GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA

PARA

LA ASIGNATURA

MATEMÁTICA BÁSICA

17 DE ENERO DEL 2017

GUÍA TEÓRICA PRÁCTICA DEL CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA

UNIDAD 0: LOS NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES:

Competencia:

Aplica las propiedades, métodos y técnicas elementales de las matemáticas, tales como conceptos básicos de la aritmética, del algebra y de la geometría plana y del espacio en la solución de problemas concretos necesarios para un mejor desempeño en la asignatura Matemática Básica.

1. Definición y símbolos de la teoría de conjuntos:

Un conjunto es una colección de cosas u objetos, llamados elementos o miembros del conjunto y se dice que pertenecen al conjunto o que están contenidos en él. Por ejemplo, Junio es un elemento del conjunto de los meses del año. Generalmente se usan letras mayúsculas para nombrar a los conjuntos y sus elementos se encierran en llaves . Por ejemplo:

A =, representa el conjunto de los meses del primer trimestre del año.

, representa el conjunto de las letras del alfabeto y los tres puntos indican que las letras de la e a la w también son elementos del conjunto B, aunque no se enumeren.

2. Conjunto de números:

A. El conjunto de los números naturales que se denota por N y representa el conjunto de los números que usamos para contar. Se escribe .

B. El conjunto de los números no negativos se denota por W y representa el conjunto los números naturales y el cero. Se escribe .

C. El conjunto de los enteros se denota por Z y consiste del conjunto de los números naturales, de sus negativos y del cero. Se escribe .

D. El conjunto de los números racionales se denota por Q y es el conjunto de los números que se representan como el cociente de dos enteros, es decir, Usando la notación estructural, escribimos:

E. El conjunto de los números irracionales se denota por S y es el conjunto de los números que pueden aproximarse por terminaciones decimales, no repetidas, interminables, pero que no pueden representarse como el cociente de dos enteros. Por ejemplo:

F. El conjunto de los números reales se denota por R y consiste del conjunto de todos los números racionales y de todos los números irracionales. Se puede escribir .

G. El conjunto de los números complejos, se denota por C, y es el conjunto de todos los números que se pueden representar en la forma , en donde son números reales y, además En la notación estructural se escribe:

3. Propiedades y teoremas de los números reales:

3.1 Propiedades de los números reales:

A. Propiedad reflexiva:

B. Propiedad simétrica:

C. Propiedad transitiva:

D. Propiedad aditiva:

E. Propiedad multiplicativa:

F. Propiedad conmutativa:

G. Propiedad asociativa: i) de la suma:

ii) de la multiplicación:

H. Propiedad del elemento idéntico: i) de la suma:

ii) de la multiplicación:

I. Propiedad del inverso aditivo: Para cada número real a, existe un número real único , llamado inverso o inverso aditivo de a,

J. Propiedad del inverso multiplicativo: Para cada número real a distinto de cero le corresponde un número real único, que se denota por y que se llama recíproco o inverso multiplicativo de a, tal que .

K. Propiedad distributiva:

L. Propiedad de la multiplicación por cero. Para cualquier número real a,

3.2. Teoremas derivados de las propiedades básicas:

A. Para cada número real a,

B. Si a y b son números reales, entonces

C. Si a y b son números reales, entonces

D. Para números reales a y b,

E. Para números reales a, b, c y d, con .

F. Sí a y b son números reales, entonces

4. Propiedades y teoremas de orden de los números reales.

4.1 Propiedades de orden de los números reales:

A. Propiedad transitiva: Para todos los números a, b y c,

B. Propiedad aditiva: Para cualesquiera números reales a, b y c, y .

C. Propiedad multiplicativa para números positivos: Para cualesquiera números reales a, b y c, si .

D. Propiedad multiplicativa para números negativos: Para cualesquiera números reales a, b y c, si

4.2 Teoremas derivados de las propiedades de orden:

A. Para cualesquiera números reales a y b,

B. Para todos los números reales a y b,

C. La suma de dos enteros positivos es positiva.

D. El producto de dos números positivos es positivo.

E. Si

5. Operaciones con números reales:

A. Suma o adición: Si a y b son números reales, su suma se denota por a + b. Es decir Para sumar dos números deben tomarse en cuenta sus signos, ejemplos:

B. Substracción: Si a y b son números reales, su diferencia, que se denota por , se define como . Es decir , por ejemplo:

C. Multiplicación: Si a y b son dos números reales, su producto, se denota por . Es decir . Para multiplicar dos números debe tomarse en cuenta sus signos. Por ejemplo:

D. División: Si a y b son números reales y , su cociente, que se denota como se define como . Por ejemplo:

6. Signos de agrupación y operaciones:

Existe un orden para realizar las operaciones si están aparecen combinadas mediante signos de agrupación: etc.

A. Si hay signos de agrupación, estos se eliminan de adentro hacia afuera. Por ejemplo, al efectuar primero eliminamos los paréntesis, para obtener , en segundo lugar eliminamos los corchetes, para obtener y finalmente eliminamos la llave para obtener el resultado final: 12.

B. Si hay operaciones combinadas, se realizan en el siguiente orden: 1º las potencias, 2º las multiplicaciones y las divisiones y 3º las adiciones y las sustracciones.

6. Valor absoluto de un número:

Si es un número real, el valor absoluto de se denota como , y es si es no negativo y es el inverso de , si es negativo. Es decir que el valor absoluto de un numero siempre es positivo o cero. Esto es:

Ejemplo: Valor absoluto de 5:

Valor absoluto de -5

7. Mínimo común múltiplo:

A. El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor número que contiene un número exacto de veces a cada uno de ellos. Se representa por las iniciales m. c. m.

B. Regla práctica para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números: Se descomponen los números en sus factores primos y el m. c. m. se forma con el producto de los factores primos comunes y no comunes afectados de su mayor exponente. Por ejemplo: El mínimo común múltiplo de 50 es:

8. Números racionales y operaciones con números racionales:

A. Números racionales: Son aquellos números que se representan como el cociente de dos números enteros, es decir o lo que es lo mismo se pueden representar como fracciones. Una fracción está formada por el numerador, la parte superior y denominador, la parte inferior. El denominador indica en cuántas partes iguales se ha dividido la unidad principal, y el numerador, cuántas de esas partes se toman.

Las fracciones pueden ser de dos tipos: fracciones propias, aquellas en las cuales el número en el numerador es menor que el número en el denominador, es decir su cociente representa una fracción de la unidad; fracciones impropias, aquellas en las cuales el número en el denominador es igual o mayor que el número en el numerador, es decir su cociente es igual o mayor a la unidad. Una forma de representar una fracción impropia como fracción propia es escribirla como un número mixto, el cual consta de una parte entera y de una fracción, ejemplo . La parte entera representa un número exacto de unidades y la fracción representa una o varias partes iguales de una fracción, siendo esta fracción una fracción propia.

Para convertir un número mixto en fracción, se multiplica el entero por el denominador y a este producto se le suma el numerador y esta suma obtenida se escribe en el numerador de la nueva fracción, la cual conserva el mismo denominador del número mixto. Así la el número mixto se convierte a la fracción impropia:

B. Operaciones con fracciones

a. Suma de fracciones:

Suma de fracciones con igual denominador: Se suman los numeradores y se coloca el mismo denominador. Se simplifica el resultado y se hallan los enteros si los hay. Es decir:

Suma de fracciones con distinto denominador: Se simplifican las fracciones dadas si es posible. Después de ser irreducibles se deduce al mínimo común denominador. Luego el mínimo común denominador se divide entre el denominador de la primera fracción y el resultado se multiplica por el numerador de dicha fracción. Este resultado se suma con los otros resultados obtenidos al realizar el mismo procedimiento en las demás fracciones, obteniendo así el resultado final representando el numerador de la fracción resultante, cuyo denominador está representado por el mínimo común denominador obtenido al inicio. Finalmente se simplifica el resultado y se hallan los enteros si los hay. Es decir:

.

