3.1 MN

ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA

FACTOR ALGEBRAICO

Un polinomio “F” no constante será factor algebraico

de “P” si y sólo si “P” es divisible por “F.

Ejemplos:

P(x) = (x + 2)3 (x + 1)2

Son factores algebraicos de P(x):

FACTOR PRIMO

Un polinomio “F” será primo de otro polinomio “P” si

“F” es factor algebraico de “P” y primo a la vez.

Ejemplos:

P(x) = (x + 2)3 (x + 1)2 (x + 5)6

Son factores primos de P(x):

P(x) = (x) (x + 2)6 (x – 1)2

Son factores primos de P(x):

FACTORIZACIÓN

Es el proceso de transformación de un polinomio en

una multiplicación indicada de sus factores primos o sus

potencias.

Multiplicación

P(x) = x2 + 3x + 2 (x + 1) (x + 2)

Factorización

CRITERIOS PARA FACTORIZAR POLINOMIOS

Factor Común

Consiste en buscar factores comunes a todos los

términos de un polinomio para luego extraerlos a su menor

exponente.

Ejemplos:

1. Factorizar:

P(x,y) = 2x2y + 3xy2 + xy

2. Factorizar:

A(x,y) = (x + 2) y + (x + 2) x + (x + 2)

AGRUPACIÓN

Consiste en agrupar términos convenientemente

tratando que aparezca algún factor común.

Ejemplos:

1. Factorizar:

x2 + x + xy + y – xz – z

2. Factorizar:

x2 + ax + x + xy + ay + y

ASPA SIMPLE

Forma general de polinomio a factorizar:

P(x,y) = Ax2n + Bxn ym + Cy2m

m, n N

P(x) = Ax2n + Bxn + C

Ejemplos:

1. Factorizar:

2x2 + 7xy + 6y2

2. Factorizar:

(x + y)2 – 2 (x + y) + 1

TEOREMA

Sean f(x) y g(x) polinomios primos y primos entre sí, tal

que:

P(x) =

i) Números factores primos = 2

ii) Números factores algebraicos = (n + 1) (p + 1) – 1

Ejemplo:

Sea P(x) = (x + 2)3 (x + 4)

i) Números factores primos =

ii) Números factores algebraicos =

Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730

Factorización 1

Ejercicios

1. Factorizar:

A) 2bx3 – 3abx2 + 2cx – 3ac

B) ax2 + a2x + bx + ab – a – x

C) 25y8 – 49a10

D) a2/81 – b2/36

2. Factorizar:

A) x2 – (y – z)2

B) 27x6 + 1

C) 8x3 – 343

D) 6x2 + 7x + 2

3. Factorizar:

A) a2b6 – 4ab3 + 4

B) x2 + bx + b2/4

C) x4m – 8x2m + 15

D) xm+2n + 7xm+n + 10xm

4. Factorizar:

(a + b)2 + 2(a + b)(c + d) + (c + d)2

5. Factorizar:

a2 + a3 – b2 – b3

Dar como respuesta la suma de sus factores primos

6. Hallar el numero de factores primos de:

64a7b – a3b5

7. Factorizar:

xn+2 + xn + x3 – x2 + x – 1

8. Factorizar.

(x + 1)(x + 2)(x – 2)(x + 5) – 13

Dar como respuesta la suma de sus factores primos

9. Factorizar:

x3y + x2y2 + x2yz + yz3 + xyz2 + xz3 + y2z2 + x3z

10. Factorizar:

E = (a2 + ab + bc + ca) (bc + ca + ab + b2) (bc + ca

+ ab + c2)

11. Factorizar:

(x + y)9 (x – y)5 – (x2 – y2)7

12. Factorizar : x4 + 26x2 + 25

Dar como respuesta el número de factores de

segundo grado.

13. Factorizar:

22m+3 – 2m+1 –15

14. Luego de efectuar la factorización de:

xy+1 + yx+1 + (x + y)2x (x2 – 2xy + y2)x + xyyx + xy – (x4 +

y4 – 2x2y2)x

indicar uno de los factores

15. Indicar el factor de mayor grado en:

(x + y)3 (x2 – y2) + 2(x + y)2 (x2 – y2)z – 2(x2 – y2) z3 –

(x – y)z4

16. Hallar la suma de los factores de:

R = (x + y + z)2 + (x + y – 1)(x + y + z) – (x + y)

17. Factorizar: P = a3 + 9b3 + 3(a2b + ab2) indicando uno

de sus factores

18. Indicar la suma de sus factores primos en:

3a2b4 – a2b2 (a2 – b2) + (a4 – b4) (a2 + b2) – 3a4b2

1. Factorizar: 8x2 y3 – 12x3 y4 + 20x2 y8 ; e indicar el

número de factores en total.

