Vicerrectoría de Estudios Postgrado
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Vicerrectoría de Estudios Postgrado Trabajo de grado para Optar por el Titulo de: Maestría en Matemática Superior Título: PROPUESTA DE ESTRATEGIAS PARA LA ENSEÑANZA DE LAS CÓNICAS CON EJES NO PARALELOS A LOS EJES CARTESIANOS EN EL INSTITUTO ESPECIALIZADO DE ESTUDIOS SUPERIORES LOYOLA, SAN CRISTÓBAL, REPÚBLICA DOMINICANA Sustentante: Hipólito Lisandro Ramón Montas Domenech 2013-2237 Asesor: Msc. Carlos R. Valdez C. Santo Domingo, R. D. Agosto del 2015
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Vicerrectoría de Estudios Postgrado
Trabajo de grado para Optar por el Titulo de:
Maestría en Matemática Superior
Título:
PROPUESTA DE ESTRATEGIAS PARA LA ENSEÑANZA
DE LAS CÓNICAS CON EJES NO PARALELOS A LOS
EJES CARTESIANOS EN EL INSTITUTO
ESPECIALIZADO DE ESTUDIOS SUPERIORES LOYOLA,
SAN CRISTÓBAL, REPÚBLICA DOMINICANA
Sustentante:
Hipólito Lisandro Ramón Montas Domenech
2013-2237
Asesor:
Msc. Carlos R. Valdez C.
Santo Domingo, R. D.
Agosto del 2015
ii
ÍNDICE
RESUMEN............................................................................................................ ii AGRADECIMIENTO ........................................................................................... iii DEDICATORIA ................................................................................................... iv INTRODUCCIÓN .................................................................................................. 1 CAPÍTULO I. ASPECTOS INTRODUCTORIOS 1.1Planteamiento del problema ............................................................................ 5 1.2 Objetivos de la investigación .......................................................................... 7
1.2.1 Objetivo General .............................................................................. 7 1.2.2 Objetivos específicos ....................................................................... 7
1.3 Justificación de la investigación. ..................................................................... 8 CAPÍTULO II. MARCO DE REFERENCIA 2.1 Marco histórico Cultural ................................................................................ 13 2.2 Marco teórico. ............................................................................................... 17 2.3 Marco conceptual. ........................................................................................ 18
2.3.1 Formación de las Cónicas. ............................................................. 19 2.3.2 Las crónicas como lugar geométrico ............................................. 21
2.3.2.1 La circunferencia .............................................................. 24 2.3.2.2 La parábola ...................................................................... 24 2.3.2.3 La elipse ........................................................................... 25 2.3.2.4 La hipérbola .................................................................... 27
2.3.3 Pensamiento geométrico de Dina y Pierre Van Hiele. .................... 28 2.3.3.1 Niveles de razonamiento .................................................. 30
CAPÍTULO III. DISEÑO METODOLÓGICO 3.1 Marco Metodológico ..................................................................................... 36
3.1.1 Método de la Investigación ............................................................ 37 3.1.2 Diseño de la Investigación ............................................................. 38
CAPÍTULO IV. PRESENTACIÓN DE LA DIDÁCTICA PROPUESTA 4.1 Descripción de las actividades de la propuesta didáctica. ............................ 41 4.2 Propuesta Didáctica Nivel 1. Aplicaciones prácticas ................................... 42
4.2.1 Aplicaciones de la elipse ............................................................ 43 4.2.2 Aplicaciones de la parábola ......................................................... 44 4.2.3 Aplicaciones de la hipérbola ........................................................ 45
4.3 Propuesta Didáctica Nivel 2. Identificación de las ecuaciones .................... 48 4.3.1 Estrategia didáctica 1. Deducción a partir de sus coeficientes .... 53
4.4 Propuesta Didáctica Nivel 3.Transformación de coordenadas ..................... 56 4.4.1 Rotación de los ejes coordenados ............................................... 56
iii
4.4.2 Simplificación de ecuaciones por transformación de Coordenadas ............................................................................... 57 4.4.3 Estrategia didáctica 1. Determinación previa de la rotación ........ 60 4.4.4 Estrategia didáctica 2. Deducción por identificación de los coeficientes. ................................................................................. 67 4.4.5 Estrategia didáctica 3. Identificación mediante el indicador ......... 67 4.4.6 Estrategia didáctica 4.Transformación inversa de coordenadas .. 72 4.4.7 Aplicaciones de Cónicas Rotadas ............................................... 74
CONCLUSIÓN ................................................................................................... 81 RECOMENDACIONES ...................................................................................... 83 BIBLIOGRAFIAS ............................................................................................... 84 ANEXOS
ii
RESUMEN
El siguiente trabajo está basado en estrategias para la enseñanza de las ecuaciones de las cónicas y principalmente aquella cuyos ejes no son paralelos a los ejes coordenados o cónicas rotadas; se trata de unos de los temas que en los últimos años se ha descuidado en los cursos de Cálculo diferencial a nivel de grado, en los aspectos sobre discusión del lugar geométrico de una ecuación de dos variables, resaltando el énfasis de su aplicación en cursos superiores, en las asignaturas de Cálculo integral, Cálculo de más de dos variables, Algebra lineal y Calculo Vectorial entre otras. Este trabajo se subdivide en cuatro capítulos; en el Capítulo I se tratan aspectos introductorios como Planteamiento del problema, Objetivos generales y específicos y Justificación de la investigación; el Capítulo II se refiere al Marco Referencial, aspectos generales que la sustentan, tales como, referencias históricas, antecedentes y los conceptos relacionados que son necesarios para el entendimiento del mismo. En el Capítulo III se tratan aspectos relacionados al Diseño Metodológico, basado en una investigación cualitativa, del tipo documental. En el Capítulo IV se tratan los aspectos propios del tema de investigación, se profundiza en las diferentes estrategias que sustentan el tema de investigación a través de ejemplos en los que se muestran las distintas aplicaciones a estudiar en el área de la Física, la Economía y la Ingeniería, por medio de la deducción e interpretación de los lugares geométricos de las cónicas, partiendo de la ecuación general de segundo grado. Además de un tema novedoso que es el proceso inverso de transformación de coordenadas, donde a partir de la ecuación rotada determinarla respecto a los ejes cartesianos.
iii
AGRADECIMIENTOS
A Dios porque es quien nos da la oportunidad y sabiduría para poder concluir
con esta importante etapa de nuestra vida profesional en nuestra carrera como
docente, a Él sea toda la gloria y honra.
Al Ministerio de Educación Superior Ciencia y Tecnología (MESCYT) por
haber acogido mi propuesta de estudio y cumplir con sus valiosos aportes
financieros.
A nuestro asesor general de tesis, el profesor MSC Carlos Valdez Coats por
sus sabias recomendaciones durante todo el proceso de realización de este
trabajo de investigación.
A mis compañeros de estudios, por haber compartido durante estos dos años de
intercambio de experiencias y conocimientos para así por fin poder arribar a feliz
término en este trayecto.
Al maestro: Franklin Florián, por haber puesto su empeño en la iniciación de
esta maestría y por siempre estar dispuesto a apoyarme aportando en la
redacción de este trabajo.
iv
DEDICATORIA
A mi esposa Karen Castillo, por ser la fuente principal de motivación para que
se emprendiera este proyecto de estudio.
A mis hijos Lisandro Abdías, Sara Karenlis e Iván Alexis, por ser un apoyo
incondicional en todo este tiempo y otros más, restándole del tiempo de atención
en el hogar.
A mi madre Sonia Domenech, por darme la vida, por su amor y dedicación, y,
quien desde pequeño se preocupó por mi preparación.
1
INTRODUCCIÓN
La geometría es una de las disciplinas en el área de las matemáticas más
antiguas, cuyo objeto de estudio parte de la concepción espacial de la realidad a
través de nuestros sentidos y por medio de razonamientos y argumentaciones
demostrar esa conceptualización.
El autor de esta tesis, a la fecha, es profesor de Cálculo integral y Algebra lineal
y Cálculo Vectorial en el Instituto Especializado de Estudios Superiores Loyola
en San Cristóbal, República Dominicana y ha visto con preocupación en los
últimos años que los temas de identificación del lugar geométrico dada una
ecuación, presenta serias dificultades en el estudiantado, quienes por lo regular
en sus cursos de Cálculo I, enfatizaban más el aspecto algebraico que la
interpretación geométrica y recurrían a la memorización de algoritmos en lugar
que a la interpretación y el razonamiento.
La enseñanza de la geometría, parte de la deducción por medio de corolarios y
axiomas, de las principales demostraciones de las fórmulas, que forman parte de
los cursos de matemáticas, dando un rigor matemático importante que se puede
inferir de sus planteamientos.
Es importante destacar que el estudio de la Geometría y de la Geometría
Analítica resulta difícil si no se logra estrategias y planteamientos didácticos
donde los estudiantes puedan desarrollar ese razonamiento demostrativo y
deductivo, sin tener que recurrir a la simple memorización. Es por ello que este
trabajo logra aportar en tal sentido en el planteamiento de estrategias didácticas
para la deducción de las gráficas de una ecuación general de segundo grado y
en el proceso inverso, dada la gráfica determinar su ecuación.
2
” El rol del docente es crucial ante las exigencias de la educación actual, es al
educador a quien corresponde desarrollar estrategias para que el proceso
educativo adquiera mayor coherencia y congruencia junto con las políticas
educacionales que promueven la visión reflexiva de las practicas pedagógicas,
así como el uso y la implementación de nuevos recursos”. (Perez O. & Ruiz,
2010)
Hemos considerado para el planteamiento didáctico los niveles de razonamiento
geométrico de Van Hiele, fundamentados en el hecho de que se van obteniendo
paulatinamente estos niveles de pensamiento y conocimiento y se deben lograr
alcanzar un nivel para pasar al otro.
En síntesis, las características del modelo de Van Hiele, son: “1) El alumno sólo
puede comprender realmente aquellos contenidos que el docente le presenta de
manera adecuada a su razonamiento, 2) Es posible encontrar diferentes niveles
de adecuación en el razonamiento de los alumnos, 3) No se puede enseñar a
razonar a un alumno de una determinada forma: sólo se aprende a razonar
mediante la propia experiencia; pero sí se puede ayudar por medio de una
enseñanza adecuada de la geometría para que adquiera esa experiencia
necesaria, 4) El centro de atención del modelo no es el aprendizaje de hechos y
destrezas sino la comprensión de conceptos y el desarrollo de las formas de
razonamiento”. (Gillig, 2013)
“Fermat y Descartes descubrieron que la geometría como teoría lógica es
equivalente a una estructura algebraica, esencialmente al espacio vectorial R3,
en el sentido de que los puntos, rectas, planos, circunferencias, etc. pueden ser
identificados con ciertos subconjuntos de R3 de modo que los teoremas
geométricos sobre estos conceptos se corresponden con los teoremas
algebraicos sobre sus conjuntos asociados. Así surgió la llamada geometría
analítica y con ella la clave para una comprensión mucho más profunda de la
geometría en general”. (Castillo)
3
La Geometría Analítica es aquella que estudia las propiedades de figuras
geométricas tales como líneas, curvas, cuerpos, superficies mediante un método
específico que emplea la utilización de un sistema de coordenadas. Esta es
estudiada en dos grandes áreas que corresponden a la Geometría Analítica
plana y Geometría Analítica del espacio.
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CAPÍTULO I:
ASPECTOS INTRODUCTORIOS
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1.1 Planteamiento del Problema
La enseñanza y el aprendizaje de las cónicas (circunferencia, parábola,
hipérbola y elipse) no es un tema exento de problemas, donde su aprendizaje se
expresa empleando los métodos y formas de trabajo habituales que requiere
considerable esfuerzo por parte de los profesores, además, el alumno no
encuentra su utilidad práctica, lo que se convierte en un verdadero conflicto.
Tradicionalmente en las instituciones educativas de la República Dominicana,
tanto en el nivel medio, como superior, el tratamiento para el estudio de las
cónicas se realiza por medio del sistema de representación algebraico, partiendo
de la ecuación más simple o canónica y luego mediante las transformaciones de
las ecuaciones canónicas que determinan las curvas, para hallar los elementos o
a partir de los elementos hallar las ecuaciones; el sistema de representación
visual se utiliza para ubicar los elementos. Se ha observado que se resuelven
problemas donde el estudiante ejercita procedimientos algebraicos para el
manejo de ecuaciones y desarrolla estrategias para memorizar los contenidos.
Hemos visto con preocupación que en las últimas décadas en la República
Dominicana se ha descuidado un tanto la enseñanza de la Geometría Analítica,
como un área de las matemáticas y una herramienta fundamental para el
desarrollo del Cálculo diferencial e integral. La deficiencia marcada en los
estudiantes que al llegar a los niveles superiores no manejan adecuadamente la
identificación de las ecuaciones de curvas características y fundamentales como
las cónicas; y por la importancia que reviste esto, dificulta la comprensión en
ciertos otros temas.
Esto ha sido debido, entre otras razones, a la falta de rigurosidad en dicha
disciplina y que esta forma parte de una asignatura y por lo tanto no se abordan
a profundidad dichos temas del saber geométrico. El objetivo fundamental es
que estos conceptos sean obtenidos a través del razonamiento y que puedan
servir para ser utilizados en otras áreas del conocimiento.
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Entre las principales dificultades que presentan los alumnos en este tema se
encuentran: reconocer las cónicas como lugares geométricos, identificar y
describir sus elementos característicos, establecer la relación entre los
parámetros de la ecuación y la representación gráfica (cómo la variación de los
parámetros determina la transformación de la gráfica de la curva), y apreciar sus
potencialidades para modelar fenómenos de la realidad.
Con frecuencia, al enseñar las cónicas se enfatizan directamente en sus
expresiones analíticas y en las propiedades que se deducen a partir de ellas,
mediante procesos puramente algebraicos. Sin negar la potencialidad de estos
métodos, ni la necesidad de tratarlos a fondo en este grado, es conveniente
iniciar el estudio de las cónicas a partir de sus propiedades legítimas como
lugares geométricos, sin tener prisa por pasar a la formulación analítica. Una
prematura algebrización de las cónicas evita todo un conjunto de experiencias
pragmáticas y descubrimientos que son fundamentales, formativos y asociados
a sus aplicaciones en contextos cotidianos.
