XVI Semana Regional en

Investigacion y Docencia

en Matematicas

DEPARTAMENTO DE MATEMATICASUNIVERSIDAD DE SONORA

(27 de Febrero–3 de Marzo 2006)

Topologıa Diferencial

Jose Luis Cisneros Molina

Indice general

1. Variedades Diferenciables 3

1.1. Aplicaciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Variedades Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Espacio Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Valores Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5. El Teorema Fundamental del Algebra . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. El Teorema de Sard 10

2.1. Variedades con Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. El Teorema de Punto Fijo de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Grado de una Aplicacion Diferenciable 15

3.1. Homotopıas e Isotopıas diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. Variedades Orientadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3. El Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. Campos Vectoriales 21

4.1. Indice de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2. Caracterıstica de Euler-Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3. Teorema de Poincare-Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1

Introduccion

Las presentes notas cubren el contenido del minicurso “Topologıa Diferen-cial” impartido en la XVI Semana Regional de Investigacion y Docencia enMatematicas que se llevo a cabo del 27 de Febrero al 3 de Marzo en el Depar-tamento de Matematicas de la Universidad de Sonora.

El curso consistio en cuatro clases, las cuales corresponden a cada uno delos capıtulos de las notas. El objetivo del primer capıtulo es definir variedadesdiferenciables, espacio tangente, aplicaciones diferenciables entre variedades yvalores regulares de una aplicacion diferenciable. Usando esto ultimo, como unaaplicacion se demuestra el Teorema Fundamental del Algebra. En el segundocapıtulo se enuncia el Teorema de Sard y se demuestra que la imagen inversade un valor regular es una variedad diferenciable y como un aplicacion se de-muestra el Teorema del Punto Fijo de Brouwer. En el tercer capıtulo se define elgrado de una aplicacion diferenciable y se describen sus principales propiedades.Finalmente en el capıtulo 4 se define el ındice de un cero aislado de un campovectorial y se bosqueja una prueba del Teorema de Poincare-Hopf.

Como requisitos se suponen unicamente los conocimientos de cursos basicosde Topologıa y Analisis Vectorial.

Espero que estas notas sirvan como una pequena introduccion al mundo de laTopologıa Diferencial, las cuales siguen muy cercanamente al excelente libro deMilnor [6]. Al final se da una pequena bibliografıa donde se pueden estudiar masa fondo estos temas y topicos relacionados. Cualquier comentario o sugerenciapara mejorar estas notas sera bienvenido (jlcm@matcuer.unam.mx).

Jose Luis Cisneros Molina

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Capıtulo 1

Variedades Diferenciables

1.1. Aplicaciones Diferenciables

Como es costumbre, denotaremos por Rk al espacio Euclideano de dimension

k. Sean U ⊂ Rk y V ⊂ R

l conjuntos abiertos, por calculo de varias variablessabemos que una aplicacion f : U → V es diferenciable si todas sus derivadasparciales ∂nf

∂xi1...∂in

existen y son continuas.

Como un ejemplo, recordemos que una curva diferenciable en Rk es una

funcion α de un intervalo abierto I de R en Rk tal que las funciones coordenadas

son derivables en I. Para t0 ∈ I, llamaremos a α′(t0), la derivada de α evaluadaen t0, el vector velocidad de α en α(t0).

Dada una aplicacion diferenciable f : U ⊂ Rk → V ⊂ R

l, con U y V abiertos,la diferencial de f en x ∈ U , denotada por dfx, es una transformacion lineal deR

k en Rl, la cual podemos definir como sigue. Para v ∈ R

k, sea α : (−ǫ, ǫ) → Rk

una curva diferenciable tal que α(0) = x y α′(0) = v. Luego β = f ◦ α es unacurva diferenciable en R

l. Entonces definimos

dfx(v) = β′(0).

Recordemos que la diferencial satisface las siguientes propiedades:

1. Regla de la cadena Si f : U → V y g : V → W son aplicaciones diferen-ciables con f(x) = y, entonces

d(g ◦ f)x = dgy ◦ dfx.

2. Si I es la aplicacion identidad de U , entonces dIx es la aplicacion identidadde R

k. De manera mas general, si U ⊂ U ′ son conjuntos abiertos e i : U →U ′ es la inclusion, entonces dix es nuevamente la aplicacion identidad enR

l.

3. Si L : Rk → R

l es una aplicacion lineal, entonces dLx = L.

3

De manera mas general, sean X y Y subconjuntos arbitrarios de Rk y R

l

respectivamente. Una funcion f : X → Y se dice que es diferenciable si paracada x ∈ X existe un subconjunto abierto W ⊂ R

k que contiene a x y unafuncion diferenciable F de W en R

l tal que

f = F |X∩W .

Definicion. Una funcion

f : X ⊂ Rk → Y ⊂ R

l

es un difeomorfismo si f es una biyeccion entre X y Y tal que f y f−1 sondiferenciables.

Una aplicacion de las propiedades de la diferencial es la siguiente proposicion.

1.1 Proposicion. Si f es un difeomorfismo entre conjuntos abiertos U ⊂ Rk

y V ⊂ Rl, entonces k = l y la aplicacion lineal

dfx : Rk → R

l

es no singular, para todo x ∈ U .

Demostracion. La composicion f−1 ◦ f es la aplicacion identidad en U , por lotanto d(f−1)y◦dfx es la aplicacion identidad en R

k. Analogamente, dfx◦d(f−1)y

es la aplicacion identidad en Rl. Por lo tanto, dfx tiene un inverso por los dos

lados y se sigue que k = l.

1.2. Variedades Diferenciables

Definicion. Un subconjunto M de Rk es una variedad diferenciable de

dimension m, con m < k, si a M lo podemos dotar de una familia {(Ui,Xi)}i∈I

tal que satisface las siguientes condiciones:

i) Para todo i ∈ I, Ui es un subconjunto abierto de Rm y Xi son difeomor-

fismos entre Ui y Xi(Ui) ⊂ M .

ii)⋃

i∈I Xi(Ui) = M .

Para p ∈ Xi(Ui), el par (Ui,Xi) es llamado una parametrizacion de M enp y X

−1i (Ui) es llamada vecindad coordenada en p. Una familia {(Ui,Xi)}i∈I

que satisface (i) y (ii) es llamada estructura diferenciable de M .

1.2 Ejemplo. La esfera de tres dimensiones

S3 = { (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x2

1 + x22 + x2

3 + x24 = 1 }.

