Web viewRefutando los argumentos de sus predecesores, Cantor afirmaba la existencia de conjuntos...

INSTITUCIÓN EDUCATIVA SANTA TERESA DE JESÚSIBAGUÉ - TOLIMA

ACTIVIDAD DE REFUERZO LOGICA 1 GRADO 5DOCENTE: EDGARD RODRIGUEZ

CONJUNTO Y ELEMENTO

La teoría de conjuntos marca un hito importante en la historia de las matemáticas. Su autor, Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918), encontró serios opositores a su teoría y murió sin percatarse de la trascendencia y la considerable influencia que ésta ejercería en el desarrollo de la ciencia matemática.Refutando los argumentos de sus predecesores, Cantor afirmaba la existencia de conjuntos infinitos reales y demostró que un conjunto es infinito si existe la necesaria correspondencia biunívoca entre él mismo y una de sus partes.Sin restar méritos a Cantor, es justo reconocer que el checo B. Bolzano (1781-1848) fue el primero en considerar, seriamente, la elaboración de la teoría de conjuntos. Fue, asimismo, quien defendió la existencia de conjuntos infinitos reales y llamó la atención sobre la noción de equivalencia de dos conjuntos (correspondencia biunívoca). También asignó números a conjuntos infinitos. Bolzano abandonó estas investigaciones, ya que su atención se centró demasiado en el aspecto filosófico

ObservemosLos anteriores gráficos, podemos definirlos de la siguiente manera:a) La colección de monedas de $100.b) El equipo de fútbol "Los Millonarios".c) La agrupación de las letras de nuestro abecedario.d) El conjunto de los departamentos de la República de Colombia.

Cada uno de los anteriores enunciados, nos da una idea clara, de lo que significa la palabra conjunto.

Los términos: equipo, agrupación, colección, grupo, etc., son sinónimos del término conjunto.

NOTACIÓN DE CONJUNTOS

Por comodidad se acostumbra representar a los conjuntos con letras mayúsculas del abecedario, y a los elementos (objetos) que los componen, con letras minúsculas, números o cualquier otro símbolo, separados entre sí por comas y encerrados entre llaves.

viernes, 05 de mayo de 2023 hora:12:53:52 p. m.



EjemploSea el conjunto de los días de la semana.Convengamos en representar este conjunto con la letra A y a sus elementos los simbolizaremos con una letra minúscula así:

domingo = d. lunes = l, martes = m, miércoles = n, jueves = j, viernes = v, sábado = s.

Obtendremos lo siguiente:A = {d, l, m, n, j, v, s}

Cada uno de los objetos que forman al conjunto se llama elemento

PERTENENCIA Y NO PERTENENCIA

Tenemos el conjunto B = {1,2,3, a, b,}; podemos decir, al respecto, que:

El elemento 1 pertenece al conjunto BEl elemento 2 pertenece al conjunto BEl elemento 3 pertenece al conjunto BEl elemento a pertenece al conjunto BEl elemento b pertenece al conjunto B

EL elemento i no pertenece al conjunto BEL elemento x no pertenece al conjunto BLas palabras pertenece y no pertenece, las podemos reemplazar por los siguientes signos respectivamente: ∈y ∉ ; entonces, nuestro ejercicio quedaría así:

1 ∈ B2 ∈ B3 ∈ Ba ∈ B

x ∉ B4 ∉ Bb ∈ Bi ∉ B

Ejercicio:

1. Dado el conjunto M = {1, 2, 3, 4, 5};

escribe ∈ ó ∉ para cada una de las siguientes afirmaciones:

1 M2 M3 M4 M5 M7 M

9 M 6 M

3 M5 M1 M6 M

2. Dado el conjuntoviernes, 05 de mayo de 2023 hora:12:53:52 p. m.



R = {a, b, c, d, e}; Completa con ∈y ∉cada expresión

a Re Ri Rb Ro Rt Rv Rq R

P R u R

g Rk Rm Rv Rj Rd R

3. Sean los conjuntos:A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}; escribe para cada afirmación, V ó F

1 ∈ A2 ∈ B4 ∈ A 4 ∈ B3 ∈ B5 ∈ B 5 ∈ A6 ∈ A 6 ∈ B

6 ∈ A 6 ∉ B4 ∈ A 4 ∉ B4 ∉ A 1 ∉ B1 ∉ A 4 ∈ B5 ∈ A 5 ∉ B3 ∉ A 3 ∉ B

4. Si x∈P, u∉P, v∈P, y∉P, z∈P, a∉ P, b∉P, c ∉P y d∉ Pa) Describe el conjunto Pb) Describe el conjunto A, con los elementos que no pertenecen a P

5. Dados los conjuntos:C = {1, 2, 3, e}, M = {a, e, i, 2, 3} yN = {2, 3, i, o, u};Completa cada una de las siguientes proposiciones para que sean verdaderas.e M1 No ∉3 ∈

2 ∈ i ∉

u ∈a ∈

2 C 2 Mi M i Ca M a Ne C e N




6. Dadas las siguientes afirmaciones: a ∈ M, b ∈M, f ∈M, n∈ M, j ∉M, h∉M, r ∉ M, u∈ M, d∈ M, i∈ M , o ∉ M

a) Describe el conjunto Mb) Describe el conjunto R con los elementos que no pertenecen a Mc) Llama j al conjunto en que están todos los elementos de M y también todos los de R.

Describe J.

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

Supongamos, que tenemos el conjunto C igual a los números dígitos. Este conjunto lo podemos determinar de dos maneras:a) Haciendo una lista de cada uno de sus elementos, es decir:

C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}b) Escribiendo una cualidad común, es decir, una cualidad que cumplan cada uno de loselementos del conjunto. Para nuestro ejemplo, esa cualidad común es: "ser un número dígito", por lo tanto, nuestro conjunto lo enunciaremos así:C = {x/x es un número dígito}La anterior notación se lee así: C es igual al conjunto de las equis, tal que equis es un número dígito.

»Cuando elaboramos o hacemos la lista de cada uno de los elementos de un conjunto, decimos que está determinado por extensión.Cuando elaboramos o hacemos la lista de cada uno de los elementos de un conjunto, decimos que ésta determinado por extensión.

Cuando damos o escribimos una cualidad común, a todos los elementos del conjunto, entonces, se ha determinado por comprensión

EjercicioDetermina por extensión y comprensión cada uno de los siguientes conjuntos:

1. A: los meses del año.2. B: Los países de Suramérica.3. C: Los números naturales mayores que 1 y menores que 9.4. E: Los números naturales pares mayores que 2 y menores que 8.5. F: Los números naturales múltiplos de 3 y que sean mayores que 66. y menores que 24.7. L: Los diez primeros múltiplos del número cinco.8. G: Los números dígitos.9. H: Los divisores de 12.10. J: Los números impares mayores que 4 y menores que 6.11. M: Los números dígitos múltiplos de 2.12. N: Los divisores de 20.13. T: Los números impares mayores que 1 y menores que 6.




CLASES DE CONJUNTOSSea el conjunto de los números naturales (N); si quisiéramos determinar este conjunto, por extensión, nos encontraríamos con un inconveniente, y es que nunca, terminaríamos de hacerla lista de los elementos que conforman dicho conjunto, porque por muchos elementos que escribamos, siempre habrá otro por agregar.Veamos: N = {O, 1, 2, .... 100, .... 1.000...}; por esta razón se dice que este conjunto es infinito.

Conjunto infinitoUn conjunto es infinito, cuando no es posible acabar el proceso de enumerar sus elementos. ''

Ahora, veamos el conjunto de los números naturales pares mayores que 2 y menores que 20, es decir, A = {4,6,8,10,12,14,16,18}. Observa que sí es posible acabar el proceso de enumerar sus elementos; entonces, decimos que dicho conjunto es finito.

Conjunto finitoUn conjunto es finito cuando podemos enumerar la totalidad de sus elementos.Observa el siguiente conjunto:E: Los satélites naturales que tiene el planeta Tierra.De este conjunto decimos que la Tierra tiene sólo un satélite natural, que es la Luna, por tal motivo, dicho conjunto posee un solo elemento, y se llama unitario.

