VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

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VI CONGRESO LATINOAMERICANO DE BIOLOGÍA. MATEMÁTICA. XV CLAB y X ELAEM. Acapulco, México. 16/11/2009 – 20/11/2009.

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Page 1: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

 

 

i\ VÉÇzÜxáÉ _tà|ÇÉtÅxÜ|vtÇÉ wx U|ÉÄÉz•t `tàxÅöà|vt XV CLAB‐X ELAEM 

fÉv|xwtw _tà|ÇÉtÅxÜ|vtÇt wx U|ÉÄÉz•t `tàxÅöà|vt

Del 16 al 20 de noviembre del 2009 

 

 

Unidad Académica de Matemáticas Nodo Acapulco 

 

 

Acapulco, México

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Comité Organizador: 

José Geiser Villavicencio Pulido (Coordinador) Juan Carlos Hernández Gómez Crisólogo Dolores Flores Efrén Marmolejo Vega Claudia Nila Luévano Ignacio Miranda Vargas   Comité Científico  Ignacio Barradas Bribiesca (UG., México) Rodney Bassanezi (Universidad. Estadual de Campinas, Brasil) Jorge González Guzmán (Universidad. Católica de Valparaíso, Chile) Josefina Hernández (Universidad Central de Venezuela, Venezuela)  Jaime Mena Lorca (Universidad. Católica de Valparaíso, Chile)  Joao Frederico Meyer (Universidad Estadual de Campinas, Brasil) Faustino Sánchez Garduño (UNAM, México) Jorge X. Velasco Hernández (Instituto Mexicano del Petróleo, México) Graciela Canziani (Exactas, UNCPBA) José Geiser Villavicencio Pulido (Universidad Autónoma de Guerrero, México)  Juan Carlos Hernández Gómez (Universidad Autónoma de Guerrero, México) Daniel Olmos Liceaga (Universidad de Sonora, México)   Brenda Tapia de los Santos (Universidad Veracruzana, México)  Fernando Momo (Universidad  Nacional de General Sarmiento, Argentina)   Comité de Apoyo  Vicente Castro Salgado José Guadalupe de la Torre Suárez   Conferencistas convidados: Dr. Jorge X. Velasco-Hernández - Inst. Mexicano del Petróleo, México Dr. Fernando Momo – UNGS, Argentina Dr. Rodney C. Bassanezi – UFABC, Brasil Dr. Ignacio Barradas Bribiesca –UG, México Dr. Faustino Sánchez Garduño – UNAM, México Dr. Michel de Lara – CERMICS, Francia

Dr. Jorge González Guzmán –UPCV, Chile

    

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Temas Principales Dinámica Poblacional Ecología Matemática Biomedicina Epidemiología Biología Computacional     

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Actividades  Conferencias Magistrales Conferencias Sesión de Posters Asamblea  

Reseña Histórica 

El VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática surge a partir un compromiso asumido por investigadores latinoamericanos para desarrollar y fortalecer el trabajo interdisciplinario de modelación matemática en las biociencias, promoviendo el intercambio de conocimientos a través de las fronteras, uniendo esfuerzos en proyectos conjuntos y participando en la formación de recursos humanos a escala regional.  

La propuesta tuvo sus inicios en las actividades desarrolladas por la Asociación Latino Americana de Biomatemática (ALAB) por un lado y la Red Latino Americana de Ecología Matemática por el otro. Luego de varios años de desarrollar actividades paralelas, una con los Congresos Latino Americanos de Biomatemática (CLAB) y la otra con los Encuentros Latino Americanos sobre Ecología Matemática (ELAEM), y a propuesta de los colegas brasileños, se planteó la posibilidad de unir a los respectivos miembros en una única entidad. En 2001 se llevó a cabo en Campinas, Brasil, el primero de estos Congresos (X CLAB y V ELAEM). En 2002, el Congreso tuvo lugar en Guanajuato, México, en 2003 en Armenia, Colombia, en 2005 en Tandil, Argentina y en 2007 en Campinas, Brasil.   

Durante el Congreso 2002 en Guanajuato, se sentaron las bases de la nueva Sociedad Latinoamericana de Biología Matemática (SOLABIMA) según las cuales la Comisión Directiva será integrada por colegas de un único país. Durante la Asamblea Anual, se eligen el país y los integrantes de la Comisión Directiva que actuará durante el año subsiguiente y que a ella le es encomendada la organización del Congreso. En la Asamblea realizada durante el Congreso 2007 se eligió a Acapulco, México, como sede del Congreso 2009, siendo integrantes de la Comisión Directiva 

Presidente: Dr. José Geiser Villavicencio Pulido (Unidad Académica de Matemáticas, UAG)  Vice‐presidente: Dr. Jorge X. Velasco Hernández (Instituto Méxicano del Petróleo)  Secretaria: M. en C. Claudia Nila Luévano  (Unidad Académica de Matemáticas, UAG)  Tesorero: M. en C. Ignacio Miranda Vargas  (Unidad Académica de Matemáticas, UAG)   

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Anclado de Ondas en Espiral en el regimen divagador en obstáculos para las ecuaciones de Fitzhugh-Nagumo y Beeler Reuter.

Dr. Daniel Olmos Liceaga

Departamento de Matemáticas Universidad de Sonora

La interacción de ondas en espiral y obstáculos en tejido cardiaco es un problema de suma importancia en la transición de diferentes tipos de arritmias cardiacas. Cuando una espiral en régimen divagador se ancla a un obstáculo se obtiene una arritmia más localizada y controlable. En esta plática, se presentan cuatro propiedades necesarias para que una onda en espiral se ancle al obstáculo. Dichas propiedades se basan en conceptos de excitabilidad del medio, el tamaño y la geometría del obstáculo; y que por tanto no dependen del modelo iónico considerado. En esta plática se consideran dos modelos, como lo son una versión modificada de la ecuación de Fitzhugh-Nagumo (FHN) y la ecuación de Beeler-Reuter.

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Analisis cualitativo de modelos de depredaciónconsiderando efecto Allee en una de las

poblaciones

Ana Romina Vicencio-Cumillaf, Eduardo González OlivaresGrupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas, Facultad de Ciencias

Ponti�cia Universidad Católica de Valparaíso

email: [email protected], [email protected]

julio de 2009

1 INTRODUCCIÓN

En este trabajo se hace un estudio de dos modelos depredador-presa tiempocontinuo propuestos en [8], considerando que el crecimiento de las presas es detipo malthusiano y alguna de las poblaciones está afectada por el efecto Allee[1, 5].Existen muchas formas matemáticas para expresar este importante fenómemo

ecológico [4] pero en este trabajo emplearemos la función

dxdt = r x

x+n x (01)

donde x = x (t) indica el tamaño poblacional; el factor a (x) = xx+n , modela

el efecto Allee, fenómeno que puede ser producido por diferentes causas [1, 2]Uno de los objetivos del trabajo será determinar la naturaleza de los puntos

de equilibrio, de acuerdo a los diferentes parámetros del modelo.

2 LOS MODELOS

Los modelos a estudiar son modi�caciones del conocido modelo de Lotka-Volterra,y el primer de ellos es del tipo Gause [3] o de transferencia de masa, descritopor el siguiente sistema bidimensional de ecuaciones diferenciales no linealesautónomo del tipo Kolmogorov [3].

X� :

� dxdt = r x

x+n x� qxydydt = (px� c ) y (1)

1

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donde x = x (t) e y = y (t) son los tamaños poblacionales de las poblacionespresa y depredador, respectivamente; la función h (x) = qx es la respuestafuncional o tasa de consumo de los depredadores del tipo Holling I o lineal[6, 7].Los parámetros son todos positivos, o sea, � = (r; n; q; p; c) 2 R5+ y tienen

diferentes signi�cados ecológicos.El segundo modelo es

Y� :

(dxdt = r x� qxydydt =

�px y

y+b � c�y

(2)

donde � = (r; q; p; b; c) 2 R5+, esto es, los parámetros son todos positivos ytienen diferentes similares signi�cados ecológicos a los del modelo (1).En particular, se estudia el acotamiento de las soluciones porque de acuerdo

a las simulaciones que aparecen en [8], habría soluciones que tienden al punto(0;1), obteniendose una situación que no es ecológicamente sustentable.En trabajos futuros revisaremos otros de los modelos propuestos en [8], o

otro donde se incorpore la función de crecimiento logística para las presas.

References

[1] L. Berec, E. Angulo and F. Courchamp, Multiple Allee e¤ects and populationmanagement,Trends in Ecology and Evolution Vol. 22 (2007) 185-191.

[2] F. Courchamp, L. Berec and J. Gascoigne, Allee e¤ects in Ecology and Con-servation, Oxford University Press 2008.

[3] H. I. Freedman, Deterministic Mathematical Models in Population Ecology,Marcel Dekker 1980.

[4] E. González-Olivares, B. González-Yañez, J. Mena-Lorca and R. Ramos-Jiliberto. Modelling the Allee e¤ect: are the di¤erent mathematical formsproposed equivalents?, In R. Mondaini (Ed.) Proceedings of the 2006 Inter-national Symposium on Mathematical and Computational Biology BIOMAT2006 E-papers Serviços Editoriais Ltda. Rio de Janeiro (2007) 53-71.

[5] P. A. Stephens, W. J. Sutherland, R. P. Freckleton, What is the Allee e¤ect?,Oikos 87 (1999) 185-190.

[6] R. J. Taylor. Predation. Chapman and Hall, 1984.

[7] P. Turchin, Complex population dynamics. A theoretical/empirical synthesis,Mongraphs in Population Biology 35 Princeton University Press, 2003.

[8] S-R. Zhou, Y-F. Liu, G. Wang, The stability of predator-prey systems sub-ject to the Allee e¤ect, Theoretical Populations Biology 67 (2005) 23-31.

2

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MODELACIÓN DE LA RED REGULATORIA GENÉTICA INDUCIDA POR ETILENO EN RESPUESTA A INFECCIÓN POR PATÓGENOS EN Arabidopsis thaliana.

Rafael Verduzco Vázquez & José Díaz Grupo de Biología Teórica y Computacional, Facultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de Morelos, Av. Universidad 1001, Colonia Chamilpa, Cuernavaca, Morelos. CP: 62209. Los mecanismos que permiten a un organismo realizar toda clase de funciones están basados en la compleja interacción de proteínas y ARN. El ADN de cada célula contiene un conjunto de genes que, a través de los procesos de traducción y transcripción hacen posible la expresión. Algunas proteínas actúan como factores de transcripción, que regulan la tasa de transcripción de otros genes, de modo que al analizar las relaciones entre factores y genes se llega a una estructura llamada red regulatoria genética. Se han propuesto distintos modelos para poder entender tanto las propiedades estructurales como la dinámica de estas redes. Esta dinámica corresponde a patrones de expresión genética que producen un fenotipo particular. Abundan técnicas de modelado que permiten estudiar dicha dinámica desde varios enfoques teóricos. Dentro de estos enfoques, las redes Booleanas consideran a cada gen en uno de dos estados posibles a un tiempo discreto dado. En una red Boolena los genes -o nodos en terminología de redes– actualizan su estado de acuerdo a un conjunto de reglas lógicas que suelen inferirse a partir de datos experimentales de expresión genética. Esta clase de modelos requiere relativamente poca información acerca del conjunto de genes y sus interacciones, a la par que brinda resultados biológicamente relevantes. En este trabajo se presenta un modelo de red Boolena para una pequeña red de regulación genética relacionada con la defensa contra patógenos en Arabidopsis thaliana estimulada por las hormonas etileno y jasmonato. Uno de los aspectos relevantes del modelo propuesto es que tras revisar la literatura se incorporó ERF4, un factor de transcripción de la familia de factores de respuesta a etileno ERF que no había sido incluido en la vía de señalización de etileno en trabajos anteriores. Tras analizar las configuraciones del sistema en el conjunto de puntos estacionarios para diferentes condiciones iniciales, tanto en WT como en mutantes, se obtuvieron resultados que tras su interpretación coinciden con algunos fenotipos reportados en la literatura.

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Modelo matemático del proceso mecanobiológico de reparación del ligamento

Rosy Paola Cárdenas Sandoval* Liliana Mabel Peinado Cortés Diego Alexander Garzón Alvarado

* National University of Colombia Carrera 30 N°45-03 Edificio 407 [email protected]

ABSTRACT: Coagulation, inflammation, proliferation and remodelling are the stages performed in the

wound healing in connective tissues injured, one of these is the ligament. The wound healing depends of biological and mechanical manifold factors, they release key elements and stimulate the right fibers organization. The aim of this work is to provide a mathematical model based in hyperelasticity equations of the continuum mechanics for to describe the biological changes and the mechanotransduction process happened in the ligament wound healing when it is subjected to mechanical load. The model proposed is solved using the finite elements method. The results obtained simulate the ligament answer in the remodeling phase in presence of mechanical loads, which is to enlarge the cellular and extracellular size components, increase the fibroblast proliferation, collagen production and other proteins, and the formation of the new fibers net, more homogeneous and mostly dense. This model offers a biological and mechanical framework about the effect of the tension load in the ligament wound healing for the health care professionals that make use of the mechanical loads prescription as tool’s work.

RESUMEN: Coagulación, inflamación, proliferación y remodelación, son las fases llevadas a cabo en el

proceso de reparación en la mayoría de los tejidos conectivos lesionados, uno de ellos es el ligamento. La cicatrización de este tejido depende de múltiples factores biológicos y mecánicos, los cuales estimulan la síntesis de componentes claves en la reparación y la organización correcta del ligamento. El objetivo de este trabajo es proporcionar un modelo matemático fundamentado en las ecuaciones de hiperelasticidad de la mecánica de medio continuo para describir los cambios biológicos y los mecanismos de mecanotransducción ocurridos en el ligamento en reparación cuando está sometido a carga mecánica. El modelo propuesto está resuelto mediante el método de elementos finitos. Los resultados obtenidos simulan la respuesta del ligamento ante cargas mecánicas en la etapa de remodelación, es decir, incremento en el tamaño de los componentes celulares y extracelulares del tejido, aumento de la proliferación de fibroblastos, producción de colágeno y otras proteínas, y la formación de una nueva red de fibras más homogénea y densa. En conclusión, este modelo ofrece un marco de referencia mecánico y biológico, del efecto de la carga de elongación en la reparación del ligamento, útil para los profesionales de las ciencias de la salud que utilizan la prescripción de cargas mecánicas como herramienta de trabajo.

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FITOREMEDIACIÓN DE AGUAS RESIDUALES SECUNDARIAS CON PLÁNTULAS DE Rhizophora mangle BAJO CONDICIONES EXPERIMENTALES C. Chan-Keb*, C. M. Agraz-Hernández**, J. Osti-Saenz**, C. García-Zaragoza** Miguel A. Valera Pérez*, Gladys Linares Fleites*. *Posgrado en Ciencias Ambientales, Instituto de Ciencias. Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. [email protected] ** Centro de Ecología, Pesquerías y Oceanografía del Golfo de México. UAC. Av. Agustín Melgar s/n entre Juan de la Barrera y Calle 20. Col. Buenavista. San Francisco de Campeche; Campeche, México. Tel (981) 8119800. Ext. 62309.

RESUMEN Los bosques de manglar son considerados como ecosistemas de gran valor económico, ecológico y social, debido a los múltiples usos y beneficios que estos proporcionan. Es por ello que esta halófita es reconocida a nivel mundial en su función como agentes de remediación de contaminación de descargas de aguas residuales con altas concentraciones de metales pesados, herbicidas, plaguicidas o con exceso de nutrientes, esto como una alternativa de tratamiento de agua en la zona costera. Por lo cual, esta investigación tuvo como propósito el evaluar el uso de la forestación y fitorremediación con plántulas de Rhizophora. mangle para mitigar la eutrofización causada por las descargas de aguas residuales secundarias, bajo condiciones controladas de temperatura ambiental, humedad, hidroperiodo y nivel microtopografico en un invernadero, con salinidad de 25 ± 5 ups. A través de la colecta de hipocotilos de R. mangle en bosques de manglar sin impacto antrópico y mediante la forestación de seis estanques (100 hipocotilos por estanque), con dimensiones de:1.5 x 0.45 x 0.95 m y un filtro compuesto de grava gruesa (0.081 m3) y fina (0.081 m3), de arena (0.081 m3) y turba natural (0.222 m3) del mismo bosque de colecta de los propágulos. Cada estanque presento un reservorio individual de 0.250 m3 para efectuar por gravedad el flujo y por bombeo el reflujo de la marea. Se establecieron dos tipos de vertidos, donde en tres estanques se vertieron con agua residual y tres con agua de mar. La intensidad de muestreo fue semanal para determinar la concentración de los nutrientes, la salinidad y el valor de pH y potencial redox del agua intersticial. Para evaluar la respuesta fisiológica de las plántulas simultáneamente a los parámetros químicos, se monitoreo el incremento diametral, longitud total, inter nodal y la producción de las hojas. Al realizar mediante la prueba ANOVA de una vía entre los dos tipos de vertido, se encontraron diferencias significativas (p‹0.05) entre la concentración de NO2

-, NH4

+ y el valor de redox,

observándose acumulación de los nutrientes y condiciones más anaeróbicas en el gua intersticial de los estanques con agua residual. Con respecto a la respuesta fisiológicas, se observo mayor tasa de crecimiento diametral (0,014 mm.dia-1) y disminución en la longitud total (0.049 cm.dia-1) para las plántulas tratadas con agua residual, que con respecto a las tratadas con agua de mar (0.0057 mm.dia-1 y 0.064

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cm.dia-1, respectivamente). El incremento internodal y la producción de hojas no presentaron diferencias significativas entre los vertidos. Estos resultados indican que la función de los manglares como agentes fitoremediador es una alternativa para tratar cuerpos de agua costeras eutrofizados, utilizando la forestación. Sin embargo, a su vez los resultados obtenidos para esta investigación indican estrés en las plántulas al incrementar el número de vertidos y al acumularse los nutrientes en el agua intersticial. Es por ello que se recomienda considerar durante el uso del manglar como fitoremediador, el control de la concentración de nutrientes en el vertido y la intensidad de los vertidos, así como la extensión disponible de cobertura del bosque de mangle.

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Análisis del modelo general de Lotka-Volterraconsiderando comportamientos sociales del

depredador

Sebastián Valenzuela-Figueroa, Ruth Becerra-Klix, Eduardo González-OlivaresGrupo de Ecología, Instituto de Matemáticas, Facultad de Ciencias

Ponti�cia Universidad Católica de Valparaíso

email: [email protected]; [email protected]; [email protected]

http://ima.ucv.cl

julio de 2009

1 Introducción

Es ampliamente conocido el hecho que en el modelo general de Lotka-Volterra[5] (considerando crecimiento logístico en las presas), cuando existe un puntode equilibrio al interior del primer cuadrante este es global asintóticamenteestable [2] y esta propiedad se mantiene cuando existe colaboración entre losdepredadores.El objetivo fundamental de este trabajo es describir el comportamiento

matemático de un modelo de depredación, considerando colaboración entre losdepredadores.De acuerdo a los resultados obtenidos, planteamos que la incorporación de

este fenómeno ecológico en este modelo derivado del modelo general de Lotka-Volterra, no es adecuado porque se obtienen conclusiones ecológicas incompati-bles.

