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iDISEO Y CONSTRUCCION DE CIMENTACIONESLUIS GARZA VASQUEZ., I.C. M.I.UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIASEDE MEDELLNFACULTAD NACIONAL DE MINASMEDELLNJUNIO , 2000iiPROLOGOEl diseo estructural de las cimentaciones, por si mismo, representa la frontera yunindeldiseoestructuralylamecnicadesuelos.Comotal,compartelashiptesis,suposicionesymodelosdeambasdisciplinas,quenosiemprecoinciden.La razn de ser de estas notas, as como delcurso quese imparte como partedelprogramadelacarreradeIngenieraCivilenlaFacultaddeMinasdelaUniversidadNacional,SedeMedelln,esladehacerunaversincrticadelosconceptosconvencionalesdeldiseodeloselementosestructuralesdelacimentacin,desdeelpuntodevistadelaMecnicadeSuelosyelAnlisisdeEstructuras,conelobjetodehacermscompatibleslosmodelosqueambasdisciplinas manejan en sus respectivas reas.La poca bibliografa que integre estos dos modelos, as como el hecho de que elautor haya sido formado en las dos disciplinas, ha sido la razn de la elaboracinde estas notas.EspecialagradecimientomerecenlosIngenierosJorgeAlbertoLpez,JuanDiegoRodrguezyDoralbaValenciaporlarecoleccindelmaterialysuordenamiento,losestudiantesCamiloRamrezyGuillermoGaviriaporlacorreccion de los ejemplos, el Tecnlogo Luis Fernando Usme por los dibujos y laseoritaBeatrizElenaCarvajalporlascorrecciones.Sinellos,nohubierasidoposible poner en blanco y negro las notas dispersas.iiiCONTENIDOPg.LISTA DE FIGURAS VIRESUMEN1. INTRODUCCIN 102 GENERALIDADES DE LOS SISTEMAS DE CIMENTACIN122.1CIMENTACIONES SUPERFICIALES 122.2CIMENTACIONES PROFUNDAS 143 DISEO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES 163.1VIGAS DE FUNDACIN 163.1.1La Reduccin de asentamientos diferenciales. 173.1.2Atencin de momentos generados por excentricidades no consideradasen el diseo. 183.1.3El mejoramiento del comportamiento ssmico de la estructura.193.1.4El arriostramiento en laderas. 223.1.5La disminucin de la esbeltez en columnas. 233.1.7Dimensiones mnimas. 233.1.8Refuerzo longitudinal. 243.1.9Refuerzo transversal. 24iv3.2DISEO DE ZAPATAS 253.2.1Zapata concntrica. 253.2.1.1Obtener la carga de servicio P. 253.2.1.2Determinar el ancho B de la zapata. 263.2.1.3Suponer espesor h de la zapata. 263.2.1.4Revisar punzonamiento o cortante bidireccional. 283.2.1.5Revisar cortante unidireccional. 303.2.1.6Revisar el momento para calcular el acero de refuerzo. 323.2.1.7Revisar el aplastamiento. 343.2.1.8Detalles del refuerzo. 353.2.2Zapatas con Mu 0, Pu 0 473.2.2.1Procedimiento de diseo 493.2.3Zapatas conPu 0, Mx 0, My 0 643.2.4Zapata medianera 773.2.4.1Caso de carga axial liviana: Anlisis de zapata medianerarecomendado por Enrique Kerpel 783.2.4.2Caso de carga axial mediana: Anlisis de zapata medianera con vigaarea, recomendado por Jos Calavera. 793.2.4.2.1Zapata medianera con distribucin uniforme de presiones y reaccinmediante viga area. 793.2.4.2.2Zapata medianera con distribucin variable de presiones y reaccinmediante viga area. 813.2.5Zapata esquineras 1073.2.6Zapata enlazadas 1253.2.7ZAPATAS CONTINUAS 1283.2.8LOSAS DE CIMENTACIN 1343.2.8.1Losas de cimentacin por contacto 1343.2.8.2Placas de flotacin. 1393.2.8.3Cajones de flotacin 1393.2.9PILAS CORTAS 141v3.2.10PILOTES 1423.2.11PILAS LARGAS (CAISSONS) 1454 MODELACIN DEL ANLISIS INTERACCIN SUELO ESTRUCTURA(ISE) 1475 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ERROR! MARCADOR NODEFINIDO.REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.viLISTA DE FIGURASPg.FIGURA 1.Cimentacin con viga de fundacin 16FIGURA 2.Momento inducido en un extremo de la viga de fundacin por elasentamiento diferencial 18FIGURA 3.La viga de fundacin toma los momentos resultantes del anlisisestructural y la zapata la carga axial. 18FIGURA 4. Vigas para arriostramiento en edificios construidos en laderas.23FIGURA 5.Zapata concntrica 25FIGURA 6.Cortante bidireccional en zapata que soporta columna, pedestal omuro de concreto. 28FIGURA 7. Cortante bidireccional en zapata que soporta columna metlica.29FIGURA 8.Cortante unidireccional en zapata que soporta columna, pedestal omuro de concreto. 31FIGURA 9. Cortante unidireccional en zapata que soporta columna metlica.31FIGURA 10.Seccin crtica para el clculo del momento en zapata que soportacolumna, pedestal o muro de concreto. 32FIGURA 11.Seccin crtica para el clculo del momento en zapata que soportacolumna metlica (a) y muro de mampostera estructural (b). 33viiFIGURA 12.Modelo Geomtrico y estructural par la verificacin delaplastamiento. 34FIGURA 13.Modelo estructural en zapata con Mu 0, Pu 0. Cuando e < L/6.48FIGURA 14.Zapata con Mu 0, Pu 0. Cuando e > L/6 48FIGURA 15.Zapata con Pu 0, Mx 0, My 0 64FIGURA 16.Zapata Medianera. 77FIGURA 17.Modelo estructural de la zapata medianera sin momento aplicado enla columna presentado por Enrique Kerpel. 78FIGURA 18.Modelo estructural de la zapata medianera con distribucin uniformede presiones con viga area, presentada por Jos Calavera. 80FIGURA 19.Modelo estructural de la zapata medianera con distribucin variablede presiones con viga area, presentada por Jos Calavera. 81FIGURA 20.Modelo del giro y del asentamiento en zapata medianera con vigaarea presentado por Jos Calavera. 82FIGURA 21.Geometra del modelo estructural de la zapata esquinera con dosvigas areas presentado por Jos Calavera. 107FIGURA 22.Modelo estructural de la zapata esquinera con distribucin variablede presiones y dos vigas areas. 108FIGURA 23.Momentos que actan sobre la zapata esquinera. 110FIGURA 24. Distribucin del acero de refuerzo en la zapata esquinera.111FIGURA 25.Geometra y modelo estructural de la zapata enlazada. 126FIGURA 26.Apoyo de la viga de enlace en la zapata central. 127FIGURA 27.Alternativa de apoyo de la viga de enlace en la zapata medianera.128FIGURA 28.Seccin crtica para el clculo del momento en zapata continua.130FIGURA 29.Alternativa de cimentacin consistente en un sistema o entramado dezapatas continuas en dos direcciones. 131FIGURA 30.Detalle donde se indica la interrupcin del apoyo en una zapatacontinua cuando se presentan vanos en la mampostera. 133FIGURA 31.Diversas formas de disear y construir una losa de cimentacin.136viiiFIGURA 32.Detalle donde se indica la no conveniencia de losas de cimentacinmuy alargadas, debido a la generacin de momentos muy altos en el centro de lalosa. 138FIGURA 33.Articulacin en la losa realizada mediante la configuracin ycolocacin del acero de refuerzo. 138FIGURA 34.Detalle de una pila corta 141FIGURA 35.Trabajo de los pilotes apoyados en estratos de diferente calidad143FIGURA 36. Aporte de resistencia por punta y por friccin en los pilotes143FIGURA 37.Pilotes por friccin construidos monolticamente con una losa decimentacin 144ix101.INTRODUCCINEl hecho de que el alto grado de especializacin con que se realiza el diseo hoyendahagaquelosingenierosestructuralesylosingenierosdesuelostengandiferentes enfoques, afecta en cierto modo el producto final en que se encuentranestas dos disciplinas: el diseo de la cimentacin.En efecto, para el trabajo normal el anlisis estructural se realiza normalmente conlashiptesisdeque laestructuradelosedificiosestempotradaenelsuelo,esdecir,apoyadaenunmaterialindeformable.Esta,desgraciadamente,noesunacondicin comn en fundaciones.De otro lado, el ingeniero de suelos, para el clculo de las condiciones de serviciopor asentamiento del suelo, desprecia la estructura, cuyo modelo son solo fuerzascomo resultante de las reacciones.Larealidadesquenielsueloesindeformablenilaestructuratanflexiblecomoparaquesusefectosnoestninterrelacionados.Alfinaldecuentas,elsistemasuelo-estructura es un continuo cuyas deformacionesdel uno dependen del otro.Sinembargo,porfacilidadenlosclculos,sesuelehacercasoomisodeestadependencia.El caso ms reciente es el que se utiliza para el diseo de zapatascomunes.ElprocedimientonormalcasiuniversalmenteaceptadoesquesediseentodasparatransmitirlamismapresinadmisiblequerecomiendaelIngeniero de Suelos.Basado en este valor, que es con mucho lanica liga de losIngenierosdesuelosyestructuras,sedimensionanlaszapatasparatodoslostamaos, sobre la premisa comn de la resistencia de materiales de que a igualespresiones corresponden iguales deformaciones.11Esunacosasabidaen laMecnicadeSuelos,queloanteriorno esas,yaquepor ser el suelo un continuo, las deformaciones, adems de la presin, dependendeltamaodelafundacin.Amayortamao,mayorasentamientoparaigualespresiones.Luego entonces, con el procedimiento anterior, se estn diseando laszapatas para que se generen asentamientos diferenciales. Sera ms compatiblecon la hiptesis de diseo, disear para iguales asentamientos en lugar de igualespresiones.El ejemplo anterior solo ilustra una de lasmuchas incongruencias quesepresentanporelmanejodehiptesisdetrabajodistintosenambasdisciplinas,eneldiseorutinario,peroqueporloscriteriosconservadoresqueusualmenteestnincluidosenladeterminacindelacapacidaddecargaadmisible,nonecesariamentedesembocanenpatologasenlamayoradeloscasos.El ingeniero G.P. Tschebotarioff, quien dedic gran parte de su vida a la Patologade Cimentaciones, deca que ms del80% de los casos patolgicos que l habaestudiadohabansidocausadosprincipalmenteporlassiguientescausas:losingenierosestructuralesnocomprendanadecuadamentelosproblemasdesuelos;losingenierosdesuelosnotenanclarosdespreciabanlosconceptosestructurales;losingenierosconstructoresnotuvieronencuentalasrecomendaciones de los Ingenieros de Suelos los Estructurales.La apreciacin anterior puede seguir siendo vlida si no se hacen esfuerzos paraaclararlosconceptosqueambasdisciplinasdebenmanejarrelacionadasconsuproblema comn: la Ingeniera de Cimentaciones, y es la motivacin principal quese pretende subsanar con este trabajo.122.GENERALIDADES DE LOS SISTEMAS DE CIMENTACINSe entiende por cimentacin a la parte de la estructura que transmite las cargas alsuelo.Cadaedificacindemandalanecesidadderesolverunproblemadecimentacin. En la prcticase usan cimentaciones superficiales ocimentacionesprofundas, las cuales presentan importantes diferencias en cuanto a su geometra,alcomportamientodelsuelo,asufuncionalidadestructuralyasussistemasconstructivos.2.1CIMENTACIONES SUPERFICIALESUnacimentacinsuperficialesunelementoestructuralcuyaseccintransversales de dimensiones grandes con respecto a la altura y cuya funcin es trasladar lascargas deuna edificacin aprofundidades relativamente cortas,menores de4maproximadamente con respecto al nivel de la superficie natural de un terreno o deun stano.En una cimentacin superficial la reaccin del suelo equilibra la fuerza transmitidaporlaestructura.Estareaccindefuerzas,quenotieneunpatrndeterminadode distribucin, se realiza en la interfase entre el suelo y la seccin transversal dela cimentacin que est en contacto con l.En este caso, el estado de esfuerzoslateralesnorevistemayorimportancia.Enconsecuencia,elcomportamientoestructural,deunacimentacinsuperficialtienelascaractersticasdeunavigaode una placa.13Lascimentacionessuperficiales,cuyossistemasconstructivosgeneralmentenopresentanmayoresdificultadespuedenserdevariostipos,segnsufuncin:zapata aislada, zapata combinada, zapata corrida o losa de cimentacin.Enunaestructura,unazapataaislada,quepuedeserconcntrica,medianeraoesquinerasecaracterizaporsoportarytrasladaralsuelolacargadeunapoyoindividual;unazapatacombinadaporsoportarytrasladaralsuelolacargadevarios apoyos y una losa de cimentacin o placa por sostener y transferir al suelola carga de todos los apoyos.Las zapatas individuales se plantean como solucin en casos sencillos, en suelosdepocacompresibilidad,suelosduros,concargasdelaestructuramoderadas:edificios hasta de 7 pisos.Con elfinde darle rigidez lateralalsistema de cimentacin, las zapatas aisladassiempre deben interconectarse en ambos sentidos por medio de vigas de amarre.Laszapatascombinadasseplanteanencasosintermedios,estoes,suelosdemediana compresibilidad y cargas no muy altas.Con esta solucin se busca unareduccindeesfuerzos,dndoleciertarigidezalaestructura,demodoqueserestrinjan algunos movimientos relativos.Lalosadecimentacinporlogeneralocupatodaelreadelaedificacin.Mediante esta solucin se disminuyen los esfuerzos en el suelo y se minimizan losasentamientos diferenciales.14Cuando se trata de atender y transmitir al suelo las fuerzas de un muro de carga,seusaunazapatacontinuaocorrida,cuyocomportamientoessimilaraldeunaviga.2.2CIMENTACIONES PROFUNDASUna cimentacin profunda es una estructura cuya seccin transversal es pequeacon respecto a la altura y cuya funcin es trasladar las cargas de una edificacin aprofundidades comprendidas aproximadamente entre 4 m y 40 m.Adiferenciadelascimentacionessuperficiales,enunacimentacinprofunda,nosolamentesepresentanreaccionesdecompresinenelextremoinferiordelelementosino tambinlaterales. En efecto, lacimentacin profundapuedeestarsometidaamomentosyfuerzashorizontales,encuyocaso,nosolosedesarrollar una distribucin de esfuerzos en el extremo inferior del elemento, sinotambinlateralmente,demodoqueseequilibrenlasfuerzasaplicadas.Enconsecuencia,elcomportamientoestructuraldeunacimentacinprofundaseasimila al de una columna.Las cimentaciones profundas pueden ser de dos tipos: Pilotes o pilasLospilotes,quetienenmximoundimetrodelordende0.80m,soncomparativamentemsflexiblesquelaspilascuyodimetroessuperioralos0.80m.Larespuestafrenteasolicitacionestiposismoocargaverticalesdiferente en cada una de estas dos estructuras.15Por las limitaciones de carga de un pilote individual, frecuentemente es necesarioutilizarvarioselementosparaunmismoapoyodelaestructura,esteescasodeuna zapata aislada apoyada en varios pilotes.En otros casos, la situacin puedeser an ms compleja: zapatascombinadas o losas decimentacin apoyadas envarios pilotes.Cuandoseutilizanpilascomosistemadecimentacin,generalmenteseempleaunelementoporapoyo.Laspilasestnasociadasacargasmuyaltas,acondicionesdelsuelosuperficialmentedesfavorablesyacondicionesaceptablesenlosestratosprofundosdelsuelo,adondesetransmitirnlascargasdelaestructura.Encuantoalossistemasconstructivos,lospilotespuedenserpreexcavadosyvaciadosenelsitioohincadosoprefabricadose instaladosagolpesomediantevibracin o presin mecnica.Cuando un pilote se hinca, a medida que se clava se est compactando el suelo, yporendemejorandosuscondiciones,encambio,cuandoelpilotesevaca,lascaractersticas del suelo pueden relajarse.Generalmente los elementos hincados son reforzadosLas pilas siempre son preexcavadas y vaciadas en el sitio.El sistema constructivoempleado, tendr incidencia en el diseo.Las pilas pueden o no ser reforzadas.En las zonas con riesgo ssmico importanteconviene reforzarlas, al menos nominalmente.163DISEO ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES3.1VIGAS DE FUNDACINLas vigas de fundacin (Figura 1) son los elementos estructurales que se empleanparaamarrarestructurasdecimentacintalescomozapatas,dadosdepilotes,pilas o caissons, etc.Figura 1.Cimentacin con viga de fundacinAlasvigasdefundacintradicionalmenteseleshanasignadolassiguientesfunciones principales:La reduccin de los asentamientos diferencialesLaatencindemomentosgeneradosporexcentricidadesnoconsideradasen el diseo.El mejoramiento del comportamiento ssmico de la estructuraY las siguientes funciones secundarias:El arriostramiento en laderasLa disminucin de la esbeltez en columnasEl aporte a la estabilizacin de zapatas medianeras173.1.1Lareduccin de asentamientosdiferenciales.Elefecto de las vigas defundacincomoelementosquesirvenparaelcontroldeasentamientosdiferencialesdependedesurigidez.Ennuestromedio,eltamaodelasseccionesdelasvigasdefundacinquenormalmenteseemplean(mxL/20),permite descartar cualquier posibilidad de transmisin de cargas entre una zapatay la otra.No se puede garantizar que una viga de fundacin transmita momentosdebidos alos asentamientos diferenciales de las zapatas,a menos queparaellotenga la suficiente rigidez.Cuandounavigadefundacinseproyectaconrigidezsuficienteparacontrolarasentamientosdiferencialesdelaestructura,esnecesarioconsiderarlainteraccin suelo estructura (ISE).Un mtodo queen ocasiones se ha empleado conelpropsito de que laviga defundacincontroleasentamientosdiferenciales,eseldesuministrar,comodatodelingenierodesuelos,elvalordelasentamientodiferencial quesufrelacimentacincorrespondienteaunodelosextremosdelaviga;elcualinducesobre el otro extremo un momento M dado por:

