perpendikularrak dira6$

&

v


14/34

1$- Bi bektoreren biderkadura eskalarra &au+e da: bektore baten moduluaren eta beste

bektoreak le&enengoaren gainean sortzen duen proiekzioaren arteko biderkadura$

#$- 8rukatze-propietatea: & .v=v / .&

$- Banatze-propietatea: & / .( v+0) =& .v+& .0

"$ Elkartze-propietatea: (1 &) .v=1(& .v) , 1 edozein zenbaki erreal izanik .Adibidez, (+&) .v= +(& .v)

Propietateak

& .v=|& | .(|v| . >os) =|& | .( v ren proiekzioa& )ren gainean)

=|& | .O2

Angelua zorrotza bada emaitzaren zeinua * izango da,

eta kamutsa bada zeinua 4 izango da.

. >os

proiekzioa u gainean

v

v ren ren

r r

O9

&

v


15/34

Demagun oinarria ortonormala dela eta oinarri horretan

Adierazpen analitikoa

& eta v bektoreen osagaiak (&!, &") eta( v! , v") direla, hurrenez hurren.

& .v=&!.v

!+&

".v

"

v=( v! , v")

&=( &! , &")

&= (! , )") eta v=( +, ) bektoreak emanda,& .v = ! . ++ (" ) . = 2

Esaterako

Ondokoa betetzen da

Oharra bektore 7akin baten ortogonala den bektore

bat lortzeko, nahikoa da beraren osagaiak ordenaz

aldatzea eta bietako baten zeinua aldatzea.

Adibidez, " , )+#eta + , "#bektoreak

perpendikularrakdira, zeren "$+ * )+#$" = 3 baita.


16/34

2789A7 )ZA7

5iderketa eskalarraren hiru deos

& .v=|&| .O2

& .v =&!

.v!+ &

".v

"

Emaitza ZEN5A?: EEAL 5AB da.


17/34

a )& . v b) v ren proiekzioa & ren gainean

3) "

& .

v d ) (

& +

v) .

v

&= (! , )") eta v=("," )

Ariketak

!. Oinarri ortonormal bateanbektoreak emanda, kalkulatu

a= (!,+ ) 4 b= (k ," )

". Aurkitu k)ren balioa, ondoko bektoreak

ortogonalak perpendikularrak# izan daitezen


18/34

Bektore baten modulua

Orokorrean, &= (&!, &") |& |=&!"

+&""

bektore baten modulua hau'e da

-1

X

Y

3

a = (+, ! )

)ren bidez adierazten da eta ondoko

balioa da

a= (+,! )

|a |=+" + (! )" =!3

Adibidea$ bektorearen modulua luzera#

|a|

5ektore unitarioa 1 balioko modulua duen bektoreei bektore

unitarioadeitzen zaie.

bektore bat emanda, zein da )ren norabide berbera eta

noranzko berbera dituen bektore unitarioa8Ondoko bektorea da

&

|&|&

&

Adibidea. Demagun dela.

&

&= (",!) |&|="" + (!)" =29odulua)ren paraleloa den eta noranzko bera duen bektore unitarioa hau'e da (

"

2,!

2)


19/34

Bi punturen arteko distantzia

Planoko A eta 5 puntuen arteko distantzia puntubiek determinaturiko bektore


20/34

&

v Bi bektoreren arteko angelua

:zan bitez eta bektoreak oinarri

ortonormal batean. Ondokoa betetzen da

&= (&!, &") v= ( v!, v" )

! ! " "

" " " "

! " ! "! ! " "

. . . >os . . .>os

. .5estalde, . . .

& v & v & v & v & v

& v & & v v& v & v & v

= + = =

+ += +

uur r uur uur uur ur

uur uuruur ur

" " " "

3

. " . 2 +# . >os . " +# . 2

"3,30;; da,

!+ . !

eta >os 3,30;;# @ 20 C

& v

& v

ar3

+

= = =+ +

= =

= =

uur ur

uur uur

Adibidea

&= (",+ )eta v= (2, ) badira,


21/34

Ariketak

!. Oinarri ortonormal batean

bektoreak emanik, kalkula itzazu

&= (",! )eta v= (+, " )

& .v |&|

|v | >os(& , v)

". Lortu bektorearen paraleloa izan

eta 1modulua duen bektorea.

v= (+, ")

+. ?alkula ezazu zein den P = )" , +# eta = + , )#

puntuen arteko distantzia.


22/34

5eraz, r)ren perpendikularra den zuzen batek A, 5# edo )A,)5#

moduko bektore zuzentzailea eduki behar du, biderkadura eskalarra

zero izan dadin.