Por ejemplo:

. Resta de fracciones: Se procede de la misma forma que en la suma, tomando en consideración los signos de cada fracción. Es decir:

. Ejemplo:

c. Multiplicación de fracciones: Para multiplicar dos o más fracciones se multiplican los numeradores para formar el numerador de la fracción resultante y luego se multiplican los denominadores para formar el denominador de la fracción resultante. El resultado se simplifica y se hallan los enteros si los hay. Es decir:

. Ejemplo:

d. División de fracciones: Para dividir dos fracciones se multiplica el dividendo por el divisor invertido. Se multiplica el resultado y se hallan los enteros si los hay. Es decir:

. Ejemplo:

9. Expresiones algebraicas:

A. Expresión algebraica: Es cualquier colección de números y letras conectados entre sí mediante una o más de las operaciones fundamentales, como adición, sustracción, multiplicación y división; o lo que es lo mismo, es una colección de términos algebraicos conectados entre sí mediante una o más de las operaciones fundamentales, como la suma, resta, multiplicación o división. Una expresión algebraica puede contener uno o más términos. Ejemplos de expresiones algebraicas:

B. Término algebraico: Son expresiones algebraicas que contienen uno o más elementos, no separados entre sí por el signo . Ejemplos:

Los elementos de un término algebraico son:el signo, el coeficiente, el literal y el exponente. Por ejemplo, los elementos del siguiente término son:

a. Signo: c. Coeficiente:

b. Literal: d. Exponente:

10. Potencia de un número:

Las expresiones , representan potencias y se leen como “a elevado a la enésima potencia o a elevado a la n” y como “x elevado a la enésima potencia o x elevado a la n”. En ambos casos n es un número real y representa el exponente de x y el exponente de x. Así mismo, a y x son números reales que representan la base. Se llama notación exponencial a la potencia. En una potencia el exponente indica las veces que la base se debe multiplicar por ella misma, así la potencia , indica que la base representada por el número 3 debe multiplicarse por el mismo dos veces como lo indica el exponente 2.

Por ejemplo:

Leyes básicas de los exponentes: Para cualesquiera números reales :

A. B.

C. D. , con

E. y F. y

G. y H.

I. J.

11. Radicales:

A. Radical: La expresión , se lee la raíz del número , donde representa el símbolo del radical, representa el índice del radical y , representa el radicando. La raíz de un número va a ser otro número que multiplicado por él mismo, tantas veces como lo indica el índice del radical produce el número en el radicando. Ejemplo , ya que el número 4 multiplicado por él mismo dos veces da como resultado 16. Al escribir el símbolo de raíz cuadrada se omite el número del índice, es decir Es importante destacar que no existe raíz de un índice par de un radicando cuyo valor representa un número real menor que cero.

Leyes básicas de los radicales:

Si son números enteros y y son números reales tales que existen, entonces

A. B.

C. para y D. para

E. F.

G. I. , para n y para

n

Cuidado especial:

A. (No se pueden sumar raíces con radicandos diferentes).

B. (No se pueden sumar los índices de las raíces).

c. (No es válido cancelar el índice del radical con los exponentes de cada uno de los términos de la suma que conforman el radicando).

12. Productos notables:

Las propiedades de los números reales pueden aplicarse a expresiones algebraicas en las cuales las variables representan números reales. En particular, ciertas formas de multiplicación se presentan tan frecuentemente, que requieren de un conocimiento especial y se derivan de la aplicación de la propiedad distributiva. Entre las formas más comunes, tenemos los siguientes:

Si y son números reales:

A. El cuadrado de la suma de dos números:

B. El cuadrado de la diferencia de dos números:

C. El producto de dos binomios conjugados:

D. El cubo de la suma de dos números:

E. El cubo de la diferencia de dos números:

F. Suma de dos cubos:

G. Diferencia de dos cubos:

Cuidado especial: (El exponente no es distributivo)

13. Factorización:

La factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, un producto, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización; el objetivo fundamental es simplificar una expresión o reescribirla en términos de factores.

Casos comunes de la factorización:

A. Factor común: Es el monomio que representa el máximo común divisor de todos los términos del polinomio. Es comúnmente el caso más usado en la técnica de factorización. Por ejemplo:

El término representa el factor común de la expresión.

B. Factor común por agrupación de términos: La factorización por agrupación se realiza mediante la colocación de los términos en el polinomio en dos o más grupos, donde cada grupo se puede factorizar mediante un método conocido. Los resultados de estas factorizaciones parciales se pueden combinar a veces para dar una factorización de la expresión original. Por ejemplo:

C. Diferencia de dos cuadrados: Consiste en la aplicación de la fórmula:

Por ejemplo:

D. Trinomio cuadrado perfecto: el trinomio cuadrado perfecto son los polinomios de segundo grado que se puede factorizar de la siguiente manera:

Ejemplo:

E. Suma o diferencias de cubos:

La suma se puede factorizar

Y la diferencia se puede factorizar )

F. Factorizar por el método de completar el cuadrado:

Si son constantes y una variable real, entonces, se cumple:

Ejemplo:

14. Operaciones aritméticas con expresiones algebraicas:

A. Suma y resta de expresiones algebraicas: La suma y la resta de dos o más expresiones algebraicas se efectúa combinando los términos semejantes. Ejemplo:

B. Multiplicación de expresiones algebraicas: Dos expresiones algebraicas se multiplican usando las leyes de los exponentes y las propiedades distributiva, conmutativa y asociativa. Ejemplo:

C. División de expresiones algebraicas: El procedimiento para dividir dos expresiones algebraicas es similar al procedimiento para dividir dos enteros. Ejemplo:

-

Es decir

D. Expresiones racionales:

1. Suma y resta de expresiones racionales: Las reglas para sumar y restar expresiones racionales son las mismas usadas para sumar y restar números racionales. ES decir:

En tal sentido, es necesario utilizar el mínimo común múltiplo (mcm), el cual podemos obtener siguiendo los siguientes pasos:

Paso 1: Factorizar completamente la expresión en el denominador de cada expresión racional.

Paso 2: El mcm del denominador es el producto de cada uno de estos factores elevados a una potencia igual al mayor número de veces que cada factor aparece en los polinomios.

Paso 3: Sumar o restar la expresión racional usando las fórmula de suma o resta de fracciones.

Ejemplo:

(Paso 1)

(Paso 2)

Paso 3)

Ejemplo:

2. Multiplicación y división de expresiones racionales: Para efectuar la multiplicación y división utilizamos las mismas reglas para multiplicar y dividir números racionales.

Si y , son expresiones racionales, entonces y

Ejemplo:

15. EJERCICIOS PRÁCTICOS DE LA UNIDAD 0:

1. Utilizando los signos de pertenencia y no pertenencia , indica a cuál conjunto pertenece cada número de la siguiente tabla:

0.045

N

Z

Q

I

R

2. Ordenar de menor a mayor los siguientes números reales:

3. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor ?

4. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor

5. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor ?

6. ¿Cuál de los siguientes números es mayor ?

7. Calcule el valor de las siguientes expresiones:

a.

b.

8. Efectuar las operaciones indicadas y simplificar a su mínima expresión:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

9. Efectuar las operaciones indicadas y simplificar a su mínima expresión:

a. b.

c. d.

e. f.

g. h.

i. j.

k. l.

m. n.

o. p.

q. r.

s. t.

