Volatility models and their applications in Finance (2/4) - Handouts: Volatilitat i...

Volatilitat i Correlació

Sessió pràctica

Gerard AlbàJosep Salvà

FME UPC – 27 Gener 2014

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

1. Gestió del risc d’una opció: les gregues.Delta

Gamma

Vega

Theta

Rho i Phi

2. Gestió d’un Llibre de Derivats

2

2. Gestió d’un Llibre de DerivatsValoració i Cobertura teòrica d’straddles

Imputs de Mercat:

la volatilitat

la correlació

els dividends discrets

Problemes reals


1. Gestió del risc d’una opció: les gregues.

En una operació amb opcions, el market maker (creador demercat) busca obtenir-ne un benefici independentment del valorfinal del payoff, o sigui, minimitzant tot tipus de risc.

Un inversor també pot voler cobrir (parcialment o total) alguntipus de risc.

3

Per això, primer de tot cal saber identificar i quantificar elsriscos que poden afectar al valor de l’opció.

En funció de la magnitud de cadascun, cal trobar formes dereduir la seva importància.



Per exemple, segons la fórmula de Black-Scholes, el valor d’unaopció de compra europea és de la forma:

amb

4

amb



Per tant, el preu d’una call europea depèn de les següentsvariables o paràmetres:

•Strike,

•Preu del subjacent,

5

•Tipus d’interès,

•Dividends,

•Volatilitat,

•Temps a venciment,



Podem pensar, doncs, en una funció en aquests paràmetres dela forma:

6

i el mateix podem fer amb les opcions de venda (puts):



Les gregues mesuren la sensibilitat del preu de l’opció a lesvariacions de les variables que afecten al seu valor.

D’aquesta manera es pot quantificar l’efecte que té cadascunad’elles i decidir de quines cal gestionar el risc.

7

d’elles i decidir de quines cal gestionar el risc.

De totes les variables i paràmetres, l’strike i la data devenciment queden fixats a l’inici i es mantenen constantsdurant la vida de l’opció.



8


1. Gestió del risc d’una opció: la delta.

La delta mesura la sensibilitat del preu de l’opció a canvis en elpreu del subjacent. Si denominem D al preu del derivat, la deltaés de la forma

Per a opcions plain vanilla:

9

Per a opcions plain vanilla:



10



La delta indica la quantitat de subjacent que cal tenir en unacartera replicant.

Proporciona una aproximació lineal (en funció del preu delsubjacent) al preu de l’opció

11



Tot i així, el valor d’un derivat no és lineal en el preu delsubjacent, fet pel qual l’aproximació és més inexacta commajor és la variació .

12

Això també fa que el valor de delta canviï quan ho fa el preudel subjacent o el temps. Per tant, el nombre d’accions que caltenir en cartera per replicar el derivat no és constant.


1. Gestió del risc d’una opció: la gamma.

Per tant la delta (que ens marca la quantitat de subjacentnecessari per a fer la cobertura) resulta ser una sensibilitatmolt important i ens interessa conèixer-ne la sevasensibilitat respecte l’evolució del subjacent.

13

O sigui, ens interessa saber com i quant variarà la quantitatde subjacent en cartera si ho fa el preu del subjacent.

Aquesta sensibilitat es la que s’anomena Gamma:



El signe de la gamma ens indicarà si haurem de comprarmés subjacent quan el preu d’aquest augmenti o si n’hauremde comprar quan disminueixi (a l’inversa per a la venda desubjacent).

14

Una gamma elevada ens indica que la quantitat de subjacenten cartera variarà més quan ho faci el preu del subjacent,mentre que una gamma reduïda ens indica que no caldràvariar gaire la quantitat de subjacent en cartera.



Per opcions plain vanilla tenim que la gamma és la mateixaper calls i puts, i és de la forma

15

amb

Igual que la delta, varia segons l’evolució de la resta devariables.



16



Usant la gamma s’aconsegueix una millor aproximació de lesvariacions del preu de l’opció segons les del preu delsubjacent.

17



A diferència de la delta, la gamma no es pot cobrir compranto venent subjacent.

Si es vol tenir una posició reduïda en gamma cal usar altresopcions.

