Contenido: 8.1.1 Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros.Consigna: Integrados en equipos, realicen la siguiente actividad.

1. Completen las siguientes tablas utilizando la tecla (+/-) de la calculadora. En la tabla de la división, los números de la columna vertical corresponden al dividendo.

2. Con base en las operaciones que han realizado completen los siguientes enunciados.

a) Siempre que se multiplican o dividen dos números del mismo signo el resultado tiene signo:____________________________________________________________

b) Siempre que se multiplican o dividen dos números de distinto signo el resultado tiene signo: ____________________________________________________________

c) Siempre que se multiplica o divide un número por menos uno el resultado es: ____ _________________________________________________________________.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Integrados en equipos, resuelvan las siguientes multiplicaciones aplicando las reglas de los signos obtenidas en la sesión anterior.

−11×0=

−3¿ 8

(−5)(−6 )= (+1 )(+2)=

(+7 )(−1)= (−6 )(−6 )=

(−8 .5 )(+5 )=(−2

5)∗(−3

4)

(−5)(+4 )(−8 )=(−1

3)(−7

6)(−3 )=

(X) +1 -3 +4 -2.3 -3/4

+2

0

-1 -4

-3

-1/2 +3/8

() +1 -4 +3 -1.2 -3/5

+2

0

-4.1

-9 +9/4

+1/2 -5/6

(−2)(+5 )(+1 )(−3 )=(−6 )(−3 )(− 3

4)(−0 .2 )(−1)=

Una vez que hayan resuelto las operaciones, se les plantean las siguientes preguntas.¿Qué sucede con el signo del producto cuando la multiplicación tiene más de dos factores? ¿Se puede formular una regla? ¿Cuál?--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Consigna: Reunidos en equipos, encuentren los números que faltan, realizando las operaciones correspondientes.

(+9)(+7 )= ( )÷(+7)=9

( )(+3 )=+ 24 ( )÷(+3)=

( )(−6 )=−30 (−30)÷( )=

(−2)( )=−8 (−8)÷(−2)=

(−53

)(− 47

)=

( )÷(− 47

)=−53

(−8 .2 )( )= ( )÷(−1 )=−8 .2

(−7)( )= (−7)÷( )=−7

(−12)(+1 )= (−12)÷( )=+ 1

( )(−2 . 7)=0 ( )÷(−2 .7 )=

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Una vez que hayan resuelto las operaciones, el maestro puede proponer problemas como los siguientes:

a) Pensé un número. Al multiplicarlo por -7 y enseguida restar 49 obtengo cero. ¿De qué número se trata?

b) ¿Qué números sumados dan -5 y multiplicados resulta +6?--------------------------------------------------------------------------------------------------------------8.1.2 Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

Intenciones didácticas:Que los alumnos a partir de casos particulares, se apropien de la ley de los exponentes para simplificar el producto de potencias de la misma base.

Consigna: Integrados en equipos resuelvan lo siguiente:

1. Expresen las siguientes cantidades como productos de factores iguales, como se muestra en el ejemplo.

8 = (2) (2) (2) 243 =32 = 625 = 64 = 343 =128 = 27 =

2. Expresen en forma de potencias los siguientes productos de factores iguales:(2)(2)( 2) = (10)(10)(10)(10) =(4 x 4 x 4) + (5 x 5 x 5)= (3 x 3 x 3) (3 x 3 x 3 x 3) =(7 x 7 x 7) ¿ ( 7 x 7) =

3. Completen la siguiente tabla:

4. De acuerdo con lo anterior, elaboren una regla general para simplificar una multiplicación de potencias de la misma base.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Escriban el resultado de cada una de las siguientes operaciones como una potencia.

a) 28×23= b) 32×32= c) 4

2×47= d) 53×52=

e) 77×73= f) 103×105= g) 104×103= h)

(2×2×2)×(2×2 )=

i) (53 )×(5×5×5)= j) (10×10×10 )×(10×10)=--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: En equipos, encuentren el resultado de las siguientes expresiones y exprésenlo en forma exponencial. Noten que en todos los casos se trata de una potencia elevada a otra potencia.

a) ( 22 )4 =

b) ( 21 )4 =

c) ( 25 )2 =

d) ( 52 )2 =

e) ( 43 )4 =

x 21 22 23 24 25 2m

21 26

22 23

23 26

24

25

2n

f) ( 35 )2 =

g) ( 102 )3 =

h) ( 6n )3 =

i) ( 7n )m =

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Intenciones didácticas:Que los alumnos construyan la ley de los exponentes para simplificar el cociente de potencias de la misma base e interpreten el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