10. Simplificar a su mínima expresión las siguientes expresiones:

a. b.

c. d.

e. f.

g. h.

i. j.

k. l.

m.

n.

En los siguientes ejercicios, factorizar usando el método de completar el cuadrado:

o. p.

q. r.

s. t.

u. v.

11. Resolver los siguientes problemas:

a. Un hombre recorre en la 1ª hora , en la 2ª en la 3ª y en la 4ª ¿Cuánto ha recorrido en las cuatro horas?

b. Un hombre vende 1/3 de su finca, alquila 1/8 del resto y lo restante lo cultiva. ¿Qué porción de la finca cultiva?

c. ¿Cuántos litros hay que sacar de un tonel de 560 litros para que queden en él los 6/7 del contenido?

d. De una ciudad a otra hay 210 kilómetros. Un día camino los 3/7 de esa distancia, otro día los 2/21 y un tercer día los 7/30. ¿A qué distancia estoy del punto de llegada?

e. 2/5 de las gallinas de un campesino son blancas, 1/3 son negras y las 20 restantes pintadas. ¿Cuántas gallinas tiene en total, cuántas blancas y cuántas negras?

f. Cuando vendo un auto en 18000 dólares gano los 2/7 del costo. ¿En cuánto tendría que venderlo para ganar los 3/5 del costo?

UNIDAD I. ELEMENTOS DE ARITMÉTICA Y GEOMETRÍA

Subcompetencia 1: Aplica las operaciones básicas de la aritmética en la solución de problemas de regla de tres: simple y compuesta y de interés: simple y compuesto.

1. Razones y Proporciones:

Razón o relación de dos cantidades: Es el resultado de comparar dos cantidades: restándolas o dividiéndolas.

Razón aritmética o por diferencia de dos cantidades: es la diferencia indicada de dichas cantidades.

Razón geométrica o por cociente de dos cantidades: es el cociente indicado de dichas cantidades.

Propiedad fundamental de las proporciones aritméticas: En toda equidiferencia o proporción aritmética, la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.

Propiedad fundamental de las proporciones geométricas: En toda proporción geométrica el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Media aritmética o media diferencial: Es cada uno de los términos medios de una equidiferencia continua, o sea, los términos medios de la equidiferencia son iguales.

Media Geométrica o media proporcional: Es cada uno de los términos medios de una proporción geométrica continua, es decir, los términos medios son iguales.

2. Regla de Tres Simple y Compuesta:

Magnitud: Propiedad o cualidad medible de un sistema físico es decir, a la que se le pueden asignar distintos valores como resultado de una medición o una relación de medidas. Es una cantidad positiva. Ej. Peso, longitud, edad, etc.

Magnitudes proporcionales: Dos magnitudes son proporcionales cuando multiplicando o dividiendo una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida o (viceversa) por el mismo número.

Magnitudes directamente proporcionales: Son dos magnitudes tales, que multiplicando o dividiendo una de ellas por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número y dividiendo una de ellas por un número, la otra queda dividida por el mismo número. Ej.: El tiempo y las unidades de trabajo realizadas, el número de cosas y el precio cuando se pagan, el tiempo de trabajo y el salario de un obrero, el número de obreros empleados y el trabajo realizado, etc.

Magnitudes inversamente proporcionales: Son dos magnitudes tales, que multiplicando una de ellas por un número, la otra queda dividida por el mismo número, y dividiendo una de ellas por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número. Ej.: El número de obreros empleados y el tiempo necesario para hacer una obra, la velocidad de un móvil con el tiempo empleado en recorrer un espacio, etc.

Regla de Tres: Es una operación que tiene por objeto hallar el cuarto término de una proporción, cuando se conocen tres. Puede ser simple y compuesta. Es simple cuando solamente intervienen en ella dos magnitudes. Es compuesta cuando intervienen tres o más magnitudes. El supuesto en una regla de tres está constituido por los datos de la parte del problema que ya se conoce. La pregunta en una regla de tres está constituido por los datos de la parte del problema que contiene la incógnita o dato desconocido que se desea encontrar.

Ejemplo: Si 4 libros cuestan $ 8, ¿cuánto costarán 15 libros? El supuesto está constituido por 4 libros y 8 dólares y la pregunta está constituida por 15 libros y x córdobas.

3. Regla de Interés Simple y Compuesta:

La Regla de Interés es una operación por medio de la cual se halla la ganancia o interés que produce una suma de dinero o capital, prestado a un tanto por ciento dado y durante un tiempo determinado. El interés puede ser: simple y compuesto. Es simple cuando el interés o rédito, es decir, la ganancia que produce el capital prestado, se percibe al final de períodos iguales de tiempo, sin que el capital varíe. Y es compuesto cuando los intereses que produce el capital se suman al capital, al final de cada período de tiempo, formando de este modo un nuevo capital. La fórmula para el cálculo de las diferentes variables q1ue conforman el Interés Simple se deducen de la proporción geométrica siguiente: I. Para todo efecto, el tiempo y el tanto por ciento deben estar siempre anualizados, es decir en función de año o fracción de año. Otras fórmulas utilizadas en el cálculo del Interés Simple y Compuesto son las siguientes:

Interés

4. Ejercicios prácticos de la Unidad I.

A. Razones y Proporciones:

a. Un lápiz de 25 centímetros proyecta una sombra de 4 centímetros. ¿Cuánto mide un árbol que proyecta una sombra de 1.20 metros?

b. Dos números están a razón  . Si el menor de ellos es 189 ¿Cuál es el otro?

c. Una inversión de $3500 produce un rendimiento de $420 en un año, ¿qué rendimiento producirá una inversión de $4500 a la misma tasa de interés durante el mismo tiempo?

d. Una inversión de $5500 produjo un rendimiento de $385 en un año, otra inversión produjo $560 a la misma tasa de interés durante el mismo tiempo. ¿Cuál era el valor de la segunda inversión?

e. En una granja hay patos y gallinas en razón de 9 a 10. Si se sacan 19 gallinas, la razón se invierte. ¿Cuántas gallinas había inicialmente?

f. El sueldo de Pedro y el de Mariana están en relación de 3 a 5, pero si Pedro ganase 600 córdobas más la relación se invertiría. ¿Cuál es el sueldo de Mariana y cuál el sueldo de Pedro?

g. De un número determinado de personas que se encontraban en una fiesta, se sabe que a una hora dada se retiraron 20 hombres, quedando 3 mujeres por cada hombre. En seguida se retiraron 60 mujeres, quedando dos varones por cada mujer. ¿Cuántas personas había inicialmente en la fiesta?

h. En una conferencia regional, la relación de mujeres y hombres es de 2 a 3. En un momento dado se retiran ocho mujeres y llegan 4 hombres, con lo que la relación es ahora de 3 a 5. ¿Cuántas mujeres deben llegar para que la relación sea de uno a uno?

i. En una función por cada 5 hombres que entran ingresan 6 niños y por cada 3 mujeres ingresan 8 niñas. Si en total ingresan 572 niños y el número de hombres es al de mujeres como 7 a 4. ¿Cuántos hombres asistieron a la función?