LI E 6M2 (1)Enestecaso,ilustradoenlaFigura2,paraunvalordeterminadode,setienequeamayorseccintransversaldelaviga,mayorserelmomentoinducidoM.Aqu la rigidez de la viga no estara controlando el asentamiento diferencial (quepara el caso, es un dato y no una variable) sino el valor del momento, generandoun diseo dicotmico, es decir que a mayor rigidez, se requiere ms acero, lo cualnotienesentidoprctico,ypor lotantonoserecomienda.Enestesentido,unavigadefundacinnoexpresamentediseadaparareducirlosasentamientos18diferenciales y sin la suficiente rigidez no se recomienda considerarla en el diseopara atender este efecto.Figura 2.Momento inducido en un extremo de la viga de fundacin por elasentamiento diferencial3.1.2Atencindemomentosgeneradosporexcentricidadesnoconsideradaseneldiseo.Estafuncinlaejercelavigadefundacindependiendo del criterio que se adopte para su diseo.Criterio1:Disearlavigadefundacinparaquetomelosmomentosylazapatasloatiendacargaaxial. Enestecaso,sedebeconsiderar lavigaen el anlisis estructural, tal como se ilustra en la Figura 3.Figura 3.La viga de fundacin toma los momentos resultantes del anlisisestructural y la zapata la carga axial.Es importante considerarque la viga de fundacinest apoyada sobre el suelo,no en el aire como sesupone en el anlisis.19Algunosdiseadoresnoincluyenlavigaenelanlisisestructural,peroarbitrariamenteladiseanconlosmomentosobtenidosenlosnudoscolumna zapata.Criterio2:Disearlazapataparaqueatiendaelmomentobiaxial(oalmenosenunadireccin),criterioqueseajustaconmayorprecisinalasuposicin inicial de empotramiento entre la columna y la zapata.En estecaso la viga de fundacin se disea nicamente para carga axial.3.1.3Elmejoramientodelcomportamientossmicodelaestructura.Estecriterio,deacuerdoconelartculoA.3.6.4.2delaNSR-98(1),establecequelasvigasde fundacin deben resistiruna fuerza ya sea de traccin ode compresin(C T), dada por la expresin:C T = 0.25 Aa Pu(2)Donde:Aa:Coeficientequerepresenta la aceleracinpicoefectivaparadiseo. Elvalordeestecoeficientedebedeterminarsedeacuerdoconloestipuladoenlassecciones A.2.2.2 y A2.2.3 de las NSR98 (1).Pu: Valor de la fuerza axial mayorada o carga ltima correspondiente a la columnamscargada(comparandolasdosfuerzasaxialesalascualesestnsometidas las dos columnas unidas por la viga de amarre).Porejemplo,paralaciudaddeMedellnelvalordeAaesde0.20;porlotanto,paraestecasoparticular,CT=0.05Pu.EstosignificaqueunavigadefundacinenMedellndeberesistir,atraccinoacompresin,unafuerzaaxialequivalente al 5% de la fuerza axial (Pu) que acta sobre la columna ms cargadaque une la viga.20Para el valor de la fuerza Pu que se presenta en la mayora de los casos prcticos,la fuerza de traccin o de compresin (C T) que acta sobre la viga de fundacinesmuy inferior al valor dela fuerza a traccin o a compresin que puede resistiruna viga de seccin pequea que usualmente se utiliza, por ejemplo, una viga de300mmX300mmreforzadadeacuerdoconelcriterioderefuerzolongitudinalmnimo para columnas (artculo C.10.14.8 (f) de la NSR-98 (1)), el cual especifica:As,min = 0.01 Ag(3)Donde:Ag=reabrutadelaseccin,expresadaenmm2.Paraestecaso,Ag = 90000 mm2Remplazando se tiene:As,min = 0.01 x 90000 mm2 = 900 mm2As,min 4 3/4 = 1136 mm2Esta afirmacin se puede corroborar as:SupngasequelavigadefundacinestsometidaaunafuerzaaxialdecompresinC.DeacuerdoconelartculoC.10.3.5.2delasNSR-98(1),laresistenciadediseoafuerzaaxialdeunelementonopreesforzado,reforzadocon estribos cerrados, sometido a compresin, est dada por la expresin:, ) }A f A-A f0.85 0.80 CSt y St g'c+ (4)Donde:=Coeficientedereduccinderesistencia,queparaelementosreforzadoscon estribos cerrados es igual a 0.70.fc'=Resistencianominaldelconcretoalacompresin,expresadaenMPa.Supngase MPa 21f'c .21Ag=reabrutadelaseccin,expresadaenmm2.Paraelcaso,Ag = 90000 mm2.Ast=reatotaldelrefuerzolongitudinal,expresadaenmm2.ParaelcasoAst = 1136 mm2.Fy=Resistencianominalalafluenciadelaceroderefuerzo,expresadaenMPa.Supngase Fy = 420 MPa.Remplazando para los valores particulares del ejercicio, se tiene:C =0.80 x 0.70 x 0.85 x 21 x (3002 1136) + 420 x 1136}=1155.472 N = 116 ton.Deacuerdoconloexpresadoenlaecuacin(2)paraelcasoparticulardelaciudad de Medelln, una fuerza ssmica axial de compresin de 116 ton en la vigadeamarre,implicaunafuerzaaxial(Pu) enlacolumnamscargadade116/0.05=2320toneladas.Paracargassuperioresaestevalortendraqueaumentarse la seccin de la viga.Anlogamente,supngasequelavigadefundacinestsometidaaunafuerzaaxial de traccin T.En este caso, la resistencia de diseo a fuerza axial de la viga(despreciando la resistencia a traccin del concreto), est dada por la expresin:T = 0.90 FyAst(5)T = 0.90 x 420 x 1136 =429.408 N 43 ton.Unafuerzaaxialdetraccinde43tonactuandosobrelavigadeamarreimplicaunafuerzaaxial(Pu)iguala43/0.05=860toneladassobrelacolumnamscargada.22Este resultado indica que una viga de fundacin de 300 mm x 300mm, reforzadacon43/4,funcionaadecuadamentesiempreycuando,lafuerzaaxial(Pu)queacta sobre la columna ms cargada no sea superior a 860 toneladas, equivalentealacargagravitacionalquesobreestacolumnatransmitiraunedificiodeaproximadamente25pisos.Apartirdeestevalor,seranecesariomodificarlaseccin transversal de la viga de fundacin, por este concepto.Enconclusin,paralamayoradeloscasosprcticoslavigadefundacinde300mmx300mm,reforzadacon43/4,resistelacargassmicaenformaeficiente.Sinembargo,es importanteadvertirque concebida deesta manera,laviga de fundacin no toma momentos del empotramiento columna zapata; y quepor lo tanto la zapata requiere disearse a flexin biaxial.La viga de fundacin de 300 mm x 300 mm, reforzada con 4 3/4, tiene sentido ensuelos buenos, donde es poco probable la rotacin de la fundacin, y por lo tantotienemayorgarantadecumplimientolacondicindeempotramientocolumnafundacin.Ensuelosblandosespreferibleconcebirlasvigasdeamarrecomoelementosestructuralesquetomanmomento,yestoobligaraaaumentar la seccin.3.1.4Elarriostramientoenladeras.Estafuncindelasvigasdefundacintienebastanteaplicacinporlascaractersticastopogrficasdenuestroentornogeogrfico.Poreldesniveldelterreno,unedificiopuedepresentarirregularidadenaltura,configuracingeomtricaquefavorecelageneracindeesfuerzosdeflexinenlas columnas que pueden ser atendidos mediante vigas de fundacin en direccindiagonal(Figura4),lascualesalarriostrareledificio,aportanrigidezalazonamsflexibleyvulnerable.Debecerciorarsequelaedificacinquedergidaentodas las direcciones.23Figura 4.Vigas para arriostramiento en edificios construidos en laderas.3.1.5Ladisminucindelaesbeltezencolumnas.Unafuncinestructuralimportantepresentalavigadefundacincuandosediseayconstruyeaciertaalturaconrespectoalacarasuperiordelaszapatasqueune.Lavigaenesteevento,alinterceptarlascolumnasinferioresensulongitud,lasbisecadisminuyendo su esbeltez.En trminos generales, debe procurarse que la viga defundacin sea lo ms superficialmente posible para lograr menor excavacin (y porendemayorestabilidadlateraldelsuelo),mayorfacilidadenlacolocacindelaceroderefuerzoyenelvaciadodelhormign.Enestecasoelsuelosirvedeformaleta, lo que constituye una gran ventaja econmica.3.1.6Elaportealaestabilizacindezapatasmedianeras.Enelcasodezapatas medianeras una viga de amarre no slo ayuda a disminuir el valor de losasentamientossinoquetambinayudaamantenersuestabilidad,yaseaactuandocomounelementotensorqueseoponealmomentovolcadorqueletransfiere la columna a la zapata, o como un elemento relativamente pesado que amaneradepalancaimpidelarotacindelazapataalcentrarlafuerzadesequilibrante de la reaccin en la fundacin y la carga que baja por la columna.3.1.7Dimensionesmnimas.EnelartculoC.15.13.3delaNSR-98(1)seestablecequelasvigasdeamarredebentenerunaseccintalquesumayor24dimensindebesermayoroigualalaluzdivididaentre20paraestructurasconcapacidad especial de disipacin de energa (DES), a la luz dividida entre 30 paraestructurasconcapacidadmoderadadedisipacindeenerga(DMO)yalaluzdivididapor40paraestructurasconcapacidadmnimadedisipacindeenerga(DMI).La norma no menciona si la dimensin mxima especificada en el este artculo serefiere a la dimensin horizontal o a la vertical.En Medelln (DMO) por ejemplo, lamximadimensindeunavigadeamarrede6mdelongitudseraL/30=6000/30=200mm.Estaviga,conunadimensinmnimade100mm,podra eventualmente desaparecer como elemento viga al quedar embebida en lalosa de piso; situacin que obliga a disear la zapata por flexin biaxial.3.1.8Refuerzo longitudinal.El acero de refuerzo longitudinal debe ser continuo.Lasvarillasde3/4ennuestroejemplopasandeunazapataaotraconelfindegarantizar el trabajo de tensin.Este refuerzo debe ser capaz de desarrollar fy pormedio de anclaje en la columna exterior del vano final.3.1.9Refuerzotransversal.Debencolocarseestriboscerradosentodasulongitud, con una separacin que no exceda la mitad de la menor dimensin de laseccin o 300 mm.Para la viga mnima de 300 mm x 300 mm, la separacin serentoncesde150mm.Estaafirmacinesvlidacuandolazapatasediseaaflexinbiaxial;encasodequelavigadefundacinresistamomentosflectoresprovenientes de columna, debe cumplir los requisitos de separacin y cantidad delrefuerzo transversal que fije la Norma para el nivel de capacidad de disipacin deenerga en el rango inelstico del sistema de resistencia ssmica.253.2DISEO DE ZAPATASPara la localizacin de las secciones crticas de momento, cortante y desarrollo delrefuerzo de las zapatas, en columnas opedestales deconcreto nocuadrados, laNSR 98en su artculo C.15.3.1, permite, por simplicidad, trabajar con columnas opedestales cuadrados equivalentes en rea.3.2.1 Zapata concntrica.Paraeldiseo de una zapata concntrica (Figura 5)se deben llevar a cabo los siguientes pasos:Figura 5.Zapata concntrica3.2.1.1 Obtener la carga de servicio P.Esto significa que se debe desmayorarlacargaltimaPuobtenidadelanlisisestructural,dividindolaporelfactordeseguridad FG,el cual vale aproximadamente 1.5 para estructuras de concreto y 1.4para estructuras de acero, o calcularla con cargas de servicio.GuFPP (6)Lacargaltimasedesmayoraconelpropsitodehacerlaconceptualmentecompatiblecon la capacidad admisible delsuelo qa, calculada por el ingeniero desuelos a partir de qu (presin ltima que causa la falla por cortante en la estructura26delsuelo),enlacualyaseinvolucraelfactordeseguridad,deacuerdoconexpresiones del siguiente tipo (vlidas para suelos cohesivos):f cuD N c q + (7)fscaDFN cq + (8)Donde:c (ton/m2)=Cohesin del suelo.Nc=Factor de capacidad de carga. (ton/m3)=Peso volumtrico de la masa del suelo.Df (m)=Profundidad de desplante de la zapata.Fs=Factor de seguridad.Df se compensacon el pesopropio de la zapata, por lo tanto, no hay necesidaddeconsiderarunporcentajedePcomopesopropio,yengeneralsepuededespreciar.3.2.1.2Determinar el ancho B de la zapata.Para ello se emplea la expresin:asqPB (9)3.2.1.3 Suponerespesorhdelazapata.Estasuposicinsehacesobrelassiguientes bases conceptuales, estipuladas en la NSR 98:Elespesorefectivodelazapataporencimadelrefuerzo inferiornopuedeser menor de 150mm (dmin>150mm,parazapatasapoyadassobresuelo)(Artculo C.15.7.1).27El recubrimiento mnimo debe ser de 70 mm, para el caso en que la zapataest apoyada sobre suelo natural. (Artculo C.7.7.1 a)El recubrimiento mnimo debe ser de 50 mm, para el caso en que la zapataestapoyadasobresueloderellenoyelaceroderefuerzoquesedebarecubrir sea >5/8.(Artculo C.7.7.1 b).El recubrimiento mnimo debe ser de 40 mm, para el caso en que la zapataestapoyadasobresueloderellenoyelaceroderefuerzoquesedebarecubrir sea 5/8.(Artculo C.7.7.1 b).De acuerdo con estos conceptos, el espesor mnimo de una zapata ser 190 mm,y corresponde al caso de una zapata reforzada con varillas con dimetro inferior a5/8, apoyada sobre un suelo de relleno (150 mm + 40 mm).Con respecto a lo anterior se pueden hacer los siguientes comentarios:Elrecubrimientofuncionacomounacapaquerompelacapilaridad,protegiendoelaceroderefuerzo.Cuandolazapataseapoyasobreunsueloderellenogranularcomoarenillaograva,dondeelfenmenodelacapilaridadnoestanimportante,podraoptarseporunrecubrimientomenor.Elsoladoquenormalmentesevacacomoactividadpreliminarypreparatoriadelasuperficiesobrelacualsecolocarlazapata,noessuficiente recubrimiento.Cuandosedauncambioderigidezbrusco entrelos estratosdelsuelosedisminuyen las deformaciones horizontales; propiedad que se constituye enunaformaindirectadeconfinarelsueloporfriccin.Estaventajaseaprovecha en muchos casos prcticos, por ejemplo, cuando al construir unllenoseintercalancapasdegeotextilconarenillaoconotromaterialdelleno.El resultado final es un aumento en la capacidad portante del suelo.(Aunqueporcostos,enestecasoparticular, puederesultarmsfavorablemezclarle cemento a la arenilla, lo que se conoce como suelo - cemento).283.2.1.4Revisar punzonamiento o cortante bidireccional.(Artculo C.11.12.1.2.delaNSR98(1)).Serefierealefectoenquelazapatatratadefallarporunasuperficiepiramidal,comorespuestaalacargaverticalqueletransfierelacolumna o pedestal (Figura 6a).En la prctica, para simplificar el problema, se trabaja con una superficie de falla oseccin crtica perpendicular al plano de la zapata y localizada a d/2 de la cara dela columna, pedestal o muro si son de concreto (Figuras 6b,6c y 6d), o a partir dela distancia media de la cara de la columna y el borde de la placa de acero si estees el caso (Figura 7); con una traza en la planta igual al permetro mnimo bo.Figura 6.Cortante bidireccional en zapata que soporta columna,pedestal o muro de concreto.29Figura 7.Cortante bidireccional en zapata que soporta columna metlica.Paraelcasosupuestodezapatacuadrada,siseasumequedebajodeellasepresenta una reaccin uniforme del suelo dada por q = P/B2,elesfuerzocortantebidireccional, ubd, ser:d d) b d (b 2d)) (b d) (b -B(BP2 12 122uubd+ + ++ + (10)Donde:Pu=Cargaltima,quesetransfierealazapataatravsdelacolumnaopedestal.B=Ancho de la zapata, expresado en mm .d=Distanciadesdelafibraextremaacompresinhastaelcentroidedelrefuerzo a traccin (d = h-recubrimiento), expresada en mm.b1=Lado corto de la columna o pedestal, expresado en mm.b2=Lado largo de la columna o pedestal, expresado en mm.DeacuerdoconelArtculoC.11.12.2.1,sedebencumplirlassiguientesrelaciones:30'+ + < (13) )2(16f'(12) )b 2d(16f'(11)3f'ccos ccubdDonde:=Coeficientedereduccinderesistencia. Paraesfuerzosdecortante,=0.85.c f'=razcuadradadelaresistencianominaldelconcretoalacompresin,expresada en Mpa.s=Factor que depende de la posicin de la columna o pedestal en la zapata(node laposicinde lacolumna opedestal enel edificio);se consideraigual a 40 cuando la columna o pedestal est al interior de la zapata, 30cuando la columna o pedestal est al borde de la zapata y 20 cuando lacolumna o pedestal est en una de las esquinas de la zapata.bo=Permetro de la seccin crticac=b2/b1,Eslarelacinentreelladolargoyelladocortode lacolumnaopedestal.Si la columnao pedestal es cuadrada, c = 13.2.1.5Revisarcortanteunidireccional.(ArtculoC.11.12.1.1)Serefierealefectoenelcomportamientodelazapatacomoelementoviga,conunaseccincrtica que se extiende en un plano a travs del ancho total y est localizada a unadistancia d dela carade la columna, pedestal omuro sison deconcreto (Figura8)., o a partir de la distancia media de la cara de la columna y el borde de la placade acero si este es el caso (Figura 9).31Figura 8.Cortante unidireccional en zapata que soporta columna, pedestal o murode concreto.Figura 9.Cortante unidireccional en zapata que soporta columna metlica.Paraelcasosupuestodezapatacuadrada,elesfuerzocortanteunidireccional,uud, est dada por:dd -2b-2BBPd Bd -2b-2BBBP12U12Uuud

