Curso: Matemáticas 8 Eje temático: SN y PA

Contenido: 8.5.1 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución).

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan por métodos propios, problemas que también se pueden resolver con ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas:

1. Una bolsa contiene en total 21 frutas, de las cuales algunas son peras y otras son duraznos. ¿Cuántas peras y cuántos duraznos hay en la bolsa?

2. Si la cantidad de peras que hay en la bolsa es 11 unidades más que la cantidad de duraznos, ¿cuántas peras y cuántos duraznos hay en la bolsa?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Reunidos en equipos, resuelvan el siguiente problema:

Alejandra y Erica fueron al cine y compraron dos helados sencillos de chocolate y un refresco en vaso grande por $ 35.00. Si se sabe que el precio del refresco en vaso grande vale la mitad del precio de un helado sencillo de chocolate, ¿cuál es el precio de un helado de chocolate y cuál el de un refresco en vaso grande?

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Problema: En la cooperativa escolar se vendieron 296 refrescos en total. Si los refrescos chicos vendidos fueron el triple de los medianos. ¿Cuántos se vendieron de cada uno? Sistemas fuera de contexto:

a) b) c)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en equipos, planteen el sistema de ecuaciones con el que se puede resolver el siguiente problema.

Encontrar dos números tales que, el triple del primero más el segundo es igual a 820. El doble del primero menos el segundo es igual 340.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Para consolidar el uso del método explicado se recomienda plantear ejercicios como los siguientes, o bien seleccionar los adecuados del libro de texto de los alumnos.

1. Resolver por el método de suma o resta los siguientes sistemas de ecuaciones.

a) a + b = 135 b) 2m + 12n = -22 a - b = 59 8m – 12n = 32

2. Resolver el siguiente problema:

Para el día del estudiante los alumnos del grupo A compraron hamburguesas y refrescos. Un equipo compró 5 hamburguesas y 3 refrescos y pagaron $285. Otro equipo compró, a los mismos precios, 2 hamburguesas y 3 refrescos y pagaron $150. ¿Cuánto les costó cada hamburguesa y cada refresco?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en equipos, planteen y resuelvan el sistema de ecuaciones que resuelve el siguiente problema.

Diego y Claudia fueron a una tienda de discos compactos. Diego fue al departamento de discos de música y vio que todos estaban al mismo precio. Claudia fue al departamento de películas y vio que todas estaban al mismo precio. Diego pagó $240 por dos discos de música y una película; mientras que Claudia pagó $255 por un disco de música y dos películas. ¿Cuál es el precio unitario de cada mercancía?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Para consolidar este aprendizaje se recomienda plantear ejercicios como los siguientes, o bien seleccionar los adecuados del libro de texto de los alumnos.

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) b)

2. Resolver los siguientes problemas.

a) Por cinco boletos para un concierto de rock y tres boletos para un partido de fútbol se pagaron $720 y por dos boletos para el mismo concierto y seis para el mismo partido de fútbol se pagaron $480 ¿Cuál es el valor del boleto para cada uno de los eventos?

b) A un baile asistieron 270 personas. Si los boletos de caballero costaban $100 y los de dama $80 y se recaudaron $24 800 por todas las entradas, ¿cuántas mujeres y cuántos hombres asistieron al baile?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en equipos de tres resuelvan el siguiente problema:

Elena compró blusas y faldas, sabemos que el costo de dos blusas equivale a 300 pesos menos el costo de 3 faldas y por otra parte cada blusa cuesta veinticinco pesos más que cada falda ¿Cuanto cuesta cada prenda?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Para consolidar este aprendizaje se recomienda plantear ejercicios como los siguientes, o bien seleccionar los adecuados del libro de texto de los alumnos.

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) b) c)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en equipos, revisen los métodos de resolución de los problemas planteados y contesten las preguntas argumentando sus respuestas.

Problema 1: La suma de dos números es 195. Si el doble del primer número menos el segundo es 60, ¿cuáles son esos números?

