UNIVERSIDAD DE ORIENTE

Vías de Comunicación II

Prof. Andreina NarvaezSemestre I-2010

Este material fue creado para los estudiantes que cursan Vías de Comunicación II en el departamento de Ingeniería civil de la Universidad de Oriente, núcleo de Anzoátegui.

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Capítulo I. El alineamiento vertical (cap. XIV, 125-146, normas venezolanas)

1.1 Definiciones y Conceptos1.1.1. Topografía del terreno

El alineamiento vertical de una carretera consiste de tramos rectos conocidos como pendientes,

o tangentes, que suben o bajan para vencer diferencias de cotas en el terreno. Estas tangentes están

conectadas por curvas verticales. El diseño del alineamiento vertical involucra, por lo tanto, la

selección de pendientes apropiadas para las secciones rectas y el diseño de curvas verticales. La

topografia del área a traves de la cual pasará la vía tiene un impacto significante en el diseño del

alineamiento vertical. En el diseño de vías, la topografía del terreno se clasifica como: terreno

llano, terreno ondulado, y terreno montañoso.

El terreno llano es relativamente plano, con pendientes que oscilan entre 0 y 5% y las

distancias de visibilidad horizontales y verticales son generalmente largas o pueden ser obtenidas

sin mucha dificultad constructiva. Exige mínimo movimiento de tierras en la construcción de

carreteras y no presenta dificultad en el trazado ni en su explanación, por lo que las pendientes

longitudinales de las vías son normalmente menores del 3%.

El terreno ondulado tiene pendientes naturales que generalmente son ligeramente mayores o

menores que la pendiente de la vía, con ocasionales pendientes que restringen el alineamiento

normal. La pendiente maxima del terreno oscila entre 5 y 25%. Requiere moderado movimiento de

tierras, lo que permite alineamientos más o menos rectos, sin mayores dificultades en el trazado y

en la explanación.

El terreno montañoso presenta repentinos cambios en la elevación del terreno en las

direcciones longitudinales y transversales, requiriendo por supuesto frecuentes movimientos de

tierra. Las pendientes oscilan entre 25 a 75%.

1.1.2. Pendientes

Las pendientes afectan el rendimiento de los vehículos. La velocidad de los vehículos pesados

puede reducirse considerablemente en la medida en que la inclinación o la longitud de la pendiente

aumentan.

La pendiente tiene influencia sobre el funcionamiento económico y seguro del vehículo. Como

tal, su valor máximo dependerá de la potencia de los vehículos que circulan por la vía,

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especialmente la de los vehículos pesados. Por consiguiente, la selección de la máxima pendiente

dependerá del vehículo de diseño y de la velocidad. La pendiente mínima se fijará en lo posible

para lograr la compensación del movimiento de tierra y para facilitar el desagüe en sentido

longitudinal.

En la figura 1 se puede observar la curva de rendimiento de un vehiculo cuya relacion

peso/potencia es de 120 kg/kw. En ella se observa el impacto que ocasionan las pendientes en la

velocidad del vehículo.

Figura 1. Curvas de rendimiento de un camión de relación peso/potencia de 120 kg/kw

De acuerdo a lo anterior, y como lo establecen las normas venezolanas, las pendientes

longitudinales son las siguientes:

Pendientes máximas: la tabla 14.1 de las normas venezolanas presenta las pendientes

máximas admisibles dependiendo del tipo de terreno. Sin embargo, la AASHTO considera que

para una velocidad de diseño de 110 KPH, la pendiente máxima debe ser de 5%. Para 50 KPH las

pendientes máximas están en el rango de 7 a 12% dependiendo de la topografía.