La propuesta de diseño e implementación de estrategias didácticas, apuntan al
hecho de plantear problemas a partir de soluciones de la vida cotidiana de la
ciencia y la tecnología mediante el proceso de modelación de las cónicas, por
medio del reconocimiento de dichas curvas, a través de aplicaciones prácticas
que evolucionen desde su formación canónica, ordinaria y general, prestando
especial interés en el caso de transformaciones de cónicas mediante rotación de
ejes, con la finalidad de simplificar dichas ecuaciones.
“El diseño de las actividades está enmarcado, en los tres primeros niveles del
desarrollo del pensamiento geométrico de Van Hiele” (visualización o
reconocimiento, análisis, ordenación o clasificación) debido a que los niveles
superiores son muy complejos y abstractos. Este modelo de aprendizaje permite
estructurar de manera secuencial y ordenada los conocimientos, además
garantiza la superación de cada nivel y el paso de un nivel a otro sin dificultad
significativa”. (Perez Bernal, 2011)
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El problema planteado en la presente investigación pretende responder, de
manera general, a la siguiente interrogante: ¿Cuáles serían las mejores maneras
de enseñar las cónicas en la Educación Media y Universitaria? Y de manera
específica, dar respuesta a las siguientes preguntas:
¿Cuáles son los diferentes elementos que definen y caracterizan las
curvas planas llamadas cónicas?
¿Cuáles son los las diferentes aplicaciones sobre las cónicas que
podemos encontrar a lo largo de la historia?
¿Cuáles son las diferentes ecuaciones de las cónicas en sus diferentes
formas, canónica, ordinaria y general?
¿Cómo se pueden simplificar una ecuación general de una cónica
mediante transformaciones de rotación de ejes?
¿Cuáles son los diferentes niveles de la propuesta didáctica de Van Hiele
y como adecuarlas de manera práctica?
1.2 Objetivos de la Investigación
1.2.1 Objetivo General:
Proponer estrategias para la enseñanza de las cónicas, tomando como
referencia los niveles del desarrollo del pensamiento geométrico de Van Hiele,
haciendo énfasis en aquellas con ejes no paralelos a los ejes cartesianos.
1.2.2 Objetivos Específicos
Definir los diferentes elementos que definen las cónicas (circunferencia,
parábola, elipse e hipérbola).
Desarrollar desde la geometría analítica las cónicas y profundizar en la
correspondencia entre las propiedades geométricas de las curvas y las
propiedades algebraicas de la ecuación correspondiente.
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Revisar las aplicaciones de la parábola, elipse e hipérbola en contexto reales
como la medicina, ingeniería, navegación y astronomía, entre otros.
Presentar propuestas didácticas para la enseñanza-aprendizaje de las
cónicas aplicando los tres niveles de Van Hiele desde su concepción inicial
hasta las deducciones generales.
1.3 Justificación de la Investigación
“El desarrollo de la intuición espacial es una realidad básica de nuestra cultura
por la importancia de imaginar situaciones y esquemas tridimensionales e
interpretar planos, y de forma más general de tener referencias de orientación y
estructuración en el espacio. Identificar las formas y relaciones espaciales que
se presentan en la realidad, analizando las propiedades y relaciones
geométricas implícitas y siendo sensible a la belleza que generan, ha llevado a
la renovación de los programas con la inclusión de contenidos geométricos”.
(Escribano Benito, Jimenez Pomar, Perez Alvarez, & Virto Virto)
Sin embargo pensamos que la importancia que actualmente se da a esta
materia sigue siendo insuficiente y que el estudio de la geometría en su función
formativa se hace tan esencial como clásicamente lo fue, pues presenta valores
insustituibles que se resume así:
“1) La geometría proporciona uno o más puntos de vista, o modos de ver, en
todas las áreas de las matemáticas aproximadamente.
2) Las interpretaciones geométricas continúan proporcionando visiones
directoras del entendimiento intuitivo y avances en la mayoría de las áreas de
las matemáticas.
3) Las técnicas geométricas proporcionan eficaces útiles para resolver
problemas en casi todas las áreas de las matemática.” (Thom, 1973).
9
El proceso de enseñanza de la Geometría Analítica inicia en el nivel medio
donde el estudiante del tercer ciclo de bachillerato maneja los temas de las
cónicas, pero de una manera más de memorización e identificación de los
elementos que la componen, que de contextualización.
Esto viene arrastrándose desde el primer y segundo ciclo donde en los
elementos de geometría elemental que reciben, están dentro de la asignatura de
Matemáticas, donde estudian las propiedades de las figuras y cuerpos
geométricos, pero no demostrando las fórmulas y relaciones geométricas, sino
solo por medio de la interpretación y manejo de las mismas, cosa que no les
ayuda a descubrir un modo de pensar geométrico que debe despertar en ellos el
razonamiento y los esquemas de identificación espacial, apoyándose en
propiedades estudiadas para anticipar relaciones no conocidas.
Si bien son planteados algunos elementos geométricos en el currículo del nivel
medio, estos no son suficientes para desarrollar en ellos esa capacidad de
discernir e interpretar geométricamente. De igual manera ocurre en el nivel
universitario donde la geometría analítica forma parte de la asignatura de
Cálculo Diferencial y por lo tanto es solo uno de los temas de la misma, no
abordándose con suficiente propiedad cada uno de los conceptos,
razonamientos y esquemas que sirven como fundamentación a tal importante
disciplina.
Esto hace que un tema tan importante como las Cónicas, que tiene una
aplicación amplia en diferentes campos de la ciencia y la tecnología, no sea
estudiado, a partir de los conceptos geométricos que la definen y deduciendo las
fórmulas matemáticas para cada uno de sus lugares geométricos. Por lo que
esto hace que a la hora de utilizar dichos conceptos en otros cursos, se vean
impedidos a utilizarlos, por no haber sido afianzados los mismos.
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Esta deficiencia en las áreas de Geometría Analítica hacen que los estudiantes
presenten dificultades en graficar ecuaciones de dos o más variables, tanto en el
plano como en el espacio (cuádricas), puesto que no manejan adecuadamente
lo que es la discusión de una ecuación en todos sus elementos formativos, lo
cual hace que no puedan aplicar convenientemente en otros temas, aumentando
el índice de reprobación.
11
CAPÍTULO II:
MARCO DE REFERENCIA
12
“El marco teórico, marco referencial o marco conceptual tiene el propósito de dar
a la investigación un sistema coordinado y coherente de conceptos y
proposiciones que permitan abordar el problema. Se trata de integrar al
problema dentro de un ámbito donde éste cobre sentido, incorporando los
conocimientos previos relativos al mismo y ordenándolos de modo tal que
resulten útil a nuestra tarea". (Schanzer)
En la exposición de la teoría es siempre conveniente presentar el autor o autores
relacionados con la misma, así como los aspectos más relevantes del contexto
intelectual en el que esta surgió. La exposición debe ser precisa en cuanto al
uso de la terminología, rigurosa en cuanto a la forma como se relacionan entre si
los conceptos teóricos.
La interpretación que hacemos de la situación problemática o de la unidad de
observación desde el punto de vista de la teoría tiene que permitirnos describir y
comprender el fenómeno desde un punto de vista diferente al cotidiano; esto no
significa que el enfoque teórico por sí mismo nos llevara a resolver el problema
de investigación, por el contrario, nos permitirá enfocarlo desde una perspectiva
formal que nos obligara a replantear las preguntas en un nivel superior de
abstracción. Como resultado de dicha operación, al final de la interpretación,
tendremos una idea precisa de la naturaleza de los observables que requerimos
para resolver el problema de investigación.
La elaboración del marco teórico comprende, por lo general, dos etapas:
“Revisión de la literatura existente. Consiste en destacar, obtener y consultar la
bibliografía y otros materiales que pueden ser útiles para los propósitos de
estudio, de donde se debe extraer y recopilar la información relevante y
necesaria que atañe a nuestro problema de investigación.
Adopción de una teoría o desarrollo de una perspectiva teórica. En este aspecto,
nos podemos encontrar con diferentes situaciones”. (Schanzer)
13
2.1 Marco histórico Cultural
“A continuación se reseña el desarrollo de una aproximación histórica –
epistemológica, como parte fundamental en la construcción de los análisis
preliminares en relación con la concepción de la secuencia didáctica que se
pretende movilizar. Para ello, la atención se va a centrar en las cónicas como
lugar geométrico, así como para comprender su naturaleza, significados, y
sentido que ha tenido estas curvas a partir desde lo puntual y lo global”.
(Fernandez Mosquera, 2011)
“De esta manera, se hará referencia a la evolución histórica del estudio de las
cónicas mediante tres momentos históricos relacionados con el desarrollo de la
noción matemática en cuestión”: (Fernandez Mosquera, 2011)
El período desde el 350 A.C. a 500 D.C., donde se dieron los orígenes de
estas curvas a partir de hacer cortes a un cono físico, privilegiando los
trabajos de Menecmo (350 A.C.), quien fue el primero en publicar un trabajo
acerca de las secciones cónicas, y Apolonio (262-190 A.C.), quien constituyó
la primera estructura matemática conocida alrededor de estas curvas, con su
obra titulada Las Cónicas, desde la perspectiva del tratamiento global y
puntual de las cónicas vistas como lugar geométrico. Los griegos se
plantearon tres problemas clásicos de construcción geométrica: la trisección
del ángulo; la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo, los cuales
debían resolverse con el uso únicamente de la regla no graduada y el
compás colapsable.
Los siglos XV y XVI, con los aportes de los geómetras y pintores alemanes
Johannes Werner (1468-1528) y Alberto Durero (1471-1528). Al primero por
reconocérsele un método para construir puntos de una parábola de
parámetro con regla y compás, con el objeto de resolver el problema de la
duplicación del cubo. Y al segundo, por haber forjado una influencia en el
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arte con base en las construcciones geométricas. En particular, se señala el
interés de Durero por resolver el mismo problema geométrico punto por
punto de las cónicas para plasmarlas en sus obras artísticas.
El siglo XVII, período donde se reconoce el surgimiento del tratamiento
moderno de las cónicas, analizando la obra matemática de Descartes (1596-
1650) desde lo puntual y lo global.
El resultado más sorprendente de la Geometría Analítica es que todas las
ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cónicas
se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672).
Cabe enfatizar que, a pesar de que se reconocen otros momentos históricos y
fundamentales que permitieron dar una evolución a los diversos significados de
las cónicas, se priorizaron los anteriores tres momentos. “Por lo tanto, se
descartó los momentos donde las cónicas se estudiaron a partir de la geometría
proyectiva, la geometría descriptiva, y la teoría de las formas cuádricas desde un
punto de vista del algebra abstracta” (Bourbaki, 1976), “ya que desde estas
perspectivas, se llegó a una independencia entre la geometría analítica y el
álgebra a partir de los trabajos de sistemas de transformaciones geométricas”
(Piaget & Garcia, 1982)
En efecto, Menecmo, discípulo de Platón (427 A.C. - 347 A.C.), hermano de
Dinostrato (también fue geómetra y resolvió la cuadratura del círculo usando la
curva denominada trisectríz o cuadratríz) (390 A.C.-320 A.C.), descubrió primero
la parábola y luego la hipérbola. La elipse fue un subproducto de su
investigación cuando él trataba de resolver el Problema de Delos (también
denominado el problema de la duplicación del cubo).
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Las curvas de Menecmo se generaban de acuerdo al tipo de cono y fueron
denominadas con el nombre de oxitoma (sección del cono agudo), amblitoma
(sección del cono obtuso) y ortotoma (sección del cono recto). “Menecmo se dio
cuenta de que geométricamente, el problema consiste en encontrar el punto de
corte de dos curvas cónicas, que pueden ser dos parábolas, o una parábola y
una hipérbola”. (Mora, 2010)
“Por lo tanto, Menecmo había dado con las cónicas como resultado de su
afortunada búsqueda de curvas que tuvieran las propiedades requeridas para
resolver el problema de la duplicación del cubo. Sus resultados pueden
expresarse, usando una notación moderna en términos algebraicos, cuya
solución se da al resolver simultáneamente la intersección de dos parábolas,
cuyas ecuaciones son: );2( 22 ayxaxy resuelven, el problema de la
duplicación del cubo, prescindiendo de la condición restrictiva de emplear sólo la
regla y el compás”. (Fernandez Mosquera, 2011)
Aunque se suele asociar las secciones cónicas, con el trabajo del matemático
griego Apolonio, estas fueron estudiadas mucho antes (entre II A.C. y I A.C.), por
Aristeo (565 A.C.) y Euclides (300 A.C.), quienes habían escrito tratados sobre
ellas pero que en la actualidad ninguna se conserva. También Arquímedes,
presentó algunos resultados sobre este tema. “Sin embargo, fue Apolonio, quien
lo refinó, despojándolo de irrelevancias y le dio forma sistemática en su obra Las
Cónicas”. (Kline, 1992). “Además de sus méritos por sistematizar los
conocimientos hallados hasta ese momento de estas curvas, Las Cónicas
contienen material altamente original, ingenioso, extremadamente hábil, y están
bien organizadas hasta su época”. (Kline, 1992); (Boyer, 1996); (Rio Sanchez,
1996).
Las Cónicas consta de ocho libros que contienen 487 proposiciones en total. De
ellos se conservan los cuatro primeros reproducidos en manuscritos griegos de
los siglos XII y XIII, y los tres siguientes en una traducción al árabe escrita en
16
1290. El octavo se ha perdido, aunque en el siglo XVII el astrónomo Halley
(1656-1742) llevó a cabo una reconstrucción de esta obra, basándose en las
indicaciones de Pappus (290-350 D.C.).
Tal y como concluyen (Campos, 1994); (Boyer, 1996); (Rio Sanchez, 1996); (De
Guzman, 2005) y (Bongiovanni, 2007), el mérito a las primeras generalizaciones
sobre las cónicas se lo lleva Apolonio, al haberlas escrito en su obra, algunas de
la cuales son:
No es necesario considerar exclusivamente secciones perpendiculares a una
generatriz del cono, y que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos
de secciones cónicas sin más que variar la inclinación del plano que corta al
cono. Este es un paso muy importante en el proceso de unificar los tres tipos
de curvas en cuestión.