Sistema: x + y = 195 2x – y = 60

Simplificación: x + y = 195 2x – y = 60 ----------------- 3x = 255 x = 255 / 3 x = 85

x + y = 195 85 + y = 195 y = 195 – 85

y = 110

a) ¿Por qué creen que se eligió este método para resolver el sistema?

b) Expliquen con sus palabras en qué consiste el método utilizado.

Problema 2. Dos hermanos ganan juntos $ 7,500.00 al mes. ¿Cuánto gana cada quien si uno de ellos percibe $1,800.00 más que el otro?

Sistema:a + b = 7500 b = a + 1800

Simplificación:

a + b = 7500a + (a + 1800) = 7500 2a + 1800 = 7500 2a = 7500 – 1800 2a = 5700 a = 5700 / 2 a = 2850

b = a + 1800 b = 2850 + 1800 b = 4650

a) ¿Qué método se utilizó al resolver este sistema de ecuaciones?

b) ¿Por qué creen que se eligió este método?

c) Expliquen con sus palabras en qué consiste el método utilizado.

Problema 3: Un vendedor de frutas no recuerda el precio al que cobró las sandías y los melones; sólo sabe lo siguiente:

Día Venta ConclusiónLunes Una sandía y cuatro

melones; cobró $ 49.00La sandía cuesta 49 menos el precio de cuatro melones

Martes Una sandía y siete melones; cobró $ 73.00

La sandía cuesta 73 menos el precio de siete melones.

Según lo establecido en la tabla ¿Cuál es el precio de cada una de las frutas?

Sistema:

s = 49 – 4m s = 73 – 7m

49 – 4m = 73 – 7m -4m + 7m = 73 – 49

3m = 24 m = 24 / 3 m = 8

s + 4m = 49 s + 4(8) = 49 s + 32 = 49 s = 49 – 32 s = 17

a) ¿Qué método se utilizó al resolver este sistema de ecuaciones?

b) ¿Por qué creen que se eligió este método?

c) Expliquen con sus palabras en qué consiste el método utilizado.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en equipos planteen un sistema de ecuaciones para cada uno de los problemas siguientes y resuélvanlos utilizando el método algebraico que consideren conveniente.

1. En la cooperativa escolar se vendieron 296 refrescos en total. Si los refrescos chicos vendidos fueron el triple de los medianos. ¿Cuántos se vendieron de cada uno?

2. La suma de dos números es 72 y su diferencia es 48. ¿Cuáles son dichos números?

3. Patricia compró 10 estampillas de correos, unas de $3.00 y otras de $1.00. Si pago $18.00 en total, ¿cuantos pagó por cada una?

3. Al trabajar en un restaurante, Pedro ganó $37.00 más que Juan, pero si a lo que ganó Juan se le restan $23.00, la cantidad que se obtiene es $ 734.00. ¿Cuanto le corresponde a cada uno?

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Para consolidar lo aprendido se pueden plantear problemas como los siguientes:

a) El perímetro del primer triangulo es 21 y el del segundo 23 ¿Cuánto valen “x” y “y”?

b) En un rectángulo, el doble del largo menos el triple del ancho es 8 cm y el triple del largo más el doble del ancho es 25cm. ¿Cuáles son las dimensiones de dicho rectángulo?

c) Dentro de cinco años, mi abuelito tendrá el cuádruplo de mi edad. Hace cinco años tenía siete veces mi edad. ¿Qué edad tenemos él y yo?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Curso: Matemáticas 8 Eje temático: SN y PA

Contenido: 8.5.2 Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema.

Intenciones didácticas: Que los alumnos reconozcan las coordenadas del punto de intersección de dos rectas, que modelan un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2, como la solución del mismo.

Consigna 1. En equipos, resuelvan algebraicamente el siguiente problema:

Hallar dos números cuya suma sea 12 y su diferencia 2.

Consigna 2. Grafiquen en el Plano Cartesiano, las dos ecuaciones que utilizaron para resolver el problema anterior. Pero antes, contesten las siguientes preguntas.

a) ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde se cruzarán las rectas que corresponden a las ecuaciones? ____________________

b) ¿Cómo lo averiguaron? ________________________________________________c) Tracen las rectas y verifiquen que, efectivamente, se cruzan en el punto que ustedes

anticiparon.

x + 2 y

x

y

2x

y - x

x

y

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en equipo, formulen el sistema de ecuaciones que permite resolver el siguiente problema y resuélvanlo gráficamente.