2 El modelo

El modelo a estudiar es descrito por el sistema bidimensional de ecuacionesdiferenciales autónomo del tipo Kolmogorov [3]:

X��; :

�dxdt =

�r(1� x

K )� qy�x

dydt = (px� c+ �y�) y (1)

con � = (r;K; q; p; c; �) 2 R5+, donde los parámetros tienen diferente signi�-cados ecológicos y � 2 R. Si � > 0, el parámetro expresa la colaboración entre

1

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los depredadores, si � = 0, se tiene el modelo de Lotka-Voltera usual y si � < 0,el sistema representa un modelo con interferencia entre los depredadores.En particular, si � � 1 el sistema fue estudiado parcialmente por Pacheco

& al. [4] y en [6] consideraron el caso en que � = 1, demostrando que existecondiciones para la existencia de un centro.En este trabajo se muestra, entre otros resultados, que si � > 0, existe un

subconjunto en el espacio de parámetros, donde el sistema no tiene solucionesacotadas, concluyendo que el sistema no representa adecuadamente un modelode depredación.Sin embargo, es posible determinar condiciones en los parámetros para las

cuales el único punto de equilibrio al interior del primer cuadrante este es globalasintóticamente estable

References

[1] A. D. Bazykin, Nonlinear Dynamics of interacting populations, World Sci-enti�c, 1998.

[2] C. Chicone, Ordinary di¤erential equations with applications, Texts in Ap-plied Mathematics 34 Springer, 2006.

[3] H. I. Freedman, Deterministic Mathematical Model in Population Ecology,Marcel Dekker, 1980.

[4] J. M. Pacheco, C. Rodríguez and I. Fernández, Hopf bifurcations inpredator�prey systems with social predator behaviour, Ecological Modelling105 (1997) 83�87.

[5] P. Turchin, Complex population dynamics. A theoretical/empirical synthe-sis, Mongraphs in Population Biology 35 Princeton University Press, 2003.

[6] M. Uribe y M. Wallace, The period function in a class of quadratic Kol-mogoro¤ systems, Proyecciones Vol 19 (2000) 197-205.

2

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Mauro A.E. Chaparro

Un modelo matemático de la fase parasitaria de Ostertagia ostertagi basado en sistemas de inferencia difusa, con especial referencia a

hipobiosis Ostertagia ostertagi es un nematodo que se encuentra muy frecuentemente en el ganado bovino de la región pampeana argentina. La fase parasitaria de Ostertagia comienza cuando la larva infectante (L3) es ingerida por los bovinos al alimentarse en las pasturas contaminadas. Continúa su desarrollo en el sistema digestivo durante aproximadamente tres semanas hasta iniciar la puesta de huevos. Dependiendo de las condiciones climáticas a las que estuvieron expuestas las L3 durante su vida libre, éstas pueden inhibir su proceso de desarrollo (hipobiosis) extendiendo el período de prepatencia hasta cinco meses. Así la hipobiosis permite al parásito “saltar” períodos del año en los que las condiciones climáticas son adversas para la supervivencia de la progenie. Desde el punto de vista sanitario, es importante destacar que las larvas hipobióticas están deprimidas metabólicamente y por lo tanto son menos susceptibles a ciertos antihelmínticos. En la región de la Pampa Húmeda en Argentina este fenómeno se produce mayoritariamente en la primavera. Ensayos realizados a campo determinaron tres factores que acondicionan a las larvas infectantes a detener su desarrollo: tiempo de espera en las pasturas, temperatura ambiente y cantidad de horas de luz (fotoperíodo) diarias. Se construyó un modelo matemático que describe la dinámica poblacional de los parásitos adultos dentro del hospedador, en relación con el grado de infección de las pasturas y las condiciones climáticas. Para describir la dinámica de los adultos se utilizó una ecuación en diferencias con paso diario mientras que para el proceso de inhibición se usó un sistema de inferencia difuso. Con la combinación de estos dos modelos se describe la dinámica poblacional satisfactoriamente. Los resultados obtenidos fueron comparados con ensayos realizados en condiciones naturales, obteniéndose un coeficiente de bondad de ajuste de R2=0.85, siendo este un buen indicador de la calidad de ajuste del modelo.

A mathematical model based on a fuzzy logic inference system for the parasitic stage of Ostertagia ostertagi, including to hypobiosis

Ostertagia ostertagi is a nematode frequently found in cattle in the pampean region of Argentina. The parasitic phase of Ostertagia initiates when the infecting larvae (L3) are ingested by cattle feeding on infected pastures. The larva continues its development in the digestive tract of the animal for about three week until it starts producing eggs. Depending on the climatic conditions to which the L3 larvae were exposed during their free living stage, they can inhibit their development (hypobiosis) by extending the prepatent period for up to five months. Thus hypobiosis allows them to skip some periods during which weather conditions are negative for their offspring in the free living cycle. From the sanitarian perspective, it is important to point out that hypobiotic larvae are metabolically depressed and thus are less susceptible to antihelmintics. In the Humid Pampas of Argentina, this phenomenon occurs mostly in spring. Field trials helped identify three factors that condition the development arrestment of ingested larvae: waiting time in the pasture, environmental temperature, and photoperiod. A mathematical model was built for describing the population dynamics of adult parasites inside the host, depending on the degree of infection of the pasture and on the weather conditions. Difference equations with daily time-step were used for describing the adult population dynamics, while the inhibition process was modeled using a fuzzy inference system. The combination of both models yields a satisfactory description of the dynamics. The simulation results were compared to field trials under natural conditions and the goodness-of-fit coefficient R2=0.85 was obtained, indicating the quality of the model.

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Captura óptima en un modelo depredador-presacon respuesta funcional sigmoidea y efecto Allee

en las presas

Alejandro Rojas-Palma1, Eduardo González-Olivares21Instituto de Matemática, Universidad Austral de Chile

Casilla 567, Valdivia, Chile

[email protected]

http://www.ciencias.uach.cl/instituto/matematicas2Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas,

Ponti�cia Universidad Católica de Valparaíso.

Casilla 4059 Valparaíso, Chile

[email protected]

http://ima.ucv.cl

Julio 2009

1 Introducción

La modelación bioeconómica de la explotación de recursos renovables comopesquerías y bosques, los conceptos esenciales requeridos y las herramientasmatemáticas necesarias han sido dadas en detalle por Clark [5], en especialcuando una sola especie es sometida a captura. Sin embargo, modelos que con-sideran más especies han sido estudiados solamente en algunos trabajos, debidoa las complicaciones propias del análisis cualitativo de los sistemas de ecuacionesdiferenciales no lineales [5, 3].Este trabajo considera el análisis de la captura no selectiva de dos pobla-

ciones en donde una de ellas es depredadora de la otra. Se asume que el esfuerzode pesca es el mismo para ambas poblaciones y la captura por unidad de esfuerzo(CPUE) es proporcional a los tamaños poblacionales de cada población, es de-cir, se asume la bien conocida hipótesis de Schaefer de explotación pesquera.Basados en el análisis cualitativo, se establece la política de control óptima quela industria pesquera debe aplicar con el �n de la maximización de los bene�-cios económicos presentes. Entonces, se de�ne un problema de control óptimoconsistente en maximizar los ingresos netos totales que la sociedad deriva de lapesquería, sujeto a las ecuaciones de estado aplicando el Principio del Máximode Pontragyn [11].

1

Page 16: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

2 El Modelo

Se considera un modelo depredador-presa de tipo Gause [6] en el cual la presaes afectada por el fenómeno biológico conocido como efecto Allee [1, 13, 14] yla respuesta funcional es sigmoidea [15]. Existen muchas formas de expresar elefecto Allee [8], pero se empleará la más usual y la interacción es dada por unsistema de ecuaciones diferenciales autónomo del tipo Kolmogorov [6, 7].

X� :

(dxdt = r

�1� x

K

�(x�m) x� s x2

x2 + a2 ydydt =

�p x2

x2 + a2 � c�y

(1)

donde x = x(t) e y = y(t) indican los tamaños poblacionales de la presa y eldepredador respectivamente, los parámetros son todos positivos, esto es, � =(r;K;m; p; a; c; s) 2 R7+, y tienen distintos signi�cados ecológicos y por razonesbiológicas a;m < K.Este sistema fue analizado en [12] y ahora se asumirá que ambas poblaciones

son explotadas y la captura es proporcional al stock corriente, obteniendo elsistema

Y� :

(dxdt = r

�1� x

K

�(x�m) x� s x2

x2 + a2 y � q1Exdydt =

�p x2

x2 + a2 � c�y � q2Ey

(2)

donde E = E(t) representa el esfuerzo de pesca, 0 < E < Emax y q1, q2 soncantidades positivas.El funcional objetivo, que representa el valor presente J de un �ujo de gana-

cias continuo en el tiempo, es dado por

J =

1Z0

� (x; y; E; t) e��tdt (3)

donde � es la tasa anual de descuento instantanea y

� (x; y; E; t) = p1q1Ex+ p2q2Ey � CE (4)

es el ingreso económico neto del pescador o renta percibida y es representadocomo la diferencia entre el ingreso total y el costo total asociado al esfuerzo depesca.

References

[1] L. Berec, E. Angulo and F. Courchamp, Multiple Allee e¤ects and pop-ulation management. Trends in Ecology and Evolution Vol. 22, 185-191.(2007).

[2] F. Brauer and C. Castillo-Chávez, Mathematical models in Population Bi-ology and Epidemiology, TAM 40, Springer.Verlag, (2001).

2

Page 17: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

[3] K. S. Chaudhuri. A bioeconomic model of harvesting a multispecies �shery,Ecol. Model., 32, 12 pp., (1986).

[4] C. Chicone. Ordinary di¤erential equations with applications, Texts in Ap-plied Mathematics 34, Springer, (1999).

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[9] E. González-Olivares, H. Meneses-Alcay and B.González-Yañez, Metastabledynamics in a Gause type predator-prey model considering Allee e¤ect onprey. in preparation, (2008).

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[12] A. Rojas-Palma, E. González-Olivares and B. González-Yañez. Metastabil-ity in a Gause type predator-prey models with sigmoid functional responseand multiplicative Allee e¤ect on prey. In R. Mondaini (Ed.) Proceedings ofInternational Symposium on Mathematical and Computational Biology,E-papers Serviços Editoriais Ltda. 295-321. (2007) .

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[14] P. A. Stephens, W. J. Sutherland, and R. P. Freckleton, What is the Alleee¤ect?, Oikos 87, 185-190. (1999).

[15] P. Turchin. Complex population dynamics. A theoretical/empirical syn-thesis, Mongraphs in Population Biology 35 Princeton University Press.(2003).

3

Page 18: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Análisis del modelo de depredación deHolling-Tanner modi�cado considerando unalimento alternativo para los depredadoresAnalysis of the modi�ed Holling-Tanner

predator-prey model considering an alternativefood for predator

Claudio Arancibia-Ibarra, Eduardo González-OlivaresGrupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas,

Ponti�cia Universidad Católica de Valparaíso.

Casilla 4059 Valparaíso, Chile

[email protected], [email protected]

http://ima.ucv.cl

julio 2009

1 Resumen

En este trabajo analizamos un modelo depredador-presa tiempo continuo asum-iendo que:i) la respuesta funcional es de tipo Holling II,ii) el crecimiento de los depredadores es de tipo logístico [4].Este último supuesto caracteriza a los modelos del tipo Leslie-Gower [1], en

los cuales la capacidad de soporte convencional de los depredadores es propor-cional a la abundancia de presas x = x (t), es decir, Ky = K(x) = nx, tal comoes asumida en el modelo de May-Holling-Tanner model [6, 5].Aqui, consderaremos que K(x) = nx + c, suponiendo que los depredadores

tienen un alimento alternativo cuando las presas disminuyen, esto es, cuandox! 0.El modelo es descrito por el siguiente sistema bidiemnsional de ecuaciones

diferenciales del tipo Kolmogorov [3]:

X� :

8<:dxdt =

�r�1� x

K

�� q

x+ay�x

dydt = s

�1 � y

nx+c

�y

(1)

1

Page 19: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

donde x = x(t) e y = y(t) indican los tamaños poblacionales de presas ydepredadores, respectivamente; � = (r;K; q; a; s; n; c) 2 R7+, y los parámetrostienen diferentes signi�cados ecológicos, pero a, m < K.Mediante una reparametrización y un reescalamiento del tiempo, obtenemos

el sistema

Y� :

�dud� = (u+ C) ( (1� u) (u + A)�Qv)udvd� = S (u+A) ( u+ C � v) v

(2)

que es topológicalmente equivalente al sistema(1) [2]; los puntos de equilibrioson (0; 0), (1; 0), (0; C) and Qe = (ue; ve), dependient de la intersección entrelas isoclinas v = u + C and v = 1

Q (1� u) (u + A); entonces el sitema puedetener uno, dos o ningún punto de equilibrio positivo.Uno de los principales objetivos es determinar la cantidad de ciclo límites

del sistema bifurcando de un centro-foco al interior del primer cuadrante.

2 Summary

In this work we analyze a continuous-time predator-prey model assuming that:i) the functional response or predator consumption rate is Holling type II or

hyperbolic [6], andiii) the growth of the predator population is of logistic form [4].This last assumption characterize the Leslie-Gower type models [1], in which

the conventional environmental carrying capacity Ky measuring their resources,is proportional to prey abundance x = x (t), that is Ky = K(x) = nx, such asis assumed in the May-Holling-Tanner model [6, 5].We will consider that K(x) = nx+ c, assuming that the predators have an

alternative food when the quantity of prey diminish, this is, when x! 0.The model is describe by the following bidimensional di¤erential equations

systems of Kolmogorov type system [3]:

X� :

8<:dxdt =

�r�1� x

K

�� q

x+ay�x

dydt = s

�1 � y

nx+c

�y

(1)

where x = x(t) and y = y(t) indicate the predator and prey populationsizes, respectively; � = (r;K; q; a; s; n; c) 2 R7+, the parameters have di¤erentecological meanings, but a, m < K.By mean of a reparameterization and time rescaling we obtain the polyno-

mial system

Y� :

�dud� = (u+ C) ( (1� u) (u + A)�Qv)udvd� = S (u+A) ( u+ C � v) v

(2)

which is topologically equivalent to original [2]; the equilibrium points are(0; 0), (1; 0), (0; C) and Qe = (ue; ve), which dependent of the intersection of

2

Page 20: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

the isoclines v = u+ C and v = 1Q (1� u) (u + A); then, the system can have

two, one, or none positive equilibrium point.One of the main objectives is establish the quantity of limit cycles bifurcating

of a center-focus at interior of the �rst quadrant.

References

[1] M. A. Aziz-Alaoui and M. Daher Okiye, Boundedness and global stabilityfor a predator-prey model with modi�ed Leslie-Gower and Holling-type IIschemes, Applied Mathematics Letters 16 (2003) 1069-1075.

[2] C. Chicone, Ordinary di¤erential equations with applications, Texts in Ap-plied Mathematics 34, Springer, 2006.

[3] H. I. Freedman. Deterministic Mathematical Model in Population Ecology.Marcel Dekker, 1980.

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[6] P. Turchin, Complex population dynamics. A theoretical/empirical synthe-sis, Mongraphs in Population Biology 35 Princeton University Press 2003.

3

Page 21: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Modelamiento Matemático y Análisis Dinámico del Proceso de Edición del ARN en Leishmania sp.

Autores

Andrés Florez1, Carlos Muskus1, Jairo Espinosa2, Luz Castellanos3, Diego A. Muñoz3

1Programa de Estudio y Control de Enfermedades Tropicales, PECET.

Universidad de Antioquia. 2Grupo de Automática, GAUNAL,

Universidad Nacional-sede Medellín. 3 Grupo de Investigación en Matemáticas, GMat.

Universidad Pontificia Bolivariana Correo electrónico: [email protected] Introducción La leishmaniasis es una enfermedad tropical que constituye un problema de salud pública debido a su alta morbilidad y que en la forma clínica visceral puede ser letal. Adicionalmente, no existen medicamentos seguros, ni vacunas efectivas [1]. El proceso de edición del RNA del kinetoplasto (kRNA) consiste en la modificación post-transcripcional mediante la inserción y/o delección de uracilos para generar transcritos funcionales [2]. Este proceso, además, no ocurre de la misma forma en el ser humano. Esto genera el interés de proteínas involucradas en este proceso como blanco de nuevos fármacos que puedan inhibirlo y por tanto eliminar al patógeno. La descripción de dicho proceso biológico puede ser expresada como el arreglo o acomodo de mecanismos y dinámicas para el procesamiento de materia y energía “cruda” con el fin de obtener un producto con especificaciones deseadas [3]. En tal sentido, si se dispone de un modelo que describa los mecanismos y dinámicas factibles para realizar el proceso, es posible usar dicho modelo para encontrar condiciones de operación del proceso, de modo que con esos valores se logre el producto deseado sin violentar las restricciones que el proceso mismo impone. Basado en la anterior premisa, se construye un modelo matemático del proceso de edición del RNA basado en el conjunto de reacciones que lo describen, con la intención de establecer el comportamiento dinámico de este. Adicionalmente se hace el análisis de sensibilidad para predecir posibles blancos de medicamentos, es decir, identificar los parámetros más susceptibles a las perturbaciones y que bloquen la generación del producto final que es el ARN mensajero editado. Con éste análisis se identificó una enzima responsable de una reacción muy sensible, y que se convierte en un blanco atractivo para un futuro desarrollo de medicamentos inhibidores. Cuando se aborda el análisis de un proceso biológico, aparece un grupo disponible de modelos diferentes, que van desde los simbólico simples

Page 22: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

(diagrama de bloques) hasta los matemáticos sofisticados (modelo dinámico del proceso basado en principios fenomenológicos). Tal evolución en la complejidad de la representación usada va de la mano con la complejidad de la tarea que se desarrolla y con lo cual se espera del modelo. En tal sentido, el modelo se plantea con una estructura basada en principios físicos utilizando parámetros determinados mediante experimentos de las cinéticas de reacción. Modelamiento y análisis A partir de una revisión extensa de la literatura se construyó un esquema cualitativo de las reacciones involucradas en el proceso y de las cuales existieran parámetros cinéticos determinados experimentalmente [4]. Con base en este esquema se construyó un modelo matemático basado en ecuaciones diferenciales ordinarias que representan cinéticamente las reacciones químicas involucradas. Las leyes cinéticas de las reacciones fueron asignadas de acuerdo a la literatura, donde 5 fueron asignadas como Michaelis-Menten irreversible y la restante por la ley de acción de masas. El análisis de sensibilidad para la detección de blancos moleculares se hizo realizando cambios en los vectores de parámetros y analizando las perturbaciones del modelo mediante los coeficientes de sensibilidad. El análisis de sensibilidad y las simulaciones fueron realizados utilizando el Toolbox de Matlab “SimBiology” [5]. Resultados Las simulaciones realizadas con el modelo demuestran una correspondencia con lo descrito en los datos experimentales de manera cualitativa, pues la información paramétrica es incompleta y no existen datos de perturbaciones experimentales del modelo que permitan su validación. El análisis de sensibilidad muestra que la reacción de unión del RNA guía (gRNA) con el RNA mensajero (mRNA) es la más susceptible a la perturbación con respecto al producto, lo cual sugiere a las proteínas MRP1/MRP2 como probables blancos. Estas predicciones serán refinadas en futuros proyectos que permitan la validación experimental del modelo. Referencias [1] Herwaldt, B.L., Leishmaniasis. Lancet, 1999. 354(9185): p. 1191-9. [2] Lukes, J., H. Hashimi, and A. Zikova, Unexplained complexity of the mitochondrial genome and transcriptome in kinetoplastid flagellates. Curr Genet, 2005. 48(5): p. 277-99. [3] Alvarez, H. and Muñoz D.A. About models of chemical processes and their use in control (In Spanish). Proceedings XII Latin-American Congress on Automatic Control, Salvador Bahía-Brazil, 2006. [4] Gao, G., et al., Functional complementation of Trypanosoma brucei RNA in vitro editing with recombinant RNA ligase. Proc Natl Acad Sci U S A, 2005. 102(13): p. 4712-7. [5] http://www.mathworks.com/products/simbiology/

Page 23: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Title

Mathematical modeling and dynamic analysis of RNA editing process in Leishmania sp.