Consigna 1: En equipos, calculen el resultado de los siguientes cocientes de potencias de la misma base. Luego, formulen una regla general para simplificar cocientes de potencias de la misma base.

a)

25

22= b)

26

25=

c)

37

35= d)

55

51=

e)

45

45= f)

108

103 =

g)

2n

22= h)

2n

2m =

Consigna 2: Efectúen los siguientes cocientes de potencias de la misma base como se muestra en el ejemplo.

a)

22

25=22−5=2−3= 2×22×2×2×2×2

= 123

b)

c)

35

37= d)

51

55=

e)

42

43= f)

103

108 =

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Para afianzar lo aprendido, se pueden proponer ejercicios como por ejemplo:

1. Completa las siguientes expresiones:

5

6

22

a)

35

32=( )5−2=( )3

b)

62

65=6( )−( )=6( )

c)

105

105 =10( )−( )=10( )=1

2. Realiza las siguientes operaciones:

x4

x6=

42

40=¿ ¿

35

36=

108

1015 = 10−4=

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Contenido: 8.1.3 Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan las relaciones de igualdad de ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una transversal y que nombren los ángulos, busquen argumentos para justificar dichas relaciones.

Consigna: En equipo, resuelvan el siguiente problema.

Un carpintero hizo una puerta de 1.8 metros de alto, por 1 metro de ancho. En la parte media colocó un vitral transversal; el diseño es el siguiente:

1. Identifiquen todos los ángulos que se forman con las paralelas del vitral y la línea transversal. Encuentren las medidas.

2. Encuentren la relación entre los ángulos.

-------------------------------------------------------------------------------------------Intenciones didácticas: Que los alumnos concluyan que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180° y utilicen esta propiedad al resolver problemas.

Consigna 1: En binas, desarrollen la siguiente actividad:

Recorten un triángulo en una hoja de papel y realicen los cortes de dos ángulos, después colóquenlos consecutivamente junto al ángulo que no se cortó.

a) ¿Qué observan?____________________________________________________b) ¿Qué tipo de ángulo forman?________________________________________c) ¿Siempre sucederá lo mismo?________________________________________d) Enuncien con palabras la propiedad anterior___________________________________________________________________________________________________

Consigna 2: En equipo, resuelvan los siguientes problemas.

1. En el ∆ABC el <A = 60°, <B = 45°, ¿Cuál es el valor del <C?2. En el ∆PQR, <P = x, <Q = 2x, <R = 3x, ¿Cuál es el valor de x, del <P, <Q, <R?3. En el ∆DEF, <D = 2x+10°, <E = 2x - 50°, <F = x + 40°, calcular los valores de los

ángulos D, E y F.

53

53=

4. De la siguiente figura, si L M, encuentra la medida del ángulo marcado con x.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Intenciones didácticas: Que los alumnos deduzcan que la suma de los ángulos interiores de un paralelogramo es equivalente a la suma de los ángulos interiores de dos triángulos.

Consigna: En equipos, realicen las siguientes actividades.

1. Observen un paralelogramo y respondan: ¿Cuál será la suma de los ángulos interiores de un paralelogramo? Argumenten su respuesta. Por cierto, ¿qué paralelogramos conocen? ¿La suma de sus ángulos interiores es la misma para todos?

2. Observen los siguientes paralelogramos y contesten:

a)

¿Cuál es la suma de los ángulos 1 al 6 en este paralelogramo? ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores del paralelogramo?

b)

Dado el valor de uno de los ángulos del paralelogramo, calculen el valor de los tres restantes.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contenido: 8.1.4 Construcción de triángulos dados ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

Intenciones didácticas:Concluyan que dados solamente dos segmentos no es posible obtener un único triángulo.

Consigna 1. En equipo, resuelvan el siguiente problema.

