Primer QuimestreTRIGONOMETRIA.........................................................................................................................5

Teorema de Pitágoras..............................................................................................................5

Ejercicio................................................................................................................................5

Trigonometría..........................................................................................................................6

-Funciones trigonométricas......................................................................................................6

Funciones trigonométrica Ángulos A-B.....................................................................................7

Funciones Trigonométricas de Ángulos Notables.....................................................................7

Problemas con funciones trigonométricas............................................................................8

RELACIONES Y FUNCIONES.........................................................................................................12

Relaciones Binarias.................................................................................................................12

Producto Cartesiano...............................................................................................................12

Diagrama Cartesiano.............................................................................................................12

Propiedad Reflexiva...............................................................................................................14

Ejemplos:............................................................................................................................14

Propiedad Simétrica..............................................................................................................14

Ejemplos:............................................................................................................................14

Propiedad Transitiva.............................................................................................................14

Ejemplo:..............................................................................................................................14

FUNCIONES................................................................................................................................16

Funciones de Variable Real...................................................................................................16

Grafico de una funcion Lineal.................................................................................................16

Corrección..........................................................................................................................17

Actividad en Clase..............................................................................................................18

Consulta.............................................................................................................................19

INTERVALOS...............................................................................................................................21

Ecuacion simetrica de la recta................................................................................................22

Ejemplo:..............................................................................................................................22

Función Creciente...................................................................................................................23

Función decreciente................................................................................................................23

Ejemplo:..............................................................................................................................23

Deber #1.............................................................................................................................24

Distancia entre 2 puntos.........................................................................................................24

Ejercicios de aplicación:......................................................................................................24

1

Deber Nº2..........................................................................................................................25

Ejercicio..............................................................................................................................26

Deber Nº3...........................................................................................................................27

Punto Medio de un Segmento................................................................................................28

Ejercicios:...........................................................................................................................28

Deber#4..............................................................................................................................29

SISTEMAS DE ECUACIONES.........................................................................................................30

Metido Grafico.......................................................................................................................30

Solución Única....................................................................................................................30

Infinitas Soluciones.............................................................................................................30

Sin Solucion........................................................................................................................30

Sin Solucion................................................................................................................................31

Deber.................................................................................................................................31

EXAMEN QUIMESTRAL...............................................................................................................32

2

TRIGONOMETRIA

Teorema de Pitágoras

c=√(a2+b2 )a=√ (c2−b2 )

b=√(c2−a2)

Ejercicio

Determinar el valor de la hipotenusa si los catetos son a=√3 y b=√2 respectivamente

c=√(√3)2+(√2)2

c=√3+2

c=√5

Suma de Ángulos Internos

A + B +C =180º

1. Resuelva los siguientes Triángulos Rectángulos Cateto Angulo a=√ (4 √3 )2−(√5 )2 A+B+C=180 a=√ (16∗3 )−5 A+30+90=180 a=√48−5 A+120=180

a=√43 A=180−120

A=60

3

Cateto (b)

Cateto (a)

Hipotenusa(c) C2 = a2 + b2

CatetoHipotenusa

Cateto Angulo a=√ (4 √3 )2−(√5 )2 A+B+C=180 a=√ (16∗3 )−5 A+30+90=180 a=√48−5 A+120=180

a=√43 A=180−120

A=60

TrigonometríaLa trigonometría es el estudio matemático de los triángulos

-Funciones trigonométricasNombre Abreviatura Definicion

Seno sen

catetoopuestohipotenusa

coseno cos

catetoadyacentehipotenusa

tangente tan

cateto opuestocatetoadyacente

cotangente ctg

catetoadyacetecateto opuesto

secante sec

hipotenusacatetoadyacente

cosecante scs

hipoptenusacatetoopuesto

Ejemplo:

Funciones trigonométrica Ángulos A-B

4

T. Pitágoras

c=√72+42

c=√49+16

c=√65

Angulo A Angulo B

sen=

7√65

∗√65

√65=7√6565

sen=

4√65

∗√65

√65=4 √65

65

cos=

4√65

∗√65

√65= 4 √65

65cos=

7√65

∗√65

√65=7√65

65

tan=74tan=4

7

ctg= 47

ctg=74

sec=654

sec=√657

csc=657

csc=√654

Funciones Trigonométricas de Ángulos Notables

Función 45º 30º 60ºSen √2

212

√32

Cos √22

√32

12

Tan 1 √33

√3

Ctg 1 √3 √33

Sec √2 2√33

2

Csc √2 2 2√33

5

Problemas con funciones trigonométricasUn árbol ha sido roto por el viento de tal manera que sus 2 partes forman con la tierra un triangulo rectángulo. La parte superior forma un ángulo de 35º con el piso, y la distancia medida sobre el piso desde el tronco hasta la cúspide del árbol es de 5m, hallar la altura que tenía el árbol.

tan 35º= d 15m

b2=√a2+c2 tan 35.5 = d1

b2=√3.52+52 (0.70020) (5m) =d1

b=√1225+¿25¿ 3.5m= d1

b=√37.5 TA= a+b

b=6.1 m TA= 35m+6.1m

TA= 9.6m

Para calcular el ancho de un rio se midió una distancia A-B a lo largo de su horilla, tomándose el punto A directamente opuesto a un árbol C sobre el otro lado si se observo que el ángulo A-B-C era de 55º y la distancia A-B de 10m, hállese el ancho del rio

A C Tan 55º= ac10

10m (tan55) (10m)= ac

14.28= ac

B

La longitud del hilo que sostiene una cometa es de 250m y el ángulo de elevación de la cometa es de 40º. Hallar su altura suponiendo que el hilo que la sostiene se mantiene recto

Sen40= a250

160.69 250m Sen40(250) =a

6

160.69=a

Desde un punto situado a 200m, medido sobre una horizontal del pie una torre se observa que el ángulo de elevación de la cúspide, calcular la altura

Tan60º =a

200m

a=? (200m) Tan60º=a

346.41

200m

El palo central de una tienda de campaña de forma de cono circular tiene una elevación de 6m y su parte superior está sostenida por cuerdas de 12 m de largo armada a estacas clavadas en la tierra ¿A qué distancia están las estacas del pie del mástil central?¿Cuál es la inclinación de los cables con la tierra

6m X=√122−62 sen A=6m12m

12m X=√144−36 sen A= 12

x X=√108 A= 30º

10.39 X=10.39m

Los ángulos iguales de un triangulo isósceles son de 35º y la base es de 393.18cm. hallar los otros elementos del triangulo

