ZUZENA

PLANOAN

Arrasate B. H. I. (Arrasate)

Batxilergo Zientifiko-Teknikoa

1. maila

Zuzenaren ekuazioak

Zuzen bat determinatzeko, bi puntu behar dira, edo bestela, puntu bat eta norabidea. Norabide bektoreari bektore zuzentzailea esaten zaio.

Demagun zuzena A=(a1 , a2) puntutik pasatzen dela eta bektore zuzentzailea = (v1 , v2) dela.

v

A

P

O

Y

X

va

v

Ekuazio bektoriala (x , y) = (2 , -1) + k . (-3 , 4) (x , y) = (a1 , a2) + k . (v1 , v2)

x = a1 + k . v1

y = a2 + k . v2

Ekuazio parametrikoak

x = 2 − 3ky =−1 4k¿ }¿

¿ ¿

O P = O A A P edo p = a k . vGoiko irudian honako hau dugu:

Zuzen hori era askotan adieraz daiteke. Adibide baten bidez azalduko ditugu era guztiak. Har ditzagun A = (2 , -1) puntua eta bektore zuzentzailea.v = −3 , 4

x − 2−3

=y 1

4Ekuazio jarraitua x − a1

v1=

y −a 2

v2

4x-8 = -3y-3 ; 4x+3y-5=0

v = v 1 , v 2 =−3 , 4

4x + 3y – 5 =0

Ekuazio orokorra edo ekuazio inplizitua

Ax + By + C =0Era horretan adierazita, bektore zuzentzailea (-B , A) da, zeren A = v2 eta B = -v1 baitira. Gure adibidean (-3, 4) bektorea.

Puntu-malda ekuazioa

Ekuazio jarraitutik, ondokoa ateratzen da: y1 = −43 x−2

zatidura da. Zatidura horri zuzenaren malda deritzo eta m letraz adierazten da.

−43

v 2

v1

y – a2 = m (x – a1)

Ekuazio esplizitua

y =−43

x 53

Ekuazio orokorrean y bananduta, ondokoa lortzen da:

y = m.x + b malda = x−ren koefizientea =−43

Zuzenaren malda

y2 – y1

Bi puntu emanda, P1=(x1,y1) eta P2=(x2,y2), puntu horietatik pasatzen den

zuzenaren malda hau da:

m=v2

v1=tg α =

y 2 − y1

x2 − x1=y-ren hazkundea

x-ren hazkundea

Adibidea. Zein da A=(1,-3) eta B=(3,2) puntuetatik pasatzen den zuzenaren malda?

m =2 − −3

3 − 1= 5

2

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)

r

x2 – x1

α

Malda (m), zatidura, eta zuzenak abzisa-ardatzarekin

eraturiko angeluaren tangentea elkarren berdinak dira.

v 2

v1α

Bi puntutatik pasatzen den zuzenaDemagun zuzenaren bi puntu ezagutzen ditugula: A=(1 , -3) eta B=(4 , 2). Zein da beraren ekuazioa?

1 2 3 4 50X

-4

-2

2

0Y

ABﾮ

A

Bv =AB = 4 − 1 , 2 − −3 = 3 , 5

Beraz, zuzenaren ekuazioa hauxe da:

I) Puntutzat bata zein bestea har daiteke, adibidez A = (1 , -3)

Bektore zuzentzailea

Egin dezagun bi eratan:

1 ( 3) 5 3 14 0

3 5

x yx y

II) Puntutzat bata zein bestea har daiteke, adibidez A = (1 , -3) . Eta

2 1

2 1

2 ( 3) 5malda =

4 1 3

y ym

x x

Zuzenaren ekuazioa: y-a2 = m (x- a1) ; hau da,5

( 3) ( 1) 5 3 14 03

y x x y

(3,0)

(0,2)

Ekuazio kanonikoa edo segmentarioa

xa

yb

= 1Ezagutzen ditugun bi puntuak zuzenaren eta ardatzen arteko ebaki-puntuak badira,

(a , 0) eta (0 , b) hain zuzen, era honetan idatzi ahal dugu zuzenaren ekuazioa:

1 2 3 6 03 2

x yx y

Demagun zuzena (3,0) eta (0,2) puntuetatik pasatzen dela. Beraren ekuazioa:

a = 3 eta b = 2

1.- Idatz ezazu (0 , -3) puntutik pasatu eta bektore zuzentzailea duen zuzenaren ekuazioaren formak.

v = −2 , 4

Ariketak

2.- Zuzen baten ekuazio orokorra 2x + y –1 = 0 izanda, idatz itzazu zuzen horren ekuazio bektoriala, parametrikoak eta ekuazio jarraitua,. Zein da bektore zuzentzailea?

v = 1 , −3

r :x2

= y1

3.- Aurkitu A(2 , 0) puntutik pasatu eta bektore zuzentzailea duen zuzenaren ekuazio orokorra.