L

M

x

40°

100°

345

6 21

75°

A

BC

Dadas las siguientes medidas: 5 cm, 6 cm y 7 cm, que corresponden a los lados de un triángulo, construyan todos los triángulos diferentes que sea posible y escriban por qué son diferentes los triángulos dibujados.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna 2. Organizados en los mismos equipos, pero en forma individual, resuelvan el siguiente ejercicio.Con la medida de los segmentos AB = 6 cm y BC = 9 cm, tracen un triángulo y digan cuál es la medida del tercer lado. Al finalizar el trazo comparen el triángulo con el de sus compañeros de equipo y digan si todos los triángulos trazados son iguales y por qué.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna 1. En equipo, resuelvan el siguiente problema. Dados los siguientes segmentos, ¿cuántos triángulos diferentes se pueden construir en cada caso? Escriban sus conclusiones.

a)

Consigna 2. Con su mismo equipo, construyan un triángulo cuyo perímetro sea de 11 cm y las medidas de cada uno de sus lados sean números enteros.

a) ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir que cumplan con la condición anterior?

b) ¿Podrá tener un triángulo un perímetro de 4 cm y que la medida de sus lados sea un número entero? ¿Por qué?

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------FIGURAS ESPECIALES

8.1.5 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.

Intenciones didácticas:Que los alumnos utilicen las fórmulas para calcular el área del cuadrado y del círculo, al resolver problemas.

Consigna. En equipos de tres integrantes, resuelvan los siguientes problemas:

1. Se dispone de una tabla de madera de forma cuadrada, como se muestra en la figura, a la cual se le pretende dar una forma circular para que sirva de tapa de un recipiente que tiene forma cilíndrica.

a) ¿Qué área de la madera se va a usar?

b) c)

3.5 cm

b) ¿Cuál es el área de la madera que no se va a utilizar?

2. ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la siguiente figura, si el radio del círculo mide un metro? Justifiquen su respuesta.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna. En equipos de tres integrantes, resuelvan el siguiente problema:

La siguiente figura representa el vitral de una ventana cuadrada que está formada por varios cuadrados más pequeños. La parte del vitral que tiene forma triangular es de color rojo y se quebró el vidrio de la parte sombreada.

Al tratar de reparar el vitral:

1. ¿Cuántos cm2 de vidrio rojo deberá utilizar quien la repare?2. ¿Cuántos cm2 de vidrio rojo usa este vitral?3. ¿Qué fracción del área total representa el triángulo rojo?

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Consigna: En esta actividad el maestro les entregará un cuerpo geométrico. Organicen equipos y tracen en cartulina el desarrollo plano del cuerpo que les toque. Después, calculen la cantidad de cartulina que ocupa dicho desarrollo.

1 m

M

M

Consigna: En esta actividad el maestro les entregará un cuerpo geométrico. Organicen equipos y tomen las medidas que necesiten para calcular su área total. No se vale desarmar el cuerpo.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Primero en forma individual y luego organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas.

1. Un industrial fabrica cajas cúbicas de 10 cm de arista. ¿Qué cantidad mínima de cartón ocupa para construir 100 cajas? ___________________________________

2. Las siguientes cajas tienen la misma capacidad pero una de ellas requiere menos cartón para ser construida. ¿Cuál de las dos necesita menos cartón? ______________

¿Qué cantidad de cartón se ahorraría el fabricante al construir 100 cajas? __________________________

3. Carlos va a forrar los triángulos de la siguiente pirámide con papel de colores, ¿qué cantidad de papel requiere?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Contenido: 8.1.6 Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, tales como aplicar un porcentaje a una cantidad, determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa.

Intenciones didácticas:Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para aplicar el porcentaje a una cantidad.

Consigna: Reunidos en equipos, completen las tablas siguientes:

Consigna:Reunidos en equipos resuelvan el siguiente problema:En un grupo hay 25 alumnos. Si un día asistieron únicamente 17, ¿qué porcentaje faltó a clase ese día?

Un ejercicio complementario para trabajar este contenido podría ser el llenado de las siguientes tablas:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna. Reunidos en equipos, resuelvan el siguiente problema:

% De 300502575125

% De 100255075110

% De 75128

200

Qué % es Respecto a: %21 427 28

19 32

Qué % es Respecto a: %2.5 53.2 162.5 10

Luis compra mazapanes a $0.80 y los vende a $2.00 cada uno, ¿en qué porcentaje se incrementa el precio?

Consigna. Reunidos en equipos, resuelvan el siguiente problema:

En la compra de un televisor se pagó $3220.00, incluido el 15% de IVA. ¿Cuál es el precio del televisor sin IVA?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Contenido: 8.1.7 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos recursivos para resolver problemas relacionados con el interés compuesto y que identifiquen las características de este tipo de procedimientos.