,_

,_

(14)Se debe cumplir que:326f' cuud< Con: = 0.85 (15)3.2.1.6Revisarelmomentoparacalcularelaceroderefuerzo.(ArtculoC.15.4.2).La seccin crtica en la cual se calcula el momento mayorado mximose determina pasando un plano vertical a travs de la zapata, justo en la cara de lacolumna,pedestalomurosiestossondeconcreto(Figura10).Paralosapoyosdecolumnasconplacas deacero, enlamitaddeladistanciaentrelacarade lacolumna y el borde de la placa (Figura 11a) y para mampostera estructural, en lamitad de la distancia entre el centro y el borde del muro (Figura 11b).Elmomentomayorado mximoser igualalmomento de lasfuerzas que actansobrelatotalidaddelreadelazapata,enunladodeeseplanovertical.Sepuede expresar entonces:2b-2BB 2P2b-2B2BBPM21 u212uu

,_

,_

(16)Figura 10.Seccin crtica para el clculo del momento en zapata que soportacolumna, pedestal o muro de concreto.33(a) (b)Figura 11.Seccin crtica para el clculo del momento en zapata que soportacolumna metlica (a) y muro de mampostera estructural (b).DeacuerdoconlosartculosC.15.4.3yC15.4.4,elrefuerzoresultantedeberepartirse uniformemente a todo lo ancho de la zapata, con excepcin del refuerzotransversal de zapata rectangulares, en donde una banda central de ancho igual almenorde la zapatadebe tener uniformemente repartida unaporcin delrefuerzototal dada por la ecuacin C.15-1, que se transcribe a continuacin:1) (2corta direccin la en total refuerzobanda la de ancho el en refuerzo+ (17)Donde:corta longitudlarga longitud (18)En cualquier caso, el refuerzo a flexin debe tener una cuanta mnima de 0.0018en ambas direcciones.En el evento en que la zapata pueda quedar sometida a solicitaciones de tensin,debe considerarse un refuerzo para flexin en su parte superior (o parrilla de acero34superior),enlacuantarequeridaomnimayrevisarseelaceroquepasaalacolumna a tensin.3.2.1.7Revisarelaplastamiento.ComoseobservaenlaFigura12sesueleconsiderar que la presin decompresin que transmitelacolumna opedestalseva disipando con el espesor h de la zapata, a razn de 2 horizontal por 1 vertical,desdeelreaA1ensucarasuperior(readecontactocolumnaopedestalzapata), hasta el rea A2 en su cara inferior.La capacidad de carga por aplastamiento debe ser tal que:121 c uAA A f' 0.85 P < Con: = 0.70 (19)En esta expresin se debe cumplir:2AA12 (20)Figura 12.Modelo Geomtrico y estructural para la verificacin del aplastamiento.Tiene sentido hablar de aplastamiento cuando la resistencia nominal del concretoalacompresindelacolumna(fcdelacolumna),seamayorquelaresistencia35nominal del concreto de la zapata (fcde la zapata), y es ms importante cuando lacarga es transmitida por una columna de acero.Si la capacidad de aplastamiento del concreto no es suficiente, el exceso se puedetrasladar por el acero de refuerzo de la columna o dovelas si se requieren.3.2.1.8Detalles del refuerzo. De acuerdo con losartculos C.15.4.6 y C.15.4.7el refuerzo longitudinal de la columna debe llevarse hasta el refuerzo inferior de lafundacin, y debe terminarse con un gancho horizontal.En la suposicin usual decolumna empotrada en la zapata, este gancho horizontal debe orientarse hacia elcentrodelacolumna,disposicinqueenlapracticapocasvecessecumple,quizsporladificultaddeacomodarenpocoespaciolacantidaddevarillasquellegan a la zapata, muchas veces de dimetros grandes.En el caso de zapatas medianeras, de acuerdo con los requisitos estipulados en elartculoC.21,serecomiendaquelascolumnastenganestribosenlaporcinembebidaenlazapataparagarantizarelconfinamiento,deacuerdoconlosrequisitos estipulados en el artculo C.21.De conformidad con lo establecido en el artculo C.15.8.2.1, la cuanta de refuerzodelacolumnaopedestalquepasaalazapatadebeseralmenos0.005,lmiteque equivale a la mitad de la cuanta mnima de la columna o pedestal.Engeneral,sedeberevisarlalongituddedesarrolloconrespectoalaseccincrtica. Si se seccionan varillas de refuerzo de dimetrtos pequeos la longitud dedesarrollo se suele garantizar sin necesidad de ganchos.Otrosdetallesimportantesrelacionadosconeltraslapodelasdovelasdetransferencia, si se requieren, deben ser consultados en la norma.36 EJEMPLO DEZAPATA AISLADA.Se desea disear una zapata concntrica con la siguiente informacin bsica:P = 344 kNqa = 100 kN/m2fc= 21MPaFy = 420 MPab1 = 300 mmb2 = 400 mmLoselementosdelafundacinsedimensionanparaqueresistanlascargasmayoradasylasreaccionesinducidas.Elreadeapoyodelabasedelafundacin se determina a partir de las fuerzas sin mayorar y el esfuerzo permisiblesobre el suelo.DimensionamientoLa carga de servicio es:kN Ps344 37La capacidad admisible del suelo es:2/ 100 m kN qaPor lo tanto B estara dado por la ecuacion (9):asqPB 2/ 100344m kNkNB m B 85 . 1 Cortante por punzonamiento seccin crtica ad/2dela columna (cortantebidireccional)Elespesordelazapataporencimadelrefuerzoinferiornopuedesermenorde150 mm parazapatassobreelsuelo(C.15.7.1,NSR-98).Sesuponeinicialmenteun espesor de zapata de:mm h 250 38La profundidad efectiva para un recubrimiento de 70 mm es:mm h d 70 mm mm d 70 250 mm mm d 150 180 > OKDe conformidad con la seccin 3.2.1.1, por tratarse de una estructura de concreto,lacargaltimaesaproximadamente iguala lacargadeserviciomultiplicadapor1.5; esto es:kN P Pu516 5 . 1 Elesfuerzoltimoaplicadosobreelsuelodecimentacinparaeldiseoestructural de la zapata es:2BPquu, )285 . 1516mkNqu2/ 151 m kN quPara la superficie de falla indicada en la figura que se presenta a continuacin, sedeterminanlosesfuerzoscortantesupaplicandolaecuacin(10)yverificandoluego el cumplimiento de las ecuaciones (11), (12) y (13):39La fuerza total por punzonamiento que hace el pedestal sobre la placa es:, ), ) , ) d b d b BBPVuup+ + 2 122Tomandob1= 30cmy b2 = 40cm, ), ) , ) m m m m mmkNVup18 . 0 40 . 0 18 . 0 30 . 0 ) 85 . 1 () 85 . 1 (51622+ + kN Vup474 El esfuerzo cortante por punzonamiento es:d bVoupup Donde:, ) d b b bo2 22 1+ + 40, ) ) 18 . 0 ( 2 40 . 0 30 . 0 2 m m m bo+ + Luego: m bo12 . 2 , ) ) 180 ( 2120473000mm mmNup MPaup24 . 1 Debe cumplirse que:'