Authors

Andrés Florez1, Carlos Muskus1, Jairo Espinosa2, Luz Castellanos3, Diego A. Muñoz3

1Programa de Estudio y Control de Enfermedades Tropicales, PECET.

Universidad de Antioquia. 2Grupo de Automática, GAUNAL,

Universidad Nacional-sede Medellín. 3 Grupo de Investigación en Matemáticas, GMat.

Universidad Pontificia Bolivariana Introduction Leishmaniasis is a tropical disease that constitutes a public health problem for its high morbidity and which can be fatal in the visceral form. In addition, there is lack of safe drugs and of an effective vaccine [1]. The process of kRNA edition in the kinetoplast (kRNA) consists of the posttranscriptional modification by the insertion and/or deletion of uracils for generating functional transcripts [2]. On the other hand, this process does not occur similarly in humans. This has raised the interest of studying this process for finding new potential drugs that can inhibit this process and therefore to remove the pathogen. The description of such biological process can be expressed by the arrangement of mechanisms and dynamics to process matter and energy with the intention to get a product with the desired specifications [3]. In this sense, if we have a process model describing the feasible mechanisms and dynamics, it is possible to use such model to find operation conditions, which can be obtained the desired product without violate the constraints that the process itself imposes. Based on the former premise, a mathematical model is constructed for the processing of the RNA edition in a set of reactions that best describe it, in order to set up the dynamical behavior of the process. Furthermore, the analysis of sensitivity is carried out to predict potential or candidate drug targets, in order to identify the most susceptible parameters to disturb the final product, the messenger RNA. With this analysis, an enzyme responsible of a very sensitive

Page 24: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

reaction was identified, which render it as an attractive drug target for future experimental evaluation. When the analysis of a biological process is studied, an available group of different models arise, span from the simple symbolism (diagram of blocks) to the mathematics sophisticated (dynamic model of the process supported in phenomenological principles). Such evolution in the complexity of the used representation is articulated with the complexity of the developed task and from which the model is expected. In this way, the model is proposed with a structure based on physical principles using specified parameters through experiments taken of the kinetics of reaction. Modeling and Analysis From an extensive literature revision, a qualitative scheme of the reaction involved was built taking into account that kinetic parameters experimentally determined were available [4]. From this scheme, a mathematical model was built based on ordinary differential equations, which kinetically represent, the chemical reactions involved. The kinetic laws of the reactions were assigned according to the literature, where 5 were assigned as irreversible Michaelis Menten and the remaining by the law of action of masses. The sensitivity analysis for molecular targets detection was made carrying out changes in the parameter vectors and analyzing the perturbations of the model through the sensivity coefficients. The sensitivity analysis and simulations were carried out using the toolbox of Matlab “SimBiology” [5]. Results The simulations carried out with the model show a correspondence with the experimental data described in a qualitative way, since the parametric information is incomplete and there are not data of experimental perturbations of the model that allow its validation. The sensitivity analysis shows that the joint reaction of the gRNA with the mRNA is the most susceptible to the perturbation regarding the product, which identified to the proteins MRP1/MRP2 as possible drug targets. These predictions will be refined in future projects that allow the experimental validation of the model. References [1] Herwaldt, B.L., Leishmaniasis. Lancet, 1999. 354(9185): p. 1191-9. [2] Lukes, J., H. Hashimi, and A. Zikova, Unexplained complexity of the mitochondrial genome and transcriptome in kinetoplastid flagellates. Curr Genet, 2005. 48(5): p. 277-99. [3] Alvarez, H. and Muñoz D.A. About models of chemical processes and their use in control (In Spanish). Proceedings XII Latin-American Congress on Automatic Control, Salvador Bahía-Brazil, 2006.

Page 25: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

[4] Gao, G., et al., Functional complementation of Trypanosoma brucei RNA in vitro editing with recombinant RNA ligase. Proc Natl Acad Sci U S A, 2005. 102(13): p. 4712-7. [5] http://www.mathworks.com/products/simbiology/

Page 26: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Modelamiento matemático del potencial larvicida de algunas especies de la

familia Asteracea frente a larvas de Aedes aegypti

Irene Duarte Gandica1, Oscar Alexander Aguirre Obando

2, Jorge Alberto Jiménez Montoya

3, Juan Carlos

Álvarez Londoño4

Los mosquitos son vectores de agentes causales de enfermedades humanas con gran

importancia, como es el caso del dengue, cuyo vector es el mosquito Aedes aegypti. El control

del vector con insecticidas en principio produjo resultados, pero debido a la resistencia a los

pesticidas, la contaminación ambiental y los altos costos, se hace necesaria la búsqueda de

alternativas de solución con menos riesgos, como lo es el control biológico, particularmente el

uso de extractos vegetales.

Este trabajo evaluó el potencial larvicida de extractos vegetales de algunas especies de la familia Asteraceae presentes en el Departamento del Quindío, Colombia, frente a larvas de tercero y cuarto instar de A. aegypti .Se recolectaron 24 especies , obteniendo extractos crudos etanólicos, analizados mediante marcha fitoquímica preliminar para la identificación de metabolitos secundarios. Estos extractos se concentraron para preparar diluciones de 1000, 500, 100, 10, 1 y 0,1 ul/L, que finalmente fueron evaluadas según protocolo estandarizado por la OMS. Las especies analizadas fitoquímicamente mostraron una presencia alta de alcaloides, terpenos, entre otros metabolitos secundarios. De las 24 especies evaluadas sólo algunas mostraron actividad biológica a 500 y 1000 ul/L, con mortalidades a las 48 horas del 100% de la población. Además, se calcularon las dosis CL 50 y 95 en 24 y 48 horas para todas las plantas analizadas.

Se escogieron las dos especies con más alta actividad biológica y en ellas se evaluó la

actividad biológica de alcaloides frente a larvas de A. aegypti. Para ello, se realizó un extracto

a partir de 500 gramos de peso. Se hizo una extracción líquido-líquido con solventes polares a

los alcaloides, estando en esta fase los alcaloides. Se realizó un análisis de confirmación del

contenido para proceder a la separación e identificación de fracciones de algunos de los

alcaloides presentes. Por medio de cromatografía de placa delgada (TLC),espectrofotometría

de infrarrojo (FT-IR ) y el uso de reactivos específicos se identificaron preliminarmente

fracciones de alcaloides, los que finalmente fueron evaluados en larvas de tercero-cuarto instar

de A. aegypti. Se determinó la susceptibilidad en las larvas, dando mortalidad de

aproximadamente 100% para la fase que contiene los alcaloides.

Posteriormente, se construyó un modelo matemático en ecuaciones diferenciales, que usó los datos arrojados por estos trabajos experimentales, para describir el comportamiento de las poblaciones.

1 Escuela de Investigación en Biomatemática, Universidad del Quindío, Cra.15 Calle 12 Norte. Armenia, Colombia.

[email protected]

2Licenciatura en Biología y Educación Ambiental, Universidad del Quindío, Cra.15 Calle 12 Norte. Armenia, Colombia.

[email protected]

3Maestria en Ciencias Biomédicas. Universidad del Quindío, Cra.15 Calle 12 Norte. Armenia,

[email protected]

4Programa de Biología, Universidad del Quindío, Cra.15 Calle 12 Norte. Armenia, Colombia. [email protected]

Page 27: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Mathematical model for the larvicidal potential of some species of the family Asteracea against larvae of Aedes aegypti

Irene Duarte Gandica

1, Oscar Alexander Aguirre Obando

2, Jorge Alberto Jiménez Montoya

3, Juan Carlos

Álvarez Londoño4

The mosquitos are vectors of causal agents of human diseases with great importance, as it is

the case of the dengue, which vector is the mosquito Aedes aegypti. The control of the vector

with insecticides at first produced results, but due to the resistance to the pesticides, the

environmental pollution and the high costs, there becomes necessary the search of alternatives

of solution by fewer risks, as it is the biological control, particularly the use of plant extracts.

This work evaluated the potential larvicidal of plant extracts of some species of the family

Asteraceae present in the Department of the Quindío, Colombia, against to larvas of third and

fourth state of A. aegypti, they gathered 24 species obtaining raw Ethanol extracts analyzed by

means of preliminary phytochemistry march for the identification of secondary methabolyts.

These extracts centered to prepare dilutions of 1000, 500, 100, 10, 1 and 0,1 ul/L, that finally

were evaluated according to protocol standardized by the WHO. The analyzed species

phytochemistry showed a high presence of alkaloids, among other secondary metabolits.The

24 species evaluated only some of them showed biological activity to 500 and 1000 ul/L, with

mortalities at 48 hours of 100 % of the population. In addition, the doses calculated LD 50 and

95 in 24 and 48 hours for all the analyzed plants.

We chose two species with the highest biological activity and are assessed the biological

activity of alkaloids against larvae of A. aegypti. To do this was performed extract from 500

grams in weight.

It was a liquid-liquid extraction with polar solvents for alkaloids and was performed the analysis

of the contents confirmation, with the separation and identification of fractions of some of the

present alkaloids. Through thin plate chromatography (TLC), infrared spectrometry (FT-IR) and

the use of specific reagents were identified preliminarily fractions of alkaloids, which were finally

evaluated in third-fourth larval instar A. aegypti. Susceptibility was determined in larvae, with

mortality of approximately 100% for the phase that contains the alkaloids.

A differential equations model was constructed in, which it used the information thrown by these

experimental works, to describe the behavior of the populations.

Page 28: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Modelos Matemáticos de la epidemia de Influenza Humana A(H1N1) de origen

porcino en el 2009 en México. Alavez Justino1, Gómez Guillermo2, Hernández Luis2,

López Jesús3, Vargas Cruz2 1UJAT, 2FC-UNAM, 3IM(Cuernavaca)-UNAM

[email protected]

Resumen Se reportará los resultados de dos tipos de modelación de la epidemia de

Influenza Humana A(H1N1) de origen porcino en el 2009 en México. El

primero se refiere a un modelo de tipo inglés en el que se estiman

parámetros y se estudia la estabilidad local y global de sus soluciones. El

segundo modelo está referido al modelo tipo soviético donde se logran

resultados a medio plazo prediciendo un total de 4 brotes epidémicos que

cualitativamente deberían aparecer durante su primer año de aparición.

Page 29: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Does density dependency inpredator-prey models with Allee e¤ect

create periodic oscillations?

Jaime Mena-Lorca1;Eduardo González-Olivares1, Jaime Mena-Lorca1;Pilar Carrasco Espinoza11Grupo de Ecología Matemática,

Instituto de Matemáticas,

Ponti�cia Universidad Católica de Valparaíso

[email protected]; [email protected]; [email protected]

Julio 2009

Abstract

El principal propósito de este trabajo es analizar la denso dependen-cia en modelos predador presa con efecto Allee en cuanto ella produce ono soluciones periódicas, para eso se hará un estudio comparativo entremodelos con denso dependencia y modelos sin denso dependencia, amboscon la población presa con efecto Allee. Ocuparemos modelos tipo Gausey Modelos tipo Leslie similares (con respuesta funcional y Allee) a losque se ha probado la existencia de soluciones periódicas, pero sin densodependencia. Las respuestas funcionales y la forma de modelar el efectoAllee que se ocupan en los nuevos modelos estudiados son las que más sonutilizadas en los trabajos del área.

Abstract

The central aim of this work is to analyze whether density dependencyin predator prey models with Allee e¤ect creates or not periodic solutions.To achieve this we will do a comparison among models with and withoutdensity dependency, in both cases prey population with allee e¤ect. Wewill use Gause and Leslie type models (with functional response and Allee)similar those where the existence of periodic solutions has been proved(except for the density dependency). The functional response and themanner used to model the Allee e¤ect used in the new models studied arethe most commonly used in this area.

Palabras claves: Efecto Allee, depredador-presa, ciclos límites.

1

Page 30: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

1 Introducción

En la literatura de relativa a predador-presa podemos encontrar una gran var-iedad de modelos, pero los más utilizados son los llamados modelos tipo Gausey los modelos tipo Leslie, cuya diferencia fundamental está en la forma que esmodelado en la ecuación de depredador el "input" que este logra como frutode la depredación sobre la presa. Una buen resumen del estado del arte enel caso modelos tipo Gause lo encontramos en [6], varios de estos modeloshan sido estudiado por González-Olivares con el grupo de ecología matemática([1],[2],[5],[3],[20],[4]), quienes se han dedicado últimamente al estudio de estetipo de modelos introduciendo el efecto Allee en la presas. Por otra parte unamuy buena referencia para modelos con efecto Allee lo tenemos en Courchamp[11], que corresponde a la visión que tiene el otro grupo que ha estudiado el efectoAllee desde una perspectiva más cercana a la ecología debido principalmente ala línea que desarrolla con su grupo y Berec [10], la misma visión la tenemos enlos trabajos de Stephens ([9],[8]). Otros que han abordado esta problemática,pero en una mirada más matemática, son Zhou and Wang ([18],[16],[17]). Sinduda hay otros trabajos que han cooperado en el entendimiento de este tipode modelos tanto en sus consecuencias ecológicas como matemática, ellos hanusado distintas formas de modelar estos procesos y la mayoría de ellos estáncitados por Berec o González-Olivares.En los modelos bidimensionales plasmados en ecuaciones diferenciales ordi-

narias, es claro que el hecho de poner denso dependencia en la ecuación de laspresas hace que se cree en el espacio de fase una región acotada por la capacidadde carga de presas que soporta el hábitat, que junto con la variedad inestableproducida por el efecto Allee podría de�nir una región acotada compacta, quejunto a otros elementos del modelos puede ayudar a generar soluciones per-iódicas. En este trabajo se estudian modelos sin denso dependencia, la regióncompacta invariante no se creará y por lo tanto la posibilidad de ciclos límitesno es factible como antes y de existir estos deberían provenir de otras causas.Este estudio de carácter teórico se hace en base al análisis comparativos de

modelos con denso dependencia y que tienen ciclos, creemos que el hecho que lapoblación de las presas puedan crecer sólo hasta cierto valor se conjugada conla respuesta funcional respectiva para obtener ciclos límites, es así que estudi-amos dos clases de modelos en donde el crecimiento de la población, despuésde superar el umbral Allee, es "tipo" exponencial, así tenemos los siguientesmodelos:TIPO GAUSE

G� :

8><>:dx

dt= r (x�m)x� x� (x) y

dy

dt= px� (x) y � �y

(Gause 1)

G� :

8><>:dx

dt= rx� rnx

x+b � x� (x) ydy

dt= px� (x) y � �y

(Gause 2)

2

Page 31: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

TIPO LESLIE

L� :

8><>:dx

dt= r (x�m)x� x� (x) y

dy

dt= s

�1� y

nx+q

�y

(Leslie 1)

L� :

8><>:dx

dt= rx� rnx

x+b � x� (x) ydy

dt= s

�1� y

nx+q

�y

(Leslie 2)

Donde x = x (t) e y = y (t) son el tamaño de la población de presas ydepredadores respectivamente para t > 0, los parámetros r;m; s; n; b; p; �; qtienen diferentes signi�cados ecológicos.La función h (x) = x� (x) es la respuesta funcional y satisface las siguientes

condiciones [12]:

� (x) � 0; �0 (x) � 0; (x� (x))0 � 0 y x� (x) es acotada cuando x!1 .

Se estudian analíticamente los modelos con las funciones genéricas dadasmás arribas, el estudio comparativo se hace con respuestas funcionales concretascorrespondiente a los modelos ya estudiados por González-Olivares et al.Se concluye que realmente estos modelos no tiene soluciones periódicas, a

diferencia de los modelos con efecto Allee estudiados anteriormente, esto quieredecir que para modelar situaciones en que se presente �uctuaciones periódicasse debe incluir otros elementos en el modelo que de cuenta de ellos, por ejemploel crecimiento no puede ser de "tipo" como los planteados en los modelos dearriba.

2 Referencias

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4

Page 33: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

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5

Page 34: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Una situación paradójica en que hay variables predictoras perfectas

de la presencia de una enfermedad pero el modelo falla

Elia Barrera Rodriguez, [email protected]; Flaviano Godínez Jaimes, [email protected]; Francisco Julian Ariza Hernandez, [email protected];

Ramón Reyes Carreto, [email protected], Unidad Académica de Matemáticas, Universidad Autónoma de Guerrero

Resumen

En epidemiologia es común que la presencia o ausencia de una enfermedad se trate de predecir a partir de una variable explicatoria o una combinación lineal de variables explicatorias. Si para valores de una variable explicatoria menores que una constante los individuos están sanos y para valores mayores que la constante están enfermos entonces la variable explicatoria predice perfectamente la presencia de la enfermedad. El modelo apropiado para modelar respuestas binarias es el de regresión logística. En presencia de una variable explicatoria perfecta el estimador de máxima verosimilitud del modelo de regresión logística produce resultados incorrectos. La colinealidad en las variables explicatorias es otro problema que puede presentarse en regresión logística binaria y cuyos efectos también pueden llevar a resultados erróneas. Ambos problemas causan que los estimadores sean sesgados y se presentan con más frecuencia cuando se utiliza el modelo de regresión logística en el análisis de microarreglos. En este trabajo se hace una revisión de los estimadores existentes en presencia de ambos problemas mediante simulación se comparan en función del sesgo y error cuadrático medio.

Page 35: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Influencia dos fatores intrınsecos e extrınsecos na dinamica da Colera

Rosangela Peregrina Sanchesa, Claudia Pio Ferreira1b e Roberto Andre Kraenkelc

a Programa de Pos Graduacao em Biometria, IBB, UNESP, Brasil

b Depto de Bioestatıstica, IBB, UNESP, Brasil

c Instituto de Fısica Teorica - IFT, UNESP, Brasil

A colera e uma infeccao intestinal aguda caracterizada por diarreia severa, cuja

distribuicao espacial abrange o sub-continente indiano, Asia, Africa e America Latina.