Consigna: En equipo, resuelvan el siguiente problema:

Un grupo de tercer grado está organizando su fiesta de graduación. Les faltan $25 000.00 para todos los gastos previstos y para obtener ese dinero tienen dos opciones, el banco PIERDEMEX les presta esa cantidad con un interés simple del 9% bimestral, mientras que el banco ATRACOMER les ofrece la misma cantidad con un interés compuesto del 8% bimestral. Si tienen planeado pagar el préstamo junto con los intereses al término de 12 bimestres, completen la siguiente tabla y contesten lo que se pide.

PIERDEMEX ATRACOMER

Bimestres Préstamo inicial

Int. Simple9%

Adeudo total Préstamo inicial Int. Compuesto

8%Adeudo

total0 $25,000 $0.00 $25,000 $25,000 $0.00 $25,000

1 $25,000 $2,250.00 $27,250 $25,000 $2,000.00 $27,000

2 $25,000 $2,250.00 $29,500 $27,000 $2,160.00 $29,160

3 $25,000 $2,250.00 $31,750 $29,160 $2,332.80 $31,492.80

4 $25,000 $2,250.00 $34,000 $31,492.80

5 $25,000 $2,250.00 $36,250

6 $25,000 $2,250.00 $38,500

7 $25,000 $2,250.00 $40,750

8 $25,000 $2,250.00 $43,000

9 $25,000 $2,250.00 $45,250

10 $25,000 $2,250.00 $47,500

11 $25,000 $2,250.00

12 $25,000 $2,250.00

a) ¿En cuál banco les conviene pedir el préstamo?_______________________b) ¿Cuánto más tendrían que pagar de intereses en el Banco que no les conviene, al

término del plazo fijado? _____________________________________-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema:

En el año 2010 la población mundial de la Tierra era de 6 854 millones de habitantes. Suponiendo que la tasa de crecimiento durante una década es de 13% y ésta se mantiene constante, ¿cuál será la población en los años 2020, 2030 y 2040?

Con la finalidad de continuar ejercitando procedimientos recursivos, se pueden proponer los siguientes problemas:

1. Una población x tiene 52 368 habitantes en la actualidad, si en los últimos 5 años ha crecido a una tasa del 7% anual, ¿cuántos habitantes tenía esa población hace 5 años?

2. Una cierta cantidad de agua a una temperatura de 80°C se pone en un congelador que está a 0°C. En el proceso de enfriamiento se observa que la temperatura se reduce en un 5% por cada minuto que transcurre.

a) ¿Cuál es la temperatura del agua después de 4 minutos?b) ¿Después de cuánto tiempo la temperatura del agua rebasa los 50°C?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organízate con once compañeros más para jugar dos veces “Carrera de autos”: Posteriormente contesten lo que se pide.

Preparen el tablero del Anexo, dos dados de diferente color, y 12 fichas o piedritas.

Cada jugador toma una ficha y la coloca en la casilla del auto con el que desea competir. Si dos o más participantes seleccionan el mismo auto, pueden decidir quién escoge primero mediante un volado. A cada jugador le corresponde un carro diferente.

Por turnos, cada integrante del equipo irá lanzando los dados y el auto que tenga el mismo número que la suma de los puntos del tiro, avanza una casilla rumbo a la meta.

Gana el auto que llegue primero a la meta.

1. ¿Qué autos ganaron en las dos rondas?

____________________________________________

2. Si jugaran una tercera ronda, ¿qué auto convendría seleccionar?_________________________ ¿Por qué?____________________________________________________________________----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organízate en tríos para resolver los problemas.

En un juego de la feria se encuentra este cartel:

1. Observen el contenido de las tres bolsas y respondan las preguntas.

a) Si se saca una paleta de la bolsa 1, ¿qué sabor es menos probable de obtener?

___________

¡Atínale al sabor!Si adivinas el sabor de la

paleta antes de sacarla de la bolsa, te la ganas. Sabor

limón

Sabor piña

2 31

¿Por qué?

__________________________________________________________________

b) Si se desea una paleta de limón, ¿de cuál bolsa es más probable sacarla?

________________

¿Por qué?

__________________________________________________________________

_

2. Ahora observen el contenido de las bolsas 4 y 5 y escriban en las líneas “es más probable que”, “es menos probable que” o “es igualmente probable a” según corresponda.

a) En la bolsa 4, sacar una paleta de piña _____________________________ sacar

una paleta de limón.

b) En la bolsa 5, sacar una paleta de piña _____________________________ sacar

una paleta de limón.

c) Sacar una paleta de limón de la bolsa 4 ____________________________ sacar

una paleta de piña de la bolsa 5.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4 5