volumenes finitos

5.1. Introduccin 155

Captulo 5. Esquemas numricos para las ecuaciones de Saint Venant en dos dimensiones

5.1. Introduccin

En este captulo se presentan los esquemas de resolucin de las ecuaciones de Saint Venant en dos dimensiones utilizados en esta tesis, siguiendo el mismo esquema del captulo anterior para esquemas unidimensionales: desarrollo del esquema de primer orden, extensin a segundo orden, y esquemas de alta resolucin. Para cada uno de ellos se presenta el tratamiento del trmino independiente implementado. Curiosamente, las ecuaciones de Saint Venant en dos dimensiones presentan una formulacin ms sencilla que en una dimensin (no existe variacin del flujo por variacin de la geometra) por lo que el balance del trmino independiente con el vector de flujo se simplifica. Las ecuaciones a resolver, son las ecuaciones de Saint Venant bidimensionales en forma conservativa (2.47) deducidas en el Captulo 2.

t

+ =U F H (5.1)

con:

2

2

22

0; ; ( )

2( )

2

ox fx

oy fy

hu hvh

hhu hu g huv gh S Shv gh S S

hhuv hv g

= = + =

+

U F H (5.2)

Se ha utilizado la misma notacin que en el Captulo 2.

156 Captulo 5. Esquemas numricos para las ecuaciones de Saint Venant en dos dimensiones

5.2. Esquema conservativo de primer orden: Mtodo de Godunov en dos dimensiones

Como se ha visto en el apartado 3.2 del Captulo 3, utilizando la discretizacin en volmenes finitos, cualquier esquema conservativo para un sistema de ecuaciones hiperblico homogneo como

0t

+ =U F (5.3)

responder, en dos dimensiones, a la expresin:

1 *, , ,1

( )i

l l l

Nn ni i i w i w i w

li

t lV

+

=

= U U F n (5.4) donde , li wn es la normal exterior al contorno lw , , li wl es su longitud, iN el nmero de contornos y

*F el flujo numrico, que diferencia un esquema de otro. Como en el caso 1D, el mtodo de Godunov considera, en cada contorno de un volumen finito, un problema de Riemann local con un estado constante a cada lado del contorno. Para cada contorno lw , este problema de Riemann se puede interpretar como un problema de Riemann

unidimensional en la direccin perpendicular al contorno, cuya solucin en 1,n nt t + es1( , , , )n nli w t t

+ U , y

por lo tanto el flujo numrico del mtodo de Godunov en dos dimensiones es * 1, ( ( , , , ))ln n

i w li w t t+ = F F U , cuya

expresin final depender de cmo se resuelva el problema de Riemann (solucin exacta o aproximada utilizando algn Riemann solver).

5.2.1. Approximate Riemann Solver de Roe

Igual que en el caso unidimensional el Riemann solver de Roe presenta una serie de ventajas respecto los otros, sobretodo a la hora de incorporar el trmino independiente en el esquema numrico. El desarrollo del mismo es anlogo al caso unidimensional realizado en el captulo anterior pero considerando la expresin de F segn (2.47). Lus matrices jacobianas de F son, segn lo visto en 2.4.1.2:

2 22 2

0 1 0 0 0 12 0 ;

0 2c u u uv v u

uv v u c v v

= =

A B (5.5)

as que la matriz jacobiana en la direccin perpendicular a un contorno cuya normal exterior es ( , )x yn n es:

2 22 2

0( ) 2

( ) 2

x y

x y x y x y y

x y x x y

n nn n c u n uvn un vn un

uvn c v n vn un vn

= + = + +

A BA (5.6)

El Riemann solver de Roe en dos dimensiones consiste, igual que en el caso 1D, en reemplazar, en cada contorno del volmen finito, esta matriz jacobiana A por otra aproximada A que dependa de los valores de U a ambos lados del contorno y cumpla tres condiciones, que en 2D son:

1. A debe tener valores propios 1 2 3, , reales con sus vectores propios correspondientes 1 2 3, ,e e e linealmente independientes.