O agente etiologico e o Vibrio cholerae, o qual coloniza o intestino delgado e produz

uma enterotoxina responsavel pela doenca. Sem tratamento imediato um indivıduo

infectado podem morrer de desidratacao em questao de horas. O tratamento reduz o

numero de mortes para 1% dos casos diagnosticados. No entanto, 50% dos indivıduos

infectados sao assintomaticos e constituem uma importante fonte de infeccao.

A transmissao pode ocorrer de duas formas, pelo contato direto com o vibriao via

fezes contaminadas ou atraves do contato indireto com agua e/ou comida contaminada.

Nas regioes onde a colera e endemica, sua dinamica exibe um ou dois picos anuais com

pronunciada variabilidade inter-anual. A semelhanca de outras doencas endemicas, os

surtos de colera estao associados a sazonalidade, a deterioracao do meio ambiente, a

virulencia da bacteria e a imunidade do indivıduo. Portanto, a interacao entre esses

fatores determina a dinamica da colera em uma regiao especıfica.

Uma tarefa difıcil na prevencao desta doenca reside na concepcao de alternativas

de baixo custo que sao eficazes e sustentaveis. O controle classico engloba melho-

rias no sistema de saneamento, tratamento da agua e campanhas de divulgacao sobre

a transmissao da doenca, as quais ressaltam a importancia da higiene pessoal e ali-

mentar no controle da colera. V. cholerae resistentes ao tratamento por antibioticos

foram identificadas pela primeira vez no Mexico em 1991 e rapidamente se espalharam

pela America Central. Desde entao, resistencia bacterial se tornou um problema na

prevencao e controle da colera. Vacinacao constitue uma opcao real para o controle

da colera, entretando uma vacina efetiva e de baixo custo ainda nao foi desenvolvida.

Efeitos colaterias, baixa eficiencia, alto custo, existencia de bacterias resistentes e baixa

imunidade tornam as campanhas de vacinacao impraticaveis. Por ultimo, a tendencia

global do aumento de viagens para regioes endemicas para a colera consititue um risco

para a disseminacao desta doenca para outras regioes.

Um desafio impotante na epidemiologia da colera e explicar como os surtos podem

ser tao explosivos e, ao mesmo tempo, limitados ao ponto de epidemias ocorrerem

duas vezes ao ano. Alguns trabalhos associam este fato a estados hiper-infecciosos da

[email protected]

1

Page 36: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

bacteria, outros as infeccoes assintomaticas e outros a fatores climaticos. A possibili-

dade de que o V. cholerae possa sobreviver em ambientes aquaticos por meses ou anos,

em um estado viavel mas nao cultivavel, sugere ainda que o ambiente aquatico pode

agir como um reservatorio deste patogeno em regioes endemicas.

Neste trabalho e proposto um modelo de equacoes diferenciais ordinarias para a

dinamica de colera, com o objetivo de explorar e caracterizar o carater sazonal da

doenca e discutir possıveis mecanismos de controle.

2

Page 37: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Titulo: Análisis y Control de Bifurcaciones Estacionarias. M.C. David Baca Carrasco. 

Departamento de Matemáticas Universidad de Sonora 

[email protected] [email protected] 

 

Resumen. 

En los sistemas biológicos se presentan con mucha frecuencia diversos tipos de bifurcaciones, las cuales tienen  una  interpretación  de  acuerdo  al  modelo  que  las  presenta.  Por  otro  lado,  el  control  de bifurcaciones  se  refiere a  la  tarea de designar un  control que pueda modificar  las propiedades de  la bifurcación de un sistema dado, así como alcanzar algún comportamiento deseable en la dinámica. 

Los  objetivos  típicos  del  control  de  bifurcaciones  incluye  el  retraso  del  inicio  de  una  bifurcación inherente  introduciendo una nueva bifurcación en un valor de parámetro deseado; cambiando el valor del parámetro en un punto de bifurcación existente; modificando la forma o el tipo de una bifurcación en cadena; estabilizando una  solución bifurcada o  rama; monitoreando  la multiplicidad; amplitud y/o frecuencia de algunos ciclos  límite que emergen de bifurcaciones; optimizando el  funcionamiento del sistema cerca de un punto de bifurcación, o una combinación de alguno de estos objetivos.  

En el  trabajo que a  continuación  se presenta,  se hace un estudio  sobre el análisis y el  control de  las bifurcaciones  estacionarias:  silla‐nodo,  transcrítica  y  trinche.  Así  mismo,  se  presentan  algunas aplicaciones a modelos biológicos.   

Page 38: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Simulation of Calcium Oscillations and the Electrical Activity ofthe Pancreatic β Cells During an Oral Glucose Tolerance Test

Roberto Avila-Pozos 1, J. Azpiroz Leehan 2, H. Trujillo 2 and J.R. Godınez 2,∗

1. Area Academica de Matematicas y Fısica, UAEH, Pachuca, Hgo., MEXICO

2. Departamento de Ingenierıa Electrica, UAM-Iztapalapa, Mexico, D.F., MEXICO∗e-mail: [email protected]

Introduction

The Type 2 Diabetes Mellitus constitutes a serious problem of public health. For a precisediagnosis of the diabetes, a denominated Oral Glucose Tolerance test is made. DiabetesMellitus is diagnosed when the levels of the glucose concentration in the blood exceed acertain limit after ingesting a standard glucose load. This excess in the glucose concentrationin the blood is caused fundamentally by an insufficient liberation of the insulin, released bythe pancreatic β-cells. Electrophysiological studies of the β-cells have shown the mechanismsby which the insulin is secreted to the circulatory torrent. The β-cells store the insulin inpackages, and when the glucose concentration in blood arises, the insulin is released byexocytosis. So that the exocytosis process goes off is required as well of a pulsating elevationof the concentration of the intracellular Ca++ ([Ca++

i ]). The source of Ca++ comes fromthe extracellular medium, and enter to the β-cell via voltage dependent Ca++ channels[1, 6]. The pulsating elevation of the [Ca++

i ] in the β-cell is product of the burst of electricalactivity, that consists of action potentials over a depolarized plateau [2, 6]. The actionpotentials are generated by currents of Ca++ that increase the [Ca++

i ] [1, 7]. When theglucose concentration is in its basal level, the β-cells shown a resting potential withoutelectrical activity. The resting potential is mediated by K+ channels, such as the KATP

channels. KATP channels are open in absence of ATPi and they close on depending by theconcentration of intracellular ATPi ([ATPi]) [9]. When [glucose] in blood is increased, andintroduces into the β-cells causing an increase in the basal level of ATPi [1], which diminishesthe fraction of opened KATP channels, depolarized the cell [9]. This depolarization reachesa level threshold that generates burst of action potentials with the consequent pulsatingelevation of Ca++

i and insulin liberation [7]. Electrophysiological techniques have contributedto a detailed description of the voltage dependence and the kinetic of the ionic channels inthe β-cells, which has allowed to formulate equations that describe their behavior. Also,has been reported functions that describe the behavior of KATP channels with respect to[ATPi] [7]. Furthermore, experimental graphs offer information about the temporary courseof the increase on ATPi before an extracellular glucose load. In this work, we described thesimulation of the electrical activity of the β-cells induced during an oral glucose tolerance testin normal subjects. The model describes the glucose level in blood, the increase of associatedATPi, the burst of action potentials and the pulsating elevation of Ca++

i indispensable forthe liberation of insulin. The model reproduces experimental data at systemic and cellularlevel. The model predicts a basal level of optimal ATPi for a suitable electrical answer beforean extracellular glucose load. This could indicate that the alteration in the basal level ofATPi can be one of the mechanisms that generate Type 2 Diabetes Mellitus.

Page 39: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Methods

Simulations were developed in MatLab v.7 (The MathWorks, Inc.). For the quantitativedescription of [glucose] in blood during the oral glucose tolerance test, we used the modeldeveloped by Trujillo [8]. Mathematical model for the description of the electrical activityof the β-cells was taken from Godinez [6], that is a modified version of Chay [4, 3, 5] whichdescribes the electrical properties of the β-cells and also considere the changes in [Ca++

i ]. Tothis model, we incorporate the change in the membrane resistance generated by the action ofthe glucose, for which the mathematical description reported by Fridlyand [7] was used. Themodel completed when incorporating the increase of the ATPi according to the extracellularglucose levels, for which the data published by Ainscow [1] were used. To the experimentalgraph of the temporary course of the change in the basal level of ATPi that reports theseauthors, we fit an exponential function with time constant of 100 seconds.

Results

We simulate the electrical activity of a β-cells in absence of extracellular glucose (not shown);the membrane potential VM is greater than -50 mV and the concentration of Ca++

i was 150nM.

Fig 1A, shows the results obtained at the beginning of the OGTT after a glucose load. Att=0 with normal glycemia, the β-cells are silent but show a reduction in the resting potentialand increases the basal level of Ca++

i .

At t=60 min, when the maximum glucose is reached (Fig 1B), burst activity causes a depo-larization. Associated to this type of electrical activity, an increase in the Ca++

i is induced.The level average of the Ca++

i was increased and it was accompanied by oscillations at theend of each burst of action potentials.

Discussion

Several models have seen used to describe the electrical activity of pancreatic β-cells. Eachone of them makes emphasis in some topic related to some recent experimental finding. Nev-ertheless, there is not a model of the electrical activity and the changes in [Ca++

i ] in terms ofthe values of [glucose] in blood. The electrophysiological studies at cellular level report a de-polarization and increase in the electrical activity of the β-cells when increasing extracellularglucose. Our model reproduces these results. Due the importance of the oscillation of Ca++

i

in the pulsating insulin liberation, diverse mechanisms have seen proposed to explain thetransitory of Ca++

i . Our results indicate that the increase average of the ATPi induced byhiperglycemia, is the factor generates burst of action potentials and the oscillating increaseof the Ca++

i is product of the activation and inactivation of ionic channels. In addition, basal[ATPi] is critical for a suitable induction of the insulin release in response to an increase ofglucose.

Page 40: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Figure 1: A. Reduction of resting potencial (top), increase of Ca++i (bottom) due an increase in

blood glucose (5 mM) in oral glucose tolerance test at t=0 min. B. Burst of action potential (top),oscillations in Ca++

i (bottom) at maximum glycemia (15 mM), 60 min after a glucose load.

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Page 42: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Manejo óptimo de un recurso pesqueroconsiderando un área marina protegida

Jaime Huincahue-Arcos y Eduardo González-OlivaresGrupo de Ecología, Instituto de Matemáticas, Facultad de Ciencias

Ponti�cia Universidad Católica de Valparaíso

email: [email protected]; [email protected]

http://ima.ucv.cl

Julio 2009

1 INTRODUCCIÓN

En este trabajo analizamos el comportamiento de modelos determinista tiempocontinuo considerando la optimización del manejo de un recurso pesquero [3, 4].Se asume que la población está dividida en dos áreas separadas espacialmente:una parte de la población se desarrolla en una zona marina protegida (MPA)[2, 6, 11] y otra está en una zona donde se efectúa la pesca o explotación delrecurso en acceso abierto [5].Si se establece prohibición de explotación en el área protegida se transforma

en una reserva marina [12, 14, 17], la puede asumirse como un refugio de laespecie explotada [9, 16]. Si la población se reproduce sólo en la reserva marinase tiene un modelo fuente-sumidero, en el cual el área marina protegida se puedeconsiderar como la fuente y el área de explotación como un sumidero [1, 13].En este trabajo consideraremos que existe un �ujo de población sólo desde la

zona protegida hacia la zona de libre explotación, pero también podría consider-arse un �ujo en ambos sentidos, dejando de ser así un modelo fuente-sumidero.Uno de los objetivos del trabajo será la determinación de la política de

captura optimal de la industria pesquera considerando que se debe maximizarel valor presente de las ganancias netas de la industria.Se efectuarán comparaciones de los resultados obtenidos en modelos sin reser-

vas marinas o con los resultados obtenidos para modelos diferentes [1, 2, 6].

2 EL MODELO

El modelo a analizar es descrito por el sistema bidimensional de ecuacionesdiferenciales no lineales autónomo

1

Page 43: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

X� :

(dx1dt = r1

�1� x1

K

�x1 � m x1

x1 + ax1 � q1x1E1dx2dt = r2

�1� x2

L

�x2 +

m x1x1 + ax1 � q2x2E2

(1)

donde x1 = x1 (t) y x2 = x2 (t) son los tamaños poblacionales de las pobla-ciones fuente y sumidero, respectivamente, la función m (x1) = m x1

x1 + a es lafunción de migración, h (xi) = qixiEi con i = 1; 2, indica la función de capturao extracción y el crecimiento de la población explotada es del tipo logístico,dejando de ser un sistema del tipo Kolmogorov [7, 8].Los parámetros son todos positivos, o sea, � = (r1;K;m; a; q1; s; L; r2; q2) 2

R9+ y tienen diferentes signi�cados ecológicos.Si se considera q1 = 0, el sistema representa un modelo de reserva marina

en la cual no es permitida la pesca, mientras que si 0 < q1E1 < q2E2, el sistemarepresenta un modelo de extracción en áreas marinas protegidas, es decir, enla primera podría ser destinada a pesquería artesanal o de orilla, y la segundarepresentar una pesquería de alta mar, representando una pesquería no selectivadel recurso.

2.1 EL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

Para establecer la determinación de la política de captura optimal de la industriapesquera se buscará maximizar el valor presente de la industria descrito por elfuncional de costo o índice de desempeño [10, 15]

J =

Z 1

0

e��t� (x1; x2; E1; E2) dt (2)

donde� (x1; x2; E1; E2) = p1q1x1E1 � c1E1 + p2q2x2E2 � c2E2,

es la ganancia neta de la industria.Usando el Principio del Máximo de Pontryagin [3] se deberá obtener el

Hamiltoniano con el objeto de determinar la política optimal. Posteriormentese mostrarán algunas simulaciones para evidenciar los resultados obtenidos.

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3

Page 45: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Dinámica poblacional de Juniperus flaccida Schltdl., bajo condiciones contrastantes de perturbación. Demetrio Ayerde Lozada1 y Lauro López Mata2 1INIFAP. Campo Experimental Iguala. Km. 2.5 Carretera Iguala-Tuxpan, Iguala, Gro. [email protected]; 2Colegio de Postgraduados, Montecillo, Texcoco, Estado de México. El aprovechamiento de la madera y el apacentamiento han ocasionado diversos cambios en la estructura y dinámica poblacional de Juniperus flaccida Schltdl. Se desconoce si las condiciones actuales de manejo pueden poner en riesgo a estas poblaciones. El objetivo de este trabajo es construir un modelo matricial de proyección poblacional para simular diferentes escenarios potenciales de perturbación y manejo de J. flaccida. Se establecieron dos parcelas de una hectárea cada una en poblaciones bajo diferentes condiciones de perturbación. En un ciclo anual (2003-2004) se estimó el número total de individuos, altura total, diámetro a la altura del pecho (DAP) y fecundidad con base a ocho categorías de tamaño. Se calculó la densidad, proporción de sexos, supervivencia, crecimiento y fecundidad. Se construyó y probó un modelo matricial basado en ocho categorías de tamaño y se determinó la tasa de crecimiento poblacional (λ). Las densidades de las categorías de tamaño de las poblaciones estudiadas presentaron diferencias significativas. La proporción de sexos (machos:hembras) de los individuos adultos no presentaron diferencias significativas de una proporción teórica de 1:1 en la población bajo aprovechamiento de madera y apacentamiento pero sí se presentaron diferencias significativas en la población sin aprovechamiento de madera. Las frecuencias de mortalidad de individuos por categorías de tamaño presentaron diferencias significativas en ambas poblaciones. La tasa absoluta de crecimiento de los individuos adultos y su fecundidad fueron mayores en la población con mayor perturbación. Los valores de λ de 1.081 (población 1) y 1.046 (población 2) indican que J. flaccida bajo las condiciones actuales de manejo no presenta riesgos numéricos o demográficos importantes. Las permanencias en las categorías a la primera reproducción (población 1) y en las categorías reproductivas intermedias (población 2), fueron las fases de mayor importancia para el crecimiento poblacional (λ), respectivamente. Las diferencias encontradas en la estructura poblacional y en los parámetros demográficos de las poblaciones estudiadas son consecuencia de los disturbios. Las simulaciones de aprovechamiento selectivo de árboles, incendio superficial, aprovechamiento de conos y regeneración asistida pueden tener implicaciones prácticas para el manejo de J. flaccida.

ABSTRACT Selective logging and grazing have caused diverse changes in the structure and population dynamics of Juniperus flaccida. It is unknown if the current conditions of management can put in risk to these populations. The objective of this work is to build a matrix model population projection to simulate different potential scenarios of perturbation and management of J. flaccida. Two one-hectare parcels were settled down, each one in populations under different perturbation conditions. In an annual cycle (2003-2004) the total number of individuals was counted, the total height, diameter at breast height (DBH) and fecundity with base to eight size categories was registered. It was calculated the density, sex ratio, survival, growth and fecundity. A matrix model based on eight size categories was built and proved and population growth rate was determined (λ). The densities of the categories size of the studied populations presented significant differences. The sex ratio (males:females) of the adult individuals did not present significant differences of a theoretical proportion of 1:1 in the population under selective logging and grazing but significant differences were presented in the protected population. The frequencies of individual mortality for size categories presented significant differences in both populations. The absolute growth rate and fecundity were bigger in the population with more perturbation. Values of 1.081 (population 1) and 1.046 (population 2) indicate that J. flaccida under the current conditions of management doesn't present important numeric or demographic risks. The permanencies in the categories to the first reproduction (population 1) and in the intermediate reproductive categories (population 2) were the phases of more relevance for the population growth rate (λ), respectively. The differences found in the population structure and in the demographic parameters of the studied populations they are consequence of the disturbances. The simulations of selective extraction of trees, superficial fire, extraction of cones and reforestation can have practical implications for the management of J. flaccida.

Page 46: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Um modelo matemático para a evolução de doenças considerando aspectos de incertezas: aplicação à febre aftosa de bovinos

Maristela Missio1,

Matemática-Unidade de Dourados-UEMS,

CEP - 78.060-900, Dourados, MS.

e-mail: [email protected]

Laécio Carvalho de Barros2,

Departamento de Matemática Aplicada, IMECC, UNICAMP.

CEP - 13.083-970, Campinas, SP.

e-mail: [email protected]

Resumo

Um sistema de EDP para representar a dinâmica espaço-temporal de fenômenos

epidemiológicos é apresentado. Aspectos de incertezas são incluídos no modelo, dado que

estas são importantes para a evolução da doença [1]. Tendo em mente a febre aftosa, dois

tipos de incertezas são considerados: um é oriundo da falta de clareza nas fronteiras de

informações e o outro diz respeito à chance de ocorrência de eventos. O modelo é descrito por

um sistema do tipo SIR (Suscetível-Infectado-Recuperado) em que alguns parâmetros são

considerados incertos devido à fuzziness e/ou estocasticidade dos mesmos. Sistemas baseados

em regras fuzzy são utilizados para modelar a fuzziness enquanto modelos probabilísticos dão

conta da estocasticidades de tais parâmetros. Finalmente, simulações das soluções são

realizadas usando a teoria de elementos finitos combinada com métodos de Monte Carlo [2].