:zan ere, )5#.A * A.5 = 3 da.

Eta zuzen perpendikularraren malda da.m"=v

"

5

v !5 = BA

" "da.

2 2

Am

B= = =

2

"

Demagun r "' 4 2( * ! = 3 zuzena. 5eraren malda

Zuzen horren perpendikularra den zuzen bat aurkitu nahi izanez gero, badakigu

horren malda izan behar duela1 hots, mota honetako zuzena dela 2' * "( * k= 3

m!=

A

B

r A' * 5( * 6 = 3 eran adierazitako zuzenean bektore zuzentzailea

)5,A# da eta malda

r A' * 5( * 6 = 3 eran adierazitako zuzenean bektore zuzentzailea

)5,A# da eta malda

Zuzen perpendikularrak

malda=m

malda= !m

5eraz, bi zuzen perpendikularren

maldakelkarren alderantzizkoak

eta aurkakoakdira1 hots, m"=!

m!


23/34

Ariketa ebatzia 1

5eraz, zuzen perpendikularra

r)ren malda + da1 beraz, zuzen perpendikularrarena izango

da, alderantzizkoa eta aurkakoa hain zuzen.

!

+

Zuzena motakoa izango da.y =!

+x+b

A", 3# puntutik pasatu behar duenez, 3=!

+. "+b b=

"

+

y =!

+ x+

"

+ x+ +y"= 3 da .

;or ezazu A=(# , 0! puntutik pasatu eta r: = +


24/34

Ariketa ebatzia #

r)ren bektore zuzentzailea , !# da.

5eraz, zuzen perpendikularraren bektore

zuzentzailea )! , # izango da.

-ainera, A",3# puntutik pasatu behar duenez , aurkitu

nahi dugun zuzenaren ekuazioa hau'e izango da

x "!

=y

y= x+0

r x+!

=y";or ezazu A=(# , 0! puntutik pasatu eta

zuzenaren perpendikularra den zuzena$

1 2

-1

1

2

3

A =(2,0)

r x+!

=y"


25/34

2789A7 )ZA7

Demagun bi zuzen m eta m maldadunak

Paraleloak badira: m = m

Perpendikularrak badira:

m=!

m5


26/34

!.Lor ezazu, kasu bakoitzean, A = ! , )!# puntutik pasatu eta

s)ren perpendikularra den zuzena

a# s:' 4 ( * ! = 3 1 b# s:( = )"' *2 1 >#

s .

x=+t

y="+" t

{

".P = !, "# puntua eta r ' * +( = 3 zuzena emanda, aurkitu

ondoko hauek

a# P)tik pasatu eta r)ren paraleloa den zuzenaren ekuazioa.

b# P)tik pasatu eta r)ren perpendikularra den zuzenaren

ekuazioa.

Ariketak


27/34

Puntu baten eta zuzen baten arteko distantzia

alkula dezagun A( ,

dagoen distantzia$

)! Emandako rzuzenaren malda > da1 beraz,perpendikularrarena#izango da. -ainera, A(,

pasatzen denez, r)ren perpendikularra den zuzenaren ekuazioa

ondoko hau da < = -#(+ ! edo #+ . 1# = 0

Orain kalkula dezagun bi zuzen perpendikularren arteko

ebaki)puntua P#, ondoko ekuazio sistema ebatzita

+ # 1 = 0

#+ . 1# = 0 ? 'oluzioa + = eta = # ? P( , #!

Apuntutik rzuzenera arteko distantzia eta A)tik P puntura artekoa bat dira1 hau da

d (A , r ) =d (A , P ) =("; )"

+ ( 2+ )"

="3

d(A , r) =|A . a

!+B . a

"+C|

A" +B"))!@ormula erabilita:

r A' * 5( * 6 = 3 zuzena eta A a!, a

"# puntua emanda

-ure adibidean, r ' 4 "( 4! = 3

eta A+ , ;# direnez gero,

d (A , r ) =|! .++ (") . ;+ (!)|

!" +(" )"=

|!3|

2=

!3

2=

!3 .2

2

= " .2="3

Bi eratan egingo dugu: arrazoituz eta *ormula bat erabiliz

2 4 6

2

4

6

d

P

A=+,;#

')"()!=3


28/34

?alkulatu P)+ , !# puntutik ' 4 ( * " = 3

zuzenera dagoen distantzia. Egizu bi eratan.

