Walter Orlando Gonzales Caicedo...Walter Orlando Gonzales Caicedo Ejemplo: 0 0 5 0 5 0 5 0 0 A...

Walter Orlando Gonzales Caicedo

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MATRICES

1. Definición: Una matriz es un conjunto de números dispuestos en filas y columnas. Si hay m filas y n columnas, la matriz aparecerá así:

Donde:

El elemento está situado en la fila i y en la columna j.

El número de filas y columnas mxn recibe el nombre de dimensión de la matriz. Si m=n se dice que la matriz es cuadrada de orden n. El número total de elementos de la matriz es mxn. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar coinciden en su valor.

Ejemplo:

Es una matriz de tamaño 4 x 3 Se emplean los paréntesis cuadrados con el fin de considerar la ordenación rectangular de números como una entidad.

2. Clases:

Según la forma de la matriz, esta puede ser:

Matriz fila: tiene una sola fila. La i–ésima fila de A es la matriz de tamaño 1 x n. Es decir:

Ejemplo:

Matriz columna: tiene una sola columna. La j–ésima columna de A es la matriz de tamaño n x 1.

Ejemplo:



Matriz cuadrada: tiene el mismo número de filas que de columnas. En una matriz

cuadrada A de orden n los elementos se denominan elementos diagonales, y se dice que forman la diagonal principal de A.

Ejemplo: La siguiente es una matriz cuadrada de orden 3

Sus elementos diagonales son:

Matriz rectangular: La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn

Ejemplo:

Matriz transpuesta: dada una matriz A, se llama transpuesta de A, y se designa por AT, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas. Es decir:

si entonces la transpuesta de A es la matriz . Esto es,

la transpuesta de A se obtiene intercambiando las filas y columnas de A, se

denota por . Por lo tanto:

Ejemplo: Sea:

Entonces:

El siguiente teorema resume las propiedades básicas de la transpuesta.

Teorema Si c es un número real y A y B son matrices, entonces:



Matriz simétrica: una matriz cuadrada es simétrica si sus elementos cumplen que

(los elementos de la diagonal principal pueden tomar cualquier valor). Es

decir: .Por tanto es simétrica:

Obsérvese que una matriz es simétrica si y solamente si es cuadrada y es simétrica con respecto a su diagonal principal

Ejemplo: Sean:

Entonces A es simétrica y B no es simétrica.

Matriz antisimétrica: se llama así a toda matriz cuadrada que cumple que: (los elementos de la diagonal principal son todos nulos).

Ejemplo: 022

201

210

A

Atendiendo a los elementos, una matriz puede ser:

Matriz nula: todos sus elementos son cero y se denota por 0. Es decir:

Matriz diagonal: Una matriz cuadrada se dice diagonal si son nulos todos los elementos que no estén en la diagonal principal; es decir:

jia

a

a

a

A ij

nn

si0

0...00

.................

00...0

00...0

,

22

11

Ejemplo:

100

020

005

A

Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.



Ejemplo:

500

050

005

A

Matriz Identidad o unidad: Matriz cuadrada tal que aij = 1 i = j, aij = 0 i j,

es decir son nulos todos los elementos que no están en la diagonal principal y los elementos de la diagonal principal son todos 1.

I=

10...00

.................

00...10

00...01

Ejemplo:

100010001

A

Matriz triangular superior: En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Son de la forma:

ji si0

...00

............

0

...

222

11211

ij

mn

n

n

a

a

aa

aaa

A

Ejemplo:

100

610

425

A

Matriz triangular inferior: En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. Son de la forma:

ji si0

...

............

0

0...0

21

2221

11

ij

mnmm

a

aaa

aa

a

A

Ejemplo:

149

023

002

A

3. Igualdad entre matrices: Dos matrices y (del mismo

tamaño) son iguales si todos los elementos correspondientes son iguales, es decir: para i= 1,2,…,m

Ejemplo:



Hallar x,y,z,w si:

423

32

52

9542

wz

yx

wz

yx

Solución: Por la definición de igualdad entre matrices, tenemos: 2x-4=x+2 5y+9=3-y z+2=3z w-5=2w-4 Luego: Despejando x,y,z,w en las ecuaciones anteriores, tenemos: x = 6, y = -1, z = 1, w = -1

ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN

I. RESOLVER LAS SIGUIENTES EJERCICIOS

1. Escriba explícitamente la matriz: A = (aij)4x5 , si aij = i + 2j, i = 1,2,3,4. j = 1,2,3,4,5.

2. Escriba explícitamente la matriz: A = (aij)4x4 , si aij = (-1)i + j , (i , j = 1,2,3,4).

3. Si A = ( aij )33, en donde aij = (-1) i + j, entonces escribir explícitamente la matriz A.

4. Dadas las matrices A = (aij)4x4 y B = (bij)4x5 ; es decir:

Describa explícitamente a la matriz C = (cij)4x4, si cij = ai jbj j + 2 bi j

Donde: i, j = 1,2,3,4.