O segundo autor agradece à Fapesp (processo: 06/05920-7) e ao CNPq (processo:

307890/2006-6).

[1] E. Massad, N. Ortega, L. Barros, and C. Struchiner. Fuzzy Logic in Action: Applications in

Epidemiology and Beyond. Springer-Verlag Berlin, 2008.

[2] Missio, M. (2008). Modelos de EDP integrados Lógica Fuzzy e Métodos Probabilísticos

no tratamento de incertezas: uma aplicação na febre aftosa em bovinos. Tese de Doutorado,

IMECC, Unicamp, Campinas, SP.

Page 47: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

A mathematical model for the evolution of disease considering aspects of uncertainties:

application to foot and mouth disease in bovines

Abstract

A PDE system to represent the spatial-temporal dynamics of epidemiological phenomena is

presented. Aspects of uncertainty are included in the model, since these are important for the

evolution of the disease [1]. By considering the foot-two types of uncertainties are important:

one comes from the lack of clarity in the boundaries of information and the other relates to the

chance occurrence of events. The model is described by a system of type SIR (susceptible-

infected-recovered) in which some parameters are considered uncertain because of the

fuzziness and / or stochasticity of them. Systems based on fuzzy rules are used to model the

fuzziness while probabilistic models give account of the stochasticity of the parameters.

Finally, simulations of the solutions are carried out using finite element theory combined with

Monte Carlo methods [2].

Second author thanks FAPESP (process: 06/05920-7) and CNPq (process: 307890/2006-6).

[1] E. Massad, N. Ortega, L. Barros, and C. Struchiner. Fuzzy Logic in Action: Applications in

Epidemiology and Beyond. Springer-Verlag Berlin, 2008.

[2] Missio, M. (2008). Modelos de EDP integrados Lógica Fuzzy e Métodos Probabilísticos

no tratamento de incertezas: uma aplicação na febre aftosa em bovinos. Tese de Doutorado,

IMECC, Unicamp, Campinas, SP.

Page 48: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL NA PREDIÇÃO DO ESTÁGIO PATOLÓGICO DO CÂNCER DE PRÓSTATA

Maria José de Paula Castanho1, Fábio Hernandes, Angelita Maria de Ré,

Sandra Mara Guse Scós Venske [email protected]

Universidade Estadual do Centro-Oeste, UNICENTRO

Caixa Postal 3010, CEP 85015-430 Guarapuava – PR – Brasil

RESUMO

De acordo com a Organização Mundial de Saúde (WHO), o câncer de próstata é o segundo tipo mais comum de câncer, no sexo masculino, no mundo. A cirurgia proporciona um alto índice de cura quando o câncer está confinado na próstata. O objetivo deste trabalho é investigar o desempenho de diferentes técnicas de inteligência artificial na classificação de pacientes com câncer confinado ou não-confinado. Em 1997, Partin et al. [1] usaram uma combinação de exame clínico, nível de antígeno prostático específico e escore de Gleason da biópsia para predizer o estágio patológico do câncer de próstata. Utilizando um modelo de regressão log-linear, geraram nomogramas que apresentam a probabilidade de um indivíduo ter tumor confinado no órgão, penetração capsular, envolvimento de vesículas seminais ou envolvimento de linfonodos pélvicos. Tendo em vista que as variáveis utilizadas por Partin são subjetivas, a teoria dos conjuntos fuzzy é uma ferramenta apropriada para desenvolver um sistema de classificação [2]. Um sistema fuzzy contém quatro componentes: um processador de entrada que transforma variáveis reais em variáveis lingüísticas, descritas por funções de pertinência de conjuntos fuzzy; uma base de conhecimento que compreende um conjunto de funções de pertinência das variáveis de entrada e saída e uma base de regras do tipo “se-então”; um método de inferência baseado no modus ponens generalizado e um processador de saída que converte o resultado em um número real. Para o desenvolvimento deste sistema são utilizados dados de pacientes que se submeteram à prostatectomia radical no Hospital das Clínicas da Universidade Estadual de Campinas (São Paulo, Brasil). Utilizando estes dados, um algoritmo genético é implementado para ajustar regras e funções de pertinência do sistema fuzzy [3]. Uma outra opção para esta classificação é a utilização de redes neurais artificiais [4], por meio do algoritmo de backpropagation de aprendizado supervisionado. Nesta rede a camada de entrada é composta por três neurônios representando as características pré-cirúrgicas e a camada de saída com apenas um neurônio classificando o estágio do tumor. A rede é desenvolvida utilizando dois conjuntos de dados, selecionados aleatoriamente, para treinamento e validação. Com finalidade de apresentar ao médico um sistema que o auxilie na tomada de decisão será feita a comparação do desempenho dos sistemas desenvolvidos, genético-fuzzy e rede neural, com os nomogramas de Partin. Para isso, será utilizada a área sob a curva ROC [5].

ABSTRACT

Prostate cancer is the second most common cancer among men, claiming half a million lives each year worldwide, according to the World Health Organization (WHO).

Page 49: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

In prostate cancer, definitive therapy, like radical prostatectomy, is most effective when the cancer is organ-confined. The aim of this work is to investigate the performance of some artificial intelligence techniques in the classification of patients with confined or non-confined cancer. In 1997, Partin et al. [1] combined clinical classification, the level of prostate specific antigen and Gleason score from the biopsy to predict the pathological stage of prostate cancer. Multinomial log-linear regression was performed to elaborate nomograms that present the probability of a patient having organ-confined tumor, capsular penetration, seminal vesicles involvement, or pelvic lymph nodes involvement. Considering that the variables used by Partin are uncertain, the fuzzy set theory is an appropriate tool to develop a classification system [2]. A fuzzy system comprises four main components: an input processor that transforms real variables into linguistic ones described by membership functions of fuzzy sets; a knowledge base which contains both an ensemble of membership functions and an ensemble of “if-then” rules, known as rule base; an inference method based on generalized modus ponens; and an output processor that converts the result into a real number. This system is developed using the data of the patients submitted to radical prostatectomy at the Clinical Hospital of the State University of Campinas, (SP, Brazil). With these data, a genetic algorithm is implemented to tune the rules and membership functions in fuzzy system [3]. Another option is the use of artificial neural network to classify patients [4] by backpropagation algorithm of supervised learning. In this network the input layer is consisted of three neurons representing pre-surgical characteristics and in the output layer there is just one neuron classifying the tumor stage. The network is developed using two data sets randomly selected for training and validation. With the purpose of presenting a system to physicians, to help them in the prognosis of prostate cancer, the performance of developed systems, genetic-fuzzy and artificial neural network, will be compared to Partin nomograms. For this purpose, the area under Receiver Operating Characteristic (ROC) curve will be used [5]. REFERÊNCIAS: [1] PARTIN, A.W., KATTAN, M.W., SUBONG, E.N, WALSH, P.C., WOJNO, K.J., OESTERLING, J., SCARDINO P. and PEARSON, J. Combination of prostate specific antigen, clinical stage, and Gleason score to predict pathological stage of localized prostate cancer, JAMA 277(1997), nº 18, 1445-1451. [2] CASTANHO, M.J.P., BARROS, L.C., YAMAKAMI, A. and VENDITE, L.L., Fuzzy expert system: an example in prostate cancer, Appl. Math. Comput. 202 (2008), 78-85. [3] PEÑA REYES, C.A. and SIPPER, M., A fuzzy-genetic approach to breast cancer diagnosis, Artificial Intelligence in Medicine 17 (1999), 131-155. [4] HAN, M., SNOW, P.B., BRANDT, J.M. and PARTIN, A.W., Evaluation of artificial neural networks for the prediction of pathologic stage in prostate carcinoma, Cancer Supplement 91 (2001), nº 8, 1661-1666. [5] ZWEIG, M.H and CAMPBELL G., Receiver Operating characteristic (ROC) plots: a fundamental evaluation tool in clinical medicine, Clin. Chem. 39 (1993), nº 4, 561-577.

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Modelos matriciales en metapoblaciones de corales

Adriana Humanes1; Maria-Josefina Hernandez2

1 Postgrado en Ciencias Biológicas, Universidad Simón Bolívar, Caracas. 2: Instituto de Zoología Tropical, Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Resumen

En ambientes marinos se ha utilizado el enfoque metapoblacional en las últimas dos décadas para establecer medidas de manejo de poblaciones que han sido sobre-explotadas o que han sufrido mortalidades masivas. Sin embargo, el de modelos metapoblacionales para corales pétreos ha sido muy escaso, principalmente debido a la complejidad del ciclo de vida de estos organismos (animales coloniales con crecimiento indeterminado, tasas vitales relacionadas con la talla en vez de la edad, dos modos de reproducción sexual, etc.). Actualmente, en los arrecifes coralinos se han reportado mortalidades masivas a tasas alarmantes que señalan la necesidad de implementar planes de manejo basados en la conectividad de las poblaciones. En este trabajo desarrollamos un modelo metapoblacional para corales basado en un modelo de estructura de talla para la población local. Los parámetros del modelo fueron estimados de datos de dos poblaciones de Agaricia agaricites disponibles en la literatura. Para estimar el efecto de conexiones (migraciones) entre las dos poblaciones, se realizaron varias simulaciones comparando las tasas de crecimiento poblacionales y sus proyecciones bajo diversos escenarios (combinaciones de baja y alta fecundidad y tasas de migraciones bajo condiciones de calma y tormenta). Los resultados muestran que la migración de larvas sexuales entre las dos poblaciones pueden tener efecto rescate en la población sumidero cuando la migración es baja (10%). Sin embargo, cuando la migración es alta (90%) se compromete el futuro de las dos poblaciones y consecuentemente de la metapoblación. Adicionalmente se modelaron diferentes frecuencias de tormentas alternando matrices con los parámetros estimados para condiciones de calma y tormenta en la dinámica de la metapoblación. Los resultados muestran que bajo altas frecuencias de tormentas (al menos cada dos años) en poblaciones abiertas la metapoblación tiende a extinguirse. Estos resultados indican que bajo la presión del inminente cambio climático, donde la intensidad y frecuencia de las tormentas parece estar incrementando, las poblaciones coralinas abiertas pueden estar en riesgo.

Matrix models in coral metapopulations

Adriana Humanes1; Maria-Josefina Hernandez2

1 Postgrado en Ciencias Biológicas, Universidad Simón Bolívar, Caracas. 2: Instituto de Zoología Tropical, Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela, Caracas. In marine environments, metapopulation analyses have been done for populations that suffered massive mortalities or that have been overexploited, in order to take

Page 51: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

management decisions. However, the metapopulation approach has not been widely used in corals, in spite of being one of the most important reef builders organisms. This has been so because of the complexity of the life cycle of these animals (colonial organisms with indeterminate growth, vital rates related to size rather than age, two modes of sexual reproduction, etc). Today, coral reefs are facing massive mortalities at an alarming rate that highlights the necessity of implanting management plans based on the connectivity of populations. In this work we developed a metapopulation model for corals based on size structured models for the local populations. The parameters of the model were estimated from data of two populations of Agaricia agaricites in the literature. In order to test the effect of possible connections (migrations) between the two populations, various simulations were done comparing population growth rates and projections under several scenarios (combinations of high and low fecundities and migration rates, under calm or storm conditions). The results show that the migration of sexual larvae between the two populations can have a rescue effect on a sink population when migration is low (10%). However, when migration is high (90%) it can compromise the future of the two populations and consequently of the metapopulation. Different storm frequencies were also modeled alternating matrices with parameters estimated for calm and storm conditions in the metapopulation dynamics. Results showed that under high storm frequencies (at least every two years) in open populations the metapopulation tends to extinction. This results indicate that under the pressure of the imminent climate change, where storm frequencies and intensities seem to be increasing, open coral populations may be at risk.

Page 52: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

El papel de los Inhibidores en Modelos de CrecimientoBacterial

Brenda Tapia-SantosUniversidad Veracruzana

[email protected], [email protected]

La existencia de microorganismos resistentes a la exposicion de antibioticos es unfenomeno creciente que ha atraıdo la atencion de los cientıcos. Dicha resistencia se debe,principalmente, a que el uso de antibioticos produce alteraciones en la ecologıa naturalde los microorganismos; trayendo como consecuencia, el surgimiento de nuevos y diversostipos de bacterias; o bien, ocasionando que los organismos originales presenten variantesresistentes a las drogas. El problema no solo se traduce en el surgimiento de nuevos mi-croorganismos resistentes, sino en como estos afectan el ambiente y la dinamica de losorganismos que originalmente se encontraban ahı; generando comportamientos de com-petencia. En la literatura se pueden encontrar diversos modelos de competencia entredos o mas especies, entre los que se encuentran los estudiados por Waltman. En estosmodelos, Waltman considera dos tipos de bacterias, sometidos a la presencia de un inhi-bidor o antibiotico; una de las bacterias es considerada sensible a este y la otra resistenteal mismo. Sin embargo, ninguna de las bacterias surge a partir de la otra como conse-cuencia del efecto del inhibidor, es decir, estos modelos consideran que las bacterias sonindependientes una de la otra.

Considerando lo anterior, en esta platica se presentaran dos modelos que describenla dinamica entre tres bacterias compitiendo por una misma fuente de nutriente, en unmedio sometido a la presencia de un inhibidor. Una de las bacterias (bacteria silvestre) esconsiderada sensible a este y las otras dos surgen de la primera como consecuencia de dostipos de resistencia: Mutacion y cambios en el fenotipo. En la construccion del modelose supondra que, debido a la evidencia cientıca existente, una fraccion de las bacteriasfenotıpicamente diferenciadas de las silvetres nacen sensibles al inhibidor y otra fraccionlo hace siendo resistentes al mismo.

Se analiza el modelo y se encuentra que en aquel caso donde el inhibidor es externoes posible la eliminacion de la bacteria silvestre siempre y cuando las bacterias fenotıpi-camente diferenciadas nazcan en su totalidad resistentes al mismo.

1

Page 53: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Captación temporal y abastecimiento de semilla silvestre de la ostra perlera Pteria sterna (Gould 1851) durante el año 2009 en la Bahía de Santa Lucia, Acapulco, Gro. México. Mirtha Yanet Vargas Galeana y Ma. Guadalupe Torres Zepeda Unidad Académica de Ecología Marina, Universidad Autónoma de Guerrero Av. Gran Vía Tropical No. 20. Fraccionamiento las Playas. CP 39390 Acapulco, Gro. [email protected] RESUMEN En el desarrollo de la tecnología del cultivo e inducción a la formación de perlas, en los bivalvos conocidos como ostras perleras, para su aplicación productiva en Guerrero, las estrategias de colecta y abastecimiento de semilla como aspectos iniciales y básicos, requieren del conocimiento de factores ambientales, del diseño de colectores, sitios adecuados de colecta, temporadas de desove, temperatura y profundidades de fijación entre otros. El presente estudio tuvo como objetivo principal emplear los elementos ya estudiados en un sitio de captura identificado, buscar un nuevo sitio de captura y abastecer de semilla un proyecto de tres años de duración. Se colocaron dos líneas de cable de polipropileno en posición vertical con unidades de colecta a diferentes profundidades en dos sitios, con tres repeticiones por profundidad y dos materiales diferentes (costal cebollero y malla sombra) durante la temporada de colecta, (febrero a julio del 2009). Estos colectores permanecieron en inmersión de 60 a 65 dias después de los cuales fueron retirados, la semilla de la ostra recuperada fue contabilizada por profundidad y tipo de colector y se registró su talla midiendo la altura de la concha. También se registraron los principales depredadores potenciales pertenecientes a los grupos de cangrejos braquiuros y anomuros, así como gasterópodos y temperatura como parámetro ambiental. Se analizó la abundancia de la captura a diferentes profundidades y la influencia de la profundidad en las tallas de la semilla cosechada a través de análisis de varianza parámetricos y no parámetricos según el tamaño de la muestra y de su comportamiento con respecto a una distribución normal empleando la prueba de Kolgomorov-Smirnof. Se emplearon los programas de estadistica y Excel. La fijación de semilla inició en febrero, continuando hasta el mes de junio en el que presentó un máximo en abundancia para desaparecer de los colectores el mes de julio. El mes de mayor abundancia, en la estación UNICAP, la captación de semilla fue mayor en el colector elaborado con costal cebollero con respecto al de malla sombra, sin embargo el estadístico no paramétrico de Kruskall wallis no indica diferencias significativas. La mayor fijación se dio a la profundidad de 12 m y la semilla mas pequeña se observó a la mayor profundidad sin embargo el estadístico anova no indica diferencias significativas. El mayor número de semilla muerta se presentó a diferentes profundidades dependiendo del tipo de colector y estación de captura. La abundancia promedio en fijación de semilla el mes de mayor abundancia (junio) fue de 236 semillas por unidad colectora, mientras que en un estudio previo (2001) la mayor captura se obtuvo en mayo con un promedio de 127 juveniles de ostra por unidad colectora.

Page 54: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

ABSTRACT The development of the technology of the crop and induction to the formation of pearls, in  the  bivalve  known  as  pearl  oysters,  for  its  productive  application  in  Guerrero,  the strategies  of  collection  and  supply  of  seed  as  initial  aspects  and  commodities,  require knowledge of environmental factors, the design of collectors, suitable sites for collection, seasons of spawning and depths of fixing among others. This study had as its main objective employ the elements already studied at a site of identified catch, find a new catch site and supply of seed a draft three years of duration  Two  polypropylene  lines  were  placed  in  vertical  position  with  units  of  collections  at different depths at two sites, with three repetition by depth and two different materials (onion bags and shadow mesh) during  the season of collection,  (February  to  July 2009). These collectors remained in immersion of 60 to 65 days after which were withdrawn, the seed of the oyster recovered were accounted for depth and type of collector and recorded his  stature  measuring  the  height  of  the  shell.  There  were  also  accounted  the  main potential  predators  belonging  to  groups  of  braquiuros  and  anomuros  crabs,  as well  as gastropods and temperature as environmental parameter.  Analyzed the abundance of the catch at different depths and the influence of the depth in 

the sizes of the seed harvested through analysis of variance parámetricos and not 

parámetricos according to the size of the sample and behavior with respect to a normal 

distribution using the test of Kolgomorov‐Smirnof. Employed the statistica programs and 

excel. 

 The  fixing  of  seed  began  in  February,  continuing  until  the  month  of  June  in  which introduced a maximum in abundance to disappear from the collectors the month of July. The month of greater abundance, in the station UNICAP the collection of seed was greater in  the  developed  with  onion  bags  with  respect  to  the  shadow  mesh,  however,  the statistical not parámetrico of Kruskall wallis does not  indicate significant differences. The largest fixing was given to the depths of 12 m and the seed smaller was observed to the greater depth however the statistical ANOVA does not indicate significant differences. The largest number of seed  lifes was presented at different depths depending on the type of collector and station of capture  The abundance average in fixing of seed the month of greater abundance (June) was 236 seeds  per  unit  collecting,  while  in  a  preliminary  study  (2001)  the  greatest  catch  was obtained in May with an average of 127 juveniles of oyster per unit collecting. 

