Vigas 1

Teoría y Diseño Avanzado de Estructuras de Acero – Método LRFD

MODULO 8: VIGAS

8.1 TIPOS DE VIGAS

Las vigas son miembros que soportan cargas transversales. Se usan generalmente

en posición horizontal y quedan sujetas a careas por gravedad o verticales; sin

embargo, existen excepciones, por ejemplo, el caso de los cabios.

Los diversos muchos tipos de vigas se presentan de la siguiente manera:

viguetas vigas estrechamente dispuestas para soportar los pisos y techos de edificios

dinteles aberturas en muros de mampostería como puertas y ventanas

vigas de fachada paredes exteriores de edificios. La capacidad de las vigas de acero para soportar muros de mampostería (junto con la invención de los elevadores) como parte de un marco estructural, permitió la construcción de los rascacielos actuales

largueros de puente Se usan para transferir las cargas del piso, de los largueros de puente a las trabes o armaduras sustentantes

vigas de piso. vigas en los pisos de puentes que corren paralelas a la superficie de rodamiento.

El término trabe se usa en forma algo ambigua, pero usualmente denota una viga

grande a la que se conectan otras de menor tamaño.

8.2 PERFILES USADOS COMO VIGAS

Los perfiles W generalmente resultan las secciones más económicas al usarse como

vigas y han reemplazado en esta aplicación casi por completo a los canales C y a

las secciones S. Las canales se usan a veces como largueros cuando las cargas

son pequeñas y en lugares en donde se requieren patines estrechos. Éstas tienen

muy poca resistencia a fuerzas laterales y requieren soporte lateral.. Los perfiles W

tienen un mayor porcentaje de acero concentrado en sus patines que las vigas S,

por lo que poseen mayores momentos de inercia y momentos resistentes para un

mismo peso. Éstos son relativamente anchos y tienen una rigidez lateral apreciable.

El poco espacio dedicado a las vigas S en el Manual LRFD evidencia claramente

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cómo ha disminuido su uso respecto a años anteriores. Hoy en día se usan

principalmente para situaciones especiales como cuando se requieren anchos

pequeños de patines, cuando las fuerzas cortantes son muy grandes o cuando son

convenientes mayores espesores de patín en la cercanía del alma por motivos de

flexión lateral como ocurre quizá con los rieles de guía.

Otro tipo común de viga es la vigueta de alma abierta. Este tipo de viga que se usa

comúnmente para soportar losas de piso y techo es en realidad una armadura ligera

de cuerdas paralelas. Resulta muy económica para grandes claros y cargas ligeras.

8.3 ESFUERZOS DE FLEXIÓN

Consideraremos una viga de sección rectangular y los diagramas de esfuerzos de la

Figura 8.1 para estudiar los esfuerzos de flexión. (Para este análisis inicial

supondremos que el patín a compresión de la viga está completamente soportado

contra el pandeo lateral. El pandeo lateral se analizará posteriormente.) Si la viga

está sujeta a momento flexionante el esfuerzo en cualquier punto puede calcularse

con la fórmula de la flexión: Fb = M/S = M c / I. ( esta expresión es aplicable

solamente cuando el máximo esfuerzo calculado en la viga es menor que el límite

elástico). La fórmula se basa en las hipótesis elásticas usuales: el esfuerzo es

proporcional a la deformación unitaria, una sección plana antes de la flexión

permanece plana después de la aplicación de las cargas. El valor es una constante

para una sección específica y se denomina Módulo de Sección (S). La fórmula de

la flexión puede escribirse entonces de la manera siguiente:

Inicialmente, cuando el momento se aplica a la viga, el esfuerzo varía linealmente

desde el eje neutro hasta las fibras extremas. Esta situación se muestra en la Figura

8.1 b). Si se incrementa el momento se mantendrá la variación lineal de los

esfuerzos hasta que se alcanza el esfuerzo de fluencia en las fibras extremas como

se muestra en la parte c) de la figura. El Momento de Fluencia de una sección



transversal se define como el momento para el cual empiezan a fluir las fibras

extremas de la sección.