Demostró que el cono no necesita ser un cono recto, es decir, tal que su eje
sea perpendicular al plano de su base circular, sino que puede igualmente
tomarse de entrada un cono circular oblicuo o escaleno y además demostró
que las propiedades de las curvas son las mismas, sea que se obtengan
como secciones de un cono cualquiera.
Llevó el estudio de las antiguas curvas a un punto de vista moderno, al
sustituir el cono de una sola hoja por un cono de dos hojas (o un par de
conos orientados en sentidos opuestos, por el mismo eje y vértice). Este
cambio en el punto de vista, convierte a la hipérbola en la curva de dos
ramas tal como se conoce hoy.
17
2.2 Marco teórico
“En el marco teórico o referencial se expresan las proposiciones teóricas
generales, las teorías específicas, los postulados, los supuestos, categorías y
conceptos que han de servir de referencia para ordenar la masa de los hechos
concernientes al problema o problemas que son motivo de estudio e
investigación. En este sentido, todo marco teórico se elabora a partir de un
cuerpo teórico más amplio, o directamente a partir de una teoría. Para esta tarea
se supone que se ha realizado la revisión de la literatura existente sobre el tema
de investigación. Pero con la sola consulta de las referencias existentes no se
elabora un marco teórico: éste podría llegar a ser una mezcla ecléctica de
diferentes perspectivas teóricas, en algunos casos, hasta contrapuestas. El
marco teórico que utilizamos se deriva de lo que podemos denominar nuestras
opciones apriorísticas, es decir, de la teoría desde la cual interpretamos la
realidad". (Ander-Egg, 1990)
Los investigadores que han abordado las génesis de estas curvas (Boyer, 1956);
(Bongiovanni, 2007); (Campos, 1994); (De Guzman, 2005); (Rio Sanchez, 1996),
concuerdan en afirmar que Eratóstenes (276 A.C. - 194 A.C.) y Proclo le
atribuyen el nacimiento de las cónicas a Menecmo, geómetra griego.
Después de una revisión bibliográfica, se pudo constatar que el tema de estudio
ha sido de interés desde hace más de dos décadas, pero con enfoque en las
cónicas con ejes paralelos a los ejes cartesianos, pero a pesar de ello el número
de investigaciones publicadas no es significativo. Entre estas investigaciones
tenemos:
“Estudio de las aplicaciones de las cónicas mediado por la modelación desde
una visión analítica”, Tesis para optar por el título de Magister en Enseñanza de
las Ciencias Exactas y Naturales por Isabel Pérez Gutiérrez (2012), donde
muestra el diseño y la aplicación de una Unidad Didáctica para conceptualizar
18
las cónicas elipse, parábola e hipérbola desde una versión geométrica hacia una
analítica dirigida a estudiantes de décimo grado que empiezan su educación
media técnica. La Unidad Didáctica está pedagógicamente enmarcada dentro de
la Educación Matemática Realista (EMR), presenta tres situaciones 1. Cortes a
un cono. 2. Capturando cónicas y 3. Cónicas desplazadas, con sus actividades
así como observaciones durante su diseño y aplicación.
Los textos de Cálculo y Geometría Analítica en su mayoría no presentan el tema
de las Cónicas con los ejes no paralelos a los coordenados (rotación de ejes),
solamente pudimos encontrar algunos autores que si lo abordan, dando soporte
y marco de referencia a la presente investigación, entre ellos: Charles Lehmann
(1989). Geometría Analítica; G. Fuller y D. Tarwater (1995). Geometría Analítica;
Dennis G. Zill y Jacqueline M. Dewar (2012). Algebra, trigonometría y Geometría
Analítica y Joseph H. Kindle (1988). Geometría Analítica plana y del Espacio.
Estos autores aunque presentan el tema en cuestión lo abordan desde un punto
de vista teórico, sin incluir el proceso de transformación inversa de coordenadas.
2.3 Marco conceptual
Todo investigador debe hacer uso de conceptos para poder organizar sus datos
y percibir las relaciones que hay entre ellos.
"El conocimiento científico es enteramente conceptual, ya que, en último
término, está constituido por sistemas de conceptos interrelacionados de
distintos modos. De ahí que, para acceder a las ideas de la ciencia, sea
necesario manejar los conceptos y los lenguajes de la ciencia. En ciencias
sociales, la pretensión de validez objetiva de cualquier conocimiento empírico se
apoya en que se haya ordenado la realidad según conceptos formados
rigurosamente. Estos conceptos no pueden dejar de ser subjetivos. Están
necesariamente condicionados por posiciones ideológicas y por posiciones
valorativas que son supuestos lógicos de todo conocimiento". (Borsotti)
19
Las bases teóricas o conceptuales de esta investigación están fundamentadas
en:
2.3.1 Formación de la Cónicas
“Menecmo utilizó el método de intersección de superficies geométricas
conocidas: planos, esferas, cilindros, conos, poliedros, entre otros y estableció
que las curvas que se formaban al seccionar un cono con un plano, servían para
resolver la duplicación del cubo. Igualmente, consiguió las cónicas seccionando
un cono rectángulo con un plano perpendicular a una de sus generatrices. La
elipse y la hipérbola, surgen al seccionar conos acutángulos y obtusángulos con
planos perpendiculares a una de las generatrices”. (Fernandez Mosquera, 2011)
Un cono rectángulo es aquel cuerpo o sólido geométrico generado por la
revolución de un triángulo rectángulo isósceles al girar alrededor de uno de sus
catetos. La hipotenusa del triángulo es la generatriz, g, del cono. El cateto sobre
el cual se gira es la altura, h. El otro cateto es el radio, r, de la base.
Un cono acutángulo es aquel cuerpo o sólido geométrico generado por la
revolución de un triángulo rectángulo al girar alrededor de un cateto mayor.
Un cono obtusángulo es aquel cuerpo o sólido geométrico generado por la
revolución de un triángulo rectángulo al girar alrededor de un cateto menor.
“Apolonio, al igual que sus predecesores, obtuvo las cónicas intersecando un
cono circular recto de dos hojas, con planos apropiados. Así la circunferencia
es la curva cerrada que se genera al cortar la superficie cónica con un plano que
forma un ángulo de 90° con el eje, como lo podemos apreciar en el siguiente
gráfico:” (Calderon Gualdron, 2013)
20
Figura 1. La circunferencia. (Calderon Gualdron, 2013)
“Como se puede apreciar en la siguiente figura, la elipse es la curva cerrada que
se genera al cortar la superficie cónica con con un plano que forma un ángulo
superior, al ángulo formado por la generatriz del cono y su eje, e inferior a 90°”.
(Perez Bernal, 2011)
Figura 2. La Elipse. (Calderon Gualdron, 2013)
“Mientras que la parábola es la curva abierta que se genera al intersecar el cono
con un plano que forma un ángulo igual al ángulo que forma la generatriz del
cono y su eje, es decir la generatriz y el plano son paralelos, como lo podemos
apreciar en el gráfico siguiente”: (Calderon Gualdron, 2013)
21
Figura 3. La Parábola. (Calderon Gualdron, 2013)
Y, por último, la hipérbola “es la curva abierta que se genera al cortar la
superficie cónica con un plano que forma un ángulo inferior, al ángulo formado
por una generatriz del cono y su eje, y mayor o igual a 0°, como se muestra en la
figura siguiente”: (Perez Bernal, 2011)
Figura 4. La Hipérbola. (Calderon Gualdron, 2013)
2.3.2 Las cónicas como lugar geométrico
“Es preciso reiterar que Apolonio no fue el primero en estudiar detalladamente
las cónicas ni los lugares geométricos. De hecho, aunque en los Elementos de
Euclides, no aparece el tema de los lugares geométricos, por considerarlos un
tema de la matemática superior, se puede encontrar en esta obra, la mayoría de
las propiedades que caracterizan algunas figuras elementales como lugares
22
geométricos: la circunferencia, la mediatriz, la bisectriz, el arco capaz, etc. Debe
recordarse que los griegos clasificaban los lugares geométricos en tres
categorías”: (Fernandez Mosquera, 2011)
Los lugares planos, que abarcaban las líneas rectas y las circunferencias;
Los lugares sólidos, que incluían a las cónicas; y
Los lugares lineales, que contenían las demás curvas (cuadratriz, espiral,
cicloide, etc.).
“La noción de lugar geométrico se aborda usualmente en la geometría analítica
cuando se establecen los dos problemas fundamentales”: (Lehmann, 2002)
Primer problema fundamental de la geometría analítica: dada una
ecuación interpretarla geométricamente, es decir, construir la gráfica
correspondiente.
Segundo problema fundamental de la geometría analítica: dada una figura
geométrica, o la condición que deben cumplir los puntos de la misma,
determinar su ecuación.
En el primer problema, entra a jugar un papel central la noción de lugar
geométrico, ya que los puntos que se obtengan gráficamente deben de
satisfacer la ecuación dada y recíprocamente, que cualquier punto cuyas
coordenadas satisfagan la ecuación, entonces deben de pertenecer a la gráfica
obtenida.
“Así mismo, este primer problema remite al acto de trazado, de efectuar una
gráfica, de encontrar una curva o lo que es lo mismo, un lugar geométrico. En
este sentido al tratamiento de la ecuación dada y su representación gráfica,
usualmente se le denomina en geometría analítica, el problema de construcción
de curvas. Por ejemplo, recomienda que el trazado de una curva, se aborde en
seis pasos (pp. 43-44)”: (Lehmann, 2002)
23
1. Determinación de las intersecciones con los ejes coordenados.
2. Determinación de la simetría de la curva con respecto a los ejes coordenados
y al origen.
3. Determinación de la extensión (dominio) de la curva.
4. Determinación de las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales
que la curva puede tener.
5. Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos para obtener
una gráfica adecuada.
6. Trazado de la curva.
En lo concerniente al segundo problema fundamental, la figura geométrica dada
se presenta en términos de una ley o propiedad que deben obedecer los puntos
de la curva. Frecuentemente, la curva se define en términos de lugar geométrico
(Riddle, 1997); (Zill & Dewar, 2001); (Lehmann, 2002), descrito por un punto que
se mueve siguiendo una ley específica. (Lehmann, 2002) al respecto, afirma así:
“Consideremos que estamos definiendo una curva plana del tipo C por medio de
una propiedad P que únicamente posee C. Entonces, entre todas las curvas
planas, una curva es del tipo C si y solamente si posee la propiedad P” (p. 49).
Ahora bien, en este segundo problema, el objetivo es hallar la representación
algebraica del lugar geométrico dado, en la forma 0),( yxf . Para ello,
(Lehmann, 2002) sugiere un procedimiento para obtener la ecuación de un lugar
geométrico en cuatro pasos:
“1. Se supone que el punto P, de coordenadas (x,y) es un punto cualquiera que
satisface la condición o condiciones dadas, y, por tanto, un punto del lugar
geométrico.
2. Se expresa, analíticamente, la condición o condiciones geométricas dadas,
por medio de una ecuación o ecuaciones en las coordenadas variables x y y.
3. Se simplifica, si hace falta, la ecuación obtenida en el paso 2 de tal manera
que tome la forma 0),( yxf .
24
4. Se comprueba el recíproco: sean ),( 11 yx las coordenadas de cualquier punto
que satisfacen 0),( yxf de tal manera que la ecuación 0),( 11 yxf sea
verdadera.”
2.3.2.1 La Circunferencia
“Una Circunferencia se define como el lugar geométrico de un punto que se
mueve en un plano, de tal manera que se conserva siempre a una distancia
constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama centro de la
circunferencia, y la distancia constante se llama radio. Sea P(x,y) un punto
cualquiera de la circunferencia de centro C (h,k) y radio r. Entonces, por
definición de circunferencia, el punto P debe satisfacer la condición geométrica
rCP ”. (Lehmann, 2002)
La ecuación canónica C (0,0) es de la forma: 222 ryx . (Ver demostración
Anexo).
Figura 5. Circunferencia
2.3.2.2 La Parábola
“Una parábola se define como el lugar geométrico de un punto que se mueve en
un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano que no pertenece a la
recta. El punto fijo F se llama foco y la recta fija se llama directriz de la parábola.
La definición excluye el caso en que el foco está sobre la directriz. Las rectas
25
que unen cualquier punto de la curva con el foco, se denominan radios vectores,
o simplemente vectores. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la parábola. Por P
tracemos el segmento PA perpendicular a l entonces, por la definición de
parábola, el punto P debe satisfacer la condición geométrica FAFP ”.
(Lehmann, 2002)
La ecuación canónica V (0,0) (eje focal horizontal) es de la forma pxy 42 (ver
demostración Anexo), donde la directriz tiene por ecuación cx , la
excentricidad es 1a
ce , y el foco es (p,0).
Figura 6. Parábola horizontal. (Calderon Gualdron, 2013)
Para la parábola vertical, la ecuación canónica es de la forma cyx 42 , donde la
directriz tiene por ecuación py , la excentricidad es 1a
ce , y el foco es
(0,p).
2.3.2.3 La Elipse
“La elipse se define como el lugar geométrico de un punto que se mueve en un
plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese
plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los puntos”.
(Lehmann, 2002)
26
A los dos puntos fijos F y F´ se les llama focos. La recta l que pasa por los focos,
eje focal. El eje focal corta a la elipse en otros dos puntos V1 y V2 llamados
vértices de la elipse, el segmento que une los vértices se llama eje mayor, el
punto medio de este segmento “c” será el centro de la elipse. La recta
perpendicular al eje mayor y que pasa por el punto medio se llama eje menor y
corta a la elipse en dos puntos A1 y A2.
Por la definición de la curva, el punto P debe satisfacer la condición geométrica
aPFPF 221 donde a es una constante positiva mayor que c.
Las ecuaciones canónicas son de la forma 12
2
2
2
b
y
a
x(elipse horizontal) (Ver
demostración en Anexo), donde las directrices tienen por ecuaciones c
ax
2
;
la excentricidad es 222, cbaa
ce , y los focos tienen por coordenadas: (c,0) y
(-c,0)
Figura 7. Elipse horizontal. (Calderon Gualdron, 2013)
La ecuación canónica de la elipse vertical es 12
2
2
2
b
x
a
y, donde las directrices
tienen por ecuaciones c
ay
2
; la excentricidad es 222,1< cbaa
ce , y los
focos tienen por coordenadas: (0,c) y (0,-c).