Dos terrenos tienen las formas y dimensiones que se muestran en las figuras. Si el perímetro del terreno rectangular es de 60 metros y el del triangular de 100 metros, ¿Cuánto miden los lados de cada terreno?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna 1. En parejas utilicen el método gráfico para resolver el siguiente problema.

Hallar dos números tales que, tres veces el segundo menos seis veces el primero, el resultado es nueve; al mismo tiempo que, doce veces el primero menos seis veces el segundo el resultado es dieciocho. Posteriormente contesten lo que se pide.

x

y

x

y

2y

3x3x

a) Escriban el sistema de ecuaciones con el que se resuelve el problema ___________________________________________________________________

b) ¿Qué características tienen las rectas que se generaron?________________________________________________________________________________________

c) ¿En qué punto se intersecan las rectas?___________________________________d) ¿Cuál es la solución del problema?____________________ ¿Por qué?__________

___________________________________________________________________

Consigna 2: Resuelvan el siguiente problema también por el método gráfico. Pueden utilizar su cuaderno o el plano cartesiano que utilizaron en la consigna 1, modificando la escala de los ejes.

Juan y María son esposos y trabajan en la misma fábrica, si juntan los salarios de ambos obtienen $250.00 al día. Juntaron el salario de los seis días en que trabajaron la semana pasada y lograron acumular $1,500.00.

De acuerdo con la información que les presenta la gráfica determinen:

a) ¿Cuál es el salario de cada uno de ellos?________________________________b) ¿Es la única solución?_________ ¿por qué?

______________________________

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Curso: Matemáticas 8 Eje temático: F E y M

Contenido: 8.5.3 Construcción de figuras simétricas respecto de un eje, análisis y explicitación de las propiedades que se conservan en figuras como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos comprendan que al trazar el simétrico de una figura, las medidas de los lados y los ángulos de la figura original se conservan; además que reflexionen acerca de qué cualidades de las figuras se conservan al trazar su simétrico con respecto de un eje.

Consigna: Organizados en equipo, realicen lo que se solicita.

x

y

Completen las siguientes figuras de manera que la recta m sea eje de simetría de cada figura y contesten las preguntas.

a) ¿Qué figura se formará en el tercer dibujo?b) ¿A qué distancia de m estará el punto B’ en la primera figura?c) ¿Cuál va a ser la medida de los lados simétricos en cada figura?d) ¿Cuánto medirá el ángulo B’?e) ¿Cuál va a ser la medida de los ángulos O’ y P’ en la segunda figura?f) ¿Qué figura se formó en cada caso?g) Las figuras anteriores ¿tienen otros ejes de simetría, además de m? Trázalos.h) ¿Con qué otras figuras que tú conozcas sucede algo semejante?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Tracen la figura simétrica a la dibujada. Consideren la línea q como eje de simetría. Al terminar los trazos, respondan las preguntas.

a) Describe el procedimiento que seguiste para trazar las figuras anteriores.b) ¿Cómo son los lados y los ángulos de la figura simétrica con respecto de la original?

A

B

m

m

O P

q q

q

q

m

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Curso: Matemáticas 8 Eje temático: F E y M

Contenido: 8.5.4 Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen el uso de sus conocimientos respecto al ángulo inscrito y centrales en un círculo, para calcular áreas de sectores circulares y longitud de arcos.

Consigna: Organizados en parejas resuelvan el problema siguiente:

Una cabra está atada, mediante una cuerda de 3 metros de longitud, a una de las esquinas exteriores de un corral de forma cuadrada, de 5 m de lado. El corral está rodeado por un campo de hierba.

a) ¿En qué área puede pastar la cabra?b) ¿Cuál es la longitud total del arco que describe el desplazamiento de la cabra

cuando la cuerda está a su máxima longitud?