4

Sea U = { (x1, x2, x3) ∈ R3 | x2

1 + x22 + x2

3 < 1 } y la funcion f : U −→ R talque f(x1, x2, x3) =

√

1 − (x21 + x2

2 + x23). Tomemos la familia {(Ui, Fi)}

8i=1 tal

que para i = 1, ..., 8, Ui = U y Fi : Ui −→ S3 donde

F1(x1, x2, x3) = (f(x1, x2, x3), x1, x2, x3)

F2(x1, x2, x3) = (−f(x1, x2, x3), x1, x2, x3)

F3(x1, x2, x3) = (x1, f(x1, x2, x3), x2, x3)

F4(x1, x2, x3) = (x1,−f(x1, x2, x3), x2, x3)

F5(x1, x2, x3) = (x1, x2, f(x1, x2, x3), x3)

F6(x1, x2, x3) = (x1, x2,−f(x1, x2, x3), x3)

F7(x1, x2, x3) = (x1, x2, x3, f(x1, x2, x3))

F8(x1, x2, x3) = (x1, x2, x3,−f(x1, x2, x3))

con inversas F−1i = πi|Fi(Ui) donde πi : R

4 −→ R3 para i = 1, ..., 8

πi(x1, x2, x3, x4) =

(x2, x3, x4) si i = 1, 2.

(x1, x3, x4) si i = 3, 4.

(x1, x2, x4) si i = 5, 6.

(x1, x2, x3) si i = 7, 8.

claramente Fi y F−1i son diferenciables para i = 1, ..., 8 y ası la familia {(Ui, Fi)}

8i=1

satisface las condiciones de nuestra definicion de variedad diferenciable, por lotanto S3 es una variedad diferenciable.

1.3. Espacio Tangente

Definicion. Sea M una variedad diferenciable de dimension m en Rk y p un

punto de M . Un vector v de Rk es tangente a M en p, si v se puede expresar

como el vector velocidad en p de alguna curva diferenciable en M que pase porp. El conjunto de todos los vectores tangentes a M en p es llamado espacio

tangente a M en p y se denota por TpM .

Ahora, sea M ⊂ Rk una variedad diferenciable y f : M −→ R

l una funciondiferenciable. Sabemos que para todo p ∈ M existe un conjunto abierto U ⊂ R

k

tal que p ∈ U y una funcion diferenciable F de U en Rl tal que F |M∩U = f .

Definimos para cada p ∈ M la diferencial de f en p por:

dfp : TpM −→ Rl

dfp = dFp

∣

∣

TpM .

Verifiquemos que dfp esta bien definida, para ello sea G otra funcion diferenciablede un abierto V de R

k en Rl tal que p ∈ V y G|M∪V = f . Sea α : I −→ M

una curva diferenciable en M tal que α(t0) = p. Entonces, β(t) = f(α(t)) =

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F (α(t)) = G(α(t)) de manera que en t0 tenemos

dFp(α′(t0)) = β′(t0)

= dGp(α′(t0))

lo cual nos muestra que dFp|TpM = dGp|TpM y ası dfp esta bien definida.

1.3 Proposicion. Sea M una variedad diferenciable de dimension m en Rk

y p un punto de M . El espacio tangente a M en p es un espacio vectorial de

dimension m.

Demostracion. Dado un punto p en M y u ∈ TpM , existe una curva α : I −→ Mtal que α(t0) = p y α′(t0) = u. Sea (U,X) una parametrizacion de M en p talque X(x0) = p. Como X

−1 es diferenciable tenemos que β = X−1◦α es una curva

diferenciable en U con β(t0) = x0 y β′(t0) = dX−1p (u) ∈ R

m. Inversamente, paracada vector v ∈ R

m existe una curva diferenciable γ en U tal que pasa por x0 yel vector velocidad de γ en x0 es precisamente v y puesto que X◦γ es una curvadiferenciable en M , dXx0

(v) ∈ TpM . Por lo tanto

TpM = dXx0(Rm)

y ası TpM es un espacio vectorial. Ahora, para las transformaciones lineales

dXx0: R

m −→ TpM

dX−1p : TpM −→ R

m

tenemos que dXx0◦ dX

−1p es la identidad en R

m, de donde dXx0es sobreyectiva

y dX−1p es inyectiva, por lo tanto, la dimension de TpM es igual a la dimension

de Rm, la cual es como sabemos m.

Consideremos dos variedades, M ⊂ Rk y N ⊂ R

l, y una transformaciondiferenciable f : M −→ N . Sea p en M y α una curva en M tal que α(t0) = p,entonces f ◦α es una curva en N tal que (f ◦α)(t0) = f(p) y de aquı tenemos quelos vectores tangentes a M en p seran mandados por dfp a vectores tangentes aN en f(p) por lo tanto la diferencial nos da una aplicacion bien definida entrelos espacios tangentes

dfp : TpM −→ Tf(p)N.

Como antes, la diferencial tiene las siguientes propiedades fundamentales:

1. Regla de la Cadena: Si f : M → N y g : N → P son diferenciables conf(p) = q, entonces

d(g ◦ f)p = dgq ◦ dfp.

2. Si I es la aplicacion identidad de M , entonces dIp es la aplicacion identidadde TMp. De forma mas general, si M ⊂ N con la aplicacion inclusioni : M → N , entonces dip : TMp → TNq es la aplicacion inclusion.

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La demostracion de estas propiedades se sigue de la definicion de la diferencialde una aplicacion diferenciable entre variedades y las propiedades analogas paraaplicaciones diferenciales de R

m en Rl. Como antes, estas propiedades implican

la siguiente proposicion.

1.4 Proposicion. Si f : M → N es un difeomorfismo, entonces dfp : TMp →TNq es un isomorfismo de espacios vectoriales. En particular, la dimension de

M es igual a la dimension de N .

Dada una aplicacion diferenciable entre dos variedades f : M → N , tenemosque la diferencial dfp : TMp → TNq en una transformacion lineal que dependedel punto p de M , ası que al cambiar de punto obtenemos, mediante la diferencialde f , otra transformacion lineal entre los espacios tangentes correspondientes.Esto motiva a definir una transformacion del conjunto de todos los vectorestangentes a M en el conjunto de todos los vectores tangentes a N . Para tal fin,definamos para una variedad diferenciable M ⊂ R

k, el subconjunto de M × Rk

TM = { (x, u) ∈ M × Rk | x ∈ M }, u ∈ TxM (1.1)

y al cual llamaremos haz tangente. De manera que el elemento (x, u) puedeser interpretado como “el vector u tangente a M en x”. Se puede verificar queTM es una variedad diferenciable en R

2k, pues TM ⊂ M × Rk ⊂ R

k × Rk =

R2k. Entonces, retomando las variedades M ⊂ R

k, N ⊂ Rl y f , una funcion

diferenciable entre ellas, podemos definir

df : TM −→ TN

df(x, u) 7→ (f(x), dfx(u))

que al definir la proyeccionπ : TM −→ M

π(x, u) = x(1.2)

tenemos la conmutatividad del siguiente diagrama

TMdf−→ TN

yπ

yπ′

Mf

−→ N

1.4. Valores Regulares

Existe un recıproco parcial a la Proposicion 1.1.

