Word Pro - Tema 08

MOVIMIENTOONDULATORIO

OBJETIVOS:

Al finalizar el tema el estudiante estará en capacidad de determinar resolversituaciones que involucren ondas progresivas, determinando donde se requiera lavelocidad, frecuencia y longitud de los distintos tipos de ondas. Para ello elestudiante ha de estar en capacidad de:

� Definir: propagación, pulso, ondas periódicas y ondas armónicas; velocidadde la onda (v), la frecuencia (f), el periodo (T), la longitud de la onda ( ), lafrecuencia angular ( ) y el número de onda (k) para ondas armónicas.

� Clasificar los distintos tipos de ondas, indicando sus características.� Determinar la velocidad de grupo y de onda para superposición de ondas

unidimensionales armónicas. � Definidas intensidad, energía y potencia de una onda; determinar algunas

de las cantidades indicadas para distintos tipos de ondas.

8.1.- LA MATEMÁTICA DEL MOVIMIENTOONDULATORIO.

Las ondas representan uno de los fenómenos más fácilmente visibles en la naturaleza,se observan cuando se lanza una piedra a un estanque, o cuando las olas del margolpean la playa, cuando se desplazan en una cuerda tensa, así también el sonido y laluz que nos llegan son formas del movimiento ondulatorio.

Pero que es una onda, sabemos que transportan energía y esto es claramente visiblecuando rompen las olas en la playa y poco a poco van desmoronando los arrecifescosteños. Pero es igualmente visible que el nivel del agua no aumenta sino quemantiene un promedio constante entre el ir y venir de las olas.

Física III - Geología - Ing. Geológica - Ing. MinasTema 08 - Movimiento Ondulatorio

Prof. R. Nitsche C. 1

8.1.1.- Matemática de la propagación.

En primer termino tenemos que las ondas se propagan y el cómo lo realizan esimportante de conocer, consideremos una propagación unidimensional yestablezcamos una función matemática f(x) continua en todo el eje "x".

Dada la función f(x) es de observar que si a esta función la cantidad "x" se reemplazapor la cantidad "x+a" la función de la gráfica resultante es igual a la primera perodesplazada una cantidad "a" hacia la izquierda.

figura 08-01

Si por el contrario reemplazamos la variable "x" por la cantidad "x-a" el resultado esnuevamente la misma gráfica, pero ahora la función esta desplazada hacia la derechauna cantidad "a".

Si la cantidad "a" es igual al tiempo "t" que tarda la función en desplazarsemultiplicado por a velocidad de desplazamiento de la función "v", entonces podemoshablar de una curva viajera.

La velocidad con que se desplaza la curva se conoce como velocidad de fase. Enforma general si y(x,t) es función que escribe la propagación de una función f(x), esta viene dada por medio de la expresión general:

8.1y(x, t) = f(x! v $ t)



8.1.2.- Ecuación Diferencial de una Onda Unidimesional.

Tenemos que la solución general de una ecuación de propagación (onda) tendría deacuerdo a la expresión 8.1; pero esta es la solución de una expresión más general quees la ecuación de onda. La ecuación a la que nos estamos refiriendo es una ecuacióndiferencial que tiene que contener derivadas parciales, dado que están trabajandocomo mínimo dos variables (la posición "x" y el tiempo "t"). Para evitar estecontratiempo establezcamos una variable " " y derivemos a la función f(u)u = x + v $ tcon respecto a las variables "x" y "t".

ØyØx =

ØyØu $ØuØx =

ØyØu $ 1d

Ø2yØx2 = Ø

Øu $ØyØx = Ø

Øu $ØyØu $ØuØx =

Ø2yØu2 $ 1 [1]

ØyØt =

ØyØu $ØuØt =

ØyØu $

(!v)

Ø2yØx2 = Ø

Øu $ØyØx $

(!v) = ØØu $

ØyØu $ØuØt $

(!v) =Ø2yØu2 $ v

2 [2]

Despejando la cantidad de de ambas expresiones e igualando resulta laØ2y/Øu2

correspondiente ecuación de onda:

8.2Ø2yØx2 = v2 $

Ø2yØt2



8.2.- CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTOONDULATORIO.

8.2.1.- Los pulsos.