Figura 8.1

Si el momento en una viga de acero dúctil se incrementa más allá del momento de

fluencia, las fibras extremas que se encontraban previamente sometidas al esfuerzo

de fluencia se mantendrán bajo este mismo esfuerzo, pero en estado de fluencia y el

momento resistente adicional necesario lo proporcionarán las fibras más cercanas al

eje neutro. Este proceso continuará con más y más partes de la sección transversal

de la viga, alcanzando el esfuerzo de fluencia como se muestra en los diagramas de

esfuerzos d) y e) de la figura, hasta que finalmente se alcanza la distribución plástica

total mostrada en f). Cuando la distribución de esfuerzos ha alcanzado esta etapa se

dice que se ha formado una articulación plástica porque esta sección no puede

resistir ningún momento adicional. Cualquier momento adicional aplicado en la

sección causara una rotación en la viga con poco incremento del esfuerzo.

El momento plástico es el momento que producirá una plastificación completa en

una sección transversal del miembro creándose ahí mismo una articulación plástica.

La relación del momento plástico Mp al momento de fluencia My se denomina factor

de forma. Los factores de forma son iguales a 1.50 en las secciones rectangulares y

varían entre 1.10 y 1.20 en las secciones laminadas estándar.

8.4 ARTICULACIONES PLÁSTICAS

El proceso de formación de una articulación plástica para una viga simple es el

siguiente (ver Figura 8.2). La carga mostrada que se aplica a la viga crece en

magnitud hasta que se alcanza el momento de fluencia con las fibras extremas

sometidas al esfuerzo Fy; la magnitud de la carga continúa incrementándose y las

fibras extremas empiezan a fluir; la plastificación se extiende hacia otras fibras fuera

de la sección de momento máximo como se indica en la figura. La longitud en donde

se presenta esta plastificación hacia ambos lados de la sección considerada,

depende de las condiciones de carga y de la sección transversal del miembro. Para



una carga concentrada aplicada en el centro del claro de una viga simplemente

apoyada con sección rectangular, la plastificación en las fibras extremas en el

momento que se forma la articulación plástica se extenderá sobre un tercio del claro.

En un perfil W en circunstancias similares, la fluencia se extenderá

aproximadamente sobre un octavo del claro. Durante este mismo periodo las fibras

interiores en la sección de momento máximo fluirán gradualmente hasta que todas

alcancen el esfuerzo Fy y se forma una articulación plástica como se ve en la Figura

8.2.

Figura 8.2

Aunque el efecto de una articulación plástica se extiende sobre un cierto tramo a lo

largo de la viga, se supone que la articulación está concentrada en una sola sección

para propósitos de análisis. Para el cálculo de deflexiones y para el diseño del

soporte lateral, la longitud sobre la cual se extiende la fluencia es de gran

importancia. Cuando los marcos de acero se cargan hasta la falla, los puntos en

donde se concentra la rotación (articulaciones plásticas) resultan visibles al

observador antes de que ésta ocurra.

8.5 DISEÑO ELÁSTICO

Hasta hace pocos años, casi todas las vigas de acero se diseñaban con base en la

teoría elástica. La carga máxima que una estructura podía soportar se suponía igual

a la carga que primero generaba un esfuerzo igual al de fluencia del material. Los

miembros se diseñaban de manera que los esfuerzos de flexión calculados para

cargas de servicio no excediesen el esfuerzo de fluencia dividido entre un factor de

seguridad (1.5 a 2). Las estructuras se diseñaron durante muchas décadas mediante

este método con resultados satisfactorios. Sin embargo, los proyectistas saben

desde hace muchos años que los miembros dúctiles no fallan sino hasta que ocurre

una gran plastificación después de que se alcanza el esfuerzo de fluencia. Esto

significa que tales miembros tienen mayores márgenes de seguridad contra la falla

que lo que parece indicar la teoría elástica.



8.6 EL MÓDULO PLÁSTICO

El momento de fluencia My es igual al esfuerzo de fluencia por el módulo elástico. El

módulo elástico es igual a I/c o bd2/6 para una sección rectangular; el momento de

fluencia es entonces igual a Este mismo valor puede obtenerse considerando

el par interno resistente mostrado en la Figura 8.3.

Figura 8.3

Figura 8.4

El momento resistente es igual a T o C multiplicado por el brazo de palanca entre ellos:

Se observa que el módulo elástico de la sección es igual nuevamente a bd2 /6 para una viga de sección rectangular.