Cos 35º= 196.59

x

X(cos 35º) =196.59

X=196.59cos35

X= 240cm

Un poste de 10m de longitud proyecta una sombra de 8.391m. Hallar el ángulo de elevación del sol

Tan ∝ =10m8.39m

10m ∝ = tan−1 108.39

8.391 m ∝=50º

La longitud del lado de un octágono regular es de 12cm. Hallar los radios de los círculos inscritos y circunscritos

7

Sen225=6r

r =6cm22.5

r= 16.68 cm

Tan 22.5= 6cm

r

r= 6 cmtan 22.5

r= 14.49 cm

Una escalera de 12m de longitud puede colocarse de tal manera que alcance una ventana de 10 m de altura de un lado de la calle y haciendo girar la escalera sin mover su base, puede alcanzar una ventana a 6m de altura en el otro lado de la calle. Hallar el ancho de la calle y los ángulos de inclinación de la escalera

Sen A =1012

m

A=sen−1 56

12m 12mA=56.44º

6m 17.02 10m

SenB= 612

X=√122−62X2=√122−102 B=sen−1 12

X=√16−36X2=√144−100 B= 30º

X=10.39 X2=√44 X2=6.63

Ancho: x1+x2

Ancho: 10.39+6.63

Ancho: 17.02

8

¿Qué ángulo forma la diagonal de un cubo con la diagonal de una cara del mismo cubo trazado desde el mismo vértice?

√2Tan A=√2 = 35.16

√2

RELACIONES Y FUNCIONES

Relaciones BinariasPar ordenador:

( a ; b ) (a;b)=(c;d)

a=c - b=d

Primera componente segunda componente ejemplo: (2;4) (√4;√16)

2=√44=√16

Producto CartesianoA=(1;2) B=(3;4)

A B

A*B={(1;3)(1;4)(2;3)(2;4)}

9

1

2

3

4

Diagrama Cartesiano

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.20

0.51

1.52

2.53

3.54

4.5

Y

n (a∗b )=nA∗nB

n (a∗b )=2∗2

n (a∗b )=4

Sean P= (x e Z1<x ≤3 ) Q=(x eZ 0<x ≤4) P=(2,3) Q=(1,2,3,4)PxQ=((2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(3;1),(3;2),(3;3),(3;4))

Relaciones

1. Dados el conjunto A-B se define una relación r de A en B como un subconjunto del producto cartesiano AxB

A B A B

AxB=((1;3),(1;4),(2;3),(3;4)) Conjunto de Partida Conjunto de Llegada

R1=((1;3),(1;4))

Dominio (D): Es el conjunto formado por las primeras componentes de las pares ordenadas de una relación.

Rango (Rg): Es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados de una relación.

Ejercicio:

A= (1, 2, 3, 4) R1=((X;Y) e AxB / x+y <8)B= (5, 6, 7) R1=(1;5),(1;6),(2;5))

AxB=((1;5),(1;6),(1;7),(2;5),(2;6),(2;7),(3;5),(3;6),(3;7),(4;5),(4;6),(4;7))

Dominio= (1,2) A B

10

A*B=B*A

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

7

Rango= (5,6)

11

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO

Propiedad Reflexiva

Se dice que una relación en un conjunto es reflexiva cuando cada elemento del conjunto dado esta relacionado consigo mismo.

∀a∈ A →aRa

A

R=((a;a),(1;1),(2;2))

Ejemplos:A = (4,7,9) R A → A ; R=(( X ;Y ) x+ y es par )R=((4;4),(7;7),(7;9),(9;7),(9;9)) A

Es Reflexiva

Propiedad Simétrica Una relación es simétrica cuando cada vez a esta relacionado con b, entonces b relaciona con a.aRb →bRa

Ejemplos:A=(4;7;9) R A → A R={( x ; y ) ; x+ yes par }R={(4 ;4 ) , (7 ;7 ) , (7 ;9 ) , (9 ;7 ) ,(9 ;9)}

A

Es Simétrica

Es Reflexiva

Propiedad Transitiva

Una relación es transitiva si cada vez que a esta relacionado con b y b se relaciona con c; entonces a se relaciona con c.

aRb A bRc →aRc

Ejemplo:A=(6 ;13 ;17 ;25 ) R={( x ; y ) ; x tiene igual numero decifras que y }R={(6,13 ) , (13,13 ) , (13,17 ) , (13,25 ) , (17,13 ) , (17,17 ) , (17,25 ) , (25,13 ) , (25,17 ) ; (25,25 ) }

12

A

Es Transitiva

Es Simétrica

Es Reflexiva

Relación de Equivalencia

13

FUNCIONESUna relación f de A-B es una función si y solo si a cada elemento x e A le corresponde un único elemento y e B, a través de f.

A B Condiciones1. 4 1)Dom f= Conjunto de partida

2 5 2)No debe existir dos pares con la primera componente igual 3 6

Funciones de Variable Realf R-R

y=3 x+2

Grafico de una funcion Linealy=3 (0 )+2

y=0+2

y=2

y=3 (1 )+2 y=−3+2y=3+2 y=−1y=5

Interseccion Eje f(x)=2x-3

14

Varial Independiente

Varial Dependiente

X Y (X;Y)

1 5 (1;5)

0 2 (0;2)

-1 -1 (-1;-1)

X Y (X;Y)

0 -3 (0;-3)

3/2 0 (3/2;0)

Corrección1. Resuelva los siguientes ejerciciosSea el conjunto b=(1;3;5;7;9), la relacion definida sobre este conjunto dad por R, B-B tal que r={( x ; y ) ; x≥ y }

BxB={(1;1 ) , (1;3 ) , (1 ;5 ) , (1 ;7 ) , (1;9 ) , (3 ;1 ) , (3 ;3 ) , (3 ;5 ) , (3 ;7 ) , (3 ;9 ) , (5;1 ) ,(5 ;3 ) , (5 ;5 ) (5;7 ) , (5 ;9 ) (7 ;1 ) , (7 ;3 ) , (7 ;5 ) , (7 ;7 ) , (9;1 ) , (9 ;3 ) , (9 ;5 ) ,

(9;7 ) ,(9 ;9) }a)R por extensionR1= ( X ;Y ); X ≥ Y

R1={(1 ;1 ) (3 ;1 ) , (3 ;3 ) , (5 ;1 ) , (5 ;3 ) , (5;5 ), (7 ;1 ) , (7 ;3 ) ,(7 ;5 ) , (7 ;7 ) , (9 ;1 ) , (9;3 ) , (9 ;5 ) , (9 ;7 ) ,(9 ;9) }

b)Trazar el diagrama digital

B R

c)Determine Dominio-Rango

D= (1 ;3 ;5 ;7 ;9 ) R=(1;3 ;5 ;7 ;9)

d)Saque Relacion Inversa

R1−1={(1 ;1 ) (1 ;3 ) , (3 ;3 ) , (1 ;5 ) , (3 ;5 ) , (5 ;5 ) , (1 ;7 ) , (3 ;7 ) ,

(5 ;7 ) , (7 ;7 ) , (1 ;9 ) , (3; 9 ) , (5 ;9 ) , (7 ;9 ) ,(9; 9) }2. Un plano inclinado se eleva 1m en una distancia de 40m, determinar el angulo de elevacion

de dicho plano.

