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GUIA DE ESTUDIO DIRIGIDO

ESCUELA: _PREPARATORIA OFICIAL No. 1 ANEXA A LA NORMAL No 3 DE TOLUCA TURNO: MATUTINO

SEMESTRE: SEXTO GRUPO: 2

MATERIA: CÁLCULO INTEGRAL PROFESOR: ALFREDO SALGADO VARÓN

UNIDAD I. LA INTEGRAL

I.- INTRODUCCION MOTIVACIONAL

¿Sabías que existe un método para evaluar la temperatura en lugares extremadamente fríos? ¿Cómo se puede saber la cantidad dosificada de insulina para un diabético en diferentes periodos? ¿Cómo calcularías la energía que consume un sistema de clima artificial? ¿Sabías que se puede pronosticar el número total de bacterias de cierto cultivo para un instante determinado?

El estudio del Cálculo Integral te permitirá contestar estas interrogantes y muchas otras de la misma índole que se puedan presentar. Es una herramienta muy útil para el cálculo de áreas difíciles de solucionar mediante los métodos convencionales o por tener formas poco ortodoxas.

Con una integral puedes calcular magnitudes tan diversas como áreas, volúmenes, longitudes de curvas, el trabajo realizado por una fuerza, el punto de equilibrio y la masa de un sólido, momentos de inercia, el campo electrostático producido por una distribución de cargas, el flujo de un fluido a través de una superficie y muchas más.

Al recorrer las páginas de este Manual podrás observar la multiplicidad de aplicaciones matemáticas que se dan en la vida cotidiana y en las diversas conexiones que tiene con otras áreas del conocimiento como la Física, la Historia, la Biología, la Química, las ciencias del Lenguaje y la Comunicación o la Música. Del mismo modo te invitamos a experimentar con el uso de distintas herramientas tecnológicas como las calculadoras, las hojas de cálculo, programas de aplicaciones multimedia o la búsqueda y revisión de información en la Web.

II.- COMPETENCIAS A DESARROLLAR.- Orienta tu atención al estudiar la presente unidad hacia el desarrollo de las siguientes competencias.

A.- COMPETENCIA GENERICA:

Argumenta la solución la obtenida de un problema sobre áreas con métodos numéricos, gráficos y analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

B.- COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS:

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Estima el área bajo la curva por medio de aproximaciones por rectángulos izquierdos y derechos.

Establece significados del área bajo la curva relacionados con otras ciencias.

III .- QUE ESTUDIAR.

1.1 Construcción del área bajo la curva

1.1.1 Situaciones de áreas de figuras en forma numérica y algebraica

1.1.2 Aproximación del área bajo la curva por extremos derechos e izquierdos a partir de situaciones contextuales

1.1.3 Solución de situaciones de distancia a partir de la velocidad como área bajo la curva

IV.- COMO ESTUDIAR

Consideremos el siguiente escenario: Partiendo de idea de que las plantas producen alimentos mediante el proceso de fotosíntesis y que la producción de alimento por parte de una planta está en función de la cantidad de luz que recibe. Cabría preguntarnos si es posible conocer la cantidad de alimento que se produce a partir de poder medir la intensidad de luz acumulada por un planta expuesta a la luz solar en un tiempo determinado, por ejemplo 14 horas que es la cantidad de horas que tenemos luz solar en los días largos de verano.

Supongamos que mediante un luxómetro se pudieron obtener medidas de la intensidad de luz recibida por una planta en intervalos de una hora durante 14 horas, y las lecturas que se obtuvieron fueron las que se muestran en la Tabla 1.1.

En la Gráfica 1.1 pueden analizarse los datos de la tabla, es importante comentar que estamos suponiendo que la intensidad de la luz permanece constante durante cada intervalo de una hora entre dos mediciones consecutivas. A partir del planteamiento anterior podemos desprender el siguiente problema:

¿Cuál es la intensidad de luz acumulada por una planta que ha sido expuesta al sol durante 14 horas?

