SOLUCIN ALGEBRAICA DE LA ECUACIN CUADRTICA

1. SOLUCIN POR FACTORIZACIN

Un aspecto clave en la solucin de las ecuaciones cuadrticas ax2+bx+c=0 tiene que ver con la factorizacin de los trinomios de la forma ax2+bx+c. Recordemos que estos trinomios pueden factorizarse en los reales de varias maneras:

1. Por simple inspeccin o tanteo, cuando los factores son enteros.

2. Por completacin al trinomio cuadrado perfecto.

3. Por aplicacin del teorema del factor.

Vamos a recordar, con un ejemplo, la utilizacin de estas tres maneras de factorizar un trinomio de la forma ax2+bx+c.

Factoricemos el trinomio 3x2+7x-6

1. POR SIMPLE INSPECCION o TANTEO

Multiplicamos y dividimos por 3 3x2+7x-6=(x+3)(3x-2)

2. POR COMPLETACIN AL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Hacemos el coeficiente de x2 igual a 1 Ahora debemos completar al trinomio cuadrado perfecto la expresin . Para lograrlo, debemos sumar la mitad del cuadrado del coeficiente del trmino ; es decir, debemos sumar (y restar para que no se altere la expresin) . Por lo tanto: 3x2+7x-6=(x+3)(3x-2)

3. POR APLICACION DEL TEOREMA DEL FACTOR

Al repasar la unidad 0 de este texto, recordbamos que si un polinomio tiene CEROS enteros, necesariamente estos hay que buscarlos en los divisores de su trmino independiente. As, pues, los posibles ceros enteros del polinomio P(x) = 3x2+7x-6 son los divisores de 6: 1, 2, 3, 6

Un chequeo rpido nos muestra que slo x=-3 es cero entero de este polinomio. Por lo tanto, (x+3) es un factor de 3x2+7x-6. El otro factor podemos encontrarlo por simple inspeccin o buscando sus coeficientes a travs del proceso de la divisin sinttica; as: 3 7 -6

-3 -9 6

3 -2 0

Luego, el otro factor es (3x-2) y la factorizacin completa del polinomio P(x)=3x2+7x-6 es (x+3)(3x-2).

Finalmente, conviene recordar la propiedad ab=0 de los nmeros reales porque la usaremos a continuacin en la solucin de ecuaciones de segundo grado.

PROPIEDAD DE LOS REALES PARA ab=0

Sean a y b dos nmeros reales: Si ab=0 entonces a=0 o b=0

Esta propiedad establece que si el producto de dos nmeros reales es igual a cero, entonces al menos uno de los factores (o ambos) son iguales a cero. Esta propiedad puede extenderse a un producto con ms de dos factores; es decir: Si abcd=0 entonces a=0 b=0 c=0 d=0

Los siguientes ejemplos nos muestran de manera detallada cmo usar la factorizacin y la propiedad ab=0 para resolver ecuaciones de segundo grado.

EJERCICIO 1

Resolvamos la ecuacin (2x-1)(x+3)=0

La ecuacin (2x-1)(x+3)=0 tiene la forma ab=0. Por lo tanto, si aplicamos la propiedad de los nmeros reales que acabamos de mencionar nos queda:(2x-1)(x+3)=02x-1=0 x+3=0 x = x = -3. As pues, la solucin de la ecuacin es el conjunto S = Esta solucin puede comprobarse si sustituimos la incgnita x primero por -3 y luego por en la ecuacin original; as:

Sustituimos x por -3:[ 2(-3)-11][(-3)+3]=0[-6-1][0]=0[-7][0]=00=0 cierto!

Sustituimos x por : [1-1] [ 0) 0=0 cierto!

EJERCICIO 2

Resolvamos la ecuacin x2+2x=15

La ecuacin es una ecuacin de segundo grado. Para resolverla, lo primero que hacemos es igualar a cero; es decir: x2+2x-15=0. A continuacin, factorizamos el polinomio x2+2x-15. Podemos hacerlo por simple inspeccin; as: (x+5)(x-3)=0 Ahora igualamos a cero cada factor: (x+5)(x-3)=0x+5=0 x-3=0x=-5 x=3 CONCLUSIN: La solucin de la ecuacin x2+2x =15 es el conjunto S = {-5,3}

EJERCICIO 3

Resolvamos la ecuacin 3x2 = 2x

En la solucin de esta ecuacin expliquemos cada paso desarrollado:3x2-2x=0x(3x-2)=0x=0 3x-2=0x=0 x= Por lo tanto, la solucin de la ecuacin 3x2=2x es el conjunto S =

EJERCICIO 4

Resolvamos la ecuacin 2x2-8x+3=0

El polinomio 2x2-8x+3 no tiene factores enteros. Por lo tanto, es bastante difcil factorizarlo por simple inspeccin. Igualmente, se dificulta su factorizacin por el teorema del factor. Vamos a factorizarlo por completacin al trinomio cuadrado perfecto. Explica cada paso realizado:

2(x2-4x+) = 0222

2

x = 2- x=2+x2-1,58 x2+1,58x0,42 x3,58 Luego, la solucin de la ecuacin es el conjunto {0,42, 3,58} .Muchos estudiantes cometen el siguiente error cuando tienen una ecuacin como sta x(3x-2)=0: pasan, a dividir, el factor x al otro lado de la ecuacin, dejando como nica solucin la correspondiente a la ecuacin 3x-2=0. Cuidmonos, por lo tanto, de cometer esta ligereza pues estaramos eliminando una de las dos soluciones que tiene toda ecuacin de segundo grado.