B=tan−1 140

B=1.43 º A=88.56 º

3. Encuentre los valores de las funciones: sen-cos-tan del angulo de 60º

c=√22+12

c=√3

15

1

3

5

7

9

1

3

5

7

9

sen=√32cos=1

2

tan=√3cyg= 1√3

=√33

sec=21=2csc= 2

√3=2√3

3

Actividad en Clase1. Graficar la siguiente funcion lineal1) x+ y=0

2) 3 x−2 y=12 y=3 x+1

y=3 x+12

3)x2+ y=1

2+ y=x y=x−2

4) 3 x−2 y=12 y=3 x+1

y=3 x+12

16

X Y (X;Y)

1 -1 (1;-1)

0 0 (0;0)

2 -2 (2;-2)

X Y (X;Y)

1 1 (1;1)

2 2.5 (2;2.5)

-1 -2 (-1;-2)

X Y (X;Y)

0 -2 (1;1)

2 0 (2;2.5)

X Y (X;Y)

1 1 (1;1)

2 2.5 (2;2.5)

-1 -2 (-1;-2)

2. Grafique las siguientes funciones

1)x3+ y=5

2)2x3

+ y=1

3) 3 x+1= y

4) y=2x−3

17

X Y (X;Y)

0 5 (0;5)

15 0 (15;0)

X Y (X;Y)

0 1 (0;1)

1.5 0 (1.5;0)

X Y (X;Y)

0 1 (0;1)

1 4 (1;4)

-1 -2 (-1;-2)

X Y (X;Y)

1 -1 (1;-1)

0 -3 (0;-3)

-2 1 (-2;1)

Consulta1. ¿Qué son los Intervalos?

Intervalo del latin intervallulm es un conjunto comprendido entre valores. Especificamente un intervalo real es un subconjunto conexode la recta real R, es decir una porcion de recta entre dos valoers dados.

Notacion Existen dos notaciones principales en un caso se utilizan los corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y parentesis; ambas notaciones estan descritas en el estandar internacional ISO 31-11.

-Intervalo Abierto: no incluye extremos-Intervalo Cerrado: incluye los extremos.Intervalo Semiabierto: incluye un solo extremo

Clasificacion

Se pueden clasificar los intervalos según caracteristicas topologicas(intervalos abiertos,cerrados,semiabiertos) o según sus caracteristicas metricas (Longitud: nulo, finita, no un, infinita).

La siguiente tabla resume ll casos posibles con a≤b, y x perteneciente al intervalo.

18

INTERVALOSDefinicion: Intervalo es un conjunto de numeros reales que se encuentran entre do limites llamados extremos.

Clasificacion: Se dividen en:

Intervalo Abierto: No incluye a los extremos: ( )

Intervalo cerrado: Incluye a los extremos: [ ]

Intervalo Semiabierto: Combinacion: ¿

Funciones Lineales Restringidas

F: R – Rf ( x )=2x−1 ; x∈ ¿

Grafique cada una de las siguientes funciones lineales

1. f ( x )=x+2 ; x∈ ¿

−1<x≤3

1<x≤5

2. f ( x )=x−3 ;x∈¿

−2<x≤ 4 −3<x ≤1

19

X Y (X;Y)

-3 -7 (-3;-7)

-2 -5 (-2;-5)

-1 -3 (-1;-3)

0 -1 (0;-1)

1 1 (1;1)

2 3 (2;3)

X Y (X;Y)

-1 1 (-1;1)

3 5 (3;-5)

X Y (X;Y)

-2 -5 (-2;-5)

4 1 (4;1)

Ecuacion simetrica de la recta

a=(a;0)

b=(0;a)

m=y2− y1x2−x1

m=b−00−a=

−ba Pendiente

bxab

+ ayab

=abab

y2-y1=m(x2-x1)xa+ y

b=1

y2-0=−ba (x2-a)

y=−ba

(x−a)

ay=+bx+ab

bx+ay=ab (÷ ab¿

Ejemplo:1) Determinar la ecuación de lar recta en su forma simetrica, sabiendo que su ecuación

general es: 3x+2y-6=0

3x6

+2 y6

=66

x2+ y3=1

a=b P1=(2; 0)

b=3 P2=(0 ;3)

2) Recta simétrica de: −7 x−9 y+11=0

−7 x−9 y=−11 a=117

P1=(117 ;0)

20

−7 x−11

+−9 y−11

=−11−11

=7 x11

+ 9 y11

=1 b=119

P2=(0 ; 119

)

Función CrecienteUna función se llama creciente si para todo X1 X2 elementos del dominio de la función cumple:

X1<X2 f(x1)<f(x2)

Función decrecienteUna función se llama decreciente si para todo X1,X2 elementos del f(x) se cumple que:

X1<X2 f(x1) > f(x2)

Ejemplo:Determinar si la siguiente recta: 3x+2y-3=0;x € [-3,7]; es creciente o decreciente

1) Despejar Y

2y=-3x+3

y=−32

x+32

2) Dominio

D=-3 ≤ x < 7

3) Determinar x1-x2

X1=-2

X2=6

4) Determinar f(x1) y f(x2)

f ( x )=−32

+ 32

f(x2)= -152

F(x1)= −32

x+32

F(x1)=92

Observacion: una función lineal es creciente cuando su pendiente es positiva, una función lineal es decreciente cuando su pendiente es negativa.

