Guía 2 PSU III°:NÚMEROS REALES

Nombre:__________________________________ Curso: III°____ Fecha:______

Instrucciones: Intenta no imprimir las guías, así colaboramos con el medio

ambiente. Realice el desarrollo de cada ejercicio en su cuaderno. No es necesario que anote el enunciado de cada problema, solo

debe indicar el número de la guía y el del ejercicio.

1. NÚMEROS IRRACIONALES

2. NÚMEROS REALESLa unión del conjunto de los Racionales y los Irracionales genera el conjunto de los números reales (R). Esto es: Q ∪ Q* = R.No existen números que sean racionales e irracionales a la vez. Esto es: Q ∩ Q* = Ø

a. Consideraciones en la operatoria de números reales

→ La operación entre números racionales es SIEMPRE otro número racional (excluyendo la división por cero).

→ La operación entre números irracionales NO SIEMPRE es un número irracional.Ejemplos:

→ La operación entre un número racional y un irracional da como resultado un irracional, EXCEPTUÁNDOSE la multiplicación por cero y la división por cero.

1

3. POTENCIAS EN LOS REALESSea, a ∈ R y n ∈ N, se define una potencia como la multiplicación n veces de un número a, por sí mismo. La potencia se escribe an = b, donde a es la base, n es el exponente y b el resultado.

En las potencias se cumple:» a0 = 1, si a ≠ 0» n1 = n» 0n = 0, si n > 0» 00 , no está determinado.

a. Signo de una potencia

Exponente parEl signo de una potencia de exponentepar es siempre positivo, a menos que labase sea cero.

Ejemplo:→ (–9) 2 = –9 · –9 = 81→ (7 – 4 )2 = (4 – 7 )2 = 9

Nota: (– 9 )2 ≠ – 92

Exponente imparEl signo de una potencia de exponenteimpar es igual al signo de numero de labase, ya sea utilicemos o no paréntesis.

Ejemplo:→ (–2) 3 = –2 · –2 · –2 = –8→ (7 – 4 )3 = – (4 – 7 )3 = –(–27) = 27

Nota: (– 9 )3 = – 93

b. Propiedades de las potencias

Considere que a, b, m, n son números reales distintos de cero

2

4. NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica se utiliza habitualmente para operar con números que tienen una gran cantidad de dígitos.Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma a·10 n, con 1 ≤ a < 10 y n ∈ Z.

5. RAÍCES EN LOS REALES

a. Propiedades de las raíces

3

Considere que a, b, m, n son números reales distintos de cero

i. Multiplicación de raíces de igual índice.Se conserva el índice de la raíz y semultiplican las cantidades sub-radicales.

ii. División de raíces de igual índice.Se conserva el índice de la raíz y se dividen las cantidades sub-radicales.

iii. Raíz de una raíz.Se conserva la cantidad sub-radical y se multiplican los índices de las raíces.

iv. Factor de una raíz como factor sub-radicalSe conserva el índice de la raíz y el factor multiplica a la cantidad sub-radical elevado al índice de la raíz.

v. Raíz como potenciaPara escribir una raíz como potencia de exponente fraccionario, se debe dividir al exponente de la cantidad sub-radical por el índice de la raíz.

b. Relación de orden de las raíces

Sean a y b números reales mayores o iguales a cero y n, m números naturales mayores que 1. Para ordenar raíces podemos utilizar alguno de los siguientes métodos, según sea el caso.

i. Caso 1: Iguales índices

ii. Caso 2: Iguales cantidades sub-radicales

iii. Caso 3: Distintos índices y distintas cantidades sub-radicales

4

c. Suma de raíces

Para sumar raíces, éstas deben tener igual índice e igual cantidad sub–radical.En caso de no tener igual cantidad sub–radical, se debe intentar igualarlas, aplicando propiedades y luego se puede sumar.

d. La racionalización

Es un procedimiento que consiste en eliminar las raíces de los denominadores,multiplicando por una expresión equivalente a 1.

Los casos habituales son:

1) Si hay una raíz cuadrada en el denominador, se multiplica por la misma raíz.Ejemplo:

2) Si hay una raíz no cuadrada en el denominador, se multiplica por una raíz de igual índice cuya cantidad subradical permita igualar dicho índice.Ejemplo:

3) Si hay una suma o resta con raíces cuadradas en el denominador, se multiplica por la misma expresión con la operación contraria.Ejemplo:

5. LOGARITMOS

Un logaritmo corresponde al exponente de una potencia. Es decir, si n = loga b, entonces an = b donde a es la base (de la potencia y del logaritmo),

5

n es el logaritmo (el exponente de la potencia) y b es el argumento del logaritmo (el resultado de la potencia).

Por ejemplo, si log3 81 = 4, entonces 34 = 81.

Cuando en un logaritmo no aparece la base, significa que el valor de esta es 10.

Al igual que la raíz, dada su relación con las potencias, el logaritmo también tiene ciertas restricciones. Solo están definidos matemáticamente logaritmos de base real positiva distinta de 1 y argumentos reales positivos.

a. Orden entre logaritmos

Para números reales positivos a y c cualesquiera y n un número real mayor que 1, se cumple que si a < c, entonces logn a < logn c. Luego, para ordenar logaritmos de igual base y argumentos positivos, basta comparar los argumentos.

Por ejemplo, como 4 < 7, entonces log 4 < log 7; log3 4 < log3 7; log8 4 < log8 7; etc.

Para números reales positivos n y m mayores que 1 y a un número real mayor que 1, se cumple que si n < m, entonces logm a < logn a. Luego, para ordenar logaritmos de igual argumento y bases mayores que 1, basta comparar las bases.

Por ejemplo, como 3 < 5 < 6, entonces log6 2 < log5 2 < log3 2.

Si se desea comparar logaritmos de distinta base y distinto argumento, una posibilidad es cambiar las expresiones a una base común y aplicar propiedades.

Por ejemplo, para comparar log4 3 y log8 5 se cambian ambas expresiones a base 2:

Al comparar los argumentos, se elevan las raíces a 6 (m.c.m. entre 2 y 3). Como

, entonces , lo que significa que , y por ende que log4 3 > log8 5.

b. Propiedades de logaritmos

6

7

Ejercicios.

8

9

10

11

12

Respuestas:

13