PROGRAMACIÓN LINEAL

INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.

Las inecuaciones lineales con dos incógnitas se pueden presentar de las cuatro formas siguientes:

ax+by+c>0ax+by+c<0ax+by+c≥0ax+by+c≤0

como ejemplo de ellas tenemos:

2 x+ y−5>03 x+5 y+1<0−x+4 y+7≥0 4 x−3 y+2≤0

La representación gráfica de estas inecuaciones son semiplanos. Las inecuaciones que llevan los signos ¿o<¿ son semiplanos sin borde, mientras que las que llevan ≥ o≤ son semiplanos que si llevan borde.

Para representar un semiplano se dan los pasos siguientes:

1. Se dibuja la recta que hace de borde del semiplano, para lo que se expresa en la forma explícita y se dan dos puntos cualesquiera. Al unir dichos puntos, aparecerá la recta.

2. Se sustituye un punto del plano en la inecuación (el más sencillo de sustituir es el origen de coordenadas (0 ,0) ), y se comprueba si verifica o no dicha inecuación. Si la verifica, significa que el semiplano en el que se encuentra dicho punto es el correcto, si no la verifica , es que el semiplano que se quiere representar, es el que está al otro lado de donde se encuentra el punto.

Ejemplo 1. Representar la inecuación 2 x+ y−3≤0 . (semiplano con borde)

2 x+ y−3≤0⟹2 x+ y−3=0⟹ y=−2x+3⟹{ A (0 ,3)B(3 ,−3)

Al sustituir en la inecuación la x y la y por las coordenadas del origen, vemos que verifica la inecuación: ¿) , por lo tanto, la zona en la que se encuentra el punto (0, 0) es la que representa a la inecuación Al llevar la inecuación el signo ≤ , los puntos de la recta (borde) también verifican la inecuación.

2 x+ y−3≤0

Ejemplo 2. Representar la inecuación 3 x− y−5>0. (semiplano sin borde)

3 x− y−5>0⟹3 x− y−5=0⟹ y=3 x−5⟹ {A (1 ,−2)B(3 ,4)

Al sustituir en la inecuación la x y la ypor las coordenadas del origen, vemos que NO verifica la inecuación: (3 ·0−0−5≯� 0), por lo tanto, la zona en la que se encuentra el punto (0, 0) NO es la que representa a la inecuación, sino la otra.

Al llevar la inecuación el signo ¿ , los puntos de la recta (borde), NO verifican la inecuación.

3 x− y−5>0

SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Mientras que la representación gráfica de una inecuación lineal es un semiplano, la de un sistema de inecuaciones, es la zona del plano en el que se verifican a la vez todas las inecuaciones del sistema es decir, la zona intersección de los diferentes semiplanos. A esta

zona que satisfacen todas las inecuaciones que forman el sistema, se llama región factible.

La solución de un sistema es decir, la zona intersección de los diferentes semiplanos, puede

estar acotada , si la región factible está delimitada en todas las direcciones, o no acotada , cuando no lo está en alguna dirección.

Para representar gráficamente la región factible de un sistema de inecuaciones, se representa

cada una de ellas y a continuación se busca la zona que es común a todas.

A continuación vamos a representar la región factible de tres sistemas de inecuaciones, el primero de ellos no está acotado mientras que el segundo y el tercero si lo están.

Ejemplo 1. Representar el sistema de inecuaciones: { x+ y−3≥02x+ y−4≥0 (no acotado)

x+ y−3≥0⟹x+ y−3=0⟹ y=−x+3⟹ { A (3,0)B(−2,5)

2 x+ y−4≥0⟹2x+ y−4=0⟹ y=−2 x+4⟹ {C(3 ,−2)D(0,4)

y=−x+3 { x+ y−3≥02x+ y−4≥0

y=−2x+4

La zona coloreada es la región factible que representa el sistema de inecuaciones

Ejemplo 2. Representar el sistema de inecuaciones: { x+ y−5≥0−x+ y−3≤07 x+ y−35≤0

(acotado)

x+ y−5≥0⟹x+ y−5=0⟹ y=−x+5⟹ {A(0 ,5)B(2 ,3)

−x+ y−3≤0⟹−x+ y−3=0⟹ y=x+3⟹{C (−1,2)D(2,5)

7 x+ y−35≤0⟹7 x+ y−35=0⟹ y=−7 x+35⟹{E (5 ,0)F (4 ,7)