EJERCICIO 5

Resolvamos la ecuacin x2=16

Analicemos cada paso explicando lo que se hace: x2-16=0(x+4)(x-4)=0x+4=0 x-4=0x= -4 x=4. Por lo tanto, la solucin de la ecuacin x2=16 es el conjunto S = {-4,4}

Este tipo de ecuaciones incompletas de segundo grado, en las cuales falta el trmino de primer grado bx, tambin podemos resolverlas aplicando la definicin de raz cuadrada de un nmero; as: x2=16x= x=-x=4 x=-4 en forma ms simple: x = x = 4

EJERCICIO 6

Resolvamos la ecuacin (x-6)2=10

Esta ecuacin podemos resolverla de dos maneras: la primera, desarrollando (x-6)2, igualando a cero, factorizando y aplicando la propiedad ab=0; la segunda, aplicando la definicin de raz cuadrada como lo hicimos en el ejemplo anterior. Esta segunda manera es la ms rpida. Veamos: x-6=x=6x=6+ x= 6- .Por lo tanto, la solucin de esta ecuacin es el conjunto S = {6+ , 6-}. Invitamos a resolver la ecuacin de la otra manera y comparar no slo los resultados sino los mtodos.

EJERCICIO 7

Resolvamos la ecuacin 2x2-3x+4=0

Damos un tiempo prudencial para que factorice el polinomio 2x2-3x+4.

Verdad que aparentemente, ninguno de los mtodos sugeridos para factorizar este polinomio funciona? La razn es que probablemente este polinomio no tiene factores reales. Para comprobarlo, recordemos un criterio para saber si un polinomio de la forma ax2+bx+c tiene o no factores reales. El criterio es el siguiente: El polinomio ax2+bx+c NO tiene factores reales si la expresin b2-4ac es negativa.

En nuestro caso: a=2, b=-3 y c=4. Por lo tanto: b2-4ac=(-3)2-4(2)(4)=9-32=-23. Luego, b2-4ac es negativo y el polinomio 2x2-3x+4 no tiene factores reales. CONCLUSIN: Como el polinomio 2x2-x+4 no tiene factores reales, entonces la ecuacin tampoco tiene soluciones o races reales.

EJERCICIO 8

Resolvamos la ecuacin 4x2+9=12x

Tenemos: 4x2-12x+9=0(2x-3)2=0(2x-3)(2x-3)=02x-3=0 2x-3=0x = x = Luego, la solucin de la ecuacin es el conjunto S = = .Notemos que, en este caso, las soluciones de la ecuacin son iguales: x = , x = . Esto ocurre cuando el polinomio ax2+bx+c es un trinomio cuadrado perfecto. Tambin podramos haber resuelto ms rpido la ecuacin si, en el paso donde (2x-3)2=0, aplicamos la definicin de raz cuadrada; as: (2x-3)2=02x-3= 2x- 3=02x=3x=

2. SOLUCIN MEDIANTE LA FRMULA CUADRTICA

El mtodo de completacin al trinomio cuadrado perfecto nos permite resolver cualquier ecuacin cuadrtica, pero su aplicacin suele ser bastante tediosa. Afortunadamente existe un mtodo general y sencillo con el cual podemos resolver cualquier ecuacin de segundo grado. Este mtodo es el de la FORMULA CUADRTICA. Esta frmula, bastante popular entre los estudiantes de secundaria, se deduce al aplicar a la forma general de la ecuacin cuadrtica ax2+bx+c=0 el mtodo de completacin al trinomio cuadrado perfecto. Observemos todo el proceso:

; a0 Si dividimos ambos lados por a obtenemos:

Restando a ambos lados nos queda:

Ahora sumamosa ambos lados de la igualdad para que el lado izquierdo sea un trinomio cuadrado perfecto:

Pero

Ahora sumamos las fracciones del lado derecho:

Saquemos raz cuadrada a ambos lados:

Simplifiquemos el radical del lado derecho:

Despejamos la x:

Finalmente, sumamos las fracciones de igual denominador del lado derecho:

Esta ltima expresin: es la frmula para resolver cualquier ecuacin de segundo grado y debe utilizarse cuando no dan resultado o son difciles otros mtodos como el de la factorizacin. Se llama FRMULA CUADRTICA o FRMULA DEL BACHILLER, por su popularidad entre los estudiantes de secundaria. La expresin b2-4ac, que aparece dentro de la raz cuadrada en la frmula cuadrtica, se denomina DISCRIMINANTE y es muy importante ya que nos proporciona informacin til acerca de las soluciones o races de la ecuacin; as:

Si b2-4ac es positivo, entonces ax2+bx+c=0 tiene dos soluciones reales distintas.

Si b2-4ac=0, entonces ax2+bx+c=0 tiene dos soluciones reales iguales (una solucin real repetida).

Si b2-4ac es negativo, entonces ax2+bx+c=0 no tiene soluciones reales y ambas son complejas.

Recordemos que esta misma expresin fue la que utilizamos para saber si un polinomio cuadrtico tena o no factores reales. Las soluciones de la ecuacin cuadrtica ax2+bx+c=0 pueden obtenerse factorizando el polinomio ax2+bx+c y aplicando la propiedad AB=0 o aplicando directamente la frmula cuadrtica: .La expresin b2-4ac se denomina DISCRIMINANTE ya que nos permite determinar si la ecuacin ax2+bx+c=0 tiene dos soluciones reale