27
2.3.2.4 La Hipérbola
“Una hipérbola se define como el lugar geométrico de un punto que se mueve en
el plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a
dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad
constante, positiva y menor que la distancia entre los focos”. (Lehmann, 2002)
Algunas características de la hipérbola son que consta de dos ramas diferentes
de longitud infinita, y posee los siguientes elementos: dos focos F y F’ una recta
que une los focos llamada eje focal la cual toca a la hipérbola en dos puntos V1 y
V2 llamados vértices. El punto medio del segmento que forman V1 y V2 se
denota c es el centro de la hipérbola, las rectas que son perpendiculares al eje
focal son las rectas directriz
Por la definición de la curva, el punto debe satisfacer la condición geométrica
aPFFP 2' , donde a es una constante positiva y 2a < 2c.
La ecuación canónica es de la forma 12
2
2
2
b
y
a
x (hipérbola horizontal) (ver
demostración en Anexo), donde las directrices tienen por ecuaciones c
ax
2
;
la excentricidad es 222,1> bcaa
ce , y los focos tienen por coordenadas:
(c,0) y (-c,0).
28
Figura 8. Hipérbola horizontal con centro (0,0). (Calderon Gualdron, 2013)
Para la ecuación canónica de la hipérbola vertical, de la forma 12
2
2
2
b
x
a
y,
donde las directrices tienen por ecuaciones c
ay
2
; la excentricidad es
222, bcaa
ce , y los focos tienen por coordenadas: (0,c) y (0,-c)
2.3.3. Pensamiento Geométrico de Dina y Pierre Van Hiele
Una fuente importante en el enfoque geométrico de la Educación Matemática
Realista (EMR), lo constituye el trabajo de los esposos Pierre van Hiele y Dina
van Hiele-Geldof. El primero planteó una teoría acerca del desarrollo del
pensamiento geométrico que su esposa probó en los años 50. Ambos
profesores, en sus disertaciones doctorales en la Universidad de Utrecht,
Holanda, proponen un modelo acerca de cinco niveles de razonamiento
geométrico, una noción general de este modelo, es que ““el aprendizaje de la
Geometría se hace pasar por unos determinados niveles de pensamiento y
conocimiento, que no van asociados a la edad y que sólo alcanzado un nivel se
puede pasar al siguiente”. Es más, se señala que cualquier persona, y ante un
nuevo contenido geométrico a aprender, “pasa por todos esos niveles y, su
mayor o menor dominio de la Geometría, influirá en que lo haga más o menos
rápidamente”. (Fernando Fouz, 2001)
“Según van Hiele cada nivel se caracteriza por habilidades de razonamiento
específicas e importantes y un alumno no podrá avanzar de un nivel a otro sin
poseer esas habilidades, ya que en un determinado nivel se explicitan y toman
como objeto de estudio los conceptos, relaciones y vocabulario usados en el
nivel anterior, incrementándose así la comprensión de los mismos. Además,
según van Hiele, el que un alumno llegue a un nivel de razonamiento en un
contenido geométrico no asegura que, frente a otro contenido nuevo para él,
pueda funcionar con el mismo nivel.
29
Es probable que tenga que recurrir a formas de razonamiento de los niveles
anteriores según un orden de complejidad creciente”. (Bressan, Bogisic, &
Crego, 2000,2006)
“En la teoría de van Hiele se afirma que para conocer en qué nivel de
razonamiento se encuentra un alumno es necesario atender tanto a sus
estrategias de resolución de problemas como a su forma de expresarse y al
significado que le da al vocabulario que escucha, lee o utiliza para expresar sus
conocimientos. Desde este punto de vista resulta relevante detenerse en la
comprensión y uso que los alumnos muestran de lo que para ellos significan los
términos “definir” y “demostrar”. Las concepciones de los alumnos sobre el
significado de estos términos son dos valiosas pistas, para que el docente
comprenda con qué nivel de razonamiento matemático los alumnos están
operando.” (Bressan, Bogisic, & Crego, 2000,2006)
“El modelo de Van Hiele está formado por dos componentes: los niveles de
razonamiento, que describen la forma como los estudiantes razonan la
geometría cuando efectúan diversas actividades para un tema, desde el
razonamiento intuitivo hasta el razonamiento abstracto formal y las fases de
aprendizaje, que ayudan al profesor a organizar las actividades para que sus
estudiantes puedan avanzar de un nivel de razonamiento al inmediatamente
superior”. (Calderon Gualdron, 2013)
Se describen las ideas centrales del Modelo de Van Hiele de la siguiente
manera: (Jaime & Gutierrez, 1990)
30
Figura 9. Ideas centrales del Modelo de Van Hiele. (Jaime & Gutierrez, 1990)
2.3.3.1 Niveles de Razonamiento
Los niveles de razonamiento son etapas de desarrollo intelectual y cognoscitivo
por las cuales todo estudiante atraviesa para lograr un mayor razonamiento. Así,
estos representan los distintos tipos de razonamiento geométrico de los
estudiantes a lo largo de su formación en los cursos de matemáticas que va
desde el razonamiento intuitivo de los niños de transición hasta el formal y
abstracto de los estudiantes universitarios. De acuerdo con este modelo, si el
estudiante es dirigido por instrucciones adecuadas avanza a través de los cinco
niveles de razonamiento. (Calderon Gualdron, 2013)
31
Figura 10. Niveles de razonamiento del modelo de Van Hiele
Es importante señalar que según este modelo, se determina el nivel de
aprendizaje de un estudiante no tanto por lo que puede resolver o hacer, sino
por la forma cómo se expresa y la forma cómo razona.
Para facilitar la comprensión de los niveles, se usará como ejemplo el caso de
las figuras geométricas. A continuación se presentan cada uno de los cinco
niveles y algunas de las características que identifican a los estudiantes que se
encuentran en ese nivel, esto desde (Mata Perez, 2006)
Nivel 1: Visualización o reconocimiento
En este nivel el alumno percibe las figuras como un todo global, sin detectar
relaciones entre tales formas o entre sus partes. Por ejemplo, un niño de seis
años puede reproducir un cuadrado, un rombo, un rectángulo; puede recordar de
memoria sus nombres. Pero no es capaz de ver que el cuadrado es un tipo
especial de rombo o que el rombo es un paralelogramo particular. Para él son
formas distintas y aisladas.
32
En este nivel, los objetos sobre los cuales los estudiantes razonan son clases de
figuras reconocidas visualmente como de “la misma forma”.
Nivel 2: Análisis
En este nivel el alumno percibe las componentes de las figuras, sus propiedades
básicas.
Estas propiedades van siendo comprendidas a través de observaciones
efectuadas durante trabajos prácticos como mediciones, dibujo, construcción de
modelos, etc. El niño, por ejemplo, ve que un rectángulo tiene cuatro ángulos
rectos, que las diagonales son de la misma longitud, y que los lados opuestos
también son de la misma longitud. Se reconoce la igualdad de los pares de lados
opuestos del paralelogramo general, pero el niño es todavía incapaz de ver el
rectángulo como un paralelogramo particular.
En este nivel los objetos sobre los cuales los estudiantes razonan son las clases
de figuras, piensan en términos de conjuntos de propiedades que asocian con
esas figuras.
Nivel 3: Ordenación o clasificación
Las relaciones y definiciones empiezan a quedar clarificadas, pero sólo con
ayuda y guía. Ellos pueden clasificar figuras jerárquicamente mediante la
ordenación de sus propiedades y dar argumentos informales para justificar sus
clasificaciones; por ejemplo, un cuadrado es identificado como un rombo porque
puede ser considerado como “un rombo con unas propiedades adicionales”. El
cuadrado se ve ya como un caso particular del rectángulo, el cual es caso
particular del paralelogramo. Comienzan a establecerse las conexiones lógicas a
través de la experimentación práctica y del razonamiento.
33
En este nivel, los objetos sobre los cuales razonan los estudiantes son las
propiedades de clases de figuras.
Nivel 4: Deducción formal
En este nivel se entiende el sentido de los axiomas, las definiciones, los
teoremas, pero aún no se hacen razonamientos abstractos, ni se entiende
suficientemente el significado del rigor de las demostraciones.
Nivel 5: Rigor
En este nivel el razonamiento se hace rigurosamente deductivo. Los estudiantes
razonan formalmente sobre sistemas matemáticos, pueden estudiar geometría
sin modelos de referencia y razonar formalmente manipulando enunciados
geométricos tales como axiomas, definiciones y teoremas.
“Las investigaciones de Van Hiele y de los psicólogos soviéticos muestran que el
paso de un nivel a otro no es automático y es independiente de la edad. Muchos
adultos se encuentran en un nivel 1 porque no han tenido oportunidad de
enfrentarse con experiencias que les ayuden a pasar al nivel 2.
Para aplicar el modelo de Van hiele a la enseñanza aprendizaje de las cónicas
es necesario establecer una serie de descriptores de cada uno de los niveles
estudiados, que permita el descubrimiento de estos a partir de las actividades de
los estudiantes.
Nivel 1: Visualización o reconocimiento
Reconoce las curvas en el espacio como la intersección de dos
superficies.
Reconoce las cónicas como la intersección de un cono de dos hojas con
un plano.
Reconoce las cónicas mediante una construcción mecánica.
34
Reconoce las cónicas como una envolvente de rectas tangentes.
Identifica figuras semejantes a las cónicas en diferentes contextos.
Nivel 2: Análisis
Determina los elementos importantes de las cónicas (focos, vértices,
centro, ejes y directrices)
Determina las características geométricas de las cónicas (simetría,
relación entre los focos y un punto, excentricidad)
Nivel 3: Ordenación o clasificación.
Identifica las propiedades suficientes para definir las cónicas de forma
sintética.
Utiliza propiedades geométricas para determinar los elementos de las
cónicas.
Recrea las construcciones cónicas del nivel 1 con el software Regla y
Compas.
35
CAPÍTULO III
DISEÑO METODOLÓGICO
36
3.1 Marco Metodológico
Toda investigación se fundamenta en un marco metodológico, el cual define el
uso de métodos, técnicas, instrumentos, estrategias y procedimientos a utilizar
en el estudio que se desarrolla. Al respecto (Balestrini, 2006) define El marco
metodológico como “El conjunto de procedimientos lógicos, tecno-operacionales
implícitos en todo proceso de investigación, con el objeto de ponerlos de
manifiesto y sistematizarlos; a propósito de permitir descubrir y analizar los
supuestos del estudio y de reconstruir los datos, a partir de los conceptos
teóricos convencionalmente operacionalizados.” Según (Finol & Camacho,
2008), el marco metodológico está referida al “como se realizará la investigación,
muestra el tipo y diseño de la investigación, población, muestra, técnica e
instrumentos para la recolección de datos, validez y confiabilidad y las técnicas
para el análisis de datos”. Según (Arias, 2006) “la metodología de la
investigación es definida como el estudio analítico que incluye los tipos de
investigación, las técnicas, instrumentos y los procedimientos que serán
utilizados para llevarla a cabo”.
.
En este capítulo se dará un giro al tema de investigación, y con la finalidad de
que los hechos y relaciones tengan el grado máximo de exactitud y confiabilidad
de los resultados, se expondrá la metodología o procedimiento ordenado en la
cual se desarrollará el estudio, a fin de lograr el objetivo de nuestra
investigación.
Con el fin de identificar la estrategia a emplear en la formulación metodológica
para la realización de nuestro trabajo, iniciaremos con definir los diferentes tipos
de investigación o de estudio que servirán como base para el mismo.
37
3.1.1 Método de la Investigación
La metodología empleada en el desarrollo de esta investigación se basa en la
exploración documental fundamentada en el razonamiento hipotético deductivo
explicado con el método científico.
Según la naturaleza del tema a tratar, puesto que el mismo no forma parte del
currículo a nivel medio, ni de la asignatura de Cálculo diferencial a nivel superior,
la presente investigación estará centrada en el tipo de investigación documental
que tendrá como finalidad el estudio del problema a tratar con el propósito de
ampliar y profundizar el conocimiento de su naturaleza, con apoyo,
principalmente en trabajos previos, información y datos divulgados por medios
impresos, audiovisuales o electrónicos.
De acuerdo a las fuentes de información de la investigación documental son:
Fuente Primaria: Son aquellas que “contienen información original no abreviada
ni traducida: tesis, libros, monografías, artículos de revista, manuscritos. Se les
llama también fuentes de información de primera mano.” (Buonacore, 1980)
Libros: De acuerdo con la UNESCO (1964), se llama libro a aquella publicación
que tiene más de 49 páginas, y folleto a la que tiene entre cinco y 48 páginas.
Fuente Secundaria: “Resúmenes y listados de referencias publicados en un
área específica de conocimiento. Cualquier fuente secundaria que se utilice
tendrá que ser objeto de comprobación de cualquier factor que puedan afectar la
exactitud o la validez de la información. Este renglón incluye las enciclopedias,
los anuarios, manuales, almanaques, las bibliografías y los índices, entre otros;
los datos que integran las fuentes secundarias se basan en documentos
primarios a través de la revisión y ordenación de datos contenidos en libros,
tesis de grado, y todo aquel material bibliográfico analizado que encuentra
alguna relación al tema a estudiar”. (Galan Amador, 2011)
38
3.1.2 Diseño de la Investigación
De acuerdo al problema planteado y a los objetivos a alcanzar en el marco de la
investigación a desarrollar, referida a la propuesta de estrategias didácticas
para la enseñanza de las cónicas con ejes no paralelos a los cartesianos
en el Instituto Especializado de Estudios Superiores Loyola en San
Cristóbal, República Dominicana, adoptamos la definición de diseño de la
investigación como “La estrategia general que adopta el investigador para
responder al problema planteado, definido por el origen de los datos, tanto
primarios, como secundarios, en estudios documental y la manipulación o no de
las condiciones en las cuales se realiza el estudio” (Arias, 2006); y como
estrategia los niveles del pensamiento geométrico de Van Hiele.