21

Deber #11. Resuelva los siguientes ejercicios1) 3x+2y-1=0 ;x€ (-3.5)

y=3 x−12 f ( x )=3 (−2 )−1

2=−72

f (x1 )<f ¿)

D=3<x<5

Distancia entre 2 puntos

. P(x1,y1)

P2(x2,y2)

Ejercicios de aplicación:1. Determinar la distancia entre 2 puntos :A(-2,3) B(6,-1)

2. Determinar la distancia entre los puntos : A(-2,3) B(4,-5)

3. Demostrar que los puntos A(3,8) B(-11,3) y C(-8,-2) son vértices de un triangulo isósceles

AB=√(−14 )2+(−5)2

AB=√221

22

AB=14.87 cm

BC=√(−2−3)2+(−8+11)2 Ac=√(−2−8)2+(−8−3)2

BC=√25+9 Ac=√100+121

BC=5.83 Ac=14.87

Deber Nº21) Resuelva los siguientes ejercicios

1) Distancia entre A(-2;-1) Y B=(4;5)

d=√(5+1)2+(4+2)2

d=√36+36 d=3√8

2) Distancia entre C(+3;5) y D(-1;-1)

d=√(−1−5)2+(−1+3)2

d=√36+4 d=6.32

3) Distancia entre E(1;2) y F(3;5)

d=√(5−2)2+(3−1)2

d=√9+4 d=3.61

23

4) Distancia entre G(-1;-2) y H(2;4)

d=√(4+2)2+(2+1)2

d=√36+9 d=3√5

5) Distancia entre I(-1;0) y J(6;1)

d=√(1−0)2+(6+1)2

d=√1+49 d=5√2

Ejercicio1) La ordenada del A(X;8) y su distancia AB=2√41; B(5;-2)

dAB=√(x−5)2+(8+2)2

√ x2−10x+25+100

(2√41)2=(√x2−10 x+125)2

x2−10 x−39=0

(x+3)(x-13)

X=-3 x=13

A(-3;8) A(13;2)

2) Un segmento rectilíneo de longitud S, uno de sus extremos R(3;-2). Si abcisa del otro R(b;y)

5=√(−2− y)2+(3−6)2

5=√ y2+4 y+4+9

25= y2+4 y+13

y2+4 y−12=0

( y+6 ) ( y−2 )=0

24

R=(6;-6)

R=(6;2)

Deber Nº31. Hallar la distancia entre los puntos A(-2,-1) y B(2,2)

dAB=√(2+2)2+(2+1)2

dAB=√(4)2+(3)2

dAB= 5

2. La distancia entre el P(-½,√3) y Q(½,2√3)

dAB=√(1)2+(1.73)2

dAB=√4 dAB= 2

3) Un segmento mide 5 un extremo es p(3;-2) y la absisa del otro extremo es b, halle y.

5=√(−2− y)2+(3−6)2

5=√ y2+4 y+4+9

25= y2+4 y+13

y2+4 y−12=0

( y+6 ) ( y−2 )=0

R=(6;-6)

R=(6;2)

4) Hallar el perímetro del triangulo cuyos vértices son A(1,3) y B(7,3) y C(-4,-3)

AB=√ (1−7 )2+(5+3)2

AB=√36+64 AB=10

BC=√(7+4 )2+(−3+3)2

BC=√121 BC=11

25

AC=√(1+4 )2+(5+3)2

AC=√25+64 AC=9.43

5) Demostrar que el cuadrilátero cuyos vértices son:

AB=√(−5+2)2+(0) AB=√9+16 AB=5

BC=√(0)2+(2+1)2

BC=√16+9 AB=5

AD=√(−5+1)2+(−2+5)2

AD=√16+9 AB=5

CD=√(2+1)2+(−1+5)2

CD=√9+16 CD=5

Punto Medio de un Segmento

AB=CDCB=ED

x−x 1=x2−x y− y1= y2− y

2x¿ x2−x12 y= y2− y1

x=x2+x12

y= y2− y12

Ejercicios:1. Hallar las coordenadas del medio del segmento AB, A=(7;-5) B=(5;3)

x=7+52y=−5+3

2 x=6 y=−1 c= (6 ;−1 )

26

Si el punto m del segmento AB es (3,2) y sabiendo que el punto A es (4,5). Hallar el punto B

x2=2 (3 )−4 y2=2 (2 )−5

X2=8 y2=-1

B(2;-1)

Deber#4Realizar 4 ejemplos de punto medio

1) Hallar las coordenadas del punto medio del AB

A=(1;2) B=(2;4)

Xm=1+22 ym=

2+32

Xm=1.5 ym=3

2) Hallar las coordenadas del segmento CD

C=(-2,1) D=(1,-4)

Xm=1−22 ym=

−4+12

Xm=−12 ym=

−32

3) Segmento DE

Xm=3+42 ym=

2−12

Xm=72 ym=

12

4) Segmento FG

27

Xm=−3+62 ym=

7−22

Xm=32 ym=

32

SISTEMAS DE ECUACIONESUn sistema de ecuaciones es un conjunto de las ecuaciones lineales con dos variables

1) x+3y=82) 2x-y=9

Resolver un sistema consiste en encontrar los valores de x;y de tal manera, que se mantenga l a igualdad. Entre los principales métodos de resolución de un sistema tenemos:

Método Grafico Método de Adición Método de sustracción Método de igualación

Metido GraficoConsiste en dibujar las dos ecuaciones en un mismo plano cartesiano. Este sistema no es tan preciso. Dentro de las posibilidades de solución tenemos las siguientes:

Verificación: para comprobar que los valores obtenidos son correctos, se debe remplazar, en las ecuaciones x;y de la igualdad.

Solución Únicaesta posibilidad se da cuando las 2 rectas se intersecan en un punto y la solución del sistema es las coordenadas del de intersección.

Infinitas SolucionesUn sistema tiene infinitas soluciones cuando al graficar la una recta coincide con otra.

28

Infinitas Soluciones

Sin Solucionesta posibilidad se da cuando las rectas son paralelas.

Sin Solucion

1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método grafico

x+3 y=8 -2 x− y=9

y=−x+83

y=2 x−9

(5 )+3 (1 )=82 (5 )−1=9 5+3=810−1=9

Deber1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando el método grafico2 x+ y=4 x+ y=3 y=−2x+4 y=−x+3

2 (1 )+2=41+2=3 2+2=0

2 x+3 y=0

29

X Y (X;Y)

2 2 (2;2)

5 1 (5;1)

X Y (X;Y)

3 -3 (1;-1)

5 1 (0;-3)

X Y (X;Y)

0 4 (0;4)

1 2 (1;2)

X Y (X;Y)

0 3 (0;3)

1 2 (1;2)

4 x+3 y=6

y=−2 x3

y=−4 x+63

2 (3 )+3 (−2 )=0 4 (3 )+3 (2 )=6 6−6=012−6=6

EXAMEN QUIMESTRALLas preguntas y enunciados que se presentan a continuación contienen cuatro opciones de respuesta, solo una es correcta, selecciónela pintando completamente el circulo correspondiente al literal elegido, ubicado al costado derecho.