5m

3m

cabra

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en parejas resuelvan los problemas siguientes:

1. A partir de los datos que se presentan en la figura, calcular la medida del <B, sabiendo que “O” es el centro de la circunferencia. Redacten el procedimiento que utilizaron para encontrarlo.

2. Observen el diseño que se usará para el emblema del grupo de 3º, donde 0 es el centro del círculo.

Si el ángulo que se señala en el dibujo, formado por las rectas 2 y 4, mide 100°, calculen la medida del ángulo formado por las rectas 1 y 3 (<A).

PROCEDIMIENTO UTILIZADO: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

A

3. Tracen un segmento que mida 8 cm. Llamen “A” a uno de los extremos del segmento y “B” al otro. Tracen 10 rectas que pasen por el punto A. Tracen líneas perpendiculares a cada una de las 10 rectas, las cuales deben pasar por el punto B. Si unen los vértices de los ángulos rectos trazados ¿qué figura geométrica formarán?

A B

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en parejas resuelvan el siguiente problema:

La siguiente figura corresponde a un juego de tiro al blanco. Los puntos O, A, B, C y D están alineados y O es el centro de todos los círculos. La distancia del punto O al punto A es de 20 cm y las distancias entre los demás puntos es de 10 cm. Con estos datos calculen:

a) El área del círculo central.___________b) El área del sector B._______________c) El área del sector C._______________d) El área del sector D._______________

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna 1: Organizados en parejas y, si es posible, usando Cabri Géomètre, resuelvan el problema siguiente:

Un perro está atado a una cadena que le permite un alcance máximo de 2m. Unida a una argolla que se desplaza en una barra en forma de ángulo recto cuyos lados miden 2m y 4m. ¿Cuál es el área de la región en la que puede desplazarse el perro?

Consigna 2: En parejas, utilizando Cabri Geometre, propongan y resuelvan un problema que implique el cálculo de longitudes de arcos, áreas de sectores circulares o coronas.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Curso: Matemáticas 8 Eje temático: MI

Contenido 8.5.5 Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos interpreten relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos, con apoyo de la representación gráfica.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema.

Comenten lo que cada una de las siguientes gráficas ofrece como información y contesten las preguntas en cada caso.

a) Consumo de gasolina de cierto b) Precio de pastel en una base de automóvil en carretera. madera.

Kilómetros kilogramos

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en parejas, tracen en su cuaderno la gráfica que corresponda a la siguiente situación y respondan a las preguntas.

No todos los países utilizan la misma escala para medir la temperatura. En México se utilizan los grados Centígrados (°C); en el país vecino del Norte utilizan los grados Fahrenheit (°F). Cuando el termómetro de los grados Centígrados marca 0°, el de la escala Fahrenheit marca 32°; cuando éste último marca 0°, el de la escala Centígrada marca aproximadamente -18°. ¿Cuál es la gráfica que modela esta situación?

De acuerdo con la gráfica que trazaron:

a) ¿Cuál es la temperatura en grados Centígrados cuando el termómetro marca 20°F?

b) ¿Cuál es la temperatura en grados Fahrenheit cuando el termómetro marca 20°C?

Litros Precio ($)

15 60 90

2

4

6

1 3 5

90

30

150

1. ¿Cuántos km recorre por litro?2. ¿Cuántos litros requiere para recorrer 120 km?

1. ¿Cuánto cuesta un kg de pastel?2. ¿Cuánto cuesta la base de madera?

c) ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima pronosticadas para el día de hoy en su comunidad? Escríbanlas en las escalas Centígrada y Fahrenheit.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Curso: Matemáticas 8 Eje temático: MI

Contenido: 8.5.6 Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente.

Intenciones didácticas: Que los alumnos relacionen la inclinación y la posición de las rectas que se obtienen al variar el valor de b y mantener constante la pendiente.

Consigna: Organizados en parejas grafiquen en el mismo plano cartesiano las siguientes funciones. Posteriormente contesten lo que se pide.

y = 2x+1 y = 2x -1 y = 2x + 3 y = 2x - 4 y = 2x + 1/2

¿Qué relación hay entre las gráficas y las expresiones algebraicas?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

x

y

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Dadas las gráficas siguientes, completen las funciones correspondientes. Trabajen en parejas.

