Ingeniería Mecatrónica

Materia:Ingeniería de Control

Maestro:Raúl V. Castillo Carrillo

Sistema de posición de motor de corriente directa con controlador P, PI y PID

Equipo:Castro Echeverría RobertoSoto Verduzco Edgar Emir

Torres Rascon Alfredo

ObjetivoEste trabajo se tratara de realizar el modelado de un motor y aplicarle un controlador P,PI,PD y PID con estos se observara la respuesta en el dominio del tiempo y se compara con los demás controladores.

Introducción

Un PID (Proporcional Integral Derivativo) es un mecanismo de control por realimentación que calcula la desviación o error entre un valor medido y el valor que se quiere obtener, para aplicar una acción correctora que ajuste el proceso. El algoritmo de cálculo del control PID se da en tres parámetros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo. El valor Proporcional determina la reacción del error actual. El Integral genera una corrección proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El Derivativo determina la reacción del tiempo en el que el error se produce. La suma de estas tres acciones es usada para ajustar al proceso vía un elemento de control como la posición de una válvula de control o la energía suministrada a un calentador, por ejemplo. Ajustando estas tres variables en el algoritmo de control del PID, el controlador puede proveer un control diseñado para lo que requiera el proceso a realizar. La respuesta del controlador puede ser descrita en términos de respuesta del control ante un error, el grado el cual el controlador llega al "set point", y el grado de oscilación del sistema. Nótese que el uso del PID para control no garantiza control óptimo del sistema o la estabilidad del mismo. Algunas aplicaciones pueden solo requerir de uno o dos modos de los que provee este sistema de control. Un controlador PID puede ser llamado también PI, PD, P o I en la ausencia de las acciones de control respectivas. 

ProporcionalLa parte proporcional consiste en el producto entre la señal de error y la constante proporcional como para que hagan que el error en estado estacionario sea casi nulo, pero en la mayoría de los casos, estos valores solo serán óptimos en una determinada porción del rango total de control, siendo distintos los valores óptimos para cada porción del rango. Sin embargo, existe también un valor límite en la constante proporcional a partir del cual, en algunos casos, el sistema alcanza valores superiores a los deseados. Este fenómeno se llama sobreoscilación y, por razones de seguridad, no debe sobrepasar el 30%, aunque es conveniente que la parte proporcional ni siquiera produzca sobreoscilación. Hay una relación lineal continua entre el valor de la variable controlada y la posición del elemento final de

control (la válvula se mueve al mismo valor por unidad de desviación). La parte proporcional no considera el tiempo, por lo tanto, la mejor manera de solucionar el error permanente y hacer que el sistema contenga alguna componente que tenga en cuenta la variación respecto al tiempo, es incluyendo y configurando las acciones integral y derivativa.

La fórmula del proporcional esta dada por: 

IntegralEl modo de control Integral tiene como propósito disminuir y eliminar el error en estado estacionario, provocado por el modo proporcional. El control integral actúa cuando hay una desviación entre la variable y el punto de consigna, integrando esta desviación en el tiempo y sumándola a la acción proporcional. El error es integrado, lo cual tiene la función de promediarlo o sumarlo por un período determinado. Luego es multiplicado por una constante I. Posteriormente, la respuesta integral es adicionada al modo Proporcional para formar el control P + I con el propósito de obtener una respuesta estable del sistema sin error estacionario.

El modo integral presenta un desfasamiento en la respuesta de 90º que sumados a los 180º de la retroalimentación ( negativa ) acercan al proceso a tener un retraso de 270º, luego entonces solo será necesario que el tiempo muerto contribuya con 90º de retardo para provocar la oscilación del proceso. <<< la ganancia total del lazo de control debe ser menor a 1, y así inducir una atenuación en la salida del controlador para conducir el proceso a estabilidad del mismo. >>> Se caracteriza por el tiempo de acción integral en minutos por repetición. Es el tiempo en que delante una señal en escalón, el elemento final de control repite el mismo movimiento correspondiente a la acción proporcional.

El control integral se utiliza para obviar el inconveniente del offset (desviación permanente de la variable con respecto al punto de consigna) de la banda proporcional.

La formula del integral esta dada por: 

DerivativoLa acción derivativa se manifiesta cuando hay un cambio en el valor absoluto del error; (si el error es constante, solamente actúan los modos proporcional e integral).

El error es la desviación existente entre el punto de medida y el valor consigna, o "Set Point".