5. Si: , entonces indicar: a22, a32, a34, a42, a44,

6. Si las matrices son iguales determine . e yx

a) 52

32

5

2

y

x b)

815

524

81

51 x

y

xy

7. Halle valores de a,b y c, tales que:

8. Halle si es posible, todos los valores de cada incognita para que cada una de las siguientes igualdades se cumpla:

a)



b)

9. Calcular la transpuesta de las siguientes matrices:

a) b)

c) d)

13. Dadas las matrices:

A =

032

301

210

201

015

321

111

131

321

CB

a) Hallar la matriz traspuesta de A, B y C. b) ¿Tiene la matriz C un nombre especial?

14. Sea: la matriz nula hallar x,y,z:

OPERACIONES CON MATRICES

1. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES.

Sólo se pueden restar

sumar matrices del mismo orden. Para ello se

tanres

suman los

elementos que ocupan las mismas posiciones. Es decir: consideremos A = (aij) y B = (bij)

Entonces: A + B = (aij + bij)

Ejemplo:

Sean: 032

641

410

132BA

Entonces

422

511

043120

)6(14312,

442

773

043120

614312BABA

2. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ.

Para multiplicar una matriz por un número real, se multiplica dicho número por todos y

cada uno de los elementos de la matriz. Es decir, sea: Є R y A = (aij) entonces:



.A = ( . aij)

Ejemplo: sea 410

132A

Entonces: 1230

3963 A

3. PRODUCTO DE MATRICES.

3.1.- PRODUCTO DE UNA FILA POR UNA COLUMNA.

3.2.- PRODUCTO DE DOS MATRICES. Para multiplicar las matrices A y B ha de cumplirse que el número de columnas de la matriz A sea igual al número de filas de la matriz B. Es decir, si A es de orden mxn, para que el producto AxB sea posible, B debe ser de orden nxp, y la matriz producto resulta de orden mxp. Más breve:

A mxn . B nxp = C mxp

¿Cómo se multiplican?

El elemento cij de la matriz producto resulta de multiplicar la fila "i" de la matriz A por la columna "j" de la matriz B, elemento a elemento y, luego, se suman los productos así

obtenidos. Brevemente: kjik

n

kij bac

1

Ejemplo: Multiplicar las matrices

22

23

53

46

43

01

12

x

x

BA

Solución:

23830

46

139

2354)4(33463

50)4(13061

5)1()4(23)1(62

xx

BA

OBSERVACIÓN:

El producto de matrices no tiene la propiedad conmutativa. Es decir:

A B B A.

Dos matrices A y B son inversas si los productos A.B y B.A son iguales a la matriz unidad.

Una matriz A es regular si posee matriz inversa. A la matriz inversa de A, se la designa por A-1



4. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Un determinante es un número asociado a una matriz cuadrada (orden n x n) formado por la suma de n! productos. En cada producto interviene un elemento de cada fila y un elemento de cada columna. Veamos en concreto cómo se desarrolla un:

4.1 DETERMINANTE DE 2º ORDEN: se desarrollan de la siguiente forma:

21122211

2221

1211aaaa

aa

aaA

Ejemplo: calcular el determinante de la matriz57

12A

Solución:

177107)1(5257

12A

4.2 DETERMINANTE DE TERCER ORDEN: se desarrollan mediante la llamada regla de Sarrus; es decir:

332112113223312213312312133221332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

A

Ejemplo:

1217284627841646)3(473)3(12)3(3)3(276414

473

316

234

4.3 CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR EL ADJUNTO.

Dada una matriz cuadrada, se llama menor complementario del elemento aij al

determinante que resulta de suprimir en la matriz la fila "i" y la columna "j" en las que está el elemento en cuestión.

Se designa Mij o por ij.