Page 55: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Modelo matemático del proceso mecanobiológico de reparación del ligamento

Rosy Paola Cárdenas Sandoval* Liliana Mabel Peinado Cortés Diego Alexander Garzón Alvarado

* National University of Colombia Carrera 30 N°45-03 Edificio 407 [email protected]

ABSTRACT: Coagulation, inflammation, proliferation and remodelling are the stages performed in the

wound healing in connective tissues injured, one of these is the ligament. The wound healing depends of biological and mechanical manifold factors, they release key elements and stimulate the right fibers organization. The aim of this work is to provide a mathematical model based in hyperelasticity equations of the continuum mechanics for to describe the biological changes and the mechanotransduction process happened in the ligament wound healing when it is subjected to mechanical load. The model proposed is solved using the finite elements method. The results obtained simulate the ligament answer in the remodeling phase in presence of mechanical loads, which is to enlarge the cellular and extracellular size components, increase the fibroblast proliferation, collagen production and other proteins, and the formation of the new fibers net, more homogeneous and mostly dense. This model offers a biological and mechanical framework about the effect of the tension load in the ligament wound healing for the health care professionals that make use of the mechanical loads prescription as tool’s work.

RESUMEN: Coagulación, inflamación, proliferación y remodelación, son las fases llevadas a cabo en el

proceso de reparación en la mayoría de los tejidos conectivos lesionados, uno de ellos es el ligamento. La cicatrización de este tejido depende de múltiples factores biológicos y mecánicos, los cuales estimulan la síntesis de componentes claves en la reparación y la organización correcta del ligamento. El objetivo de este trabajo es proporcionar un modelo matemático fundamentado en las ecuaciones de hiperelasticidad de la mecánica de medio continuo para describir los cambios biológicos y los mecanismos de mecanotransducción ocurridos en el ligamento en reparación cuando está sometido a carga mecánica. El modelo propuesto está resuelto mediante el método de elementos finitos. Los resultados obtenidos simulan la respuesta del ligamento ante cargas mecánicas en la etapa de remodelación, es decir, incremento en el tamaño de los componentes celulares y extracelulares del tejido, aumento de la proliferación de fibroblastos, producción de colágeno y otras proteínas, y la formación de una nueva red de fibras más homogénea y densa. En conclusión, este modelo ofrece un marco de referencia mecánico y biológico, del efecto de la carga de elongación en la reparación del ligamento, útil para los profesionales de las ciencias de la salud que utilizan la prescripción de cargas mecánicas como herramienta de trabajo.

Page 56: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

MODELO MATEMÁTICO DE LA COAGULACIÓN: APLICACIÓN EN UN IMPLANTE DENTAL

MATHEMATICAL MODEL OF THE COAGULATION: A DENTAL IMPLANT APPROACH

Juan C. Vanegas A., Nancy S. Landinez P., Diego A. Garzón A. Grupo de Modelado Matemático y Métodos Numéricos GNUM.

Carrera 30 No. 45-03, Edificio 407, Oficina 103. Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia

E-mail: [email protected]

RESUMEN La inserción de un implante, como por ejemplo un implante dental en el hueso maxilar, causa una lesión en el organismo vivo. La recuperación tisular tras una lesión de este tipo inicia con la formación de un coágulo de fibrina que detiene el flujo de sangre y actúa como soporte inicial para las células encargadas de restaurar los tejidos averiados. En el caso del implante dental, la adecuada formación del coágulo de fibrina determina la conexión directa y estable entre el hueso y el implante en un proceso conocido como oseointegración. El objetivo del presente trabajo es presentar un modelo matemático de la coagulación aplicado a implantes dentales basado en dos ecuaciones de reacción-difusión que representan la reacción cinética encargada de producir la fibrina y una ecuación de transformación que representa la formación de la red de fibras que compone el coágulo. Se incluye un parámetro asociado a la concentración de plaquetas en sangre que permite extender el alcance del modelo al análisis de dos desórdenes hematológicos conocidos: trombocitosis y trombocitopenia. Adicionalmente, se han realizado ensayos experimentales conducentes a caracterizar morfológicamente diferentes superficies de implantes dentales a partir de lo cual se ha establecido y modelado la influencia de la superficie del implante en la formación de la red de fibrina. La solución del modelo se realiza mediante el método de los elementos finitos obteniendo como resultado la distribución de patrones espacio-temporales en una sección de la interfase creada entre el hueso maxilar y el implante dental. Aunque el modelo es una versión simplificada del proceso biológico de la coagulación, los resultados obtenidos justifican la formulación matemática implementada ya que concuerdan cualitativamente con resultados experimentales y numéricos previamente reportados por otros autores.

ABSTRACT

The insertion of an implant, as for example a dental implant inserted in the jaw bone, causes an injury in the living organism. The recovery of the damaged tissues in a lesion of this kind begins with the formation a fibrin clot that detains the blood loss and acts as initial support for the cells involved in the tissue restoration. In the case of a dental implant, the adequate formation of this clot determines the direct and stable connection between the bone and the implant in a process known as osseointegration. The aim of this work is to introduce a mathematical model of the coagulation applied to dental implants based on two reaction-diffusion equations representing the kinetic reaction that leads to the production of fibrin and a transformation equation representing the formation of the fibrillar network compounding the clot. The model includes a parameter associated to the blood platelets concentration that extends the model framework to the analysis of two hematological disorders well reported: thrombocytosis and thrombocytopenia. In addition, we have performed experimental assays in order to morphologically characterize different dental implants surfaces form which we have described and modeled the influence of the implant surface in the fibrin clot formation. The solution of the model is performed using the finite element method, obtaining as results the distribution of spatial-temporal patterns in the interface created between the host bone and the dental implant. Although the model is a simplified version of the biological process of coagulation, the results here obtained justify the mathematical formulation implemented since they are in qualitative concordance with experimental and numerical results previously reported by other authors.

Page 57: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Modelado la inmunologıa celular de la Tuberculosis

Eduardo Ibarguen Mondragon

Unam, Mexico-Udenar, Colombia

Marıa de Lourdes Esteva Peralta

Unam, Mexico

Resumen

Nosotros formulamos un modelo para describir la dinamica del Mycobacterium tuberculosis (Mt)

considerando solamente cuatro poblaciones: macrofagos no infectados, macrofagos infectados,

celulas T y Mt. Nuestro objetivo es capturar los rasgos esenciales del fenomeno, tratando de

simplificar el gran numero de variables involucradas en los mecanismos inmunologicos inducidos

por el Mt. Mientras que nuestro modelo es demasiado simple en comparacion con la complejidad de

la respuesta inmune del Mt, el modelo presenta predicciones interesantes, ademas los resultados del

modelo reproducen basicamente la respuesta celular. La dinamica del modelo se da en terminos del

numero reproductivo basico R0, un umbral que se ha utilizado ampliamente en la comprension de

la persistencia de las infecciones bacterianas o virales en individuos. El analisis del modelo revela

la existencia de dos equilibrios: el equilibrio libre de la infeccion en el cual la infeccion bacteriana

es eliminada, y el equilibrio endemicamente infectado. Dependiendo de la cantidad de bacterias,

este estado podrıa representar un estado de latencia o de infeccion activa.

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Page 58: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Dinamica de la Enfermedad del Virus del Oeste del Nilo

Lourdes Esteva∗, Gustavo Cruz, Cristobal Vargas

∗ Departamento de Matematicas, Facultad de Ciencias-UNAM

[email protected]

El Virus del Oeste del Nilo (VON) es un flavivirus que se mantiene en la natu-raleza a traves del ciclo de transmision mosquito-ave-mosquito. Los humanos,caballos y probablemente otros vertebrados son hospederos circunstrancialeslos cuales pueden ser infectados a traves de la picadura de un mosquito, perono son capaces de transmitir la infeccion.

En esta platica exponemos un modelo matematico para el estudio dela dinamica de la transmision del VON entre mosquitos y aves. Encon-tramos el numero reproductivo basico R0 en terminos de los parametrosepidemiologicos y demograficos, y usando datos experimentales y de campoestimamos dicho numero para algunas especies de aves relevantes en el pro-ceso de transmision. Extendemos el modelo para n especies de aves queinteractuan con una especies de mosquito con el objeto de investigar lascondiciones para un brote epidemico en un ambiente donde coexisten variasespecies de aves. Encontramos que la ocurrencia de dicho brote depende delpromedio del numero reproductivo basico de cada especie de aves ponderadocon respecto a la proporcion de su poblacion relativa a la poblacion total deaves.

Por ultimo, investigamos el impacto de las variaciones estacionales so-bre la dinamica de la infeccion por VON. Estamos interesados en la gen-eracion de nuevos picos epidemicos a partir de una situacion de equilibrioendemico. En algunos casos, las oscilaciones generadas por la estacionalidaden la dinamica de la enfermedad son muy pequenas para ser claramente ob-servables. Sin embargo, la relacion de la estacionalidad con las oscilacionesepidemicas naturales pueden generar grandes brotes a traves del mecanismode resonancia parametrica. Usando datos experimentales presentamos casosespecıficos donde se observa ese fenomeno.

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Page 59: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Dynamics of West Nile Virus Disease

West Nile virus (WNV) is a mosquito-borne flavivirus which is maintainedin nature in a mosquito-bird-mosquito transmission cycle. Humans, horsesand probably other vertebrates are circumstantial hosts; that is, they can beinfected by an infectious mosquito but they do not transmit the infection.

In this talk we formulate and analyze a mathematical model for the dy-namics of WNV infection between mosquito and avian population. We findthe basic reproductive number R0 in terms of measurable epidemiological anddemographic parameters. Using experimental and field data we estimate R0

for several species of birds relevant for the transmission process. We extendthe model for n species of birds interacting with one species of mosquito inorder to investigate the conditions for an outbreak in a multi species environ-ment. We find that the prevalence of the disease depends of the average ofthe basic reproductive number of each bird species ponderated with respectthe ratio between its population and the total population of birds.

We investigate the impact of seasonal variations on the dynamics of WNVinfection. We are interested in the generation of new epidemic peaks startingfrom an endemic state. In many cases, the oscillations generated by season-ality in the dynamics of the infection are too small to be observable. Nev-ertheless the interplay of this seasonality with the epidemic oscillations cangenerate important outbreaks through a mechanism of parametric resonance.Using experimental data we present specific cases where this phenomenom isobserved.

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Page 60: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

A FUZZY RULE-BASED MODEL FOR ENVIRONMENTAL POLLUTION USING MAGNETIC PARAMETERS AND HEAVY METAL CONTENTS: A CASE STUDY FROM

ANTARCTICA Mauro A.E. Chaparro1, Marcos A.E. Chaparro2, Ana M. Sinito2

1 Instituto Multidisciplinario de Ecosistemas y Desarrollo Sustentable (UNCPBA)-CONICET, Pinto

399, B7000GHG Tandil, Argentina. E-mail: [email protected] 2 Instituto de Física Arroyo Seco (UNCPBA)-CONICET, Pinto 399, B7000GHG Tandil, Argentina.

E-mail: [email protected]

Resumen Desde los años 80, la contaminación se convirtió en un tema del interés cada vez mayor y la comunidad científica fue consciente de las consecuencias de la contaminación. Se hicieron necesarias técnicas de monitoreo que fueron aportadas por distintas disciplinas científicas. Aunque la contaminación antropogénica urbana o industrial se puede estudiar por métodos geoquímicos (siendo estos muy costoso y laboriosos), los estudios magnéticos constituyen una herramienta alternativa para los estudios de la contaminación. En particular, en trabajos previos (por ej. Chaparro et al., Environ. Geol. 54: 365–371, 2008), se realizaron análisis estadísticos, univariados y multivariados, revelando una relación entre variables magnéticas y químicas. En este trabajo, presentamos un sistema de inferencia difuso para la construcción de un modelo de contaminación en suelos. El modelado basado en la teoría de conjuntos y técnicas de inferencia difusa es una herramienta matemática adecuada para esta problemática. La base de datos utilizada comprende variables magnéticas y químicas; las muestras de suelo utilizadas fueron tomadas de la base Marambio en Antártida (64º14’S; 56º37’W). El conjunto de datos comprende muestras no contaminadas, moderadas y contaminadas. Para este trabajo de un conjunto de nueve variables magnéticas y siete químicas, seleccionamos las variables mas relevantes, variables dependientes de la concentración magnética: (χ) susceptibilidad magnética y magnetización remanente anhistérica (ARM); variables dependientes de las características magnéticas: κARM/κ-ratio y S-ratio; y una variable química: el índice de Tomlinson PLI (índice de contaminación). El modelo fue testeado usando el coeficiente de bondad de ajuste (R2=0.91), indicando un muy buen ajuste entre los datos y los valores estimados por el modelo. Abstract Since the 1980s, pollution became a subject of increasing interest and the scientific community was aware of pollution consequences. There was a need for monitoring techniques that was approached by several fields of research. Although the man-made contribution of heavy metal can be studied by careful geochemical methods (time-consuming, laborious and costly), magnetic monitoring constitutes an alternative tool for pollution studies. In particular, in our previous studies (e.g. Chaparro et al., Environ. Geol. 54: 365–371, 2008), several statistical analyses were performed, univarite and multivariate techniques, revealing a link between magnetic and chemical variables. In this contribution, continuing the above-mentioned pollution studies, we report on a fuzzy rule-based system (FRBS) in order to model pollution in soils. Modelling based on fuzzy set theory and inference techniques seems to be an adequate mathematical tool for this problematic. The used dataset (n= 46) comprises magnetic and chemical variables; and the soil samples were collected in Marambio station from Antarctica (64º14’S; 56º37’W). The dataset comprises unpolluted, moderately and polluted samples. For this work, we selected, on a set of nine magnetic variables and seven chemical variables, the following relevant variables, magnetic concentration variables: mass-specific magnetic susceptibility (χ) and anhysteretic remanent magnetisation (ARM); magnetic features-dependant variables: κARM/κ-ratio and S-ratio; and a chemical variable: the Tomlinson pollution load index PLI (a composite index using Cr, Ni, Cu, Zn and Pb). The model was test using a fitting goodness coefficient (R2=0.91), indicating a very good fitting between data and model.

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Efecto del uso de refugio por parte de las presasdependiente de los tamaños poblacionales en un

modelo simple de depredaciónE¤ect of prey refuge use dependent of bothpopulations sizes in a simple predator-prey

model

Ruth Becerra-Klix, Sebastián Valenzuela-Figueroa, Eduardo González-OlivaresGrupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas, Facultad de Ciencias

Ponti�cia Universidad Católica de Valparaíso

Casilla 4950, Valparaíso, Chile

email: [email protected], valenzuela [email protected], [email protected]

http://ima.ucv.cl

julio de 2009

1 RESUMEN

Uno de los rasgos de comportamiento más relevantes que afectan la dinámicade un sistema depredador-presa es el uso de un refugio espacial por parte delas presas. Se de�ne como refugio un lugar físico en el cual la presa vive o seesconde temporalmente [11], y donde los depredadores tienen poca o ningunaoportunidad para matar la presa. De acuerdo a Taylor [15] las diferentes clasesde refugio pueden ser clasi�cadas en tres tipos:a) aquellos que proveen una protección espacial permanente para un sub-

conjunto pequeño de la población de presas.b) aquellos que proveen una protección espacial temporal, yc) aquellos que proveen un refugio temporal a una cantidad, i. e., decrece el

riesgo de depredación al incrementar la abundancia de presas vulnerables.Ha sido común en Dinamica Poblacional a�rmar que el uso de refugio por una

parte de la poblacion de presas tiene un efecto estabilizante en la interaccion,cuando se consideran modelos deterministas tiempo continuo para describir lainteraccion presa-depredador [10, 12, 13].Esta a�rmacion se puede comprobar al describir esta interaccion usando el

modelo de Lotka-Volterra, y asumiendo que la cantidad de presas en refugio xres proporcional a la cantidad total de la poblacion es decir, xr = �x, o bien,

1

Page 62: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

cuando la poblacion que se encuentra a cubierto es una cantidad �ja, esto esxr = � [7].Estos resultados tambien se pueden extender cuando se considera que la

poblacion de presas tiene un crecimiento autoregulado, es decir, el crecimientode presas es descrito por la ecuacion logistica [3]. En tales casos existe un unicopunto de equilibrio positivo o en el interior del primer cuadrante que es globalasintoticamente estable [2, 6], lo cual se puede comprobar utilizando una funcionde Liapunov [1, 4, 9].En [5] el efecto del refugio por parte de la poblacion de presas ha sido estudi-

ado en el modelo de depredación de Rosenzweig-McArthur, donde se demuestraque para ciertas condiciones en los parámetros el refugio produce comportamien-tos oscilatorios en las poblaciones (aparición de ciclos límites).Otros modelos considerando refugio han sido propuestos [11, 12]. El trabajo

de Mcnair [11] es analizado en por Hausrath [8] y se demuestra la existencia deciclos límites. En el trabajo de Ruxton [12] se construye un modelo asumiendoque la tasa en que la presas se mueven al refugio es proporcional a la densidadde depredadores, esto es, xr = �y, y se prueba que este comportamiento tieneun efecto estabilizante.En el presente trabajo analizamos el modelo general de Lotka-Volterra (con

autorregulación en las presas) suponiendo que la cantidad de presas en refugioes proporcional a los encuentros entre presas y depredadores, esto es xr = �xy,obteniendo el sistema de ecuaciones diferenciales autónomo dado por

X� :

�dxdt = r

�1� x

K

�x� q (x� �xy) y

dydt = (p (x� �xy)� c ) y (1)

donde � = (r;K; q; �; p; c) 2 R6+, esto es, los parámetros son todos positivosy tienen diferentes signi�cados ecológicos.Obtenemos condiciones en los parámetros para que existan tres puntos de

equilibrio al interior del primer cuadrante; probamos que siempre al menos dosde ellos son local asintoticamente estable y que no existen ciclos límites, por locual este tipo de refugio tiende a estabilizar el sistema.

La importancia del estudio del uso de refugio por parte de las presas esrelevante en los proceso de conservación de especies en peligro de extinción conla creación de reservas (refugios) para preservarlas [14].

2 Summary

In Population Dynamic had been common a¢ rm that prey refuge use by afraction of prey population has a stabilizing e¤ect in the interaction when de-terministic continuous time model are employed for describe the predator-preymodel [10, 12, 13].

This a¢ rmation is possible to verify considering two types of refugiain a well kwown Lotka-Volterra model; those for which the quantity of prey incover xr is proportional to population size, that is, xr = �x, or else, those forwhich the population on refuge is a �xed quantity, i.e., xr = � [7].

2

Page 63: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

These results also can be extended when the prey population has aself�regulated growth, this is, the prey growth is described by logistic equation[3]. In such cases there exists a unique equilibrium point at interior of the �rstquadrant which is globally asymptotically stable [2, 6]. This property is provedusing a Liapunov function [1, 4, 9].

