GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

(PRODUCTOS ESCALAR, VECTORIAL Y MIXTO)

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

El producto escalar de dos vectores v⃗ y u⃗ es un número real , que se obtiene multiplicando los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo que forman , y se escribe v⃗∘ u⃗

v⃗∘ u⃗=|v⃗|·|u⃗|· cosα número real

La interpretación geométrica del producto escalar plantea que: el producto escalar de dos

vectores v⃗ y u⃗ , es también igual al producto de cualquiera de los dos vectores, por la proyección del otro sobre él.

cos α=O A '

|u⃗|→O A'=|u⃗|·cos α

v⃗∘ u⃗=|v⃗|·|u⃗|· cosα=|v⃗|·O A'

O A 'es la proyecccióndel vector u⃗ sobre v⃗

A partir de las coordenadas de los vectores v⃗ y u⃗ , la expresión analítica del producto escalar es:

{v⃗ (v1, v2 , v3)u⃗(u1, u2 , u3)⟹ v⃗∘u⃗=v1 ·u1+v2 · u2+v3 · u3

Las principales consecuencias de la definición de producto escalar son:

1) El módulo de un vector, es igual a la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo.

v⃗ (v1, v2 , v3 )⟹ v⃗ ∘ v⃗=|v⃗|·|v⃗|· cos0 °=|⃗v|2⟹|⃗v|=√ v⃗ ∘ v⃗La expresión analítica del módulo de un vector, es la siguiente:

|v⃗|=√ v⃗∘ v⃗=√v1 · v1+v2 · v2+v3 · v3=√v12+v22+v321

|v⃗|=√v12+v22+v32

Ejemplo. Calcular el módulo del vector v⃗ (3 ,−1 ,5) .

|v⃗|=√32+(−1 )2+52=√35≃5' 92u

2) El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero.

Si v⃗⊥ u⃗⟹ v⃗∘ u⃗=|v⃗|·|u⃗|·cos 90°=|v⃗|·|u⃗|·0=0

Si v⃗⊥ u⃗⟹ v⃗∘ u⃗=0⟹ v1 ·u1+v2 · u2+v3 ·u3=0

3) Cálculo del ángulo que forman dos vectores.

v⃗∘ u⃗=|v⃗|·|u⃗|· cosα⟹ cosα= v⃗ ∘ u⃗|v⃗|·|u⃗|

Si{v⃗ (v1 , v2 , v3)u⃗(u1 , u2 ,u3)⟹ cosα=

v1 · u1+v2 · u2+v3 ·u3√v12+v22+v32 ·√u12+u22+u32

Ejemplo. Calcular el ángulo que forman los vectores v⃗ (−2 ,−1 ,4 ) y u⃗ (4 ,−3 ,5)

cosα=(−2 ) ·4+ (−1 ) · (−3 )+4 ·5

√ (−2 )2+(−1 )2+42 ·√42+ (−3 )2+52=−8+3+20

√21√50= 15

√1050=0' 463

α=arc cos (0' 463 )=62' 42°

ECUACIÓN DE LA RECTA COMO PRODUCTO ESCALAR. (VECTOR NORMAL A UN PLANO)

Sea un plano (π ) . Si trazamos una recta

perpendicular al plano y que pase por el origen de coordenadas O, el punto A será el punto de intersección de la recta y

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el plano.

Sea n⃗(a ,b , c) un vector perpendicular al plano y δ la distancia del origen de coordenadas al plano (π ), δ=OA

El vector que une el punto A con un punto generico del plano X ( x , y , z ) , es decir, el vector A⃗X , es perpendicular al

vector n⃗(a ,b , c) y por lo tanto, su producto escalar es cero. A⃗X⊥n⃗⟹ A⃗X ∘ n⃗=0

Como O⃗X (x , y , z)n⃗(a ,b , c )

⟹ O⃗X ∘ n⃗=ax+by+cz

Como δ es la proyección del vector O⃗X sobre la dirección de n⃗ , aplicando la interpretación geométrica del producto escalar, tenemos:

O⃗X ∘ n⃗=|n⃗|· δ=√a2+b2+c2 · δ

Igualando ambas expresiones :

ax+by+cz=√a2+b2+c2 · δ⟹ax+by+cz−√a2+b2+c2 · δ=0

Llamando d=−√a2+b2+c2 ·δ , queda⟹ax+by+cz+d=0

ecuación general del plano

Al vector n⃗(a ,b , c) se le llama vector asociado al plano o vector normal

Al ser d=−√a2+b2+c2 ·δ se puede despejar el valor de δ .