1. Para que se mantenga la igualdad entre los siguientes pares ordenados (8;y+1)=(x+2;9), los valores que “x” y “y” deben tomar son:

A. 6;8B. -6;8C. 6;-8D. 6;9

2. Dados los conjuntos A=(x E Z / 3<X<6) y B=(x E Z / -2<X<1), el producto cartesiano AxB es:

A. ((4;1),(4;0),(5;1),(5;0))B. ((4;-1),(4;0),(5;1),(5;0))C. ((4;-1),(4;0),(5;-1),

(5;0))D. ((4;1),(4;0),(5;-1),(5;0))

3. Una relación es simétrica si sus elementos cumplen con la condición:A. aRb ->bRbB. aRbbRaC. aRbaRaD. aRabRb

4. La siguiente función lineal f(x)=2x+3 es:A. Creciente y DecrecienteB. ConstanteC. Decreciente

30

X Y (X;Y)

0 3 (0;3)

1 5 (1;5)

m=5−31−0

m=21

A=(4 ;5 ) B= (−1;0 )

A B

4 -1

5 0

AxB=¿)

X Y (X;Y)

1 -2/3 (1;-2/3)

3 -2 (3;-2)

X Y (X;Y)

2 0 (2;0)

3 -2 (3;-2)

D. Creciente

5. La distancia entre P=(−12 ;√3)Y Q=( 12 ;2√3) , es :

A. 3B. 2C. √3D. √2

6. Las coordenadas del punto medio del segmento entre los puntos A=(3;2) y B=(5;4) son:

A. Pm=(4;3)B. Pm=(3;4)C. Pm=(-4;3)D. Pm=(4;-3)

7. La ecuacion de la recta pasa por los puntos P1=(2;-3) y P2=(0;4) es:A. −7 x+2 y−8=0B. 7 x−2 y−8=0C. 7 x+2 y−8=0D. 7 x+2 y+8=0

8. El valor que debe tomar k en la recta x+ky+1=0 que tenga pendiente 3, es:

A.13

B.−13

C. 3D. -3

9. Determinar la ecuacion de una recta que pasa por el punto (13;-2) y es paralela a la resta 3x+54y-12=0.

A. x+18 y−23=0B. x−18 y+23=0C. x−18 y−23=0D. x+18 y+23=0

10. El hilo que sostiene una cometa, tiene de loongitud 250m y su angulo de inclinacion es de 40º. La altura a la que se encuentra la cometa suponiendo que el hilo que la sostiene se mantiene recto, es:

31

√( 12+ 12 )2

+(2√3−√3 )2

√1+3=√4=2

x=3+ 52

y=2+ 42

x=4 y=3

Pm=(4 ;3)

y+3=−72

(x−2)

2 y+6=−7 x+14

7 x+2 y−8=0

ky=−x−1

y=−x−1k

3=−1k

3k=−1

k=−13

y+2=−118

( x−13 )

18 y+36=−x+13

X+18 y+23=0

A. 160.7mB. 191.5mC. 209.7mD. Ninguna de las anteriores

32

sen40 °= a250

sen40 °∗250=a

a=160.7m

2DO QUIMESTREMétodo de adición.....................................................................................................................37

Ejemplo:..............................................................................................................................37

Problemas con sistemas de ecuaciones..............................................................................38

Método de igualación.............................................................................................................42

Ejemplo:..............................................................................................................................42

INECUACIONES...........................................................................................................................43

Ejemplo :............................................................................................................................43

Propiedades.......................................................................................................................43

Actividad en Clase...............................................................................................................43

FUNCIONES LINEALES.............................................................................................................44

FUNCIONES CUADRATICAS.........................................................................................................45

Metodo de Completacion del Cuadrado.................................................................................45

Ejemplos:...........................................................................................................................46

Actividad en clase Nº3: Encuentre el valor de la x..............................................................46

Consulta.............................................................................................................................47

RESOLUCION DE FUNCIONES CUADRATICAS..............................................................................49

Resolución de ecuaciones cuadráticas por la formula general...............................................49

Ejemplo:..............................................................................................................................49

Deber..................................................................................................................................49

PROPIEDADES DE LAS RAICES DE UNA ECUACION CUADRATICA................................................51

Actividad en clase Nº1........................................................................................................51

Deber Nº.............................................................................................................................51

CARÁCTER DE LAS RAICES DE UNA ECUACION CUADRATICA......................................................53

Actividad en Clase Nº2.......................................................................................................53

Deber Nº.............................................................................................................................54

ANALISIS DE FUNCIONES............................................................................................................55

Función Lineal.........................................................................................................................55

Dominio y Recorrido de Función Lineal...............................................................................55

Signos de una Función Lineal..............................................................................................55

Función Cuadrática.................................................................................................................57

Eje de Simetría....................................................................................................................58

Vértice................................................................................................................................58

33

Punto Máximo....................................................................................................................59

Punto Mínimo.....................................................................................................................59

Intersección con el eje x (raíces).........................................................................................59

Dominio y Recorrido...........................................................................................................60

Signos de f(x)......................................................................................................................60

Actividad en Clase Nº.........................................................................................................60

34

Método de adiciónPara resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de adición se puede considerar el siguiente proceso:

1. Obtener coeficientes del mismo valor pero de signo contrario en una de las variables2. Adicionar las ecuaciones y eliminar una de la variables3. Resolver la nueva ecuación obtenida y encontrar el valor de la variable4. Sustituir en cualquier ecuación del sistema, el valor de la variable encontrado ene el

paso anterior y determinar el valor de la otra variable.