Ejemplo:

En la matriz: A=73

342331

233147

3111

473

316

234

MMM etc.

Y se llama adjunto del elemento aij al menor con signo + si la suma de subíndices

fila y columna es par, o con signo - si dicha suma es impar. Se designa Aij. Es decir:



Aij = (-1)i+jMij

Ejemplo: Así, en la matriz anterior, tenemos:

A A A11

1 3

7 4 31

3 2

1 3 23

4 3

3 7

5. RANGO DE UNA MATRIZ.

Una línea, L, de una matriz depende linealmente de sus paralelas L1, L2, ..., Ln, si existen unos números reales a1,a2,..., an tales que verifican la igualdad:

Ejemplo: En la matriz:

La fila segunda depende linealmente de la primera, y la columna tercera depende linealmente de la primera columna y de la segunda. Es decir:

F2=2 F1

C3= C1+ C2

Por tanto el rango de matriz A es 2

Un conjunto de líneas paralelas de una matriz es linealmente dependiente si al menos una de ellas depende linealmente de las restantes.

Un conjunto de líneas paralelas de una matriz es linealmente independiente si ninguna de ellas depende linealmente de las restantes.

En una matriz A, el número de filas linealmente independientes es igual al número de columnas linealmente independientes. A este número se le llama rango de A.

Veamos cómo se calcula el rango de una matriz, con algunos ejemplos:

Calcular el rango de la matriz:

El rango es 3, pues se tiene: que las tres filas y las tres columnas son linealmente independientes.

Calcular el rango de la matriz:

El rango es 2, pues se tiene: F3 = 2F1 + F2, es mas F1 y F2 son linealmente independientes entre sí.



Método de Gauss: consiste en obtener una matriz escalonada aplicando transformaciones que no alteran el rango de una matriz.

Ejemplo:

2

0 0 0 0

1- 1 2 0

1- 1 1- 1

rang)2(

2- 2 4 0

1- 1 2 0

1- 1 1- 1

rang

1- 1 5 1-

2- 2 1 1

1- 1 1- 1

rang 23

13

12ff

ff

ff

Pues es una matriz escalonada con dos filas no nulas, es decir que la matriz tiene rango 2.

6. MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA: Dada una matriz cuadrada A

de orden n se llama MATRIZ INVERSA DE A y se denota por A-1 a la matriz que

verifica: donde es la matriz identidad.

OBSERVACIÓN:

Si |A| 0 A posee matriz inversa (además se dice que A es inversible o regular).

Si |A| = 0 A no posee matriz inversa (se dice que A es singular).

6.1 Métodos de cálculo de la matriz inversa

Método de adjuntos:

A

AA

t

ad )(1

Método de Gauss: Veamos un ejemplo.

Ejemplo: Calcular la inversa de 210

121

011

A

Solución: Lo haremos primero por el método clásico o método de adjuntos, el que viene

indicado por la definición: la traspuesta de la adjunta dividida por el determinante. Primero, calculamos el determinante; si el determinante es nulo, no existe matriz inversa; si no es nulo, seguimos:

1210004

210

121

011

A

Calculamos ahora la matriz adjunta, sustituyendo cada elemento por su adjunto; calculamos primero los adjuntos:



11221

11

1)01(10

01101

12

011)01(

10

11202

20

01

2)02(21

01101

10

212)02(

20

11314

21

12

33

32312322

21131211

A

AAAA

AAAA

Luego: formamos la matriz adjunta:

111

122

123

adA

Y finalmente hacemos la inversa, trasponiendo la matriz adjunta y dividida por el determinante:

A

AA

t

ad )(1

111

122

123

111

122

123

1

11A

Ahora lo hacemos por el método de Gauss:

111100

122010

123001

111100

122010

001011

111100

011110

001011

100210

011110

001011

100210

010121

001011

Es conveniente, se haga por el método que se haga, comprobar la inversa (multiplicada por la directa tiene que dar la identidad). Es decir:

100

010

001

210

121

011

111

122

123

7. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

7.1 Sistema de ecuaciones con dos variables Considérese el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales:

22221

11211

byaxa

byaxa

la representación matricial de este sistema es BAX donde:

ficientesriz de coe es la mataa

aa,A

2221

1211



.constantes las de matriz la es ,B

variableslas de matriz la es ,X

2

1

b

b

y

x

Si 0det(A) , entonces, el valor de la variable xse obtiene así:

2221

1211

222

121

aa

aa

ab

ab

xs

x

Obsérvese que x (determinante con respecto a x ) se obtiene reemplazando la

primera columna de la matriz A por la matriz B, y det(A)s es el determinante del

sistema.

