5AÑO

Teoría de la numeración I

La ferretería

Una mujer entra a una ferretería, ve un producto que le interesa y pregunta: ¿Cuánto cuesta uno?.El vendedor responde “ochenta maravedíes”. Entonces ella pregunta: “¿y trece?”, a lo que el tendero replica “ciento sesenta”.La mujer se decide finalmente y dice “me llevaré ciento treinta y cinco”. “Eso le costará doscientos cuarenta maravedíes”. ¿Qué es lo que está comprando la señora?

Introducción

En el transcurso del desarrollo de la humanidad, el hombre tuvo la necesidad de expresar el número, al inicio presumiblemente solo en un lenguaje simbólico. Los dedos de la mano pueden usarse para presentar un conjunto

5 7 8 6

P o s i c i ó n unidades: 6 × 1 decenas : 8 × 10 centenas: 7 × 100 millares : 5 × 1000

Valores posicionales

de dos, tres, cuatro o cinco objetos. Por medio de los dedos de las manos se podían representar colecciones de hasta diez elementos, y usando los dedos de las manos y pies podía remontarse hasta veinte. Cuando el uso de los dedos resultaba inadecuado , podían utilizarse pequeños montones de piedras para representar los elementos de un conjunto y cuando el hombre primitivo empleaba este sistema de representación, a menudo amontonaba las piedras en grupos de cinco, debido a que antes ya se había familiarizado con los quíntuplos por observación de su propia mano o pie.

Cada pueblo en la antigüedad definía su propio sistema de numeración. Un accidente anatómico, el que tengamos diez dedos en las manos y diez dedos en los pies, ha determinado la definición del sistema decimal de numeración en la mayor parte de los pueblos. Otro sistema de numeración también ligado a la fisiología humana es el duodecimal, puesto que los cuatro dedos de la mano, a excepción del pulgar, tienen 12 falanges en total, por lo que se puede contar hasta doce. Este sistema se emplea en la actualidad ya que muchos objetos se compran por docenas y no decenas: cuchillos, tenedores, platos, etc. Los ingleses conservan vestigios del sistema duodecimal tanto en el sistema de medidas, un pie equivale a doce pulgadas, como en el sistema monetario, un chelin equivale a doce peniques.

Actualmente utilizamos el sistema decimal que fue simbolizado por los Hindues y

difundido por los árabes, razón por la cual se le llama sistema indoarábigo. Los símbolos que usamos son diez: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;7; 8 y 9; a los que llamamos cifras o dígitos. Uno de los principios con el que se rige nuestro sistema es el de la posición, según el cual el valor de cada dígito depende de su posición, por ejemplo:

Podemos apreciar que la suma de los valores posicionalesde las cifras dan como resultado el numeral 5 786.

5786 = 5 × 1000 + 7 × 100 + 8 × 10 + 6 × 1

Numeración

Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, escritura y lectura de los números.

Número

Es un ente matemático que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza.

Numeral

Es la representación simbólica o figurativa del número.

Cifra o dígito

Son los símbolos que por convención se usarán en la formación de los numerales y estos son: 0; 1; 2; 3; 4;5; 6; 7; 8 y 9.

Sistema posicional de numeración

Es un conjunto de principios y convenciones que nos permiten la correcta formación, escritura y lectura de los números.

Principios fundamentales

1. Del orden.- Toda cifra que forma parte de un numeral ocupa un orden determinado, el cual se considera de derecha a izquierda.

Lugar

1º 2º 3º 4º 5º9 2 7 5 6

5º 4º 3º 2º 1º Orde

n

Por ejemplo:

* Numeral de dos cifras de la base

10: ab ab { 10; 11; 12; 13;

...; 99 }2. De la base.- Todo sistema de numeración

tiene una base que es un número entero positivo mayor que uno, el que nos indica el número de unidades

* Numeral de tres cifras de la base 7: abc7

suficientes y necesarias de un orden cualquiera para

abc7 { 1007; 1017; 1027; ...; 6667 }

formar una unidad del orden inmediato superior.