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Pendientes mínimas: Se admiten tramos de pendiente 0%, siempre que no existan

problemas de drenaje. En todo caso, para facilitar el drenaje longitudinal se requiere de una

pendiente mínima de 0.25%. Las normas venezolanas establecen las siguientes pendiente mínimas:

Cuneta sin revestir = 0.5% a 1%

Cunetas revestidas = 0.5%

Canal o dren = 0.4%

Brocales = 0.3%

1.1.3. Longitud crítica de pendiente

Se define como la longitud de trayecto en una pendiente de ascenso que motiva una reducción

de 25 km/h en la velocidad de operación de los vehículos pesados. La figura 14.1, página 128 de

Norvial muestra longitudes críticas de varias pendientes para varias reducciones. Las longitudes

críticas segun la definición anterior son:

Pendiente de ascenso (%) 3 4 5 6 7 8

Longitud crítica (m) 520 335 245 180 150 150

1.2 Geometría de las curvas verticales1.2.1. Movimiento de los vehículos en las curvas verticales

Cuando un vehículo recorre una vía en pendiente cuyo perfil longitudinal presenta una

cuvatura importante, queda sometido a una aceleración vertical que puede modificar las

condiciones de estabilidad y afectar considerablemente el confort de los pasajeros.

Para evitar discontinuidades en las aceleraciones aplicadas al vehículo al circular éste en la

curva vertical, es conveniente hacer que la aceleración vertical aparezca gradualmente. Esto se

logra mediante una transición de la curvatura del perfil longitudinal, introduciendo una curva cuya

razón de variación de la pendiente sea constante.

Este criterio conduce a seleccionar la parábola como curva de enlace y transición en los

alineamientos verticales.

En efecto, debiendo ser constante la razón de variación de la pendiente, la segunda derivada de

la curva deber ser constante, es decir:

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integrando, se obtiene:

Integrando una vez más:

Ecuación que corresponde a una parábola.

Por otra parte, la parábola facilita la operación vehicular de una manera cómoda y segura,

brinda una apariencia agradable del alineamiento y permite un adecuado drenaje de la superficie de

rodamiento.

Estas curvas ofrecen dos ventajas:

1. La variación de las pendientes en la parábola, entre dos tangentes consecutivas, es

literalmente proporcional a la longitud de la proyección horizontal de la curva.

2. Las cotas sobre la curva pueden calcularse en forma sencilla y varían proporcionalmente

con las abscisas.

3. La pendiente de una cuerda de la parábola es el promedio de las pendientes de las líneas

tangentes a ella en los extremos de la cuerda.

1.2.2. Clasificación y elementos de las curvas verticales

Las curvas verticales usadas en vías como curvas de enlace entre los alineamientos rectos

longitudinales, pueden ser arcos de círculo, arcos de parábola, de parábola cúbica, etc.

De éstas, la parábola de eje vertical es usualmente la preferida, pues, simultáneamente sirve

como curva de enlace y de transición de las curvaturas. Además, su forma se ajusta a la de la

trayectoria de los vehiculos para la condición de máximo confort de éstos.

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Curva vertical convexa Curva vertical cóncava

Figura # 2. Tipos de curvas verticales

Según su posición, las parábolas verticales pueden ser convexas o cóncavas (fig. # 2), y en

ellas hay que distinguir los siguientes elementos (fig. # 3):

Figura # 3. Elementos de la curva vertical

p y q son las pendientes, expresadas en porcentaje, de los alineamientos rectos en el perfil

longitudinal, y PIV el punto donde éstos se cortan o intersectan. Las pendientes en ascenso se

consideran positivas y las de descenso, negativas.

PCV y PTV son los puntos de entrada y salida respectivamente, de la curva vertical. Se llama

longitud, L, de la curva vertical a la de su proyección sobre la horizontal. Cuando la proyección del

PIV sobre la horizontal está a media distancia entre PCV y PTV, la curva se llama simétrica.

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1.2.3. Propiedades geométricas y cálculo de los elementos de parábola

Curvas verticales simétricas

Además de las dos propiedades mencionadas anteriormente (la parábola es la curva en la cual

la razón de variación de su pendiente es una constante, y, en proyección horizontal, el punto de

intersección está a media distancia entre las proyecciones de los puntos de tangencia), las

siguientes propiedades son también de importancia al calcular los elementos de la parábola:

1. En una parábola de eje vertical, los elementos verticales entre la tangente y la curva son

proporcionales a los cuadrados de las proyecciones horizontales de los elementos de tangente

comprendidos entre el punto de tangencia y el eje vertical: y = k . x2.

Figura # 4. Propiedades de las curvas verticales

2. En una parábola de eje vertical, el coeficiente angular (pendiente) de la recta que une dos

puntos de la curva es el promedio de los coeficientes angulares de las tangentes.