The general conclusions from these studies is that refugia which protecta costant number of prey lead to a stronger stablizing e¤ect on populationdynamics than refugia which protect a constant proportion of prey [14].

In [2, 6, 11] is showed that the simplistic interpretation of the stabilizingrole of refugia may not be correct, since for more complex models for describethe refuge use can exert a locally destabilizing e¤ect due to emergence of stablelimit cycles or oscillatories behavior of populations.

Other model considering prey refuge in [11, 12]. McNair [11] involvestudy of ecosystems with more complex intertactions incorporating prey refugesand its model is analysed by Hausrath [8], who also proves the existence ofan unique limit cycle. Ruxton [12] derived a continuous time model under theassumption that the rate at which prey move to the refuge is proportional topredator density, that is xr = �y, showing that this behavior has a stabilizinge¤ect.

In present work, we analyse the consequences produced in the generalLotka-Volterra model (with self-regulation) when is assumed that the quantityof prey in refugia is proportional to encounters prey-predators, that is xr = �xy,obtaining the autonomous di¤erential equations given by:

X� :

�dxdt = r

�1� x

K

�x� q (x� �xy) y

dydt = (p (x� �xy)� c ) y (1)

We obtain conditions for parameter values for which there exists three equi-librium point at interior of the �rst quadrant and we demonstrate that twoequilibrium points on the interior of the �rst quadrant are locally asymptoti-cally stable and system has no limit cycle.

The importance of study of refuge use by a fraction of population prey isrelevant in the context of bioeconomic and conservation managements becauseit helps in regulating the harvesting activity in the ecosytem [14]

References

[1] A. Ardito and P. Ricciardi, Lyapunov functions for a generalized Gause-type model. Journal of Mathematical Biology 33, 816-828, 1995.

[2] J. B. Collings, Bifurcations and stability analysis of a temperature-dependent mite predator-prey interaction model incorporating a preyrefuge, Bulletin of Mathematical Biology 57, 63-76, 1995.

[3] H. I. Freedman, Deterministic Mathematical Models in Population Ecology,Marcel Dekker 1980.

3

Page 64: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

[4] B-S Goh, Management and Analysis of Biological Populations, ElsevierScienti�c Publishing Company, 1980.

[5] E. González-Olivares and R. Ramos-Jiliberto, Dynamic consequences ofprey refuges in a simple model system: more prey, fewer predators andenhanced stability, Ecological Modelling 166(1-2), 135-146, 2003.

[6] E. González-Olivares and R. Ramos-Jiliberto, Consequences of prey refugeuse on the dynamics of some simple predator-prey models: Enhancing sta-bility? In: R. Mondaini (ed) Proceedings of the Third Brazilian Symposiumon Mathematical and Computational Biology, E-Papers Serviços Editoriais,Ltda, Volumen 2, 75-98, 2004.

[7] G. W. Harrison, Global stability of predator-prey interactions. Journal ofMathematical Biology 8, 139-171, 1979.

[8] A. R. Hausrath, Analysis of a model predator-system with refuges, Journalof Mathematical Analysis and Applications 181, 531-545, 1994.

[9] A. Korobeinikov, A Lyapunov function for Leslie-Gower predator-preymodels, Applied Mathematical Letters 14, 697-699, 2001.

[10] J. Maynard Smith, Models in Ecology, Cambridge, At the University Press,1974.

[11] J. M. McNair, The e¤ects of refuges on predator-prey interactions: a re-consideration. Theoretical population biology, 29, 38-63, 1986.

[12] G. D. Ruxton, Short term refuge use and stability of predator-prey models.Theoretical Population Biology 47, 1-17, 1995.

[13] A. Sih, Prey refuges and predator-prey stability, Theoretical PopulationBiology, 31, 1-12, 1987.

[14] P. D. N. Srinivasu and I. L. Gayitri, In�uence of prey reserve capacity onpredator-prey dynamics, Ecological Modeling 181, 191-202, 2005.

[15] R. J. Taylor, Predation. Chapman and Hall, 1984.

4

Page 65: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Estimacion en el Modelo de Espacio de Estados conObservaciones Censuradas

Francisco J. Ariza-Hernandez∗ y Gabriel A. Rodrıguez-Yam∗∗

∗Unidad Academica de Matematicas, UAGro. Av. Lazaro Cardenas s/n,

Ciudad Universitaria, C.P. 39070; Chilpancingo, Gro., Mexico ([email protected])∗∗Estadıstica. Universidad Autonoma Chapingo. Chapingo, Edo. de Mexico

([email protected])

Resumen

En ocasiones, los datos que se obtienen en un fenomeno y/o experimento aleatoriode muchas de disciplinas tales como la biologıa, la agronomıa, la economıa, las cien-cias ambientales, etc., los datos que se observan pueden estar “incompletos” debido amultiples factores. Por ejemplo, cuando se monitorea algun tipo de contaminante, losequipos utilizados para registrar los valores de la variable de interes pueden presentarciertas restricciones en la medicion, como el no detectar valores pequenos, provocandoque algunas de las observaciones esten censuradas. Ademas, estas observaciones, reg-istradas de manera secuencial, pueden presentar un cierto grado de correlacion. Losdatos con estas caracterısticas pueden ser analizados mediante un modelo de espaciode estados (MEE); sin embargo, aun en el caso simple del MEE debido a la censura,los parametros no se pueden estimar directamente con las recursiones de Kalman. Eneste trabajo, se proponen dos metodos para estimar los parametros del modelo cuan-do se tienen observaciones censuradas por la izquierda. En el primero se implementael algoritmo de Esperanza-Maximizacion (EM) y en el segundo se basa en estimar lafuncion de verosimilitud utilizando muestreo de importancia.

1

Page 66: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Evolucion de la cooperacion en juegos de

agentes con estructura interna

Fermın Dalmagro & Jimenez JuanLaboratorio de Fenomenos No lineales, Escuela de Fısica,

Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela

Caracas 1041-A, Venezuela.

e-mail: [email protected]

Abstract

Utilizamos un algoritmo genetico para estudiar la evolucion de la

cooperacion en un modelo de agentes con estructura interna. Con-

siderando modelos basados en el Dilema del Prisionero y en el juego

del Ultimatum, caracterizamos el regimen asintotico de la probabili-

dad de cooperacion de los agentes cuando esta es tratada como una

variable aleatoria. De acuerdo con los resultados obtenidos, la emer-

gencia de cooperacion depende del grado de elitismo en el algoritmo

genetico y de las escalas de tiempo involucradas. Discutimos algunas

posibles aplicaciones de estos resultados en modelos de poblaciones.

1

Page 67: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Evolution of cooperation in agents games with

internal structure

Fermın Dalmagro & Jimenez JuanLaboratorio de Fenomenos No lineales, Escuela de Fısica,

Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela

Caracas 1041-A, Venezuela.

e-mail: [email protected]

Abstract

Making use of a genetic algorithm to study the evolution of cooper-

ation between agents with internal structure, while considering model

based on the Prisoner’s Dilemma and the Ultimatum Game. We char-

acterize the asymptotic behavior of the cooperation probability when

treated as a random variable. Our results show that emergence of co-

operation depends on the degree of elitism and the time scale involved

in the genetic algorithm. Furthermore, we discuss some applications

to population models.

2

Page 68: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Una revisión de modelos matemáticos de conducción cardíaca

Alexandra Guzmán VelázquezDepartamento de Matemáticas,Facultad de Ciencias, [email protected]

Resumen. Se presentará una revisión histórica de los distintos modelos continuos tipo EDO no lineales, que se han propuesto para la descripción de la conducción cardiaca en distintas células del corazón. Estos se construyen sobre la premisa de fijación del voltaje, por lo que centran su atención en la dinámica temporal.

La presentación incluye los modelos más sobresalientes que se han hecho para el estudio de distintos tipos de células: de Purkinje, miocárdicas auriculares, miocárdicas ventriculares y nodales. La idea de mostrar uno o dos modelos de cada tipo de célula es observar las diferencias morfológicas del potencial de acción y las corrientes subyacentes a cada una de las etapas de éste, de tal forma que se pueda explicar la excitabilidad y contracción de las células miocárdicas y el automatismo y ritmicidad de las células de Purkinje y nodales.

Los modelos que se explicarán son los siguientes: Noble (1962) y DiFrancesco-Noble (1985) para las células de Purkinje; Beeler-Reuter (1976) y Luo-Rudy II (1994) para las células ventriculares; Courtermanche (1998) para las auriculares y finalmente, el de Noble-Noble (1984) para mostrar el comportamiento del potencial de acción en una célula del nodo seno-auricular.

Page 69: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

A review of mathematical models of cardiac conduction

Alexandra Guzmán VelázquezDepartamento de Matemáticas,Facultad de Ciencias, [email protected]

Abstract. I present a historical review of several continuum models based on ordinary non linear differential equations which have been proposed to describe the cardiac conduction in heart cells. The models are developed on the premise of voltage clamp, focus on temporal dynamics.

The presentation includes the most important models that have been written to study different cells types: Purkinje, auricular, ventricular and nodals cells. The idea of showing one or two models of each cell´s type is with the purpose of observe and analyze the morphological differences of the action potential and the underlying currents involve. In the following manner I can explain the excitability and contraction of myocardial cells and the automaticity and rhythmicity of the Purkinje and nodal cells.

The models that I will explain are: Noble (1962) & DiFrancesco-Noble (1985) for the Purkinje cells; Beeler-Reuter (1976) & Luo-Rudy II (1994) for ventricular cells; Courtermanche (1998) for auricular cells and finally, Noble-Noble (1984) to demonstrate the behavior of the action potential of the sinus node (pacemaker).

Page 70: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Modelo de Dinamica Populacional com Retardo Fuzzy

Rosana S. M. Jafelice Marcos N. RabeloFaculdade de Matematica, UFU,

38408-100, Uberlandia, MG

[email protected] [email protected]

Rodney C. Bassanezi Laecio C. BarrosCMCC, UFABC DMA, IMECC, UNICAMP

09210-170, Santo Andre, SP 13083-859, Campinas, SP

[email protected] [email protected].

Os modelos determinısticos descritos por equacoes diferenciais com retardamento sao geralmente maisrealistas do que os sem retardamento, porem, quase sempre o retardo e um parametro incerto. Tradicio-nalmente, tais incertezas tem sido tratadas por meio de metodos estatısticos. No entanto, nas ultimasdecadas, a Teoria dos Conjuntos Fuzzy tem contribuıdo significativamente na modelagem matematica defenomenos incertos .

Uma das deficiencias de modelos de populacao simples comodN

dt= f(N), onde N(t) e a populacao

da especie no instante t e f(N) e tipicamente uma funcao nao linear de N , e que a taxa de crescimentoe considerada funcionando instantaneamente. Na verdade, existe um tempo de retardo for considerado otempo de alcancar a maturidade, o perıodo de gestacao e assim por diante. O crescimento populacionalunidimensional inibido e com retardo, correspondente ao modelo logıstico, e dado por

dN(t)dt

= rN(t)(

1− N(t− T )k

)(1)

onde r, k e T sao constantes positivas. Tal modelo indica que o efeito regulador depende da populacaono tempo anterior t− T [4].

A partir da solucao numerica da equacao diferencial com retardamento (1), consideramos o retarda-mento T como um parametro fuzzy [1] e [2], ilustrado na Figura 1. Utilizamos o Princıpio da Extensaode Zadeh que pode ser descrito da seguinte forma:

• O grau de pertinencia de um valor do contradomınio e definido diretamente pelo grau de pertinenciade sua pre-imagem.

• Quando um valor do contradomınio e mapeado por varios do domınio, o seu grau de pertinencia eobtido pelo sup dos graus de pertinencia dos valores da entrada.

1

uT

retardo (T)

Figura 1: Parametro fuzzy (T ).

Tal Princıpio permite obter solucoes de sistemas fuzzy por meio de fuzzificacao das solucoes dosmodelos determinısticos correspondentes [3].

Page 71: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Figura 2: Solucao Fuzzy.

A Figura 2 apresenta a solucao grafica do modelo fuzzy, aproximando-se do grau de pertinencia 1 naregiao central, onde ocorre maior possibilidade de representar o fenomeno e aproxima-se da capacidadesuporte da populacao.

Agradecimentos

Os autores agradecem a FAPEMIG pelo apoio financeiro.

Referencias

[1] R.M. Jafelice, L. C. Barros e R. C. Bassanezi, “A fuzzy delay differential equation model for HIVdynamics”, International Fuzzy Systems Association - European Society of Fuzzy Systems and Tecno-logy 2009 (aceito).

[2] R.M. Jafelice, L.C. Barros e R.C. Bassanezi, “Sobre Sistemas Dinamicos Fuzzy com Retardo: UmaAplicacao na Dinamica do HIV com Tratamento”, Biomatematica, 18 (2008) 131–148.

[3] M.T. Mizukoshi, L. C. Barros, Y. Chalco-Cano, H. Roman-Flores e R.C. Bassanezi, “Fuzzy Diffe-rential Equation and the Extension Principle”, Information Sciences 177 (2007) 3627–3635.

[4] J.D. Murray, “ Mathematical Biology: An Introduction”, Springer-Verlag, Berlin, (2002).

Fuzzy Delay Population Dynamics Model

The deterministic models described by differential delay equations are usually more realistic thanequations without delay; however the delay is almost always an uncertain parameter. Traditionally, suchuncertainness has been dealt with statistical methods. Nevertheless, in the last decades, the fuzzy setstheory has significantly contributed to the mathematical modeling of uncertain phenomena.

One of the deficiencies of simple population models, such asdN

dt= f(N), where N(t) is the species

population at the instant t and f(N) it is typically a non linear function of N , is that the growing rateis considered to operate instantaneously. In fact, there is a time delay which is considered the time toreach maturity, the period of gestation and so on. The one-dimensional inhibited population growth withdelay corresponds to the logistic model is given by the equation

dN(t)dt

= rN(t)(

1− N(t− T )k

)(1)

Page 72: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

where r, k e T are positive constants. Such model indicates that the regulator effect depends on thepopulation on the preceding time t− T [4].

From the numerical solution of the differential equation with delay (1), we considered the delay T asa fuzzy parameter [1] and [2], depicted in Figure 1. We utilized the Principle of Zadeh Extension thatcan be described as follows:

• The membership degree of the counter-domain of a value is directly defined by the membershipdegree of its pre-image.

• When a counter-domain value is mapped by several values of the domain, its membership degree isattained by sup of the memberships degrees of the input values.

Such Principle allows one to obtain solutions of fuzzy systems by means of fuzzification of the solutionsof the correspondent deterministic models [3].

The Figure 2 presents the graphic solution of the fuzzy model, which approaches the membershipdegree 1 at the central region where is the greatest possibility of the representation of the phenomenonand it approaches the withstand capacity of the population.

Acknowledgements

The authors thank FAPEMIG, the Research Foundation of the State of Minas Gerais.

Page 73: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Uma abordagem fuzzy para um modelo presa-predador acoplado ao

parasitismo

Magda da Silva Peixoto

Universidade Federal de São Carlos, Campus Sorocaba,

Rodovia João Leme dos Santos, Km 110, 18052-780,

Sorocaba, SP, Brasil, (15)3229-6000

[email protected],

Laécio Carvalho de Barros,

Departamento de Matemática Aplicada, IMECC, UNICAMP,

Caixa Postal: 6065, 13083-859, Campinas, SP, Brasil, (19) 3521.5925

[email protected]

Rodney Carlos Bassanezi Centro de Matemática, Computação e Cognição, UFABC, 09210-170,

Santo André, SP, Brasil, (11) 4991-9868

[email protected]

RESUMO

Nesse trabalho propomos uma metodologia baseada em Lógica Fuzzy para estudar a interação entre

presa/hospedeiro, predador e parasitóide. Tal metodologia surgiu com a necessidade de se estudar a Morte

Súbita dos Citros, doença que tem afetado grande parte dos pomares de citros do Estado de São Paulo [2].

Pesquisadores acreditam que tal doença seja causada por um vírus transmitido por insetos conhecidos

como pulgões, que tem como inimigos naturais uma espécie de joaninha (predador) e um afidídeo

(parasitóide) [3]. Propomos o uso de um sistema baseado em regras fuzzy [1], ao invés do uso de

equações diferenciais que caracterizam os modelos determinísticos clássicos. Uma vez que as

informações a respeito do fenômeno são qualitativas, é difícil expressar as variações como funções dos

estados. Por outro lado, tais informações, dadas por especialistas, nos permitem elaborar regras que relacionam (ainda que parcialmente), as variáveis de estado com suas próprias variações. As variáveis do

sistema são densidade de pulgões, densidade de parasitóides e potencial de predação das joaninhas

(inputs) e suas variações (outputs) [4]. Simulações são realizadas e gráficos das populações de presas,

potencialidade dos predadores e população de parasitóides, bem como um espaço de fase, são mostrados.

As regras são do tipo: “Se a quantidade de pulgões é alta e o potencial de predação é muito baixo, então

a variação de pulgões baixa positiva e a variação do potencial de predação alta positiva; Se a

quantidade de pulgões é baixa e a quantidade de parasitóides é baixa, então a variação de pulgões é

baixa positiva e a variação de parasitóides é alta negativa”.

ABSTRACT

This work describes a methodology based in fuzzy set theory to create a model that studies the interaction

prey/host, predator and parasitoid. The aim of this investigation was to develop a simple and specific

methodology to study Citrus Sudden Death (CSD). CSD is a disease that has affected sweet orange trees

grafted on Rangpur lime in the state of São Paulo [2]. Some studies suggest that this disease has been

caused by a virus transmitted by insects known as aphids (vector). Among the most known enemies of

aphids in citrus in Brazil, it was selected the ladybug (predator) and a parasitoid [3]. It was proposed the

use of a fuzzy rule-based system [1], instead of usual differential equations which characterize the classic

deterministic models. Since there is not enough information derived from the experimental data that can be related to the phenomenon, it is difficult to express the variations as functions of the states. On the

other hand, qualitative information from specialists allows to propose rules that relate (at least partially),

the state variables, with their own variations. The variables of the system are number of preys, number of

parasitoids and potentiality of the predators (inputs), and their variations (outputs) [4]. Simulations were

performed and the graph shown prey population, potentiality of the predators, and the parasitoid

population, over time. The rules are of the following form: “If the number of aphids is large and the

Page 74: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

potential of predation is very small, then the variation of aphids is positive small and the variation of the

potential of predation is positive large”; “If the number of aphids is small and the number of parasitoids is

small, then the variation of aphids is positive small and the variation of parasitoids is negative large".

Referências

[1] Barros, L. C. e Bassanezi, R. C., Tópicos de Lógica Fuzzy e Biomatemática, Coleção IMECC Textos

Didáticos, 5, 2006.

[2] Bassanezi, R.B., Bergamin, A., Amorim, L., Gimenes-Fernandes, N., Gottwald, T.R. and Bové, J.M., Spatial and temporal analyses of Citrus Sudden Death as a tool to generate hypotheses

concerning its etiology. Phytopathology, 93:502-512, 2003.