3. De las cifras.- Las cifras de un numeral deben ser enteras no negativas, la primera debe ser diferente de cero, además deben ser menores que la base.

* (ab)(a 2)(b 3)8

la base 8.

es un numeral de tres cifras de

Por ejemplo, representa en base 10 el siguiente conjunto de asteriscos.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

* * * * * * * * * * * * * *

Observamos tres grupos de diez unidades y siete unidades simples, entonces su representación será: 3710

Considerando los principios de la base y de las cifras podemos indicar:

Base Sistema Cifras disponibles

Numeral capicúa

Es todo numeral simétrico, por ejemplo:

* 226 ; 445 ; 779

* 313 ; 90911 ; 6667

* 42246 ; 51159 ; 22225

Veamos la representación literal de los numerales capicúas:

* Numeral capicúa de dos cifras en la base

10: aa aa { 11; 22; 33; ...; 99

}

* Numeral capicúa de tres cifras en la base 7: aba7

aba7 { 1017; 1117; 1217; ...; 6667}

* Numeral capicúa de cuatro cifras en la base 11: abba11

abba11 { 100111; 111111; 122111; ...;

(10)(10)(10)(10)11 }

Representación literal de

numerales

Para representar los numerales se debe

tener en cuenta las siguientes consideraciones:

1. Toda expresión entre paréntesis nos indicará una cifra.

2. Las letras diferentes no necesariamente representan

Descomposición polinómica

Consiste en expresar al número como la sumatoria de los valores posicionales de cada una de sus cifras, por ejemplo:

4253 = 4 × 103 + 2 × 102 + 5 × 10 + 3

abcd = a × 103 + b × 102 + c × 10 + daba7 = a × 72 + b × 7 + a

valores diferentes, excepto se indique que deben ser valores diferentes.

ab4c6 = a × 63 + b × 62 + 4 × 6 + c

a) 11 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

a) 34 b) 35 c) 36d) 37 e) 38

También se puede descomponer un número por bloques, por ejemplo:

abab = ab × 102 + ab

abcabc7 = abc7 × 73 + abc7

4a4a6 = 4a6 × 62 + 4a6

Problemas para la clase

Bloque I

1. ¿Cuántas cifras tiene un numeral en el que se observa que la cifra de segundo orden es la tercera cifra?

a) 3 b) 4 c) 5d) 2 e) 6

2. Calcular “a + b”, si los numerales:

7a38 ; 545b ; 6b5aestán correctamente

escritos.

6. Exprese “N” en base 5 y de la suma de sus cifras.

N = 2 × 54 + 7 × 53 + 52 + 8 × 5 + 2

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

7. Calcule la suma de los factores que multiplican a mn8 y mnp 6 al expresar como

una multiplicación indicada a mnmn8 y mnpmnp 6 respectivamente.

a) 280 b) 281 c) 282 d) 283 e) 284

8. ¿Cuántos numerales de dos cifras cumplen que son iguales a cuatro veces la suma de sus cifras?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Calcule la suma de los numerales, tal que al restarles el numeral que se obtiene al invertir el orden de su cifras se obtiene 54.

3. Si los numerales están correctamente escritos, calcular

“a + b”.

I. (2a)(a 2)5

10.Si Arturo tiene ab años y dentro de “6a” años tendrá

50 años, calcule su edad dentro de “a + b” años.

