LICEO TÉCNICO BICENTENARIO JUANITA FERNANDEZ SOLARDepartamento de Matemática

GUÍA DE APRENDIZAJE 3 – PRIMERO MEDIO 2020

POTENCIA DE BASE Y EXPONENTE ENTEROSabemos que las POTENCIAS son multiplicaciones reiteradas, con algunas reglas según el tipo de número que esté en la base y en el exponente.¡Recuerda!Términos matemáticos relacionados con las Potencias de base y exponente entero: base, exponente, producto, regla de la multiplicación. Una POTENCIA corresponde a una multiplicación reiterada de términos o números iguales, los números que se multiplican de forma reiterada es la base y el exponente indica cuantas veces se multiplica la base.

EJEMPLO−24

−(2∙2∙2 ∙2)−(16)

(−2)4

(−2 ) ∙ (−2 ) ∙ (−2 ) ∙(−2)16PRACTICA LO APRENDIDO1.- Completa la siguiente tabla y luego responde.

Estimada estudiante: Con la siguiente guía damos comienzo a la Unidad 1 correspondiente a primero medio. Esta guía contiene actividades que te permitirán trabajar tus habilidades y conocimientos sobre las propiedades de las potencias de base racional y exponente entero y en problemas relacionados con el crecimiento y decrecimiento de cantidades. El objetivo es que, al finalizar este trabajo, aprendas estrategias para resolver problemas.Debes leer comprensivamente este documento y desarrollar las actividades propuestas, registrando en cada ejercicio todo el procedimiento realizado para

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¿Qué signo tiene el resultado de una potencia cuya base es un número negativo? ¿Depende del exponente?En conclusión:Una potencia cuya base es un número entero negativo dará como resultado un número positivo si el exponente es par, y dará como resultado un número negativo si el exponente es impar.POTENCIAS DE EXPONENTE CERO Y NEGATIVO

Exponente cero Cuando el exponente de una potencia es 0, su resultado es 1 siempre que la base de la potencia no sea ceroa0=1

Ejemplo: 20=1 ; (−85)0=1 Exponente Negativo Si el exponente de una potencia de base entera distinta de cero, es un número entero negativo, su valor será igual al del inverso multiplicativo de la potencia cuyo exponente es positivo.

a−n= 1an

Ejemplo: (−3)−3= 1(−3)3

= 1(−3 ) ∙ (−3 ) ∙(−3)

= 1−27

=−127

PRACTICA LO APRENDIDO1.- Escribe positivo o negativo, dependiendo del valor de cada potenciaa) (−6)7 Negativo d) −67 ……………b) (−5)4 ……………. e) (−2)3 ……………c) 83 ……………. f) (−5)2 ……………2.- Calcula el valor de las siguientes potenciasa) 43=¿

b) (−6)4=¿

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c) 2−5=¿

d) (−5)−3=¿

3.- Lee y responde.La profesora de Matemática pidió a sus estudiantes, como tarea, que anotaran en un cartel 6 potencias con exponente cero y sus respectivos resultados. Andrés elaboró el cartel que se muestra. ¿Cuáles igualdades son incorrectas? Explica

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POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTEROSi ab∈Q, la potencia de base ab y exponente n, con n∈N , se define como:

( ab )n

=ab∙ ab∙…∙ a

b

Ejemplo: a) (−43 )3

=(−43 ) ∙(−43 ) ∙(−43 )=−6427

b) (−52 )4

=(−52 )∙ (−52 )∙(−52 )∙(−52 )=62516 Además, como un número racional se puede representar como cociente de dos números enteros, en el caso de una potencia de base racional, se tiene que:

( ab )n

=an

bn

Ejemplo: a) ( 67 )2=6272=6 ∙67 ∙7=3649 b) (−16 )

3

= (−1 )3

63= (−1 ) ∙ (−1 ) ∙(−1)

6 ∙6 ∙6= −1216

= −1216

PROPIEDADES DE POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTEROPotencia con exponente cero

( ab )0

=1

Una potencia de base un número racional distinto de cero con exponente cero Ejemplo:(−27 )

0

=1

n - veces

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siempre es igual a uno.Potencia con exponente negativo

( ab )−n

=( ba )n

Si el exponente de una potencia de base racional distinta de cero, es un número entero negativo, su valor será igual al del inverso multiplicativo de la potencia cuyo exponente es positivo.

Ejemplo 1( 23 )

−2

=( 32 )2

¿( 32 )∙( 32 ) ¿ 94

Ejemplo 2(−0 ,3)−3=(−39 )

−3 al simplificar resulta ¿(−13 )

−3 ¿(−31 )

3

¿(−3)3 ¿ (−3 ) ∙ (−3 ) ∙ (−3) ¿−27 Potencia de una potencia[( ab )

n]m

=( ab )n ∙ m

La propiedad de potencia de una potencia, establece que se debe mantener la base y elevarla al producto de los exponentes.