Teorema de la Funcion Inversa. Sea f : U → Rl una aplicacion diferencia-

ble con U abierto en Rk. Si la diferencial dfx : R

k → Rl es no singular, entonces

f manda cualquier vecindad abierta U ′ de x ∈ U suficientemente pequena, di-

feomorfamente sobre un conjunto abierto f(U ′).

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La demostracion se puede encontrar en [2, Cap. 12].Componiendo con parametrizaciones, este teorema se puede generalizarse

para aplicaciones diferenciales entre variedades diferenciales (ver [1, Teo. 3.5.1]).Sea f : M → N una aplicacion diferenciable entre variedades de la misma

dimension. Decimos que p ∈ M es un punto regular de f si la derivada dfp

es no singular. En este caso, se sigue del Teorema de la Funcion Inversa que fmanda una vecindad de p en M difeomorfamente sobre un conjunto abierto enN . Un punto q ∈ N es llamado un valor regular si f−1(q) contiene unicamentepuntos regulares.

Si dfp es singular, entonces p es llamado un punto crıtico de f y la imagende f(p) es llamada un valor crıtico. Por lo tanto, q ∈ N es un valor crıtico oun valor regular, dependiendo de si f−1(q) contiene o no algun punto crıtico.

1.5 Nota. Si M es una variedad compacta y q ∈ N es un valor regular, en-tonces f−1(q) es un conjunto finito (posiblemente vacıo): El conjunto f−1(q) esun subconjunto compacto de M ya que es un subconjunto cerrado del espaciocompacto M . Por otro lado, f−1(q) es discreto, ya que por el Teorema de laFuncion Inversa, f es uno a uno en una vecindad de cada p ∈ f−1(q). Finalmen-te los subconjuntos discretos de un conjunto compacto son finitos, si no lo fuera,tendrıa un punto de acumulacion, pero esto contradice el hecho de ser discreto.

Para una aplicacion diferenciable f : M → N , con M compacto y un valorregular q ∈ N , definimos #f−1(q) como el numero de puntos en f−1(q).

1.6 Proposicion. Como funcion de q, #f−1(q) es localmente constante cuando

q varıa unicamente sobre los valores regulares, es decir, existe una vecindad

V ⊂ N de q, tal que #f−1(q′) = #f−1(q) para toda q′ ∈ V .

Demostracion. Sean x1, . . . , xk los puntos de f−1(q) y escojamos vecindadesU1, . . . , Uk de x1, . . . , xk respectivamente, disjuntas dos a dos, las cuales sonmandadas difeomorfamente sobre vecindades V1, . . . , Vk en N . Entonces tome-mos

V = V1 ∩ . . . Vk − f(M − U1 − · · · − Uk).

1.5. El Teorema Fundamental del Algebra

Como una aplicacion de estas nociones demostraremos el Teorema Funda-mental del Algebra.

Teorema Fundamental del Algebra. Todo polinomio complejo no constante

P (z) tiene al menos un cero.

Demostracion. Para la demostracion necesitamos pasar del plano complejo aalguna variedad compacta. Consideremos la esfera unitaria S2 ⊂ R

3 y la pro-yeccion estereografica

h+ : S2 − {(0, 0, 1)} → R2 × 0 ⊂ R

3

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del “polo norte” (0, 0, 1) de S2. Identificaremos al plano R2 × 0 con el plano

complejo. El polinomio P de R2 × 0 a si mismo corresponde a una aplicacion f

de S2 a si mismo dada por

f(x) = h−1+ ◦ P ◦ h+ para x 6= (0, 0, 1)

f(0, 0, 1) = (0, 0, 1).

Se puede demostrar que esta aplicacion es diferenciable incluso en una vecindaddel polo norte.

Ahora observemos que f tiene unicamente un numero finito de puntos crıti-cos, ya que P falla ser un difeomorfismo local solamente en los ceros de laderivada de P , P ′(z) =

∑

an−jjzj−1 y tiene solamente un numero finito de

ceros ya que P ′ no es el polinomio cero (de serlo P serıa constante). Entonces elconjunto de valores regulares de f es la esfera menos un numero finito de puntosy por lo tanto es conexo. Por lo tanto, la funcion localmente constante #F−1(y)debe ser constante sobre este conjunto. Como #f−1(y) no puede ser cero entodas partes, concluimos no es cero en ninguna parte. Por lo tanto f es unaaplicacion suprayectiva y por lo tanto el polinomio P debe tener un cero.

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Capıtulo 2

El Teorema de Sard

A continuacion enunciaremos el Teorema de Sard, el cual basicamente diceque el conjunto de valores crıticos de una aplicacion diferenciables es “pequeno”.Para ver la demostracion recomendamos consultar [6, §3].

2.1 Teorema. Sea f : U → Rl una aplicacion diferenciable definida sobre un

conjunto abierto U ⊂ Rk y sea

C = {x ∈ U | rank dfx < l }.

Entonces la imagen f(C) ⊂ Rl tiene medida de Lebesgue cero, es decir, dado

cualquier ǫ > 0, es posible cubrir a f(C) mediante una sucesion de cubos en Rl

que tiene volumen n-dimensional total menor que ǫ.

Como un conjunto de medida cero no puede contener subconjuntos abiertosno vacıos tenemos que el complemento R

l − f(C) es denso en Rl.

Estamos interesados en el caso k ≥ l. Si k < l, entonces claramente C = Uy el teorema simplemente dice que f(U) tiene medida cero.

Ahora consideremos una aplicacion diferenciable f : M → N , de una varie-dad de dimension m a una variedad de dimension n. Sea C el conjunto de todoslos x ∈ M tales que

dfp : TMp → TNf(p)

tiene rango menor que n, es decir, no es sobre. Entonces diremos que C es elconjunto de valores crıticos y a su complemento N − f(C) lo llamaremos elconjunto de valores regulares de f . (Esto concuerda con nuestra definicionanterior para el caso m = n).