Ejemplo:2 x+ y=4(2)

5 x−2 y=1

4 x+2 y=82 (1 )+ y=4

5 x−2 y=12+ y=4

9 x=9 y=4−2

x=99

y=2

x=1

5 x−2 y=1(5)

3 x+5 y=−18(2)

25 x−10 y=55 (−1 )+2 y=1

6 x+10 y=−36−5+2 y=1

31 x=−312 y=6

x=−1 y=−3

2 x+ y=4(2)

5 x−2 y=1

4 x+2 y=82 (1 )+ y=4

5 x−2 y=12+ y=4

9 x=9 y=2

x=1

35

Problemas con sistemas de ecuaciones1. Encontrar dos números cuya suma es 28 y la diferencia es 4.

x+ y=28

x− y=4

2 x=3216− y=4

x=32216−4= y

x=1612= y

2. El largo de un rectángulo es 4 m más que el ancho, el perímetro es 64 m. encuentre las dimensiones del rectángulo.

4+X=Y

2 X+2Y=64

X−Y=−4(2)

2 X+2Y=64

2 X−2Y =−8

2 X+2Y=64

4 X=564+14=Y

X=14Y=18

3. Un avión viaja a 700 millas/h con el viento a favor; y a 500 millas/h con el viento en contra. calcular la velocidad del avión en aire y del viento

x+ y=700

y−x=500

2 y=1200

y=600

x+600=700

x=700−600

x=100

36

4. Se donaran0 ,60 ctvs. por cada entrada de mayores y cada 0,40 ctvs. por cada niño. si asistieron 250 personas y la donación fue $128, calcula cuantas entradas de mayores y cuantas de niños se vendieron.

x+ y=250 (0,4) 140+ y=250

0,6 x+0,4 y=128 y=250−140

y=140

−0,4 x−0,4 y=−100

0,6 x+0,4 y=128

0,2 x=128

x=140

5. Un auto recorre 35 km por galon en la ciudad y 40 km en carretera, si realizo un viaje en el que gasto 25 galones de gasolina y recorrió 900 km , determinar cuantos kilometro recorrió en la ciudad y cuantos en la carretera.

40 x+35 y=900 x+20=25

x+ y=25 (-40) x=25−20

x=5

40 x+35 y=900

−40x−40 y=−1000

−5 y=−100

y=20

6. Se tienen 2 ángulos complementarios. El ángulo mayor es el doble del menor, más 9. Cuál es la medida de cada ángulo.

x+ y=90

2 y+9=xx+27=90

x+ y=90 x=9 y− yx=90−27

x−2 y=9 x=63

90− y−2 y=9

−3 y=9−90−3 y=−81

y=27

37

7. Las edades de un padre y su hijo suman 70 años. Hace 10 años, la edad del padre era el cuádruplo de la edad del hijo. ¿Cuál es la edad del padre y cual la dl hijo?

x+ y=70 x+12=70

x−10=4 y x=90−27

x+ y=70 (-1) x=63

x−4 y=10

−x− y=−70

x−4 y=10

−5 y=−60

y=12

8. El triplo de un número excede en 5 al duplo de otro, mientras que 4 veces el segundo excede en 3 a cinco veces el primero. Hallar lo0s números.

3 x=2 y+54 y=3+5 (13 )

4 y=3+5 y 4 y=68

3 x−2 y=5 (-2) y=17

5 x−4 y=−3

−6 x+4 y=−10

5 x−4 y=−3

−x=−13

x=13

9. Una persona invierte un capital de $ 6000. Una parte del mismo lo coloca obteniendo in interés del 5%, y la otra parte coloca en un negocio que le deja una perdida del 3%. Sabiendo que recibe como ganancia anual, del capital total 60 dólares, hallar cada una de las cantidades invertidas.

x+ y=6000 x+ y=60002000+ y=6000

5 x100

− 3 y100

=605 x−3 y=6000 y=6000−2000

x+ y=60006 x=12000 y=4000

5x−3 y100 =60 x=2000

38

10. Hallar dos ángulos suplementarios, si la medida del mayor es 4 veces la del menor.

x+ y=180 x+ y=180

4 y=x−x+4 y=0

x+36=1805 y=180

x=180−36 y=36

x=144

11. Hallar dos ángulos cuya razón es de 3 a 7, y son complementarios

x+ y=90 x+ y=90 (-3) 27+ y=90

x3= y7−7 x+3 y=0 y=63

−7 x+3 y=0−3 x−3 y=−270

−7 x+3 y=0

−10 x=−270

x=27

39

Método de igualaciónPara resolver un sistema de ecuaciones con dos variables por el método de igualación se recomienda seguir los siguientes pasos:

1. Despejar una de las variables en las dos ecuaciones 2. Igualar los resultados obtenidos en el paso anterior 3. Resolver la nueva ecuación obtenida y encontrar el valor de la variable.4. Sustituir el valor encontrado en cualquier ecuación del sistema y encontrar el valor de

la otra variable

Ejemplo:2 x− y=20

2 x+ y=48

x=20+ y2

2 x−14=20

x=48− y2

2 x=20+14

20+ y2

=48− y2

2x=34

20+ y=48− yx=17

2 y=28

y=14

5 x−2 y=1

3 x+5 y=−18

x=1+2 y5

x=−18−5 y3

5 x−2 (−3 )=1

3+6 y=−90−25 y5 x+6=1

3+90=−6 y−25 y5 x=−5

−9331

= yx=−1

y=−3

40

INECUACIONES3׆2=5 - Ecuación

› Mayor que

‹ Menor que

3׆2 = ≥ Mayor o igual que

≤ Menor o igual que

Ejemplo : 3×+2 > 5

7x-2<4x + 1

7x + 3 ≤ 1

2x-2 ≤ 3

PropiedadesSean X, Y, Z, C números reales , cualquiera se cumple que :

X > Y Y < X Ejemplo : 5 > 3 – 3 <5

X< Y ; Y < Z X < Z Ejemplo : 2<3 ; 3 >5 ; -2<5

X > y < + C > Y + C Ejemplo: 7 > 2 7 + 3 > 2 + 3

7 >2 10 + 5

7-3 > 2 -3

4> -1

X > Y X • C> Y • C ; C >0 (+) Ejemplo: 6 > 3 6 (2) > 3 (2)

12> 6

X> Y X • C < •C C < 0 ( - ) Ejemplo: 4 >2 ( 4-1 ) ( 2(-1))

-4 < -2

Actividad en ClaseResuelva las siguientes inecuaciones

3x + 2 > - x + 5

3x + x > 5 -2

4x > 3

X>32

41

2 y3

+ 25

≥ x2−34 MCM : 60

60 6 y3

+60 25

≥60 x2−60 3

4

40x + 2y ≥ 30x – 45

40x – 30 x > 45 – 2Y

10x > 69

X ≥ −6910

x2−3< 2 x

5−12 n mcm : 10

10( x2 )−10 (2 x

1 )>10( 2 x5 )−10( 12 )

5x – 30 > 4x – 2

5x -4 > -2 + 30

-1x > 28

X = 28

42

FUNCIONES LINEALESUna inecuación lineal con 2 variables , se puede expresar de las siguientes formas .