II.

b

b 5 3 9

11.Calcule el producto de las cifras de un numeral de tresa) 5 b) 6 c) 4

d) 7 e) 3

4. Calcule la suma de los números de valores que pueden asumir: “a”, “b” y “c”.

cifras, tal que sea igual a 25 veces la suma de sus cifras.

a) 9 b) 20 c) 10d) 18 e) 15

12.Un auto que viaja con velocidad constante pasó por el kilómetro ab . Al cabo de media hora pasó por el

(5 a)(3 a)(2b 1) 2 c b 3 2 8

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

kilómetro ba . Finalmente, luego de media hora máspasó por el kilómetro a0b . ¿Con qué rapidez viajó el automóvil (km/h)?

a) 80 b) 90 c) 75 d) 60 e) 100

5. Si el numeral 2a 5 b 3 b8

a; es capicúa,

2 n

calcule “a × b”. Bloque II

1. Dado el numeral capicúa de cifras significativas:a) 6 b) 3 c) 2

d) 4 e) 8 abcb 2 b bc 1 2 4

a) 16 b) 17 c) 18d) 19 e) 20

a) 25 b) 21 c) 28d) 10 e) 22

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

a) 9 b) 10 c) 7d) 6 e) 11

Calcule “a + b + c”

a) 5 b) 6 c) 7a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34

d) 8 e) 9 8. Si: abcd = 37ab

+ 62cd

2. Si se cumple que:mnp1 3 2mnp

Calcule “m + n + p”

3. Dados los numerales: aa b ; ba c

Calcule “a + b + c”

y ca 4

Halle “a + b + c + d”

a) 16 b) 17 c) 15d) 14 e) 13

9. Exprese “E” en base 8 y de como respuesta la suma de sus cifras.

E = 6 × 83 + 4 × 85 + 11 × 82 + 3 ×

84 + 37 a) 23b) 24 c) 25d) 26 e) 27

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 10

4. Si los numerales:

10.Calcule la suma de las cifras y la base, del menor numeral de cinco cifras significativas y diferentes entre sí.

; ; b

a a c1 b1

2 b 6 2 c

están bien escritos, calcule “a × b × c”

a) 40 b) 60 c) 24d) 12 e) 15

5. ¿Cuántos numerales de dos cifras cumplen que al sumarles el numeral que se forma al invertir el orden de sus cifras se obtiene 22 veces la diferencia de las mismas?

11.Si ab es un numeral de cifras significativas y mínimo, además: ab = n(a + b).Calcule “a + b + n”

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

12.Calcule el menor valor de “a + b + n”, si: ab = n(a - b).

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. Halle un numeral de dos cifras, tal que al invertirlo, el numeral queda aumentado en 15 respecto a su doble. De como respuesta el producto de sus cifras.

13.¿Cuál es el factor por el que hay que multiplicar a

“a - b” para que sea igual a ab ba ?

a) 27 b) 3 c) 9d) 18 e) 15

7. Escriba correctamente el siguiente numeral y dé como respuesta la suma de sus cifras.

(4n)(5n 2)(7n)(4n 1)(3n)(n 5)6 n

(n > 6)

14.¿Cuál es el factor por e l q ue h a y que multiplicar a “a - c”

para que sea igual a abc cba ?

a) 33 b) 66 c) 11 d) 22 e) 99

AÑO

547 71 78 7

1 11 74 1

Teoría de la numeración II

Adivina la edad

B' (A A') Ø

Puedes adivinar la edad de una persona y el mes en que nació si haces que piense en el número del mes de nacimiento (enero = 1; febrero = 2; ...) y después le pides que lo multiplique mentalmente por 2 y le sume 5 al resultado. Después debe multiplicar el resultado que ha obtenido por 50 y sumarle su edad. Haz que te diga el resultado final de todos estos cálculos y, mentalmente, réstale 250. El número obtenido tendrá 3 ó 4 cifras. Las dos cifras de la derecha son las de la edad, y las de la izquierda son el número del mes de nacimiento. ¿Sabrías decir porqué es así?