“Dentro de los tipos de investigación que apoyan la modalidad documental, se
encuentran: comparativo, análisis crítico, elaboración de modelos teóricos; entre
otros, tomando en consideración las siguientes fases en la investigación con el
objetivo de dar respuesta a los objetivos específicos:
Fase 1: Se efectuó una revisión bibliográfica a fin de recolectar datos que sirvan
como información en la investigación, organizándolos según las fuentes que
abordan el tema a estudiar, y otros que abordan elementos generales de la
investigación; además de aquellos que plantean situaciones de aplicación
práctica en las diferentes curvas cónicas.
Fase II. Luego de visto toda la documentación, procedimos a la estructuración
de la propuesta didáctica, que establece el planteamiento desde el enfoque
geométrico de los niveles de Van Hiele y considerando primero la identificación
de los elementos que definen la Ecuación General de segundo grado, mediante
sus coeficientes, determinando la curva en particular que representa y su
representación geométrica, y a partir de ella, describir el caso específico de
aquellas cuyos ejes están rotados o inclinados, utilizando los procedimientos de
simplificación de ecuaciones por el método de transformación de coordenadas.
39
Fase III. La estrategia didáctica a emplear en esta investigación se fundamenta
en los principios de la Educación Matemática Realista, “la cual no pretende ser
una teoría general del aprendizaje (como lo es, por ejemplo, el constructivismo),
sino que más bien se trata de una teoría global que se basa en las siguientes
ideas centrales”: (Perez Gutierrez, 2012)
Pensar la matemática como una actividad humana (a la que Freudenthal
denomina matematización), de modo tal que debe existir una matemática
para todos.
Aceptar que el desarrollo de la comprensión matemática pasa por distintos
niveles donde los contextos y los modelos poseen un papel relevante y que
ese desarrollo se lleva a cabo por el proceso didáctico denominado
reinvención guiada en un ambiente de heterogeneidad cognitiva.
Desde el punto de vista curricular, la reinvención guiada de la matemática
como una actividad de matematización requiere de la fenomenología
didáctica como metodología de la investigación, esto es, la búsqueda de
contextos y situaciones que generen la necesidad de ser organizados
matemáticamente, siendo las dos fuentes principales de esta búsqueda la
historia de la matemática y las invenciones y producciones matemáticas
espontáneas de los estudiantes.
40
CAPÍTULO IV:
PRESENTACIÓN DE LA PROPUESTA DIDÁCTICA
41
4.1 Descripción de las actividades de la propuesta didáctica
En este capítulo iniciaremos concretamente con el desarrollo de una estrategia
didáctica para la enseñanza de las cónicas, ya habiendo enunciado en el
capítulo II, las características que presentan los lugares geométricos de cada
una de ellas y de la formación de las mismas por la intersección de un plano con
un cono circular recto de dos hojas, que dependiendo del ángulo de inclinación
determinará, una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola.
Esto da una idea de los contornos geométricos de dichas curvas, las cuales
pueden ser construidas de varias maneras. Una de ellas se fundamenta en los
siete axiomas del doblado de papel, donde es posible construir las secciones
cónicas y definirlas como lugares geométricos. Así lo mencionan diferentes
autores como Row (1966), Johnson (1975), Del Río (1996), Ibáñez (2002),
Czwienczek (2009), entre otros. (Ver Anexo).
La estrategia didáctica parte de los niveles del pensamiento geométrico de Van
Hiele, el cual aplica los principios de la educación matemática realista, enfocado
principalmente en tres niveles, nivel uno (de visualización o reconocimiento),
nivel dos (de Análisis) y el nivel tres (de ordenación y o clasificación).
El autor de este trabajo, basado en su experiencia docente, observando que los
educadores generalmente dan el contenido de dichas curvas objeto de estudio,
sin considerar las aplicaciones prácticas. Por lo que en el nivel 1 (uno), que es el
nivel inicial, que es la fase de intuición y exploración, estaremos viendo
diferentes aplicaciones en las áreas de la física, astronomía, aeronáutica y
navegación, donde se observaran la forma que representan cada una de las
secciones cónicas. En el nivel 2 (dos), abordaremos las diferentes ecuaciones
asociadas a cada una de las cónicas, en su forma simple o canónica y en su
forma ordinaria o cónica desplazada; identificando los diferentes elementos que
la conforman. Es en este, donde la deducción empieza a ocupar un lugar central,
42
que se fundamenta en la argumentación que facilite la construcción del
conocimiento de los alumnos. Por ultimo en el nivel 3 (tres) se identificarán las
cónicas partiendo de la ecuación general de segundo grado, por medio de las
transformaciones geométricas de rotación de ejes para la simplificación de las
mismas a su forma canónica y las transformaciones inversas, esto es partiendo
de la gráfica, determinar la ecuación. “El reconocimiento de situaciones de
modelaje y el trabajo matemático incorpora los contenidos procedimentales tales
como la matematización y conceptualización, de tal manera de estructurar los
conceptos y procedimientos y la sistematización de ellos.” (Aravena D.,
Caamano E., Cabezas M., & Gimenez)
4.2 Propuesta Didáctica Nivel 1. Aplicaciones prácticas
Para iniciar con el primer nivel de visualización o reconocimiento partiremos de
las aplicaciones prácticas de cada una de las curvas cónicas, donde en este, se
perciben las figuras geométricas en su totalidad, de manera global, como
unidades, dando en ocasiones características que no corresponden a las
descripciones que hacen. Además, se perciben las figuras como objetos
individuales, es decir no son capaces de ver las características de una figura a
otra de su misma clase. El propósito es solo describir el aspecto físico de las
figuras; el reconocerlas diferenciarlas, o clasificarlas se basa solo en
semejanzas o diferencias físicas globales entre ellas.
Las formas de las secciones cónicas están ocultas en la estructura de muchas
cosas, en las estructuras de diseños arquitectónicos, fabricación de objetos
pequeños, en el funcionamiento de instrumentos tecnológicos útiles en medicina,
ingeniería, navegación y astronomía entre otros, en la descripción del
movimiento de objetos y en las formas generadas por situaciones ópticas entre
otras.
A continuación se relacionan algunos eventos que involucran el uso de las
cónicas.
43
4.2.1 Aplicaciones de la Elipse
En la Astronomía
La elipse es la curva que describen los planetas en su giro alrededor del Sol,
pero, por razones obvias no podemos verla tal cual. Encontrar elipses a nuestro
alrededor, aparentemente es difícil, pero sólo aparentemente. En el ámbito
científico planteado por el matemático y astrónomo Johannes Kepler (1571-
1630), quien revolucionó el pensamiento astronómico y científico que se tenía
hasta el momento sobre la dinámica de los cuerpos celestes.
“Este determinó empíricamente los tres siguientes hechos sobre el movimiento
de los planetas conocidos como las leyes de Kepler”: (Feynman, 1971)
1. La órbita de cada planeta es una elipse con el sol en uno de los focos.
2. El radio vector trazado desde el sol barre áreas iguales en tiempos
iguales.
3. Los cuadrados de los períodos de los planetas son proporcionales a los
cubos de los semiejes mayores de la órbita elíptica.
Figura 11. Orbita de los planetas
En la Física
“La elipse tiene una propiedad de reflexión que consiste en que si enviamos un
rayo de luz en cualquier dirección desde uno de sus focos, este choca contra el
borde y se refleja llegando exactamente al otro foco de la elipse y los ángulos
que forman los rayos de luz con la tangente a la curva que pasa por el punto de
reflexión son iguales como se ilustra en la siguiente figura”. (Perez Bernal, 2011)
44
Figura 12. Angulo de reflexión de la elipse. (Perez Bernal, 2011)
4.2.2 Aplicaciones de la Parábola
En la Física
Una de las principales aplicaciones de la parábola en la física fue descubierta
por el matemático y astrónomo Italiano Galileo Galilei (1564-1642) en una de sus
investigaciones relacionadas con el movimiento, demostró que el movimiento de
un proyectil sigue una trayectoria parabólica si se desprecia o si no hay
resistencia del aire.
“La parábola tiene una propiedad de reflexión importante que consiste en que si
enviamos un rayo de luz desde el foco hasta cualquier punto de la parábola, este
al chocar se refleja tomando una dirección paralela al eje focal de la parábola, de
manera inversa, si enviamos un rayo de luz contra la parábola de forma paralela
al eje focal, estos al chocar se reflejan directamente convergiendo al foco,
además los ángulos que forman los rayos con la tangente que pasa por el punto
de reflexión son iguales, como se muestra en los siguientes diagramas”. (Perez
Bernal, 2011)
45
Figura 13. Propiedades de reflexión de la parábola. (Perez Bernal, 2011)
Las aplicaciones de la propiedad citada anteriormente son numerosas pero aquí
enunciaremos algunas muy importantes las cuales son:
“Las antenas receptoras de las señales de radio y televisión, procedentes de los
satélites de comunicación, tienen forma parabólica para así, concentrar las
débiles señales que le llegan en el foco. Los telescopios reflectantes, llamados
de Newton, se construyen con un espejo parabólico en cuyo plano focal se
forma la imagen invertida del cielo” (Macho, 2005)
Los faros de los automóviles se construyen con una superficie reflectante de
forma parabólica para que la fuente de luz que está ubicada en su foco, proyecte
los rayos de luz hacia al frente.
4.2.3 Aplicaciones de la Hipérbola
En la Astronomía
“Los cometas describen órbitas que pueden ser: elípticas, parabólicas o
hiperbólicas, teniendo al Sol por foco. Los cometas presentan órbitas muy
excéntricas, formando grandes ángulos con la eclíptica y recorriendo sus órbitas
en todos sentidos. Así, existen cometas cuyos perihelios son muy inferiores a la
distancia de Mercurio al sol y cuyos afelios traspasan la distancia de Neptuno.
46
Pero no es sólo esto, también hay cometas que siguen trayectorias que no se
cierran y que, en caso de cerrarse, corresponden a revoluciones alrededor del
Sol cuya duración se cuenta por muchos miles de años, estos son los de órbitas
parabólicas. En cuanto a los que tienen órbitas hiperbólicas, estos cometas han
sido capturados por el Sol, y por lo tanto son extraños a nuestro Sistema Solar”
(Sender, 2004).
En la navegación
“Actualmente se utiliza un Sistema de Navegación hiperbólico de Largo Alcance
llamado LORAN C el cual determina la posición de un barco o un avión,
midiendo las diferencias de distancia a tres puntos fijos o estaciones como
mínimo. Cada diferencia de distancia define una hipérbola cuyos focos son las
estaciones. La intersección de dos hipérbolas define la posición.
Como información, una cadena típica de LORAN C comprende una estación
principal (M) y dos, tres o cuatro estaciones subsidiarias, designadas W, X, Y, Z.
Como indican los términos principales y subsidiarios, la transmisión de la
estación principal sincroniza y dispara la transmisión de la estación subsidiaria.
La figura siguiente muestra el complejo LORAN C instalado para servir el área
de la costa oriental de los Estados Unidos y en la misma aparecen como
ejemplo, algunas de las líneas hiperbólicas de posición que aparecen realmente
en una carta de este tipo” (Etten, 1970).
47
Figura 14. Carta de navegación Loran. (Perez Bernal, 2011)
En la aeronáutica
“Al estudiar la trayectoria de un avión que vuela a una altura h sobre la superficie
terrestre a la velocidad supersónica v. La región de la superficie terrestre donde
se escucha el motor del avión en un tiempo determinado esta descrita por una
rama de una hipérbola, como se muestra en la siguiente figura”. (Perez Bernal,
2011)
Figura 15. Hipérbola generada por un avión supersónico. (Perez Bernal, 2011)
48
En la física
“Una propiedad interesante en la reflexión de la luz se evidencia utilizando un
espejo hiperbólico es que si ponemos una fuente de luz en el foco opuesto de la
rama reflectante de la hipérbola los rayos de luz al chocar con el espejo, reflejan
los rayos de luz como si vinieran del foco de esa misma rama de la hiperbólica,
como se ilustra en la figura siguiente”: (Perez Bernal, 2011)
Figura 16. Propiedad de reflexión de la hipérbola. (Perez Bernal, 2011)
4.3 Propuesta Didáctica Nivel 2. Identificación de las ecuaciones
En el nivel dos de análisis determinaremos los elementos importantes de las
cónicas (focos, vértices, centro, ejes y directrices) y la expresión analítica de las
cónicas.
Convencionalmente la manera de enseñar las cónicas y obtener los diferentes
elementos que la componen, parte de la ecuación general de segundo grado de
una cónica desplazada 022 FEyDxCyAx , donde A y C no son
simultáneamente cero. Esta ecuación representa una sección cónica
(circunferencia, parábola, elipse o hipérbola), con uno de sus ejes paralelos a los
cartesianos (ecuación ordinaria) o coincidente (ecuación canónica); o bien uno
de los casos excepcionales de un punto, dos rectas coincidentes, dos rectas
paralelas o dos rectas que se cortan.
49
Estos casos se conocen también como formas límite de las cónicas o cónicas
degeneradas.
A partir de esta se procede a sacar factor común y completar cuadrados
perfectos y llevarlos a una de las formas anteriormente citadas, donde se
extraen los elementos característicos de dichas curvas, como son: coordenadas
del centro o vértice, longitud del semieje mayor, longitud del semieje menor; para
así determinar las coordenadas de los vértices, focos, excentricidad, lado recto,
entre otros.
Estas ecuaciones determinadas se corresponden a las ecuaciones canónicas
pero con ejes desplazados mediante las ecuaciones de transformación
kyyhxx '' , donde las ecuaciones estarían determinadas por las
coordenadas de los vértices o centros de estas.