Conjunto unitarioCuando un conjunto tiene solamente un elemento, se dice que dicho conjunto es unitario

Ejemplo 1a) A: Las ciudades capitales de Suramérica que se llaman Santa Fe de Bogotá.b) B: El conjunto de presidentes de la República de Colombia, elegidos para el período 1990-1994.En el conjunto A, sólo hay una ciudad capital en Suramérica, cuyo nombre es Santa Fe de Bogotá. ¿Qué opinas del conjunto B?

Ejemplo 2Observa el siguiente conjunto:M: Los alumnos de tu curso que tienen más de 100 años.Como puedes ver ninguno de tus compañeros tiene más de 100 años, entonces el conjunto M, no tiene elementos y se dice que es vacío.

Conjunto vacioCuando un conjunto no tiene elementos se dice que es vacío y se simboliza así: Ø

Ejercicio 1. Escribe 2 conjuntos que sean infinitos.2. Escribe 2 conjuntos que sean finitos.3. Escribe 2 conjuntos que sean unitarios.4. Escribe 2 conjuntos que sean vacíos.5. Clasifica en: a) infinito, b) finito, c) unitario, d) vacío; cada uno de los siguientes conjuntos:

a) R: Las estrellas del universo.viernes, 05 de mayo de 2023 hora:12:53:52 p. m.



b) S: Los granos de arena de las playas de nuestros océanos.c) H: Los números naturales impares mayores que 5 y menores que 35.d) T: Los planetas de nuestro Sistema Solar.e) M: Los pontífices de la Iglesia Católica que han sido de sexo femenino.f) L: Las ciudades capitales de Colombia con más de 20 millones de habitantes.g) B: El número de soles de nuestro Sistema Solar.h) D: Los alumnos de tu curso.i) N: Los municipios de la República de Colombia.j) K: Los alumnos de tu curso que midan 2 m de estatura.k) P: Las vocales de la palabra Cartagena.l) E: Las consonantes de la palabra murciélago.m) A: Los países de Centroamérica.n) U: La capital del departamento de Bolívar. o) Z: Los profesores de tu colegio.p) V: Los gatos que tienen 5 patas.q) W: Los hombres con más de 200 años.r) X: Las esposas del presidente de la República.s) Y: Los alumnos de tu curso que miden más de 3 m.t) C: La capital del departamento de Caldas.u) F: Los países de Europa.v) N: Los habitantes de Pereira.w) I: Los animales con 3 cabezas.x) J: Los hijos de tus padres.

6. Si a∈ B, c ∈B, f ∉C, d∉ B, g ∈A g ∉ Ca) Nombra por extensión los conjuntos A, B, Cb) Marca cuáles de los conjuntos anteriores son finitos, infinitos, unitarios y vacios

Conjunto universal o referencial

Ejemplo:Sea el conjunto P: Los números naturales mayores que 1 y menores que 15, es decir: P={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14} A partir de este conjunto podemos definir otros; por ejemplo:a) Y: Los números naturales mayores que 1 y menores que 10.

Y= {2,3,4,5,6,7,8,9}b) Z: Los números naturales impares mayores que 1 y menores que 15.

Z= {3, 5, 7,9, 11,13}c) K: Los números naturales pares mayores que 1 y menores que 15.

K={2,4,6, 8, 10,12, 14}

En los conjuntos Y, Z, K, podemos observar que los elementos de cada uno de ellos pertenecen, también, al conjunto P; por tal motivo decimos que el conjunto P es universal o referencial para los conjuntos Y, Z y K.




Conjunto UniversalUn conjunto es universal o referencial, cuando dicho conjunto se toma como base para definir otros conjuntos. El conjunto universal o referencial se simboliza con la letra U.