4.- ekuazioko zuzena emanik, zein da bektore zuzentzailea? Eta malda?. Eman zuzeneko puntu bat. Ondoren, adierazi zuzena era esplizituan.

5.- r: 3x – 2y +1 = 0 ekuazioko zuzena emanda, zein da bektore zuzentzailea? Eta malda?. Eman zuzeneko puntu bat. Ondoren, adierazi zuzena era parametrikoan.

6.- Aurkitu P=(2 , 1) puntutik pasatu eta malda –3 duen zuzenaren ekuazioa.

7.- Zein dira bi ardatz cartesiarren (OX eta OY) ekuazioak?

8.- A eta B puntuak emanda, lor itzazu bi puntu horietatik pasatzen den zuzenaren ekuazioa ondoko bi kasuetan:a) A=(2 , 1) eta B=(3 , -1)b) A=(2 , 0) eta B=(0 , -1)

Planoko bi zuzenak ebakitzaileak, paraleloak edo kointzidenteak izan daitezke. Zein diren jakiteko, nahikoa da beraren ekuazioez osaturiko ekuazio-sistema ebaztea.

AriketaEsan zein diren r eta s zuzenen arteko posizio erlatiboak.a) r: 5x – 3y + 2 = 0 ; s: -5x+3y – 2 = 0b) r: 2x – 3y + 1 = 0 ; s: -3x + 2y – 2 = 0c) r: -3x + 5y – 4 = 0 ; s: 6x – 10y + 7 = 0

Adibidea

Ekuazio-sistemaren soluzioa

Ebakitzaileak

-x + y + 1= 02x + 3y + 3 = 0

Soluzio bakarra: x = 0 ; y = -1

Puntu komun bat dute: P(0 , -1)

Paraleloak

x + 2y –2 = 02x + 4y –1 =0 Ez du soluziorik

Ez dute puntu komunik

Kointzidenteak

-x + y –1 = 02x – 2y +2 = 0 Infinitu soluzio

Puntu guztiak komunak dira

12

=24

≠−2−1

−12

≠13

−12

=1

−2=

−12

Bi zuzenen posizio erlatiboak

Paralelotasun baldintza

Ebazpena: Paraleloa bada x eta y-ren koefizienteak proportzionalak izan behar dira (berdinak ere izan daitezke), eta gai independientea , C, ez-proportzionala. Beraz, bilatzen ari garen zuzenaren ekuazioa honelakoa izango da: x – 2y + k = 0

Zuzena (-1,3) puntutik pasatzen denez, ondokoa bete behar du:-1 – 2.3 + k = 0 ; -7 + k = 0 ; k = 7

Bilaturiko zuzenaren ekuazioa hau da: x – 2y + 7 = 0

Bi zuzen paralelok malda (m) bera dute, edo – beste era batean esanda– bektore zuzentzaileen osagaiak elkarren proportzionalak dira.

Ariketa ebatzia 1

Idatzi r: x – 2y + 3 = 0 zuzenarekiko paraleloa izanik (-1,3) puntutik pasatzen den zuzenaren ekuazioa.

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x- 2y+3=0

A=(-1,3)

x−2−2

=y3

3

Ariketa ebatzia 2Lortu (-1 , 2) puntutik pasatu eta ekuazioko zuzenaren paraleloa den zuzenaren ekuazioa.

A=−1,2 v =−2,3

¿ }¿

¿ ⇒ r :x1−2

= y−23

¿

Bektore zuzentzailea (-2,3) da. Zuzen horren edozein zuzen paraleloren bektore zuzentzaileak (-2,3) bektorearen proportzionalak dira. Bereziki, bektore hori har dezakegu.