,_

+'

,_

+12,2162030interior 40,2163bbfesquina Columnaborde ColumnaColumnabd ffccc vsos c vc vup Conv = 0.85,s = 40,c =1.33 y MPa fc21 se obtiene:'Cumple MPaCumple MPaCumple MPaMPa62 . 175 . 130 . 124 . 1Con este espesor de zapata se cumplen todos los requerimientos necesarios paraque la zapata no falle por punzonamiento, sea que la columna con el pedestal seseparedelazapataysehunda,produciendoasposiblesasentamientosdiferenciales.41Cortante directo seccin crtica a d del pedestal (cortante unidireccional)La fuerza cortante vertical que acta sobre el voladizo por la ecuacion (14) es:

,_

db BBB PVuud212

,_

mm mmkNVud18 . 0230 . 0 85 . 185 . 1516kN Vud166 El esfuerzo cortante es:42BdVudud ) 180 )( 1850 (167000mm mmNud MPaud50 . 0 ste debe ser menor que el resistido por el concreto:6c vudf Conv =0.85 y Fc = 21 MPa , se obtiene:621 85 . 050 . 0MPaMPa MPa MPa 65 . 0 50 . 0 OKFinalmente las dimensiones de la zapata seran : B =1 .85 m, L = 1.85 m yh = 0.25 m.Diseo a flexin seccin crtica cara de la columnaEl momento externo en cualquier seccin de una zapata se determina pasando unplanoverticalatravsde lazapata,ycalculandoelmomentodelasfuerzasqueactansobrelatotalidaddelreadelazapata,enunladodeeseplanovertical(C.15.4.1-NSR 98).43Enlaszapatascuadradasquetrabajanendosdirecciones,elrefuerzodebedistribuirse uniformemente a todo su ancho (C.15.4.3-NSR 98).De acuerdo con la ecuacin (16), se tiene:Bb BBPMuu21222

,_

2230 . 0 85 . 1) 85 . 1 ( 2516

,_

m mmkNMum kN Mu 8 . 8344El rea de refuerzo a flexin con:cm B 85 . 1 cm d 18 00387 . 0 > 0018 . 0 min(C.15.4.5, NSR-98) OKEs:Bd As ) 18 )( 185 ( 00387 . 0 cm cm As29 . 12 cm AsEl rea de refuerzo a flexin se logra con el siguiente arreglo de barras: 11 N4 @17 cm.La longitud de desarrollo de las barras corrugadas expresada en mm es:bcyddffl2512 Con =1, =1 ybd =12.7 mm (N4), MPa fc21 y MPa fy420 se obtiene:mm ld560 < mm 705 70 2 / 300 2 / 1850 No requiere ganchoSehacenotarque,siporejemplo,sehubieranseleccionado5barras#6,lalongitud de desarrollo sera 840 mm, y se requerira gancho.En la figura que se presenta a continuacin se muestra el detalle final del refuerzo.Esimportanteresaltarquenorequiereganchoenlosextremosdelosemparrillados.45Resistencia a los esfuerzos de contacto (aplastamiento)La resistencia de diseo delconcreto a los esfuerzos de contacto (aplastamiento)nodebeexcederde185 . 0 A fc ;exceptocuandolasuperficiedeapoyoseamsanchaentodoslosladosqueelreacargada,laresistenciadediseoalaplastamientosobreelreacargadapuedemultiplicarsepor:, 2 /1 2 A A (C.10.13.2 NSR-98).Enlasiguientefigura,seindicanloselementosgeomtricosparacalcularlasexpresiones que permiten verificar el aplastamiento de la zapata.46Lacondicindeaplastamientoenlazapataesfundamentalcuandoexisteuncambio de resistencia entre sta y el pedestal. Debido a que esta situacin no sepresenta, esta condicinser verificada nicamente para efectos ilustrativos.2 1 1b b A ) 40 . 0 )( 30 . 0 (1m m A2 6 2110 120 . 0 120 . 0 mm m A , ), ) h b h b A + + 2 22 1 2) 90 . 0 )( 80 . 0 (2m m A 2 6 2210 720 . 0 720 . 0 mm m A 2 45 . 2120 . 0720 . 02212 mmAA Se toma 2 de acuerdo con la ecuacion (20)12185 . 0AAA f Pc n ) 2 )( 10 120 . 0 )( 21 )( 85 . 0 )( 7 . 0 (2 6mm MPa Pn kN Pn3000 kN P kN Pn u3000 516 < Solo requiere pedestal para cumplir con recubrimientos dentro del suelo, lo cul secumple con 50mm ms que la columna a cada lado.473.2.2Zapatas con flexin en una direccin.Esta situacin corresponde al casode una zapata que transmite una carga de servicio P con una excentricidad e, demodo que M=P.e.En este caso, puede analizarse la distribucin de presionesdeunamanerasimplistaasumiendo que laspresiones tienenunavariacin linealenla direccin L.Se analizan dos situaciones:Cuandolaexcentricidadesmenoroigualqueunsextodelanchodelazapata(e L/6),sepresentacompresinbajotodaelreadelazapata(Figura 13 a y b).En este caso:

,_

+ + L6e1L BPL B6ePBLPq2max (21))L6e- (1BLPL B6ePBLPq2min (22)Cuandolaexcentricidadesmayorqueunsextodelanchodelazapata(e>L/6),unapartedestaseencuentraexentadepresionesyparagarantizarsuestabilidad,sedebecumplirlacondicinqueseexplicaconlaFigura14enlacual, se deduce por equilibrio esttico que:2B m q 3P (23)Despejando q, se tiene:B m 3P 2q (24)Donde:48m = L/2 e (25)(a)(b)Figura 13.Modelo estructural en zapata con flexin uniaxial, cuando e < L/6.Figura 14.Zapata con flexin uniaxial, cuando e > L/6493.2.2.1Procedimiento de diseo.Se selecciona L de tal manera que L sea mayor que 6e (L>6e) y se despejaB, suponiendo que qmx = qa (valor obtenido en el estudio de suelos).)L6e(1qPBa+ (26)LasparejasdeLyBsedeterminan,demodoquelarelacinL/Bestcomprendida entre 1.5 y 2.0 (relacin que normalmente se utiliza).EsimportanteadvertirquesiparaladeterminacindelacargadeservicioP,seincluyeroncombinacionesdesismoydeviento,lacapacidaddecargadelsuelo,aq, puede ser incrementada en un 33%.Se mayoran las cargas de servicio.Se revisa el punzonamiento, utilizando para ello la presin promedia q.Se revisa la cortante bidireccionalSe calcula el acero longitudinal, es decir, en el sentido del momento (aceroprincipal).Secalculaelacerotransversal. Teniendocomobaseelaceromnimo(0.0018 Bd), concebido como si fuera en una sola direccin.50EJEMPLO DE DISEO DE ZAPATA CON FLEXION EN UNA DIRECCIONSe requiere disear la siguiente zapata mostrada en la figura con la siguienteinformacin bsica.DimensionamientoLoselementosdelafundacinsedimensionanparaqueresistanlascargasmayoradasylasreaccionesinducidas.Elreadeapoyodelabasedelafundacin se determina a partir de las fuerzas sin mayorar y el esfuerzo permisiblesobre el suelo.Las cargas de servicio son:kN Ps1000 m kN Ms 200La excentricidad es:ssPMe kNm kNe1000200 m e 2 . 0 51Laexcentricidadcalculadaconlascargasdeservicioes igualalacalculadaconlas cargas mayoradas.La zapata se dimensiona mediante las siguientes expresiones:assqLeBLPq ,_

+ 61max061min ,_

LeBLPqssParaquesecumplanlasexpresionesanterioresserequierequelaresultantecaiga en el tercio medio de la base: 6 / L e . Se dimensiona la zapata asumiendounLmucho mayor que 6*e. Se tomar inicialmente: B L 5 . 1 .

,_

+ BeBqPBas5 . 1615 . 1

,_

+ Bmm kN BkNB5 . 1) 2 . 0 ( 61) / 150 ( 5 . 110002m B 6 . 2 Para B = 2.6 m se obtiene L = 3.9 m. A continuacin se verifican las expresiones(3.2) y (3.3) y la condicin 6 / L e :2 2max/ 150 / 129) 9 . 3 () 2 . 0 ( 61) 9 . 3 )( 6 . 2 (1000m kN q m kNmmm mkNqa s<

,_

+ cumple2 2min/ 0 / 68) 9 . 3 () 2 . 0 ( 61) 9 . 3 )( 6 . 2 (1000m kN m kNmmm mkNqs>

,_

cumple52m e mm L2 . 0 65 . 069 . 36 > OKComoestasdimensionescumplenlascondicionesexigidas,lazapataseconstruir conL = 3.9 m y B = 2.6 mCortante por punzonamiento seccin crtica a d/2 del pedestal (cortantebidireccional)Cortante por punzonamiento.Elespesorde lazapatasobreelsueloporencimadelrefuerzo inferiornopuedeser menor de 150 mm (C.15.7.1, NSR-98). Se supone inicialmente un espesor dezapata de:mm h 400 La profundidad efectiva para un recubrimiento de 70 mm es:mm h d 70 mm mm d 70 400 53mm mm d 150 330 > Las cargas mayoradas son:kN Pu1500 m kN Mu 300La fuerza total por punzonamiento que hace el pedestal sobre la placa es:, ), ) } d b d lq qP Vc cu uu up+ ++ 2min max, ), ) } m m m mm kN m kNkN Vup33 . 0 4 . 0 33 . 0 5 . 02/ 102 / 19415002 2+ ++ kN Vup1410 El esfuerzo cortante por punzonamiento es:d bVoupup Donde:, ) d l b bc c o2 2 + + , ) ) 33 . 0 ( 2 5 . 0 4 . 0 2 + + m m bom bo3.12 Luego:) 330 )( 3120 (1410000mm mmNup MPaup37 . 1 Debe cumplirse que:54'

,_

+'

,_

+ccccc vsosc vc vupbl fesquina Columnaborde ColumnaColumnabd ff ,2162030interior 40,2163Conv = 0.85,s = 40,c =1.25 y MPa fc21 se obtiene:'Cumple MPaCumple MPaCumple No MPaMPa69 . 102 . 230 . 137 . 1Como no se cumple una de las condiciones de cortante se debe aumentar el valorde h ; tomando un valor de:mm h 500 La profundidad efectiva para un recubrimiento de 70 mm es:mm h d 70 mm mm d 70 500 mm mm d 150 430 > De esta manera se tiene que:kN Vup1386 m bo3.52 MPaup92 . 0 'Cumple MPaCumple MPaCumple MPaMPa63 . 12.2430 . 192 . 055Cortante directo seccin crtica a d del pedestal (cortante unidireccional)El cortante unidireccional se chequea tanto para el sentido longitudinal como parael transversal.Sentido longitudinalCortante directo sentido longitudinal.La fuerza cortante vertical en sentido longitudinal es:, )L db B q qVc u uud1]1

+2 2min max, )m mm m m kN m kNVud9 . 3 43 . 0240 . 0 6 . 22/ 102 / 1942 21]1

+kN Vud387 El esfuerzo cortante es:LdVudud 56) 430 )( 2600 (387000mm mmNud 23 . 0 udste debe ser menor que el resistido por el concreto:6c vudf Conv =0.85 y MPa fc21 se obtiene:621 85 . 023 . 0MPaMPa MPa MPa 65 . 0 23 . 0 CumpleSentido transversalCortante directo sentido transversal.57, )1]1

dl LLq qq qc u uu ud2min maxmax, )1]1

mm mmm kN m kNm kN qud43 . 0250 . 0 9 . 39 . 3/ 102 / 194/ 1942 222/ 164 m kN qudLa fuerza cortante vertical en sentido transversal es:, )B dl L q qVc u udud1]1