δ=d (O , (π ))=| −d√a2+b2+c2|

distancia del origen de coordenadas al plano

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Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta (r ) ,perpendicular al plano (π )≡2x−3 y+z−4=0 y que pasa por el punto P (1,−3 ,4 ) .

El plano (π )≡2x−3 y+z−4=0

tiene a n⃗(2,−3 ,4) como vector

asociado.

Como la recta (r ) es perpendicular

al plano (π ) , nos sirve como vector

director de la recta, el vector asociado al plano. Por lo tanto, la determinación lineal de la recta será:

(r )( v⃗ , P)⟹(r )(n⃗ ,P)

(r ) x−12

= y+3−3

= z−41

Ejemplo. Hallar la ecuación del plano (π ), que es perpendicular a la recta (r ) {x=−2+3 ty=1+2tz=4−t

y que

contiene al punto P (−2 ,5 ,−1 ) .

Como la recta es perpendicular al plano, su vector director v⃗ , sirve como vector asociado al plano.

(r ) {x=−2+3 ty=1+2tz=4−t

⟹ v⃗ (3 ,2 ,−1)

El vector asociado al plano será por lo tanto ⟹ n⃗(3 ,2 ,−1)

La ecuación general del plano es:

(π )≡ax+by+cz+d=0

Al introducir las coordenadas del vector asociado quedará:

(π )≡3 x+2 y−z+d=0

Como el punto P pertenece al plano, verificará su ecuación:

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3 · (−2 )+2·5− (−1 )+d=0⟹−6+10+1+d=0⟹5+d=0⟹d=−5

Por lo tanto, la ecuación del plano quedará ⟹3x+2 y−z−5=0

CONDICIONES DE PERPENDICULARIDAD

RECTA - RECTA

Si dos rectas (r ) y (s) son perpendiculares,

sus vectores directores también lo serán y por lo tanto su producto escalar valdrá cero.

(r )⊥ (s )⟹ v⃗⊥ u⃗

(r ){x=a1+v1ty=a2+v2 tz=a3+v3 t

⟹ v⃗ (v1 , v2 , v3 )

( s ) {x=b1+u1 sy=b2+u2 sz=b3+u3 s

⟹ u⃗(u1, u2 ,u3)

v⃗⊥ u⃗⟹ v⃗∘ u⃗=0⟹v1 ·u1+v2 · u2+v3 ·u3=0

RECTA-PLANO

Si una recta (r ) y un plano (π ) son

perpendiculares, el vector director de la recta y el vector asociado al plano son paralelos y por lo tanto sus coordenadas son proporcionales.

(r )⊥ (π )⟹ v⃗ ∥ n⃗

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(r ) {x=a1+v1 t

y=a2+v2tz=a3+v3t

⟹ v⃗ (v1 , v2 , v3 )

(π )ax+by+cz+d=0⟹ n⃗(a ,b , c)

(r )⊥ (π )⟹ v⃗ ∥ n⃗⟹v1a

=v2b

=v3c

PLANO-PLANO

Si dos planos (π1 ) y (π2) son

perpendiculares, sus vectores asociados también lo serán y por lo tanto su producto escalar valdrá cero.

(π1 )⊥ (π2 )⟹ n⃗1⊥ n⃗2

(π1 )a1 x+b1 y+c1 z+d1=0(π2 )a2 x+b2 y+c2 z+d2=0

(π1 )⟹ n⃗1(a1 , b1 , c1)

(π2 )⟹ n⃗2(a2 , b2 , c2)

(π1 )⊥ (π2 )⟹ n⃗1⊥ n⃗2⟹a1 · a2+b1· b2+c1· c2=0

CÁLCULO DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y CORTA PERPENDICULARMENTE A OTRA.