{ x+ y−5≥0−x+ y−3≤07 x+ y−35≤0

y=−x+5

y=x+3 y=−7x+35

Los bordes de la zona coloreada pertenecen a la región factible, ya que los signos de las

distintas inecuaciones son: ≥ y≤

Ejemplo 3: Representar el sistema de inecuaciones: { x+ y−5≤04 x+ y−8<0

x≥−2y>1

(acotado)

x+ y−5≤0⟹x+ y−5=0⟹ y=−x+5⟹{A(0 ,5)B(3 ,2)

4 x+ y−8<0⟹4 x+ y−8=0⟹ y=−4 x+8⟹ { C (1 ,4)D (3 ,−4)

x≥−2⟹ x=−2

y>1⟹ y=1

y=−x+5 x=−2 { x+ y−5≤04 x+ y−8<0

x≥−2y>1

y=1 y=−4 x+8

Los bordes de las inecuaciones con los signos ≤ y≥ pertenecen a la región factible,

mientras que los bordes de las inecuaciones con los signos ¿ y>¿ , no pertenecen.

PROGRAMACIÓN LINEAL

La programación lineal reúne un conjunto de técnicas de trabajo, que permiten optimizar (maximizar o minimizar, dependiendo del caso) una función objetivo, cuyas variables están sujetas a un conjunto de condiciones, llamadas restricciones.

La función objetivo expresa mediante una fórmula matemática, la relación que hay entre las distintas variables (en nuestro caso tan solo dos variables x e "y" ), y que es la que se quiere optimizar. El aspecto genérico que tiene una función objetivo es:

z=f (x , y )=ax+by

Las restricciones, que se expresan en forma de inecuaciones, recogen las distintas condiciones y limitaciones que contempla el problema. El conjunto de valores (puntos del plano), que cumplen todas las restricciones del problema, se llama región factible.

La solución óptima de un problema de programación lineal, es el valor (punto del plano) de todos los que componen la región factible, que hace que la función objetivo alcance su valor ideal (el óptimo). En algunos problemas de programación lineal no hay una única solución, sino que son soluciones del problema todos los puntos que forman un lado de la región factible, es decir, de un borde. Por lo tanto, un problema de programación lineal puede tener, una, ninguna, o infinitas soluciones óptimas.

PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

Para plantear y resolver un problema de programación lineal, podemos dar los siguientes pasos:

1) Construir una tabla de doble entrada, siempre que sea posible, en la que se recoja toda la información aportada en el enunciado del problema y que servirá posteriormente para definir la función objetivo y las distintas restricciones.

2) Definir la función objetivo mediante una expresión matemática que relacione a las variables: f ( x , y )=ax+by .

3) Establecer las restricciones del problema, recogiendo todas las condiciones y limitaciones que se plantean.

4) Dibujar la región factible, a partir de las inecuaciones mediante las que se expresaron las diferentes restricciones.

5) Resolver el problema, buscando el punto, o los puntos del plano, que hacen que la función objetivo sea óptima. La resolución de un problema de programación se puede hacer gráfica, o analíticamente.

Ejemplo 1:

Una papelería quiere liquidar hasta 78kg de papel reciclado y hasta 138 kg de papel normal, que tiene en stock. Para ello hace dos tipos de lotes, A y B . Los lotes del tipo A están formados por 1kg de papel reciclado y 3kg de papel normal y los lotes del tipo B lo componen2kg de papel de cada clase. El precio de venta de cada lote es de 0' 9€ para el lote A y 1€ para el lote B. ¿Cuántos lotes de cada uno de los dos tipos se deben vender para maximizar los ingresos?¿A cuánto ascienden los ingresos máximos?

1) La tabla de doble entrada, sitúa en las columnas los dos tipos de lotes que se van a hacer, mientras que en las filas, aparecen los dos tipos de papel que tiene la papelería y que quiere liquidar.