Ariketa ebatzia 3Lortu (0,5) puntutik pasatu eta y = -2x +1 ekuazioko zuzenaren paraleloa den zuzenaren ekuazioa 

Kasu honetan, agerian dago maldaren balioa: -2Bilatzen ari garen zuzenak malda berbera du. Beraz, ekuazioa honelakoa izango da: y = -2x + bB konstantearen balioa lortzeko, ordezkatu egingo dugu enuntziatuan emandako puntua, hots, (0,5):

5 = -2.0 + b ; b = 5Bilaturiko zuzenaren ekuazioa hauxe da: y = -2x + 5

-1.5 -1 -0.5

1

2,A=(-1,2)

x−2−2

=y3

3

Idatz itzazu (2 , 3) puntutik pasatu eta ondoko zuzenen paraleloak diren zuzenen ekuazioak: 

a) y = -3x +2

b)

c) -3x + y = -5

−x21

=y−1−3

Ariketa:

OX ardatzaren ekuazioa: y = 0 da.Y

X

y = 2

y = 0

Ok ∈R den .

OX ardatzaren paraleloa den zuzen baten ekuazioa, berriz, y = k , non

OY ardatzaren ekuazioa: x = 0 da.

k ∈R den .

OY ardatzaren paraleloa den zuzen batena, berriz, x = k , non

X

Y

x = 3

O

x = 0

Bi bektoreren arteko biderketa eskalarra

α

u

v

Bai zenbakiak dira; beraz, zenbaki bat da. Hortik datorkio, hain zuzen, izena: eskalar hitza.

∣u ∣, ∣v ∣ eta bai cos α u . v

Era honetan definitzen dugu:

Adibidea.- Eman dezagun ∣u ∣= 3 , ∣v ∣= 4 eta α = 600 direla :u . v = 3 . 4 . cos 600 = 12 .

12

= 6

Bektoreen arteko eragiketa berezi bat da. Bi bektoreren biderkadura eskalarrari zenbaki erreal bat dagokio: V 2 . V 2 R

u . v =∣u ∣ . ∣v ∣ . cos α

u ⊥ v ⇒ u . v = 0

Izan ere, cos α = cos 900 =0 da .

Ondorio garrantzitsua: “Bi bektore perpendikularrak badira, haien biderkadura eskalarra zero da”.

Eta alderantziz: “Nuluak ez diren bi bektoreren biderkadura eskalarra zero bada, bektoreak perpendikularrak dira”.

u

v

1.- Bi bektoreren biderkadura eskalarra hauxe da: bektore baten moduluaren eta beste bektoreak lehenengoaren gainean sortzen duen proiekzioaren arteko biderkadura.

2.- Trukatze-propietatea: u . v =v . u

3.- Banatze-propietatea: u . v w = u . v u . w

4. Elkartze-propietatea:

λ u . v = λ u . v , λ edozein zenbaki erreal izanik .

Adibidez, 3 u . v = 3 u . v

Propietateak

u . v =∣u ∣ . ∣v ∣ . cos α =∣u ∣ . v −ren proiekzioa u -ren gainean

=∣u ∣ . OM

Angelua zorrotza bada emaitzaren zeinua + izango da, eta kamutsa bada zeinua – izango da.

. cos

proiekzioa u gainean

v

v ren ren

��������������

O M

u

v

α

Demagun oinarria ortonormala dela eta oinarri horretan

Adierazpen analitikoa

u eta v bektoreen osagaiak u 1 , u 2 eta v 1 , v 2 direla, hurrenez hurren.

u . v = u1 . v 1 u 2 . v 2

v = v 1 , v 2

u = u1 , u 2

u = 1 , -2 eta v =3,4 bektoreak emanda, u . v = 1 . 3 −2 . 4 =−5

Esaterako:

Ondokoa betetzen da:

Oharra: bektore jakin baten ortogonala den bektore bat lortzeko, nahikoa da beraren osagaiak ordenaz aldatzea eta bietako baten zeinua aldatzea.

Adibidez, (2 , -3) eta (3 , 2) bektoreak perpendikularrak dira, zeren 2.3 + (-3).2 = 0 baita.

KONTUAN IZAN!

Biderketa eskalarraren hiru definizio:

I)

II)

III) (oinarria ortonormala den kasuan)

u . v =∣u ∣ . ∣v ∣ . cos α

u . v =∣u ∣ . OM

u . v = u1 . v 1 u 2 . v 2

Emaitza ZENBAKI ERREAL BAT da.

a u . v b v −ren proiekzioa u −ren gainean

c 2u . v d u v . v

u = 1 , -2 eta v =−2,2

Ariketak

1. Oinarri ortonormal batean

bektoreak emanda, kalkulatu:

a = 1 , 3 ; b = k , −2

2. Aurkitu k-ren balioa, ondoko bektoreak ortogonalak (perpendikularrak) izan daitezen:

   Bektore baten modulua

Orokorrean, u = u1 , u 2 ∣u ∣= u 12 u 2

2bektore baten modulua hauxe da:

-1

X

Y

3

a = 3 , −1

-ren bidez adierazten da eta ondoko

balioa da:

a = 3 , −1

∣a ∣= 32 −1 2 = 10

Adibidea. bektorearen modulua (luzera)

∣a∣

Bektore unitarioa 1 balioko modulua duen bektoreei bektore unitarioa deitzen zaie. bektore bat emanda, zein da -ren norabide berbera eta noranzko berbera dituen bektore unitarioa? Ondoko bektorea da:

u

∣u ∣u

u

Adibidea. Demagun dela. u

u = 2 , −1 ∣u ∣= 22 −1 2 = 5Modulua:

-ren paraleloa den eta noranzko bera duen bektore unitarioa hauxe da: 2

5,−1

5

   Bi punturen arteko distantzia

Planoko A eta B puntuen arteko distantzia puntu biek determinaturiko bektore finkoaren modulua da. Eta d(A , B) bidez adieraziko dugu.

AB = b1 − a1 , b2 − a2

d A , B = ∣AB∣= b 1 − a 1 2 b 2 − a 2

2

d A , B = 4 1 2 2 − 4 2 = 25 4 = 29

A=(a1,a2)

B=(b1,b2)

X

Y

A B

Esate baterako, A = (-1 , 4) eta B = (4 , 2) puntuak badira:

-1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4A

B

α

u

v   Bi bektoreren arteko angelua

Izan bitez eta bektoreak oinarri ortonormal batean. Ondokoa betetzen da:

u = u1 , u 2 v = v 1 , v 2

1 1 2 2

2 2 2 21 2 1 21 1 2 2

. . . cos . . .cos

. .Bestalde, . . .

u v u v u v u v u v

u v u u v vu v u v u v

�������������������������������������������������������� ����������������������������

��������������������������������������������������������

2 2 2 2

0

. 2 . 5 ( 3) . 4cos

. 2 ( 3) . 5 4

20,0866 da,

13 . 41

eta cos ( 0,0866) 94 58 '

u v

u v

arc

����������������������������

����������������������������

Adibidea

u = 2 , −3 eta v = 5 , 4 badira,

2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

u®

v®

α

Ariketak

1. Oinarri ortonormal batean bektoreak emanik, kalkula itzazu:

u = 2 , 1 eta v = −3 , 2

u . v

∣u∣∣v ∣ cos u , v

2. Lortu bektorearen paraleloa izan eta 1 modulua duen bektorea.

v = −3 , 2

3. Kalkula ezazu zein den P = (-2 , 3) eta Q = (3 , -4) puntuen arteko distantzia.

Beraz, r-ren perpendikularra den zuzen batek (A, B) edo (-A,-B) moduko bektore zuzentzailea eduki behar du, biderkadura eskalarra zero izan dadin. Izan ere, : (-B).A + A.B = 0 da. Eta zuzen perpendikularraren malda da. m2=

v2'

v1' =

BA

2 2da.

5 5

Am

B

−52

Demagun r: 2x – 5y + 1 = 0 zuzena. Beraren malda

Zuzen horren perpendikularra den zuzen bat aurkitu nahi izanez gero, badakigu horren malda izan behar duela; hots, mota honetako zuzena dela: 5x + 2y + k = 0

m1=−AB

r: Ax + By + C = 0 eran adierazitako zuzenean bektore zuzentzailea (-B,A) da eta malda r: Ax + By + C = 0 eran adierazitako zuzenean bektore zuzentzailea (-B,A) da eta malda

Zuzen perpendikularrak

m alda = m

malda=−1m

Beraz, bi zuzen perpendikularren maldak elkarren alderantzizkoak eta aurkakoak dira; hots, m2=−

1m1

Ariketa ebatzia 1

Beraz, zuzen perpendikularra:

r-ren malda 3 da; beraz, zuzen perpendikularrarena izango da, alderantzizkoa eta aurkakoa hain zuzen.

−13

Zuzena motakoa izango da. y=−13

x b

A(2, 0) puntutik pasatu behar duenez, 0=−13

. 2 b ⇒ b=23

y=−13

x 23

⇒ x 3y −2 = 0 da .

Lor ezazu A=(2 , 0) puntutik pasatu eta r: y = 3x – 6 zuzenaren perpendikularra den zuzena.

-1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

A=(2,0)

y = 3x-6

Ariketa ebatzia 2

r-ren bektore zuzentzailea (4 , 1) da.