+2 2max, )m mm m m kN m kNVud6 . 2 43 . 025 . 0 9 . 32/ 194 / 1642 21]1

+kN Vud590 El esfuerzo cortante es:BdVudud ) 430 )( 3900 (590000mm mmNud MPaud53 . 0 ste debe ser menor que el resistido por el concreto:586c vudf Conv =0.85 y MPa fc21 se obtiene:621 85 . 053 . 0MPaMPa MPa MPa 65 . 0 53 . 0 CumpleFinalmente las dimensiones de la zapata son:B = 2.6 m, L = 3.9 m y h = 0.5 m.Diseo a flexin seccin critica cara del pedestalEl momento externo en cualquier seccin de una zapata se determina pasando unplanoverticalatravsde lazapata,ycalculandoelmomentodelasfuerzasqueactansobrelatotalidaddelreadelazapata,enunladodeeseplanovertical(C.15.4.1-NSR 98).Refuerzo en sentido longitudinal o largoBLqLq qMvufvuf uu11]1

+

,_

,_

2 3222 2maxDonde:

,_

,_

2min maxmaxc u uu ufl LLq qq q

,_

,_

250 . 0 9 . 39 . 3/ 102 / 194/ 1942 22m mmm kN m kNm kN quf2/ 154 m kN quf592cvl LL250 . 0 9 . 3 m mLvm Lv7 . 1 Luego:, ) , )mmm kNm m kN m kNMu6 . 2 .27 . 1/ 15437 . 1 22/ 154 / 194222 2 211]1

+

,_

,_

m kN Mu 677El rea de refuerzo a flexin en direccin larga con:cm B 260 cm d 43 0039 . 0 > 0018 . 0min (C.15.4.5,NSR-98) OKes:Bd Al s (3.20)cm cm Al s43 ) 260 ( 0039 . 0 267 . 43 cm Al sElrefuerzoenladireccinlargadebedistribuirseuniformementeatodoloancho de la zapata (C.15.4.4a-NSR-98).Dicho refuerzo se logra con el siguiente arreglo de barras:35 N4 @ 0.07 m60La longitud de desarrollo de las barras corrugadas expresada en mm es:bcyddffl2512 Con =1, =1 ybd =12.7 mm (N4), MPa fc21 y MPa fy420 se obtiene:mm ld560 < mm mm mm 1630 70 1700 No requiereFinalmenteelrefuerzolongitudinaldeacerodistribuidouniformementeatodoloancho de la zapata es:35 N4 @ 0.07 m, Lb = 3.76 mRefuerzo en sentido transversal o cortoLL q qMv u uu11]1

,_

+2 22min maxDonde:2cvb BL240 . 0 6 . 2 m mLvm Lv1 . 1 Luego:, )mm m kN m kNMu9 . 3 .21 . 12/ 68 / 1292 2 211]1

,_

+m KN Mu 34961El rea de refuerzo a flexin en el sentido transversal con:cm L 390 cm d 43 0013 . 0 < 0018 . 0min (C.15.4.5,NSR-98)es:Ld At s (3.23)) 43 )( 390 ( 0018 . 0 cm cm Ast22 . 30 cm At sPara el refuerzo en la direccin corta, una porcin del refuerzo total dado por laecuacin (3.24) debe distribuirse uniformemente sobre un ancho de bandacentrada sobre el eje de la columna o pedestal, igual a la longitud del lado cortode la zapata. El resto del refuerzo que se requiere en la direccin corta, debedistribuirse uniformemente por fuera del ancho de la banda central de la zapata(C.15.4.4a-NSR-98).12+ corta direccin la en total refuerzobanda la de ancho el en refuerzoDonde: : relacin del lado largo al lado corto de la zapata.BL 5 . 1 62El refuerzo en el ancho de banda de 2.6 m es:corta direccin la en total refuerzo banda la de ancho el en refuerzo +1222 . 30) 1 5 . 1 (2cm banda la de ancho el en refuerzo +215 . 24 cm banda la de ancho el en refuerzo El refuerzo en el ancho de la banda, distribuido uniformemente se logra conel siguiente arreglo de barras: 20 N4 @ 0.13 mElrestodelrefuerzoqueserequiereenladireccincorta,sedistribuyeuniformemente por fuera del ancho de la banda central de la zapata.2 2 204 . 6 15 . 24 2 . 30 cm cm cm banda la de ancho del fuera por refuerzo Este refuerzo se consigue con 5 barras nmero 4, pero para que sea simtricose colocaran 3 a cada ladopor fuera del ancho de banda.La longitud de desarrollo de las barras corrugadas expresada en mm es:bcyddffl2512 Con =1, =1 ybd =12.7 mm (N4), MPa fc21 y MPa fy420 se obtiene:mm ld560 < mm mm mm 1030 70 1100 No Requiere ganchoPorlotanto,elrefuerzoporfueradelanchodelabanda,distribuidouniformemente se logra con el siguiente arreglo de barras:636 N4 @ 0.19 m, Lb=2.44mResistencia a los esfuerzos de contacto (aplastamiento)La resistencia de diseo delconcreto a los esfuerzos de contacto (aplastamiento)nodebeexcederde185 . 0 A fc ;Exceptocuandolasuperficiedeapoyoseamsanchaentodoslosladosqueelreacargada,laresistenciadediseoalaplastamientosobreelreacargadapuedemultiplicarsepor:, 2 /1 2 A A (C.10.13.2 NSR-98.Lacondicindeaplastamientoenlazapataesfundamentalcuandoexisteuncambio de resistencia entre sta y el pedestal. Debido a que esta situacin no sepresenta, dicha condicin no ser verificada.Requerimiento de pedestalc ch b A1) 50 . 0 )( 40 . 0 (1m m A2 6 21mm 10 200 . 0 m 20 . 0 A 185 . 0 A f Pc n ) 10 20 . 0 )( 21 )( 85 . 0 )( 7 . 0 (2 6mm MPa Pn kN N Pn2499 2499000 kN P kN Pn u2499 1500 < No requiere pedestal64Despiece de la zapata 6.3.2.3Zapatas con flexin biaxial. Esta situacin se presenta cuando la viga deamarrenotomamomentos.Lazapataentoncestrabajaacargaaxialyamomentos flectores sobre los ejes x y y, como se indica en la Figura 15.(a) (b)Figura 15.Zapata con Pu 0, Mx 0, My 065De acuerdo con la Figura 15 (b) la carga de servicio P actaa la distancia exdeleje y yey del eje x; de modo que:PMeyx (27)PMexy (28)SiexL/6yeyB/6todalasuperficiebajolazapataestarsometidaacompresinconunadistribucindepresionesenformadeprismarectangulartruncadoorebanadoporunplanoinclinado,talcomosemuestraenlaFigura 15 (a); lo cual dificulta el diseo de la zapata.La distribucin de presiones debajo de la zapata se pude expresar como :ayxq )Be 6Le 61 (BLPq < t t (29)Existen infinitos valores de B y L que cumplen estadesigualdad. Para facilitar lasolucin se suponeq = qa(resultado del estudio de suelos) yB 6ey, datos quereemplazados en la ecuacin permiten despejar L2 , dos races para la solucin deL, de las cuales se elige la solucin correcta.En el evento de que ey = 2ex, la longitud en la direccin Y debe ser el doble deladireccinenX(B=2L).Sinembargo,paraevitarerroresenlacolocacindelacero de refuerzo durante la construccin de la zapata, se recomienda considerarB = L.66EJEMPLO DE DISEO DE ZAPATA AISLADA CON FLEXION BIAXIALSe requiere disear la zapata mostrada en la figura con la siguiente informacinbsica:DimensionamientoLoselementosdelafundacinsedimensionanparaqueresistanlascargasmayoradasylasreaccionesinducidas.Elreadeapoyodelabasedelafundacin se determina a partir de las fuerzas sin mayorar y el esfuerzo permisiblesobre el suelo.Las cargas de servicio son:kN Ps1000 m kN Mys 250m kN M xs 300Por lo tanto las excentricidades son:sxsyPMe kNm kNey1000250 67m ey25 . 0 sysxPMe kNm kNex1000300 m ex30 . 0 Lasexcentricidadescalculadasconlascargasdeserviciosonigualesalascalculadas con las cargas mayoradas.Lazapatasedimensionasegnlassiguientesexpresionesmedianteensayoyerror:En el punto 1:0661min 1

,_

BeLeBLPq qyx ss sEn el punto 2 :06612

,_

+ BeLeBLPqyx ssEn el punto 3 :ayx ss sqBeLeBLPq q

,_

+ + 661max 3En el punto 4:6806614

,_

+ BeLeBLPqyx ssParasatisfacerlasecuacionesanterioresserequiereque: 6 / B ey y 6 / L ex .Se dimensiona la zapata asumiendoL igual a B, debido a que la diferencia entreel momento en direccin x, y el momento en la direccin y, no es muy grande.La siguiente tabla resume los resultados obtenidos para diferentes tanteos.qs (kN/m^2)Bcondicion1 condicion2condicion3condicion42 -163 213 663 2283 -11 100 233 1223,5 5 75 159 893,6 6 71 148 84Resultados obtenidos para tanteos de B.Por lo tanto se toma B = L = 3.6 mSe verifican las condiciones 6 / B eyy 6 / L ex :m e mm Lx30 . 0 60 . 066 . 36 > OKm e mm By25 . 0 60 . 066 . 36 > OKDebido a que el tanteo 3 satisface las condiciones exigidas, las dimensiones de lazapata sern: L =3.6 my B = 3.6 m.69La siguiente tabla contiene los valores de1q ,2q ,3qy4qpara el estado ltimo decarga:Tanteo B (m)L (m) q1(kN/m2)q2(kN/m2)q3(kN/m2)q4(kN/m2)43.63.69 107 222 126Valores de1q ,2q ,3qy4qpara el estado ltimo de carga.Cortante por punzonamiento seccin critica a d/2 del pedestal (cortantebidireccional)El cortante por punzonamiento se evala para la condicin de cargams alta. Elespesor de la zapata sobre el suelo por encima del refuerzo inferior no puede sermenor de 150 mm (C.15.7.1, NSR-98). Se supone inicialmente un espesor dezapata de:mm h 400 La profundidad efectiva para un recubrimiento de 70 mm es:mm 70 h d mm mm d 70 400 mm mm d 150 330 > OK70Cortante por punzonamiento.Las cargas mayoradas son:kN Pu1000 m kN Myu 450m kN Mxu 375La fuerza total por punzonamiento que hace el pedestal sobre la placa es:, ), ) } d l d bq qP Vc cu uu up+ ++ 2max 4, ), ) } m m m mm kN m kNkN Vup33 . 0 50 . 0 33 . 0 50 . 02/ 125 / 22210002 2+ ++ kN Vup387 1 El esfuerzo cortante por punzonamiento es:d bVoupup 71Donde:, ) , ) , ) d l d b bc c o+ + + 2, ) , ) , ) m m m m bo33 . 0 50 . 0 33 . 0 50 . 0 2 + + + m 3.32 boLuego:) 330 )( 3320 (1380000mm mmNup MPaup27 . 1 Debe cumplirse que:'

,_

+'

,_

+ppccc vsosc vc vuplb fesquina Columnaborde ColumnaColumnabd ff ,2162030interior 40,2163Conv = 0.85,s = 40,c =1 y MPa fc21 se obtiene:'Cumple MPaCumple MPaCumple MPaMPa95 . 11.9430 . 126 . 1Cortante directo seccin critica adel pedestal (cortante unidireccional)El cortante directo se evala para la condicin de carga ms alta.72Cortante directo., )1]1

db BBq qq qc u uu ud24 maxmax, )1]1

mm mmm kN m kNm kN qud330 . 0250 . 0 6 . 36 . 3/ 125 / 222/ 2222 222/ 189 m kN qudLa fuerza cortante vertical que acta sobre el voladizo es:, )L db B q qVc u udud 1]1

+2 2max, )m mm m m kN m kNVud6 . 3 330 . 0250 . 0 6 . 32/ 222 / 1892 21]1

+kN Vud903 El esfuerzo cortante es:LdVudud ) 330 )( 3600 (903000mm mmNud 73MPaud76 . 0 ste debe ser menor que el resistido por el concreto:6c vudf Conv =0.85 y MPa fc21 se obtiene:621 85 . 076 . 0MPaMPa MPa MPa 65 . 0 76 . 0 No CumplePor lo tanto hay que aumentar el valor de h. Tomando:mm h 450 La profundidad efectiva para un recubrimiento de 70 mm es:mm 70 h d mm mm d 70 450 mm mm d 150 380 > OKCon esto se tiene que:kN Vud868 MPaud63 . 0 Conv =0.85 y MPa fc21 se obtiene:621 85 . 063 . 0MPaMPa MPa MPa 65 . 0 63 . 0 CumpleFinalmente las dimensiones de la zapata son: B = 3.6 m, L = 3.6 m yh = 0.45 m.Diseo a flexin seccin critica cara de la columna74Elvoladizocrticoparaflexineselmscargado.Elmomentoexternoencualquierseccindeunazapatase determinapasandounplanoverticalatravsde la zapata, y calculando el momento de las fuerzas que actan sobre la totalidaddel rea de la zapata, en un lado de ese plano vertical (C.15.4.1-NSR 98).Enlaszapatascuadradasquetrabajanendosdirecciones,elrefuerzodebedistribuirse uniformemente a todo su ancho.LLqLq qMvufvuf uu11]1

+

,_

,_

2 3222 2maxDonde:

,_

,_

24 maxmaxc u uu ufb BBq qq q

,_

,_

250 . 0 6 . 36 . 3/ 125 / 222/ 2222 22m mmm kN m kNm kN quf2/ 180 m kN quf752cvb BL250 . 0 6 . 3 m mLvm Lv55 . 1 Luego:, ) , )mmm kNm m kN m kNMu6 . 3255 . 1/ 180355 . 1 22/ 180 / 222222 2 211]1

+

,_

,_

m kN Mu 899El rea de refuerzo a flexin con:cm L 360 cm d 38 0049 . 0 > 0018 . 0min (C.15.4.5,NSR-98) OKEs:Ld As ) 38 )( 360 ( 0049 . 0 cm cm As 24 . 66 cm As El refuerzo a flexin se logra con el siguiente arreglo de barras:34 N5 @ 0.10 mste refuerzo se distribuye uniformemente en las dos direcciones.La longitud de desarrollo de las barras corrugadas, expresada en mm es:bcyddffl2512 Con: =1, =1,bd =16 mm (N5), MPa fc21 y MPa fy420 se obtiene:76mm ld704 > mm mm mm 1480 70 1550 No Requiere gancho.Por lo tanto se toman ganchos con una longitud de 250mm yel refuerzo de acerodistribuidouniformementeenlasdosdireccioneses: [email protected],Lb=3.4mResistencia a los esfuerzos de contacto (aplastamiento)La resistencia de diseo delconcreto a los esfuerzos de contacto (aplastamiento)nodebeexcederde185 . 0 A fc ;exceptocuandolasuperficiedeapoyoseamsanchaentodoslosladosqueelreacargada,laresistenciadediseoalaplastamientosobreelreacargadapuedemultiplicarsepor:, 2 /1 2 A A (C.10.13.2 NSR-98).Requerimiento de pedestalc ch b A1) 50 . 0 )( 50 . 0 (1m m A2 6 2110 25 . 0 25 . 0 mm m A 185 . 0 A f Pc n ) 10 25 . 0 )( 21 )( 85 . 0 )( 7 . 0 (2 6mm MPa Pn kN N Pn3124 3124000 kN P kN Pn u3124 1500 < No requiere pedestal77Despiece de la zapata 3.3.2.4Zapatasmedianeras.Laszapatasmedianeras(Figura32)sonaquellasque soportan una columna dispuesta de tal forma queuna desus caras coincidacon el borde de la zapata. La necesidad de su uso es muy frecuente debido a laslimitaciones de colindancia con las edificaciones adyacentes.Figura 16.Zapata Medianera.78Acontinuacinseexpondrnlasteorasexpuestasporalgunosautoresparamodelar y resolver el problema de las zapatas medianeras.3.2.4.1Casodecargaaxialliviana:AnlisisdezapatamedianerarecomendadoporEnriqueKerpel. EnriqueKerpel(10) hacelassiguientessuposiciones:Elequilibrioexigequelaresultantedelaspresionessobreelterrenoseigual y opuesta a la carga vertical que acta sobre la columna.Comolazapatanoessimtricaconrespectoalacolumnaylacondicinanterior debe cumplirse de todas maneras, es evidente que se deben tenerpresionesmayoresdelladoizquierdoquedelladoderecho,comosemuestraenlaFigura17, oseaquenohabrreaccinuniforme.Lapresin mxima se obtendr en el lado de la columna.No se toma en cuenta el peso propio de la zapata.Figura 17.Modelo estructural de la zapata medianera sin momento aplicado en lacolumna presentado por Enrique Kerpel.ElmtodopropuestoporEnriqueKerpelesaplicableparacargasaxialespequeas.Para el dimensionamiento se utilizan las siguientes expresiones:792b23B (30))B6e1 (BLPqmin = 0 (31)a maxq )B6e1 (BLPq + (32)Paraqueqmin=0,sedebecumplirque6Be .Remplazandoestevalorenlaexpresin de qmaxy despejando L se obtiene:aq BP 2L (33)EldiseodeunazapatamedianerasiguiendoelcriteriodeKerpel,dacomoresultado zapatas muy alargadas, poco prcticasy antieconmicas.No requierende viga de fundacin, para efectos de estabilizacin.3.2.4.2Caso de carga axial mediana: Anlisis de zapata medianera con vigaarea,recomendadoporJosCalavera. Esteautor(5)suponequebajolacimentacin existe una distribucin de presiones uniforme o linealmente variable, yrealizaelanlisisdecadaunadeellastalcomosemuestraenlossiguientesnumerales.3.2.4.2.1Zapatamedianeracondistribucinuniformedepresionesyreaccinmediantevigaarea.Elequilibriodelazapatamedianeraseobtienede la fuerza T, ya que sta centra la reaccin bajo la zapata (Figura 18).80Figura 18.Modelo estructural de la zapata medianera con distribucin uniforme depresiones con viga area, presentada por Jos Calavera.Las ecuaciones de equilibrio son:R N P 0 R - N P 0 ) ( Fy + + (34), ) 0 M2RB- ) h C ( T2NB2Pb0 M2o + + + + (35)Reemplazando la ecuacin (34) en la ecuacin (35) se tiene:0 M h) (C T )2B-2b( P2 + + + (36)Despejando Th) (C 22M - ) b - (B PT2+ (37)813.2.4.2.2Zapata medianera con distribucin variable de presiones y reaccinmediantevigaarea.Undiseodezapatamedianerasiguiendoelmodelodescritoenelnumeralanterior,concibelavigaareatrabajandoaunadeterminada tensin T que garantiza una distribucin uniforme de presiones q.Acontinuacinseexplicarunaalternativadediseoqueseajustaalosresultados obtenidos con un anlisis de interaccin suelo estructura (ISE) la cualconsidera que la accin del momento trata de volcar la zapata, produciendo comoefectounareaccinlinealnouniforme,conmayorintensidaddepresionesenelvrtice o de la zapata (Figura 19).A diferencia delmodelo condistribucin uniforme depresiones, presentado enelnumeral anterior, donde el nmero de ecuaciones son suficientes para despejar laincgnita del problema T, en este caso, dado que las incgnitas son tres (T, qmax yqmin)yelnmerodeecuacionessondos , ) , ) 0 My 0 ) ( Foy,elproblema no tiene solucin directa, es preciso entonces recurrir a una ecuacin decompatibilidad de deformaciones, utilizando para su deduccin la Figura 20.Figura 19.Modelo estructural de la zapata medianera con distribucin variable depresiones con viga area, presentada por Jos Calavera.82Figura 20.Modelo del giro y del asentamiento en zapata medianera con vigaarea presentado por Jos Calavera.En la Figura 20 se tiene:Desplazamiento en el punto 0:Kq

max0 (38)Desplazamiento en el punto 1:Kq

min1 (39)Giro en la zapata:KBq - qB-

min max 1 0s (40)Enestasexpresiones,Krepresentaelmdulodereaccindelsuelo,conocidotambin como mdulo de balasto.De otro lado, utilizando la frmula para calcular la deformacin de un voladizo concargaconcentradaenelextremoT,sededuceparaelclculodelgirodelacolumnala siguiente expresin:Giro en la zapata:C2 2CCI E 3C M) T ( + (41)83Donde,=Coeficiente que depende del grado de empotramiento de la columna y lavigaarea,convalores =1paraarticulacin(tipocable)y =0.75para empotramiento.IC=Inercia de la columna.E=Mdulo de elasticidad de la columna.Igualandolosgirosdelazapataydelacolumna,seobtieneunadelastresecuaciones que permite resolver el problema:KBq - qI E 3C Tmin maxC2 2C(42)Las otras dos ecuaciones, se obtienen por equilibrio esttico:, )BL2q qR N P 0 ) ( Fmin maxy+ + (43), ) 0 M L B6) 2q (q- ) Pb NB (21) h C ( T 0 M2 min max2 o +++ + + (44)Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos las expresiones:1]1

+ +L BI E 36h CM - )2b - B( P3C2 22C KT(45)84aC2 2maxq TI E 6B C KBLPq + (46)0 TI E 6B C KBLPqC2 2max> (47)Con respecto a la ecuacin (45), es importante observar que:A mayor brazo de palanca (valor de C), menor ser el valor de T.Si el sentido del momento M es antihorario, es decir, hacia afuera, tratandode abrir las columnas, mayor ser el valor de T.Debidoaquelosresultadosobtenidosmediantelaaplicacindeestaexpresin son inferiores a los obtenidos mediante un anlisis de Interaccinsuelo estructura, se recomienda, para el clculo del acero de refuerzo de laviga, duplicar este valor.El valor del coeficiente de balasto K est dado por la expresin:l K0.67fK (48)Donde:1.5Lb0.50 1 ,_

+ f (49)) - (1 BEK2S l (50)85Enestaltimaexpresin,eltrminoESrepresentaelmdulodeelasticidaddelsuelo,queseexpresaenkg/cm2yesigualalinversodelmdulodecompresibilidadvolumtricamv,elcualsedeterminamedianteelensayodeconsolidacin.Por consiguiente, se puede escribir:VSm1E (51)El trmino representa la relacin de Poisson del suelo de fundacin; su valor esde 0.35 para suelos arcillosos y de 0.25 para arenas.Enlaaplicacindelsistemadeecuaciones(45),(46)y(47),sepresentanenlaprctica dos casos para el anlisis:En el primero, sefijan las dimensiones de lazapata B, L y h y con el valor del coeficiente de balasto K, el cual se debe conocerpreviamente,seobtienen,mediantelasolucindelsistemadeecuaciones,lastensiones qmax y qmin y la fuerza T.En el segundo caso, fijando las presiones qmax y qminy la altura total de la zapata h,se determinan las dimensiones B y L de la zapata, mediante tanteos.Para la determinacin de las dimensiones de la zapata medianera con viga arease recomienda una relacin de forma L/B igual a 2, pues sta optimiza la cuantatotal de refuerzo en ambas direcciones de la placas de este tipo de cimentacin.86EJEMPLOZAPATA MEDIANERA.Se requiere disear la zapata medianera que se representa en la siguiente figura,en la cual se anota la informacin Bsica.DimensionamientoLoselementosdelafundacinsedimensionanparaqueresistanlascargasmayoradasylasreaccionesinducidas.Elreadeapoyodelabasedelafundacin se determina a partir de las fuerzas sin mayorar y el esfuerzo permisiblesobre el suelo.Las cargas de servicio son:kN Ps344 m kN Ms 8 . 37La excentricidad es:ssPMe 87kNm kNe3448 . 37 m e 11 . 0 Laexcentricidadcalculadaconlascargasdeservicioes igualalacalculadaconlas cargas mayoradas.Para dimensionar la zapata se utiliza la expresin dada por Meyerhof(4):, )assqL e BPq 2maxLa relacin largo ancho ms eficiente para zapatas medianeras con viga area es2.2 BLSustituyendo esta relacinen la expresin dada por Meyerhof se obtiene:, )asq e BPB2 2 , )2/ 100 ) 11 . 0 ( 2 2344m kN m BkNBm B 4 . 1 Tomando B= 1.5 m seobtiene L=3.0 m.Acontinuacinseverificasilaresultante cae en el tercio medio de la base: 6 / B e .m e mm B11 . 0 25 . 065 . 16 > OK88Elespesorde lazapatasobreelsueloporencimadelrefuerzo inferiornopuedeser menor de 150 mm (C.15.7.1, NSR-98). Se supone inicialmente un espesor dezapata de:mm h 400 La profundidad efectiva para un recubrimiento de 70 mm es:mm h d 70 mm mm d 70 400 mm mm d 150 330 > OKSegnJ.Calavera(5),latensinenlavigaareaylaspresionesmximaymnima ejercidas por elsuelo sobre la cara inferior de la zapata medianera estndadas por las expresiones (45), (46) y (47), las cuales se rescriben a continuacin:L BEIc kh cMb BPTcs ss32 22362+ + ,_

a scsSq TEIB c kBLPq + 62 2max062 2min> scsSTEIB c kBLPqExpresiones en las cuales: :1paraconexinvigacolumnaarticulada(tipocable)y0.75paraconexinviga columna empotrada. Para el caso en estudio corresponde a 0.75.SegnAguirreyAmaris(1),elvalordelcoeficientedebalastoKsepuededeterminar mediante el empleo de las expresiones (48), (49) y (50), las cuales porfacilidad nuevamente se presentan a continuacin:89k : coeficiente de balasto dado por:167 . 0kfk Con:5 . 15 . 0 1LBf+, )211 BEks Donde 0.35para arcillas 0.25para arenas y:vsmE1E : modulo de elasticidad del concreto. Segn C.8.5.4.1-NSR-98, E es:cf E 3900cI : momento de inercia de la columna, dado por:3121lb Ic Sustituyendolosvalorescorrespondientesenlasexpresionesanterioresseobtiene:83 . 05 . 135 . 15 . 0 1

,_

+mmf2 210/ 1 . 01mmNN mmEs , )3322110 1 . 725 . 0 1 ) 1500 (/ 10mmNmmmm Nk 90333310 8 . 8 10 1 . 767 . 083 . 0mmNmmNk ,_

217872 21 3900mmNMPa E 4 6 310 1600 ) 400 ( 300121mm mm Ic Finalmente:, ), ) , )) 3000 ( ) 1500 () 10 1600 ( 17872 361000 75 . 0 10 8 . 8400 100010 8 . 372400 1500) 10 344 (34 622 2336 3mm mmmmmmNmmmmNmm mmmm Nmm mmNTs ,_

,_

+ + ,_

kN Ts7 . 156 , ) , )NmmmmNmm mmmmNmm mmNqS34 622 2333max10 7 . 156) 10 1600 ( 17872 6) 1500 ( 1000 75 . 0 10 8 . 8) 3000 )( 1500 (10 344 ,_

,_

+2 2max/ 100 / 83 m kN m kN qS< OK, ) , )NmmmmNmm mmmmNmm mmNqS34 622 2333min10 7 . 156) 10 1600 ( 17872 6) 1500 ( 1000 75 . 0 10 8 . 8) 3000 )( 1500 (10 3440 ,_