Para calcular el valor de la variable y se obtiene primero el determinante con respecto

a y ( y ) remplazando la segunda columna de la matriz de coeficientes por la matriz

B. Luego se divide este determinante entre el determinante del sistema:

2221

1211

221

111

aa

aa

ba

ba

ys

y

Ejemplo: Resolver el sistema

Solución:

La representación matricial del sistema es:

13

9

34

56

y

x

Entonces:

138

38

2018

6527

34

56

313

59

x

1334

956

yx

yx



338

114

2018

3678

34

56

134

96

y

Luego, .3 , 1 yx

7.2 Sistema de ecuaciones con tres variables

Consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:

423

24654

18642

zyx

zyx

zyx

Este sistema se escribe en forma matricial como sigue:

de donde: 46

24

213

654

642

214

6524

6418

s

xx , 26

12

213

654

642

243

6244

6182

s

yy

36

18

213

654

642

413

2454

1842

s

zz

Luego .3 , 2 , 4 zyx Observe que zyx , , se obtienen reemplazando

sucesivamente la 1ª, 2ª y 3ª columna de la matriz de coeficientes por la matriz de las

constantes:

4

24

18

4

24

18

213

654

642

z

y

x



ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN

I . RESOLVER LAS SIGUIENTES EJERCICIOS: 1. Dadas las matrices:

415

003102

A

241

10121151

B

Calcular: A + 3B; 2A – B; A.B; B.A; A.A; B.B

2. Dadas las matrices:

012

15

413

121

A

5

341

35

21

113

1

B

Calcular: A + B, A - B, A.B, B.A, A.A, B.B, A.A.A = A³.

3. Se consideran las matrices:

122

212301

A

40

32

11

A

0

3

1

2

16

1

5

2

3

13

1

3

2

2

1

C

Calcular: 3A, 3A + 2B, AC, CA, AB, BA, A-1, B-1, C-1

4. Calcular los siguientes determinantes de orden dos:

5. Calcular los siguientes determinantes de orden tres:

6. Calcular las inversas de las siguientes matrices, si las tuvieran.

a) 02

10 b)

43

21 c)

84

21

d)

114

301

211

e)

104

213

012

f)

1098

765

432



7. Resuelve la ecuación Ax – B + C = 0, siendo:

0301

1210Cy

011-2-

1-021 B ,

01

14A

8. Resuelve la ecuación matricial: Ax – 2B + 3C = D, siendo:

11

32A ,

41

02B ,

02

30C y

63

45D

9. Obtén las matrices X e Y que verifiquen los siguientes sistemas matriciales:

a)

101

234Y3X

012

221Y2X

b)

10

26YX

03

12YX

c)

42

01Y2X

20

13YX2

d)

10

81YX

23

83YX3

e)

63

01YX

24

51Y3X2

10. Calcula el adjunto del elemento a23 en:

mpn

nmp

pnm

A

22

2

11. Hallar las inversas de:

012

134

501

112

301

103

210

132

201

CBA

12. Calcula los productos posibles entre las matrices:

543

012C y

1

2

1

B ,

110

111

321

A

13. Para las matrices

3

1

2

D y

3001

2415

1032

C , 321

430B ,

304

211A ,

realiza las siguientes operaciones: a) AB b) A.D c) B.C



d) C.D e) ATC f) DTAT g) BTA h) DTD i) DDT

14. La siguiente tabla da el costo en soles de una lata de vegetales en tres diferentes

supermercados.

Si un comprador compra 6 latas de alverjas, 4 de fríjol y 5 de maíz encuentre el costo total en cada uno de los supermercados por medio de multiplicación de matrices. Rpta: Los costos en cada uno de los 3 supermercados son los siguientes: Supermercado 1: 50.80 Supermercado 2: 49.60 Supermercado 3: 50.30

15. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.

a) Representar la información en dos matrices.

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas

para cada uno de los modelos.