2. El sistema debe ser consistente con el sistema original, lo que quiere decir que debe cumplirse ( , ) ( )=U U UA A .

5.2. Esquema conservativo de primer orden: Mtodo de Godunov en dos dimensiones 157

3. La matriz A debe asegurar la conservatividad:

( ) ( ) ( )i j i j = F U F U U UA (5.7) donde i y j denotan elementos a ambos lados de un contorno. En cada contorno se tiene un problema de Riemann unidimensional. Por analoga con (4.28), la expresin para el flujo numrico para el mtodo de Godunov con el Riemann solver de Roe, en el caso bidimensional, es, para el contorno l-esimo del elemento i :

3

*, , ,

1 ,

1 1( )2 2l l li w i w i j i w k k kk i j

=

= + F n F F n e (5.8)

donde j indica el elmento que conecta con el i a travs de la pared lw . Ahora las expresiones para los vectores, y valores propios de A son:

1

2 1,3 2

3

1 0; ;

x y

x y x y

x y y x

un vn cun vn u cn cn

un vn c u cn cn

= + + = + = =

= +

e e (5.9)

De la primera condicin para la matriz A se obtiene

3

,1 ,

i j k kk i j

=

= U e (5.10)

con los coeficientes:

( ) ( )

1,3

2

1 ( ) ( ) ( )2 21 ( ) ( )

ijij x ij y x y ij

ij ij x ij ij y

hhu n hv n un vn h

c

hv v h n hu u h nc

= + +

=

(5.11)

y de la 3 condicin se deducen las expresiones que indican los estados promediados en cada contorno:

i i j j

i j

h u h uu

h h

+=

+ (5.12)

i i j j

i j

h v h vv

h h

+=

+ (5.13)

2

i jh hc g+

= (5.14)

Anlogamente al caso 1D, para asegurar un correcto tratamiento de las ondas de depresin transcrticas, se debe aplicar la correccin de entropa de Harten y Hyman consistente en reemplazar k en (5.8) por k , siendo este:

si

si

k k k

k

k k k

=


con:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , ,max 0, ,k k k k ki j i ji j i j = (5.16) de manera que el flujo numrico del Mtodo de Godunov con el Riemann solver de Roe (tambin conocido como esquema de Roe) finalmente queda:

3

*, , ,

1 ,

1 1( )2 2l l li w i w i j i w k k kk i j

F F =

= + F n n e (5.17)

5.2.2. Trmino independiente en el esquema Godunov +Roe 2D

Como ya se ha indicado en el caso unidimensional, el tratamiento del trmino independiente de las ecuaciones de Saint Venant debe conseguir un correcto balance entre el mismo y el vector de flujo. Por ello, un tratamiento centrado como el indicado en (3.17) no sera correcto: en la situacin de agua parada con un fondo no horizontal se obtendra una solucin no estacionaria. El equilibrio entre el vector de flujo y el trmino independiente se debe producir para la parte del mismo que representa la pendiente de fondo, pero puede obviarse para los trminos de friccin (Bruffau, 2000). De esta manera, el trmino independiente H en (2.47) se puede descomponer como:

1 2= +H H H (5.18) con

10

ox

oy

ghSghS

=

H (5.19)

y

20

fx

fy

ghSghS

=

H (5.20)

Sin embargo, en dos dimensiones no existe una componente del vector de flujo con dependencia espacial como ocurra en una dimensin, por lo que en cierta manera el proceso se simplifica. Al considerar el trmino independiente en las ecuaciones de Saint Venant bidimensionales y una discretizacin en volmenes finitos, cualquier esquema numrico se puede escribir como:

1 * *, , ,1

( )i

l l l

Nn ni i i w i w i w i

li i

t tlV V

+

=

= +U U F n H (5.21) donde * *1 *2i i i= +H H H representa la integral del trmino independiente en el volumen finito.

2H se puede aproximar, igual que en una dimensin, de forma centrada por:

2* 2,ni i iV=H H (5.22) La componente 1H del trmino independiente debe tratarse de acuerdo con el esquema numrico utilizado. En los prximos apartados se analiza su expresin para los distintos esquemas utilizados en esta tesis. En el esquema de Roe, una descomposicin anloga a lo realizado para el vector de flujo requiere considerar

*1iH como la suma de unas contribuciones en cada contorno del volumen finito:

5.2. Esquema conservativo de primer orden: Mtodo de Godunov en dos dimensiones 159

*1 *1,1

i

l

N

i i wl =

= H H (5.23) donde

*1 1, lij

i w SdV= H H (5.24)

siendo j el elemento que conecta con el elemento i por el lado lw , y ijS la superficie definida por el centro del elemento i y el lado lw (Figura 5.1). Por otro lado, al trabajar con la forma integral de las ecuaciones, el esquema de Roe descompone la integral del vector de flujo en base a los vectores propios de la matriz jacobiana. Hacer lo mismo con el trmino independiente implica considerar la integral del trmino independiente en un contorno entre dos elementos i y j , es decir, la integral del trmino independiente en las dos superficies definidas por el centro de los elementos i y su lado comn, es decir:

3

1,

1 ,l

ij jii w k kS S

k i j

dV l +

=

= H e (5.25)

Esta ltima expresin, considerada junto con (5.24), conduce a:

( )3

*1, ,

1 ,

1 1 signo( )2l li w i w k k kk i j

l =

= H e (5.26)

La expresin compacta del mtodo de Godunov con el Riemann solver de Roe con trmino independiente es por consiguiente:

1 * *1 2,, , , ,1 1

( )i i

l l l l

N Nn n ni i i w i w i w i w i

l li

t l tV

+

= =

= + + U U F n H H (5.27)

donde *F n responde a (5.17), 1*H a (5.26) y 2H a (5.20) junto con la frmula de Manning, considerando en sta ltima el radio hidrulico como la relacin entre el volumen de agua en el elemento (calado multiplicado por la proyeccin horizontal de la superficie del elemento) y la superficie del contorno del cauce correspondiente al mismo elemento. Para la obtencin de los coeficientes k , considerando (5.25) junto con (5.19) se tiene:

( )( )

2 3 ,

,

01 0 1

i x y x xi j

y x yyi j

u cn cn u cn gh z nv cn cn v cn gh z n

+ + + = +

(5.28)

de donde

( )1 ,2

3 1

20

i j

c z

=

==

(5.29)

Igual que en el caso unidimensional, puede verse que en la situacin de agua parada, debe cumplirse j j j = ,

lo que se produce de forma directa sustituyendo las expresiones de y .


i

y

x

i

,i jS

j

lw ,j iS

Figura 5.1. Definicin de superficies ,i jS

5.3. Esquemas de segundo orden en dos dimensiones 161

5.3. Esquemas de segundo orden en dos dimensiones

5.3.1. McCormack en dos dimensiones

El esquema de McCormack en dos dimensiones consta, como en el caso unidimensional, de dos pasos: predictor y corrector:

*, , ,

1

*, , ,

1

1

( )

( )

1 ( )2

i

l l l

i

l l l

NP n ni i i w i w i w

li

NC P Pi i i w i w i w

li

n P Ci i i

t lV

t lV

=

=

+

=

=

= +

U U F n

U U F n

U U U

(5.30)

En cada paso se debe evaluar el flujo numrico en cada uno de los contornos de un elemento, o bien como el flujo en el mismo elemento, o bien como el flujo en el elemento contiguo por dicho contorno, e ir alternando en cada paso de tiempo. Al haber dos direcciones espaciales la alternancia depender del nmero de lados de cada elemento. En el caso de cuadrilteros se ha utilizado la alternancia descrita en la Tabla 5.1 con la notacin de la Figura 3.2:

Predictor Corrector 1

1

*,1 wn n

i e=F F , 2*,2 wn n

i e=F F ,*,3n n

i i=F F ,*,4n n

i i=F F *,1n n

i i=F F ,*,2n n

i i=F F , 3*,3 wn n

i e=F F , 4*,4 wn n

i e=F F

2 *,1n n

i i=F F , 2*,2 wn n

i e=F F , 3*,3 wn n

i e=F F ,*,4n n

i i=F F 1*,1 wn n

i e=F F ,*,2n n

i i=F F ,*,3 3n n

i =F F , 4*,4 wn n

i e=F F

3 1

*,1 wn n

i e=F F ,*,2n n

i i=F F ,*,3n n

i i=F F , 4*,4 wn n

i e=F F *,1n n

i i=F F , 2*,2 wn n

i e=F F , 3*,3 wn n

i e=F F ,*,4n n

i i=F F

4 *,1n n

i i=F F ,*,2n n

i i=F F , 3*,3 wn n

i e=F F , 4*,4 wn n

i e=F F 1*,1 wn n

i e=F F , 2*,2 wn n

i e=F F ,*,3n n

i i=F F ,*,4n n

i i=F F

Tabla 5.1. Alternancia en el esquema de McCormack 2D para cuadrilteros

Elemento i

,2in

,1in

,4in

,3in

y

xElemento 1we

Elemento 2we

Elemento 4we

Elemento 3we

Figura 5.2. Notacin en elementos cuadrilteros para el esquema de McCormack


En el caso de tringulos, por no existir en cada elemento lados opuestos que determinan una direccin en el espacio, la alternancia es ms compleja. Se ha utilizado un ciclo de ocho instantes de tiempo (Tabla 5.2 y Figura 5.3).