Ejemplo :[( 34 )

2]3

=( 34 )2 ∙3

¿( 34 )6 ¿ 7294096

Multiplicación de potencias de base racional( ab )

n

∙( ab )m

=( ab )n+m

Para multiplicar potencias de igual base racional y con exponente entero, se conserva la base y se suman los exponentes.

Ejemplo: (−25 )

2

∙(−25 )3

=(−25 )2+3 ¿(−25 )

5

= −323125

( ab )n

∙( cd )n

=( ab ∙ cd )n

Para multiplicar potencias de igual exponente se conserva el exponente y se multiplican las bases.

Ejemplo:(−34 )

3

∙(25 )3

=(−34 ∙ 25 )3

=(−620 )3

=(−310 )3

= −271000

Simplificar⏞División de potencias de base racional

( ab )n

:( ab )m

=( ab )n−m

Para dividir potencias de igual base racional y con exponente entero, se conserva la base y al exponente del dividendo se le resta el exponente del divisor.

Ejemplo: (−52 )

3

:(−52 )5

=(−52 )3−5

=(−52 )−2

¿(−25 )2

¿ 425( ab )

n

:( cd )n

=( ab : cd )n

Para dividir potencias de igual exponente entero se conserva el exponente y se dividen los números racionales de las

Ejemplo: (−23 )

3

:(47 )3

=(−23 : 47 )3

=(−2∙73 ∙4 )3

=(−1412 )3

Al simplificar resulta

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bases.¿(−76 )

3

¿−343216

PRACTICA LO APRENDIDO1.- Escribe cada potencia con exponente positivoa) ( 32 )−2=¿ b) (−109 )

−1

=¿ c) (−0,4 3 )−8=¿

2.- Calcula el valor de cada potencia.a) ( 25 )0=¿ b) (−16 )

3

=¿ c) (−38 )4

=¿

3.- Observa el siguiente desarrollo de propiedades de las potencias presentado por dos alumnos de 1º medio.

¿Quién tiene la razón? Justifica tu respuesta………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..4.-Calcula las siguientes multiplicaciones de potencias.a) ( 34 )

5

∙ (1 ,3 )5∙( 37 )2

=¿ b) [( 12 )4 ]2∙48=¿ c) [1,252∙( 54 )3]2

=¿

5.- Calcula las siguientes operaciones combinadas de potencias.a) ( 34 )

3

∙( 34 )3

:0,756=¿ b) ( 43 )3

:(−25 )2

∙( 310 )3

=¿

6.- Describe el error que se cometió en el siguiente ejercicio y corrígelo. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7.- Resuelve el siguiente problema:

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El triángulo de Sierpinski es una estructura que se genera por un proceso recursivo a partir de un triángulo del cual se extraen triángulos de menor tamaño. La secuencia de la construcción es la siguiente:1º La figura original es un triángulo (Figura 0)2º La figura siguiente se genera dibujando triángulos con vértices en los puntos medios de los lados y extrayendo el triángulo central.3º Se repite este proceso en cada triángulo no extraído.

a) Si la medida de los lados del triángulo inicial es de 1cm, ¿cuánto miden los lados de los triángulos más pequeños de la figura 1, 2 y 3?Resp.: b) Escriban los resultados anteriores usando potenciasResp.:

c) ¿Cuántos triángulos sin extraer tienen las figuras 1, 2 y 3? Usa potencias para escribir cada resultadoRep.:

d) ¿Cuántos triángulos de color tendrá la figura 4? Usa potencias para escribir el resultado

Resp.:

Figura 0 1 2 3Medida lados (cm) 1 0,25Figura 0 1 2 3Medida lados (cm) 0,50

Figura 0 1 2 3Triángulos sin extraer (de color) 31

Figura 0 1 2 3 4Triángulos sin extraer (de color) 31

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CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIALCuando se modela una situación de crecimiento exponencial, la base de la potencia es mayor que 1. Por otra parte, cuando la base de la potencia es menor que 1 y mayor que cero, se está modelando un decrecimiento exponencial.

Analizaremos los conceptos anteriores a través de un ejemplo:

Cadena de correos electrónicosEtapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4 Etapa 5 Etapa 6 Etapa 740 41 42 431 4 16 64Para elaborar esta tabla, Francisca consideró como etapa 1 el mensaje que ella escribió; como etapa 2, los 4 textos que después se mandaron; como etapa 3, los correos de sus amigos a otras 4 personas, y así sucesivamente.a) Completa la tabla anterior hasta la etapa 7 de la cadena.b) Escribe una potencia que represente cuántos mensajes se han enviado en la etapa 30 y en la etapa x. Etapa 30: ❑❑ Etapa x: ❑❑c) Grafica los datos de la tabla

Para una campaña en defensa de los delfines Francisca decidió iniciar una cadena de correos electrónicos. Ella envió a 4 amigos un mensaje en el que daba a conocer la situación de los cetáceos y pedía que cada receptor enviara ese correo a 4 personas más. Para calcular el alcance de la cadena, Francisca elaboró la siguiente tabla:

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d) ¿La situación descrita en el problema, representa un crecimiento o decrecimiento exponencial? ¿Por qué?……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….