16. En los problemas siguientes resuelva el sistema usando determinantes

a) 4747

1 3 2

yx

yx b)

524

03

yx

yx

Alverjas fríjol maíz

3.3 2.5 4.2

3.4 2.3 4.0

3.6 2.8 3.5

Supermercado 1

Supermercado 2

Supermercado 3



c)

11528

5323

6 2

zyx

zyx

zyx

d)

02 3

2 4

8

zyx

zy

zyx

e)

13

02

722

zyx

zyx

zyx

f)

15

2

42

zy

zx

zyx

f) 523

3 2

yx

yx g)

1 4

032

53 2

zyx

zyx

zyx

GEOMETRIA ANALÍTICA

ECUACIÓN DE LA RECTA

1. LA FUNCIÓN LINEAL

La funciones lineales de ecuaciones de la forma y = mx, donde m es constante de proporcionalidad, contienen dos variables; sean x e y, las cuales son directamente proporcionales. Los puntos (representados por pares ordenados), obtenidos de una tabla de doble

entrada para la función y = mx, con m 0, pertenecen a una recta que contiene el punto (0,0).

Variaciones de la pendiente Grafiquemos las siguientes funciones y = 0,5x, y = 1,5x, y = 2,5x, y = 3x.

Observando la gráfica podemos concluir lo siguiente: 1.1 Son rectas que pasan por el origen y sus puntos se encuentran en el 1er y 3er cuadrante. 1.2 Cuando m se hace variar en forma creciente, nos damos cuenta que la recta forma un ángulo agudo con el eje x, tendiendo a 90°. 1.3 Cuando m se hace variar en forma decreciente, la recta forma un ángulo agudo con el eje X, tendiendo a cero hasta confundirse con éste.

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

X

Y



1.4 El coeficiente m nos indica la variación de proporcionalidad entre la variable dependiente y la variable independiente. Grafiquemos ahora y = -x, y = -1,5x; y = -2,5x; y = -3x.

Observando la gráfica podemos concluir lo siguiente: 2.1 Son rectas que pasan por el origen y sus puntos se encuentran en el 2do y 4to cuadrante. 2.2 Cuando m se hace variar en forma creciente, nos damos cuenta que la recta forma un ángulo obtuso con el eje x, tendiendo a 180°. 2.3 Cuando m se hace variar en forma decreciente, la recta forma un ángulo obtuso con el eje X, tendiendo a 90° hasta confundirse con el eje Y. 2.4 El coeficiente m nos indica la variación de proporcionalidad entre la variable dependiente y la variable independiente.

Generalizando, si x e y son las coordenadas de un punto perteneciente a una recta L que pasa por el origen, entonces existe m tal que y = f(x) = mx, denominada función lineal. 2. Propiedades de la función lineal En la función y = mx, m constante, el conjunto de todos los valores posibles para x se denomina “dominio de la función”, en este caso corresponde al conjunto de números reales (R).

Si m=0; y=0 para cada x R, entonces es una función constante y se confunde con el eje X. Si m= 0, entonces y = mx. Si m > 0, entonces y = mx es una función creciente. Además, la recta L que representa a la función y = mx con m>0, forma un ángulo agudo con el eje de las x. Si m<0, entonces y = mx es una función decreciente. El valor de m nos indica la orientación de la recta. 3. Concepto de Recta Una recta es la representación gráfica de una función de primer grado. Toda función de la forma y = ax + b de IR en IR representa una línea recta. La x y la y son las variables de la ecuación, siendo x la variable independiente ya que puede tomar cualquier valor, mientras que y se llama variable dependiente, ya que su valor está determinado por el valor que tome x. Si un par de valores (x,y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

X

Y



Ejemplo: El punto (7,2) satisface la ecuación y = x - 5, ya que al reemplazar queda 2 = 7 - 5 lo que resulta verdadero. Cada punto (x,y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas IR x IR, siendo x el valor de la abscisa e y el valor de la ordenada.

(x,y) = (Abscisa , Ordenada) Ejemplo: El punto (-3,5) tiene por abscisa -3 y por ordenada 5. La ecuación de la recta puede ser representada en dos formas:

Forma General: ax + by + c = 0

Forma Principal: y = mx + n

4. Pendiente de una Recta En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición. La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas. Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo que indica que interceptará al eje y en el punto (0,7). OBSERVACION: Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1,y1) y (x2,y2), la pendiente queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea:

12

12

xx

yym

Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente 0. En la ecuación general de la recta, la pendiente y el coeficiente de posición quedan determinados por:

B

Am

B

Cn

Demostración: Transformemos la ecuación general de la recta en una ecuación principal. Ax + By + C = 0 Ax + By = -C By = -Ax - C