B. Regla de Tres Simple y Compuesta:

a. 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días. ¿Cuántos días necesitarán, 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la misma obra?

b. Una pared de 5 metros de largo, 1 metro de alto y 0.07 metros de espesor ha costado $ 25. ¿Cuál será el espesor de otra pared de 14 metros de largo y 0.7 metros de alto por la cual se pagan $ 490?

c. 10 hombres se comprometieron a realizar en 24 días cierta obra. Trabajaron 6 días a razón de 8 horas diarias. Entonces se les pidió que acabaran la obra 8 días antes del plazo que se les dio al inicio. Se colocaron más obreros, trabajaron todos, 12 horas diarias y terminaron la obra en el plazo pedido ¿Cuántos obreros se aumentaron?

d. Se emplean 10 hombres durante 5 días, trabajando 4 horas diarias para cavar una zanja de 10 metros de largo, 6 metros de ancho y 4 metros de profundidad. ¿Cuántos días necesitarán 6 hombres, trabajando 3 horas diarias, para cavar otra zanja de 15 metros de largo, 3 metros de ancho y 8 metros de profundidad, en un terreno de doble dificultad?

e. Un obrero emplea 9 días de 6 horas en hacer 270 metros de una obra ¿Cuántas horas deberá trabajar ese obrero para hacer otra obra de 300 metros si la dificultad de la primera obra y la de la segunda están en relación de 3 a 4?

f. Se emplean 14 hombres en hacer 45 metros de una obra, trabajando durante 20 días. ¿Cuánto tiempo empleará la mitad de esos hombres en hacer 16 metros de la misma obra, habiendo en esta obra triple dificultad que en la anterior?

g. 20 hombres cavaron un pozo en 10 días trabajando 8 horas diarias y 40 hombres cavaron otro pozo igual en 8 días trabajando 5 horas diarias. ¿Era la dificultad de la segunda obra mayor, menor o igual que la de la primera?

h. 30 hombres se comprometen en hacer una obra en 15 días. Al cabo de 9 días solo se ha hecho 3/11de la obra. Si el capataz refuerza la cuadrilla con 42 hombres, ¿podrán terminar la obra en el tiempo fijado o no? Y si no es posible, ¿cuántos días más necesitarán?

i. Un capataz contrata una obra que debe comenzarla el día 1º de junio y terminarla el 5 de julio. El día 1º de junio pone a trabajar 20 hombres, los cuales trabajan hasta el día 14 inclusive a razón de 6 horas diarias. Ese día el propietario le dice que necesita la obra terminada el día 24 de junio. Entonces, a partir del día 15, coloca más obreros, se trabajan 9 horas diarias en vez de 6 y logra complacer al propietario. ¿Cuántos obreros aumentó el capataz a partir del día 15?

C. Regla de Interés Simple y Compuesta.

a. Hallar el interés que han producido a $ 6000 que han estado impuestos durante 2 años, 8 meses y 6 días al ½ % mensual.

b. Hallar el interés que han producido a $ 6000 que han estado impuestos durante 2 años, 8 meses y 6 días al ½ % mensual.

c. Una suma de $ 1200 se tomó en préstamo al 7 % y se devolvió el 8 de abril pagando de intereses $ 8.40. ¿Qué día se hizo el préstamo?

d. $ 7800 colocados al 3 ½ % han producido $ 928.20. ¿Qué tiempo estuvo colocado el dinero?

e. ¿Cuál es el capital que impuesto al 7% anual durante 5 años se ha convertido en $ 3105?

f. Se impone cierta suma al 3% y al cabo de 2 años y 18 días se ha convertido en $ 12738 ¿Cuál fue la suma impuesta?

g. Hallar los intereses compuestos de $ 200 al 3% anual en 2 años.

h. ¿En cuánto se convertirán $ 300 colocados al 4% anual de interés compuesto en 2 años y 5 meses?

UNIDAD II. ECUACIONES Y DESIGUALDADES

Subcompetencia 2: Aplica las operaciones básicas del álgebra en la solución de problemas de ecuaciones e inecuaciones.

1. Ecuaciones con una variable:

Una ecuación con una variable es una proposición en la que dos expresiones, donde al menos una contiene la variable, son iguales. Los valores admisibles de la variable, si los hay, que proporcionan una proposición verdadera se llaman soluciones o raíces de la ecuación. Resolver una ecuación significa encontrar todas sus soluciones. En ocasiones una ecuación tendrá más de una solución y en otras no tendrá solución real:

Diferentes ejemplos:

A. Ecuaciones de primer grado con una variable:

Ecuaciones lineales o ecuación de primer grado: Una ecuación lineal en una variable es equivalente a una ecuación de la forma: donde a y b son números reales y . Se le llama ecuación de primer grado porque su lado izquierdo es un polinomio en x de grado 1 (exponente de la variable x es uno). Ejemplo:

1. Solución de una ecuación lineal:

a. Realizar las operaciones algebraicas indicadas si las hay.

b. Reunir todos los términos que contienen la variable en un lado del signo igual y el resto del otro lado.

c. Despejar la variable, para obtener el valor de la misma.

d. Verificar que su solución es una solución de la ecuación original.

2. Pasos para resolver problemas aplicados

a. Lea el problema con cuidado, quizás dos o tres veces. Atención especial en la pregunta que se hace con el fin de identificar lo que se busca.

b. Asigne una letra (variable) para representar lo que se busca y de ser necesarios, exprese cualesquiera cantidades desconocidas en términos de esta variable.

c. Haga una lista de todos los hechos y tradúzcalos en expresiones matemáticas. Estas deben tomar la forma de una ecuación.

d. Resuelva la ecuación por la variable y luego responder la pregunta.

e. Verifique la respuesta con los hechos del problema. Si concuerdan encontró la respuesta. Si no concuerdan, inténtelo de nuevo.

B. Ecuaciones de segundo grado con una variable:

Una ecuación cuadrática es una ecuación equivalente a una de forma donde a, b y c son números reales y Cuándo se presenta de esta forma se dice que está en su forma general. Se le llama ecuación de segundo grado porque el polinomio que está al lado izquierdo es un polinomio de grado 2.

Hay tres maneras de resolver una ecuación cuadrática: por factorización, completando cuadrados y usando la fórmula cuadrática .

C. Ecuaciones de una variable, con valor absoluto: El valor absoluto de un número siempre será un número positivo (o cero para el valor absoluto de cero). Si a es un número real positivo y si u es cualquier expresión algebraica, entonces .

D. Ecuaciones con radicales: Cuando la variable en una ecuación está dentro de una raíz cuadrada, cúbica, etc., etc., es decir, cuando ocurre en un radical, la ecuación se llama ecuación radical. El procedimiento común es aislar el radical más complejo en un lado de la ecuación y luego eliminarlo elevando a una potencia igual al índice del radical. Se debe tener cuidado, ya que se pueden obtener soluciones aparentes de la ecuación original que en realidad no lo son, éstas se llaman soluciones extrañas, por lo que es necesario verificar todas las respuestas cuando trabajamos con ecuaciones radicales.

2. Desigualdades o Inecuaciones con una variable:

A. Desigualdades o inecuaciones: Es la comparación de dos expresiones para determinar cómo es una con respecto a la otra , o ,

1. Intervalos:

Un intervalo cerrado: denotado por [a, b], representa todos los números reales x para los cuales .

Un intervalo abierto: denotado por (a, b), representa todos los números reales x para los que a < x < b

Un intervalo : son (a, b] o [a. b), representa todos los números reales .

B. Desigualdad: Es una proposición que involucra dos expresiones de las que al menos una contiene a la variable, separadas por uno de los símbolos de desigualdad. Resolver una desigualdad es encontrar todos los valores de la variable para los que la proposición es verdadera. Estos valores se llaman soluciones de la desigualdad.

