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Ejercicios de álgebra y análisis resueltos

Problema 1:

Sea la función

a) ¿Existe algún valor del parámetro a para el que f(x) sea continua en x = 0?

b) Para a = 2 comprueba si x = 1/2 es asíntota vertical de f(x)

Problema 2:

Los beneficios anuales B(x), en miles de euros, previstos por una empresa para los próximos años vienen dados por la siguiente función, donde x representa el número de años a partir del actual:

a) ¿Cuántos años han de transcurrir para que la empresa obtenga el máximo beneficio y cuál es el valor de dicho beneficio? Justifica que es máximo.

b) ¿Puede esta empresa tener pérdidas algún año? ¿Por qué?

Problema 3:

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependientes del parámetro real k

Se pide:

a) Discute el sistema para los distintos valores de k

b) Resuelve el sistema en los casos que sea posible.

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Problema 4:

En una confiteria se dispone de 24 kg de polvorones y 15 kg de mantecados, que se envasan en dos tipos de caja del modo siguiente:

• Caja tipo 1: 200 g de polvorones y 100 g de mantecados. Precio: 4 euros

• Caja tipo 2: 200 g de polvorones y 300 g de mantecados. Precio 6 euros

¿Cuántas cajas de cada tipo se tendrán que preparar y vender para obtener el máximo de ingresos? ¿Cuál es el importe de la venta?

Problema 5:

Encuentra el valor de a que hace que la siguiente matriz no tenga inversa:

Problema 6:

Se considera la función , obtén la expresión de la recta tangente a dicha función en x = 3

Problema 7:

Sean las matrices:

Halla el producto de A por B

Problema 8:

Un hombre le dice a su esposa: ¿Te has dado cuenta que desde el día de nuestra boda hasta el día del nacimiento de nuestro hijo transcurrieron el mismo número de años que desde el

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día del nacimiento de nuestro hijo hasta hoy? El día del nacimiento de nuestro hijo la suma de nuestras edades era de 55 años. La mujer le replicó: “Me acuerdo que en ese día del nacimiento de nuestro hijo, tú tenías la edad que yo tengo ahora y además recuerdo que el día de nuestra boda el doble de la edad que tu tenías excedía en 20 años a la edad que yo tengo hoy. Halla las edades actuales de ambos.

Problema 9:

Resuelve las siguientes cuestiones

a) Determina el valor de a para que la siguiente función sea continua en x = –1

b) Estudia la continuidad de la función anterior en el caso a = 0

Problema 10:

Dentro del triángulo limitado por los ejes X, Y y la recta 2x + y = 8, se inscribe un rectángulo de vértices (0,0), (a,0), (a,b) y (0,b). Determina el punto (a, b) al que corresponde un área máxima.

Problema 11:

Sea la matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales y la matriz de sus términos independientes. Se pide:

a) Escribe las tres ecuaciones que forman el sistema.

b) Obtén todas las soluciones del sistema.

Problema 12:

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Una refinería de petróleo adquiere dos tipos de crudo, ligero y pesado, a un precio de 70 euros y 65 euros por barril, respectivamente. Con cada barril de crudo ligero la refinería produce 0,3 barriles de gasolina 95; 0,4 barriles de gasolina 98 y 0,2 barriles de gasoil. Asimismo, con cada barril de crudo pesado produce 0,1; 0,2 y 0,5 barriles de cada uno de estos tres productos, respectivamente. La refinería debe suministrar al menos 26300 barriles de gasolina 95, 40600 barriles de gasolina 98 y 29500 barriles de gasoil. Determina cuántos barriles de cada tipo de crudo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades de producción con un coste mínimo y calcula éste.