Ejercicios. Dada la ecuación general de segundo grado, identificar la sección
cónica a la que corresponde y determinar su gráfica:
50
0172327249 22 yxyx 0212424 22 yxyx
064144172
)168(4)168(9 22
yyxx
036121
)96(4)12( 22
yyxx
36)4(4)4(9 22 yx 16)3(4)1( 22 yx
19
)4(
4
)4( 22
yx
14
)3(
16
)1( 22
yx
19
'
4
' 22
yx
, haciendo x’= x-4 14
'
16
' 22
yx
, haciendo x’= x+1
^ y’= y-4 ^ y’= y - 3
51
0101541694 22 xyxy 096164 22 yxyx
08116
101)96(9)44(4 22
xxyy
09169
)96()44(4 22
yyxx
36)3(9)2(4 22 xy 16)3()2(4 22 yx
14
)3(
9
)2( 22
xy
116
)3(
4
)2( 22
yx
14
'
9
' 22
xy
, haciendo x’= x-3 116
'
4
' 22
yx
, haciendo x’= x-2
^ y’= y - 2 ^ y’= y + 3
52
0238822 yxyx 044222 yxyx
0161623
168168 22
yyxx
0414
4412 22
yyxx
9)4()4( 22 yx 9)2()1( 22 yx
9'' 22 yx , haciendo x’= x-4 9'' 22 yx , haciendo x’= x+1
^ y’= y-4 ^ y’= y-2
53
025862 xyy 016442 yxx
9258962 xyy 4164442 yxx
)2(8)3( 2 xy )3(4)2( 2 yx
'8'2 xy , haciendo x’= x-2 '4'2 yx , haciendo x’= x-2
^ y’= y - 3 ^ y’= y + 3
4.3.1 Estrategia Didáctica 1. Deducción a partir de sus coeficientes
Una estrategia a utilizar para la determinación de la sección cónica (trasladada o
canónica) a la que corresponde una ecuación, parte del hecho de la
consideración de los valores de A y C, en los casos no degenerados: (Lehmann,
2002)
a) Si A=0, C≠0 y D≠0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo
a (o coincide con) el eje X. Si, en cambio, D=0, la ecuación representa dos
rectas diferentes paralelas al eje X, dos rectas coincidentes paralelas al eje
X, o ningún lugar geométrico, según que las raíces de 02 FEyCy sean
reales y desiguales, reales e iguales o complejas.
54
b) Si A≠0, C=0 y E≠0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo
a (o coincide con) el eje Y. Si, en cambio, E=0, la ecuación representa dos
rectas diferentes paralelas al eje Y, dos rectas coincidentes paralelas al eje Y
(cónicas degeneradas), o ningún lugar geométrico, según que las raíces de
02 FDxAx sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas.
c) Si los coeficientes de A y C son del mismo signo, representa una elipse de
ejes paralelos a los coordenados, o bien un punto, o no representa ningún
lugar geométrico real.
d) Si A=C y 0>422 FED , la ecuación representa una circunferencia, siendo
las coordenadas del centro )2
,2
(ED
y de radio FED 42
1 22 .
e) Si A y C difieren en el signo, la ecuación representa una hipérbola de ejes
paralelos a los coordenados, o un par de rectas que se cortan.
Ejercicios:
Dada las siguientes ecuaciones determinar según la estrategia anterior, a que
sección cónica corresponde:
1) 134
:,0124322
22 yx
dondeyx
Como A y C difieren en signo representa una hipérbola, cuyo eje focal es el eje
X.
55
2) 135
:,0155322
22 yx
dondeyx
Como A y C son del mismo signo representa una elipse, en este caso en forma
canónica con el eje mayor coincidente con el eje de abscisas.
56
4.4 Propuesta Didáctica Nivel 3. Transformación de coordenadas
En este nivel consideraremos el tema que nos compete en la identificación y
clasificación de las ecuaciones de la circunferencia, la parábola, la elipse y la
hipérbola como casos particulares de la ecuación cuadrática general
022 FEyDxCyBxyAx , donde A, B y C no son simultáneamente
nulos.
Esta representa una sección cónica cuyos ejes no son paralelos a los
cartesianos y para su determinación se recurre al proceso de simplificación a las
formas vistas en el nivel 2, mediante la utilización de transformaciones de
coordenadas; para todas las cónicas, excepto la circunferencia, por medio de la
traslación o una rotación con respecto al eje X, donde siempre se podrá
encontrar un ángulo de rotación que transforme la ecuación en otra donde no
aparece el término Bxy . Siendo el ángulo positivo si el giro es anti horario y
negativo si es horario.
4.4.1 Rotación de los ejes coordenados
“Si los ejes coordenados giran un ángulo en torno de su origen como centro
de rotación, y las coordenadas de un punto cualquiera P antes y después de la
rotación son (x,y) y (x’,y’), respectivamente, las ecuaciones de transformación
del sistema original al nuevo sistema de coordenadas están dadas por:”
(Lehmann, 2002)
senyxx 'cos'
cos'' ysenxy
57
Demostración:
De la gráfica se observa que: senrsenrrxOA coscos)cos( (1)
senrrsenrsenyAP coscos)( (2)
Además las coordenadas de P referidas a los ejes X’, Y’ son:
senyPAyrOAx ''cos'' , sustituyendo en (1) y (2) respectivamente,
obtenemos:
senyxx 'cos' cos'' ysenxy (Ecuaciones de transformación por
rotación).
4.4.2 Simplificación de ecuaciones por transformaciones de
coordenadas
“Ya hemos expresado que, por una traslación o una rotación de los ejes
coordenados, es posible transformar muchas ecuaciones en formas más
simples. Es entonces lógico inferir que se puede hacer una simplificación mayor
aún aplicando ambas operaciones a la vez.
Si una ecuación es transformada en una forma más simple por una traslación o
una rotación de los ejes coordenados, o por ambas, el proceso se llama
simplificación por transformación de coordenadas.
Considerando primero el caso en que una traslación de los ejes coordenados a
un nuevo origen O’ (h,k) es seguida por una rotación de los ejes trasladados en
torno de O’ de un ángulo , tal como se indica en la figura siguiente:” (Lehmann,
2002)
58
Si P es un punto cualquiera del plano coordenado, sean (x,y), (x’,y’) y (x’’,y’’) sus
coordenadas referido, respectivamente, a los ejes originales X e Y, a los ejes
trasladados X’ e Y’, y a los ejes girados X’’ e Y’’. Donde kyyhxx '' (1).
senyxx ''cos''' cos''''' ysenxy (2), luego sustituyendo (1) en (2)
obtenemos las ecuaciones buscadas de transformación:
hsenyxx ''cos'' kysenxy cos''''
Ejercicios:
1) Transformar la ecuación: 832 22 yxyx , girando los ejes coordenados
un ángulo agudo de forma que no contenga termino en x’y’.
Empleando las ecuaciones de transformación por rotación, tenemos:
8)cos''()cos'')('cos'(3)'cos'(2 22 ysenxysenxsenyxsenyx
Efectuando las multiplicaciones indicadas y agrupando términos semejantes, nos
queda:
8cos'cos''2'cos'3
''3cos''3cos'3'2'cos'4cos'2
22222
2222222
ysenyxsenxseny
senyxyxsenxsenysenyxx
59
8')coscos32(
'')cos23cos3cos4(')cos3cos2(
222
22222
ysensen
yxsensensenxsensen
Haciendo el término x’y’ igual a cero, tenemos:
0)(cos3cos203cos3cos2 2222 sensensensen Usan
do las identidades sen 2 = 2 sen cos y cos 2 = cos2 -sen2 , se obtiene
la ecuación en la forma:
00 306023202cos32 tgsen , lo que sustituyendo
este valor en los otros términos de x’2y y’2, nos queda:
116
'
5
16
'16''58'
2
1'
2
5 222222
yxyxyx
Se pudo observar en el ejercicio anterior sobre simplificación de la ecuación
general en otra más sencilla, conlleva una serie de sustituciones y operaciones
para traslación y rotación que hace un poco extenso el desarrollo de cualquier
ejercicio.
60
4.4.3 Estrategia Didáctica 1. Determinación previa de la rotación
Como la aplicación principal de la rotación de ejes es la eliminación del término
en xy de las ecuaciones de segundo grado, una manera de reducir
considerablemente la cantidad de cálculos a realizar, es determinar previamente
el ángulo y luego con los valores de sen y cos usarlos en las ecuaciones
de transformación por rotación; obteniendo dichas ecuaciones antes de hacer la
sustitución en la ecuación original dada.
Para nuestras aplicaciones, será necesario girar los ejes coordenados
solamente un ángulo suficientemente grande para hacer coincidir uno de los ejes
coordenados con una recta dada fija cualquiera, o para hacer que sea paralelo a
ella en el plano coordenado. De acuerdo con esto, se restringe en general, los
valores del ángulo de rotación al intervalo dado por: 00 900 .
Demostración:
Partiendo de la ecuación general cuadrática: 022 FEyDxCyBxyAx ,
sustituyendo las ecuaciones de transformación por rotación en la ecuación
anterior:
0)cos''()'cos'(
)cos''()cos'')('cos'()'cos'( 22
FysenxEsenyxD
ysenxCysenxsenyxBsenyxA
Quitando los paréntesis, tenemos:
0cos''
'cos'cos'cos''2'''
cos'cos''cos''cos''2cos'
22222
2222222
FEysenEx
senDyDxCysenyCxsenCxsenyBx
senByyBxsenBxsenAysenyAxAx
Agrupando los términos semejantes, nos queda:
0')cos(')cos(')coscos(
'')cos2coscos2(')coscos(
222
22222
FyEDsenxEsenDyCBsenAsen
yxCsenBsenBAsenxCsenBsenA
Tomando la expresión del término B’=0, nos queda:
61
0)(coscos)(2 22 senBsenAC , donde aplicando las identidades
trigonométricas del ángulo duplo, tenemos:
02cos2)( BsenAC , dividiendo por 2cos , queda la expresión:
CA
B
AC
Btg
2
CA
Btg
2 , donde A≠C
Todo esto lo resumimos, según (Lehmann, 2002), en el siguiente teorema:
La ecuación general de segundo grado 022 FEyDxCyBxyAx , en
donde B≠0, puede transformarse siempre en otra de la forma
0''''''''' 22 FyExDyCxA , sin términos en x’y’, haciendo girar los ejes
coordenados un ángulo agudo positivo tal que: CA
Btg
2 , si A≠C y =450,
si A= C.
Aunque, según expresa (Lehmann, 2002), es generalmente más sencillo
efectuar estas operaciones de traslación y rotación por separadas, en dos pasos
diferentes y que el orden de estas operaciones no tiene importancia. Sin
embargo, en el caso de una ecuación de segundo grado en la cual los términos
en x2,y2, xy forman un cuadrado perfecto, los ejes deben girarse primero y
trasladarse después.
Otro elemento a puntualizar es que el grado de una ecuación no se altera por
una transformación de coordenadas.
Según expresa (Fuller & Tarwater, 1995): Las transformaciones que reducen la
ecuación de una cónica a una ecuación en forma simplificada se pueden
interpretar geométricamente. La rotación orienta los ejes coordenados en las
direcciones de los ejes de una elipse o hipérbola, y la traslación lleva el origen al
62
centro de la cónica. Para una parábola, la rotación hace que uno de los ejes
coordenados sea paralelo al eje de la parábola, y la traslación: mueve el origen
al vértice.
Ejercicios: Simplificar las siguientes ecuaciones mediante el proceso de
transformación de coordenadas (Traslación y rotación), determinando la sección
cónica y su gráfica:
1) 0240447 22 yxyx ,
2)
Empleando la expresión: CA
Btg
2 , determinamos el ángulo que elimina el
termino xy de la ecuación.
0000 5.63;12753180)3
4(2
3
4
47
42
dondearctgtg
Sustituyendo en las ecuaciones de rotación:
'8949.0'4462.0)5.63(')5.63cos(''cos' yxsenyxsenyxx
'4462.0'8949.0cos'' yxysenxy
Reemplazando en la ecuación cuadrática dada:
130
'
80
':,240,240'8'34.3
0240)'2.0''8.0'8.0(4)'4.0''8.0''2.0'4.0(4
)'8.0'8.0'2.0(70240)'4462.0'8949.0(4
)'4462.0'8949.0)('8949.0'4462.0(4)'8949.0'4462.0(7
2222
2222
222
2
yxecuacionlaquedanospordividiendoyx
yyxxyyxyxx
yyxxyx
yxyxyx
63
3) 422 yxyx , donde A=1, B= -1 y C=1
Determinando el ángulo de rotación, tenemos: B
CACot
2 , donde =45o,
luego aplicando las ecuaciones de transformación y sustituyéndolas en la
ecuación cuadrática dada, tenemos:
'2
1'
2
1'cos' yxsenyxx ; '
2
1'
2
1cos'' yxysenxy
( yx2
1'
2
1 ’)2-( '
2
1'
2
1yx )( '
2
1'
2
1yx )+( '
2
1'
2
1yx )2 = 4, donde luego de
efectuar las operaciones y simplificar las operaciones, nos queda:
4'2
3'
2
1 22 yx , si dividimos por 4, tenemos: 4
3
8
'
8
' 22
yx
, lo que representa una
cónica simplificada que corresponde a una elipse con centro en (0,0) y semiejes
mayores (a) y menores (b) de 3
88 y ,respectivamente.
3
14
3
8822 bac
64
4) 095585611244 22 yxyxyx
Calculando el ángulo de rotación para eliminar el término xy:
00 377427
24
114
242
CA
Btg , sustituyendo en las ecuaciones
de rotación:
'6.0'8.0'37'37cos'cos' 00 yxysenxsenyxx
'8.0'6.0cos'' yxysenxy ; sustituyendo en la ecuación dada:
095'4.46'8.34'6.33'8.44)'64.0''96.0'36.0(11)'48.0
''36.0''64.0'48.0(24)'36.0''96.0'64.0(4095)'8.0'6.0(58
)'6.0'8.0(56)'8.0'6.0(11)'8.0'6.0)('6.0'8.0(24)'6.0'8.0(4
222
222
22
yxyxyyxxy
yxyxxyyxxyx
yxyxyxyxyx
)5(095'80'10'20'5 22 pordividiendoyxyx
019'16'2'4' 22 yxyx , lo que corresponde a la ecuación de una cónica de
ejes desplazada.