Procedimientos que invierten el sentido o dirección del símbolo de desigualdad:

1. Intercambiar los dos lados de la desigualdad: 3 x por x 3

2. Multiplicar o dividir ambos lados de la desigualdad por la misma expresión negativa.

C. Desigualdades o inecuaciones con valor absoluto:

Si a es un número positivo y u es una expresión algebraica, entonces:

3. Ecuaciones con dos variables:

Son ecuaciones que contienen dos o más variables. Particularmente se estudiarán ecuaciones e inecuaciones hasta con dos variables: la variable independiente, la cual se le puede asignar cualquier número real y la variable dependiente, cuyo valor dependerá del valor asignado a la variable independiente. La forma general de la ecuación con dos variables, de grado n es

y=

A. Sistema de coordenadas rectangulares: Un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares está conformado por la intersección de dos líneas rectas en forma perpendicular; la línea horizontal llamada eje x y la línea vertical llamada eje y. Cualquier punto P en el plano se puede localizar usando un par ordenado

B. Ecuación lineal de dos variables: es una ecuación de la forma , donde m y b son números reales, m 0, “x” es la variable independiente y “y” la variable dependiente. Su gráfica es la de una línea recta.

1. Distancia entre dos puntos:

2. Punto medio del segmento de recta que une dos puntos:

3. Pendiente de la recta que une dos puntos:

4. Ecuación de la línea recta que une dos puntos:

5. Ecuación de la forma pendiente-intercepción de una recta:

6. Sentido de la pendiente de línea recta: pendiente positiva, línea es ascendente; pendiente negativa, línea descendente; pendiente cero, línea horizontal y pendiente indeterminada, línea vertical.

7. Pasos para graficar ecuaciones lineales:

Paso 1: Escribir la ecuación en su forma pendiente-intercepción del eje y.

Paso 2: Identificar la pendiente , la cual nos indica el sentido de la gráfica: positiva, hacia arriba; negativa, hacia abajo; cero, línea horizontal e indeterminada, línea vertical.

Paso 3: Encontrar dos puntos que estén contenidos en la ecuación. Los dos puntos más sencillos de encontrar son las intercepciones de la gráfica con los ejes de coordenadas. Es decir, la intercepción o cruce del eje y, y la intercepción o cruce del eje x.

Paso 4: El cruce o intercepción del eje y se obtiene de la ecuación en su forma pendiente-intercepción del eje y (el valor de b).

Paso 5: La intercepción del eje x se obtiene evaluando la ecuación asignándole a la variable y el valor de cero y despejar x.

Paso 6: Colocar en el plano rectangular todos los puntos de interés encontrados previamente y bosquejar la gráfica correspondiente.

C. Ecuación cuadrática de dos variables: es una ecuación de forma , donde a, b y c son números reales, a 0, “x” la variable independiente y “y” la variable dependiente. Su gráfica es una parábola o campana. Pasos para graficar ecuaciones cuadráticas:

Paso 1: Escribir la ecuación en su forma estándar:

Paso 2: Determinar el sentido de la gráfica, para ello analizamos el valor de , si es un número positivo, la parábola abre hacia arriba y si es un número negativo, la parábola abre hacia abajo .

Paso 3: Determinar el cruce del eje y, para ello se evalúa la ecuación asignándole a la variable x el valor de cero, luego despejar y.

Paso 4: Determinar el cruce del eje x, para ello se asigna a y el valor de cero y se procede a resolver la ecuación cuadrática de una variable resultante. Los valores obtenidos de x son los cruces o ceros de la ecuación.

Paso 5: Determinar el vértice de la parábola:

Paso 6: Colocar en el plano cartesiano todos los puntos de interés previamente determinados y bosqueje la gráfica correspondiente.

4. Sistemas de ecuaciones:

Es una colección de dos o más ecuaciones, cada una con dos o más variables, las cuales de tener solución, ésta satisface a todas las ecuaciones del sistema simultáneamente. Resolver un sistema de ecuaciones implica encontrar todas las soluciones del sistema. Cuando un sistema de ecuaciones tiene por lo menos una solución, se dice que es congruente; de lo contrario se dice que es incongruente.

A. Sistema de ecuaciones lineales: Si todas las ecuaciones de un sistema son lineales, entonces tenemos un sistema de ecuaciones lineales. Ejemplo

1. De acuerdo a su solución un sistema de ecuaciones lineales puede ser de tres tipos:

a. Sistema congruente, con ecuaciones independientes: cuando el sistema tiene una sola solución, de la forma de un punto (x, y), (par ordenado), y en consecuencia, las gráficas de las ecuaciones del sistema son dos líneas rectas que se interceptan en el punto solución.

b. Sistema incongruente con ecuaciones independientes: cuando el sistema no tiene solución (la respuesta es algo ilógico, ej.: ) y en consecuencia las gráficas de las ecuaciones del sistema son líneas paralelas (nunca se interceptan).

c. Sistema congruente con ecuaciones dependientes: cuando el sistema tiene infinito número de soluciones (la respuesta es una respuesta lógica, ej.: ) y en consecuencia las gráficas son la misma, es una sola línea reta.

2. Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Método de reducción o suma, método de sustitución y método de igualación.

B. Sistema de ecuaciones no lineales:

a. Son aquellos donde al menos una de sus ecuaciones no es una ecuación lineal.

b. No existe una metodología general para resolver los sistemas de ecuaciones no lineales.

En esta situación, nuestros aliados son la experiencia y cierto grado de imaginación.

d. En los sistemas de dos variables con ecuaciones fáciles de graficar, es mejor graficarlas en un mismo plano cartesiano y así podrá obtener una idea clara de cuantas soluciones tiene el sistema y donde se localizan.

e. También es posible que hayan soluciones extrañas por lo que es imperativo revisar todas las soluciones aparentes.

f. Como en los sistemas de ecuaciones lineales, si el sistema tiene soluciones es un sistema congruente con ecuaciones independientes. Igualmente, puede haber ninguna, una, dos y más soluciones en estos sistemas.

C. Solución de un sistema de ecuación mediante la Regla de Kramer:

1. Determinantes: Las matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo.

2. Si A es una matriz 2 x 2, se define como el determinante de la matriz A, y se expresa como Det (A) o bien |A|, como el número:

Det A donde son números reales.

Los subíndices, al igual que en las matrices identifican la entrada, señalando sus números de filas y columnas.

En un determinante A de n por n, el cofactor del elemento , que se denota como , se obtiene por medio de , donde es el menor del elemento .

Para encontrar el valor de un determinante, se multiplica cada elemento de cualquier fila o columna por su cofactor y se suman los resultados. Este proceso se conoce como desarrollo a través de una fila o de una columna.

El valor de un determinante no depende de la fila o columna seleccionada para desarrollarla. Sin embargo, desarrollar una fila o columna que tiene un elemento igual a cero reduce la cantidad de trabajo necesario para calcular el valor del determinante. Sin importar la fila o columna desarrollada, el valor del determinante será el mismo.

3. Regla de Kramer

La regla de Kramer es una de las herramientas utilizadas para resolver sistemas de ecuaciones de más de dos ecuaciones y de dos o más variables.

La regla de Kramer establece que si , entonces de tal manera la solución del sistema de ecuaciones

se obtiene evaluado al sistema de la siguiente manera:

y , siempre que

5. Ejercicios prácticos de la unidad II:

A. Ejercicios y problemas de aplicación de ecuaciones lineales de una variable:

a.1 a.2 a.3

a.4 a.5

a.6

a.7 Resolver los ejercicios números 42, 46, 48, 62, 64 y 66 de la página 116, sección 3.1 del texto del curso.

a.8 Resolver los problemas números 4, 6, 10, 30, 32, 34, 36 y 42 de las páginas 125 y 126, sección 3.2 del texto del curso.

B. Ejercicios y problemas de aplicación de ecuaciones cuadráticas de una variable:

b.1 b.2

b.3 b.4

b.4Resolver los problemas números 64, 72, 74, 76, 82 y 84 de la página 136, sección 3.3 y números 72, 74 de la página 163, sección Ejercicios de Repaso del texto del curso.

