R

P

P

r

r

0

Una varilla delgada de vidrio está doblada en forma de semicírculo de radio R. Sobre la mitad superior del semicírculo se halla distribuida uniformemente una carga +q, sobre la mitad inferior, otra –q. Determine el campo eléctrico en P, el centro del semicírculo

Obtención del campo producido por el cuarto superior de círculo

Se trata de aplicar en primer lugar la

Ley de Coulomb {E⃗=1

4 π ε0

qr2 r̂ }, donde

q es la fuente de campo; r, la distancia a la que se encuentra el punto donde se calculará

el campo r̂ , el vector unitario en la dirección de r

1) Expresión general del campo diferencial:

En base a lo explicado antes, el campo producido por la

carga “puntual” dq en P será: d E⃗= 14 π ε0

dqr2 r̂ (1)

2) Búsqueda de las simetrías

Cambiamos la perspectiva del cuarto de círculo: tomamos el eje X sobre la línea que une P con el punto medio del cuarto de círculo y así, la figura queda dividida en dos partes simétricas tal como muestra la figura de la izquierda: para cada dq arriba del eje X existe un dq en posición simétrica por debajo, tal que los d E⃗ correspondientes a cada elemento de carga al sumarse cancelan sus componentes Y; es decir:

3) Obtención de la expresión para dE x que permita la integración

CLAVE:En los problemas de cálculo de campos en distribuciones continuas de carga, la clave se presenta en saber plantear la integral necesaria, para ello:1) Elegir adecuadamente el elemento de carga y expresarlo en

función de la densidad de carga y el elemento de línea2) Buscar las simetrías en el vector campo que, permitan, si es el

caso, calcular sólo una componente porque la otra sea cero: Para ello es necesario analizar si es posible dividir geométricamente la distribución de carga de modo que el campo de una mitad sea igual en magnitud al campo de la otra mitad.

3) Escribir las variables de distancia, incluida la del diferencial en función de una única para poder integrar

Ver fórmula (1) en el inciso 1)De la figurads

dα

α Prs

‘Pasos’ para definir la variable s, que aparece bajo el signo del diferencial:Establecer un origen de referencia, el punto donde s = 0; en este caso, hemos tomado, el punto medio del arco cuartocircular; se podría haber tomado, por ejemplo el extremo superior de la curva, o el inferior: quien va a hacer la integral decide el punto que considere más adecuado, pensando en lo que facilitará el inmediato trabajo de cálculo.La variable, por serlo, ‘une’ el origen con la posición de un punto cualquiera sobre la línea en que está definida (en este caso es curva); esto es va del origen a la posición donde se dibujó el ‘dq’

La densidad lineal de carga λSu definición es (cantidad de carga dq que se halla depositada en una pequeña longitud de línea, ds)La propia definición implica que el cálculo de la carga total se obtiene: En nuestro caso:Distribución de carga uniforme

Valor de , en nuestro problema:

Primera expresión para d E x

Relación elemento de carga-elemento de línea: dq=λds

Escritura de todas las variables en la expresión de dEx en función de una sola:

a) r , constante (cual-quiera que sea el ‘dq’ que se seleccione en el cuarto de círculo, su distancia a P siempre va a ser la misma, el radio del círculo;

b) s (aparece en el ‘ds’). Lo más apropiado es escribir: s=rα⇒ds=rdα

c) α: la otra variable (‘r’ vimos que no lo era) se escribe en función de ésta; luego, en la integral, α será pues la variable de integración

4) Expresión final para E x

Integranmos:

Al volver a colocar el cuarto de círculo según la perspectiva de la figura inicial es fácil descubrir los valores de y

90°

(la curva es un cuarto de

círculo)

Parte del arco donde s < 0

Parte del arco donde s> 0

s = 0

ds

sα P

dq del ‘ comienzo ‘de la línea:

dq del ‘ final ‘de la línea:

Para conocer desde dónde (límite inferior) hasta dónde (límite superior) hay que integrar, ha de ‘barrerse’ con los ‘dq’ toda la línea cargada

E x=1

4 π ε0∫α2

α1 λ rR2 cosα dα= 1

4 π ε0

λR∫

α 1

α 2

cosα dα= 14 π ε0

λR

[ sin α ]α1

α2

Límites de integración:

El análisis de las figuras nos muestra con claridad que α 1=45 ° ≡ π /4 y α 2=−45° ≡−π /4

Expresión para Ex tras colocar los valores para los límites

E x=1

4 π ε0

λR

[sin α ]α 1

α 2= 14 π ε0

λR [sin π

4−sin(−π

4 )]= 14 π ε0

2 q /( π R )R [√2

2−(−√2

2 )]= √22 π2 ε0

qr2

5) Expresión final para el campo (magnitud y dirección) del cuarto superior de círculo

Recordamos que en 2) obtuvimos: E⃗=∫ d E⃗=∫dE x x̂=Ex x̂

45°

Mediatriz

Eje X en la simetría del enunciado

Eje Y en la simetría del enunciado

90°

45° 45°

90° (ver figuras arriba)

PERSPECTIVA ORIGINAL TAL COMO APARECE EN LA FIGURA DEL ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Mediatriz del arco de círculo

90°

P

PERSPECTIVA USADA PARA RESOLVER EL PROBLEMA TRAS HABER ENCONTRADO UNA SIMETRÍA

(Haber encontrado una simetría no significa que siempre sea posible encontrarla)

P

Eje X

Así que de la recién encontrada expresión para Ex escribimos ya: E⃗= √22 π2 ε0

qr2 x̂

Pero esta respuesta está basada en la geometría utilizada, en la cual el eje X era la mediatriz del cuarto de círculo; necesitamos convertirla a la geometría propia del problema; las figuras que siguen nos ayudan:

Expresión de E⃗ tomando como dirección la de la mediatriz del cuarto de círculo