B

CAxy



B

C

B

Axy

Donde se demuestran los valores de m y n antes dado. Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x - 6y + 3 = 0? Solución:

m = -4/-6 = 2/3

n = -3/-6 = ½

5. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación. Para ello tomemos un tercer punto R(x,y), también perteneciente a la recta. Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea:

12

12

xx

yymPQ y

1

1

xx

yymPR

Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

1

1

12

12

xx

yy

xx

yy

que también se puede expresar como:

12

1211 )(

xx

yyxxyy

Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1,2) y Q(3,4) Solución:

13

24

1

2

x

y

2

2

1

2

x

y

1

1

2

x

y

y - 2 = x - 1 x - y + 1 = 0 6. Ecuación de la recta dado punto-pendiente La ecuación de la recta que pasa por dos puntos está determinada por:

1

1

12

12

xx

yy

xx

yy

Pero:

12

12

xx

yym



Luego: reemplazando en la ecuación anterior se obtiene:

1

1

xx

yym

Despejando, obtenemos que: y - y1 = m(x - x1) Ejemplo: Determina la ecuación general de la recta de pendiente -4 y que pasa por el punto (5,-3). Solución: y - y1 = m(x - x1) y - (-3) = -4(x - 5) y + 4 = -4x + 20 Luego: la ecuación pedida es: 4x + y - 16 = 0 7. Rectas Paralelas, coincidentes y perpendiculares Rectas Paralelas: Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición distintos, o sea: L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2, Entonces: L1 // L2 sí y sólo si m1 = m2 Ejemplo: Las rectas y = 4x + 5 ; y = 4x - 2 son paralelas. Rectas coincidentes: Dos rectas son coincidentes cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición iguales, o sea: L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2, Entonces: L1 coincidente con L2 sí y sólo si m1 = m2 y n1 = n2 Rectas perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1, o sea: L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,

Entonces: L1 L2 sí y sólo si m1· m2 = -1 Ejemplo: L1: y = -2x + 3 L2: y = 0,5x – 4

Entonces: L1 L2 ya que -2 · 0,5 = -1 Ejemplo:



Escribir la ecuación de las rectas l, m, n y r indicadas en la figura

Solución: Para la recta l, el intercepto con el eje y es b = 1. Además: Luego: La ecuación de la recta l es: y = x + 1. Para la recta m, b = 1 y

Por lo tanto: y = -x + 1 es la ecuación de la recta m. También para la recta n, b = -2 y la ecuación de la recta n, tiene la forma, y = mx - 2. Como el punto (2, 0) n, entonces satisface su ecuación, es decir, 0 = 2m - 2 , de donde m = 1. Por tanto: y = x - 2 es la ecuación de la recta n. Para la recta r, se procede como se hizo para l, obteniendo como ecuación: y = 2x + 2.

CIRCUNFERENCIA

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

r

C(a,b)

P(x,y)



Donde:

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación

Si desarrollamos:

y realizamos estos cambios:

Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es: y el radio cumple la relación:

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA CIRCUNFERENCIA Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación

queda reducida a: Ejemplo: Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2. Solución: Tenemos:

Ejemplo: Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio. Solución:

Tenemos:

Entonces:

ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACION

I. Resolver los siguientes ejercicios. 1. Calcular el punto medio y distancia de los siguientes pares ordenados: a) P1 (3,0) y P2 (5,0) b) P1 (1,8) y P2 (2,0) c) P1 (5,2) y P2 (5,4) 2. Hallar la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5) 3. Sean P1 (-1, 1) y P2 (3, 0) dos puntos en el plano. Determine las coordenadas del punto medio y la distancia. 4. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,2) y (2,1) 5. Dada la recta x+y-1=0, escribe las distintas formas que conozcas. ¿El punto (1,2) pertenece a la recta? ¿y el punto (3,-2)? 6. Sean dos rectas r y s dadas por sus ecuaciones generales: r: A x + B y + C = 0 y s: A' x + B' y + C' = 0



Si A=B=C=2, ¿qué valores tienen que tomar A', B' y C' para que las rectas sean paralelas?

Si A=B=C=2, ¿qué valores tienen que tomar A', B' y C' para que las rectas sean coincidentes?

Si A=B=C=2, ¿qué valores tienen que tomar A', B' y C' para que las rectas sean perpendiculares?