A) 24 B) 23 C) 21 D) 19 E) N.A.

2. Factorizar: Z = ac + bc + ay + by + a + b

A) (a + b) (c + y) D) (a – b) (c + y + 1)

B) (a + b) (c + y + 1) E) (a – b) (c + y – 1)

C) (a + b) (c + y – 1)

3. Factorizar: 4a2 x4 – z2

A) (2x2 + z) (2ax2 – z) D) (2ax2 + z) (2ax2 – z)

B) (2ax2 + z) (2x2 – z) E) (2ax2 + z) (2ax2 – z2)

C) (2ax + z) (2ax – z)

4. Factorizar: (2x – 3)2 – (x – 5)2

A) (4x – 5) (2x + 1) D) (3x + 5) (x – 2)

B) (3x – 8) (x + 2) E) N.A.

C) (x + 7) (x + 2)

5. Factorizar: 4x2 – (x + y)2 ; e indicar el factor primo de

mayor suma de coeficientes

- 2 -

Factorización 1

A) 3x – y C) 4x – y E) x + y

B) 3x + y D) 5x + y

6. Factorizar: 4x2 + 12xy + 9y2

A) (2x + 3y)2 C) (3x2 + 2y)2 E) N.A.

B) (2x – 3y)2 D) (2x2 – 3y)2

7. Factorizar: 8x6 + 343 e indicar la suma de los

coeficientes de uno de sus factores primos

A) 5 B) 12 C) 39 D) 45 E) N.A.

8. Factorizar: 27x6 – 125

A) (3x2 + 5) (9x4 + 15x2 + 25)

B) (3x – 5) (9x4 + 15x2 + 25)

C) (3x2 – 5) (9x2 + 15x2 + 25)

D) (3x2 – 5) (9x4 – 15x2 + 25)

E) (3x2 – 5) (9x4 + 15x2 + 25)

9. Factorizar: m2 n4 + 2mn2 + 1

A) (mn2 – 1)2 C) (m2n – 1) E) (mn + 1)2

B) (mn2 + 1)2 D) (m2n + 1)2

10. Factorizar: (x + z)2 – (y – w)2

A) (x + z + y + w) (x + y – z – w)

B) (x – z – y – w) (x + y + z + w)

C) (x + z + y – w) (x + z – y + w)

D) (x + y) (y + w)

E) N.A.

11. Factorizar: (4x2)2 – 8 (4x2) – 105

A) (4x2 + 15) (4x2 – 7) D) (4x2 + 15) (x2 – 7)

B) (x2 – 15) (x2 + 7) E) 4 (x2 + 15) (x2 – 7)

C) (4x2 – 15) (4x2 + 7)

12. Factorizar: 4m2 – 4m(n – m) + (n – m)2

A) (3m – n)2 C) (2m + n)2 E) N.A.

B) (3m + n)2 D) (2m – n)2

13. Factorizar: 216a3 – 1

A) (6a – 1) (36a2 + 6a + 1)

B) (8a + 1) (8a – 1)

C) (8a – 1) (64a2 + 8a + 1)

D) (6a + 1) (36a2 – 6a + 1)

E) N.A.

14. Al factorizar x6 – 1 resulta que el número de factores

trinomios es:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

15. Factorizar: x4 – 13x2 + 36; e indicar el número de

factores binomios.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.

16. Factorizar: x4n – 2x2n – 24; e indicar elo número de

factores primos.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.

17. Factorizar: a3 + a + a2 + 1 + x2 + a2x2

A) (1 + a) (a2 + a + x) D) (1 + a2) (a + 2ax + a)

B) (1 + a2) (1 + a + x2) E) N.A.

C) (1 – a) (a2 – ax + x2)

18. Factorizar: x2m+n – 9xm+n + 14xn ; indicar el factor de

mayor suma de coeficientes.

A) xn C) xm – 7 E) N.A.

B) xm – 2 D) xm + 2

19. Factorizar: mn + pq + n + mq + pn + q

A) (n + q) (p + n) D) (q + n) (m – p – 1)

B) (n + q) (q + n) (m + n) E) N.A.

C) (q + n) (m + p + 1)

20. Indicar el número de factores trinomios luego de

factorizar:

(x + 2)2 (x + 1) (x + 3) – 5x(x + 4) – 27

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) más de 3

21. Factorizar e indicar el número de factores binomios

(x + 3) (x – 1) (x + 4) (x – 2) – x2 – 2x + 8

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

22. Factorizar: 1 + x(x + 1) (x + 2) (x + 3)

A) (x2 – 3x + 1)2 D) (x2 + 3x + 1)2

B) (x2 + 3x – 1)2 E) N.A.