Ejercicio1. Dado el conjunto U = {1, 2, 3,...,50}; define 4 conjuntos, a partir de él. 2. Dados los conjuntos:

A ={1,2,3,4, 5, 6,7,8, 9,..., 20}B = {2,4,6,8, 10, 12, 14, 16, 18}C = {1,3,5,7,9,11}D = {6,7,8,9,10,11}

Escribe una U, en el que corresponda al conjunto universal.3. Determina el conjunto universal o referencial que contiene al conjunto formado por los alumnos de tu

curso.4. En el conjunto universal que hallaste en el ejercicio anterior, ¿qué otros conjuntos se pueden obtener

a partir de él?

Diagrama de VennSea el conjunto:V = {a, e, i, o, u}Si agrupamos los elementos del anterior conjunto dentro de una curva cerrada, decimos, entonces, que este conjunto se ha representado en un diagrama de Venn. Veamos

SUBCONJUNTOSSean los conjuntos:A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), B = {1, 3, 5, 7, 9), C = {2, 4, 6, 8}. Si representamos estos conjuntos en un diagrama de Venn, observamos




a) Los elementos de B, están contenidos en el conjunto A, es decir, B es un subconjunto de A.b) Los elementos de C, están contenidos en el conjunto A, es decir, C es un subconjunto de A.

El símbolo que representa que un conjunto está contenido en otro o que es subconjunto de otro, es ⊂ ; por lo tanto diremos: B ⊂ A y C ⊂ A.

Cuando todos los elementos de un conjunto B, están contenidos en un conjunto A, se dice que B es subconjunto de A, y se escribe simbólicamente B ⊂ A.

EjemploSean:S: Los departamentos de la Costa Atlántica.R: Los departamentos de la República de Colombia.Podemos decir que el conjunto S está contenido en R. Simbólicamente: S ⊂R.

EjercicioDados los conjuntos:M = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}N = {a, b, c, d}J = {d, h, k, m}L = {d, e, g}H = f, g, h, i, j}P = h, i, j, k, l}K = {e, f, g, h}Escribe para las siguientes afirmaciones F ó V

a) N ⊂ M g) L ⊂ Mb) M ⊂ M h) H ⊂ Mc) P ⊂ M i) H ⊂ Ld) N ⊄ P j) L ⊂ Pe) N ⊄ H k) K ⊂ Mf) P ⊄ J l) M ⊂ L

UNION DE CONJUNTOSSupongamos los conjuntos:A= { , , , , } B={ , , , }Si deseamos hallar la unión del conjunto A con el conjunto B, basta reunir los elementos de ambos conjuntos es decir, A unión B. Si representamos esta operación en un diagrama de Venn, obtenemos:




La parte sombreada nos representa la unión del conjunto A con el conjunto B.Dados dos conjuntos A y B; se define la unión del conjunto A con el conjunto B, (A ¿ B), al conjunto de todos los elementos que pertenecen a A, o que pertenecen a B o a ambos conjuntos; es decir, los elementos comunes y no comunes de ellos.Simbólicamente:A¿ B= (x/x∈A v x∈ B}

Ejercicio1. Sean los conjuntos:

A = {1, 2, 3, 4),B = {4, 5, 6}, C = {4, 6, 7},D = {1, 5, 7, 8, 9} Determina:A ¿ B C ¿ DA ¿ C B ¿ DB ¿ C A ¿ DC ¿ B D ¿ A(A ¿ B)¿ C D ¿ B(B ¿ C)¿A(C ¿ A)¿ B

2. Realiza: A ¿D y D ¿A; C ¿ B y B ¿ C, B¿D y D ¿ B ¿Qué concluyes de estos resultados?

3. Representa cada una de las uniones del ejercicio anterior, mediante diagramas de Venn.4. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en el ejercicio número 1, escribe para cada afirmación, V

ó Fa) 2∈ (A¿ B) g) 5∉ (A¿ C)b) 8∈ (A¿ C) h) 7∈ ( B¿D)c) 9∈ (B¿ C) i) 4∉ (A¿D)d) 6∉ (C¿D) j) 1∈ (B¿ C)e) 3∉ (A¿ C) k) 5∉ ( B¿D)f) 2∈ (D¿ C) l) 4∉ (A¿ B)