C. Ejercicios de ecuaciones de una variable con radicales:

c.1. c.2. c.3.

D. Ejercicios de ecuaciones con valor absoluto:

d.1. d.2. d.3.

d.4. d.5. 5. d.6.

E. Ejercicios de desigualdades o inecuaciones de una variable con o sin valor absoluto:

f.1 f.2 f.3

f.4 f.5 f.6

f.7

f.8 Resolver los problemas números 53, 54, 55 y 56 de la página 160, sección 3.7 del texto del curso.

F. Gráficas de ecuaciones lineales y cuadráticas con dos variables:

f. 1. Dados los puntos y , determine la distancia entre los puntos, el punto medio, la pendiente de la línea que los une, determine la ecuación de dicha línea y grafíquela en el plano cartesiano, indicando los puntos de intercepción con los ejes x, y.

f.2. Encuentre la ecuación de la recta con pendiente m = 3, que contiene el punto

(4, 3) y grafique la línea indicando las intercepciones con los ejes x, y.

f.3. Encuentre la ecuación de la recta con pendiente m = -2 e intercepción del eje y en y = -2 y grafique la línea indicando las intercepciones con los ejes x, y.

f.4. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 0) con pendiente indeterminada y grafique la línea indicando las intercepciones con los ejes x, y.

f.5. Encuentre la ecuación de la recta horizontal que contiene el punto (3, 2) y grafíquela.

f. 6. f.7 f.8 f.9 f.10

f.11Resolver los ejercicios números 53, 54, 55 y 56 de la página 226, sección 5.3 del texto del curso.

G. Ejercicios y problemas de aplicación de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales:

a. Resolver los siguientes sistemas de ecuación lineales por cualquier de los métodos aprendidos y graficar las ecuaciones del sistema para corroborar la respuesta e indicar el tipo de sistema:

a2.

a3. a4.

a.5 Resolver los problemas números 32, 34, 36 de la página 568, sección 13.1 del texto del curso.

a.6 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales y graficar las ecuaciones de cada sistema en el mismo plano:

b1. b2.

b4.

5 Resolver los problemas números 44 y 49 de las páginas 573 y 574, sección 13.2 del texto del curso.

H. Ejercicios de sistemas de ecuaciones para ser resueltos aplicando el método de Kramer: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

h.2. h.3

UNIDAD III: RELACIONES Y FUNCIONES

Subcompetencia 3: Aplica los conceptos básicos de relaciones y funciones a través de la interpretación y fundamentación del comportamiento de las principales funciones.

1. Relaciones y funciones:

A. Relación: Es una correspondencia entre dos conjuntos.

B. Función: Sean “X” y “Y” dos conjuntos no vacíos. Una función de “X” a “Y” es una relación que asocia a cada elemento de “X” exactamente un elemento de “Y”.

Las funciones se denotan por letras como y otras.

Si f es una función, entonces para cada número x en su dominio, la imagen correspondiente en el rango está designada por el símbolo .

Se hace referencia a como el valor de en el número y es el número que se obtiene cuando está dado y se aplica la función

No significa “”

C. Tipos de funciones:

1. Funciones polinomiales:

2. Funciones racionales: donde son polinomios.

3. Funciones exponenciales: , donde b es un número real

4. Funciones logarítmicas:

5. Funciones trigonométricas:

D. Dominio: El conjunto X se llama dominio de la función. Para cada elemento x en X, el elemento correspondiente y en Y se llama valor de la función en x, o imagen de x.

Dominio de una función:

a. :No tiene restricción, el dominio de f es todos los números reales.

b. :Como la división entre cero no está definida, el denominador .

c. : Cada expresión con radical de índice par que forma parte de una función tiene como restricción en el dominio que su radicando debe ser mayor o igual a cero si el radical está en el numerados y mayor que cero cuando el radical está en el denominador.

E. Rango: El conjunto de todas las imágenes de los elementos del dominio se llama rango de la función.

F. Evaluar una función: Evaluar una función implica, sustituir la variable independiente en la función por la nueva variable o valor asignado y obtener la nueva función.

G. Operaciones con funciones: Si f y g son funciones:

1. La suma de es la función definida por:

2. La diferencia de es la función definida por:

3. El producto es la función definida por:

4. El cociente es la función definida por , donde

H. Funciones Polinomiales: Procedimiento para la gráfica de funciones polinomiales:

1. Determinar el sentido de la gráfica: Grado del polinomio y valor de a.

2. Determinar las intercepciones de los ejes:

Eje y: evaluar el polinomio asignando a x el valor de cero.

Eje x: evaluar el polinomio asignando a y el valor de cero

3. Determinar el número de intervalos:

4. Determinar cada uno de los intervalos

5. Elaborar tabla de valores, la cual debe contener: los intervalos, un valor de x en cada intervalo, el valor de la función en cada intervalo, el punto ( y la ubicación de la gráfica con respecto al eje x.

6. Graficar la función, usando la información recabada.

I. Funciones Racionales:

1. Las funciones racionales pueden ser Propias, cuando el polinomio en el denominador es de grado mayor que el polinomio en el numerador ( e Impropias, cuando el polinomio en el numerador es de grado igual o mayor que el polinomio en el denominador Las funciones racionales impropias son de tres tipos:

a. El grado del polinomio en el numerador es mayor igual al polinomio en el denominador por diferencia de uno.

b. El grado de los polinomios en el denominador y el numerador son del mismo orden o grado .

c. El grado del polinomio en el denominador es mayor que el grado del polinomio en el denominador por una diferencia mayor que uno.

2. Asíntotas: Son líneas imaginarias que interrumpen la continuidad de la gráfica de una función racional. Pueden ser verticales, horizontales u oblicuas. Las asíntotas horizontales y las asíntotas verticales nunca están presentes en una misma función. Es decir, nunca estarán las tres diferentes asíntotas en una función, siempre será a lo sumo, la asíntota vertical acompañada por una de las otras dos.

3. Procedimiento para la gráfica de una función racional:

a. Determinar el tipo de función: propia o impropia y el tipo de impropia que es, de manera de poder determinar el tipo de asíntotas que tendrá la función.

b. Determinar el dominio de la función.

c. Determinar las asíntotas de la función:

c1. Asíntotas verticales: Son los valores que no forman parte del dominio de la función.

c2. Asíntota horizontal: La determina el subtipo de función racional.

c3. Asíntota oblicua: la determina el subtipo de la función racional.

d. Determinar las intercepciones de los ejes:

d1. Eje y: evaluando la función con

d2. Eje x: evaluando la función con (Ceros de la función o ceros del polinomio en el numerador).

e. Determinar el número de intervalos:

f. Determinar cada uno de los intervalos

g. Elaborar tabla de valores, la cual debe contener: los intervalos, un valor de x en cada intervalo, el valor de la función en cada intervalo, el punto ( y la ubicación de la gráfica con respecto al eje x.

h. Graficar la función, usando la información recabada.

2. Función Inversa:

Una función se puede considerar como una máquina que recibe como entrada un número, digamos x, del dominio, lo manipula y proporciona como salida el valor . La inversa de f recibe como entrada el número , lo manipula y tiene como salida .

A. Función uno a uno: Cuando la inversa de una función f es en sí una función, entonces se dice que f es una función uno a uno. Una función es uno a uno si dos entradas diferentes nunca corresponden a la misma salida. Es decir, cuando le asignamos valores distintos a x y nunca obtenemos un valor de y repetida.

1. Prueba de la recta horizontal: Si toda recta horizontal intercepta la gráfica de una función f a lo más en un punto, entonces f es uno a uno.

