7/23/2019 Vibraciones_CTA_2014-2015_PI_2015-03-25_Actualizado

1/5

ESCUELA DE INGENIERA AERONUTICA Y DEL ESPACIO

VIBRACIONES-CTA 25/03/2015

Nombre:

Apellidos:

Tiempo 50 minutos

Problema #1

El sistema de la figura est formado por una masa rgida puntual de valormunida en el punto medio de una viga de longitud L, rigidez EI y masadespreciable mediante un elemento elstico de rigidez ky masa tambindespreciable. La viga esta empotrada en ambos extremos. El sistema est

montado en un plano vertical, se supone amortiguamiento despreciable yen equilibrio esttico. El movimiento de la masa mes posible solamenteen la direccin del eje z. Se pide:

1.

Ecuacin que describe los pequeos movimientos del sistema enfuncin de los parmetros del enunciado. (3 puntos)

2. Frecuencia natural del sistema. (1 puntos)3. Cuando al sistema se le aplica una condicin inicial igual a (0) = 0

,

(0) =

0en la direccin del eje z positivo, determinar la amplitud

mxima del movimiento del punto A de la viga (ver figura) (3

puntos).4. Si sobre la masa m acta la carga () =0sin() y el sistema

parte de condiciones iniciales nulas obtener la respuesta completadel sistema. (3 puntos)

EI

m

K

L

z

x

g

p(t)

A

7/23/2019 Vibraciones_CTA_2014-2015_PI_2015-03-25_Actualizado

2/5

Solucin Problema #11.

Para calcular la rigidez equivalente de la viga se aplica una carga unidad y de la deformada seobtiene en el centro de la viga se obtiene la rigidez equivalente. La ecuacin de la deformadaes en ste caso

4

4=

(

0)

Las condiciones de contorno son =2

2 = 0 ;

2 = 0

= 2

2 = 0 ;

2 = 0

Se obtiene que la deformada vale (0) = 3192

Por lo que la rigidez equivalente de la viga vale = 192 3 La ecuacin que describe los pequeos movimientos del sistema es entonces

+ =()Donde al estar los dos elementos elsticos en serie la rigidez equivalente del sistema completo vale =+(3puntos)2.

La frecuencia natural del sistema vale 0 = (1punto)3.

Para obtener el movimiento del punto A se considera una coordenada generalizada sin ningunamasa asociada en A que llamaremos (). La energa cintica asociada a esta coordenada esnula puesto que no hay ninguna masa asociada y la potencial vale ahora con la coordenadaadicional = 1

2( )2 + 122

Aplicando las ecuaciones de Lagrange a la coordenada

se obtiene la ecuacin

( ) + = 0Y por lo tanto se obtiene la relacin () = + ()El movimiento de la coordenada q(t)se obtiene resolviendo la ecuacin del apartado 1) con excitacinnula y las condiciones iniciales dadas. Obtenindose() = 00 0La amplitud del movimiento del punto A vale entonces

0 = + 00 =0 ( + )(3puntos)

4.

La ecuacin del movimiento a resolver es

+ =0La solucin de total de la ecuacin estar formada por la solucin de la homognea() =0 + 0Y la solucin particular () = 0 2 Imponiendo condiciones iniciales nulas la respuesta completa del sistema vale

() = 01

02

00 +

(3puntos)

7/23/2019 Vibraciones_CTA_2014-2015_PI_2015-03-25_Actualizado

3/5

ESCUELA DE INGENIERA AERONUTICA Y DEL ESPACIO

VIBRACIONES-CTA 25/03/2015

Nombre:

Apellidos:

Tiempo 50 minutos

Teora1. Un sistema posee un coeficiente adimensional de amortiguamiento

viscoso del 2% ( =.) y una frecuencia natural de 5 Hz. Sepide:

Escribir la ecuacin diferencial que describe los pequeosmovimientos del mismo cuando es excitado por una carga

armnica de intensidad unidad y frecuencia.(1.5puntos) Obtener la funcin de transferencia de dicho sistema.(1.5puntos)

Separar la funcin de transferencia del sistema en mdulo y

desfase. Representarlos en funcin del parmetro. A dicha

representacin se le conoce como diagrama de Bode. Usarvalores del parmetro 0.0, 0.5, 0.8, 0.9, 0.95, 1.0, 1.05, 1.2,2.0 y 5.0. Comente los resultados. El mdulo de la funcin de

transferencia represntelo por unidad de inercia delsistema.(2puntos)

2.

Se desea instalar un equipo de gran precisin en un edificio del quese sabe que su frecuencia natural es de 2 Hz. La reduccin de lavibracin se quiere que sea al menos del 95%. Suponiendo que elamortiguamiento del sistema de suspensin es muy pequeo < 1%determine la frecuencia natural del sistema de suspensin paraconseguir el objetivo. (3puntos)

3. Determinar el desarrollo en serie de Fourier de la siguiente carga

peridica de periodo T1. (2puntos)

() =0 sin 21 0 1 20

12 1

7/23/2019 Vibraciones_CTA_2014-2015_PI_2015-03-25_Actualizado

4/5

Solucin Teora:1.

La ecuacin diferencial es con los datos del enunciado (1.5puntos) + 0.4 + 1002 = 1La funcin de transferencia del sistema vale (1.5puntos)

() =1

(1002 2)2 + (0.4)2 El mdulo y el desfase en funcin del parmetro

se expresa como() = 1(10)21 022 + 0.0402

= tan1

0.040

1

02

Dando valores al parmetro se obtienen las siguientes grficas (2puntos):

2.

Para una reduccin del 95% y con amortiguamiento despreciable latransmisibilidad vale = 0.05 = 102 1

Resolviendo se obtiene que la relacin de frecuencias debe de ser al menos21

Por lo tanto para una frecuencia de excitacin de 2Hz la frecuencia natural del sistema

de suspensin debe de ser menor o igual a 04.583 = 2.742 /(3puntos)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6

modulo

modulo

0

50

100

150

200

0 1 2 3 4 5 6

Fase

7/23/2019 Vibraciones_CTA_2014-2015_PI_2015-03-25_Actualizado

5/5

3.

La frecuencia fundamental de la carga peridica es 0 =2 , los coeficientesse obtienen realizando las integrales

0 = 1

1 () = 0

0

0 = 01 = 21 ()cos 21 = 00 1 = 21 ()sin 21 = 02

0

= 21 ()sin 21 = 0 > 10

=

2

1 (

)cos

21

=02

1 cos( + 1)

+ 1

+cos( 1) 1

1

0

Obtenindose que para n impar los anson todos nulos y para n par valen = 20(2 1) = 2,4,6(2puntos)