Luego si completamos cuadrado o aplicamos las ecuaciones de transformación
por traslación, nos conduce a la ecuación más simple o canónica
65
4)1'()2'(4011619)1'2'()44'(4 2222 xyxxyy , dividiendo por
-4: 11
)2'(
4
)1'( 22
yx
, si hacemos x’’=x’-1 y y’’=y’-2
11
''
4
'' 22
yx
5) 0444565 22 yxyxyx
a) Primero realizando la transformación por traslación a unos nuevos ejes x’-y’,
aplicando las ecuaciones x=x’+h, y=y’+k
04)'(4)'(4)'(5)')('(6)'(5 22 kyhxkykyhxhx , quitando paréntesis
y agrupando los términos, nos queda:
044'44'45'10'56'6'6''65'10'5 2222 kyhxkkyyhkhykxyxhhxx
0444565')4106(')4610('5''6'5 2222 khkhkhykhxkhyyxx
Eliminando los coeficientes en x’ y y’, nos queda un sistema de ecuaciones, cuya
solución corresponde a las nuevas coordenadas de los ejes trasladados.
0410604610 khkh , cuya solución es: k= -1, h=1. Sustituyendo en
la ecuación anterior, nos queda:
66
08'5''6'5 22 yyxx ……… (A)
b) Realizando la transformación por rotación, determinamos el ángulo y
aplicando las ecuaciones de transformación por rotación:
senyxx ''cos''' , cos''''' ysenxy
.55
62
CA
Btg Por lo tanto: .450
Las ecuaciones de rotación son: 2
'''''
yxx
,
2
'''''
yxy
, sustituyendo en (A)
08)2
''''(5)
2
'''')(
2
''''(6)
2
''''(5 22
yxyxyxyx, donde desarrollando y
simplificando la ecuación, nos queda:
08''2
5''''5''
2
5''3''3''
2
5''''5''
2
5 222222 yyxxyxyyxx
4''''404''''408''2''8 222222 yxyxyx , donde: 14
''''
22
yx
67
4.4.4 Estrategia Didáctica 2. Deducción por identificación
coeficientes
Determinando el ángulo de rotación, esto hace que la ecuación cuadrática se
convierta en otra más simple de ejes trasladados X’,Y’ y como ya habíamos
indicado, la identificación de la curva se realiza en función de los coeficientes de
A’,C’ y D’, como sigue:
1) Si uno de los coeficientes de A’ o C’ es igual a cero, la ecuación
representa una cónica género parábola
2) Si A’ y C’ son del mismo signo, se dice que la ecuación representa una
cónica del tipo elipse.
3) Si A’ y C’ son de signo contrario, se dice que la ecuación representa una
cónica del género hipérbola.
4.4.5 Estrategia Didáctica 3. Identificación mediante el indicador
Además, otra estrategia a considerar para determinar rápidamente si representa
una parábola, una hipérbola o una elipse, a partir de la ecuación es mediante el
siguiente criterio:
Para la identificación de la gráfica de la ecuación
022 FEyDxCyBxyAx , la cual es una cónica girada o inclinada, o
cónica degenerada; consiste en los casos no degenerados, en la identificación
del indicador o discriminante ACB 42 , donde es:
a) una parábola si 042 ACB
b) Una elipse si 0<42 ACB
c) Una hipérbola si 0>42 ACB
Mediante el uso de relaciones e identidades trigonométricas es posible probar
que el discriminante es invariante bajo rotaciones, esto es se puede demostrar el
siguiente resultado:
68
Si 022 FEyDxCyBxyAx es una ecuación general de segundo grado y
0'''''''''''' 22 FyExDyCyxBxA es la ecuación resultante luego de aplicar las
ecuaciones de transformación, entonces: ACBCAB 4''4' 22
Ejercicios.
Por medio del discriminante y por deducción de los coeficientes, identificar cuál
de las siguientes ecuaciones representa una elipse, una parábola o una
hipérbola.
1) 045725 22 yxyxyx , donde: A=5, B= -2 y C= -1
Luego: 0>24204)1)(5(4)2(4 22 ACB , por lo tanto representa una
hipérbola.
Determinado previamente el ángulo de rotación , simplificamos la ecuación a
otra trasladada:
217474.93
1
)1(5
22
CA
Btg
Aplicando las ecuaciones de transformación por rotación:
'160182.0'987087.0'cos' yxsenyxx
'987087.0'160182.0cos'' yxysenxy ; sustituyendo en la ecuación dada:
04
)'987085.0'160182.0(5)'160182.0'987085.0(7)'987085.0'160182.0(
)'987085.0'160182.0)('160182.0'987085.0(2)'160182.0'987085.0(5
2
2
yxyxyx
yxyxyx
Simplificando la expresión y reduciendo términos semejantes, tenemos:
04'0567.6'1087.6'1622.1'1622.5 22 yxyx , donde ya que los coeficientes de
x’2 y y’2 son de signos contrario, nos dice que la curva es una hipérbola.
69
Agrupando términos y simplificando por traslación nos queda en la forma
canónica:
14036.0
)5917.0'(
7928.1
)6057.2'( 22
xy
, Lo cual demuestra que es una hipérbola con
centro en (-0.5917,2.6057) y el eje mayor esta sobre el eje y’’, rotado un ángulo
de -9.21740. Esto se evidencia en la gráfica siguiente:
2) 0344288 22 yxyxyx , donde: A=8, B=8 y C=2
Luego: 06464)2)(8(4)8(4 22 ACB , por lo tanto representa una
parábola.
Determinando el ángulo de rotación previamente, nos queda la ecuación
simplificada:
057.263
4
28
82
CA
Btg
En lugar de calcular directamente el seno y coseno de este ángulo, podemos
determinarlos mediante las siguientes identidades trigonométricas:
70
5
3
1)3
4(
1
12
1
2sec
12cos
22
tg
5
1
2
5
31
2
2cos12
sen , 5
2
2
5
31
2
2cos12cos
Donde las ecuaciones de transformación por rotación son:
5
''2'cos'
yxsenyxx
5
'2'cos''
yxysenxy
; sustituyendo en la ecuación dada:
03)5
'2'(4)
5
''2(4)
5
'2'(2)
5
'2')(
5
''2(8)
5
''2(8 22
yxyxyxyxyxyx
Lo que nos queda luego de quitar los paréntesis y simplificar en:
3'5
4'
5
12'10 2 yxx , lo que nos dice por deducción de los coeficientes que es
una parábola.
Si la simplificamos por traslación nos queda en la forma:
)083.2'(179.0)27.0'( 2 yx , que nos comprueba que es una parábola con centro
en (0.27,-2.083) y con eje el eje y’’ (rotado un ángulo de 26.570 con los ejes
cartesianos).
71
3) 0122 22 yxyx , donde A=2, B=1 y C=2
Luego: 0<15161)2)(2(4)1(4 22 ACB , por lo tanto representa una
elipse.
Determinando el ángulo de rotación, nos queda la ecuación en forma
simplificada:
04522
12
CA
Btg
Donde las ecuaciones de transformación por rotación son:
)''(2
2'cos' yxsenyxx
)''(2
2cos'' yxysenxy ; sustituyendo en la ecuación dada:
01)]''(2
2[2)]''(
2
2)][''(
2
2[)]''(
2
2[2 22 yxyxyxyx , luego de quitar los
paréntesis y simplificar los términos semejantes, tenemos:
1
3
2
'
5
2
'1'
2
3'
2
5 2222
yxyx ; la que representa una elipse con centro en el
origen y eje x’’ (rotado un ángulo de 450 con los cartesianos)
72
4.4.6 Estrategia Didáctica 4. Transformación inversa de coordenadas
Luego de desarrollar las diferentes estrategias que nos permiten trabajar con la
ecuación general cuadrática para su identificación y determinación de sus
diferentes elementos, lo cual es lo que generalmente se aborda en los textos de
geometría analítica y considerando el enfoque práctico con el cual partimos en
esta propuesta didáctica, propondremos esta ultima estrategia didáctica, la cual
no se encuentra en los diferentes tratados que consideran nuestro tema de
investigación, que es la transformación inversa de coordenadas.
Toda sección cónica cualquiera, elipse, hipérbola o parábola, puede ser
inclinada o rotada, horizontal o vertical, dependiendo de cómo se defina el
sistema de referencia con relación al cual se trazan los ejes cartesianos. Este en
algunas ocasiones vienen predeterminados, como en el caso de las orbitas de
los planetas que definimos en la estrategia 1, los cuales se comportan de una
sola manera.
En los casos de cónicas rotadas, conocida su gráfica o su ecuación con relación
a estos ejes rotados o inclinados, podemos determinar su ecuación con relación
a los ejes cartesianos XY, aplicada a cada una de los siguientes casos
planteados y otros más; que para la determinación de la ecuación general de
73
una de estas curvas, se deben deshacer las operaciones de rotación y traslación
de coordenadas, lo que se conoce como el proceso de transformación inversa
de coordenadas. Dicho de otra manera, se puede expresar como: dada la
ecuación referida a los ejes rotados, determinar la ecuación general con relación
a los ejes de coordenadas x-y. Además de otros casos como son: conocidos
algunos puntos de su gráfica o el lugar geométrico de sus puntos definidos por
medio de una relación que los defina.
Esto se logra aplicando las siguientes ecuaciones:
kyyhxx '' para la traslación, y ysenxx cos'
cos' yxseny para la rotación.
Demostración:
Partiendo de las ecuaciones de transformación por rotación: senyxx 'cos' ,
cos'' ysenxy , multiplicando la primera ecuación por cos y la segunda por
sen , tenemos:
cos'cos'cos 2 senyxx
cos'' 2 senysenxysen , sumando miembro a miembro ambas ecuaciones,
nos queda:
ysenxxsenxysenx cos')cos('cos 22
Para determinar la relación para y’, multiplicamos la primera por sen y la
segunda por cos :
2'cos' senysenxxsen
2cos'cos'cos ysenxy , sumando miembro a miembro ambas ecuaciones
tenemos: cos')cos('cos 22 yxsenysenyyxsen
74
Otra manera de ver la transformación inversa por rotación o rotación inversa, es
como una rotación en un ángulo negativo (- ), donde sustituyendo en las
ecuaciones de transformación por rotación:
senyxx 'cos' , luego: senyxsenyxx 'cos')(')cos('
cos'' ysenxy , luego: cos'')cos(')(' ysenxysenxy ;
finalmente intercambiando x por x’ e y por y’, nos quedan las mismas ecuaciones
anteriores.
4.4.7 Aplicaciones de cónicas rotadas
Existen diferentes aplicaciones que se pueden modelar mediante el empleo de
cónicas rotadas, entre las cuales podemos indicar:
Análisis de los flujos de agua subterránea: “El agua subterránea que fluye
dentro de los suelos o en ríos subterráneos es muy importante porque alimenta
muchos de los pozos o almacenamientos subterráneos de agua que se
aprovechan para abastecer a las poblaciones. A los ingenieros e investigadores
en hidráulica les interesa la respuesta del agua subterránea ante las fuerzas a
las que se ve sometida periódicamente y que pueden afectar su posibilidad de
fluir hacia los pozos. A continuación se puede observar algunas de las gráficas
que obtienen de estos estudios:” (Geometria Analitica)
Figura 17. Flujo de agua subterránea. (Geometria Analitica)
75
Muchos de los fenómenos que requieren modelos matemáticos en los que se
aplican cónicas inclinadas tienen que ver, como en el caso anterior, con estudios
a nivel de partículas. Por ejemplo, en la construcción de modelos que
representen el comportamiento elástico y plástico de las partículas del suelo
cuando se le somete a pruebas de resistencia en el laboratorio. Estas pruebas y
su interpretación son importantísimas en el diseño de edificios y grandes
construcciones:
En el comportamiento de las partículas que forman los haces de luz también se
trabaja con modelos inclinados:
Figura 18. Movimiento de partículas. (Geometria Analitica)
Otra aplicación es en la teoría de diseño de alerones para los aviones:
Figura 19. Alerones para aviones. (Geometria Analitica)
76
Ejercicio: El origen de coordenadas se traslada al punto (3,2) y luego se hace
una rotación de 450. Determine en este nuevo sistema las coordenadas de
(10,5) dado en el sistema original.
Utilizando las ecuaciones de transformación por traslación:
325''
7310''
ykyy
xhxx
Ahora considerando los ejes rotados a 450,
252
23
2
27'cos''' senyxx
222
23
2
27cos'''' ysenxy
Luego las coordenadas con relación a los ejes x’’,y’’ son: ( 25 , 22 )
Ejercicio: Dada la siguiente gráfica, determinar la ecuación general cuadrática.
77
De la gráfica se observa que los ejes trasladados están en las coordenadas (2,4)
y que el ángulo de rotación es de 450. Por lo que aplicando las ecuaciones de
transformación inversa, kyyhxx '' para la traslación y
senyxx 'cos''' cos'''' ysenxy para la rotación.
La ecuación con respecto a los ejes rotados es: 14
''
4
''2
2
2
2
yx
Donde las ecuaciones de traslación son: 4'2' yyxx y las de rotación
son:
2
'
2
'''
yxx
2
'
2
'''
yxy
, sustituyendo en la ecuación canónica:
a)
16)2
'''
2
'(
2
'''
2
'1
16
)2
'
2
'(
16
)2
'
2
'( 2222
22
yyx
xyyx
x
yxyx
162
'''
2
'
2
'''
2
' 2222
y
yxxy
yxx
, lo que nos queda: 16''2 yx
b) 161648216)4)(2(2 yxxyyx
0482 yxxy , o dividiendo por 2, 024 yxxy (La Ecuación buscada
es una hipérbola equilátera)
Ejercicio: Hallar la ecuación de la cónica que pasa por los puntos (1,1), (2,3),
(3,-1), (-3,2), (-2,-1).
Solución:
022 FEyDxCyBxyAx , dividiendo la ecuación por A, tenemos:
0''''' 22 FyExDyCxyBx …… (1)
78
Sustituyendo las ecuaciones de los puntos en la ecuación cuadrática anterior (1):
4'''2''2
9''2'3'4'6
9'''3''3
4''3'2'9'6
1'''''
FEDCB
FEDCB
FEDCB
FEDCB
FEDCB
Resolviendo el sistema por cualquier método de resolución de ecuaciones
simultáneas, nos da los valores de: 9
22',
9
19',
9
1',
9
13',
9
8' FEDCB
Sustituyendo dicho valores en (1), tenemos:
09
22
9
19
9
1
9
13
9
8 22 yxyxyx , multiplicando por 9, nos queda en:
022191389 22 yxyxyx
Indicador I=B2-4AC=16-4(9)(-13)=484>0, por lo tanto es una hipérbola.