A la pràctica s’usen combinacions d’opcions cotitzades en

18

A la pràctica s’usen combinacions d’opcions cotitzades enmercats organitzats per neutralitzar la gamma de les opcionsque es desitja cobrir.

Tot i així, la poca liquiditat del mercat d’opcions fa que lacobertura de gamma no sigui tant dinàmica com pot ser lacobertura delta.


1. Gestió del risc d’una opció: la vega.

Tot i que en el model de valoració de Black-Scholes sesuposa la volatilitat constant, sabem que també varia en eltemps i segons el valor del subjacent.

La sensibilitat d’una opció a canvis en la volatilitat

19

La sensibilitat d’una opció a canvis en la volatilitats’anomena vega, i per a les opcions plain vanilla coincideix iés de la forma



20



En moltes opcions la vega resulta ser molt important ja quel’exposició a canvis en la volatilitat pot ser molt elevada.

En les opcions plain vanilla, el preu resulta ser molt sensibleal valor de volatilitat usat.

Preu d'una Vainilla segons la Volatilitat (S=10, K = 10, r= 4%, q= 0%, T=1)

21

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60%

Volatilitat

Pre

u

Preu Call Preu Put



22

Preus i Volatilitat Implícita



Per tant, durant la vida de l’opció, els canvis en la volatilitatprovocaran canvis en la seva valoració a més dels provocatspels canvis en les altres variables.

Aquests canvis de volatilitat serien canvis en la volatilitat

23

Aquests canvis de volatilitat serien canvis en la volatilitatimplícita. Si l’opció es manté fins al venciment, els canvis enla valoració no acaben important ja que el valor del payoff ésindependent de la volatilitat.

El que sí que importa més són els canvis en la volatilitatrealitzada que pot afectar a la cobertura delta/gamma.



24



Els diferents nivells de volatilitat fan variar més o menys lagamma i per tant, fan que la cobertura a canvis en elsubjacent sigui diferent.

Que el preu de l’opció (plain vanilla) sigui superior quan augmenta la volatilitat és un dels factors que fa que els

25

augmenta la volatilitat és un dels factors que fa que els nivells implícits tendeixin a ser superiors als nivells realitzats.

D’aquesta manera s’evita haver de fer la cobertura de la vega, tot i que podria ser coberta, igual que la gamma, usant combinacions d’opcions cotitzades; o mitjançant altres instruments més sofisticats com Variance Swaps.


1. Gestió del risc d’una opció: la theta.

Hem vist que el preu d’un derivat depèn també del temps.La sensibilitat al pas del temps s’anomena Theta:

26

I per a les opcions plain vanilla és de la forma:


1. Gestió del risc d’una opció: la theta.

27


1. Gestió del risc d’una opció: la rho i la phi.

Igual que la volatilitat, tot i que en el model de Black-Scholes es suposa un tipus d’interès lliure de risc fix durantla vida de l’opció, a la pràctica no ho és. El mateix passaamb la rendibilitat als dividends considerats.

28

La sensibilitat als tipus d’interès s’anomena rho i lasensibilitat als dividends (o dividend yield) s’acostuma aanomenar phi.

Tot i així, per a opcions plain vanilla no resulten ser moltimportants i sovint no se’n realitza la cobertura, que espodria fer utilitzant instruments de renda fixa com Swaps detipus d’interès o Dividend Swaps.



L’expressió per a la rho de les opcions plain vanilla és

29

I la de phi és



30


2. Gestió d’un Llibre de Derivats: Valoració i Coberturateòrica d’straddles

Com s’ha dit, la volatilitat realitzada en fer la coberturaafecta al valor de gamma (i per tant, de delta).

Suposem que volem fer la cobertura delta de 100 straddles(call+put ATM) amb strike 10, tipus d’interès lliure de risc

31

(call+put ATM) amb strike 10, tipus d’interès lliure de riscdel 4%, volatilitat del 20%, sense dividends i amb unvenciment a 20 dies.

Generant una mostra d’evolució de preus durant els 20 diesamb una volatilitat del 20% i realitzant la cobertura deltauna vegada cada dia s’obté un P&L gairebé nul.