El momento resistente plástico Mp puede determinarse de manera similar; tam bién

es el momento nominal de la sección My , Este momento plástico o nominal es igual

a T o C veces el brazo de palanca entre ellos. Para la viga rectangular de la figura

8.4 se tiene:

Se dice que el momento plástico es igual al esfuerzo de fluencia multiplicado por el

módulo plástico. De la expresión anterior para una sección rectangular, se ve que el

módulo plástico Z es igual a bd2/4. El factor de forma, que es igual a Mn/My,

FyZ/FyS, o Z/S es ((bd2 /4)/(bd216) = 1.50 para una sección rectangular. El módulo

plástico es igual al momento estático de las áreas a tensión y a compresión

respecto al eje neutro. A menos que la sección sea simétrica, el eje neutro para la

condición plástica no coincidirá con el de la condición elástica. La compresión



interna total debe ser igual a la tensión interna total. Como todas las fibras tienen el

mismo esfuerzo (Fy ) en la condición plástica, las áreas arriba y abajo del eje neutro

deben ser iguales. Esta situación no se presenta en secciones asimétricas en la

condición elástica. El Ejemplo 8.1 ilustra los cálculos necesarios para determinar el

factor de forma de una viga T y la carga uniforme nominal wn que la viga

teóricamente puede soportar.

EJEMPLO 8.1Determine My, Mn y Z para la viga T de acero mostrada en la figura 8.5. Calcule también el factor de forma y la carga uniforme nominal (wn) que puede aplicarse a la viga en un claro simple de 12 pie. Fy = 36 ksi.

Figura 8.5

Los valores de los módulos plásticos para secciones estándar de acero están

tabulados en la parte 4 del Manual LRFD bajo el encabezado Load Factor Design

Selectíon Table for Shapes Used as Beams (Tabla para la selección de perfiles

usados como vigas según el método de diseño por factor de carga), así como en la

sección Dimensions and Properties (Dimensiones y propiedades) en la parte 1 del

Manual. Esos valores Z se usarán frecuentemente a lo largo del texto.

8.7 TEORÍA DEL ANÁLISIS PLÁSTICO

La teoría plástica básica tiene que ver con la distribución de esfuerzos en una

estructura, después de que en ciertos puntos de ésta se ha alcanzado el esfuerzo de

fluencia. Según la teoría plástica, aquellas partes de una estructura que han

alcanzado el esfuerzo de fluencia no pueden resistir esfuerzos adicionales; más

bien, esas partes fluirán la cantidad necesaria para permitir que la carga o esfuerzos

adicionales sean transferidos a otras partes de la estructura donde los esfuerzos se

encuentran por debajo del esfuerzo de fluencia y son capaces de absorber



esfuerzos adicionales. Se puede decir que la plasticidad sirve para igualar los

esfuerzos en casos de sobrecarga.

Hacia 1914, el Dr. Gabor Kazinczy, de Hungría, percibió que la ductilidad del acero

permitía una redistribución de esfuerzos cuando se sobrecargaban las estructuras

estáticamente indeterminadas. En Estados Unidos, el prof. J.A. Van den Broek, pre-

sentó su teoría de la plasticidad a la que llamó diseño al límite. Esta teoría fue

publicada en un artículo titulado Theory of Limit Design (Teoría del diseño al

límite), en febrero de 1939, en los Proceedings of the ASCE.

Para esta exposición, se considera que el diagrama esfuerzo-deformación, tiene la

forma ideal mostrada en la figura 8.6. Se supone que para este acero coinciden en

el mismo punto tanto el punto de fluencia como el límite de proporcionalidad, y, que

el diagrama esfuerzo - deformación es una línea recta en la zona plástica. Más allá

de la zona plástica está la zona de endurecimiento por deformación. En esta última

zona, teóricamente podría permitirse que los miembros de acero soportasen

esfuerzo adicional pero, desde el punto de vista práctico, las deformaciones

ocasionadas serían tan grandes que no puede considerarse. Además, el pandeo

inelástico limitará la habilidad de una sección para desarrollar un momento mayor

que Mn aun si el endurecimiento por deformación es apreciable.

Figura 8.6

8.8 MECANISMO DE FALLA

Una viga estáticamente determinada falla si se desarrolla en ella una articulación

plástica. Para ilustrar este hecho, se considera la viga mostrada en la figura 8.7a) de

sección transversal constante, solicitada poruña carga concentrada a la mitad del

claro. Si se incrementa la carga hasta producir una articulación plástica en el punto

de momento máximo (en este caso abajo de la carga), se daría lugar a una

estructura inestable, como se muestra en la parte b) de la figura. Cualquier

incremento adicional de la carga causaría la falla. Representa la carga máxima

nominal o teórica que la viga puede soportar.