,_

2 2min/ 0 / 70 m kN m kN qS> OKLos valores demaxqyminq para estado ltimo de carga son:91s uq qmax max5 . 1 , )2max/ 83 5 . 1 m kN qu2max/ 125 m kN qus uq qmin min5 . 1 , )2min/ 70 5 . 1 m kN qu2min/ 105 m kN quCortante por punzonamiento seccin critica a d/2 de la columna (cortantebidireccional)Las Cargas mayoradas son:kN Pu516 m kN Mu 7 . 56921]1

+ 22min maxmax2dbBq qq qu uuud1]1

+ 233 . 040 . 05 . 1/ 105 / 125/ 1252 222mmmm kN m kNm kN qud22/ 117 m kN qudLa fuerza total por punzonamiento que hace la columna sobre la placa es:, )1]1

,_

+ ++ 2 21 22 / max db d bq qP Vu d uu up, )1]1

,_

+ ++ 233 . 030 . 0 33 . 0 40 . 02/ 117 / 1255162 2mm m mm kN m kNkN VupkN Vup473 El esfuerzo cortante por punzonamiento es:d bVoupup Donde:, ) ,_

+ + + 222 1db d b bo, ) ,_

+ + + 233 . 040 . 0 2 33 . 0 30 . 0mm m m bom bo1.76 Luego:) 330 )( 1760 (473000mm mmNup MPaup81 . 0 Debe cumplirse que:93'

,_

+'

,_

+lb fesquina Columnaborde ColumnaColumnabd ffccc vsos c vc vup ,2162030interior 40,2163Conv = 0.85,s = 30,c =1.33 y MPa fc21 se obtiene:'Cumple MPaCumple MPaCumple MPaMPa62 . 12.4830 . 181 . 0Cortante directo seccin critica ade la columna (cortante unidireccional)El cortante unidireccional se chequea para el sentido longitudinal (L) y transversal(B).Sentido longitudinal (L)94 } d b BBq qq qu uu ud + 2min maxmin } m m mmm kN m kNm kN qud33 . 0 40 . 0 5 . 15 . 1/ 105 / 125/ 1052 22 + 2/ 115 m kN qudLa fuerza cortante vertical en sentido longitudinal es: } L d b Bq qVud uud +2min2 } m m m mm kN m kNVud0 . 3 33 . 0 40 . 0 5 . 12/ 115 / 1052 2 +2/ 253 m kN VudEl esfuerzo cortante es:LdVudud ) 330 )( 3000 (253000mm mmNud MPaud26 . 0 ste debe ser menor que el resistido por el concreto:6c vudf Conv =0.85 y MPa fc21 se obtiene:95621 85 . 026 . 0MPaMPa MPa MPa 65 . 0 26 . 0 OKSentido transversal (B)La fuerza cortante vertical en sentido transversal es:, )B db Lq qVu uud1]1

+2 21max min, )m mm m m kN m kNVud5 . 1 33 . 0230 . 0 0 . 32/ 125 / 1052 21]1

+kN Vud175.2 El esfuerzo cortante es:BdVudud ) 330 )( 1500 (175200mm mmNud MPaud35 . 0 96ste debe ser menor que el resistido por el concreto:6c vudf Conv =0.85 y MPa fc21 se obtiene:621 85 . 035 . 0MPaMPa MPa MPa 65 . 0 35 . 0 OKFinalmente las dimensiones de la zapata son: B = 1.5 m, L=3.0 m y h = 0.40mDiseo a flexin seccin critica cara de la columnaEl momento externo en cualquier seccin de una zapata se determina pasando unplanoverticalatravsde lazapata,ycalculandoelmomentodelasfuerzasqueactansobrelatotalidaddelreadelazapata,enunladodeeseplanovertical(C.15.4.1-NSR 98).Refuerzo en sentido longitudinal o largoBL q qMv u uu2 22max min

,_

+97Donde:2 21b LLv mmLv23 . 020 . 3 m Lv35 . 1 Luego:, )mm m kN m kNMu5 . 1235 . 12/ 125 / 1052 2 211]1

,_

,_

+m kN Mu 157El rea de refuerzo a flexin en direccin larga con:m B 50 . 1 cm d 33 0026 . 0 > 0018 . 0min (C.15.4.5,NSR-98) OKes:Bd Al s ) 33 )( 150 ( 0026 . 0 cm cm Al s29 . 12 cm Al sEl refuerzo en la direccin larga debe distribuirse uniformemente a todo loancho de la zapata (C.15.4.4a-NSR-98).Dicho refuerzo se logra con el siguiente arreglo de barras:11 N4 @ 13 cm,Lb = 2.86mLa longitud de desarrollo de las barras corrugadas expresada en mm es:98bcyddffl2512 Con =1, =1 ybd =12.7 mm (N4), MPa fc21 y MPa fy420 se obtiene:mm ld559 < mm mm mm 1280 70 1350 No requiere ganchoFinalmente elrefuerzo deacerodistribuido uniformemente atodo lo anchode la zapata es:11 [email protected] 130 mm, Lb = 2860mmRefuerzo en sentido transversal o corto, ) b BBq qq qu uu uf+ min maxmin99, ) m mmm kN m kNm kN quf40 . 0 50 . 15 . 1/ 105 / 125/ 1052 22+ 2/ 119 m kN qufLLq qLq Mvu ufvu u11]1

,_

,_

+

,_

3 2 22min2minDonde:2b B Lv m m Lv40 . 0 5 . 1 m Lv10 . 1 Luego:, ) , )mm m kN m kN mm kN Mu5 . 1310 . 12/ 105 / 119210 . 1/ 1052 2 2 221]1

,_

+ m kN Mu 199El rea de refuerzo a flexin en el sentido transversal con:cm L 300 cm d 33 00163 . 0 < 0018 . 0min (C.15.4.5,NSR-98) Se toma la 0.0018Es:Ld At s ) 33 )( 300 ( 0018 . 0 cm cm Ast282 . 17 cm At sParaelrefuerzoenladireccincorta,unaporcindelrefuerzototalobtenidodebedistribuirseuniformementesobreunanchodebanda100centrada sobre el eje de la columna opedestal, igual a la longitud del ladocortodelazapata.Elrestodelrefuerzoqueserequiereenladireccincorta,debedistribuirseuniformementeporfueradelanchodelabandacentral de la zapata (C.15.4.4a-NSR-98).12+ corta direccin la en total refuerzobanda la de ancho el en refuerzoDonde: : relacin del lado largo al lado corto de la zapata.BL mm5 . 10 . 3 2 El refuerzo en el ancho de banda de 1.5 m es:corta direccin la en total refuerzo banda la de ancho el en refuerzo12+282 . 17) 1 2 (2cm banda la de ancho el en refuerzo+288 . 11 cm banda la de ancho el en refuerzo El refuerzo en el ancho de la banda, distribuido uniformemente se logra conel siguiente arreglo de barras: 11 N4 @ 16 c m, Lb = 1.36 m.101Elrestodelrefuerzoqueserequiereenladireccincorta,sedistribuyeuniformementepor fuera del ancho de la banda central de lazapata.2 2 294 . 5 88 . 11 82 . 17 cm cm cm banda la de ancho del fuera por refuerzo Este refuerzo se consigue con tres barras nmero 4 colocadas a lado y ladopor fuera del ancho de banda: 3 N4 @ 26 c m, Lb = 1.36 m.La longitud de desarrollo de las barras corrugadas expresada en mm es:bcyddffl2512 Con =1, =1 ybd =12.7 mm (N4), MPa fc21 y MPa fy420 se obtiene:mm ld559 < mm mm mm 1030 70 1100 No requiere ganchoPor lo tanto, el refuerzo en el ancho de la banda y por fuera de l, distribuidouniformemente se logra con el siguiente arreglo de barras:En el ancho de banda: 11 N4 @ 150 mm, Lb = 1350 mm Fuera del ancho de banda: 6 N4 @ 260 mm, Lb =1350 mm.102Revisin del cortante en la columnaTugeneraunesfuerzocortanteenlabasedelacolumna,elcualseestudiaacontinuacin teniendo en cuenta la recomendacin que implica duplicar el valor deTupara realizar dicho estudio., )s uT T 2 5 . 1 , ), ), ) kN Tu7 . 156 2 5 . 1 kN Tu470 103La fuerza cortante en la base de un pedestal de 400x500 mm es:kN T Vu u470 El esfuerzo cortante en la base de la columna es:1 2b bVuu , ), ) mm mmNu500 400470000 MPau35 . 2 Debido a que el esfuerzo cortante en la base de la columna supera la resistencia acortantedelconcreto

,_

MPafc vcu65 . 06 ,serequierelacolocacindeestribos al pedestal o el aumento de seccion del mismo.Seoptaporlasegundaalternativa,estoes,lacolocacindepedestal.Conlainclusindelpedestaldeberarevisarsenuevamentelascondicionesdepunzonamientoycortantedirecto,sinembargo,stasseriansatisfechascon104holgura,porlotantonosernrevisadas,apesardequeestoimpliqueunsobredimensionamiento.Tomando como ancho del pedestal la misma longitud que el ancho de la columna.A continuacin se revisa el esfuerzo cortante en el pedestal:puuBlV , ), ) mm mmNu300 1500470000 MPau04 . 1 La resistencia a cortante que debe contribuir el refuerzo es:cu u su MPa MPasu65 . 0 04 . 1 105MPasu39 . 0 ElrefuerzodecortanteconsisteenestribosN4endosramas,dispuestosperpendicularmente al eje del pedestal. La separacin entre stos es:p suy vlf AsDonde:vA : eselreadelrefuerzoacortanteexpresadaen mm dentrodeladistancia s. Para estribos N3 en dos ramas . 1422mm Av Luego:, ), ), ), ) mm MPaMPa mms300 39 . 0420 142 85 . 02mm s 433 Finalmente el refuerzo a cortante en el pedestal es:4E N3 @ 40 cm DISEO DE LAVIGA DE FUNDACINSe disear una viga de fundacin de 400 mm x 400 mm (>L/40), proyectada paraunir la zapata concntrica del ejemplo 1 y la zapata medianera del ejemplo 2.106 Deacuerdoconlainformacindisponible,lafuerzaaxial(cargaltima)correspondiente a la columna ms cargada es Pu max = 516 kN.Paraquelavigadefundacinsecomportecomounelementoeficienteparamejorarelcomportamientossmico,sedebedisearparaunacompresinotraccin, dada por la ecuacin (2):C T = 0.25 Aa Pu = 0.25 x 0.2 x 516 = 0.05 x 516 = 25.8 kNAdicionalmente debe resistir la tensin generada por la excentricidad de la zapatamedianera ya calculada.Tum = 235 kN x 2 = 470 kN (por recomendacin de diseo).La Tensin total mayorada para combinacin de sismo esTu = 470 x 0.75 + 25.8 = 378 kN < 470 kN, por lo que gobierna la combinacin decargas verticales.2yusreqmm 243 1420 x 0.9470000fTA As min = 0.01 x 400 x 400 = 1600 mm2 (como columna)Colocar 4 #7 continuas con estribos #4 @ 400/2 = 200 mm1073.2.5Zapataesquineras. Seestudiarenestecursoelcasodezapatasesquineras con dos vigas areas, considerando que bajo la cimentacin existe unadistribucin de presiones linealmente variable, presentando para este propsito elfundamento terico expuesto por Jos Calavera en su referencia (5).Jos Calavera presenta un anlisis partiendo del hecho de que la complejidad delmodelo esmuy grandesi lacolumna y la zapata no son cuadrados.Puesto queenelcasodezapatasdeesquinanoexisteningunarestriccinpreferenteparahacerlas mayores enuna direccin que en laotra, en lo quesigue, elmtodo seexpondr para el caso de zapata cuadrada.FIGURA 21.Geometra del modelo estructural de la zapata esquinera con dosvigas areas presentado por Jos Calavera.En la Figura 21 se muestra el esquema estructural y las fuerzas en equilibrio.108EnlaFigura22semuestraunaseccintransversaltrazadajustopor ladiagonaldelazapata,conbaseenlacualsedeterminanlasecuacionesdeequilibriosuponiendo que todo el terreno bajo la zapata est comprimido., )2q qB N Pmin max 2+ + (52) }min max37q q 5242 B22 BN22 bP h) (C T + + + + (53)FIGURA 22.Modelo estructural de la zapata esquinera con distribucin variablede presiones y dos vigas areas.Laterceraecuacinnecesariapararesolverelproblemaesobtenidadelacompatibilidad de deformaciones, igualando el giro de la zapata al de la columna,suponiendo un mdulo de balasto K:, )I E 3L T2 B Kq q2 2min max(54)De la solucin del sistema de ecuaciones (52), (53) y (54) resultan las expresionesnecesarias para resolver el problema:1091]1