[3] Parra, J. R. P., Oliveira, V., Pinto, A. S., Guia Ilustrado de Pragas e Insetos benéficos dos citros,

Esalq-USP, Piracicaba, 2003.

[4] Peixoto, M.S., Barros, L. C. and Bassanezi, R. C., Predator prey fuzzy model, Ecological Modelling,

214, p.39-44, 2008.

Page 75: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

ESTABILIDAD EN MODELOS POBLACIONALES DISCRETOS VÍA EL MÉTODO DIRECTO DE LYAPUNOV

Unidad Académica de Matemáticas, Universidad Autónoma de Guerrero

Av. Lázaro Cárdenas s/n, Ciudad Universitaria, Chilpancingo, Guerrero, México

Facultad de Estudios Superiores Zaragoza, UNAM Batalla 5 de mayo s/n, esq. Fuerte de Loreto. Col. Ejército de Oriente, México, D.F.

Correo Electrónico: [email protected]

Simples ecuaciones en diferencias son usadas para describir el crecimiento de poblaciones con generaciones separadas; damos las condiciones de estabilidad global de modelos poblacionales discretos de una y dos dimensiones. En este trabajo, revisamos la estabilidad de algunos modelos simples en tiempo discreto de una dimensión: modelo Beverton-Holt, modelo Ricker, modelo epidémico SI, modelo θ-Ricker generalizado y un modelo modificado tipo Ricker & Beverton-Holt. Y otros modelos en tiempo discretos de interacción de dos poblaciones, por ejemplo: competencia entre dos especies y la inhibición del crecimiento de una bacteria por una toxina. Construimos funciones de Lyapunov para los modelos discretos mencionados usando combinaciones adecuadas de funciones tipo diferencias de cuadrados, cuadráticas y logarítmicas. Estas funciones son usadas para establecer la estabilidad global o que las soluciones son confinadas en una región del espacio fase. Las funciones construidas en este trabajo no son las usualmente empleadas en modelos poblacionales continuos. Presentamos las gráficas o las superficies de las funciones de Lyapunov y la primera diferencia de la función de Lyapunov en los modelos en tiempo discreto cuando el punto de equilibrio es globalmente asintóticamente estable.

Page 76: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Efecto de la Respuesta Social Frente a una Epidemia, Modelado

con Autómatas Celulares

Juan Carlos Hernández Gómez

Universidad Autónoma de Guerrero

[email protected]

El modelado de sistemas biológicos mediante autómatas celulares es cada vez más frecuente

debido a que mediante esta técnica de modelación se pueden incorporar heterogeneidades

espaciales y poblacionales. Esto permite crear modelos que en cierta medida se pueden ajustar

mejor a situaciones del mundo real. Adicionalmente, la incorporación de este tipo de

heterogeneidades no hace más complejo el análisis cualitativo de los sistemas y aun cuando los

resultados que se presentan son producto de simulaciones las conclusiones a las que se llega

pueden servir para tomar decisiones de salud pública.

En este trabajo se presentan algunos resultados del número reproductivo básico para autómatas

celulares en los cuales se considera el efecto de las vecindades, la heterogeneidad espacial y

poblacional. Posteriormente se hace el estudio de un sistema SIR estocástico con redes sociales en

el cual se analiza el efecto de la reacción social de una población ante la presencia de una

enfermedad infecciosa y se presentan los diferentes escenarios posibles.

Page 77: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

SELECCIÓN SEXUAL Y NATURAL EN UN MODELO DE TIEMPO DISCRETO

Andrea Decidel Mora; Jorge González Guzmán

Instituto de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Casilla 4059, Valparaíso, Chile [email protected]

RESUMEN

En este trabajo se analizará el fenómeno de la selección sexual y natural por sobrevida en un modelo de tiempo discreto. Se considerará una estructura genética determinada por un solo locus con dos alelos, y la misma estructura genética en machos y hembras. Tendremos 3 genotipos: AA, Aa, aa y por lo tanto la matriz de preferencias de apareamientos será:

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

111λλλλλλ

Esta matriz refleja la hipótesis de que las hembras tienen una actitud pasiva y que hay dominancia del gen A, por lo que habrá solamente dos fenotipos. A este fenómeno se agrega un proceso de selección por sobrevidas, usando los coeficientes de sobrevida ,α β para cada fenotipo. El modelo resultante es el siguiente:

=´x ( )12y

x y z zb

λ λ⎛ ⎞

+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

=´y ( )12y

x y z zb

λ λ⎛ ⎞

+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Donde b x y zλ λ= + + y

zyx

xx

βααα

++= ,

zyx

yy

βααα

++= ,

zyx

zz

βααβ

++= ,

Se analizan en particular los siguientes casos:

a) Sólo con selección sexual ( 1α β= = ) b) Sólo con selección por sobrevida ( 1λ = ) c) con ambos tipos de selección

Es interesante notar que en el caso (a) no hay puntos de equilibrio en el interior del espacio de fase, sólo existen los equilibrios triviales (0,0) y (1,0).

Page 78: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Dinámica del dengue en poblaciones de Guerrero.  José Geiser Villavicencio Pulido 

Universidad Autónoma de Guerrero 

México 

 

Dados los acontecimientos que se presentaron en a principios del año 2009 en México, se hace evidente la importancia de conocer los mecanismos que están inmersos en la propagación de una epidemia dentro de un grupo social. En particular, de aquellas enfermedad infecciosas que incrementa el número de infecciosos (incidencia),  por contacto directo. 

En la actualidad grupos de investigación han puesto su interés en la existencia de estados de equilibrio endémico de una enfermedad infecciosa. Además de tratar de entender los mecanismos sociales, y fenomenológicos que los causan.  

En la actualidad la modelación matemática está teniendo un auge debido al uso de teorías matemáticas y de teorías computacionales para entender la dinámica de procesos epidemiológicos, es decir, la simulación de la propagación de una enfermedad infecciosa que es modelada por un sistema dinámico se ha vuelto indispensable para proponer políticas de salud pública, las cuales después pueden ser implementadas en una población susceptible a cierto patógeno.  

Se modelará  la dinámica del dengue a través de modelos matemáticos que describan la dinámica de una población la cual está dividida en individuos susceptibles , individuos infecciosos, individuos recuperados e individuos a los cuales se les ha aplicado alguna política de salud pública, para  reducir el número de nuevos infecciosos. 

Además se estimará de la tasa de infección del virus epidémico y otros parámetros importantes para la dinámica de la enfermedad infecciosa. 

 

 

Page 79: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Competencia en un Quimiostato en presencia de unInhibidor Letal y Distintas Tasas de Dilución

Belén Muñoz Vargas y Dra. Brenda Tapia SantosUniversidad Veracruzana

Circuito Gonzalo Aguirre Beltrán s/n,Zona Universitaria. Xalapa, Ver.

[email protected]

Noviembre 2009, Acapulco, Gro.

En este trabajo se presenta un sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias no-lineales, el cual describe el comportamiento de dos microoganismos compitiendo por unnutriente en presencia de un inhidor, considerando distintas tasas de dilución para losmicroorganismos. El inhibidor es introducido a una razón constante y es letal para unode los competidores, mientras que para al segundo microorganismo no produce dañoalguno. El sistema de ecuaciones que describe esta problematica está dado por:

S ′ = (S(0)− S)D − m1S

a1 + Sx− m2S

a2Sy

x′ = x(m1S

a1 + S−D1 − γP )

y′ = y(m2S

a2 + S−D2)

P ′ = (P (0)− P )D − δP

K + Py

S(0) ≥ 0 x(0) > 0 y(0) > 0 P (0) ≥ 0

1

Page 80: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

In this work we present a system of non linear ordinary differential equations whichdescribes the competition dynamics between two organisms by a nutrient, in presenceof an inhibitor, considering for this different dilution rates. Inhibitor is input from anexternal source to a constant rate and is considered lethal for one of the competitors,whereas for the other one it does not produce any damage. The equations to describethis problem are:

S ′ = (S(0)− S)D − m1S

a1 + Sx− m2S

a2Sy

x′ = x(m1S

a1 + S−D1 − γP )

y′ = y(m2S

a2 + S−D2)

P ′ = (P (0)− P )D − δP

K + Py

S(0) ≥ 0 x(0) > 0 y(0) > 0 P (0) ≥ 0

2

Page 81: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Modelagem Matemática em Fenômenos Biológicos: dinâmica e

flutuação populacional em pulgões (Aphididae: Hemiptera) e

joaninhas (Coccinellidae: Coleoptera) em Brassica oleracea*

Crisley de Camargo1, Kadine Rinck Monteiro

2,

Magda da Silva Peixoto3 , Marcelo Nivert Schlindwein4 1,2,3,4

Universidade Federal de São Carlos, Campus Sorocaba,

Rodovia João Leme dos Santos, Km 110, 18052-780,

Sorocaba, SP, Brasil, (15)3229-6000

E-mail: 1 [email protected],

2 [email protected] ,

3 [email protected] ,

4 [email protected]

RESUMO

Neste estudo pretendemos, a partir de dados coletados no campo, obter parâmetros biológicos do

sistema de equações diferenciais ordinárias do tipo presa-predador de Lotka-Volterra. Tal metodologia

surgiu com a necessidade de se estudar a Morte Súbita dos Citros (MSC), doença que tem afetado grande

parte dos pomares de citros do Estado de São Paulo [1]. Pesquisadores acreditam que tal doença seja

causada por um vírus transmitido por insetos conhecidos como pulgões, que tem como predador natural

uma espécie de joaninha.

A predação – um tipo de interação interespecífica que implica no consumo de um organismo

vivo (presa) por outro (predador) – é uma interação negativa para uma das espécies (presa). O estabelecimento desta interação entre um grupo de presas e predadores específicos, como pulgões e

joaninhas, se constitui um ótimo estudo de caso para avaliação de flutuações populacionais e a confecção

de modelos matemáticos [2].

O modelo clássico do tipo presa-predador de Lotka-Volterra (1925) é dado pelo sistema de

equações diferenciais ordinárias a seguir:

−=

−=

dycxydt

dy

bxyaxdt

dx

(1)

As variáveis de estado x e y são, respectivamente, quantidade de presas e quantidade de predadores

em cada instante t [3]. Os parâmetros são:

• a: taxa de crescimento da população de presas na ausência de predadores;

• b/c: é a eficiência de predação, isto é, a eficiência de conversão de uma unidade de massa de

presas em uma unidade de massa de predadores;

• d: taxa de mortalidade de predadores na ausência de presas;

• o termo xy representa a chance de encontro entre presas e predadores (ambos uniformemente

distribuídos no habitat).

Temos como objetivo neste trabalho obter os parâmetros biológicos acima (1) que representem a

interação entre pulgões (presa) e joaninhas (predador) em uma plantação de couve. Dentre os predadores

dos afídeos (pulgões), no Brasil, destaca-se a joaninha (Cycloneda sanguinea) [4]. Trabalhos já foram

feitos nesse sentido, mas esses dados foram obtidos em laborátorio [5]. Neste estudo pretendemos obter

dados no campo a partir da observação da interação entre as espécies em uma plantação de couve em uma

área pré-determinada no Campus da UFSCar em Sorocaba, ou seja, com dados coletados e sumarizados

em uma planilha eletrônica, pretendemos obter os parâmetros biológicos do sistema de equações

diferenciais ordinárias do tipo presa-predador (1). A coleta de dados iniciou-se em dezembro de 2008 e

encerra-se em junho de 2009. O mês de julho será dedicado à obtenção dos parâmetros acima citados.

Finalmente, no mês de agosto do presente ano, será feita a elaboração do relatório final.

1 Bolsista PIBIC/CNPq/UFSCar

*Trabalho de Iniciação científica submetido para pôster 3 apresentadora do trabalho

Page 82: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Referências

[1] M. S.Peixoto, “Sistemas Dinâmicos e Controladores Fuzzy: um Estudo da Dispersão da Morte Súbita

dos Citros em São Paulo”, Tese de IMECC-Unicamp, 2005.

[2] Edelstein-Keshet, Mathematical Models in Biology, Random-House, N. York, 1988

[3] R. C. Bassanezi, Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática, Contexto, São Paulo, 2002

[4] D. J. Borror e D. M. Delong, Introdução ao Estudo dos Insetos, Edgard Blücher Ltda, São Paulo,

1969.

[5] A. Janssen, A.Pallini, M. Venzon e M.W. Sabelis, Behaviour And Indirect Interactions In Food Webs

Of Plant-Inhabiting Arthropods, Experimental and Applied Acarology, v. 22, p. 497-521, 1998.

Page 83: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Desenvolvimento de programa gerador de Modelos Biológicos

Populacionais *

Oskar Hagen1, Magda da Silva Peixoto

2

1,2Universidade Federal de São Carlos, Campus Sorocaba, Rodovia João Leme dos Santos, Km 110, 18052-780,

Sorocaba, SP, Brasil, (15)3229-6000

E-mail: 1 [email protected] ,

2 [email protected]

RESUMO

Neste estudo pretendemos elaborar um programa de computador didático e gratuito que

disponibiliza os principais modelos de sistemas biológicos populacionais utilizando equações

diferenciais. Este programa deverá conter uma interface amigável, ou seja, auto-explicativa e didática

para a atribuição de parâmetros às equações dos modelos escolhidos (interações entre espécies, como por

exemplo, presa-predador, competição, mutualismo), e deverá gerar uma seqüência de código, que copiada

e plotada no programa Scilab (gratuito), resultará o gráfico da(s) solução(ões) da(s) equação(ões), isto é,

contingente(s) populacional(is) e plano de fase (para duas populações). O aumento da presença de componentes quantitativos nas Ciências Biológicas, graças ao uso

progressivo de métodos matemáticos, é uma realidade. Assim, notamos o vínculo imprescindível entre

estas duas cadeiras [1]. Atualmente observamos uma ampla variedade de modelos biológicos, bem como

a promissora criação de universos digitas que imitam o mundo natural, focados em solucionar problemas

logísticos, de inteligência artificial, auto-aprendizagem, sistemas antivírus e firewall, e a otimização de

processos. Tanto na visão computacional quanto na biológica, os modelos resultam em um melhor

entendimento dos sistemas biológicos. Podemos definir um modelo como uma formulação que procura

imitar um fenômeno do mundo real e que nos possibilita efetuar predições deste [2].

Mesmo quando modelamos sistemas de natureza complexa, onde há uma consideração

relativamente pequena do número de variantes comparado com o número estimado real, estes podem e

têm se mostrado úteis, pois consideram os fatores chaves, ou seja, aqueles que se apresentam mais influentes nas predições. Assim, não esperamos que os modelos sejam cópias exatas do mundo real, mas

que sejam simplificações que revelem os processos relevantes para as previsões [3].

Para facilitar a compreensão dos principais modelos ecológicos por parte dos estudantes de

biologia e auxiliá-los na atribuição dos valores dos parâmetros nas suas equações, o programa deverá

conter ferramentas didáticas explicando estes valores, as quais funcionariam como interface entre a

ecologia e a matemática aplicada, visto o vínculo entre estas duas áreas levantado por [1].

Já existem importantes programas que geram gráficos a partir de modelos conhecidos, porém, este

programa deverá se diferenciar destes quanto:

• Ao foco didático, pois explicará cada modelo e parâmetro biológico, facilitando o uso e

proporcionando uma boa ferramenta de fixação dos conceitos aprendidos em sala de aula;

• A fixação e aprendizagem das equações, uma vez que o programa disponibilizará as equações e suas respectivas soluções e o aluno deverá manualmente copiar e executar o código gerado em

Scilab para visualizar o gráfico;

• A opção de sobreposição de gráficos para várias equações, uma vez que o programa só gerará os

códigos, e não os gráficos, e assim no Scilab poderão ser sobrepostos quantas equações se

desejarem;i

• Ao caráter interdisciplinar das ciências exatas e biológicas;

• A interface simples;

• A vasta gama de possibilidades na manipulação dos gráficos gerados, uma vez que, estes serão

plotados por um programa específico e rico em recursos.

Os instrumentos matemáticos mais utilizados para os modelos biológicos são [4]:

• A teoria e transformação dos conjuntos: que é usada para a enumeração das condições qualitativas de estados do sistema;

• Álgebra matricial: refere-se às relações dos sistemas, e na descrição e manipulação dos números;

• Equações diferencias ordinárias (EDO): que contextualizam os sistemas no tempo.

Portanto, temos como objetivo nesse trabalho criar um programa simples e gratuito que proporcione

de maneira eficiente um entendimento quanto ao caráter intradisciplinar e interdisciplinar para Biologia,

Page 84: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Matemática e Simulações Computacionais. Simulações de dinâmicas populacionais biológicas serão

feitas através do software aqui proposto.

Referências

[1] E. Batschelet, Introdução à Matemática para Biocientistas, EDUSP, São Paulo, 1978.

[2] E. P. Odum,. Ecologia, W. B. Saunders Company, Philadelphia, 1971.

[3] R. C. Bassanezi, Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática, Contexto, São Paulo, 2002

[4] Edelstein-Keshet, Mathematical Models in Biology, Random-House, N. York, 1988.

*Trabalho de Iniciação científica submetido para pôster 2 apresentadora do trabalho

Page 85: VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática

Estimación de la proporción de individuos de una

población de Rhea americana que es capaz de reproducirse

exitosamente a partir de un modelo basado en el individuo.

Simoy, M.V. y Canziani, G.A.

1Facultad de Ciencias Exactas, Departamento de Matemática.

Instituto Multidisciplinario Sobre Ecosistemas y Desarrollo Sustentable.

Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires.

Pinto 399. Tandil (C.P. 7000). Argentina

[email protected]

Argentina, Septiembre de 2009

RESUMEN

Con el objetivo de determinar la proporción de individuos de una población de ñandú

común, Rhea americana, que son capaces de reproducirse en función del gasto

energético que esto significa, se construyó un modelo basado en el individuo. El

sistema reproductivo del ñandú es complejo, en éste se combinan la poliginia y la

poliandria. Las hembras ponen los huevos, pero son incubados por los machos.

El modelo individual consiste en un balance energético diario. La estimación de los

costos energéticos diarios del ñandú se realizó a partir de las actividades que

desarrolla y del costo asociada a las mismas. En la construcción del modelo se

consideran el peso del individuo, la cantidad de alimento que consume y su contenido

energético. Por otro lado, se consideran diferentes patrones de comportamiento y el

costo que tiene cada actividad, y el costo asociado a la reproducción.

El modelo asigna a cada individuo un peso inicial y la cantidad de alimento que

consume, además de un patrón de actividad para cada día del año al cual se le asigna

un costo. Este costo esta determinado por el patrón de actividades, el costo de cada

actividad y, además, con el fotoperíodo.

A intervalos regulares dentro de la época reproductiva se evalúa qué individuos de la

población han alcanzado la energía necesaria para reproducirse, es decir, en el caso de

los machos cuántos son capaces de iniciar la incubación y en el caso de las hembras

cuántas podrán iniciar la puesta de huevos. A partir de esto se determina qué

proporción de los machos y de las hembras son capaces de reproducirse exitosamente

si el único limitante fuera el factor energético.