Vibraciones Mecanicas IntroduccionEn esta unidad 6 del curso de dinamica se tiene como objetivo educacional entender y comprender el comportamiento de los sistemas vibratorios de uno o dos grados de libertad, y para esto es importante tener nociones de los conceptos generales como: Que es una vibracion?,Qu es una vibracion libre?, Qu es una vibracion forzada?,Qu son las vibraciones libres y forzadas amortiguadas? Y Qu son las vibraciones libres y forzadas no amortiguadas? Todo esto para sistemas de vibratorios.Esto quiere decir que para comprender las vibraciones mecanicas hay que entender lo que es una vibracion, por ello se contestan las siguintes preguntas que a su vez son los conceptos clave de esta investigacion:Qu es una vibracin?Una manera sencilla de describir lo que es este concepto sera: el movimiento continuo y repetitivo de un objeto alrededor de una posicin de equilibrio. La posicin de equilibrio es a la que se llegar cuando la fuerza que acta sobre el objeto sea cero. El fenmeno de vibracin es benfico para algunas situaciones como el caso del funcionamiento de instrumentos musicales con cuerdas como la guitarra ya que por medio de este se produce el sonido y se hace trabajar dicho instrumento; sin embargo la mayora de las veces esto no resulta deseable pues en otros casos por el contrario perjudica sistemas llevndolos a perder partes, aflojar uniones o incluso desensamblarse por causa del mismo movimiento.Este tipo de vibracin se llama vibracin de cuerpo entero, lo que quiere decir que todas las partes del cuerpo se mueven juntas en la misma direccin y en cualquier momento. El movimiento vibratorio de un cuerpo entero se puede describir completamente como una combinacin de movimientos individuales de 6 tipos diferentes. Esos son traslaciones en las tres direcciones ortogonales (x, y, z) y rotaciones alrededor de los ejes (x, y, z), cualquier movimiento complejo que el cuerpo pueda representar se puede descomponer en una combinacin de esos seis movimientos. De un tal cuerpo se dice que posee seis grados de libertad.Es importante mencionar que para poder entender lo que ocasionan los diferentes tipos de vibraciones se debe conocer sus componentes bsicos que son: su masa y su fuerza restauradora.Otra manera de explicarlo es que los movimientos vibratorios en mquinas se presentan cuando sobre las piezas elsticas actan fuerzas variables. Generalmente estos movimientos son indeseables, aun cuando en algunos casos se disean de manera deliberada en la mquina.El anlisis de las vibraciones requiere el siguiente proceso general: Evaluar las masas y la elasticidad de las piezas a estudio. Calcular la cantidad de rozamiento actuante. Idealizar el implemento mecnico real, reemplazndolo por un sistema aproximadamente equivalente de masas, resortes y amortiguadores. Escribir la ecuacin diferencial de movimiento del sistema idealizado. Resolver la ecuacin e interpretar los resultados.El sistema ideal ms sencillo consiste de una masa nica, un resorte nico y un amortiguador como se muestra en la figura. Este sistema se define como un sistema de un grado de libertad.

Dnde:m: masak: constante del resorte (fuerza por unidad de deformacin)c: constante de amortiguamiento (fuerza por unidad de velocidad). Se supone que el amortiguamiento es viscoso, es decir, que la fuerza resistente es proporcional a la velocidad.F (t): fuerza externa, funcin del tiempoX: desplazamiento de la masa desde la posicin de equilibrio estticoX: derivadas primera y segunda respectivamente de x con respecto a tDonde:_ m: masa_ k: constante del resorte (fuerza por unidad de deformacin)_ c: constante de amortiguamiento (fuerza por unidad de velocidad). Se supone que elamortiguamiento es viscoso, es decir, que la fuerza resistente es proporcional a la velocidad._ F(t): fuerza externa, funcin del tiempo_ x: desplazamiento de la masa desde la posicin de equilibrio esttico

Cualquier sistema de un solo grado de libertad puede describirse por medio de la misma forma de ecuacin diferencial escrita anteriormente, si la fuerza del resorte es proporcional al desplazamiento y la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad. Para el sistema general de un solo grado de libertad podemos escribir:

Donde me,ce,ke son la masa equivalente, la constante de amortiguamiento equivalente y la constante del resorte equivalente, respectivamente. El desplazamiento X puede ser lineal o angular.Ejemplo:

Grado de libertad:Se puede definir como el grado de libertad a las variables necesarias y suficientes para especificar la posicin de un sistema mecnico. En general se clasifican las vibraciones como:

Como dijimos anteriormente una vibracin se produce cuando el sistema en cuestin es desplazado desde una posicin de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posicin, bajo la accin de fuerzas de restitucin elsticas o gravitacionales, movindose de un lado a otro hasta alcanzar su posicin de equilibrio .El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectu un ciclo completo de movimiento se llama periodo de vibracin, el nmero de ciclos por unidad de tiempo define frecuencia y el desplazamiento mximo del sistema desde su posicin de equilibrio se denomina amplitud de vibracin.Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse en lineales o no lineales. Para los sistemas lineales rige el principio de superposicin y las tcnicas matemticas para su comportamiento estn bien desarrolladas (Ley de Hooke). Por el contrario las tcnicas para el anlisis de los sistemas no lineales son ms complicadas y poco conocidas.Definicin de una vibracin libreUna estructura esta en vibracin libre cuando es perturbada de su posicin esttica de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitacin de una fuerza externa alguna (P (t)=0). Estas vibraciones se presentan cuando despus de una perturbacin inicial, no existe fuerza externa de excitacin, esto es, F (t)= 0. La ecuacin diferencial es:

Se buscan soluciones de la forma: X= C estAs, la solucin de esta ecuacin puede escribir: X= Aes1t +Bes2t.Dnde: y Y A1y A2 Son constantes determinadas por las condiciones iniciales.Al valor se denomina amortiguado crtico Cc.Se define el amortiguamiento relativo como el cociente entre el amortiguamiento real y el amortiguamiento crtico.

Vibraciones ForzadasLas vibraciones forzadas como el mismo trmino menciona se refieren a que fuerzas externas son las responsables de las vibraciones que se producen en el sistema. Algunas caractersticas de este tipo de vibraciones son:-compensacin de prdida de energa de la oscilacin amortiguada-fuerzas externasAl igual que las vibraciones libres, las vibraciones forzadas se dividen en: Amortiguadas No amortiguadas

Vibraciones forzadas de un sistema sin amortiguamientoTomando en cuenta la ecuacin principal de las vibraciones forzadas de sistemas amortiguados podemos deducir tambin que La ecuacin diferencial que describe el movimiento del sistema es:

Dnde: a(t) (f/m) es la funcin de excitacin

x = xh + xpPara poder resolver la ecuacin principal se necesita tener las soluciones homognea y particular de:

La solucin homognea xh es la solucin general de la ecuacin principal y para resolverla se debe igualar a cero el segundo miembro.La solucin particular xp es una solucin que satisface la ecuacin principal.Para hacer ms explcito lo anterior podemos considerar un procedimiento de la siguiente manera:Simplificando ecuaciones inicialesPara simplificar las condiciones iniciales hacemos:La solucin general Considerando la ecuacin homognea asociada: Su solucin es: Solucin particular Si la fuerza externa es una funcin de ambas variables (espacial y temporal), el anlisis matemtico del problema se torna complejo en general, ya que resultara un problema no lineal o de coeficientes variables. Ejemplos de esto son:a) f(y,t) = Fo y tb) f(y,t) = Fo y2 sen tc) f(y,t) = Fo y2En el caso a) se tiene una ecuacin diferencial con coeficientes variables, en b) la ecuacin es no lineal con coeficientes variables y en c) es no lineal.Vibraciones forzadas de un sistema amortiguadoCON FRICCIN Y FUERZA EXTERNASi se introduce una fuerza externa F (t) = F0 Cos w t, entonces la ecuacin que regula el movimiento de la masa es:

La solucin general queda como:

Como la ecuacin de la parte homognea tiende a cero, entonces, con slo la parte no homognea podemos describir el comportamiento de las vibraciones forzadas amortiguadas.Donde yH es solucin de la ecuacin homognea y yP es una solucin particularSOLUCIN PARTICULAR DE LA FORMA