Lote tipo A(xlotes)

Lote tipo B(y lotes)

Cantidades totales

Papel reciclado 1kg 2kg 78kg

Papel normal 3kg 2kg 138 kg

Precio de venta de cada lote

0' 9€ 1€

Las dos variables del problema son:

x⟹númerode lotes del tipo A( x≥0)y⟹númerode lotesdel tipo B ( y ≥0)

2) La función objetivo, que hay que maximizar, relaciona la cantidad de lotes que se hacen de cada uno de los dos tipos, con el precio al que se vende cada uno de ellos, es decir, nos proporciona los ingresos totales que se obtienen por la venta de los lotes de papel.

f ( x , y )=0' 9 · x+1 · y

3) Las restricciones del problema, recogen las limitaciones de papel que existen para hacer los dos tipos de lotes. La papelería tiene almacenados 78kg de papel reciclado y 138 kg de papel normal y no puede hacer más lotes de los que le permite el papel que tiene en stock.

{ x+2 y ≤783x+2 y ≤138

x≥0y ≥0

4) La región factible, se dibuja trazando en primer lugar las rectas que hacen de borde o frontera de las diferentes inecuaciones y sustituyendo a continuación un punto del plano en la inecuación (se recomienda el (0 ,0)), comprobando finalmente si se verifica o no dicha inecuación.

x+2 y ≤78⟹ x+2 y=78⟹ y=78−x2

⟹ {A (10 ,34)B(50 ,14)

3 x+2 y ≤138⟹3 x+2 y=138⟹ y=138−3x2

⟹ {C(20 ,39)D (40 ,9)

x≥0⟹ x=0

y ≥0⟹ y=0 REGI Ó N FACTIBLE

y=78−x2

x=0

y=0

y=138−3x2

5 a) La resolución gráfica del problema, se hace a partir de la representación gráfica de la función objetivo f ( x , y )=ax+by . Los pasos que hay que dar son:

1. Se representa la recta f ( x , y )=0 , es decir , ax+by=0. pendiente de la recta

ax+by=0⟹by=−ax⟹ y=−ab

x

2. Se trazan rectas paralelas a la anterior por todos los vértices de la región factible. (Los vértices son los puntos de corte entre las rectas que delimitan la región factible).

3. Se analizan los signos de a y de b de manera que:

Si a y b son los dos positivos, la recta y=−ab

xtiene pendiente negativa.

Si a y b tienen signos contrarios, la recta y=−ab

xtiene pendiente positiva.

+∞

MAX En el caso de que la pendiente sea negativa, que suele ser lo más habitual, el MÁXIMO se alcanza en el último vértice por el que pasa la recta, que más se acerca al +∞ del eje Y. Por el contrario, el MÍNIMO MIN se alcanza en el último vértice por el que pasa la

recta, que más se acerca al −∞ del eje Y.

−∞ recta con pendiente negativa +∞

MIN En el caso de que la pendiente sea positiva, el MÍNIMO, se alcanza en el último vértice por el que pasa la recta que más se acerca al +∞ del eje Y, mientras que el MÁXIMO se alcanza en el último vértice por el que pasa la recta, que más se acerca MAX al −∞ del eje Y.

−∞ recta con pendiente positiva

En el caso de nuestro problema tenemos:

f ( x , y )=0' 9 x+ y⟹0' 9x+ y=0⟹ y=−0' 9x⟹ { O(0,0)P(20 ,−18)

+∞ REGI Ó N FACTIBLE

y=78−x2

−∞

y=−0'9 x y=138−3 x2

Como la pendiente de la recta y=−0'9 x es negativa , el MÁXIMO se alcanza en el

punto C , ya que es el vértice por el que pasa la recta paralela , que más se acerca al +∞ del eje Y.

Las coordenadas de dicho punto, se calculan resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de de las rectas que se cortan en el punto C.

(C ){y=138−3 x2

y=78−x2

⟹ 138−3 x2

=78−x2

⟹138−3x=78−x⟹ x=30

y=78−x2

=78−302

=24⟹ y=24

Si se sustituyen en la función objetivo las coordenadas del punto C (30 ,24 ), se obtendrán los ingresos máximos pedidos por la venta de los lotes de papel.

f ( x , y )=0' 9 x+ y⟹ f ( x , y )=0' 9·30+24=51€

5 b) La resolución analítica del problema, se hace a partir del cálculo de las coordenadas de todos los vértices de la región factible del problema. el proceso es el siguiente:

1. Se representa gráficamente la región factible.

2. Se calculan las coordenadas de todos los vértices de la región factible.

3. Se sustituyen las coordenadas de todos los vértices en la función objetivo y se elige la solución óptima. Si se trata de un problema de MAXIMIZACIÓN, se elige el vértice que hace MAYOR la función objetivo, mientras que si es un problema de MINIMIZACIÓN, se elige el vértice que hace MENOR la función objetivo.