La función de la acción derivativa es mantener el error al mínimo corrigiéndolo proporcionalmente con la misma velocidad que se produce; de esta manera evita que el error se incremente.

Se deriva con respecto al tiempo y se multiplica por una constante D y luego se suma a las señales anteriores (P+I). Es importante adaptar la respuesta de control a los cambios en el sistema ya que una mayor derivativa corresponde a un cambio más rápido y el controlador puede responder acordemente.

La fórmula del derivativo esta dada por: 

MODELO MATEMATICO DEL MOTOR

El sistema se puede clasificar en dos partes: la eléctrica y la mecánica. El análisis matemático se divide en estas partes y las ecuaciones que involucran la asociación de las dos.

Analizando la parte eléctrica con las leyes de Kirchhoff en función del tiempo t se obtiene:

Haciendo un análisis similar para la parte mecánica se obtiene:

Las ecuaciones que asocian la parte mecánica con la eléctrica son:

Y

Partiendo de las ecuaciones en función del tiempo que describen a nuestro sistema, se transforma todo al dominio de los números imaginarios con la transformada de Laplace y se efectúan algunas operaciones algebraicas para llegar a las siguientes ecuaciones:

En donde se cuentan las siguientes variables

Ra: resistencia del inducido

:: Inductancia del inducido

: Corriente del inducido

: tensión del inducido

: fuerza contra electromotriz

: Angulo girado por el eje

: Par generado por el motor

J: Momento de inercia del rotor y la carga

F: Rozamiento viscoso del rotor y carga

Con las cuales se puede realizar un diagrama de bloques con las siguientes ecuaciones.

El diagrama de bloques es como sigue:

Simplificando este diagrama de bloques se obtiene la función de transferencia

Para nuestro sistema los valores de las variables son:

Diagrama de bloques del motor:

Agregando al motor retroalimentación para controlar la posición en radianes. El control esta pensado para que se haga con potenciómetros ideales como sensores de posición. El bloque del inicio que dice posición deseada sirve para dar el punto de control, que seria la representación del ángulo del potenciómetro ideal, y la retroalimentación vendría de un potenciómetro unido al eje del motor. El pensando que este sistema funcionara con 5V, se saco una constante de proporcionalidad Ko para comparar la posición con voltaje porque al motor le entra una diferencia de voltajes, que es lo que hace que se mueva en cierta dirección o no. Pensando que el potenciometro ideal tiene un giro de 360° o 2*pi*rad la constante Ko es la siguiente

Ko= 5V2π rad

=0 .7957V /rad

Graficando la respuesta en el dominio del tiempo nos permite la forma de nuestra grafica ya que con ella se podrán determinar la ganancia de acuerdo al método de Ziegler-Nichols

>> format long

>> num=[Kb*Ko];

>> den=[La*J (La*f+Ra*J) (Kw*Kb+Ra*f) Kb*Ko];

>> sys=tf(num,den)

Transfer function:

0.01552

----------------------------------------------------

5.4e-011 s^3 + 1.35e-005 s^2 + 0.0009878 s + 0.01552

Lugar de las raicesRlocus(sys)

>> t=0:0.01:2;

>> step(2*pi*num,den,t)

planta

Control proporcional.

Como ya se dijo anteriormente Hay una relación lineal continua entre el valor de la variable controlada y la posición del elemento final de control.

Ya que el control proporcional es:

Para obtener una Kp optima utilizamos el método de Ziegler-Nichols el cuel pretende encontrar un sobrepaso máximo de 25%. El método se trata en que si la curva de experimentación da forma de S la curva se caracteriza por dos parámetros: el tiempo de retardo L y la constante de tiempo T.

Para la determinación de estos parámetros se obtiene la siguiente figura.

Lo cual demuestra que T=0.08 y L=0.01

De acuerdo a la tabla de Ziegler-Nichols se sugieren los siguientes valores:

Control P

Por lo tanto para nuestro caso la ganancia Kp es de 8

Simulando nuestra planta en simulink con el controlador tipo P se tiene:

Los resultados en el dominio del tiempo fueron los siguientes para una posición 2pi:

Con esto se comprueba que el sobre paso es por debajo del 30% como dice el método.

Este es su comportamiento ante una perturbación en la carga de 0.3N*m a los 0.5s, donde se ve que el controlador P no puede corregir el error.

planta

Control PI

Para el control de tipo PI se tiene que la ganancia va ser diferente ya que este incluido un integrador en el controlador este tipo de controles esta especificado en la figura de abajo.