Ejemplo. Dada la recta (r ) y el punto P(1 ,2 ,1) , calcular la ecuación de la recta (s) que pasa por el punto P y corta perpendicularmente a la recta (r ).

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(r ) x+11

= y−21

= z−34

Pasando la recta (r )a paramétricas tenemos:

(r ) {x=−1+ty=2+tz=3+4 t

El punto Qes el punto de corte de las rectas

(r ) y (s )

, y como pertenece a la

recta (r ), tendrá la forma que tienen todos los puntos de esa recta, es decir:

Q(−1+t ,2+t ,3+4 t )

El vector P⃗Qes un vector director de la recta (s) y sus coordenadas son las siguientes:

P⃗Q=Q−P= (−1+ t ,2+ t ,3+4 t )−(1,2 ,1 )=(−2+ t , t ,2+4 t)

Como las rectas (r ) y (s ) son perpendiculares, sus vectores directores también lo serán y por lo tanto, su producto escalar valdrá cero.

(r )⊥ (s )⟹ P⃗Q⊥ v⃗⟹ P⃗Q ∘ v⃗=0

P⃗Q ∘ v⃗=0⟹ (−2+t ) ·1+ t·1+ (2+4 t ) ·4=0⟹−2+t+t+8+16 t=0⟹t=−13

El vector director de la recta (s) es P⃗Q (−2− 13 ,−13 ,2+4 (−13 )) Operando y simplificando tenemos que : P⃗Q (−73 ,−1

3, 23 )⟹ P⃗Q (−7 ,−1 ,3)

( s ) (P , P⃗Q )⟹ x−1−7

= y−2−1

= z−12

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

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El producto vectorial de dos vectores libres v⃗ y u⃗ es otro vector, que se designa por v⃗×u⃗ o también por v⃗∧ u⃗ y que tiene las siguientes características:

1) Módulo: Se calcula multiplicando los módulos de ambos vectores por el seno del ángulo que forman.

|v⃗× u⃗|=|v⃗|·|⃗u|· senα

2) Dirección: Es la de la perpendicular al plano que forman los dos vectores v⃗ y u⃗.

3) Sentido: El del avance de un sacacorchos que gira del vector v⃗ al u⃗ , es decir, del primero de los vectores hacia el segundo .

Al analizar geométricamente el producto vectorial se puede comprobar, que el módulo es igual al área del paralelogramo que tiene por lados los propios vectores.

senα= h|u⃗|

⟹h=|⃗u|· senα

|v⃗× u⃗|=|v⃗|·|⃗u|· senα=|v⃗|·h=S

|v⃗× u⃗|=S

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El módulo del producto vectorial, es igual al área del paralelogramo que forman los vectores

|v⃗× u⃗|=S

Al expresar los vectores v⃗ y u⃗ en función de sus coordenadas (expresión analítica), se tiene que las coordenadas del vector producto vectorial son:

v⃗ (v1 , v2, v3)u⃗ (u1 ,u2, u3)

⟹ v⃗× u⃗=(|v2 v3u2 u3|,−|v1 v3

u1 u3|,|v1 v2u1 u2|)

Ejemplo. Calcular el área del triángulo de vértices A (1 ,2 ,−1 ) , B (3 ,4 ,0 ) yC (4 ,2,2).

El área del triángulo de vértices ABC, es la mitad del área del paralelogramo, que resulta ser igual al módulo del producto vectorial de los vectores A⃗B y A⃗C .

SABC=12|⃗AB× A⃗C|

A⃗B=B−A= (3 ,4 ,0 )− (1 ,2 ,−1 )=(2 ,2,1)A⃗C=C−A=(4 ,2 ,2 )−(1 ,2 ,−1 )=(3,0 ,3)

⟹ A⃗B× A⃗C=(|2 10 3|,−|2 1

3 3|,|2 23 0|)

A⃗B× A⃗C= (6 ,−3 ,−6 )⟹|⃗AB× A⃗C|=√62+ (−3 )2+ (−6 )2=9

SABC=|⃗AB× A⃗C|

2=92=4 '5u2

APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL

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VECTOR DIRECTOR DE UNA RECTA, DADA COMO LA INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS.