Como M puede cubrirse con una cantidad numerable de vecindades que sondifeomorfas a un abierto de R

m tenemos el siguiente resultado:

2.2 Corolario. El conjunto de valores regulares de una aplicacion diferenciable

f : M → N es denso en N .

Para poder utilizar este corolario, necesitaremos el siguiente lema.

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2.3 Lema. Si f : M → N es una aplicacion diferenciable entre variedades

diferenciables de dimension m y n respectivamente con m ≥ n y si q ∈ N es un

valor regular, entonces el conjunto f−1(q) ⊂ M es una variedad diferenciable

de dimension m − n.

Demostracion. Sea p ∈ f−1(q). Como q es un valor regular, la diferencialdfp : TMp → TNq es sobre. Por lo tanto, el kernel K ⊂ TMp de dfp es unsubespacio vectorial de dimension (m − n).

Si M ⊂ Rk, escojamos una aplicacion lineal L : R

k → Rm−n que es no

singular en el subespacio K ⊂ TMp ⊂ Rk. Definimos

F : M → N × Rm−n

F (x) = (f(x), L(x)).

La diferencial dFp esta claramente dada por

dFp(v) = (dfp(v), L(v)).

Por lo tanto dFp es no singular. Entonces, por el Teorema de la Funcion InversaF manda alguna vecindad U de p difeomorfamente sobre una vecindad V de(q, L(p)).

Notese que la imagen de f−1(q) bajo F es el hiperplano q×Rm−n. De hecho

F manda a f−1(q)∩U difeomorfamente sobre (q×Rm−n)∩V . Esto prueba que

f−1(q) es una variedad diferenciable de dimension m − n.

Como un ejemplo podemos demostrar facilmente que la esfera unitaria Sm−1

es una variedad diferenciable. Considera la funcion f : Rm → R definida por

f(x) = x21 + x2

2 + · · · + x2m.

Toda y 6= 0 es un valor regular y la variedad diferenciable f−1(1) es precisamentela esfera unitaria.

Si M ′ es una variedad que esta contenida en M , ya vimos que TM ′p es un

subespacio de TMp para p ∈ M ′. El complemento ortogonal de TM ′p en TMp es

un subespacio vectorial de dimension m − m′ llamado el espacio de vectores

normales a M ′ en M en p.En particular, sea M ′ = f−1(q), para algun valor regular q de f : M → N .

2.4 Lema. El kernel de dfp : TMp → TNq es precisamente igual al espacio

tangente TM ′P ⊂ TMp de la subvariedad M ′ = f−1(q). Por lo tanto dfp manda

el complemento ortogonal de TM ′p isomorfamente sobre TNq.

Demostracion. Del siguiente diagrama

M ′ i//

²²

M

f

²²y // N

vemos que dfp manda el subespacio TM ′p ⊂ TMp al cero. Contando las dimen-

siones se ve que dfp manda el espacio de vectores normales a M ′ isomorfamentesobre TNq.

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2.1. Variedades con Frontera

Los lemas anteriores se pueden generalizar a variedades con frontera.Considerese el semi-espacio superior

Hm = { (x1, . . . , xm) ∈ Rm | xm ≥ 0 }.

La frontera ∂Hm es el hiperplano Rm−1 × 0 ⊂ R

m.

Definicion. Un subconjunto X ⊂ Rk es una variedad diferenciable de di-

mension m con frontera si cada x ∈ X tiene una vecindad U∩X difeomorfa aun subconjunto abierto V ∩Hm de Hm. La frontera ∂X es el conjunto de todoslos puntos en X que corresponden a puntos en ∂Hm bajo dicho difeomorfismo.

No es difıcil demostrar que ∂X es una variedad diferenciable de dimensionm − 1. El interior X − ∂X es una variedad diferenciable de dimension m.

El espacio tangente TXp esta definido de la misma manera que antes, de talforma que TXp es un espacio vectorial de dimension m incluso si p es un puntoen la frontera.

A continuacion damos un lema analogo al Lema 2.3 que nos permite generarvariedades con frontera usando valores regulares. Su demostracion es similar ala del Lema 2.3.

2.5 Lema. Sea M una variedad sin frontera y sea g : M → R una aplicacion

diferenciable que tiene al 0 como valor regular. Entonces el conjunto de p ∈ Mcon g(p) ≥ 0 es una variedad diferenciable con frontera igual a g−1(0).

2.6 Ejemplo. El disco unitario Dm, el cual consiste de todos los x ∈ Rm con

∑

x2i ≤ 1,

es una variedad diferenciable con frontera igual a Sm−1.

Consideremos ahora una aplicacion diferenciable f : X → N de una variedadde dimension m con frontera a una variedad de dimension n, con m > n.

2.7 Lema. Si q ∈ N es un valor regular tanto para f como para la restriccion

f |∂X , entonces f−1(q) ⊂ X es una variedad diferenciable de dimension m − ncon frontera. Ademas, la frontera ∂f−1(q) es precisamente igual a la interseccion

de f−1(q) con ∂X.

Demostracion. Como tenemos que probar una propiedad local, es suficiente con-siderar el caso especial de una aplicacion f : Hm → R

n, con valor regular q ∈ Rn.

Sea x ∈ f−1(q). Si x es un punto interior, entonces por el Lema 2.3 f−1(q) esuna variedad diferenciable en una vecindad de x.

Supongamos ahora que x es un punto en la frontera. Escojamos una vecindadU de x en R

m y una aplicacion diferenciable g : U → Rn que coincide con f sobre

U ∩Hm. Reemplazando por una vecindad mas pequena si es necesario, podemossuponer que g no tiene puntos crıticos. Por lo tanto, nuevamente por el Lema 2.3g−1(q) es una variedad diferenciable de dimension m − n.

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Sea π : g−1(q) → R la proyeccion sobre la ultima coordenada,

π(x1, . . . , xm) = xm.

Afirmamos que π tiene a 0 como valor regular. La unica manera de que 0 no fueravalor regular de π serıa que el espacio tangente de un punto x ∈ g−1(q)∩π−1(0)estuviera totalmente contenido en el hiperplano R

m−1 × 0 (ya que al tomar ladiferencial dicho espacio tangente irıa al 0 y por lo tanto no serıa sobreyectiva).Veamos que esto no es posible, el espacio tangente de g−1(q) en un punto x ∈π−1(0) es igual al kernel de la diferencial

dgx : Rm → R

n,

pero la hipotesis de que f |∂Hm es regular, garantiza que dicho kernel no puedeestar totalmente contenido en R

m−1×0. Por lo tanto el conjunto g−1(q)∩Hm =f−1(q)∩U el cual consiste de todos los x ∈ g−1(q) con π(x) ≥ 0 es una variedaddiferenciable y por el Lema 2.5 tiene frontera igual a π−1(0).