Dia Spot Preu Straddles P&L opció Delta d1 P&L accions P&L Bo Finançament P&L Acumulat0 10,00 -37,39 5,37 0,07 0,00 -16,33 -0,00179 0,001 9,82 -38,14 -0,75 -25,23 -0,32 -0,94 -1,69 284,34 0,03116 -1,692 9,74 -40,18 -2,04 -40,65 -0,53 2,19 0,15 434,53 0,04762 -1,513 9,82 -36,52 3,66 -28,12 -0,36 -3,31 0,35 311,51 0,03414 -1,124 9,78 -37,00 -0,48 -36,69 -0,48 1,18 0,70 395,34 0,04332 -0,385 9,75 -37,39 -0,39 -43,47 -0,58 1,13 0,75 461,45 0,05057 0,416 9,65 -41,70 -4,31 -60,70 -0,85 4,21 -0,10 627,83 0,06880 0,367 9,66 -40,62 1,08 -61,74 -0,87 -0,39 0,69 637,85 0,06990 1,128 9,58 -45,20 -4,58 -74,21 -1,13 4,70 0,12 757,43 0,08301 1,329 9,57 -45,65 -0,45 -77,91 -1,22 0,93 0,49 792,90 0,08689 1,88

10 9,59 -43,75 1,89 -78,22 -1,23 -1,39 0,50 795,93 0,08723 2,47

32

10 9,59 -43,75 1,89 -78,22 -1,23 -1,39 0,50 795,93 0,08723 2,4711 9,55 -46,04 -2,29 -84,33 -1,42 2,64 0,35 854,43 0,09364 2,9112 9,34 -65,11 -19,07 -97,57 -2,25 17,57 -1,50 978,18 0,10720 1,5013 9,32 -67,29 -2,18 -98,75 -2,50 2,15 -0,03 989,32 0,10842 1,5814 9,41 -58,70 8,59 -98,08 -2,34 -8,64 -0,05 983,07 0,10773 1,6415 9,55 -45,22 13,48 -94,84 -1,95 -13,60 -0,12 952,29 0,10436 1,6416 9,52 -47,94 -2,72 -98,02 -2,33 2,77 0,05 982,64 0,10769 1,7917 9,50 -49,48 -1,54 -99,47 -2,79 1,51 -0,03 996,54 0,10921 1,8718 9,50 -49,90 -0,42 -99,94 -3,45 0,34 -0,08 1001,15 0,10972 1,9019 9,59 -40,81 9,09 -99,99 -3,97 -9,19 -0,10 1001,74 0,10978 1,9120 9,56 -44,38 -3,57 -100,00 3,47 -0,10 1001,92 0,10980 1,92

TOTAL -6,99 7,35 1,66839 1,92


33

Distribució de resultats a partir de 100 simulacions ambvolatilitat implícita 20% i volatilitat realitzada 20%.

El valor mig del P&L està a l’entorn dels 0€.



En canvi, si la volatilitat realitzada és superior a la implícitas’obtenen pèrdues majors. Amb una volatilitat realitzada del30% obtindríem:

Dia Spot Preu Straddles P&L opció Delta d1 P&L accions P&L Bo Finançament P&L Acumulat0 10,00 -37,39 5,37 0,07 0,00 -16,33 -0,00179 0,001 9,74 -40,98 -3,59 -39,50 -0,52 -1,41 -5,00 420,59 0,04609 -5,00

34

1 9,74 -40,98 -3,59 -39,50 -0,52 -1,41 -5,00 420,59 0,04609 -5,002 9,61 -46,77 -5,79 -59,72 -0,84 5,12 -0,67 614,94 0,06739 -5,633 9,73 -39,83 6,94 -43,63 -0,58 -7,16 -0,22 458,46 0,05024 -5,784 9,66 -42,22 -2,39 -54,96 -0,76 2,76 0,37 568,06 0,06225 -5,365 9,62 -44,33 -2,11 -63,34 -0,90 2,57 0,46 648,69 0,07109 -4,846 9,47 -54,36 -10,03 -81,44 -1,32 9,12 -0,90 820,25 0,08989 -5,677 9,48 -53,30 1,06 -82,42 -1,35 -0,70 0,36 829,64 0,09092 -5,228 9,37 -62,93 -9,63 -91,88 -1,74 9,30 -0,33 918,30 0,10064 -5,469 9,35 -64,60 -1,67 -94,06 -1,89 1,78 0,11 938,80 0,10288 -5,25