Problema 13:

Encuentra la matriz A que verifica:

Problema 14:

Se considera la función f(x) = ax3 + b • ln x siendo a y b parámetros reales. Determina los valores de a y bsabiendo que f(1) = 2 y que la derivada de f(x) es nula en x = 1

Problema 15:

Sea

a) Calcula A2 y expresa el resultado en función de la matriz identidad.

b) Utiliza la relación hallada con la matriz identidad para calcular A2005

Problema 16:

Una familia dispone de 80 euros mensuales para realizar la compra en una carnicería. El primer mes compran10 kg de carne de pollo, 6 kg de carne de cerdo y 3 kg de ternera y les sobran 3,1 euros. El siguiente mes adquieren 10 kg de carne de pollo, 7 kg de carne de cerdo y 2 kg de carne de ternera y les sobran 5,1 euros. El tercer mes compran 11 kg de carne de

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pollo, 6 kg de carne de cerdo y 2 kg de carne de ternera, abonando un total de 72 euros y 30 céntimos. Suponiendo que no ha variado el precio de la carne en estos meses, ¿cuánto cuesta el kg de carne de pollo, cerdo y ternera?

Problema 17:

Se considera la función f (x) = – 2x3 – 2ln x. Calcula:

Problema 18:

La función representa, en miles de euros, el beneficio neto de un proceso de venta, siendo x el número de artículos vendidos. Calcula el número de artículos que deben venderse para obtener el máximo beneficio y determina dicho beneficio máximo.

Problema 19:

Discute el siguiente sistema para todos los valores del parámetro a

Problema 20:

Una papeleria quiere liquidar hasta 78 kg de papel reciclado y hasta 138 kg de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes, A y B. Los lotes A están formados por 1 kg de papel reciclado y 3 kg de papel normal y los lotes B por 2 kg de papel de cada clase. El precio de venta de cada lote A es de 0,9 euros y el de cada lote B es de 1 euro. ¿Cuántos lotes A y B debe vender para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto ascienden estos ingresos máximos?

Soluciones

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Problema 1:

a) La función f(x) está definida por una función polinómica que es continua en su dominio y por una función racional que es continua en su subdominio siempre que el denominador sea distin-to de cero. Como el denominador depende del parámetro a, se estudia el caso en x = 0

Para que sea continua en Se estudian los límites laterales:

Para a = 1/2, la función es continua en x = 0

b) 

Problema 2:

a) B’(x) = 0   – 25x2 + 400 = 0   x = 4, x = – 4 (la solución negativa no tiene sentido)

En el cuarto año se alcanza el máximo que es 3125 eurosb) Como Luego la empresa no puede tener pérdidas ningún año.

Problema 3:

Sistema homogéneo.a) Discusión:

Para k ≠ –8   R(C) = R(A) = nº de incógnitas = 3, sistema compatible determinado.Para k = –8, se estudia el rango de la matriz de los coeficientes C, R(C) = 2 < nº de incógnitas, sistema compatible indeterminado.b) Para k ≠ –8; la solución única es: x = y = z = 0Para k = – 8; la solución es x = z/19, y = 7z/19En paramétricas x = λ/19, y = 7λ/19, z = λ, λ   R

Problema 4:

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a) Tabla con los datos del problema.  Caja tipo 1 Caja tipo 2 Restricciones

 Nº de cajas x y x ≥ 0; y ≥ 0Polvorones 0,2x 0,2y 0,2x + 0,2y ≤ 24Mantecados 0,1x 0,3y 0,1x + 0,3y ≤ 15Ingresos 4x 6y f(x, y) = 4x + 6y Máximob) Región factible.

c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. O(0, 0); A(120, 0); B(105, 15); C(0, 50). El máximo es f(105, 15) = 510 eurosd) La solución óptima es B(105, 15), es decir, x = 105 cajas tipo 1 e y = 15 cajas tipo 2. Ingre-sos = 510 euros

Problema 5:

La matriz M no tiene inversa cuando su determinante sea cero.|M| = – a + 6; – a + 6 = 0   a = 6Para todo valor de a ≠ 6 la matriz M tiene inversa y para a = 6, no tiene inversa.

Problema 6:

Ecuación punto pendiente: y – f(a) = f’(a)(x – a)

y – 3 = – 2(x – 3)   y – 3 = – 2x + 6   y = – 2x + 9

Problema 7:

Problema 8:

  Edad en la boda Nace el hijo en z años Edad actual

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Padre x x + z x + 2zMadre y y + z y + 2z

El padre tiene actualmente 25 + 10 = 35 años y la madre tiene 20 + 10 = 30 años.