Ax + By + C > 0 Ejemplo : 3x + 2y – 3 > o Ax + By + C < 0 Ejemplo : -x -2y -4 <0 Ax + By + C ≥ 0 Ejemplo : 2x – 3y ≥ -7 Ax + By +C ≤ 0 Ejemplo : -x ≤ 3y +2

Resolver una inecuación lineal consiste en resolver los valores que pueden tomar las variables , para que se siga manteniendo la desigualdad .

DETERMINAR

1er pasó: Cambiar los símbolos de desigualdad igual .

2do pasó: despejar la “y “ Y = 3 • 3x

3er pasó: Tabla de valores

X Y ( X;Y)0 0 (0;3)-1 0 (1;0)-1 6 (-1;6)

5to paso: Determinar la zona de la solución

3( -2) + (-4)> 3 3x + Y ≥ 3

-6-4 ≥ 3 3(3) + 2 ≥ 3

-10 ≥ 3 9+2 ≥ 3

11 ≥ 3

Si la distancia tiene los símbolos > o < ; la línea recta se dibuja para su solución va en forma punteada.

Este quiere decir que los puntos que pertenecen a la recta no se parten de la solución. Si la inecuación tiene los símbolos ≥ o ≤ , la línea recta que representa la solución va en

forma continua ; esto quiere decir que los puntos que pertenecen a la recta son parte de la solución .

43

FUNCIONES CUADRATICAS

Metodo de Completacion del CuadradoEl método de complementación del trinomio cuadrado perfecto consiste en formar un trinomio cuadrado perfecto, sumando a ambos lados de la expresión el termino ¿)2 con a=1.

Ejemplos:

1) Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de complementación:

6 x2+11x−10=0

1er Paso: Hacer a = 1.

66

x2+116

−53=0

2do Paso: Pasar c al otro lado.

x2+ 116

x=53

3er Paso: Sumar la expresión ¿)2 a ambos lados.

(

1162

)

2

=121144

X2+ 116

X+ 121144

=53+ 121144

4to Paso: Resolver el Trinomio Cuadrado Perfecto y encontrar la raíz

(x+ 1112

)2

=361144

√(x+ 1112

)2 = √ 361144

(x+ 1112 )=± 19

12

12 x+11=19

12 x=8

x=32

12 x+11=−19

12 x=−30

x=−52

Actividad en clase Nº3: Encuentre el valor de la x

1) x2+8 x+12=0

x2+8 x+12=−12+6

( x+4 )2=4

x+4=√4x+4=2

x=2−4

x=−2

x+4=−2

x=−2−4

x=−6

44

2) x2+4 x−21=0

x2+4 x=21

x2+4 x+4=21+4

( x+2 )2=25

x+2=√25x+2=5

x=3

x+2=−5

x=−5−2

x=−7

3) x2−10 x+24=0

x2−10 x=-24

x2−10 x+25=−24+25

( x−5 )2=1

x−5=1

x=6

x−5=−1

x=5−1

x=4

4) 15 x2+8x−12=0

1515

x2+ 815

x−1215

=0

x2+ 815

x=45

x2+ 815

x+ 16225

=45+ 16225

(x+ 415 )

2

=196225

x+ 415

=√ 196225x+ 415

=1415

x+ 415

=1415

x=−415

+ 1415

x=23

x+ 415

=−1415

x=−65

Consulta1) Deducción de la formula para la resolución de ecuaciones cuadráticas

La ecuación canónica de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente principal, de forma que

Si usamos otras letras para simplificarlo de forma que   y   la demostración (que es algo más sencilla) queda como sigue:

Desde la ecuación

Transponiendo n

45

Sumando   a ambos términos

Simplificamos el primer término a un binomio cuadrado

Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros

Transponiendo   y simplificando la fracción de la raíz

Simplificando a común denominador

si deshacemos el cambio de variables, obtenemos el resultado

46

RESOLUCION DE FUNCIONES CUADRATICAS

Resolución de ecuaciones cuadráticas por la formula general

Formula General

Datos:

a= Coeficiente de la variable cuadráticab=Coeficiente de la variablec=Variable Independiente

Ejemplo:Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas aplicando la formula generalf ( x )=3 x2−8 x−3

x=8±√(−8)2−(4∗3∗−3)2(3)

x1=8+106

x2=8−106

x1=3 x2=−13

Deber1) Resuelva los siguientes problemas

1) 6 x2+13x−5=0

x=−13±√13−4∗6∗−512

x=−13+1712

x=−13−1712

x=−13

x=−52

2) 4 x−21x−18=0

x=+21±√21−4(4∗−18)8

x=21+278

x=21−278

x=488

x=−34

3) x2+0.3=1.3 x

10 x2−13x+3=0

47

x=+13±√132−4(10∗3)20

x=13+4920

x=13−4920

x=3110

x=−95

4) x2+2.9 x+1=0

10 x2+29 x+10=0

x=−29±√292−4 (10∗10)20

x=−29+2120

x=−29−2120

x=−25

x=−52

5)x

x+1=1− x

x+4

x2+ x±4=0

x=−0±√0−4(1∗−4 )2

x=0+42

x=0−42

x=2 x=−2

6)2x+13

x+1− x+1

x−1= x+2

x−2

5 x2−31x+30=0

x=−31±√312−4(5∗30)10

x=−31+1910

x=−31−1910

x=5 x=65

48

PROPIEDADES DE LAS RAICES DE UNA ECUACION CUADRATICA

Actividad en clase Nº1Determinar la ecuación de la recta

1) x1=−1 ; x2=7

-1+7=6 ; -1*7=-7 x2−6 x−7=0

2) x1=8 ; x2=−1

8-1=7 ; 8*-1=-8 x2−7 x−8=0

Deber Nº1. Encuentre la ecuación mediante los resultados 1) X1=8 ; X2=−1

8−1=7 ;−ba

x2−7 x−8=0

8∗−1=−8 ; ca

2) X1=10; X2=−8

10−8=2 ;−ba

x2−2 x−80=0

10∗−8=−80 ; ca

3) X1=3; X2=−1

3−1=2 ;−ba

x2−2x−3=0

3∗−1=−3 ; ca

49

RaícesX1 ; X2

Propiedades

Suma (S) Resta (R)