Predictor Corrector 1

1

*,1 wn n

i e=F F , 2*,2 wn n

i e=F F , 3*,3 wn n

i e=F F , *,1n n

i i=F F , *,2n n

i i=F F , *,3n n

i i=F F

2 1

*,1 wn n

i e=F F , 2*,2 wn n

i e=F F , *,3n n

i i=F F , *,1n n

i i=F F , *,2n n

i i=F F , 3*,3 wn n

i e=F F

3 *,1n n

i i=F F , 2*,2 wn n

i e=F F , 3*,3 wn n

i e=F F , 1*,1 wn n

i e=F F , *,2n n

i i=F F , *,3n n

i i=F F ,

4 *,1n n

i i=F F , 1*,2 wn n

i e=F F , 3*,3 wn n

i e=F F , *,1n n

i i=F F , 2*,2 wn n

i e=F F , *,3n n

i i=F F ,

5 1

*,1 wn n

i e=F F , *,2n n

i i=F F , *,3n n

i i=F F *,1n n

i i=F F , 2*,2 wn n

i e=F F , 4*,3 wn n

i e=F F

6 *,1n n

i i=F F , 2*,2 wn n

i e=F F , *,3n n

i i=F F 1*,1 wn n

i e=F F , *,2n n

i i=F F , 3*,3 wn n

i e=F F

7 *,1n n

i i=F F , *,2n n

i i=F F , 3*,3 wn n

i e=F F 1*,1 wn n

i e=F F , 2*,2 wn n

i e=F F , *,3n n

i i=F F ,

8 *,1n n

i i=F F , *,2n n

i i=F F , *,3n n

i i=F F 1*,1 wn n

i e=F F , 2*,2 wn n

i e=F F , 3*,3 wn n

i e=F F

Tabla 5.2. Alternancia en el esquema de McCormack 2D para tringulos

Elemento i,2in

,1in

,3in

y

x

Elemento 1we

Elemento 2we

Elemento 3we

Figura 5.3. Notacin en tringulos para el esquema de McCormack

5.4. Esquemas de alta resolucin en dos dimensiones 163

5.4. Esquemas de alta resolucin en dos dimensiones

La extensin del esquema de Godunov a segundo orden de precisin y variacin total decreciente es anloga en dos dimensiones a lo realizado en el caso unidimensional, existiendo tambin dos familias de esquemas: esquemas tipo WAF y esquemas tipo MUSCL. No se presentan los esquemas de segundo orden sin variacin total decreciente, por no tener inters prctico para los objetivos de la tesis, ya que producen oscilaciones espurias, y se pueden obtener a partir de la versin TVD si se utiliza una funcin de limitacin igual a la unidad.

5.4.1. WAF TVD en dos dimensiones

Exactamente de la mima manera que en el caso 1D, partiendo de la idea de ponderacin de flujo se obtiene el esquema WAF TVD en dos dimensiones, cuyo flujo numrico es:

3

*, , ,

1 ,

1 1( ) (1 (1 ))2 2l l li w i w i j i w k k k k kk i j

v =

= + F n F F n e (5.31)

o , expresado como el esquema de primer orden (5.17) ms unas correcciones a segundo orden:

3 3

*, , ,

1 1, ,

1 1 1( ) (1 )2 2 2l l li w i w i j i w k k k k k k k kk ki j i j

v = =

= + + F n F F n e e (5.32)

con /k kv t x= como en el caso unidimensional, k responde a ,(5.15). La funcin de limitacin responder a alguna de las expresiones presentadas en el apartado 4.4 del Captulo 4 y:

( ) ( ), ,k ki j i jr = (5.33) donde kr , que indica el salto que sufre la componente k de la solucin en un contorno de un elemento respecto del salto en el contorno (del mismo elemento o no) situado en la direccin upwind, es:

( )( )( )

,,

,

(1 )

(1 )k k k m n

k i jk k k i j

r

=

(5.34)

m es el elemento upwind de i y n el elemento upwind de j . La direccin upwind la indica la normal al

contorno, y el sentido el signo de k . En la Figura 5.4 y la Figura 5.5 se representan cuales seran los elementos m y n , para cuadrilteros y tringulos, en el caso de 0k > y 0k < .

5.4.1.1 Trmino independiente en el esquema WAF TVD 2D El mismo proceso visto para el esquema de primer orden puede hacerse para segundo orden de precisin y Variacin Total Decreciente, discretizando *1H de acuerdo con el vector de flujo. En ese caso, la expresin para

*1, li w

H es:

( )( )3

*1, ,

1 ,

1 1 signo( ) 1 (1 )2l li w i w k k k k kk i j

l v =

= H e (5.35)

El esquema numrico se obtiene sustituyendo esta ltima expresin (5.27) junto con la expresin del flujo numrico (5.31).


m m

n i=

y

x

j

n i=

y

x

j ( ),

0k i j >

Figura 5.4. Elementos (m y n) que determinan el contorno upwind del (i,j) para ( ),

0k i j >

i

n n

m j=

i

y

x

m j=

i

y

x

( ),

0k i j

volumenes finitos

Documents

Transcript of volumenes finitos