Si A=B=C=1 y A'=1, B'=2 y C'=0 ¿cuál es el punto de corte? 7. ¿Qué condición tienen que verificar los coeficientes para que las rectas sean paralelas? ¿Y para que sean coincidentes?¿Y perpendiculares? Halla la posición relativa de las rectas, 2 x+ 3 y -5 = 0 y m x - y + 3 = 0 según los valores de m. 8. Demostrar que los puntos (-3,-2),(5,-9) y (4,6) son los vértices de un triángulo isósceles y calcular el perímetro de dicho triángulo. 9. Demostrar que los puntos (3,6),(5,4),(-4,-1) y (-2,-3) son vértices de un rectángulo: calcular luego su perímetro, área y la longitud de cada una de sus distancias. 10. Usando la forma general, determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (-1, -4) y P2 (5, 1) 11.Encontrar la longitud y la pendiente de los segmentos de recta que une cada par de puntos: a) (3, -2) y (9, 6) b) (4, -3) y (-1, 9) c) (8, -4) y (-7, 4) d) (5, -8) y (-7, 8) 12. Demostrar que los puntos A(6, 1), B(1, 7) y C(-4, 1) son los vértices de un triángulo isósceles. 13. Si la pendiente de la recta que une los puntos: a) A(X1, -1), y, B(2, 5) es 3, encontrar X1. b) A(6, -1), y, B(10, Y1) es 2/3, encontrar Y1. 14. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos: a) O(0, 0), A(9, 2) y B(1, 4) es rectángulo. b) b. A(8, -1), B(-6, 1) y C(2, -7) es rectángulo. 15. Encontrar la ecuación de la recta que pasando por el punto de intersección de 6x - 2y + 8 = 0 con 4x - 6y + 3 = 0, sea perpendicular a 5x + 2y + 6 = 0 16. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 3) y cuya pendiente es 2. 17. En cada uno de los siguientes casos, encuentre la ecuación de la familia de rectas que cumple la condición dada: a) Pendiente -3. b) Intercepto con el eje X en 2. c) Intercepto con y en 6. d) Pasan por el punto (-3, 2). e) Paralelas a la recta: 4x -3y + 20 = 0. f) Perpendiculares a la recta 4x - 5y + 7 = 0 18. Encuentre la ecuación de la recta que: a) pasa por la intersección de las rectas: 2x - 3y + 7 = 0 y x + y - 7 = 0 y contiene

al origen. b) Pasa por la intersección de x - y + 6 = 0; 2x + y = 0 y tiene intercepto 2 con el eje y. c) Pasa por la intersección de 5x - 2y = 0; x - 2y + 8 = 0 y corta el primer

cuadrante determinando un triángulo de área 36. d) Pasa por el punto de intersección de y - 10 = 0, 2x - y = 0 y dista 5 unidades del

origen. 19. Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro en C(-3, 2) y radio 6.

20. La ecuación: : , representa una circunferencia.

Determine su centro C(h, k) y su radio r. 21. Calcular la distancia de cada una rectas de rectas a los puntos indicados: e) 2x + 3y - 4 =0 ; (-4,5) f) x - 2y + 1= 0 ; (1,10) g) 3x - 2y -9 = 0 ; (-4,2)



F

P

x

A

Ly

F

P

x

A

L

V

BD G

EC

H

h+p

pp

h

h-p

k

k

y

L'

h

h) 4x + 6y - 8 = 0; (-1,2) i) 2x - 4y - 6 = 0 ; (-5,-1) j) 2x-y+5=0 ; (-2,3) 22. Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:

23. Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas. 24. Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas. 25. Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.

26. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación

, y que pasa por el punto (-3,4). 27. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices: A(0, 0), B(3, 1), C(5, 7). 28. Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

LA PARABOLA

Parábola: Es el conjunto de todos los puntos contenidos en el plano cartesiano, tales que su distancia a un punto fijo “F”, llamado foco, es igual a su distancia a una recta fija “L”, llamada directriz, es decir: En la figura:

PAPF Elementos de la Parábola Foco: En la figura es el punto F. Directriz: Recta L. Vértice: Es punto de la parábola más cercano a la directriz. En la figura es V(h, k), donde h y k son las coordenadas del vértice. Distancia del vértice al foco: “p” Eje de simetría. Es la recta que contiene al foco y al vértice, en la figura es L’. Cuerda: Es el segmento que une dos puntos de la parábola. Ejem. En la figura: GH Cuerda Focal: Es una cuerda que pasa por el foco. En la figura, DE. Lado recto: Es la cuerda focal perpendicular al eje de simetría, en la figura: BC. La

longitud de la cuerda focal es el cuádruplo de la distancia del vértice al foco.