5. Dados los conjuntos: M = {1, 2, 3, 4, 5 }, N = {4, 5, 6, 7, 8}.




Halla M ¿ N y representa dicha unión en un diagrama de Venn.6. El siguiente diagrama de Venn nos representa la unión del conjunto A con el conjunto B. Determina los

conjuntos A y B por extensión

7. Dados tres conjuntos A, B y C, ¿podrías hallar la unión de los conjuntos, es decir, A¿ B¿ C? Haz un ejemplo.

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOSLee detenidamente la siguiente situación:En tu curso, las siguientes alumnas, hacen parte del equipo femenino de voleibol: Carmen, Nora, Lina, Paola, Ana, Natalia y, además, el equipo de basquetbol lo conforman: Nora, Carmen, Sonia, Magaly, Yolanda. Si convenimos en representar al equipo de voleibol, con la letra V, y al equipo de basquetbol, con la letra B, obtenemos:V = {Carmen, Nora, Lina, Paola, Ana, Natalia}B = {Nora, Carmen, Sonia, Magaly, Yolanda}En estos dos conjuntos vemos que existen dos elementos comunes a ellos, es decir, Nora y Carmen, están en ambos. Estos dos elementos, conforman al conjunto intersección (¿ ), de los conjuntos V y B. Representemos gráficamente esta operación

La parte sombreada nos muestra el conjunto intersección del conjunto V con el conjunto B, y se simboliza así: V ¿ B.

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B; definimos la intersecci ó n del conjunto A con el conjunto B, (A ¿ B), como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B, es decir, los elementos comunes a ambos conjuntos.Simbólicamente: A ¿ B = (x/x ∈ A Ʌ x ∈ B}

EjercicioDados los conjuntos:




C = {a, b, c, d, e, f};E = {d, e, f, g, h} yF = {g, i, j}Determina:a) C¿ E e) C¿ Fb) (C ¿ E) ¿ F f) (C¿ E) ¿ Fc) (F ¿ E) ¿ C g) C¿ (E ¿ F)d) (C¿ E) ¿ F h) (F¿ C) ¿ E

CONJUNTOS DISYUNTOSSupongamos que:M = { 1, 2, 3, 4} y N = {7, 8, 9}En los anteriores conjuntos no existen elementos comunes, por lo tanto M ¿ N = Ø.

Cuando la intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto vacío, se dice que dichos conjuntos son disjuntos o disyuntos.

Ejercicio 1. Dados dos conjuntos:

A = {1, 3, 5, 7, 9}B ={2, 4, 6, 8}C = {1, 4, 7, 8}D = {2, 3, 5, 9}

Determina a) A¿ B f) B¿ Db) A¿ C g) B¿ Cc) C¿ D h) A¿ Dd) (A¿ B) ¿ C i) (A¿ B) ¿ Ce) (A¿ B) ¿ D

2. Teniendo en cuenta, los resultados obtenidos en el ejercicio número 1, escribe para cada una de las siguientes afirmaciones, V ó F

a) 2∈ (A¿ B) i) 7∈ (A¿ C)b) 2∉ (B¿ D) j) 5∈ (C¿ D)c) 8∈ (B¿ C) k) 5∈ (A¿ D)viernes, 05 de mayo de 2023 hora:12:53:53 p. m.



d) 3∉ (A¿ B) l) 9∈ (A¿ D)e) 4∈ (A¿ D)f) 3∈ (A¿ B)¿ Cg) 9∉ (A¿ B)¿ Dh) 1∉ (A¿ B)¿ C3. Dados los conjuntos:

A: Las vocales de la palabra papelB: Las vocales de la palabra humo

Hallar A¿ B

DIFERENCIA DE CONJUNTOSObserva los siguientes conjuntos:A = {a, b, c, d, e, f} y B = {b, c, f, g}. Veamos cuáles elementos están en el conjunto A pero no están en el conjunto B.Estos elementos son: a, d, e; el conjunto formado por estos elementos lo llamaremos la diferencia entre A y B (A - B).Si lo representamos en un diagrama de Venn, obtendremos:

La parte sombreada conforma el conjunto de los elementos que pertenecen al conjunto A pero que no pertenecen al conjunto B, es decir, el conjunto diferencia.