Pero como ya vimos anteriormente en nuestra tabla ahora el valor de kp será igual a .9(T/L) y el valor de sera L/0.3 por lo que nuestra simulación en simulink es:

Los resultados de este controlador fueron los esperados para una posicion de 2pi.

Uno de los puntos a notar es que el controlador PI a diferencia del controlador tipo P, disminuye el error a cambio de estabilidad y como podemos observar nuestro sobrepaso aumenta pero el valor es más exacto.

Este es su comportamiento ante una perturbación en la carga de 0.3N*m a las 0.5s. A diferencia del P reduce el error pero oscila más.

Planta

Controlador PID

Uno de los puntos que observamos en realizar este tipo de controlador fue que nos dimos cuenta que un controlador PID es muy bueno para corregir las perturbaciones que afectan al sistema. Esto debido a que el valor Proporcional determina la reacción del error actual. El Integral genera una corrección proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El Derivativo determina la reacción del tiempo en el que el error se produce.

Para la obtención de nuestros parámetros recurrimos otra vez a la tabla propuesta por Ziegler-Nichols

Para lo cual tenemos los siguientes valores

Kp=9.6

Ti=.02

Td=.005

G( s )=9 .6(1+ 10 .02 s

+0 .005 s) El diagrama de bloques Hecho en simulink es:

El cual nos da un resultado con un sobrepaso de un 52% aproximadamente.

Este es su comportamiento ante una perturbación en la carga de 0.3N*m a los 0.5s. Como se puede ver el sistema se recupera rapidamente y con error muy reducido, o tal vez nulo.

Conclusiones

Castro Echeverria RobertoCon este trabajo me pude dar cuenta mejor del comportamiento de los diferentes controladores. Gracias a los controladores se puede obtener la estabilidad de manera mas rápida y sin error o reduciéndolo. Cada controlador hace su tarea específica, pero este trabajo podemos notar como el controlador PID es superior a los demás, ya que notamos que estabiliza el sistema de manera rápida, con pocas oscilaciones y con poco error. Además en la parte que hicimos simulación con perturbaciones pudimos notar que el controlador P se estabilizo pero no redujo el error, al contrario el error se hizo muy grande. En el PI pudo corregir el error pero tarda mucho y tiene muchas oscilaciones bruscas, en cambio el PID sin ningún problema se estabiliza rápido, con poca oscilación y con un error casi nulo. Gracias al uso de matlab el trabajo se puede hacer de una manera más sencilla y precisa.

Soto Verduzco Edgar EmirPara implementar el control al sistema, se tomo como base el sistema que

se encuentra en la plataforma ftp, pero se le agrego un bloque integrador para sacar la posición de la velocidad angular, y con eso se llego a la función de transferencia, al graficarla se noto que coincidía la forma de la grafica con el método grafico de Ziegler-Nichols, con esto se realizo una recta en el punto de inflexión que es casi tangencial a la función y de ahí se sacan los parámetros del método. Al tener estos datos, se agregan los bloques de control al diagrama con los valores que resultan y observamos que en un principio el proporcional nos mejora el tiempo de establecimiento y el tiempo de subida, analizando el control proporcional integral observe que aumenta el sobrepaso pero la el sistema se estabiliza un poco mas rápido, y al observar el control proporcional integral derivativo se nota como el sobrepaso baja y el sistema se estabiliza rápidamente. Además al ponerle perturbaciones a los diferentes controles, se puede observar que al aplicarle al motor sin ningún tipo de control influye en demasía la perturbación, pero al aplicárselo al control proporcional el error se reduce significativamente, además al observar como influye en el control PID se puede apreciar que no solo corrige casi completamente, si no que también corrige el error rápidamente.

Torres Rascon AlfredoEste trabajo fue de mucho provecho para nuestro aprendizaje ya que nos dimos cuenta de la importancia de un controlador y las diferencias entre los tipos de controladores que existen. Un punto que me llamo mucho la atención fue el trato de las perturbaciones al sistema que cada controlador toma en particular el PID es una forma de estabilizar el sistema, minimizar el error en estado estacionario y reaccionar rápido nos dice que es un controlador muy eficiente. De acuerdo con las pruebas que realizamos el control PID reacciona muy rápido a las perturbaciones.

BibliografíaIngeniería de Control ModernaKatsuhiko Ogata

Sistemas de Control AutomaticoBenjamin C. Kuo