Cambios de base

1. De una base diferente de 10 a la base 10. Por descomposición polinómica

Por ejemplo:

* Podemos llevar, gracias a los métodos anteriores, de base diferente de 10 a base diferente de 10, por ejemplo:

a) 4379 a base 62

a) 57211 a base 10

57211 = 5 × 112 + 7 × 11 + 2 57211 = 684

4 3 7 9 = 4 × 94379 = 358358 6

+ 3 × 9 + 7

b) 41325 a base 10

41325 = 4 × 53 + 1 × 52 + 3 × 5 + 2 41325 = 542

4 59 65 9 6

3 1 4379 = 13546

2. De la base 10 a una base diferente de 10. Por divisiones sucesivas.

Por ejemplo:a) 547 a base 7

547 = 14117

b) 2667 a base 11

2667 = 2 × 72 + 6 × 7 + 62667 = 146146 11

3 13 112 1 2667 = 12311

b) 326 a base 9

326 92 36 9

Bloque I

Problemas para la clase

0 4 326 = 4029 1. Si: 8729 = abc 11 , calcule “a + b + c”.

c) 42 a base 242 20 21 2

1 10 20 5 2

1 2 20 1

a) 22 b) 23 c) 24d) 25 e) 26 42 = 1010102

2. Exprese en base 5 el menor numeral de 4 cifras de la base 7. De como respuesta la suma de cifras de mayor y menor orden.

a) 1b) 24e) 5

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

a) 33 b) 34 c) 35d) 36 e) 37

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

3. Calcule el producto de las cifras del numeral que se obtiene al expresar en base 4 el menor numeral de tres cifras significativas de la base 9.

12.Calcule “a + b + c + d”, si:aba 7 ccb 9 d8b

a) 4 b) 10 c) 12 a) 11 b) 12 c) 13d) 9 e) 8 d) 14 e) 15

4. Calcule el valor de “a + n”, si se cumple que:

7a n = 639

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

5. Calcule el valor de “m + n”, si: 251 m 20n 7 .

Bloque II

1. Calcule “a + b + c”, si: aaa 7 bc8

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

2. Si se cumple que:

13m n 33n p 136 m

44p

6. Calcule el valor de “a + b + n”, si:

324 n abn 6

Calcule “m + n + p”

a) 24 b) 21 c) 27 d) 30 e) 18

a) 9 b) 10 c) 11 d) 7 e) 8 3. Si: bc n an m , donde: m < 5, calcule

7. Calcule el valor de:

E = 112 12134 1415167

“a + b + c + m + n”.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

4. Si: an2 9 47b n , calcule “a + b + n”.

8. Calcule “n - m”, si:1a 1b n 13 1b 1a

m

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

9. ¿Cuántos numerales de cuatro cifras del sistema decimal tienen cuatro cifras en el sistema octanario?a) 3 960 b) 3 096 c) 2 460 d) 2 096 e) 2 069

10.¿En cuántos sistemas de numeración el 881 se escribe con cuatro cifras?a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

5. Si: 4a5 n 2b3 8 , calcule “a + b

+ n”. a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

6. Calcule el valor de “a + b + n”, si:54a03 n 16b03

8

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

7. Si se cumple que:abab4 5 mn(m 1)(n 1) 7 , donde “m” y “n” son pares, calcule la suma de “a + b + m + n”.

11.Si: aabb 7 11a4 9Halle el valor de “a + b“

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

a) 15 b) 14 c) 13d) 16 e) 17

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

8. Si: mnpq 4a2q 7 , calcule “a + m + n + p”.

12.Exprese el numeral 4257 a base 9. De como respuesta la suma de sus cifras.

a) 20 b) 21 c) 22 a) 13 b) 14 c) 15d) 18 e) 19 d) 16 e) 17

9. Calcule “a + b + d”, si:abb5 d a(b 3)(b 3)(b 1) 7

13.Calcule el valor de: E = 11 12 13 13

14 15 16

a) 10 b) 8 c) 7 a) 41 b) 42 c) 43d) 11 e) 6 d) 44 e) 45

10.Halle “mn”, si se cumple que: m2n 4 1m5

(2n)

14.Calcule el valor de “a + n”, si: 1021 n 20a 4

a) 8 b) 7 c) 16 d) 15 e) 9

11.Si: aabc 6 bb(2c) 7 b + c = 7, calcule “a + b - c”.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

15.Si: 3b6 n 143 8 , calcule “b + n”.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6