REGI Ó N FACTIBLE

y=78−x2

y=0

x=0 y=138−3x2

1. Las coordenadas de los vértices de la región factible, se calculan resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas, que se cortan en cada uno de los diferentes puntos.

( B ) {y=78−x2

x=0⟹ B(0 ,39)

(C ){y=138−3 x2

y=78−x2

⟹ 138−3 x2

=78−x2

⟹138−3 x=78−x⟹ x=30

y=78−x2

=78−302

=24⟹ y=24⟹C (30 ,24 )

( D ) {y=138−3 x2

y=0⟹ 138−3 x

2=0⟹138−3 x=0⟹ x=46⟹D(46 ,0)

2. Sustituyendo las coordenadas de los vértices en la función objetivo f ( x , y )=0' 9 x+ y , podremos elegir la solución óptima.

f ( B )=0' 9·0+39=39 f (C )=0 '9 ·30+24=51 (MÁXIMO)

f ( D )=0' 9· 46+0=41 ' 4 f (O )=0' 9·0+0=0

Solución⟹ {30lotes deltipo A24 lotes del tipo B

Ejemplo 2: Sea S la región del plano definida por:

x+ y≤52x− y≥−2x ≥0 y ≥1

a) Represéntese la región S y calcúlense las coordenadas de sus vértice.b) Obténganse los valores máximo y mínimo de la función f ( x , y )=2 x−3 y en la región S,

indicando los puntos de S en los que se alcanzan dichos valores.

a)

x+ y≤5⟹x+ y=5⟹ y=5−x⟹ {A (0 ,5)B(5 ,0)

2 x− y≥−2⟹2 x− y=−2⟹ y=2 x+2⟹ {C(−1,0)D(2 ,6)

x≥0⟹ x=0

y ≥1⟹ y=1 y=2x+2

y=1

x=0 y=5−x

Las coordenadas de los vértices de la región factible, se calculan resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas, que se cortan en cada uno de los diferentes puntos.

( E ) {y=2 x+2y=5−x

⟹2x+2=5−x⟹3 x=3⟹ x=1

y=5−x=5−1=4⟹ y=4⟹E (1, 4)

( F ){y=5−xy=1

⟹5−x=1⟹ x=4⟹F (4 ,1)

(G ) {x=0y=1⟹G(0 ,1)

( H ) {y=2x+2x=0

⟹ y=2·0+2=2⟹H (0 ,2 )

b) Sustituyendo las coordenadas de los vértices en la función objetivo f ( x , y )=2 x−3 y, podremos elegir la solución óptima (máximo y mínimo).

f ( E )=2 ·1−3·4=−10⟹( MÍNIMO) f ( F )=2 ·4−3 ·1=5⟹(MÁXIMO) f (G )=2·0−3 ·1=−3 f ( H )=2·0−3 ·2=−6

Solución⟹ { Máximo enel punto F (4 ,1 ) y vale(5)Mínimoen el punto E (1 ,4 ) y vale(−10)

Si se quiere resolver gráficamente el problema, a partir de la función objetivo f ( x , y )=2 x−3 y, se representa la recta 2 x−3 y=0 y se trazan rectas paralelas a la anterior por todos los vértices de la región factible.

2 x−3 y=0⟹3 y=2 x⟹ y=2 x3⟹ {O(0 ,0)

A (3 ,2)

Como la pendiente es positiva el MÍNIMO, se alcanza en el último vértice por el que pasa la

recta que más se acerca al +∞ del eje Y, mientras que el MÁXIMO se alcanza en el último

vértice por el que pasa la recta, que más se acerca al −∞ del eje Y.

+∞ MÍNIMO y=2x+2

y=1

−∞ MÁXIMO y=5−x

Las coordenadas del MÁXIMO se obtienen como intersección de las rectas y=5−x e y=1 .

( F ){y=5−xy=1

⟹5−x=1⟹ x=4⟹F (4 ,1)

Las coordenadas del MÍNIMO se obtienen como intersección de las rectas y=5−x e y=2x+2.

( E ) {y=2 x+2y=5−x

⟹2x+2=5−x⟹3 x=3⟹ x=1

y=5−x=5−1=4⟹ y=4⟹E (1, 4)