La recta (r ) , que viene expresada como la

intersección de los planos (π1) y (π2) , está contenida en ambos planos y su vector director es perpendicular a los vectores asociados a ambos planos. Por lo tanto:

Se puede tomar como vectordirector de la recta intersección

de los dos planos, al vectorproducto vectorial de los

vectores asociados a los planos.

Ejemplo.

Dados los planos (π1 )≡3 x+2 y−z−1=0 y (π2 )≡ x− y+z=0 hallar:

a) Las coordenadas de un vector director de la recta intersección.b) La ecuación de la recta (s), paralela a los dos planos y que pasa por el punto P(1 ,−4 ,3).

(π1 )3 x+2 y−z−1=0⟹ v⃗ (3 ,2 ,−1) (π2 ) x− y+z=0⟹ u⃗(1 ,−1 ,1)

v⃗×u⃗=(| 2 −1−1 1 |,−|3 −1

1 1 |,|3 21 −1|)

v⃗×u⃗=(1,−4 ,−5)

( s )(P , v⃗ ×u⃗)

( s )⟹ x−11

= y+4−4

= z−3−5

VECTOR DIRECTOR DE UNA RECTA QUE ES PERPENDICULAR A OTRAS DOS

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Como la recta (r ) es perpendicular a las

rectas ( s1 ) y (s2 ) ,su vector director

también será perpendicular a los vectores directores de las dos rectas. Por lo tanto:

Se puede tomar como vector directorde la recta (r ) , al vector producto

vectorial de los vectores directoresde las rectas ( s1 ) y (s2 )

Ejemplo.

Hallar la ecuación de la recta (r ), que pasa por el punto P(2 ,−3 ,1) y cuya dirección es

perpendicular a las de las rectas ( s1 )≡{y=0x=zy (s2 )≡{x+3 y=2y−z=1

{y=0x=z⟹ v⃗ (1 ,0 ,1)

{x+3 y=2y−z=1z=t→ {x+3 y=2y=1+t

x=2−3 y=2−3 (1+t )=−1−3t

{x=−1−3 ty=1+ tz=t

⟹ u⃗(−3 ,1 ,1)

v⃗×u⃗=(|0 11 1|,−| 1 1

−3 1|,| 1 0−3 1|)

v⃗×u⃗=(−1 ,−4,1 )

(r ) (P , v⃗× u⃗ )⟹ x−2−1

= y+3−4

= z−11

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RECTA PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS DADAS.

Se llama perpendicular común ados rectas que se cruzan, a la recta

que corta perpendicularmente(ortogonalmente) a cada una de ellas.

La perpendicular común, en nuestro caso la recta (s), queda determinada por la

intersección de los dos planos (π1 ) y (π2 ).

Según se puede ver en la figura, el plano

(π1 ) se genera a partir de los vectores

v⃗ y v⃗ ×u⃗, mientras que el plano (π2 ), lo

generan los vectores u⃗ y v⃗ ×u⃗

(π1 )≡{A (a1, a2 , a3)v⃗ (v1, v2 , v3 )

v⃗× u⃗(π2 )≡{B (b1 , b2 , b3)

u⃗ (u1 ,u2 , u3 )v⃗ ×u⃗

( s )≡{(π1 )⟹|⃗AX , v⃗ , v⃗× u⃗|=0(π2 )⟹|⃗BX , u⃗ , v⃗ ×u⃗|=0

Ejemplo.