Beraz, zuzen perpendikularraren bektore zuzentzailea (-1 , 4) izango da.

Gainera, A(2,0) puntutik pasatu behar duenez , aurkitu nahi dugun zuzenaren ekuazioa hauxe izango da:

x−2−1

=y4

⇒ y =−4x 8

r :x1

4= y−2Lor ezazu A=(2 , 0) puntutik pasatu eta

zuzenaren perpendikularra den zuzena.

1 2

-1

1

2

3

A =(2,0)

r :x1

4= y−2

KONTUAN IZAN!

Demagun bi zuzen m eta m’ maldadunak:

Paraleloak badira: m = m’

Perpendikularrak badira: m=−1

m '

1. Lor ezazu, kasu bakoitzean, A = (1 , -1) puntutik pasatu eta s-ren perpendikularra den zuzena:

a) s: x – 4y + 1 = 0 ; b) s: y = -2x +5 ; c) s :

x=3−ty=22t

¿¿ {¿ ¿ ¿

1. P = (1, 2) puntua eta r: x + 3y = 0 zuzena emanda, aurkitu ondoko hauek:

a)   P-tik pasatu eta r-ren paraleloa den zuzenaren ekuazioa.

b)  P-tik pasatu eta r-ren perpendikularra den zuzenaren ekuazioa.

Ariketak:

Puntu baten eta zuzen baten arteko distantziaKalkula dezagun A(3 , 6) puntutik r: x – 2y – 1 = 0 zuzenera dagoen distantzia.

I) Emandako r zuzenaren malda ½ da; beraz, perpendikularrarena –2 izango da. Gainera, A(3,6) puntutik pasatzen denez, r-ren perpendikularra den zuzenaren ekuazioa ondoko hau da: y – 6 = -2(x – 3) edo 2x + y –12 = 0

Orain kalkula dezagun bi zuzen perpendikularren arteko ebaki-puntua (P), ondoko ekuazio sistema ebatzita:

x – 2y –1 = 02x + y –12 = 0 ; Soluzioa x = 5 eta y = 2 ; P(5 , 2)

A puntutik r zuzenera arteko distantzia eta A-tik P puntura artekoa bat dira; hau da:

d A ,r = d A , P = 2 − 6 2 5 − 3 2 = 20

d A , r =∣A . a1 B . a2 C∣

A 2 B 2

II) Formula erabilita:

r: Ax + By + C = 0 zuzena eta A (a1 , a2) puntua emanda:

Gure adibidean, r: x – 2y –1 = 0 eta A(3 , 6) direnez gero,

d A , r =∣1 . 3 −2 . 6 −1 ∣

12 −2 2=

∣−10∣5

= 105

= 10 . 55

= 2.5 = 20

Bi eratan egingo dugu: arrazoituz eta formula bat erabiliz

2 4 6

2

4

6

d

P

A=(3,6)

x-2y-1=0

Kalkulatu P(-3 , 1) puntutik x – y + 2 = 0 zuzenera dagoen distantzia. Egizu bi eratan.

Ariketa

Bi zuzen paraleloren arteko distantzia

r eta s zuzen paraleloren arteko distantzia zuzen bateko edozein puntutatik (A) beste zuzenera dagoen distantzia da

Ariketa. Kalkulatu r: x – 2y –1 = 0 eta s: x – 2y + 4 = 0 zuzen paraleloen arteko distantzia.

Oh.: Aukera ezazu r-ren puntu bat –esaterako (1 , 0)- eta kalkulatu puntu horretatik s zuzenera dagoen distantzia, metodo bata zein bestea erabilita.

Sol . : 55

A

r

s

Puntu baten simetrikoa zuzenarekikoKalkula dezagun P = (4 , 3) puntuaren simetrikoa r: 2x – y + 3 = 0 zuzenarekiko

I. r-ren bektore zuzentzailea (1,2) da; beraz, s zuzen perpendikularraren zuzentzailetzat (-2,1) har daiteke

Hau da:

v = −2,1P=4,3

¿ }¿

¿ ⇒ s :x−4−2

= y−31

⇒ s : x2y−10=0 ¿

II.     r eta s zuzenen ebaki- puntua kalkulatzeko ondoko ekuazio-sistema ebatziko dugu:2x−y3=0x2y−10=0

¿ }¿

¿ ⇒ Q= 45

,235

¿

I.  Demagun P’-ren koordenatuak (x , y) direla. Q puntua, erdiko puntua denez:

45

=x 4

2eta

235

=y 3

2⇒ x=−

125

eta y =315

⇒ P ' = −12

5,

315

P’ puntua aurkitu behar da, eta hori ondoko hiru pausuak emanda lor daiteke:

I) P-tik pasatu eta r-ren perpendikularra den s zuzena bilatu. II)  r eta s zuzenen arteko Q ebaki-puntua aurkitu. III) Q puntua P eta P’-n erdiko puntutzat hartu.