Ariketa


29/34

Bi zuzen paraleloren arteko distantzia

reta szuzen paraleloren arteko distantziazuzen bateko edozein puntutatik A# beste

zuzenera dagoen distantzia da

Ariketa$ alkulatu r: + # 1 = 0 eta

s: + # . " = 0 zuzen paraleloen

arteko distantzia$

Oh. Aukera ezazu r)ren puntu bat 4esaterako ! , 3#) eta

kalkulatu puntu horretatik szuzenera dagoen distantzia,

metodo bata zein bestea erabilita.6ol . 22

A

r

s


30/34

Puntu baten simetrikoa zuzenarekiko

alkula dezagun P = (" , ! puntuaren simetrikoa r:#+ . = 0zuzenarekiko

I.r)ren bektore zuzentzailea !,"# da1 beraz, szuzenperpendikularraren zuzentzailetzat )",!# har daiteke

/au da

v = ( ",!)P=(,+ )

}

s . x"

= y +!

s . x+" y!3=3

::. reta szuzenen ebaki) puntua kalkulatzeko ondoko ekuazio)sistema ebatziko dugu" x y++=3

x+" y!3=3 }

7=(,

2, "+

2)

:::. DemagunP8)ren koordenatuak ' , (# direla. 7puntua, erdiko puntua denez

2

=x+

"

eta "+

2

= y++

"

x=!"

2

eta y=+!

2

P 5= (!"

2

,+!

2

)

P8puntua aurkitu behar da, eta hori ondoko hiru pausuak emanda lor daiteke

:# P)tik pasatu eta r)ren perpendikularra den s zuzena bilatu.

::# reta szuzenen arteko7 ebaki)puntua aurkitu.

:::# 7 puntuaP etaP8)n erdiko puntutzat hartu.

-3 -2 -1 1 2 3 4

2

4

6

8

s

P=(4,3)

P

Q

"')(*+=3


31/34

iru puntu ez-alineatuk determinatzen

duten triangeluaren azalera

alkula ezazu A=( # , 1!, B=(


32/34

A(#,-!, B(,#!,eta (","! puntuak emanda:

a! Aurkitu D puntua ABD paralelogramobat izan dadin$

b! Egiaztatu beraren diagonalen erdiguneek

bat egiten dutela$

# da1 beraz.a AB 9C =

AB = (2 , ")(" , + )=(+ , 2) 9C = (, , , )( x , y ) = ( ,x , , y )

},x=+ x=!, y=2 y=!

} 9 = (! , ! )

b ) AC ren erdigunea. ("+,

" ,++,

" )= (+ ,

!

")

B9 ren erdigunea. (2+!

",

"+(! )

") =(+ ,

!

")

}

Puntu bera lortzen dugu

Ariketa ebatzia 1


33/34

Ariketa ebatzia #

a! Aldeen luzerak &auek dira:

d (P ,7)=(!!+ )"

+ (+0 )"

=""!d (P , - )=(0+ )" + ("0 )" =""!d (7 , - )=(0+!!)" + ("+ )" =+,

d'P,7* $ d'P,-*delako, triangelua isoszelea da .

b! 2inarri QR&artuta, altuera (&! P-tik QRzuzenera dagoen distantzia da$

Alt&era =d (P , 7-)=|2 . ++ + . 0 + ,;|

2" + +"=

02

+,

Azalera=

!

"+, .

02

+, =02

"&nitate karrat&

)ren ekuazioa m="+0 +!!

= 2

+ y +=

2

+(x +!!) 2x ++y +;=3

Briangelua isoszelea denez, altuera P

puntutik )ren erdigunera dagoen

distantziaren bidez ere kalkula daiteke.

P(,C!, (-11,! eta (-C,-#! puntuak triangelu

baten erpinak dira$

a! Egiaztatu triangelu &ori isoszelea dela$b! Aurkitu triangeluaren azalera$


34/34

Ariketa ebatzia

Aurkitu A(#,1! eta B(1,-! puntuetatik distantzia

berera dagoen "+-C./=0 zuzeneko puntua$

/au da

I) d (P , A )=d (P , B ) ("x )" + (!y )" =(!x )" + (+y )" "x+0y +2=3

::# P puntuak emandako zuzenekoa izan behar duenez, ')0(*=3 ekuazioa bete behar du.

P=(",!

0)

" x+0 y+2=3, x0 y+==3 }

sistema ebatzita lortzen dugu P puntua

5ila gabiltzan puntua P',(# da, eta bi baldintza bete

behar ditu

:# dP,A# = dP,5#

::# Ppuntua ')0(*=3 zuzenean egotea.

-3 -2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

4x-8y+=0

A(2,1)

B(1,-3)

P

Zuzena planoan.pdf

Documents

Transcript of Zuzena planoan.pdf