Para que una estructura estáticamente indeterminada falle, es necesario que se

forme más de una articulación plástica. Se demostrará que el número de

articulaciones plásticas necesarias para que fallen las estructuras estáticamente

indeterminadas, varía de estructura a estructura, pero nunca pueden ser menos de

dos. La viga empotrada en sus dos extremos, que se muestra en la figura 8.8, no

puede fallar si no se han formado las tres articulaciones plásticas indicadas.

Figura 8.7

Figura 8.8

Aun cuando en una estructura estáticamente indeterminada se haya formado una

articulación plástica, la carga puede aún incrementarse sin que ocurra la falla,

siempre que la geometría de la estructura lo permita. La articulación plástica actuará

como una articulación real, por lo que respecta al incremento de carga. A medida

que la carga se incrementa, hay una redistribución de momentos, pues la

articulación plástica no puede soportar mayor momento. Al ir apareciendo en la

estructura otras articulaciones plásticas, llegará el momento en que habrá el número

suficiente de ellas, para causar la falla de la estructura. En realidad, puede

proporcionarse cierta carga adicional después del momento indicado, y antes de que

la falla ocurra, ya que los esfuerzos serian los correspondientes a la zona de

endurecimiento del material; sin embargo, esta condición no debe tomarse en

cuenta porque las deformaciones son muy grandes para ser aceptables.

Figura 8.9

La viga empotrada en un extremo y apoyada en el otro, de la figura 8.9 es un ejem-

plo de una estructura que fallará después de la aparición de dos articulaciones

plásticas. Para que se produzca la falla se necesitan tres articulaciones; se tiene

una real en el extremo derecho. En esta viga, el mayor momento elástico causado



por la carga concentrada de diseño está en el empotramiento. A medida que la

magnitud de la carga se incrementa se va formando una articulación plástica en

dicho punto.

La carga puede incrementarse nuevamente hasta que el momento en algún otro

punto alcance el valor del momento plástico (en este caso es en el punto donde está

la carga concentrada.) Una carga adicional causará la falla de la viga. Se llama

mecanismo de falla a la disposición de articulaciones plásticas y quizá de

articulaciones reales que permiten la falla de la estructura. Las partes b) en las

figuras 8.7, 8.8 y 8.9 muestran mecanismos de falla para varias vigas.

Después de observar el gran número de vigas doblemente empotradas y empotra-

das en un extremo y apoyadas en el otro, utilizadas como ilustración en este libro, el

lector podría formarse la idea errónea de que encontrará frecuentemente esas vigas

en la práctica de la ingeniería. Estos tipos de vigas son difíciles de encontrar en las

estructuras reales, pero es muy conveniente utilizarlas en ejemplos ilustrativos,

sobre todo al hacer la introducción al análisis plástico, antes de considerar vigas

continuas y marcos.

8.9 MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL

Un método muy satisfactorio usado para el análisis plástico de estructuras es el

método del trabajo virtual. Se supone que la estructura considerada está cargada a

su capacidad nominal M„ y que luego se flexiona con un desplazamiento pequeño

adicional después de que se alcanza la carga última. El trabajo realizado por las

cargas externas durante este desplazamiento se iguala al trabajo interno absorbido

por las articulaciones.

Figura 8.10

En esta exposición se usa la teoría del ángulo pequeño. Según esta teoría, el seno

de un ángulo pequeño es igual a la tangente del mismo ángulo y también a éste

expresado en radianes. En las páginas que siguen, el autor usa esos valores de

modo intercambiable porque los desplazamientos pequeños considerados aquí,



producen rotaciones o ángulos extremadamente pequeños.

Como primera ilustración, se considera la viga doblemente empotrada con carga

uniformemente repartida de la figura 8.10. Dicha viga y su mecanismo de falla, se re-

producen en la figura. Por simetría, las rotaciones en las articulaciones plásticas de

los extremos son iguales y se representan por en la figura; así, la rotación en la

articulación plástica del centro será 2.