C) (x2 + 3x – 1)2

23. Factorizar: x4a + 8x2a + 15

A) (x2a + 9) (x2a + 6) D) (x2a – 5) (x2a – 3)

B) (x2a – 8) (x2a – 7) E) N.A.

C) (x2a + 5) (x2a + 3)

24. Factorizar: xp+2q + 7xp+q + 10xp

A) xp (xp + 2) (xq + 5) D) (xq + 2) (xq + 5)

B) xp (xq + 2) (xq + 5) E) (xp+q + 2) (xp+q + 5)

C) xp (xq + 2) (xp + 5)

25. Factorizar: (m + n)2 – 2(m + n) (p + q) + (p + q)2

A) (m + n + p + q)2 D) (m + n – p + q)2

B) (m – n + p – q)2 E) (m + n + p – q)2

C) (m + n – p – q)2

26. Indicar un factor de: m2 – n3 + m3 – n2

A) m + n C) m – n E) 2m – 2n

- 3 -

Factorización 1

B) 2m + n D) m – 2n

27. Factorizar: xy yx + xy + xy+1 + yx+1

A) (x + y) (xy + yx) D) (x + yx) (xy + y)

B) xy+1 + yx+1 E) N.A.

C) (xy + yx) (x – y)

28. Al factorizar: x5 – x4 – 2x3 + 2x2 + x – 1 se obtuvo una

expresión de la forma: (x – 1) . (x + 1). Hallar “ + ”

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

29. Al factorizar: (3x – 2)2 – (6x – 5) se obtuvo: a(x+b)c.

Hallar “a + b + c”

A) 12 B) 10 C) 11 D) 13 E) 8

30. Indicar uno de los factores de: x(x + 2)(x + 3)(x + 5)+5

A) x2 + 5x + 1 C) x2 + 5x – 5 E) x – 1

B) x2 + 5x – 1 D) x2 – 5x + 5

31. Señalar uno de los factores de: x2+y2–z2–2xy+18z–81

A) x + y + z – 9 C) x – y – z – 9 E) x + y – z –9

B) x + y + z + 9 D) x – y + z – 9

32. Factorizar: (1 + ab)2 – (a + b)2 e indicar uno de sus

factores

A) 2a + b C) 2a – 1 E) a + b

B) b – 2a D) 1 – b

33. Factorizar: (x + 1)7 . (x2 + 1)10 – (x + 1)5 . (x2 + 1)11

A) (x + 1)5 (x2 + 1)10 D) 2x2(x + 10)5 (x2 + 1)10

B) 2(x + 1)5 (x2 + 1)10 E) 4x (x + 1)5 (x2 + 1)10

C) 2x(x + 1)5 (x2 + 1)10

34. Factorizar: 32m+3 – 11 . 3m+1 – 20

A) (3m+2 – 4) (3m+1 – 5) D) (3m+1 + 2) (3m–1 – 2)

B) (3m+2 + 4) (3m+1 – 5) E) N.A.

C) (3m+1 – 4) (3m+2 – 5)

35. Señalar el factor de menor suma de coeficientes del

polinomio: x (2x + 1) + y (2y + 1) + 4xy

A) x + y C) x + y + 1 E) x y + 4

B) x2 + xy + y2 D) x + y + 2

36. Señalar cuál no es un factor de:

x4 y – x4 z + x3 y2 – x3 yz + xz4 – z3 y2 + yz4 – xyz3

A) x – z C) x2 – xy + y2 E) N.A.

B) y – z D) x2 + xz + z2

37. Factorizar:

a3 (c – b2) + b3 (a – c2) + c3 (b – a2) + abc (abc – 1) y

señale la suma de sus factores:

A) a2 + b2 + c2 – (a + b + c)

B) a2 + b2 + c2 + a + b + c

C) a2 – b2 + c2 – a + b + c

D) a2 + b2 – c2 – (a + b + c) E) N.A.

38. Factorizar e indicar la suma de los coeficientes de uno

de sus factores primos.

a12 – 6a8 + 5a4 + 2a6 – 6a2 + 1

A) 1 B) 2 C) 3 D) –1 E) –2

39. Factorizar e indicar uno de sus factores primos.

x(1 – y2)(1 – z2) + y(1 – x2)( 1 – z2) + z(1 – y2)( 1 – x2)

A) x + y + z – xyz D) 1 – xy – xz – yz

B) 1 – xy +xz + yz E) Más de una

C) x + y + z + xyz

40. Factorizar:

8a [ab (x2 – y2) + xy (a2 – b2)]2 + 2a [(a2 – b2) (x2 – y2) –

4abxy]2

A) 4a (a2 – b2) (x2 + y2)2

B) 2a (a2 + b2)2 (x2 + y2)2

C) 4a (a2 + b2)2 (x2 – y2)2

D) 2a (a2 – b2)2 (x2 – y2)2 E) N.A.

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