79
Ejercicio: Mediante una rotación de ejes, con un ángulo de giro de 4
, se
obtuvo la ecuación 1'' yx . Halle la ecuación original en el sistema XY.
Utilizando las formulas de transformación inversa de coordenadas, tenemos:
yxysenxx2
2
2
2cos'
yxyxseny2
2
2
2cos' , multiplicando ambas ecuaciones e igualando
a 1, tenemos: 2122
1)2
2
2
2)(
2
2
2
2( 22
22
xyyx
yxyx
Ejercicio: Encontrar el lugar geométrico formado por los puntos tales que su
distancia al punto Q(-2,1) es igual a la mitad de su distancia a la recta x – y - 4 =
0.
Llamando a P(x,y) a un punto genérico de dicho lugar geométrico y L a la recta x
– y – 4 = 0.
80
Tomando como ecuación lo planteado por las condiciones del problema:
2
4
2
1)1()2()(
2
1)( 22
yxyxPLdPQd , elevando ambos miembros
al cuadrado y simplificando:
2222
22 )4())1()2((82
)4(
4
1)1()2(
yxyx
yxyx
16444440168328 2222 yxyyxyxxyxyyxx
0242440727 22 yxyxyx
I=B2-4AC= (2)2-4(7)(7)= -192 < 0, la cual representa una elipse.
81
CONCLUSIÓN
Luego de poder plasmar en este trabajo de investigación lo concerniente al tema
objeto de estudio, hemos podido puntualizar en la propuesta de una estrategia
didáctica de la enseñanza de las cónicas y fundamentalmente en aquellas
rotadas o giradas, haciendo uso de los niveles del pensamiento geométrico de
Van Hiele, mediante la conceptualización de la matematización desde una
perspectiva práctica. Entendiendo que la misma ha de aportar en el resurgir de
la conceptualización y el manejo de estos temas y su aplicación por parte de
docentes que no suelen emplearlos o desconocen del mismo.
Desde luego que los planteamientos aquí desarrollados no son definitivos y
acabados, y los mismos pueden seguir siendo ampliados por aquellos que
puedan hacer uso de ellos, para así poder aplicarlos en el ambiente de aula en
el proceso de enseñanza y aprendizaje; además de que este tema puede
continuar su estudio y ser ampliado sumándole otros aspectos desde la
concepción y definición mediante la excentricidad y desde la óptica de la
geometría proyectiva, entre otros.
En esta investigación se han desarrollado las demostraciones de las secciones
cónicas partiendo de la definición de su lugar geométrico, estableciendo la
correspondencia entre las propiedades geométricas de las curvas y las
propiedades algebraicas de la ecuación correspondiente, además de los
procesos de manejo de las mismas para la identificación de sus elementos; así
como de los métodos de transformaciones de ecuaciones en aquellas de ejes
trasladados y especialmente con los ejes rotados.
Esto parte de la consideración de la ecuación general de segundo grado, pero
además pudimos enfocar el proceso inverso, donde los libros de textos no lo
enfocan y es, dada la ecuación o la curva en su posición rotada o inclinada,
82
determinar la ecuación general cuadrática con relación a los ejes cartesianos x-
y, lo que se conoce como transformación inversa de coordenadas. En este
trabajo hemos desarrollados las demostraciones y algunos problemas que se
pueden plantear de manera práctica.
Otro elemento de aporte de este trabajo de investigación, consistió en la
inclusión de aplicaciones prácticas de estas curvas cónicas rotadas, las cuales
se utilizan en diferentes áreas dentro de la ingeniería sanitaria, la aeronáutica,
entre otras. Además de algunos procedimientos geométricos para el trazado de
las gráficas de dichas secciones cónicas, como la parábola, elipse e hipérbola.
83
RECOMENDACIONES
Dentro de las recomendaciones que podemos sugerir para que los conceptos
tratados y en especial el tema de la identificación y clasificación de un lugar
geométrico y específicamente de las cónicas, puedan seguir siendo estudiados,
tenemos:
1) Que los temas de identificación del lugar geométrico y gráfica de una
ecuación puedan ser ampliados cuando sean abordados por los docentes
que imparten matemáticas en las diferentes universidades. Esto visto
desde una adecuación de los diferentes programas de las asignaturas
como Análisis Matemático I y Cálculo I, las cuales por su gran contenido
no tienen el tiempo suficiente para tratarlos en profundidad.
2) Que se preparen talleres o cursos a docentes en los diferentes niveles,
tanto de aquellos que imparten el tema de las cónicas en media, como a
nivel de grado, de manera que los mismos puedan desarrollar estrategias
didácticas para poder aplicarlas en las aulas y así puedan ser aprendidas
de una manera más eficiente y significativa por los alumnos.
3) Que sea incluido una materia a nivel de grado, específicamente la
Geometría Analítica, donde se puedan desarrollar de manera
independiente, tratando así temas que dan la idea espacial sobre la
geometría euclídea, visualizando sin complicación la determinación de las
gráficas tanto en R2 como R3; no como se ve en la actualidad, como un
tema dentro de la asignatura de Análisis Matemático I o de Cálculo I.
84
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McGraw-Hill.
ANEXOS
Fuente: (Lehmann, 2002)
Demostración ecuaciones secciones cónicas: (Garrido)
1) Parábola (eje vertical): La forma canónica de la ecuación de una parábola
con vértice V= (h,k), y directriz la recta y= k-p, es: )(4)( 2 kyphx , donde
el foco F está a p unidades (orientadas) del vértice.
Demostración: Sean ),( yxP un punto cualquiera, ),( pkhF su foco,
),( pkxQ punto en la recta directriz pkyL : ,
PQFP
2222
pkyxxpkyhx
2
022
pkypkyhx
222
pkypkyhx
222
pkypkyhx
2
22 2222pkpkyypkypkyhx
2
222222 222222pkpkpykyyppkpykkyyhx
kppyhx 442 kyphx 4
2
Con este resultado podemos resumir que:
Caso 1: Si la apertura de la parábola es hacia arriba.
Valor de
p
Coordenadas del
Foco F
Ecuación de la
directriz
0p pkh , pky
Y su gráfica es:
Figura. Elipse de eje vertical. (Garrido)
Caso 2: Si la apertura de la parábola es hacia abajo.
Valor de
p
Coordenadas del
Foco
Ecuación de la
directriz
0p pkh , pky
Y su gráfica es:
Figura. (Garrido)
2) Elipse (eje focal horizontal) : Sean kchF ,1 , kchF ,2 focos de una
elipse, khC , centro de la elipse, aFPdFPd 2),(),( 21 y IRckh ,, , 0c ,
entonces la forma canónica de la ecuación de una elipse está dada por:
1
2
2
2
2
b
ky
a
hx
Donde ca , ba y 222 cab
La recta que pasa por los focos, corta a la elipse en dos puntos llamados
vértices. La cuerda que une los vértices es el eje mayor de la elipse. La cuerda
perpendicular al eje mayor y que pasa por el centro se llama eje menor de la
elipse.
La demostración de este teorema no es complicada, basta aplicar la definición y
la fórmula de distancia, es decir.
akychxkychx 22222
akychxkychx 22222
akycchxhxkycchxhx 222222222
22
222222422 akycchxhxkycchxhx
2
2222222
4
2222
a
kychxkychxkychx
222222222 cakychxkychxkyhx
22
42222422
2 ca
kykychxkychxchxkyhx
2242222422222 cakykyckyhxchxkyhx
Simplificando:
Pero, 222 bac y así obtenemos la ecuación canónica de la elipse :
1
2
2
2
2
b
hy
a
hx
Figura. Elipse de eje focal Horizontal. (Garrido)
6) Hipérbola (eje horizontal)
La recta que pasa por los focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados
vértices. El segmento recto que une los vértices se llama eje transversal y su
punto medio es el centro de la hipérbola. Un hecho distintivo de la hipérbola es
que su gráfica tiene dos partes separadas, llamadas ramas.
La ecuación canónica de la hipérbola con centro en khC , es
1
2
2
2
2
b
ky
a
hx con eje transversal horizontal. Y
1
2
2
2
2
b
hx
a
ky con eje transversal vertical
Figura. Hipérbola con eje horizontal. (Garrido)
Si la hipérbola tiene un eje transversal horizontal, las ecuaciones de las
asíntotas son:
y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son:
Demostración: (Lehmann, 2002)
Coordenadas Focos F(c,0), F’(-c,0)
aycxycxaFPdFPd 2)()(2),(),( 2222
1
Por lo que se cumplen las ecuaciones:
aycxycx 2)()( 2222 ^ aycxycx 2)()( 2222
Pasando el segundo radical al segundo miembro, elevamos al cuadrado,
simplificamos y agrupamos los términos semejantes. Esto nos da:
)()( 22222222 acayaxac . Por ser c>a, c2-a2 es un número positivo
designado por b2.
Por lo tanto, nos queda:
222222 bayaxb , la que se puede reescribir como: 12
2
2
2
b
y
a
x
Métodos de Trazado de Cónicas
Es posible obtener un lugar geométrico de objetos tales como rectas, rayos
(semirrectas), segmentos y circunferencias y por lo tanto generar sus
envolventes.
Elipse:
Se dibuja una circunferencia de radio R y se nombra su centro F que será uno
de los focos de la elipse y se ubica un punto F’ en el interior de la circunferencia
diferente del centro F que será el otro foco de la elipse; después se dibujan
muchos puntos sobre el perímetro de la circunferencia y con el procedimiento de
hallar la mediatriz de dos puntos fijos, se procede a hallar la mediatriz entre el
punto F’ y cada punto del perímetro de la circunferencia para generar la elipse
como se muestra en la siguiente figura.
Figura. (Santa & Jaramillo, 2009)
Método de los Cuadrantes. (Montoya)
1. Trazamos AB y CD, los ejes mayor y menor que se cortan
perpendicularmente en el punto 0.
2. Dividimos el semieje OA en un número cualquiera de partes iguales, en este
caso 6.
3. Desde A, describimos un cuadrante perpendicular igual a CO y lo dividimos
en el mismo número de partes iguales.
4. Desde C, trazamos líneas a los 6 puntos del cuadrante.
5. Desde D, trazamos líneas que al pasar por los seis puntos del semieje OA se
crucen con las rectas anteriores, determinándose de esa forma una cantidad
de puntos que al ser unidos, a pulso o con un curvígrafo, forman la elipse.
6. Para completar la elipse repetimos el procedimiento con los otros tres
cuadrantes.
Figura. (Montoya)
Método de los puntos.
“Dibujados los ejes, trazamos desde el vértice C o D del eje menor, dos arcos
que corten al eje mayor con radio r = a. Se sitúan arbitrariamente unos puntos en
el eje mayor, 1, 2, 3, etc. entre uno de los focos y el centro de la elipse, y con
radio A-1 y centros en F1 y F2 se describen arcos. Haciendo centro nuevamente
en F1 y F2 y con radio B-1, se trazan arcos que cortarán a los anteriores en M1,
M2, M3 y M4 que son puntos de la curva. La suma de distancias de estos puntos
a los focos es siempre 2a. Repítase la misma operación, tomando como radios
las distancias de los puntos 2, 3, etc. a A y B, obteniéndose así otros puntos de
la curva. Los puntos obtenidos se unen a mano alzada”.
Parábola
Se dibuja una recta de forma horizontal la cual nos determina la directriz de la
parábola, seguidamente se colocan muchos puntos sobre la recta y se ubica un
punto F por encima de la directriz el cual determina el foco de la parábola,
después se procede a hallar la mediatriz de cada punto de la recta con el punto
F; al terminar de hallar todas las mediatrices, la figura que se genera es una
parábola como se muestra en la siguiente figura.
Figura. (Santa & Jaramillo, 2009)
Método de los puntos. Trazar una parábola de directriz AB y foco F.
Procedimiento: (Montoya)
1. Dibujamos la directriz d y el foco F, y hallamos el punto medio del segmento
OF, siendo éste el vértice A de la curva.
2. A partir del foco F situamos puntos arbitrarios: 1, 2, 3, etc., y por ellos
trazamos paralelas a la directriz d.
3. Tomamos como radios las distancias O1, O2, etc., y haciendo siempre centro
en el punto F, trazamos arcos que cortan, respectivamente, a las rectas que
pasan por 1, 2, 3, etc., obteniéndose los puntos M y M', N y N', y así
sucesivamente.
4. Al unir estos puntos con trazo continuo resulta la parábola buscada.
Figura. (Montoya)
Hipérbola
Se dibujan dos circunferencias de radio R a una distancia prudente d y sus
centros C1 y C2 respectivamente que serán los focos de la hipérbola,
seguidamente se ubica un punto P en el exterior de las circunferencias en la
mitad de la distancia d que las separa; después se dibujan muchos puntos sobre
el perímetro de las circunferencias y se procede a hallar la mediatriz de cada
punto de los perímetros de las circunferencias y el punto P; al terminar de hallar
todas las mediatrices la curva que se genera es una hipérbola, como se muestra
en la siguiente figura.
Figura. (Santa & Jaramillo, 2009)
Método de los puntos. Trazar una hipérbola conociendo los dos ejes.
Procedimiento: (Montoya)
1. Una vez situados los ejes AB y CD, procedemos a determinar los focos; con
centro en O, y radio AC trazamos un arco, y allí donde éste corta al eje real
están los focos F y F'.
2. Situamos puntos arbitrarios: 1 y 1', 2 y 2', etc., sobre el eje real a uno y otro
lado de los focos, F y F', respectivamente. Con radio 1A, y centro en F y F'
trazamos dos arcos; con radio 1B, y centro en F y F' describimos otros dos
arcos, que cortan a los anteriores determinando los puntos M y M', y N y N',
de la curva de ambas ramas.
3. Repitiendo esta operación tantas veces como puntos se hayan marcado
sobre el eje, obtendremos el resto de los puntos de la hipérbola.
4. Por último, unimos con plantillas de curvas o a mano alzada hasta terminar
las dos ramas de la curva.
Figura. (Montoya)