-3 -2 -1 1 2 3 4

2

4

6

8

s

P=(4,3)

P´

Q

2x-y+3=0

Hiru puntu ez-alineatuk determinatzen duten triangeluaren azalera

Kalkula ezazu A=( 2 , 1), B=(6,2) eta C=(3,5) erpinak dituen triangeluaren azalera

Azalera =12

oinarria . altuera

Oinarri A eta B puntuen arteko distantzia hartuta, altuera C puntutik AB zuzenera arteko distantzia da.

¿ O inarria = d A , B = 6 − 2 2 2 − 1 2 = 17

• Altuera (h) = d(C , rAB)

Lehenik A eta B tik pasatzen den zuzena kalkulatuko dugu:

v =AB = 4 , 1 A = 2 , 1

¿ }¿

¿ ⇒ x − 24

= y − 11

⇒ x − 4y 2 = 0 ¿

Ondoren, d(C , r): d C , r =∣3 − 4 . 5 2∣

12 −4 2=

∣−15∣17

= 15

17

• Azkenik, azalera: Azalera =12

oinarria . altuera =12

. 17 .15

17=

152

unitate karratu

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

A=(2,1)

B=(6,2)

C=(3,5)

O

1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

4

A

B

C

D

A(2,-3), B(5,2),eta C(4,4) puntuak emanda:a)    Aurkitu D puntua ABCD paralelogramo

bat izan dadin.b)   Egiaztatu beraren diagonalen erdiguneek

bat egiten dutela.

) da; beraz:a AB DC����������������������������

AB = 5 , 2−2 , −3 =3 , 5 DC = 4 , 4 −x , y = 4−x , 4− y ¿ }¿

4−x=3 x=14− y=5 y=−1

¿ ⇒ ¿ ¿ }¿¿ D = 1 , −1 ¿

b AC− ren erdigunea: 24

2,−34

2 = 3 ,

12

BD− ren erdigunea: 51

2,

2−1 2

= 3 ,12

¿ }¿¿ ⇒ Puntu bera lortzen dugu ¿

Ariketa ebatzia 1

-10 -8 -6 -4 -2 2

-2

2

4

6

8 P

Q

R

h

Ariketa ebatzia 2

a) Aldeen luzerak hauek dira:

d P ,Q = −11−3 2 3−8 2 = 221

d P , R =−8−3 2 −2−8 2 = 221

d Q , R =−811 2 −2−3 2 = 34

d(P,Q) = d(P,R) delako, triangelua isoszelea da .

b) Oinarri QR hartuta, altuera (h) P-tik QR zuzenera dagoen distantzia da.

Altuera = d P , QR =∣5 . 3 3 . 8 46∣

52 32= 85

34

Azalera = 12

34 .8534

= 852

unitate karratu

QR-ren ekuazioa: m=−2−3−811

=−53

y−3=−53 x11 5x3y46=0

Triangelua isoszelea denez, altuera P puntutik QR-ren erdigunera dagoen distantziaren bidez ere kalkula daiteke.

P(3,8), Q(-11,3) eta R(-8,-2) puntuak triangelu baten erpinak dira.a)   Egiaztatu triangelu hori isoszelea dela.b)   Aurkitu triangeluaren azalera.

Ariketa ebatzia 3

Aurkitu A(2,1) eta B(1,-3) puntuetatik distantzia berera dagoen 4x-8y+7=0 zuzeneko puntua.

Hau da:

I d P , A = d P , B ⇒ 2− x 2 1− y 2 = 1− x 2 − 3− y 2 2x 8y5 =0

II) P puntuak emandako zuzenekoa izan behar duenez, 4x-8y+7=0 ekuazioa bete behar du.

P=−2 , −18

2x8y5=04x−8y7=0¿ }¿

¿¿

sistema ebatzita lortzen dugu P puntua:

Bila gabiltzan puntua P(x,y) da, eta bi baldintza bete behar ditu:I)     d(P,A) = d(P,B)II)    P puntua 4x-8y+7=0 zuzenean egotea.

-3 -2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

24x-8y+7=0

A(2,1)

B(1,-3)

P