Escribir la ecuación de la recta perpendicular común a las dos rectas: (r1 ) x= y=z , y

(r2 ) x= y=3 z−1

(r1 )≡x= y=z⟹ x−01

= y−01

= z−01

⟹ {A (0 ,0 ,0)v⃗ (1 ,1 ,1)

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(r2 )≡x= y=3 z−1⟹ x−01

= y−01

=

3 z−1313

⟹ x1= y1=

z−1313

⟹{B(0 ,0 , 13)

u⃗(1 ,1, 13)

v⃗ (1 ,1,1)

u⃗(1 ,1 , 13)⟹ v⃗ (1 ,1 ,1)

u⃗ (3 ,3 ,1)⟹ v⃗×u⃗=(|1 1

3 1|,−|1 13 1|,|1 1

3 3|)=(−2 ,2 ,0)

(π1 )≡{ A (0 ,0 ,0)v⃗ (1 ,1 ,1 )

v⃗ ×u⃗(−2 ,2 ,0)⟹| x y z

1 1 1−2 2 0|=0⟹ x+ y−2 z=0

(π2 )≡{ B (0 ,0 , 13)

u⃗ (3 ,3 ,1 )v⃗ ×u⃗(−2 ,2 ,0)

⟹| x y z−13

3 3 1−2 2 0

|=0⟹ x+ y−6 z+2=0

( s ) {(π 1)(π 2) {x+ y−2 z=0

x+ y−6 z+2=0

PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES

El producto mixto de tres vectores libres en el espacio v⃗ , u⃗ y w⃗ , es un número real, que se designa por [ v⃗ , u⃗ , w⃗ ] y que se obtiene multiplicando escalarmente el producto del primer vector, por el producto vectorial del segundo y el tercero.

[ v⃗ , u⃗ , w⃗ ]= v⃗∘(u⃗× w⃗)

Al analizar geométricamente el producto mixto de tres vectores, se puede comprobar, que el valor absoluto de dicho producto, coincide con el volumen del paralepípedo que tiene

por aristas los propios vectores v⃗ , u⃗ y w⃗.

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Según se puede comprobar en la figura:

cos β= h|v⃗|

⟹h=|⃗v|·cos β

De la definición de producto escalar tenemos que:

v⃗∘ (u⃗× w⃗ )=|v⃗|·|u⃗× w⃗|·cos β=|u⃗× w⃗|· h=S·h=V

Ya que, según recordamos del producto vectorial, el módulo del producto vectorial es igual al área del paralelogramo , que tiene por lados los propios vectores.

El producto mixto de tres vectores, es igual al volumen del paralepípedo que tiene por aristas los propios vectores

[ v⃗ , u⃗ , w⃗ ]=V

Si se expresan los vectores en función de sus coordenadas (expresión analítica), tenemos que:

v⃗∘ (u⃗× w⃗ )=(v1 , v2 , v3 )∘(|u2 u3w2 w3|,−|u1 u3

w1 w3|,|u1 u2w1 w2|)=¿

v1|u2 u3w2 w 3|−v2|u1 u3

w1 w3|+v3|u1 u3w1 w3|=|v1 v2 v3

u1 u2 u3w1 w2 w3|

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[ v⃗ , u⃗ , w⃗ ]= v⃗∘ ( u⃗×w⃗ )=V=|v1 v2 v3u1 u2 u3w1 w2 w3|

Es frecuente pedir el volumen del tetraedro que forman los tres vectores y que resulta ser igual a la sexta parte del volumen del paralepípedo.

volumendeltetraedro= volumendel paralepípedo6

Tetraedro que tiene como aristaslos tres vectores vectores

Ejemplo.Hallar el volumen del tetraedro de vértices el punto A(1,1,1) y los puntos en los que el plano

2 x+3 y+z−12=0 corta a los ejes de

coordenadas.

{2x+3 y+z−12=0y=0z=0

⟹ B(6 ,0 ,0)

{2x+3 y+z−12=0x=0z=0

⟹C (0 ,4 ,0)

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{2x+3 y+z−12=0x=0y=0

⟹D(0 ,0 ,12)

A⃗B=B−A= (6 ,0 ,0 )−(1 ,1 ,1 )=(5 ,−1 ,−1)

A⃗C=C−A=(0 ,4 ,0 )−(1 ,1 ,1 )=(−1,3 ,−1)

A⃗D=D−A=(0 ,0 ,12 )−(1,1 ,1 )=(−1,−1 ,11)

V ABCD=16 | 5 −1 −1

−1 3 −1−1 −1 11|=16 ·144=1446 =24u3

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