2.2. El Teorema de Punto Fijo de Brouwer

Aplicaremos este resultado para probar el Teorema Clasico de Punto Fi-jo de Brouwer. Para ello necesitamos el siguiente Teorema de Clasificacion deVariedades de dimension 1. Para una demostracion ver [6, Apendice].

2.8 Teorema. Toda variedad diferenciable, conexa de dimension 1 es difeo-

morfa ya sea al cırculo S1 o a algun intervalo de los numeros reales.

Sea X una variedad compacta con frontera.

2.9 Lema. No existe aplicacion continua f : X → ∂X que fije a ∂X puntual-

mente.

Demostracion. Supongamos que dicha aplicacion existe la cual denotaremos porf . Sea q ∈ ∂X un valor regular de f . Como q tambien es un valor regular parala aplicacion identidad f |∂X , tenemos que f−1(q) es una variedad diferenciablede dimension 1 cuya frontera consiste unicamente del punto

f−1(q) ∩ ∂X = {q}.

Pero f−1(q) es tambien compacto (por ser un subconjunto cerrado (imageninversa de un cerrado bajo una aplicacion continua) en un conjunto compacto),y por el Teorema de Clasificacion, las unicas variedades compactas de dimension1 son uniones disjuntas finitas de cırculos y segmentos, por lo que ∂f−1(q) debeconsistir de un numero par de puntos. Esto es una contradiccion y con elloprobamos el lema.

En particular, el disco unitario

Dn = {x ∈ Rn | X2

1 + · · · + x2n ≤ 1 }

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es una variedad compacta cuya frontera es la esfera unitaria Sn−1. Por lo tanto,como caso especial hemos demostrado que la aplicacion identidad de Sn−1 no

puede extenderse a una aplicacion diferenciable Dn → Sn−1.

2.10 Lema. Toda aplicacion diferenciable g : Dn → Dn tiene un punto fijo, es

decir, un punto x ∈ Dn tal que g(x) = x.

Demostracion. Supongamos que g no tiene puntos fijos. Entonces para todox ∈ Dn tenemos que x 6= g(x). Tracemos la linea recta que pasa por x y g(x),dicha recta corta a la esfera Sn−1 en dos puntos, de esos puntos, sea f(x) ∈ Sn−1

el punto que esta mas cerca de x. Entonces f : Dn → Sn−1 es una aplicaciondiferenciable con f(x) = x para todo x ∈ Sn−1, el cual es imposible por elLema 2.9. Esto es una contradiccion a nuestra suposicion de la no existenciade puntos fijos. Para ver que f es diferenciable una expresion explıcita es lasiguiente:

f(x) = x + tu,

donde

u =x − g(x)

‖x − g(x)‖, t = −x · u +

√

1 − x · x + (x · u)2,

donde la expresion bajo la raız es estrictamente positiva y ‖x‖ denota la normaen R

n.

Teorema de Punto Fijo de Brouwer. Toda aplicacion continua G : Dn →Dn tiene un punto fijo.

La demostracion se reduce a aproximar a la aplicacion G mediante unaaplicacion diferenciable y aplicar el Lema 2.10. Para ver los detalles consultar[6, p. 14].

14

Capıtulo 3

Grado de una Aplicacion

Diferenciable

3.1. Homotopıas e Isotopıas diferenciables

Sea X ⊂ Rk. Dos aplicaciones

f, g : X → Y

se dice que son diferenciablemente homotopicas si existe una aplicacioncontinua F : X × [0, 1] → Y con

F (x, 0) = f(x), F (x, 1) = g(x)

para toda x ∈ X. Esta aplicacion es llamada una homotopıa diferenciable en-tre f y g. La relacion de homotopıa diferenciable es una relacion de equivalenciay la abreviaremos por f ∼ g.

Definicion. Un difeomorfismo f es diferenciablemente isotopico a g si exis-te una homotopıa diferenciable F : X × [0, 1] → Y de f a g tal que para cadat ∈ [0, 1], la correspondencia

x 7→ F (x, t)

es un difeomorfismo de X a Y .

Tambien necesitaremos el siguiente lema.

Lema de Homogeneidad. Sean q y r puntos interiores arbitrarios de una

variedad diferenciable conexa N . Entonces existe un difeomorfismo h : N → Nque es diferenciablemente isotopico a la identidad y que manda q en r.

Demostracion. Para el caso especial N = Sn la demostracion es sencilla, simple-mente escojase h como la rotacion que lleva q en r y deja fijos todos los vectoresortogonales al plano que pasa por q, r y el origen. Para el caso general ver [6,p. 22].

15

3.2. Variedades Orientadas

Definicion. Una orientacion para un espacio vectorial de dimension finitaes una clase de equivalencia de bases ordenadas. La relacion de equivalenciaesta dada de la siguiente manera: la base ordenada (b1, . . . , bn) determina lamisma orientacion que la base (b′1, . . . , b

′n) si la matriz que cambia la prime-

ra base en la segunda tiene determinante positivo. Por otro lado, determinala orientacion opuesta si dicho determinante es negativo. (El determinante nopuede ser cero por que al ser un cambio de base, la matriz es no singular).Por lo tanto, todo espacio vectorial tiene precisamente dos orientaciones. Elespacio vectorial R

n tiene una orientacion canonica dada por la base canoni-ca (1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1). En el caso del espacio vectorial dedimension cero, es conveniente definir una “orientacion” como el sımbolo +1 o−1.

Una variedad diferenciable orientada consiste de una variedad diferenciableM junto con una eleccion de orientacion para cada espacio tangente TMp. Sim ≥ 1, requeriremos que dichas orientaciones sean compatibles de la siguientemanera.

Para cada punto de M existe una vecindad U ⊂ M y un difeomorfismo hque manda a U sobre un subconjunto abierto de R

m o Hm el cual preserva la

orientacion en el sentido de que para cada p ∈ U el isomorfismo dhp manda laorientacion asignada a TMp a la orientacion canonica de R

m.

Si M es conexa y orientable, entonces tiene precisamente dos orientaciones.Si M tiene frontera, podemos distinguir tres tipos de vectores en el espacio

tangente TMp a un punto p en la frontera:

Los vectores tangentes a la frontera, los cuales forman un subespacio vec-torial de dimension m − 1 T (∂M)p ⊂ TMp.