Problema 9:

a) Para que la función sea continua en Se estudian los límites laterales:

b) Para a = 0 se tiene:

Se estudian los límites laterales:

Se estudian los límites laterales:

 la función no es continua en x = 1

Problema 10:

a) Datos, incógnitas y dibujo.

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b) Función que hay que maximizarf(a, b) = a • bsujeta a la restricción: 2a + b = 8   b = 8 – 2ac) Se escribe la función con una sola variablef(a) = a • (8 – 2a) = 8a – 2a2

d) Se calculan los máximos y los mínimosf’(a) = 8 – 4a; 8 – 4a = 0   a = 2e) Se comprueba en la 2ª derivadaf’’(a) = – 4   f’’(2) = – 4 < 0 (–) Para a = 2 se alcanza el máximo.f) SoluciónEl área máxima se alcanza para a = 2, b = 4. El punto es (2, 4)

Problema 11:

a) Escribimos el sistema en forma matricial, hacemos el producto e igualamos los elementos de las dos matrices columna.

b) Resolvemos el sistema por Gauss

En paramétricas x = λ, y = 0, z = 1 – 2λ, λ   R

Problema 12:

a) Tabla con los datos del problema.  Crudo ligero Crudo pesado Restricciones

 Nº de barriles x y x ≥ 0; y ≥ 0Gasolina 95 0,3x 0,1y 0,3x + 0,1y ≥ 26300Gasolina 98 0,4x 0,2y 0,4x + 0,2y ≥ 40600Gasoil 0,2x 0,5y 0,2x + 0,5y ≥ 29500Coste 70x 65y f(x, y) = 70x + 65y Mínimob) Región factible.

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c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. A(147500, 0); B(90000, 23000); C(60000, 83000); D(0, 263000). El mínimo es f(90000, 23000) = 7795000 eurosd) La solución óptima es B(90000, 23000), es decir, x = 90000 barriles de crudo ligero e y = 23000 euros barriles de crudo pesado. Coste = 7795000 euros

Problema 13:

Problema 14:

f(1) = 2   a • 13 + b • ln 1 = 2   a • 1 + b • 0 = 2   a = 2f’(x) = 3ax2 + b/x, como f’(1) = 0   3a • 12 + b/1 = 0   3a + b = 0   b = – 3a   b = – 6

Problema 15:

a) b) Si A2 = – I2, entonces A3 = A • (–I2) = – A; A4 = – I2 • (–I2) = I2   la matriz A es cíclica de or-den 4. Dividiendo 2005 entre 4 queda de resto 1   A2005 = A1 = A

Problema 16:

Precio del kg de carne de pollo: xPrecio del kg de carne de cerdo: yPrecio del kg de carne de ternera: z

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El pollo cuesta 2,5 euros/kg, el cerdo, 5,1 euros/kg y la ternera, 7,1 euros/kg

Problema 17:

Problema 18:

 (el resultado negativo no tiene sentido)B(4) = 1   A(4, 1)

 es un máximo relativo.Para 4 artículos vendidos se obtiene el máximo beneficio que son 1000 euros

Problema 19:

Discusión:

Para a ≠ 4, a ≠ –2/3   R(C) = R(A) = nº de incógnitas = 3, sistema compatible determinado.Para a = 4, R(C) = R(A) = 2 < nº de incógnitas, sistema compatible indeterminado.Para a = –2/3, R(C) = 2 < R(A) = 3, sistema incompatible.

Problema 20:

a) Tabla con los datos del problema.  Lote A Lote B Restricciones

 Nº de lotes x y x ≥ 0; y ≥ 0kg papel reciclado x 2y x + 2y ≤ 78kg papel normal 3x 2y 3x + 2y ≤ 138Ingresos 0,9x y f(x, y) = 0,9x + y Máximob) Región factible.

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c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. O(0, 0); A(46, 0);B(30, 24); C(0, 39). El máximo es f(30, 24) = 51 eurosd) La solución óptima es B(30, 24), es decir, x = 30 kg de papel reciclado e y = 24 kg de pa-pel normal.