El trabajo realizado por la carga externa total (wnL) es igual al producto de wnL

multiplicado por la deformación angular promedio del mecanismo. La deformación

angular promedio es igual a la mitad de la deformación de la articulación plástica del

centro. El trabajo externo se iguala al trabajo interno absorbido por las

articulaciones, o a la suma de los productos de Mn en cada articulación plástica por

el ángulo que ha girado. De la expresión resultante pueden despejarse los valores

Mn y wn como sigue:

El análisis plástico de la figura 8.11 puede utilizarse de modo semejante para la viga

apoyada en un extremo y empotrada en el otro. Otra vez las rotaciones en los

extremos son iguales, y se supone que valen.

Figura 8.11

El trabajo realizado por la carga externa Pn al moverse la distancia x L/2 se iguala

al trabajo interno realizado por los momentos plásticos en las articulaciones. Nótese

que no hay momento en la articulación real en él extremo derecho de la viga.

La viga empotrada en ambos extremos (Figura 8.12) muestra su mecanismo de falla

y las rotaciones angulares supuestas. De la figura de determinan los valores Mn y Pn



mediante el método de trabajo virtual:

Figura 8.12

El estudio del análisis plástico requiere analizar todas las posibilidades de falla que

tiene una estructura particular; tal hábito resulta de máxima importancia cuando se

empiezan a analizar estructuras más complicadas. En el siguiente ejemplo de

análisis plástico, se usará el método del trabajo virtual para la viga propuesta en la

figura 8.13; esta viga que soporta dos cargas concentradas se muestra acompañada

de cuatro posibles mecanismos de falla, incluyendo los cálculos necesarios. Es

cierto que los mecanismos de las figuras b), d) y e) no son críticos, pero este hecho

no es obvio para el lector normal, a menos que haga los cálculos del trabajo virtual

para cada caso. El mecanismo e) de la figura se basa en la hipótesis de que el

momento plástico se alcanza simultáneamente bajo las cargas concentradas (una

situación que bien podría ocurrir).

El valor para el cual la carga de falla es mínima en función de Mn es el valor correcto

(o el valor donde Mn es máximo en función de Pn). Para esta viga, la segunda ar-

ticulación plástica se forma en la carga concentrada Pn siendo Pn igual a 0.154 Mn.

8.10 LOCALIZACIÓN ARTICULACION PLÁSTICAS CARGAS

UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDAS

No existe dificultad para localizar las articulaciones plásticas en la viga con carga

uniformemente repartida y doblemente empotrada; pero para otras vigas, también

con carga uniformemente repartida, empotradas en un extremo y apoyadas en el

otro, o aun en vigas continuas, el problema es un tanto más difícil. En esta sección

se considera la viga empotrada en un extremo y apoyada en el otro con carga

uniformemente distribuida, mostrada en la figura 8.14a).

El diagrama de momentos flexionantes para esta viga trabajando elásticamente se

muestra en la parte b) de la figura. A medida que la carga uniforme se incrementa,



se formara una articulación plástica en el extremo empotrado. Ahora, la viga será en

efecto una viga "simplemente apoyada", con una articulación plástica en un extremo

y una articulación real en el otro. Los incrementos subsecuentes de la carga

causarán la modificación del diagrama de momentos, como se ha representado con

línea interrumpida en la parte b) de la figura. Este proceso continuará hasta que en

algún otro lugar (en la figura, a una distancia x del apoyo de la derecha), el

momento valga Mn y produzca otra articulación plástica.

La expresión del trabajo virtual para el mecanismo de falla de esta viga, mostrado

en la parte c) de la figura 8.14 se escribe como sigue:

Despejando Mn de esta ecuación y, haciendo dMx/dx=0, se encuentra que x

=0.4141.. Este valor es aplicable también a claros extremos de vigas continuas con

cargas uniformemente repartidas, con extremos simplemente apoyados, y se

ilustrara en la siguiente sección.

La viga anterior y su mecanismo de falla se reproducen en la figura 8.15. Utilizando

el procedimiento del trabajo virtual, la expresión del momento plástico es:

Figura 8.15

8.11 VIGAS CONTINUAS

Las vigas continuas son estructuras muy comunes. Su continuidad hace que su aná-

lisis sea algo complicado al usar la teoría elástica y la distribución resultante de es-

fuerzos no es tan exacta como pudiera suponerse aun al emplear alguno de los

métodos "exactos" de análisis.