Los vectores que “apuntan hacia afuera”, los cuales forman un semi-espacio abierto cuya frontera es T (∂M).

Los vectores que “apuntan hacia adentro”, los cuales forman el semi-espacio complementario.

Cada orientacion de M determina una orientacion para ∂M de la siguientemanera:

Para p ∈ ∂M escogemos una base (v1, . . . , vm) de TMp orientada positiva-mente, de tal forma que los vectores (v2, . . . , vm) sean tangentes a la frontera(suponiendo que m ≥ 2) y que v1 es un vector que “apunta para afuera”. En-tonces (v2, . . . , vm) determina la orientacion para ∂M en p.

Si la dimension de M es 1, entonces a cada punto p de la frontera le asignare-mos la orientacion −1 o +1 dependiendo de si un vector orientado positivamenteen p “apunta hacia adentro” o “hacia afuera” respectivamente.

Como un ejemplo, podemos orientar a la esfera unitaria Sm−1 ⊂ Rm como

la frontera del disco Dm.

16

3.3. El Grado

Sean M y N variedades diferenciables orientadas de dimension n sin fronteray sea

f : M → N

una aplicacion diferenciable. Si M es compacta y N conexa, entonces el grado

de f se define como sigue:Sea p ∈ M un punto regular de f , por lo que dfp : TMp → TNf(p) es un

isomorfismo lineal entre espacios vectoriales orientados. Definimos el signo dedfp como +1 o −1 dependiendo de si dfp preserva o invierte la orientacion. Paracada valor regular q ∈ N definimos

deg(f ; q) =∑

p∈f−1(q)

sign dfp.

Como en la Seccion 1.4 tenemos que el entero deg(f ; y) es una funcion localmenteconstante de q, la cual esta definida sobre un subconjunto denso de N .

Los teoremas centrales sobre el grado son los siguientes:

3.1 Teorema. El entero deg(f ; q) no depende de la eleccion del valor regular

q.

Dicho numero sera llamado el grado de f y lo denotaremos por deg f .

3.2 Teorema. Si f es diferenciablemente homotopica a g, entonces deg f =deg g.

En primer lugar, consideremos el caso cuando la variedad M es la fronterade una variedad compacta orientada X y tal que M esta orientada como lafrontera de X.

3.3 Lema. si f : M → N se extiende a una aplicacion diferenciable F : X → N ,

entonces deg(f ; q) = 0 para todo valor regular q.

Demostracion. Supongamos primero que q es un valor regular tanto de F comode f = F |M . Entonces tenemos que F−1(q) es una variedad diferenciable com-pacta de dimension 1 y consta de una union finita de arcos y cırculos y talesque unicamente los puntos de la frontera de los arcos estan en M = ∂X. SeaA ⊂ F−1(q) uno de dichos arcos con ∂A = {a} ∪ {b}. Mostraremos que

sign dfa + sign dfb = 0,

y por lo tanto (sumando sobre todos los arcos) que deg(f ; q) = 0.Las orientaciones de X y N determinan una orientacion para A como sigue:

Dado p ∈ A, sea (v1, . . . , vn+1) una base orientada positivamente para TXp conv1 tangente a A. Entonces v1 determina la orientacion requerida para TAp siy solo si dFp manda a (v2, . . . , vn+1) en una base orientada positivamente paraTNq.

17

Sea v1(p) el vector unitario tangente a A en p el cual esta orientado posi-tivamente. Claramente v1 es una aplicacion diferenciable y v1(p) “apunta paraafuera” en uno de los puntos frontera (digamos b) y “apunta para adentro” en elotro punto frontera a. Entonces tenemos que sign dfa = −1 y sign dfb = +1 y susuma es cero. Sumando sobre todos los arcos que pertenecen a F−1(q) tenemosque deg(f ; q) = 0, como habıamos afirmado.

De manera mas general, supongamos que q0 es un valor regular de f perono de F . La funcion deg(f ; q) es constante sobre alguna vecindad U de q0. Porlo tanto, por el Teorema de Sard, podemos escoger un valor regular q para Fdentro de U y observar que

deg(f ; q0) = deg(f ; q) = 0.

Lo cual prueba el lema.

Ahora consideremos una homotopıa diferenciable

F : [0, 1] × M → N

entre dos aplicaciones

f(x) = F (0, x)

g(x) = F (1, x).

3.4 Lema. El grado deg(g; q) es igual a deg(f ; q) para cualquier valor regular

comun q.

Demostracion. La variedad [0, 1]×M puede ser orientada como un producto ytendra como frontera a los conjuntos 1 × M (con la misma orientacion que M)y 0 × M (con la orientacion inversa de M). Entonces el grado de F |∂([0,1]×M)

en el valor regular q es igual a la diferencia

deg(g; q) − deg(f ; q).

De acuerdo con el Lema 3.3 esta diferencia debe ser cero.

Fin de la demostracion de los Teoremas 3.1 y 3.2. Si q y r son ambos valoresregulares de f : M → N , escojamos un difeomorfismo h : N → N tal que mandea q en r y que sea isotopico a la identidad. Entonces h preservara la orientaciony tenemos que

deg(f ; q) = deg(h ◦ f ;h(q)).

Pero tenemos que f es homotopica a h ◦ f , por lo tanto,

deg(h ◦ f ; r) = deg(f ; r)

por el Lema 3.4. Por lo tanto deg(f ; q) = deg(f ; r), lo cual completa la demos-tracion.

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3.5 Ejemplo. La funcion compleja z 7→ zk, z 6= 0, manda al cırculo unitarioen si mismo con grado k, donde k puede ser positivo, negativo o cero.

La aplicacion f : M → constante ∈ N tiene grado cero.Un difeomorfismo f : M → N tiene grado +1 o −1 dependiendo de si f

preserva o invierte la orientacion. Por lo tanto, un difeomorfismo que inviertela orientacion de una variedad compacta sin frontera no es diferenciablementehomotopica a la identidad.

Un ejemplo de un difeomorfismo que invierte la orientacion esta dado por lareflexion ri : Sn → Sn, donde

ri(x1, . . . , xn+1) = (x1, . . . ,−xi, . . . , xn+1).

La aplicacion antıpoda de Sn tiene grado (−1)n+1, esto se puede ver notandoque la aplicacion antıpoda es la composicion de n + 1 reflexiones:

−x = r1 ◦ r2 ◦ · · · ◦ rn+1(x).

Por lo tanto, si n es par, la aplicacion antıpoda no es diferenciablemente ho-motopica a la identidad.