+ +I E 36C B Kh C22b) - (B P2 2 4MrT2221M M Mr+ T22T0 (55)a2 22maxq TI E 6L 2 KBBPq (57)En la aplicacin prctica del sistema de ecuaciones (55), (56) y (57), se presentandos casos para el anlisis:En el primero, se fijan las dimensiones de la zapata By h, y con el valor del coeficiente de balasto K, determinado mediante la ecuacin48,seobtienenlastensionesqmaxy qminylafuerzaT.Laobtencindevaloresaceptables por la estructura y por el coeficiente de balasto zapata suelo, puederequerirlarealizacindealgntanteo.LafuerzadetraccinTresultantepuededescomponerse ortogonal mente en dos fuerzas iguales To.T22To (58)En el segundo caso, se fijan las tensiones qmax y qmin y se estima el valor de K, locualequivaleaestimarlasdimensionesdelcimiento,yestopuedetambinrequerir algn tanteo.En laFigura 23 se representa elcomportamientode lazapata esquinera frente alos momentos que sobre ella actan.110Calavera (5) supone que la placa (zapata) est apoyada sobre dos vigas virtualesenvoladizo.Otrosautoreshanencontradoquelaplacaestsometidaadosmomentos mximos, uno (MT) en direccin de la diagonal que pasa por la columnayqueproducetraccionesenlacarasuperiordelazapata(Figura23(b)),yotro(ML) en direccin ortogonal a la anterior, que produce tracciones en la cara inferior(Figura23(c)).Lamagnituddeestosmomentosesprcticamentelamisma,siendo por unidad de ancho igual a:8 . 4B qM M2T L (59)(a) (b) (c)FIGURA 23.Momentos que actan sobre la zapata esquinera.Paraelrefuerzoenelcentrodelaplaca(Figura24a)secolocandosparrillasarriba y abajo de modo que cada una resista ML= MT.El diseo de las vigas virtuales se realiza para el momento:0 . 3B qM3v (60)111En las expresiones (59) y (60) q representa la presin promedia bajo la zapata, esdecir:, )2q qqmin max+ (61)(a) (b)FIGURA 24.Distribucin del acero de refuerzo en la zapata esquinera.EJEMPLO DE ZAPATA ESQUINERA.Se desea disear una zapata esquinera con la siguiente informacin bsica:P = 933 kNmv = 0.1 N/mm2112M1 = 9.7 kN.m = 0.25M2 = 8.3 kN.m Fc = 21 MPaqa = 150 kN / m2Fy = 420 MPab = 0.45 m, )02 2 436EIc B kh cMr22 b B PT+ +2221M M Mr+ T22T0 T6EIc2 B kBPq2 22 max+ T6EIc2 B kBPq2 22 min Acontinuacin,sesigueelmismoprocedimientoqueseindicparalazapatamedianera.CabeanotarqueparaelanlisisplanteadoporCalaveratantolazapatacomolacolumnasetrabajancuadradasporfacilidaden lasexpresiones,porloquessetieneunacolumnarectangular,sedebeaumentarunadesusdimensiones para que sea cuadrada al entrar a conectarse con la zapata.Tomando como momento resultante en l diagonal a:m . kN 12.8 9.7 8.3 M2 2r + La excentricidad equivalente en la diagonal ser:mkNm kNPMeSR014 . 09338 . 12 113La comprobacin de qa por Meyerhof (4) debe realizarsea partir de qsmax y qsmintal como en las zapatas medianeras. Sin embargo con una excentricidad tanpequea B podra estar dado por:asqPB 2/ 150933m kNkNB m B 5 . 2 En las expresiones anteriores se tiene que: =1paraconexinvigacolumnaarticulada(tipocable)y0.75paraconexinviga columna empotrada. Para el caso en estudio corresponde a 0.75.k = coeficiente de balasto dado por:1k0.67fk Con:1.5LB0.5 1f+, )2s1 1 BEk donde:vsmE1114E : mdulo de elasticidad del concreto. Segn C.8.5.4.1-NSR-98, E es:cf E 3900cI : momento de inercia de la columna, dado por:3121lbcI Tomando un B = 2.6 m, definiendoun C = 1.0 m. Se trabaja con unMv = 0.1 mm2/ N y se supone un = 0.25 para encontrar el coeficiente de balastok.Sustituyendolosvalorescorrespondientesenlasexpresionesanterioresseobtiene:1.01.5m 2.6m 2.60.5 1f

,_

+2 210/ 1 . 01mmNN mmEs , )3322110 1 . 425 . 0 1 ) 2600 (/ 10mmNmmmm Nk 333310 12 . 6 10 1 . 467 . 00 . 1mmNmmNk ,_

217872 21 3900mmNMPa E 1154 6 310 3417 ) 450 ( 450121mm mm Ic Elespesorde lazapatasobreelsueloporencimadelrefuerzo inferiornopuedeser menor de 150 mm (C.15.7.1, NSR-98). Se supone inicialmente un espesor dezapata de:mm h 500 La profundidad efectiva para un recubrimiento de 70 mm es:mm h d 70 mm mm d 70 500 mm mm d 150 430 > OK, ) , )44 622 2336 3) 2600 () 10 3417 ( 17872 361000 75 . 0 10 12 . 61000 50010 8 . 122450 2600) 10 933 (mmmmmmNmmmmNmm mmmm Nmm mmNTs ,_

,_

+ + ,_

kN Ts894 116, ) , )NmmmmNmm mmmmNmmNqmaxs34 622 2332310 886) 10 3417 ( 17872 6) 2600 ( 1000 75 . 0 10 12 . 6) 2600 (10 933 ,_

,_

+2 2/ 150 / 169 m kN m kN qmaxs< No Cumple, ) , )NmmmmNmm mmmmNmmNqmins34 622 2332310 886) 10 3417 ( 17872 6) 2600 ( 1000 75 . 0 10 12 . 6) 2600 (10 933 ,_

,_

2 2min/ 150 / 107 m kN m kN qs< OKComo las dimensiones propuestas para la zapata no cumplen una de lascondiciones de capacidad de carga por lo que toca modificarlas. En la siguientetabla se presentan los resultados obtenidos para diferentes valores de B.B (m)Ts (kN)qmin (kN/m^2) qmax (kN/m^2)2.7923 96 1602.8959 86 1522.9995 77 145Valores de qmin y qmax para diferentes valores de BDelatablasepuedeobservarqueparaunvalordeB=2.9msecumplenlascondiciones necesarias de capacidad de carga sin embargo B = 2.8 m seacercamucho al limite,por loque seriamejor trabajar al limitey tomar estevalor de B yverquepasasisetuvieraquevariarhporrestriccionesdepunzonamientounidireccional.Cortante directo seccin critica a d/2 de la cara de la columna (cortantebidireccional)117Cortante BidireccionalLas cargas admisibles ltimas en la zapata son:2kN/m 29 2u maxq 2/ 128minm kNuq Se evala la carga ltima de reaccin promedio en la zapataumq (en toda ladiagonal) al igual que la carga ultima de reaccin promedio en el cuadrado de ladob+d/2uxq .2qumin umaxumq q +1182128 2292 2mkNmkNqum+2179mkNqum , )

,_

+ 2 2dbBq qq qmin maxmax ux, )mmmkNmkNqux

,_

+ 243 . 045 . 08 . 2 2128 229229222217mkNqux La fuerza total por punzonamiento que hace la columna sobre la placa es:222

,_

+ dbuxq BumquxV, )2243 . 045 . 0221728 . 22179 mmkNmmkNupV ,_

+ kN Vup1304 El esfuerzo cortante por punzonamiento es:dobupVup Donde:

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+ 22dbob

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+ 243 . 045 . 0 2mm bo119mob 1.33 Luego:) 430 )( 1330 (1304000mm mmNup MPaup28 . 2 Debe cumplirse que:'

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+'

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+lbfesquina Columnaborde ColumnaColumnabd ffccc vsosc vc vup ,2162030interior 40,2163Conv = 0.85,s = 20,c =1 y MPa fc21 se obtiene:'Cumple No MPaCumple MPaCumple No MPaMPa95 . 12.7530 . 129 . 2Comolazapatanocumplelacondiciones decortantehayqueaumentarelvalorde h, tomando un h = 0.75m tenemos:kN Ts836 2 2/ 150 / 148 m kN m kN qsmax< OK2 2/ 150 / 90 m kN m kN qsmin< OK2179mkNqum 2209mkNqux kN Vup1269 MPa .up 18 1 120'Cumple MPaCumple MPaCumple MPaMPa95 . 13.4530 . 118 . 1Cortante directo seccin critica a d de la columnacortante unidireccionalComo se parte de que la distribucin de presiones en la zapata linealmente en ladiagonal se vuelve complejo hallar la reaccin resultante exacta en las pocionesindicada de la zapata por lo que se utiliza la siguiente expresin ms sencillaaunque ms conservadora:, ) } d b B B q Vum ud , ) } m mmkNVud68 . 0 45 . 0 8 . 2 8 . 2 1792 121kN Vud835 El esfuerzo cortante es:MPamm mmNd BVududud44 . 0680 * 2800835000 ste debe ser menor que el resistido por el concreto:6c vudf Conv =0.85 y MPa fc21 se obtiene:MPaMPaMPa 65 . 0621 85 . 044 . 0 CumpleDiseo a flexin de la zapataEnlareferencia(5)sesuponequelaplaca(zapata)seencuentraapoyadasobredosvigas122virtualesenvoladizo.Elcasohasidoobjetodeestudio por otros autores y se ha encontrado que laplaca esta sometida a dos momentos mximos unoendireccindeladiagonalquepasaporlacolumna(producetracciones enlacara inferiordela zapata) y otro en direccin ortogonal a la anterior(producetraccionesenlacarasuperior).Lamagnituddeestosmomentosesprcticamentelamisma, obtenindose por unidad de ancho.4.8qBM2p El refuerzo en la placa se coloca en las dos direcciones ortogonales de modo quecada parrilla resista Mp.El diseo de las vigas virtuales se realiza para el momento:3qBM3v Momento en la parrilla:8 . 43B qM MpromP L con:2umin umaxpromq qq+m kNmkNmkNMu . 9078 . 49 . 22129 22832 2

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+Utilizando la ecuacin de momento ultimo para la seccin de la viga que se havenido utilizando en todos los diseos de flexin:123

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cyy uFFF d b M 12Con: 59 . 0 Resolviendo para el rea de refuerzo a flexin en direccin perpendicular a laviga con:cm B 280 cm d 68 0012 . 0 > 0018 . 0min (C.15.4.5, NSR-98)Se debe poner la mnimaEs:Bd As ) 68 )( 280 ( 0018 . 0 cm cm As28 . 28 cmsA Esta rea se lograra con el siguiente arreglo de barras: 23 N5 @ 0.09 m, Lb =2.66 mEstas barras estaran ubicadas en la regin de la zapata entre las vigas virtualestanto arriba como abajo.Momento en las vigas virtuales:33B qMpromv124m kNmkNmkNMv. 130638 . 2*2135 22232 2

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+El rea de refuerzo a flexin en la seccin de las vigas virtuales con:cm b 45 cm d 68 0227 . 0 > 0018 . 0min (C.15.4.5, NSR-98) OKEs:Bd As ) 68 )( 45 ( 00227 . 0 cm cm As24 . 69 cm AsEsta rea se lograra con: 10 barras N10, Lb = 2.66 m1253.2.6Zapatasenlazadas. EnestecasoseestudiarelmodelodezapataenlazadaqueserepresentaenlaFigura25,enlacualtrabajaunazapatamedianera con su momento, en conjunto con una zapata central.Se busca en el modelo que la viga de enlace pese y sea lo suficientemente rgidaconelobjetodeformarunabalanzaopalancaytomarpartedelmomentoquetrata de voltear la zapata.El objeto de este sistema estructural tiene las siguientes ventajas:Contrarrestar el momento volador de la zapata medianera.Obtener reacciones uniformes bajo la zapata medianera.126FIGURA 25.Geometra y modelo estructural de la zapata enlazada.De acuerdo con la Figura 25 al establecer las ecuaciones de equilibrio se tiene:, )cM - PR 0 M c R P - 0 Mz11 1 1 2ll + + (62)1 2 1 2 2 2 1 1 yR - P P R 0 R P - R P - 0 ) ( F + + + (63)127Donde:a1qBLR< (64)Paraelclculodelaceroderefuerzodelavigadeenlaceseconsiderarnlosvalores mximos de cortante y momento que se indican en la Figura 25.En estemodelo, la viga de enlace no debe conectarse a la columna de la zapatacentral,yaquenodebetomarlosmomentosquesetransmitenatravsdeestacolumna tal como se representa en la Figura 26.FIGURA 26.Apoyo de la viga de enlace en la zapata central.Enestecaso,debidoalascondicionesdeapoyo,laviganoatiendeasentamientosdiferenciales,perosipuedeconsiderarseeneldiseocomounelementoestructuralcapazdeatenderfuerzasssmicas.Estaviganodebeinteractuar con las dems vigas que eventualmente lleguen a la zapata.Enalgunoscasoslavigadeenlacenoseapoyadirectamentesobrelacarasuperiordelazapata,sinoqueseapoyasobreunmurodelmismoanchodelavigadefundacin,talcomoseindicaenlaFigura27. Concebidaas,lavigatrabajara bajo las mismas condiciones del modelo de Calavera y su construccinsera ms econmica, al diminuirse el volumen de excavacin.128FIGURA 27.Alternativa de apoyo de la viga de enlace en la zapata medianera.Paraelclculodelrefuerzodelazapatamedianeraensentidotransversalalaviga de fundacin se evala el momento en la respectiva seccin crtica utilizandopara ello la carga distribuida q, dada por la ecuacin 64.En el sentido paralelo a la viga de fundacin se utiliza la cantidad mnima de acerode refuerzo, dada por 0.0018 L d.Para facilitar el diseo se recomienda escoger B = L3.2.7ZAPATASCONTINUAS.Lossistemasestructuralesqueusualmentesecimientanenzapatascontinuasocorridassonlosprticosylamamposteraestructural.En general, Si el rea requerida para la cimentacin es mayor del 30% pero menordel50%delreadelaplantadeledificiooestructura,sepuedepensarenunaviga continua como posible sistema de cimentacin.El algoritmo delametodologa tradicional para calcular unaviga defundacin enunedificiodemampostera,asumiendounadistribucinuniformedepresionesdebajo de la zapata igual a la capacidad admisible del suelo qa ,es el siguiente:1Se determina el ancho de la viga:129B = P/qa (P lineal de servicio) (65)2Sedeterminaelperaltedelaviga. Comounaaproximacinempricaparacalcularlaalturadelavigadefundacin,serecomiendaconsi