El análisis plástico es aplicable tanto a estructuras continuas como a vigas de un

solo claro. Los valores resultantes reflejan en forma más realista la resistencia límite

de una estructura, que la que se obtiene con el análisis elástico. Las vigas continuas

pueden tratarse con el método del trabajo virtual tal como se hizo en el caso de las

vigas indeterminadas de un solo claro. Los ejemplos 8.2 y 8.3 se presentan para

ilustrar dos casos elementales de vigas continuas.



Se supone aquí que la falla ocurre si una parte o el total de la estructura falla. En las

vigas continuas que analizaremos se escriben las expresiones del trabajo virtual

para cada claro por separado; de las expresiones resultantes se pueden despejar

las cargas máximas que las vigas pueden soportar.

• EJEMPLO 8.2

Se ha seleccionado una W18 x 55 (Zx= 112 pulg3) para la viga mostrada en la

figura8.16. Considerando acero A36 y soporte lateral total, determine el valor de w».

Figura 8.16

Claros adicionales incrementan poco la cantidad de trabajo implícito en el análisis

plástico. No puede decirse lo mismo del análisis elástico. El ejemplo 8.3 ilustra el

análisis de una viga con tres claros, que soporta una carga concentrada en cada

claro. El estudiante, con base en su conocimiento del análisis elástico, percibirá que

las articulaciones plásticas se formarán primero en los apoyos interiores y luego en

los centros de los claros extremos; en ese momento cada claro extremo poseerá un

mecanismo de falla.

8.12 MARCOS DE EDIFICIOS

En esta sección el análisis plástico se aplica a un pequeño marco de edificio. No es

la intención del autor estudiar los marcos detalladamente en este capítulo. Más bien,

desea mostrar al lector que el método del trabajo virtual es aplicable a marcos así

como a vigas y que hay otros tipos de mecanismos además de los tipos viga.

Para el marco considerado, se supone que se usa la misma sección W tanto para la

viga como para las columnas. Si esos miembros difieren en tamaño, será necesario

tomar eso en cuenta en el análisis.

El marco articulado en sus apoyos mostrado en la figura 8.18 es estáticamente in-

determinado de primer grado. El desarrollo de una articulación plástica lo convertirá



en estáticamente determinado y la formación de una segunda articulación puede

crear un mecanismo. Hay, sin embargo, varios tipos de mecanismos que podrían

ocurrir en este marco. Un posible mecanismo de viga se muestra en la parte b), un

mecanismo de ladeo se muestra en la parte c) y un mecanismo combinado de viga y

ladeo se muestra en la parte d). La condición crítica es la que dé el menor valor de

Pn.

Figura 8.18 Mecanismos posibles para un marco.

El ejemplo 8.4 presenta el análisis plástico del marco en la figura 8.18. Las distan-

cias a través de las cuales las cargas tienden a moverse en los diversos

mecanismos deben ser estudiadas cuidadosamente. La solución de este problema

evidencia un punto de mayor importancia: La superposición no es aplicable en el

análisis plástico. Esto puede verse fácilmente estudiando las expresiones del trabajo

virtual para las partes b), c) y d) de la figura. Los valores de P^ obtenidos por

separado para los mecanismos de viga y ladeo no se suman para obtener el

mecanismo combinado de viga y ladeo.

Para cada mecanismo tenemos que considerar la situación en la que se tenga el

menor número posible de articulaciones plásticas que causen el colapso. Si se fija

usted en una de las expresiones del trabajo virtual, notará que ?„ resulta más

pequeño conforme el número de articulaciones plásticas decrece. Vea al respecto, la

parte d) de la figura 8.18. El marco puede ladearse hacia la derecha sin la formación

de una articulación plástica en la parte superior de la columna izquierda. Las dos

articulaciones plásticas marcadas A y B son suficientes para que el colapso ocurra.

• EJEMPLO 8.4

Una W12 x72 (Zx = 108 pulg) se usa para la viga y las columnas del marco mostrado

en la figura 8.18. Si Fy = 50 ksi, determine el valor de Pn

Solución. Las expresiones del trabajo virtual están escritas para las partes b), c) y d)

de la figura 8.18 y se muestran con las partes respectivas de la figura. Se encuentra



que la viga combinada y el caso de ladeo es el caso crítico y de ahí se determina el

valor de ?„ como sigue:


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