Como una aplicacion de lo anterior, mostraremos que Sn admite un campovectorial diferenciable que no se anula en ningun punto si y solo si n es impar.

Definicion. Un campo vectorial diferenciable en M ⊂ Rk es una aplicacion

diferenciable v : M → Rk tal que v(p) ∈ TMp para cada p ∈ M . n el caso de la

esfera Sn ⊂ Rn+1 esto es claramente equivalente a la condicion

v(p) · p = 0 para toda p ∈ Sn, (3.1)

usando el producto interior Euclideano.Si v(p) no es cero para todo p, entonces podemos tambien suponer que

v(p) · v(p) = 1 para toda p ∈ Sn. (3.2)

Ya que en este caso, v(p) = v(p)/‖v(p)‖ sera un campo vectorial que satisfaga di-cha condicion. Por lo tanto, podemos pensar a v como una funcion diferenciablede Sn en si misma.

Ahora definamos una homotopıa diferenciable

F : Sn × [0, π] → Sn

dada por la formulaF (p, θ) = p cos θ + v(p) sin θ.

Tenemos queF (p, θ) · F (p, θ) = 1

y queF (p, 0) = p, F (p, π) = −p.

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Por lo tanto la aplicacion antıpoda de Sn es homotopico a la identidad. Peropara n par, hemos visto que esto es imposible.

Por otro lado, si n = 2k − 1, la formula explıcita

v(x1, . . . , x2k) = (x2,−x1, x4,−x3, . . . , x2k,−x2k−1)

define un campo vectorial diferenciable no cero sobre Sn. Esto completa lademostracion.

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Capıtulo 4

Campos Vectoriales

Ahora aplicaremos el concepto de grado al estudio de los campos vectorialessobre otras variedades aparte de las esferas.

4.1. Indice de un campo vectorial

En primer lugar, consideremos un conjunto abierto U ⊂ Rm y un campo

vectorial diferenciablev : U → R

m

con un cero aislado en el punto z ∈ U . La funcion

v(p) =v(p)

‖v(p)‖

manda a una pequena esfera centrada en z en la esfera unitaria. El grado deesta aplicacion es llamado el ındice ι de v en el cero z. En todos los casos, lasesferas estan orientadas como la frontera del disco correspondiente.

Un cero con ındice arbitrario puede ser obtenido de la siguiente manera: Enel plano complejo el polinomio zk define un campo vectorial diferenciable conun cero de ındice −k.

Debemos probar que el concepto de ındice es invariante bajo difeomorfismode U . Para explicar esto, consideremos el caso mas general de una aplicacionentre dos variedades f : M → N , con un campo vectorial en cada una de ellas.

Definicion. Los campos vectoriales v en M y v′ en N corresponden bajo fsi la derivada dfp manda a v(p) en v′(f(p)) para cada p ∈ M .

Si f es un difeomorfismo, entonces tenemos que v′ esta determinado de formaunica por v. Usaremos la notacion

v′ = df ◦ v ◦ f−1.

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4.1 Lema ([6, p. 34]). Supongamos que el campo vectorial v en U corresponde

al campo vectorial v′ = df ◦ v ◦ f−1 en U ′ bajo un difeomorfismo f : U → U ′.

Entonces el ındice de v en un cero aislado z es igual al ındice de v′ en f(z).

Suponiendo el Lema 4.1 podemos definir el concepto de ındice para un campovectorial w sobre una variedad arbitraria M como sigue: Si g : U → M es unaparametrizacion de una vecindad de z en M , entonces el ındice ι de w en z esdefinido como el ındice del campo vectorial correspondiente dg−1 ◦ w ◦ g en Uen el cero g−1(z). Por el Lema 4.1 tenemos que ι esta bien definido.

4.2. Caracterıstica de Euler-Poincare

Toda superficie compacta es triangulable, es decir, es homeomorfa a un polie-dro y decimos que el poliedro (junto con el homeomorfismo) es una triangulacionde la superficie. Para una demostracion de esto ver [3]. Recordemos que la ca-racterıstica de Euler χ(P ) de un poliedro P es el numero dado por v − a + c,donde v es el numero de vertices de P , a el numero de aristas de P y c elnumero de caras de P . En general, toda variedad diferenciable compacta dedimension n se puede triangular, es decir, es homeomorfa a algun poliedro dedimension n. Los “triangulos” de dimension i de la triangulacion son llamadossimplejos de dimension i. Dada una triangulacion de una variedad M , denote-mos por ni el numero de simplejos de dimension i. Definimos la caracterısticade Euler-Poincare como el numero

χ(M) =

m∑

i=0

(−1)ini

el cual esta bien definido, pues se puede demostrar que es independiente de latriangulacion, es decir, si escogemos otra triangulacion obtendremos el mismovalor.

4.3. Teorema de Poincare-Hopf

A continuacion veremos el siguiente resultado clasico. Sea M una variedadcompacta M y w un campo vectorial diferenciable sobre M con ceros aislados.Si M tiene frontera, entonces se requiere que w “apunte hacia afuera” en todoslos puntos de la frontera.

Teorema de Poincare Hopf. La suma∑

ι de los ındices de los ceros del

campo vectorial w es igual a la caracterıstica de Euler χ(M). En particular la

suma de los ındices es un invariante topologico de M , es decir, no depende de

la eleccion particular del campo vectorial.

El caso de dimension 2 fue probado por Poincare en 1885. El teorema generalfue demostrado por Hopf en 1926 basado en resultados parciales de Brouwer yHadamard.

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Daremos solamente una idea de la demostracion. Para ello necesitaremos elsiguiente lema.

4.2 Lema ([6, p. 34]). Todo difeomorfismo f : Rm → R

m que preserva la orien-

tacion es diferenciablemente isotopico a la identidad.

En primer lugar consideremos el caso de un dominio compacto en Rm. Sea

X ⊂ Rm una variedad compacta de dimension m con frontera. La aplicacion

de Gauss

g : ∂X → Sm−1

le asigna a cada x ∈ ∂X el vector unitario normal en x que “apunta haciaafuera”.

4.3 Lema (Hopf). Si v : X → Rm es un campo vectorial diferenciable con ceros

aislados y si v apunta hacia afuera de X a lo largo de la frontera, entonces la

suma de los ındices∑

ι es igual al grado de la aplicacion de Gauss de ∂X a

Sm−1. En particular,∑

ι no depende de la eleccion del campo vectorial v.