Para dar solución al caso planteado, necesitamos antes que nada, dar respuesta a algunas interrogantes como las siguientes:

¿En qué consiste la fotosíntesis? ¿Qué importancia tiene este proceso para la vida? ¿Qué tipo de alimentos se produce durante el proceso de fotosíntesis? ¿Cómo se mide la intensidad de luz acumulada por una planta expuesta al sol? ¿Podrías establecer una relación entre la medida de la intensidad de luz acumulada por la planta y la medida de áreas rectangulares de su gráfica?

Busca información sobre

¿Cómo se cálculas áreas?

¿En qué consiste el método para estimar el área bajo la curva a partir del cálculo de áreas por medio de aproximaciones por rectángulos izquierdos y derechos?

¿Qué relación guarda el cálculo de áreas con el concepto de la integral?

¿Cómo puede el Cálculo Integral apoyar en la solución del planteamiento inicial?

V.- DONDE ESTUDIAR

BIBLIOGRAFÍA

Cruz Hernández, Lorenzo Loreto, Elementos de Cálculo Integral, Limusa - Noriega Grupo Editores, C.A. 2010.

Frank Ayres, Jr., Cálculo Diferencial Integral, Mc Graw-hill, México, 1980.

Purcell, E.J., Varberg, D. y Rigdon, S.E. Cálculo, 9a edición, México, Pearson Educación, 2007.

CIBERGRAFIA

http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Integral_Definida.pdf http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/area/areaHTML/area.htm#circulo http://www.matematicaparatodos.com/SEXTO/6_16definida.pdf http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/La_integral_definida_y_la_funcion_area/exhauc.htm

VI.- EVALUACIONResuelve correctamente los siguientes problemas aplicando el método de aproximaciones por réctángulos por la izquierda y la derechaDeterminar el área contenida bajo la curva utilizando extremos derechos e izquierdos.

Resuelve los siguientes problemas:

1. Dada la gráfica de la ecuación y = x + 2

Calcular aproximadamente el área contenida entre la curva y el eje X, en el intervalo (2, 8), es decir, de x = 2 hasta x = 8.

Considerando los rectángulos por extremos derechos el área es:

Considerando los rectángulos por extremos izquierdos el área es:

El área aproximada considerando rectángulos en el punto medio es: 10 98 Considerando los rectángulos exteriores (derechos) 76 El área es: 54 Considerando los rectángulos interiores tenemos: 32 El área es: 1 El área aproximada considerando el promedio de 1 2 3 4 5 6 7 8 9 las dos es:

2. Dada la gráfica de la ecuación y = x 2 - 2x + 1

Calcular aproximadamente el área contenida entre la curva y el eje X, en el intervalo (1, 5), es decir, de x = 1 hasta x = 5.

Considerando los rectángulos por extremos derechos el área es:

Considerando los rectángulos por extremos izquierdos el área es:

El área aproximada considerando rectángulos en el punto medio es:

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UNIDAD II. SIGNIFICADO DE LA INTEGRAL DEFINIDA


Las relación entre las matemáticas y la física es un asunto de suma importancia y que a simple vista es indiscutible, ya que la mayoría de los procesos físicos o de análisis de fenómenos de la vida cotidiana tienen que ver con el uso del álgebra, trigonometría y en muchos casos del cálculo, tanto diferencial como integral.

En todas las áreas de la física tales como: mecánica, electricidad, termodinámica e hidráulica; se manejan ecuaciones que representan una o más variables de la vida que se desean conocer para analizarlas y así poder manipularlas y de esta maneja mejorar el estado de vida de la población.

Al proceso de estar sumando las áreas de los rectángulos obtenidos se le llama realizar una sumatoria cuyo símbolo es: Σ. Por lo tanto mientras más rectángulo obtengamos mejor será la aproximación del área bajo la curva calculada. De acuerdo con lo visto en el curso de cálculo diferencial la forma de analizar un proceso en el que se tienen que aumentar los cálculos a realizar, en este caso el cálculo de áreas a través de rectángulos, es con los límites. Si le agregamos que este proceso debe ser infinito el límite tiene que tender a infinito.



Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales


Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Ordena información relacionada con el área bajo la curva como el límite de una suma.

Evalúa el área bajo la curva por sumas de Riemman.


2.1.1 La integral definida como límite de una sumatoria de áreas

2.1.2 Cálculo de integrales definidas con sumatorias de Riemman

2.1.3 El teorema del punto medio

IV.- COMO ESTUDIAR

Planteamiento de interrogantes que plantean una serie de dudas en base a un problema contextual emanado de las ciencias sociales o naturales

Investigación sobre las propiedades de las sumatorias

Explicación sobre el uso de las sumatorias de Riemman

Resolución de ejercicios contextuales sobre el cálculo de áreas bajo la curva y el teorema del punto medio utilizando el método de Sumatorias de Riemman

V.- DONDE ESTUDIAR

BIBLIOGRAFÍA




CIBERGRAFIA

VI.- EVALUACIONGrafica la siguiente función. Elige una escala adecuada, ya que se debe observar la tendencia completamente de la

gráfica utiliza los valores del dominio dados en la tabla.

¿Cuál es el valor de las sumatorias siguientes?:

1.

2.

Encuentra el área bajo la curva de las siguientes funciones utilizando el procedimiento de sumatorias de Riemann

1.-f(x)= 3x 2en el intervalo [ 1,6]2. f(x)= 4x2 en el intervalo [2,8 ]INSTRUCCIONES: Subraya o encierra el inciso que responda a la respuesta correcta de los siguientes enunciados si no está la respuesta escríbela.

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UNIDAD III. LA INTEGRAL INDEFINIDA


El teorema fundamental del cálculo es el teorema más importante y alcanza el nivel de uno de los más grandes logros de la mente humana. Antes de ser descubierto, desde los tiempos de Eudoxo y Arquímedes, hasta la época de Galileo y Fermat, los problemas de hallar áreas, volúmenes y longitudes de curvas eran tan difíciles que sólo un genio podía vencer el reto. Pero ahora, armados con el método sistemático que Newton y Leibniz moldearon como el teorema fundamental, es posible resolver muchos problemas. Este teorema recibe este nombre porque establece una conexión entre las dos ramas del cálculo: el cálculo diferencial y el cálculo integral. El primero, sabemos que surgió del problema de la tangente, mientras que, el cálculo integral lo hizo de un problema en apariencia no relacionado como lo es el problema del área. Fue el profesor de Newton en Cambridge, Isaac Barrow (1630–1677) quien descubrió que estos problemas están íntimamente relacionados. Se dio cuenta que la derivación y la integración son procesos inversos. El teorema fundamental del cálculo da la relación inversa precisa entre la derivada y la integral, Newton y Leibniz explotaron esta relación y la usaron para desarrollar el cálculo en un método matemático sistemático. El descubrimiento de esta asombrosa relación constituye uno de los logros matemáticos más importantes de la historia mundial. El teorema fundamental del cálculo es el teorema más importante y alcanza el nivel de uno de los más grandes logros de la mente humana. Antes de ser descubierto, desde los tiempos de Eudoxo y Arquímedes, hasta la época de Galileo y Fermat, los problemas de hallar áreas, volúmenes y longitudes de curvas eran tan difíciles que sólo un genio podía vencer el reto. Pero ahora, armados con el método sistemático que Newton y Leibniz moldearon como el teorema fundamental, es posible resolver muchos problemas.