Suele pensarse que las ondas son algo relacionado con las repeticiones; sin embargo,se presentan innumerables casos en que una sola perturbación viaja de un lugar a otroen el medio; esto se conoce como pulso. Ejemplos de pulsos tenemos un destelloúnico de luz, un resorte o una cuerda elástica sobre la cual se produce una rápidaperturbación en uno se sus extremos al moverla hacia arriba o abajo rápidamente.

La propagación del pulso viene descrita por la ecuación 8.1; donde el signo deltermino v·t es positivo si el pulso se mueve hacia la izquierda o negativo en casocontrario.

PulsoPulsoPulsoPulsoFigura 08-02

La naturaleza matemática que describe la forma del pulso es mucho más compleja;sin embargo para resolver esta eventualidad se suele aplicar el análisis de Fourier, lospulsos pueden ser representados por funciones periódicas donde en la mayor parte desu periodo son la función nula. Cuando varios pulsos van uno tras otro se presenta loque se conoce como tren de onda.



8.2.2.- Las Ondas Armónicas.

Generalmente la naturaleza presenta perturbaciones continuas y periódicas, esto estrenes de ondas iguales unos tras otros; este tipo de perturbaciones del medio define auna onda periódica continua.

La forma más simple de este tipo de ondas periódicas continuas es la forma senoidal(esto es que la función f(x) es una función seno o coseno). Estas ondas se conocencomo ondas armónicas. En caso de un movimiento senoidal hacia la derecha laecuación de la propagación viene dada por la forma:

8.3y(x, t) = Yo$ sen(k $ (x! v $ t))

y(x, t) = Yo$ sen(k $ x!� $ t)

Siendo "k" una constante de proporción conocida como "número de Onda". En lasondas armónicas, un punto cualquiera presenta una cresta o un valle, según la relacióncon el nivel normal de equilibrio; cuando el punto alcanza la amplitud delmovimiento (Yo). La distancia entre dos crestas o dos valles continuos define lalongitud de la onda, que hemos denotado en el tema anterior por la letra griega "λ"lambda.

Onda ArmónicaFigura 08-03



Dado que la función seno es una función periódica cada 2π radianes, entonces lalongitud de onda debe ser el periodo espacial, y al igual que el periodo temporal,podemos definir una relación análoga dada por la cantidad:

8.4� = 2�k

A partir de este punto podemos introducir otra cantidad importante en las ondas,como es la frecuencia "f" (denotada en ocasiones con la letra griega ni "ν"); y esnúmero crestas o valles que se suceden en un determinado tiempo, en algún punto delmedio por donde se viaja la onda.

La frecuencia y el periodo "T" del movimiento están directamente relacionados con lafrecuencia angular del movimiento, según recordamos del tema n°1, tenemos:

8.5T = 2��

Con todas relaciones se llega a una entidad importante en todas las ondas, como es larelación entre la velocidad de la onda, la longitud de onda y su frecuencia.

8.6v = f $ � = �T

8.2.3.- Las Ondas Periódicas.

Las ondas continuas y periódicas no necesariamente tienen que tener forma senoidal;en muchos casos presentan formas bastantes engorrosas, para solucionar esto se aplicade el análisis Fourier (ver tema n°3). En esencia general se establece que sí se tieneuna onda periódica no armónica de longitud " "; entonces sí f(x) es la función quedescribe la forma de la onda, como esta función debe ser periódica en el espacio (estoes que depende de la cantidad x), debe ocurrir entonces para un instante de tiempodado, al agregar la cantidad n , donde "n" es cualquier número, entonces el valor def(x±n ) es igual a f(x).



Onda Onda Onda Onda PeriodicaPeriodicaPeriodicaPeriodicaFigura 08-04

Sí la función f(x) es periódica en el espacio (que se repite cada n ),entonces por Teorema de Fourier, (ver tema n°3); debe ocurrir:

f(x) = a0 +�n=1

∞

an $ cos(n $ k $ x) + bn $ sen(n $ k $ x)

Donde la cantidad "k" juega el mismo papel que la frecuencia angular en losmovimientos vibratorios. Reemplazando en el Teorema de Fourier la cantidad "x" porla correspondiente "x-v·t" tenemos la ecuación general para ondas periódicas que sedesplazan hacia la derecha es:

8.7f(x) = a0 +�n=1

∞

an $ cos(n $ k $ (x − v $ t)) + bn $ sen(n $ k $ (x− v $ t))

Lo que indica que cualquier movimiento ondulatorio periódico se puede expresarcomo una superposición de ondas armónicas de frecuencias y de�, 2�, 3�, ...,n�longitudes de onda . Bajo este criterio podríamos analizar los pulsos�,�/2,�/3, ...,�/ncomo ondas periódicas con largos tramos nulos.