Para A: Para B: Para C: Para D

y = x ___ y = x ____ y = x ____ y = x ___

¿Expliquen cómo determinaron los valores de b?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-

-

--

-

-

--

-

--

-

-

- - -- - - -

y

x

AB

C

D

Consigna: Organizados en equipos grafiquen en el mismo plano cartesiano las siguientes funciones. Posteriormente contesten lo que se pide.

y = x +20 y = 2x + 20 y = 4x + 20 y = 5x + 20 y = 6x + 20

¿Qué relación hay entre las gráficas y las expresiones algebraicas?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x

y

Consigna: Organizados en equipos completen la siguiente tabla, para el caso de la R5

obtengan los datos de su gráfica. Posteriormente grafiquen en el mismo plano las funciones faltantes y contesten lo que se pide.

¿Qué tienen en común las gráficas construidas?_______________________________________________________________________

¿Qué sucede con la gráfica cuando la pendiente es positiva?____________________________________________________________________

¿Qué sucede con la gráfica cuando la pendiente es negativa?____________________________________________________________________

Gráfica Función Pendiente Ordenada al origenR1 y = x + 2R2 Y = –x + 2R3 Y = 2x + 2R4 y = –3x + 2R5

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

R5

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Curso: Matemáticas 8 Eje temático: MI

Contenido 8.5.7. Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio.

Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan gráficas de distribuciones frecuencial y teórica.

Consigna: Organizados en equipos de cinco integrantes, realicen o contesten lo que se pide.

1. Lance cada uno, una moneda al aire 10 veces, registren en la siguiente tabla cuántos soles y cuántas águilas obtiene cada uno y los porcentajes en relación con los 50 lanzamientos. Completen la tabla escribiendo los totales y con base en estos resultados, construyan una gráfica de barras. Pueden utilizar calculadora.

NOMBRE LANZAMIENTOS ÁGUILA % FRACCIÓN DECIMAL SOL % FRACCIÓN DECIMAL1-10

11-2021-3031-4041-50

TOTALES

¿En qué creen que vayan a coincidir y a diferir su gráfica con las de los demás equipos? _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Frec

uenc

ia

Resultados de lanzar una moneda 50 veces

2. Reproduzcan su gráfica en papel o cartulina y péguenla en un lugar visible para todos los compañeros del grupo.

a) ¿Son iguales todas las gráficas? __________________________________

b) ¿En qué se asemejan? _________________________________________________________ ¿por qué? ___________________________________________________________________

c) ¿En qué difieren? _____________________________________________________________ ¿por qué? ___________________________________________________________________

3. Al lanzar al aire una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que caiga águila? ______________ ¿y la probabilidad de que sea sol? ________________________________

4. Construyan la gráfica que represente las probabilidades de los posibles resultados del lanzamiento de una moneda.

GRÁFICA DE PROBABILIDAD TEÓRICA DEL LANZAMIENTO DE UNA MONEDA

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: En equipos realicen lo que se solicita.

1. Construyan una gráfica que represente la probabilidad teórica del lanzamiento de un dado.

2. Tomen un dado con sus seis caras numeradas del 1 al 6, efectúen 90 lanzamientos y registren en la siguiente tabla las frecuencias con que cae cada número.

Resultados Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

123456TOTAL

3. Construyan la gráfica de frecuencias absolutas y la de probabilidad frecuencial, que resultan de los lanzamientos que ustedes realizaron.

GRÁFICA DE PROBABILIDAD FRECUENCIAL DEL LANZAMIENTO DE UN

DADO

1. Con base en la gráfica de la probabilidad teórica que construyeron en el punto 1 y la gráfica de la probabilidad frecuencial que acaban de construir en el punto anterior, contesten lo siguiente:

a) ¿Qué coincidencias hay entre la gráfica de la probabilidad teórica y la que ustedes trazaron de acuerdo a los resultados que obtuvieron? ___________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) ¿Si aumentarán a 300 lanzamientos qué creen que pase? ________________________

_________________________________________________________________________Argumenten su respuesta. _______________________________________________________________________________________________________________________________