10 9,38 -62,11 2,49 -94,26 -1,90 -2,38 0,11 940,78 0,10310 -5,0411 9,33 -66,87 -4,76 -97,07 -2,18 4,75 -0,01 967,08 0,10598 -4,9612 9,02 -97,10 -30,23 -99,94 -3,44 29,53 -0,70 993,05 0,10883 -5,5513 8,99 -100,47 -3,37 -99,98 -3,81 3,27 -0,10 993,57 0,10888 -5,5414 9,11 -87,98 12,49 -99,96 -3,58 -12,59 -0,10 993,50 0,10888 -5,5315 9,32 -67,97 20,01 -99,72 -3,00 -20,12 -0,11 991,39 0,10865 -5,5416 9,27 -72,40 -4,44 -99,96 -3,58 4,34 -0,10 993,72 0,10890 -5,5317 9,25 -74,85 -2,44 -100,00 -4,28 2,34 -0,10 994,13 0,10895 -5,5218 9,24 -75,53 -0,69 -100,00 -5,30 0,58 -0,10 994,27 0,10896 -5,5119 9,38 -62,28 13,26 -100,00 -6,14 -13,36 -0,10 994,38 0,10897 -5,5120 9,32 -67,55 -5,27 -100,00 5,17 -0,10 994,50 0,10899 -5,50

TOTAL -30,16 22,90 1,86869 -5,50


35


El valor mig del P&L està a l’entorn dels -20€.



I amb una volatilitat realitzada del 10%:

Dia Spot Preu Straddles P&L opció Delta d1 P&L accions P&L Bo Finançament P&L Acumulat0 10,00 -37,39 5,37 0,07 0,00 -16,33 -0,00179 0,001 9,91 -36,61 0,78 -10,08 -0,13 -0,47 0,31 136,88 0,01500 0,312 9,87 -36,28 0,33 -18,36 -0,23 0,44 0,77 218,59 0,02396 1,093 9,91 -34,72 1,56 -11,50 -0,14 -0,77 0,79 150,57 0,01650 1,914 9,89 -34,00 0,71 -16,05 -0,20 0,24 0,95 195,61 0,02144 2,875 9,88 -33,27 0,74 -19,78 -0,25 0,24 0,98 232,46 0,02548 3,87

36

5 9,88 -33,27 0,74 -19,78 -0,25 0,24 0,98 232,46 0,02548 3,876 9,83 -33,48 -0,22 -30,28 -0,39 0,96 0,75 335,72 0,03679 4,647 9,83 -32,36 1,12 -30,90 -0,40 -0,12 1,00 341,78 0,03746 5,688 9,79 -32,72 -0,36 -40,06 -0,53 1,18 0,82 431,59 0,04730 6,549 9,79 -31,97 0,75 -43,15 -0,57 0,23 0,98 461,83 0,05061 7,57

10 9,80 -30,53 1,45 -43,32 -0,57 -0,42 1,03 463,52 0,05080 8,6411 9,78 -30,25 0,27 -49,25 -0,66 0,72 0,99 521,61 0,05716 9,6912 9,67 -35,88 -5,63 -71,91 -1,08 5,25 -0,37 740,89 0,08119 9,3713 9,66 -35,99 -0,11 -76,94 -1,20 0,78 0,67 789,56 0,08653 10,1214 9,71 -31,80 4,19 -73,58 -1,12 -3,53 0,66 756,98 0,08296 10,8615 9,78 -25,87 5,93 -63,96 -0,91 -5,29 0,64 662,98 0,07266 11,5916 9,77 -25,76 0,11 -72,87 -1,10 0,92 1,03 750,06 0,08220 12,6917 9,76 -25,34 0,42 -81,32 -1,32 0,53 0,95 832,64 0,09125 13,7218 9,76 -24,64 0,70 -89,80 -1,64 0,09 0,79 915,50 0,10033 14,6019 9,81 -19,60 5,04 -93,74 -1,86 -4,29 0,75 954,18 0,10457 15,4520 9,79 -21,17 -1,56 -100,00 1,60 0,04 1015,60 0,11130 15,60

TOTAL 16,22 -1,71 1,19367 15,60


37


El valor mig del P&L està a l’entorn dels +19€.