8.2.4.- Tipos de Ondas.

Las ondas se pueden clasificar de muchas formas; en un primer termino tenemos quedefinirlas por su necesidad de medios materiales o no para transportarse; tenemos asílas ondas mecánicas aquellas que requieren del medio material (la existencia departículas) para poder desplazarse; también existen aquellas que se desplazan en elvació, estas requieren para su existencia la presencia de campos de fuerzas; típicas deeste grupo son las ondas electromagnéticas.

Las ondas mecánicas se pueden desplazar a través de grandes distancias, pero laspartículas, del medio por el cual se desplazan, vibran sólo en una región limitada delespacio. Cuando las partículas vibran en la misma dirección que la propagación,tenemos las llamadas ondas longitudinales (o de presión), mientras que cuando laspartículas vibran en sentido perpendicular al de propagación, la onda se conoce comoonda transversal (o de cizalladura).

Ondas LongitudinalesOndas LongitudinalesOndas LongitudinalesOndas Longitudinales

Ondas TransversalesOndas TransversalesOndas TransversalesOndas Transversales

Figura 08-05



Cuando el movimiento transversal es en una sola dirección estamos ante ondaspolarizadas linealmente; cuando ocurre en las dos direcciones perpendiculares a lapropagación se habla de ondas no polarizadas, a menos que las componentestransversales del movimiento están desfasadas entre sí /2 radianes y tengan el mismonúmero de onda, en este caso estamos ante ondas polarizadas elípticamente.

Existen casos donde las partículas combinan movimientos longitudinales ytransversales, describiendo movimientos circulares o elípticos, estamos ante ondasde flexión, torsión, o como en el caso de las olas, ante ondas de superficie.

Cuando las ondas se propagan en una sola dirección se tienen ondas progresivas;pero cuando existen movimientos de ondas en ambos sentidos suelen generarsedependendo de las condiciones de fronteras (límites del sistema) que la suma deestas ondas genera a veces unas ondas muy particulares conocidas como ondasestacionarias

8.2.5.- Ondas Superficiales en Líquidos. Las ondas monodimensionales se han clasificado en longitudinales y transversales.Las ondas en cuerdas tensas son esencialmente portadoras de ondas transversales, losresortes o muelles por el contrario pueden transportar ondas longitudinales ytransversales y representan un mejor ejemplo del comportamiento de los sólidos; losfluidos por el contrario solo son capaces de desarrollar ondas de presión(longitudinales).

Dentro de los fluidos existe una única excepción, cuando están dos fluidos presentes(un gas y un líquido); se presentan ondas que combinan ambos movimientos y laspartículas describen más o menos movimientos circulares); este es el caso de las olas.

Figura 08-06



Dado un líquido que circula por un canal recto de profundidad "h", y de ancho "L"tenemos que si perturbamos la superficie con ondas de longitud muy grande y deamplitud transversal muy pequeña comparada con la profundidad podemosdeterminar la ecuación para este tipo de ondas; en un elemento de masa

por efecto de la onda esta masa se desplaza de su posición deØm = � $ h $ L $ Øxequilibrio y cambia su distribución de volumen, luego como la masa no varia debeocurrir:

Øm = � $ h $ L $ Øx = � $ (h + Øy) $ L $ (Øx + Ø�)

Cancelando terminos comunes y desarrollando el producto tenemos:

h $ Øx = h $ Øx + h $ Ø� + Øy $ Øx+despreciable

Øy $ Ø� d

Øy = −h $Ø�Øx

Por otro lado aplicando suma de fuerzas en el elemento de masa tenemos:

+d� Fx = Øm $ ax d

F1 − F2 = � $ Øx $ L $ h $ Ø2�Øt2 d

(p + Øp1) $ L $ h − (p + Øp1) $ L $ h = � $ Øx $ L $ h $ Ø2�Øt2 d

− Ø(Øp)Øx = � $ Ø

2�Øt2

La diferencia de presión es función del incremento o decremento de la altura de aguaen el líquido; luego:

Øp = � $ ag $ Øy = −� $ ag $ h $Ø�Øx

Donde resulta la ecuación de onda:

8.8Ø2�Øx2 = 1

ag $ h$Ø2�Øt2



Siendo la velocidad en ondas de superficie gravitacionales igual a:

8.9v = ag $ h

La velocidad real de las ondas de superficie depende realmente de dos variablesprincipales: una la tensión superficial (τ) y la otra la acelercaión de la gravedad; laexpresión de velocidad de estas ondas superficiales en líquidos obedece realmente ala relación:

8.10v2 =ag $ �

2� + 2� $ �� $ �

$tangh 2� $ h�

Donde "ag" es la aceleración de la gravedad, "λ" la longitud de onda, "τ" la tensiónsuperficial, "ρ" la densidad del fluido y "h" es la profundidad del fluido hasta el fondosólido sobre el que se encuentra.

En el caso que la profundidad sea lo suficientemente grande la tangente hiperbólicatiende a la unidad (1); cuando el termino de gravedad es mayor que el de tensiónsuperficial estamos ante las típicas olas del mar, y estas ondas son llamadas ondasgravitacionales, en este caso la velocidad de las ondas es igual a la aceleración de lagravedad por el número de onda (k); si por el contrario prevalece el termino detensión superficial estamos ante las ondas capilares y se observan sobre superficiestranquilas cuando soplan brisas suaves. En el caso que la tangente hiperbólicah^ �se aproxima a la variable y se obtiene nuevamente la expresión 8.9.

8.2.6.- Ondas en medios dispersivos.

A diferencia de todos los casos anteriores, se tiene en las ondas de superficies que lavelocidad de propagación de la onda no depende sólo de características del material,sino también de la longitud (o la frecuencia) de la onda; cuando ello ocurre estamosante lo que se conocen como medios dispersivos. Todos los medios materiales sonmedios dispersivos, dado que la existencia de la fuerzas de fricción que implicandispersión o perdida de la energía en la onda. Así en un pulso ideal la forma del pulsoes igual durante todo el trayecto, en medios dispersivos (reales) no ocurre estasituación.



Onda Real Onda Real Onda Real Onda Real (en medios dispersivos la forma de la onda se modifica

constantemente)

Onda Ideal Onda Ideal Onda Ideal Onda Ideal (no se modifica la forma de la onda al transitar por el medio)

Figura 08-07



8.3.- SUPERPOSICIÓN DE ONDAS (INTERFERENCIA).

8.3.1.- Superposición de Pulsos.

Hasta el momento hemos considerado la existencia de pulsos moviéndose en un solosentido; sin embargo cuando se tienen dos pulsos desplazándose en sentidos opuestos,es observable que ellos pueden pasar uno sobre otro y salir del encuentro sin que suforma individual se vea alterada por su mutuo encuentro. El encuentro de pulsospuede ser constructivo o destructivo, dependiendo si la amplitud de cada pulso es enel mismo sentido o diferente sentido. Cuando los dos pulsos que se encuentran sonidénticos en forma, pero tienen superposición destructiva el resultado final en uninstante de tiempo dado es la supresión total del movimiento pulsante. La velocidadde cada pulso es, sin embargo, la responsable que estos vuelvan a aparecernuevamente con sus características tan intactas como antes del encuentro de losmismo (ello suponiendo despreciable las fuerzas de fricción).

Figura 08-08



8.4.2.- Superposición de Ondas Armónicas.

Cuando se superponen ondas periódicas (de tipo armónico), se pueden presentarvarias posibilidades, lo más representativo es que se forman en muchos casosenvolventes de ondas, cuya rapidez no es necesariamente igual a la velocidad quetiene la onda individual. Entre los casos que más resaltan tenemos:

a.- Dos ondas con la misma dirección y Amplitud: en este caso; tendríamos lasiguiente suma:

y = y1 + y2 = yo $ sen(k1 $ x +�1 $ t) + yo $ sen(k2 $ x +�2 $ t)

Como la amplitud es la misma por suma de funciones seno tenemos:

8.11y = 2yo $ cos(k1 − k2) $ x + (�1 −�2) $ t

2 $ sen(k1 + k2) $ x + (�1 +�2) $ t

2

En este caso se presentan dos velocidades distintas, una que corresponde a la onda; yotra que corresponde a la envolvente de la onda; la primera se conoce como velocidadde fase; mientras que la segunda representa la velocidad de grupo.