x1+ x2=−ba

x1∗x2=ca

4) X1=7 ; X2=−10

7−10=−3 ;−ba

x2+3 x−70=0

7∗−10=−70; ca

5) X1=10; X2=−7

10−7=3 ;−ba

x2−3 x−70=0

10∗−7=−70; ca

6) X1=7 ; X2=−9

7−9=−2;−ba

x2+2 x−63=0

7∗−9=−63 ; ca

7) X1=2; X2=−9

2−9=−7 ;−ba

x2+7 x−18=0

2∗−9=−18; ca

8) X1=6 ; X2=−3

6−3=3 ;−ba

x2−3 x−18=0

6∗−3=−18 ; ca

9) X1=15

; X2=−13

15−13=−215

;−ba

x2+ 215

x− 115

=0

15∗−1

3=−115

; ca

10) X1=−94

; X2=−95

50

−94

−95=−8120

;−ba

x2+ 8120

x+ 8120

=0

−94

∗−9

5=8120

; ca

CARÁCTER DE LAS RAICES DE UNA ECUACION CUADRATICA

Actividad en Clase Nº2Dadas las siguientes ecuaciones cuadráticas. Determinar de que tipo son las raíces

1) 3 x2−7 x+6=0

D=√(−7 )2−4 (3∗6 ) Tiene soluciones imaginarias

D=−23

2) 2 x2−5 x−7=0

D=√(−5 )2−4 (3∗−7 ) Tiene 2 soluciones reales, distintas

D=81

3) 9 x2+12x+4=0

D=√(12 )2−4 (9∗4 ) Tiene 1 solución real

D=0

51

ax2+xb+c=0

DiscriminanteD = b2-4ac

D > 0 D = 0 D < 0

Tiene 2 soluciones que pertenecen a los Reales

y son diferentes

Tiene una solución que pertenece a los Reales

Las solución es pertenecen a los Irreales,

sin solución Real

Deber NºDeterminar cuántas soluciones tiene las siguientes funciones cuadráticas

1) x2+3x−4=0

D= (3 )2−4 (−4 ) Tienes 2 soluciones R, distintas

D=25D>0

2) 9 x2−6 x+1=0

D= (−6 )2−4 (9 ) Tienes 1 solución R

D=0D=0

3) x2+ x=20

D= (1 )2−4 (−20 ) Tienes 2 soluciones R, distintas

D=81D>0

4) x2=1−3 x

D= (3 )2−4 (−4 ) Tienes 2 soluciones R, distintas

D=25D>0

5) x2+3x−4=0

D= (3 )2−4 (−4 ) Tienes 2 soluciones R, distintas

D=25D>0

52

ANALISIS DE FUNCIONES

Función LinealUna función lineal es de la forma f(x)=mx+b o y=mx+b, en donde m =pendiente, y b=ordenada al origen, o punto de corte con el eje “y”. Si la pendiente m es positiva, la recta se inclina hacia la derecha; y si m es negativa, la recta se inclina hacia la izquierda.

Dominio y Recorrido de Función LinealEl dominio son todos los valores que pueden tomar x. en el caso de esta función serán todos los números Reales. El recorrido de una función lineal son todos los valores que puede tomar y, en función de x, para este caso será los números Reales.

Signos de una Función LinealUna función puede ser positiva en y, en un determinado intervalo, y menor en el otro lado.

Ejemplo:

1. Dados los siguientes, funciones lineales determinar:a) Grafica de la funciónb) Tipo de Pendientec) Intersección con el ejed) Recorrido y Dominio de la funcióne) Signos de la función

1.- y=2x−1

X Y (X;Y)

1 1 (1;1)

2 3 (2;3)

b)m=2,Pendiente +, inclina a la derecha

c) b=-1, corta en -1 en el eje Y + - ∞

d) D=R,R=R

e) x=1/2

53

2.- y=12

x−2

X Y (X;Y)

2 -1 (2;-1)

4 0 (4;0)

b) m =1/2, Pendiente +, inclina a la derecha

c) b=-2, corta en -2 en el eje Y

d) D=R, R=R

e) x = 4

3.- y=−3x+1 ; xe [−2 ;3 ]

X Y (X;Y)

-2 7 (-2;7)

3 -8 (3;-8)

b) m =-3, Pendiente -, inclina a la izquierda

c) b=1, corta en 1 en el eje Y

d) D=[−2 ,−1,0 ,+1 ,+2 ,+3 ], R=[−8… ..+7 ]

e) x = 1/3

54

Función CuadráticaUna función cuadrática es de la formula f(x)=ax2+bx+c o y=ax2+bx+c, donde a,b,c pertenecen a los números Reales y además a≠0; la grafica de una función cuadrática es una parábola, hacia arriba o hacia abajo.

Hacia donde se abre la parábola lo determina la a. si a>0 se abre hacia arriba en cambio Si a<0, se abre hacia abajo. El coeficiente c de la función cuadrática, nos indica el punto de intersección con el eje y.

y=x2+x-2

55

Eje de SimetríaEs una línea imaginaria que divide en 2 partes iguales, a la parábola y se la determina

por medio de la expresión x=−b2a

VérticeEs una parábola que se abra hacia arriba al punto mas bajo, y en una parábola que se abre hacia abajo al punto mas alto, es el vértice.

Para determinar las coordenadas del vértice se utiliza la expresión x=−b2a con

respecto al eje de las x, y para determinar l coordenada en el eje y se sustituye el valor encontrado en x en la función.

56

Punto MáximoEn una parábola que se abre hacia abajo al punto más alto (vértice) se lo llama también punto máximo.

Punto MínimoEs una parábola que se abre hacia arriba al punto mas bajo (vértice) se lo llama también punto mínimo.

Intersección con el eje x (raíces)Para obtener los puntos de intersección con el eje x, se debe reemplazar el f(x) por la y, por 0 obteniéndose de esta manera una ecuación cuadrática, la misma que debe ser resuelta por cualquiera de los métodos (factorización, completacion, f. general).

57

Dominio y RecorridoEl dominio son todos los valores que puede tomar x para encontrar su respectiva y.

El recorrido son todos los valores que puede tomar y en f(x). en el caso de la función cuadrática hay dos posibilidades.

1ra Posibilidad, si la parábola se abre hacia arriba el recorrido será el intervalo desde la coordenada y (vértice) hasta el infinito positivo

2da Posibilidad, si la parábola se abre hacia abajo el recorrido será el intervalo desde la coordenada y (vértice) hasta el infinito negativo o también en viceversa.

Signos de f(x)Una función cuadrática puede ser positiva o negativa dependiendo del intervalo en el que se encuentre x.

58