I la volatilitat realitzada pot variar tant? Sí!Volatilitat Realitzada i Volatilitat Implícita

38


2. Gestió d’un Llibre de Derivats: Imputs de Mercat

la volatilitatSegons els tipus de subjacent, la volatilitat implícita queusem per valorar l’aconseguim de formes molt diferents.

En els Mercats Organitzats (ex: Equity) tenim opcionsvainilla amb diversos venciments i strikes. Tenint la resta devariables només ens falta la volatilitat. Aquesta l’aconseguim

39

variables només ens falta la volatilitat. Aquesta l’aconseguimbuscant la volatilitat implícita que ens iguala el preu.

Ull!! Les opcions sobre accions són americanes i les opcions sobre índexs son europees.

En mercats OTC (Over-The-Counter) no tenim aquestesopcions coitzades per tant hem d’aconseguir les volatilitatsd’altres formes. Per exemple en FX s’usa el Risk Reversal i elButterfly, i en Tipus d’interès s’usa el Capstrapping.



la volatilitat

40

Nivells de Volatilitat de l’Eurodòlar



la volatilitat

41

Nivells de Volatilitat de l’Euribor6M



la correlacióTal com passa amb la volatilitat, la correlació histórica no ensserveix per valorar i necessitem una correlació implícita perdonar preus correctes.

En aquest cas no tenim opcions a mercat organitzat, per tantles correlacions implícites s'han de treure d'opcions OTC.

42

les correlacions implícites s'han de treure d'opcions OTC.

Si algú ens dongués un preu sobre una opció sobre dosactius i tenim totes les dades de mercat necessàries (preus,volatilitats, dividents, tipus d'interés...) i a sobre, sabemvalorar l'opció, aleshores podem trobar una correlacióimplícita que iguala el preu.

Sembla massa fàcil...



la correlació

Correlació històrica entre

UG FP i ITX SM

43

Correlació històrica entre

Eurodòlar i WTI (petroli)



els dividends discretsEn Equity a més a més, tenim un altre problema: elsdividends.

En el model de Black-Scholes es dóna per fet que elsdividends s'expressen com un rendiment constant de l'actiu ique aquest a més és en espècie.

44

que aquest a més és en espècie.

A l'hora de la veritat els dividends són discrets i generalmenten una quantitat en euros, que generalment no coincideixamb el que s'havia pagat l'any anterior

Així doncs, també hem d'obtenir un valor implícit delsdividends a mercat. Per això tenim els dividend swaps o elsfuturs de dividends.



els dividends discrets

45

A l’esquerra: Índex de dividends pel 2014 de l’índex FTSE100 (UK)

A la dreta: Índex de dividends pel 2014 de l’índex Eurostoxx50 (Euro)


46

A l’esquerra: Índex de dividends pel 2014 del BBVA

A la dreta: Índex de dividends pel 2014 de Telefónica

En els dos casos es pot observar que els moviments del preu són mésmarcats que en els índexs FTSE100 o Eurostoxx50 degut a la poca liquiditat


2. Gestió d’un Llibre de Derivats: Problemes reals

Problemes entre la teoria i la pràctica:

- Diferència entre la oferta i la demanda

- Comisions de mercat i/o de brokeratge

- Liquidesa i profunditat de mercat

47

- Col·lateralització

- Bases

- etc.



48

Liquidesa i profunditat del futur de l’Euribor3M Mar09



49

Liquidesa i profunditat de la Call 98 de l’Euribor3M Mar09



50

Diferència entre l’oferta i la demanda, accentuada a major nominal

Volatility models and their applications in Finance (2/4) - Handouts: Volatilitat i...

Economy & Finance

Transcript of Volatility models and their applications in Finance (2/4) - Handouts: Volatilitat i...