8.12

v = �1 +�2

k1 + k2

vg= �1 −�2

k1 − k2= �2 −�1

k2 − k1= ��k

Es importante señalar que cuando y entonces ocurre que podemos�1 j �2 k1 j k2

aproximar los valores de las velocidades de grupo y fase a:

8.13v = �k

vg= d�dk = v + k $ dv

dk



Si las Ondas superpuestas tienen igual sentido, frecuencia, amplitud y longitud laexpresión 8.11 queda de la forma:

8.14y = 2yo $ sen(k $ x +� $ t)

El resultado implica una onda progresiva armónica con el doble de la amplitud inicial.

Figura 08-09

b.- Ondas con igual amplitud pero en direcciones opuestas.

En este caso se suman las cantidades:

y = y1 + y2 = yo $ sen(k1 $ x −�1 $ t) + yo $ sen(k2 $ x +�2 $ t)

El resultado en este caso es:

8.15y = 2yo $ cos(k1 − k2) $ x − (�2 +�1) $ t

2 $ sen(k1 + k2) $ x + (�2 −�1) $ t

2



Dentro de todos los casos que se pueden ser generar a partir de esta ecuación unodestaca, cuando la frecuencia y la longitud de onda es la misma, el resultado es untipo de ondas, ya estudiado en el tema anterior, conocidas como ondas estacionarias,(ver tema 6 y tema 7) y presentan la forma de:

8.16y = 2yo $ sen(k $ x) $ cos(� $ t)

8.4.- INTENSIDAD DE UNA ONDA.

Las ondas no transportan materia, básicamente lo que se propaga es la condicióndinámica; esto es en forma simple que transmiten o propagan es energía y momentum(lineal y angular). La medición más fácil de la energía de una onda a través de laintensidad media; que se define este como la potencia promedio de la onda queatraviesa una superficie.

8.17I =Potenciapromedio

Areatransversal= P

A Si un foco emite una potencia uniforme en todas direcciones; la intensidad disminuirácon el cuadrado de la distancia; la energía total que vibra en un modo normal vienedada para una partícula como:

Etotal = 12m $ vmax

2 = 12 K $ yo2 = 1

2 $m $�2 $ yo2

Para un elemento de masa "dm" debe ocurrir que la energía transmitida por la onda es:

dE = 12 $ dm$�2 $ yo2

Siendo "yo" la amplitud del movimiento de las partículas que vibran; la potenciapromedio es el trabajo realizado por unidad de tiempo y dado que el trabajo es unaforma de transferencia de energía, entonces:

P = dEdt = 1

2 $dmdt $�

2 $ yo2 = P = 12 $ � $A $

dxdt $�

2 $ yo2

La cantidad "dx/dt" corresponde a la velocidad de la onda; al dividir por el área,tenemos que la intensidad de la onda es:



8.18I = 12� $�

2 $ yo2 $ v = e$ v

Siendo “e” la densidad de energía promedio de la onda.



REFERENCIAS

1.- FISICA. Volumen I. Mecánica. Marcelo Alonso y Edward J. Finn. Addison - Wesley Iberoamericana. U.S.A. 1986.

2.- VIBRACIONES Y ONDAS. Curso de Física del M.I.T. A.P. French. Editorial Reverte, S. A. España. 1982.

3.- MECANICA VECTORIAL PARA INGENIEROS. Dinámica. Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnston. Libros McGrall-Hill. México 1979.

4.- MECANICA VECTORIAL PARA INGENIEROS. Volumen II. Din ámica. Harry R. Nara. Editorial Limusa. México 1979.

5.- MATEMATICAS AVANZADAS PARA INGENERIA. Volumen 1 . Erwin Kreyszig. Editorial Limusa. México 1981.

6.- CALCULUS. Volumen 1. Tom M. Apostol. Editorial Reverte, S.A. Segunda Edición. 1982.

7.- FISICA GENERAL. Volumen I. Douglas C., Ginacoli. Prentice - Hall hispanoamericana, S.A. México 1988.

8.- FISICA tomo I. Paul A. Tipler. Editorial Reverte, S.A. Colombia 1990.

9.- FÍSICA PARA LAS CIENCIAS DE LA VIDA Y DE LA SALUD. Simon G. G. MacDonald. Y Desmond M. Burns. Fondo Educativo Interamericano, S.A. 1978.



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