Dados dos conjuntos A y B; se define la diferencia, entre A y B, (A - B), como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.Simbólicamente: A-B = {x/x∈A Ʌ x∉ B}

Ejercicio:1. Sean los conjuntos:

A= {1, 2, 3, 4}B = {3, 4, 5, 6}C = {1, 4, 6, 7}D = {4, 5, 6, 7}Determinaa) A-B e) A-C




b) A-D f) D-Bc) C-A g) C-Bd) B-C h) B-D

2. Representa en un diagrama de Venn los ejercicios a), c), f) y h) del ejercicio anterior.3. Representa en un diagrama de Venn, los ejercicios b), d) y g).4. ¿Qué puedes concluir de los ejercicios b) y d)?5. Comprueba si A-B es igual a B-A, tomando A y B del ejercicio 16. De acuerdo con las respuestas obtenidas en el ejercicio número 1, coloca para cada una de las

siguientes afirmaciones, V ó Fa) 2∈ (A-B) h) 3∉ (A-C)b) 5∈ (A-C) i) 3∈ (B-D)c) 7∉ (C-B) j) 7∈ (B-D)d) 5∉ (B-C) k) 1∈ (C-B)e) (C-A)⊂D l) (A-B) ⊄ Af) (B-C) ⊄ (C-B)g) (B-D)⊂ (C-B)

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTOSea el conjunto referencial U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y sea el conjunto A = {2, 4, 6, 8). Determinemos cuáles elementos le faltan al conjunto A, para ser igual al conjunto U.Los elementos que le faltan al conjunto A para ser igual al conjunto U, son 1, 3, 5, 7, 9; estos elementos forman el complemento del conjunto A, respecto al conjunto U.

Representemos en un diagrama de Venn, este conjunto

La parte sombreada es el complemento del conjunto A, respecto a U. Esto se simboliza: A'Es conveniente recordar que el complemento de un conjunto, siempre se halla respecto a un conjunto referencíal o universal.

Ejemplo:Sea U: Las vocales de la palabra murciélago, y sea




B ={a, o, u} determinar B'.

El conjunto U al ser determinado por extensión es U = {a, e, i, o, u}; observamos que al conjunto B le faltan algunos elementos para ser igual a U; luego, B' = {i, e}Existen varias maneras para simbolizar el complemento de un conjunto. Veamos algunas de ellas:

Todas quieren expresar: el complemento del conjunto A, respecto al conjunto U. Por comodidad utilizaremos en nuestro texto, la notación A'.

Dado un conjunto universal U, y un conjunto A, se define el complemento del conjunto A, respecto al conjunto U, al conjunto de todos los elementos que le faltan al conjunto A, para ser igual al conjunto U.Simbólicamente:A´={x/x∈U Ʌ x∉A}.

Ejercicio1. Sea el conjunto referencial:

U = {x/x es un número natural, mayor que 1 y menor que 15).Y los conjuntos:A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 }, B = { 3, 5, 7, 9, 11, 1 3 }, C = {2, 5, 6, 7, 9, 12}.Determina:a) A´ c) B´

b) C´2. Representa en diagramas de Venn, cada una de las respuestas obtenidas en el ejercicio anterior.3. Sea el conjunto universal o referencial

U ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}y sea: D = {2, 3, 4, 5}, F = {5, 6, 7, 8} y G = {6, 7, 8, 9}.Determina:a) D´ d) G´b) F´ e) (D ¿ F)́c) (D ¿ F)́

4. SeaU = {0,1 2, 3, 4, 5} y sea A = {1, 2, 3, 4}; B = {0, 2, 4}; C = {0, 1,2,3}




Determinaa) A´ B´b) C´ (A ¿ B)́c) (B ¿ C)́


Web viewRefutando los argumentos de sus predecesores, Cantor afirmaba la existencia de conjuntos...

Documents

Transcript of Web viewRefutando los argumentos de sus predecesores, Cantor afirmaba la existencia de conjuntos...