Por ejemplo, si un campo vectorial sobre el disco Dm apunta hacia afuera alo largo de la frontera, entonces

∑

ι = +1.

Demostracion. Removiendo una pequena bola de radio ǫ alrededor de cada cero

obtenemos una nueva variedad con frontera. La funcion v(x) = v(x)‖v(x)‖ manda

a esta nueva variedad en Sm−1. Por lo tanto, por el Lema 3.3, la suma de losgrados de v restringida a las distintas componentes de la frontera es cero. Perov|∂X es homotopica a g y los grados sobre las otras componentes de la frontera(las fronteras de los discos pequenos) suman −

∑

ι ya que cada una de las esferaspequenas tiene la orientacion invertida. Por lo tanto

deg(g) −∑

ι = 0,

como querıamos demostrar.

Necesitaremos algunos preliminares antes de extender este resultado a otrasvariedades.

Es natural tratar de calcular el ındice de un campo vectorial v en un cero zen terminos de la diferencial de v en z. Consideremos un campo vectorial v enun conjunto abierto U ⊂ R

m y pensemoslo como una aplicacion U → Rm por

lo que tenemos definida la diferencial dvz : Rm → R

m.

Definicion. El campo vectorial v es no degenerado en z si la transformacionlineal dvz es no singular.

Por el Teorema de la funcion inversa, si un campo vectorial es no degeneradoen z entonces z es un cero aislado, ya que v tiene que ser un difeomorfismo localy por lo tanto inyectivo.

4.4 Lema. El ındice de v en un cero no degenerado z es +1 o −1 dependiendo

si el determinante de dvz es positivo o negativo.

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Demostracion. Pensemos a v como un difeomorfismo de alguna vecindad con-vexa U0 de z en R

m. Podemos suponer que z = 0. Si v preserva la orientacion,por los Lemas 4.1 y 4.2 tenemos que v|U0

puede ser deformado suavemente enla identidad sin introducir ningun nuevo cero. Entonces el ındice es igual a +1.

Si v invierte la orientacion, entonces puede ser deformado en una reflexiony por lo tanto ι = −1.

Este resultado se puede generalizar a campos vectoriales sobre variedades.Sea w un campo vectorial sobre una variedad M ⊂ R

k y sea z un cero dew. Pensemos a w como una aplicacion de M a R6k tal que la diferencialdwz : TMz → R

k esta definida.

4.5 Lema. La diferencial dwz manda al espacio tangente TMz en el espacio

tangente TMz ⊂ Rk y por lo tanto puede ser considerado como una transforma-

cion lineal de TMz en si mismo. Si dwz tiene determinante D 6= 0 entonces zes un cero aislado de w con ındice igual a +1 o −1 dependiendo si D es positivo

o negativo.

Consideremos ahora una variedad M ⊂ Rk compacta y sin frontera. Sea

Nǫ la ǫ-vecindad cerrada de M , es decir, el conjunto de todas las x ∈ Rk tales

que ‖x − y‖ ≤ ǫ para alguna y ∈ M . Para ǫ suficientemente pequena, se puededemostrar que Nǫ es una variedad diferenciable con frontera.

4.6 Teorema. Para todo campo vectorial v en M que tenga unicamente ceros

aislados, la suma de los ındices∑

ι es igual a grado de la aplicacion de Gauss.

g : ∂Nǫ → Sk−1.

En particular, esta suma no depende en la eleccion del campo vectorial.

4.7 Ejemplo. Sobre la esfera Sm existe un campo vectorial v que apunta haciael norte en todo punto. En el polo sur los vectores apuntan hacia afuera y porlo tanto el ındice es +1. En el polo norte los vectores convergen hacia el polopor lo tanto el ındice es (−1)m (pues nos da la aplicacion antıpoda en la esferaSm−1, la cual tiene grado (−1)m). Por lo tanto, el invariante

∑

ι es igual a ceroo 2 dependiendo de si m es impar o par. Esto da una nueva prueba de que todocampo vectorial en la esfera de dimension par tiene un cero.

Para toda variedad sin frontera de dimension impar el invariante∑

ι es cero.Por que si el campo vectorial v es reemplazado por −V , entonces cada ındice esmultiplicado por (−1)m y la igualdad

∑

ι = (−1)m∑

ι,

para m impar implica que∑

ι = 0.

Para obtener el Teorema de Poincare-Hopf necesitamos identificar al inva-riante

∑

ι con la caracterıstica de Euler χ(M). Es suficiente construir solamenteun ejemplo de un campo vectorial no degenerado sobre M con

∑

ι = χ(M). Una

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Figura 4.1: Campo vectorial de Hopf

forma de hacer esto es usando Teorıa de Morse, Marston Morse demostro quesiempre es posible encontrar una funcion con valores reales sobre M cuyo gra-diente es un campo vectorial no degenerado. Ademas, Morse mostro que la sumade los ındices asociados con dicho campo gradiente es igual a la caracterısticade Euler. Para mayores detalles ver [5].

Una manera grafica de ver esto es con el campo vectorial de Hopf mostradoen la Figura 4.1, donde cada vrtice de la triangulacion es un cero a dondeapunta el campo vectorial (pozo), por lo tanto tiene ındice 1, cada baricentrodel la triangulacion es un cero de donde sale el campo vectorial (fuente) y por lotanto tiene ındice 1, y los puntos medios de las aristas son ceros que son puntossilla y tienen ındice −1. Por lo tanto, al sumar los ındices de todos los ceros,cada vertic cuanta una vez, cada arista menos una vez y cada cara una vez, loque nos da la caracterıstica de Euler-Poincare.

4.8 Nota. Si∑

ι = 0 en una variedad conexa M un teorema de Hopf afirmaque existe un campo vectorial sobre M sin ningun cero.

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Bibliografıa

[1] Ralph Abraham, J. E. Marsden, and Tudor Ratiu. Manifolds, Tensor Analy-

sis, and Applications. Applied Mathematical Sciences 75. Springer-Verlag,second edition, 1988.

[2] Tom M. Apostol. Mathematical Analysis. Addison-Wesley, 1974.

[3] P. H. Doyle and D. A. Moran. A short proof that compact 2-manifolds canbe triangulated. Invent. Math., 5:160–162, 1968.

[4] Victor Guillemin and Allan Pollack. Differential Topology. Prentice-Hall,1974.

[5] J. Milnor. Morse Theory. Study 51. Princeton University Press, Princeton,New Jersey, 1963.

[6] J[ohn] [W.] Milnor. Topology from the differentiable point of view. TheUniversity Press of Virginia, Charlottesville, 1965.

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