2. Si f es una función uno a uno, su inversa es una función. La función inversa de f se denota como , donde -1 no representa un exponente negativo.

3. Si la función f tiene inverso, entonces la función y su inversa son funciones uno a uno y son inversas reciprocas, en consecuencia:

Del mismo modo, la gráfica de una y la gráfica de son simétricas con respecto de la recta .

B. Procedimiento para encontrar la inversa de una función

1. En intercambiar las variables y para obtener .

2. Si es posible, despejar en términos de en la ecuación obtenida para encontrar a

3. Verificar demostrando que

3. Función Exponencial y Función logarítmica:

A. Una función exponencial es una función de la forma donde b es un número real positivo y El dominio de f es el conjunto de todos los números reales. (Se excluye la base b = 1, ya que así sería una función constante). El rango está definido por una asíntota horizontal.

Si la base de la función es mayor que 1, entonces la gráfica será una curva ascendente y si el valor de la base es un número en el intervalo (0, 1), la gráfica será de una curva descendente.

B. Función Logarítmica: Una función logarítmica base b, donde y , se denota por () y se define por . Su dominio está definido por su argumento, el cual tiene que ser mayor que cero, es decir si el .

C. Relación entre la función exponencial y la función logarítmica:La función exponencial , es una función uno a uno y, por lo tanto, tiene una función inversa que está definida de manera implícita por la ecuación . Esta función inversa es tan importante que se le ha dado un nombre“La función logarítmica”.

D. Propiedades de los logaritmos:

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de los términos del producto

2.El logaritmo de un cociente es igual a la diferencias del logaritmo del termino en el numerador y el logaritmo del término en el denominador

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto de la potencia y el logaritmo del término que estaba elevado a la potencia

E. Fórmulas relacionadas con funciones logarítmicas y funciones exponenciales:

1.

2.

3. Si

4.

5. 1

6.

7.

F. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas:

1. Ecuaciones exponenciales: Las ecuaciones que involucran términos de la forma , con frecuencia reciben el nombre de ecuaciones exponenciales. Estas ecuaciones algunas vecen se resuelven aplicando de manera adecuada las leyes de exponentes y la siguiente propiedad:

2. Ecuaciones logarítmicas: Las ecuaciones que contienen logaritmos se llaman ecuaciones logarítmicas. Se debe verificar cada solución en la ecuación original, a fin de descartar las que sean extrañas. Recordar que en la expresión , los valores b y M son positivos y b es diferente de uno (. 4. Algunas ecuaciones logarítmicas se resuelven cambiando la expresión logarítmica en una expresión exponencial.

4. Ejercicios prácticos de la unidad III:

A. Evaluación de funciones: Calcular los valores indicados en los ejercicios 2, 4 y 6 de la página 205 del texto del curso.

B. Determinar el dominio de las funciones indicadas en los ejercicios 12, 16, 18, 22, 24 y 26 de la página 206 del texto de clase.

C. Efectúe lo indicado en cada uno de los ejercicios números 4, 20, 24, 28, 30, 34, 36, 54 y 56 de las páginas 224 y 225 del texto del curso.

D. Responda los requerimientos de los ejercicios números 6, 8, 12, 14, 20, 32, 34 y 46 de las páginas 240 y 241 del texto del curso.

E. Funciones inversas: Responda los requerimientos de los ejercicios 20, 26, 28, 30, 32, 42 y 44 de las páginas 248 y 249 del texto del curso.

F. Bosquejar la gráfica de las funciones polinomiales indicadas en los ejercicios 20, 24, 26, 28, 30 y 39 de la página 274 del texto de clase.

G. Bosquejar la gráfica de las funciones racionales indicadas en los ejercicios números 8, 18, 22, 24 y 28 de las página 311 del texto del curso.

H. Funciones exponenciales y logarítmicas: responder los requerimientos de los ejercicios números 6, 7 8 y 37 de las páginas 323 y 324, los ejercicios 4, ,6 8, 10, 16, 19, 20, 22, 44, 46, 62 y 64.

I. Ecuaciones expo0nenciales y logarítmicas: Responda los requerimientos de los ejercicios números 2, 4, 6, 14, 18, 20, 24, 32, 30, 40, 64 y 66 de las páginas 336, 337 y 338 del texto de clase.

UNIDAD IV: ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Subcompetencia 4: Resuelve problemas de ecuaciones de rectas y circunferencias representadas en el plano cartesiano

1. Relaciones entre las pendientes de rectas paralelas y las pendientes de rectas perpendiculares:

A. Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas cuando no se tocan, es decir que no tienen puntos en común. Entonces, en un plano de coordenadas, se define que: dos rectas no verticales son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales y tienen diferentes intercepciones. En tal sentido .

B. Rectas perpendiculares: Son dos rectas que se cortan o interceptan formando un ángulo recto (. Es decir, dos rectas no verticales son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es . Es decir de donde podemos obtener la siguiente relación

C. Formas Cónicas:

1. Formas cónicas: Las formas cónicas son curvas que resultan de la intersección de un cono y un plano. La palabra cónica se deriva de la palabra cono. El cono se compone de dos partes, llamadas paños, que se interceptan en el vértice. Cuando el plano es perpendicular al eje del cono y corta a todas las generatrices, la cónica es un círculo. La elipse aparece cuando el plano está ligeramente inclinado, de manera que corta a todas las generatrices, pero un solo paño del cono. Las parábolas surgen cuando el plano está más inclinado, de manera que está paralelo a una sola generatriz y corta un solo paño del cono. Y las hipérbolas cuando el plano corta ambos paños.

2. Círculo: es el conjunto de todos los puntos en el plano coordenado que están a una distancia fija , llamada radio, de un punto fijo llamado centro.

a. La forma normal, estándar o canónica de la ecuación de un círculo está dada por el radio y el centro del círculo y se escribe . La forma estándar de la ecuación de un círculo con radio r y centro en el origen (0, 0) es y si el radio es 1 y el centro es el origen se llama círculo unitario y tiene la ecuación:

b. La forma general de la ecuación del círculo cuya representación está dada por la ecuación se obtiene al desarrollar y agrupar los términos semejantes de la ecuación en la forma estándar. Si la ecuación de un círculo está en su forma general, se usa el método de completar cuadrados para convertirla a la forma estándar de manera que sea fácil identificar el centro y el radio.

3. Parábola: Es el conjunto de puntos en el plano que son equidistantes a una recta fija , llamada directriz, y a un punto fijo , llamado foco.

a. La ecuación se conoce como la forma norma de la ecuación de una parábola con foco , directriz y vértice en (0, 0), cuyo eje de simetría es el eje , con abertura de la parábola hacía arriba si y abertura hacia abajo si Por el contrario, la ecuación se conoce como la forma normal de la ecuación de una parábola con foco en , directriz y vértice en (0, 0), cuyo eje de simetría es el eje x, con abertura de la parábola hacía la derecha si y abertura hacia la izquierda si

b. La forma normal de la ecuación de la parábola representa una parábola trasladada tanto horizontal como verticalmente de manera que su vértice está en el punto y su eje de simetría es la recta vertical . Caso contrario, lo representa la forma normal de la ecuación de la parábola en cuyo caso su eje de simetría está dado por la recta horizontal y su vértice es el punto .