R = (p + q)/2

Aplicando estas propiedades, la cota en cualquier punto de la curva vertical, referida a la

tangente de entrada, puede calcularse de la siguiente manera:

y = k . x2

y la cota en el punto medio es: d = k . (L/2) 2

siendo k una constante de proporcionalidad. De aqui:

de manera que, en cualquier punto de la curva se cumple que:

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El valor de d se puede deducir del triángulo formado por PIV, B, C (fig. # 5), en el que se

Figura # 5.

observa que:

de donde

no habiéndose tomado en cuenta los signos de las pendientes. La expresión anterior permite

plantear la proporción:

Conocido el valor de d, en cualquier punto de la curva se tiene que:

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Es decir:

Esta expresión permite calcular las cotas de los distintos puntos de la parábola. En efecto, para

obtener las cotas de la curva, a las cotas calculadas en distintos puntos de la tangente de entrada

deben sustraerse o adicionarse, según la curva sea convexa o cóncava, respectivamente, los valores

de y.

Para evitar errores en los cálculos, interesa tomar en cuenta los signos de p y q en forma tal que

el resultado indique la operación a efectuar (fig. 6).

Para ello basta que la expresión anterior se escriba en la forma:

Y se tomen en cuenta los signos de las pendientes. Por consiguiente, d será igual a

Para simplificar la expresión anterior, se define A = q – p, y la ecuación de la parábola será:

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Fuente: Jacob Carciente

Figura 6. Sentido aditivo y sustractivo de las ordenadas en las curvas verticales

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Curvas verticales convexas (A es -) Curvas verticales cóncavas (A es +)

El trabajo del cálculo de las cotas de la curva en distintas progresivas se simplifica si se tabula

el proceso de la siguiente forma:

Estación Distancia x x2/L y = (A/200)(x2/L) Elevación en la tangente

Elevación en la curva

Refiriendo las cotas de la curva vertical a la cota del PCV, para cualquier punto x de la curva se

tiene:

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de forma que, para hallar la pendiente de la curva en cualquiera de sus puntos, derivando la

ecuación anterior se obtiene la expresión

En las curvas verticales cuyas tangentes tienen pendientes de distinto signo, para hallar la

distancia desde el PCV al punto de la curva donde su pendiente se anula, bastará igualar a cero la

expresión anterior, de donde:

este punto se conoce como el ápice de la curva, y es el punto más alto en las curvas convexas y el

más bajo en las curvas cóncavas.

Dado que cuando p y q son de distinto signo, para +p y –q, A es negativo, y para –p y +q, A es

positivo, el valor de xo será siempre un valor positivo.

Curvas asimétricas

Al introducir una curva vertical entre dos alineamientos rectos del perfil longitudinal, hay

casos en los que la distancia del PIV a uno de los extremos está limitada, no estándolo respecto al

otro extremo.

En estos casos, una curva vertical asimétrica se adapta mejor al trazado que una curva

simétrica.

Una curva vertical asimétrica es aquella en la que las proyecciones de su tangente son de

distinta longitud.

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Consiste la curva asimétrica en dos o más arcos de parábola que tienen una tangente común,

VV, donde las curvas se encuentran (fig. 7).

Figura # 7. Curva vertical asimétrica

El cálculo de los elementos de las curvas verticales asimétricas se simplifica cuando ésta se

considera como dos curvas verticales simétricas consecutivas, determinándose las elevaciones en

la primera con respecto a la tangente PCV-PIV y en la segunda con respecto a PTV-PIV.

De la geometría de la curva se deduce que:

o

Como puede comprobarse, MD = DF = d, luego

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A

A

y haciendo

expresión que se transforma en la ya conocida

al hacer l1 = l2 = L/2

Conocido el valor de d, el cálculo de la cota en cualquier punto será:

para la rama izquierda:

y para la rama derecha:

Al derivar e igualar a cero estas expresiones se obtiene la posición del punto más alto o más

bajo de la curva, según se trata de curvas convexas o cóncavas respectivamente. Asi se tiene, para

la rama izquierda:

, a partir del PCV

y para la rama derecha:

, hacia atras del PTV

expresiones que resultan siempre positivas.

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