Este teorema recibe este nombre porque establece una conexión entre las dos ramas del cálculo: el cálculo diferencial y el cálculo integral. El primero, sabemos que surgió del problema de la tangente, mientras que, el cálculo integral lo hizo de un problema en apariencia no relacionado como lo es el problema del área. Fue el profesor de Newton en Cambridge, Isaac Barrow (1630–1677) quien descubrió que estos problemas están íntimamente relacionados. Se dio cuenta que la derivación y la integración son procesos inversos. El teorema fundamental del cálculo da la relación inversa precisa entre la derivada y la integral, Newton y Leibniz explotaron esta relación y la usaron para desarrollar el cálculo en un método matemático sistemático. El descubrimiento de esta asombrosa relación constituye uno de los logros matemáticos más importantes de la historia mundial.



Comprende y aplica el proceso de la integral indefinida para hallar la primitiva de una función en la solución de situaciones contextuales.


Identificar el teorema del cálculo para hallar la primitiva de una función

La integral indefinida en situaciones contextuales


3.1 Teorema fundamental del cálculo

3.2 La integral indefinida en situaciones contextuales

IV.- COMO ESTUDIAR

Construir el concepto de función primitiva con base en la lectura realizada y el vídeo consultado, discutirlo en ternas y desarrollarlo en un organizador grafico socializarlo para exponerlo al grupo.

Analizar e interpretar a la función primitiva como la antiderivada de una función, su notación y al Cálculo Integral como el proceso inverso del Cálculo Diferencial en problemas de ciencias exactas (área bajo una curva), naturales(crecimientos exponenciales) y sociales (oferta y demanda), manifestando su opinión escrita mediante una reflexión, después de resolver los ejercicios propuestos.

Resolver ejercicios de manera individual sobre integrales inmediatas y técnicas de integración para adquirir habilidad operativa en un contexto teórico, Resolver en forma colectiva ejercicios comentar al grupo los obstáculos que encontraron al integrar funciones y dar sugerencias para identificar correctamente el tipo de técnica a aplicar de acuerdo a la forma de la función.

V.- DONDE ESTUDIAR

BIBLIOGRAFÍA




CIBERGRAFIA

VI.- EVALUACION

Realiza las siguientes integrales indefinidas a partir de las formulas de integración Inmediata.

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UNIDAD IV. TECNICAS DE INTEGRACIÓN EN SITUACIONES CONTEXTUALES


Las técnicas de integración consisten en llevar a una integral que se muestra compleja a otra que se pueda resolver de manera más sencilla, haciendo uso del Teorema Fundamental que relaciona las antiderivadas y la integral definida.

Evaluar la integral indefinida ∫f(x)dx es equivalente a determinar una función F tal que F´(x) = f(x), y posteriormente sumar una constante arbitraria C.

El objetivo que presenta esta unidad es mostrar cómo cambiar integrales no conocidas por integrales que podamos reconocer, encontrar en una tabla o evaluar por medio de la computadora.

Si además agregamos el concepto de integral definida o integrales impropias para las cuales el integrando puede ser no acotado en un intervalo de integración. Para la determinación de las integrales indefinidas es necesario apoyarnos en una tabla de fórmulas básicas de derivadas y al mismo tiempo de integrales que puedes consultar en el anexo al final de la unidad.



Explica e interpreta los resultados obtenida de situaciones contextuales reales o hipotéticas a través del uso de técnicas de integración


Analiza y resuelve problemas en contexto, aplicando métodos de integración


4.1.1. Integración por partes

4.1.2. Integrales trigonométricas

4.1.3. Integrales por sustitución trigonométrica

4.1.4. Integrales de funciones racionales por fracciones parciales

IV.- COMO ESTUDIAR

Analiza y resuelve problemas contextuales de manera individual que utilicen las diferentes técnicas de integración

Comenta posteriormente con otros compañeros sobre los ejercicios resueltos

V.- DONDE ESTUDIAR

BIBLIOGRAFÍA




CIBERGRAFIA

VI.- EVALUACIONINSTRUCCIONES: Resuelve correctamente los siguientes problemas anotando todo el procedimiento empleado.

22.∫ x2 ex3

d x23.∫ 3 xsen2xdx 24.∫ excosxdx25.∫ 2 x

√ x2+4dx

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