4. Elipse: Es el conjunto de puntos en un plano, tales que la suma de las distancias de a dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos se llaman focos. El punto medio del segmento de recta que une a los puntos se llama centro de la elipse.

a. La ecuación se llama forma normal de la ecuación de una elipse con centro en (0, 0 y focos en y , donde se define por y además . Por el contrario, si los focos están en el eje y, entonces la forma normal de la ecuación es , con centro en (0, 0) y focos en y donde se define por y además .

b. Cuando el centro de la elipse está en la forma normal de la ecuación de la elipse puede ser , o bien . Las elipses definidas por estas ecuaciones tienen formas idénticas a las definidas previamente con centro en el origen, solo que en este caso el centro está definido por . Todo es igual que antes y , además, a es la distancia del centro a un vértice, b es la distancia del centro a un extremo del eje menor y c es la distancia del centro a un foco y .

5. Hipérbola: Es el conjunto de puntos ) en el plano, tal que la diferencia de las distancias y dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos se llaman focos. El punto medio del segmento de la recta que une los puntos se llama centro.

a. La ecuación se llama forma normal de la ecuación de una hipérbola, con centro en ), focos en y y c definida por además posee dos asíntotas oblicuas determinadas por y . Cuando los focos están en el eje , entonces la forma normal de la ecuación es , con centro en , focos en y , con y y sus asíntotas oblicuas están definidas por y .

b. Cuando el centro de la hipérbola está en (h, k), los análogos de la forma normal de las ecuaciones son respectivamente y y en ambos casos los números se relacionan por , además es la distancia del centro a un vértice, y c es la distancia del centro a un foco. Del mismo modo, las asíntotas se pueden obtener igualando las ecuaciones a 0 y factorizándolas, para luego igualar cada factor a cero y despejar en función de

6. Ejercicios prácticos de la unidad IV.

A. Relación entre pendientes de rectas paralelas y pendientes de rectas perpendiculares: Responda los requerimientos de los ejercicios números 26, 28, 30, 32, 34, 35, 41, 42, 44 y 48 de las páginas 188 y 189, y los ejercicios números 5, 13 y 18 de la página 196 del texto del curso.

B. Ecuación del círculo: Responda los requerimientos de los ejercicios números 4, 6, 10, 14, 18, 20, 24, 26, de las páginas 180 y 181, y los ejercicios números 10 y 22 de las páginas 196 y 197 del texto del curso.

C. Formas cónicas: Responda los requerimientos de los ejercicios números: 4, 8, 10, 18, 20, 26, 36, 46 y 48 de la página 487; de los ejercicios números 4, 8, 12, 16, 24, 26, 28 y 38 de la página 494 y de los ejercicios números 6, 10, 12, 20, 24 y 32 de las páginas 502 y 503 del texto del curso.

UNIDAD V: TRIGONOMETRÍA

Subcompetencia: Aplica las identidades trigonométricas fundamentales en la resolución de ecuaciones trigonométricas.

1. Funciones trigonométricas:

A. Valores de las funciones trigonométricas: El valor de una función trigonométrica de un número real se define como el valor del ángulo de radianes, siempre que ese valor exista.

B. Funciones trigonométricas: Sea cualquier número real y , el punto de intersección en el círculo unitario con el lado terminal del ángulo de radianes en posición estándar. Entonces, las seis funciones trigonométricas del número real son:

C. Funciones trigonométricas usando los catetos opuesto y adyacente:

Nombre de la funciónAbreviatura Valor

2. Dominio y rango de las funciones seno y coseno:

a. Dominio del : todos los números reales.

b. Rango del intervalo

3. Propiedades de las funciones trigonométricas:

A. Funciones pares e impares: La función es impar y la función es par, es decir, para cada número real t:

y

B. Propiedades adicionales: Para todos los números reales t,

1. y

2. y

3. y

C. Ángulo de referencia: Para cada número real hay un ángulo único de t radianes en posición estándar que determina el punto , que coordina en el círculo unitario. Es decir, el lado terminal de todo ángulo de (donde no está situado en un eje) formará un ángulo agudo con el eje , En seguida podemos localizar un ángulo de radianes en el primer cuadrante que es congruente con este ángulo agudo. El ángulo de radianes se conoce como ángulo de referencia para cualquier número real . Debido a la simetría del círculo unitario, las coordenadas de serán iguales en valor absoluto a las coordenadas respectivas de . Los ángulos de referencia se pueden usar para obtener los valores de las funciones trigonométricas de todos los múltiplos enteros de . Solo debemos preocuparnos de los signos, para lo cual es necesario saber que las funciones trigonométricas son todas positivas en el primer cuadrante, el seno es el único positivo en el segundo cuadrante, la tangente ses la única positiva en el tercer cuadrante y el coseno es el único positivo en el cuarto cuadrante.

D. Identidades trigonométricas básicas:

1. Identidades recíprocas:

2. Identidades de cociente:

3. Identidades de Pitágoras: ,

4. Identidades par impar:

5. Fórmulas de suma y resta para senos:

6. Fórmulas de suma y resta para cosenos:

7. Fórmulas de suma y resta para tangentes:

8. Fórmulas para ángulo doble:

, ,

9. Ecuaciones trigonométricas: Son ecuaciones que involucran funciones trigonométricas que se satisfacen para algunos valores de la variable. Encontrar la solución implica encontrar todos los ángulos que satisfagan la ecuación.

E. Leyes de Senos y Cosenos: Si ninguno de los ángulos de un triángulo es un ángulo recto, el triángulo se llama oblicuo. Un triángulo oblicuo tendrá ya sea tres ángulos agudos o dos agudos y un obtuso. En nuestro análisis consideraremos que en un triángulo oblicuo el lado a es opuesto al ángulo α, el lado b es opuesto al ángulo β y el lado c es opuesto al ángulo γ. Resolver un triángulo oblicuo significa encontrar las longitudes de sus lados y las medidas de sus ángulos. Para hacerlo existen cuatro posibilidades que deben considerarse y utilizar en su solución las leyes de los senos o las leyes de los cosenos.

1. Ley de los senos: La ley de los senos establece que para un triángulo con lados y ángulos opuestos :

Además se usa el hecho de que .

Se utiliza para resolver triángulos oblicuos en los siguientes casos:

a. Se conocen un lado y dos ángulos (ALA o LAA).

b. Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA).

2. Ley de los Cosenos: Se utiliza para resolver triángulos oblicuos en los cuales se conocen dos lados y el ángulo incluido (LAL) o cuando se conocen tres lados (LLL). La ley de los cosenos establece lo siguiente:

El enunciado de la ley de los cosenos establece que el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble de su producto multiplicado por el coseno del ángulo incluido.

F. Ejercicios prácticos de la unidad V:

1. Funciones trigonométricas: Determine el ángulo de referencia y las seis funciones trigonométricas básicas para cada uno de los siguientes ángulos:

a. b. c. d. e.

2. Gráfica de funciones trigonométricas: Responda los requerimientos de los ejercicios números 2, 6, 30 y 32 de las páginas 404 y 405 del texto del curso.

3. Identidades trigonométricas: Demuestre las siguientes identidades:

a. c.

b.

c.

d.

4. Ecuaciones trigonométricas: Responda los requerimientos de los ejercicios números 20, 24, 28, 34, 36, 38, 40, 44 y 46 de las páginas 438 y 439, y los ejercicios números 2 y 4 de la página 449 del texto del curso.

5. Ley de los senos y ley de los cosenos: Responda los requerimientos de los ejercicios números 2, 8, 12, 18 y 20 de las páginas 456 y 457, y los ejercicios números 4, 6, 14, 18 y 20 de las páginas 460 y 461.

TEXTO OFICIAL DEL CURSO: ÁLGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA.

Dennis G. Zill y Jacqueline M. Dewar. 3ra. Edición. 2012

Elaborado por Rodolfo Santini Ortiz, 17 de Agosto del 2016.

Revisado por Rodolfo Santini Ortiz, 17 de enero del 2017.