P(x,y)

x

L

pk

y

L' p

h

FV(h,k)

x

y

(0,0)

p4BC

Radio focal: es la distancia de un punto de la parábola al foco. En la figura PF. Si el vértice de la parábola es V(h, k) su eje focal paralelo al eje “x” y la parábola se abre hacia la derecha, tenemos: Ecuación de la directriz: x = h p Ecuación del eje de simetría: y = k Coordenadas de B: B (h + p, k + 2p) Coordenadas de C: C (h + p, k 2p) Coordenadas del foco: F (h + p, k) Ecuación de la parábola: Eje de simetría paralelo al eje X

Forma ordinaria de la ecuación de la parábola: )hx(p4)ky( 2

Forma general de la ecuación de la parábola: 0 F Ey Dx y2

Ejecutando la ecuación en su forma ordinaria:

y2 2ky + k2 4px + 4ph = 0

y2 2ky 4px + k2 + 4ph = 0

y comparándola con la forma general, se tiene que:

k2 D p4 E ph 4 K F 2

Caso Especial: Cuando el vértice está en el origen de coordenadas, es la forma canónica de la Ecuación.

Ecuación canónica:

px4y2

ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACION

1. Hallar la ecuación de la parábola con foco(0; 4) y directriz D: y + 4 = 0.

a) x2 = 16y b) x2 = 4y c) x2 = 16y d) x2 = 16 e) x2 = 4y

2. Hallar la ecuación de la parábola con V(0; 0) y foco F = ( 2; 0).

a) y2 = 8x b) x2 = 8y c) y2 = 8x d) y2 = x/8 e) x2 = 8y 3. Hallar la ecuación de la parábola que tiene su eje focal paralelo al eje Y y que pasa

por (0,0), (3,0) y 1,2

7

a) 4x2 + 24x – 7y – 27 = 0 b) 4x2 24x – 7y + 27 = 0 c) 4x2 24x + 7y – 27 = 0

d) 4x2 + 24x – 7y + 27 = 0 e) 4x2 + 24x + 7y + 27 = 0.



x

B

80

CA

30 m

y

4. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen de coordenadas y directriz de la recta: y – 5 = 0

a) x2 = 5y b) x2= 10y c) x2 = 20y d) x2 = 30y

e) x2= 40y

5. Un depósito de agua tiene sección transversal parabólica, cuando el nivel del agua alcanza una altura de 10u su ancho mide 20u; cuando el nivel del agua desciende hasta la mitad, su nuevo ancho del nivel del agua es:

a) 5 2 b) 6 2 c) 7 2 d) 9 2

e) 10 2 .

6. El cable ABC tiene la forma de una parábola. Si el punto más bajo del cable esta a 20m del suelo, calcule la ecuación de la parábola:

a) y = 160

1x2 b) y =

80

1 x2 c) y = 160 x2 d) y = 80 x2 e) y =

40 x2

7. Las rectas tangentes en los puntos P=(x1; y1); Q(x2; y2) de la parábola G: y2 = 4 px, se intersectan en un punto T. Halle las coordenadas de T

a) 4

2y1y,

p2

2y1y b)

2

2y1y,

p

2y1y2 c)

2

2y1y,

p4

2y1y

d)

3

2y1y,

p3

2y1y e)

2

2y1y,

p4

2y1y

8. Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas: a. F(3, 0), V(2, 0)

b. F(0, 0), V(-1, 0)

c. F(2, 3), directriz: x = 6

d. V(-1, 4), eje focal vertical, y la parábola pasa por el punto (2, 2)

9. Cada una de las ecuaciones descritas a continuación corresponden a parábolas. Localizar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz, ecuación del eje focal, y la ecuación de la tangente en el vértice.

a. y2 + 4x + 4y +20 = 0 b. y2 + 8x + 4y + 12 = 0 c. y2 + 4x + 4y = 0 d. 4y2 + 24x + 12y + 39 = 0

Walter Orlando Gonzales Caicedo...Walter Orlando Gonzales Caicedo Ejemplo: 0 0 5 0 5 0 5 0 0 A...

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